本手打 かわたうどん

高松市香南町岡 本手打 かわたうどん
香川県の南半分が雨という，ちょっと寒い天候で，来る人の大方は鍋焼きうどんを注文している
観光客も多く，ちょっと高級感のある店

算額（その1448）

算額（その1448）

十一 金ケ崎町 個人宅 元文6年(1741)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html
キーワード：円1個，直角三角形1個
#Julia, #SymPy, #算額, #和算

ごちゃごちゃしているので，分かりやすく書き下すと，以下の 3 式が述べられている。
円形の田んぼと，直角三角形の田んぼがある。
(1) 面積の和は 36.64
(2) 円径は股より 4 小さい
(3) 鈎は股より 2 小さい。
(4) 弦^2 = (鈎^2 + 股^2)
弦を求めよ。
ただし，円積率として 0.79 ≒ π/4 = 0.7853981633974483 を使え。

注1：直径が5の円の面積は 5^2*0.79 = 19.75 と計算する。正確には π*2.5^2 = 19.634954084936208
以上 (1) 〜 (3) を連立方程式として解く。

using SymPy
@syms 円径, 鈎, 股, 弦
eq1 = (円径^2*0.79 + 鈎*股/2) - 36.64
eq2 = (股 - 円径) - 4
eq3 = (股 - 鈎) - 2
eq4 = 弦^2 - (鈎^2 + 股^2)
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4], (円径, 鈎, 股, 弦))[4]  # 4 of 4

    (4.00000000000000, 6.00000000000000, 8.00000000000000, 10.0000000000000)

 すべて整数の解が得られた。弦の長さは 10 である。

eq2, eq3, eq4 を連立方程式として円径，鈎，股を求めると以下のようになる。

res2 = solve([eq2, eq3, eq4], (円径, 鈎, 股))[2]

    (sqrt(2*弦^2 - 4)/2 - 3, sqrt(2*弦^2 - 4)/2 - 1, sqrt(2)*sqrt(弦^2 - 2)/2 + 1)

この結果を eq1 に代入して，中方面のみを含む多項式にする。

eq1 = eq1(円径 => res2[1], 鈎 => res2[2], 股 => res2[3])
eq1 |> println

    (sqrt(2)*sqrt(弦^2 - 2)/2 + 1)*(sqrt(2*弦^2 - 4)/2 - 1)/2 + 0.79*(sqrt(2*弦^2 - 4)/2 - 3)^2 - 36.64

簡約化すると以下のように，弦を含む式になるのでこれを解いて中方面を求める。

eq1 = eq1 |> simplify
eq1 |> println

    0.645*弦^2 - 2.37*sqrt(2*弦^2 - 4) - 31.32

解は 2 個得られるが，2 番目のものが適解である。

弦は 10 である。

solve(eq1)[2] |> println

    10.0000000000000

using Plots
pyplot(size=(300, 150), aspectratio=:none, label="")
plot(eq1, xlims=(-11, 11), xlabel="弦", ylabel="eq1")

# 円径，鈎，股
res2[1](弦 => 10) |> println
res2[2](弦 => 10) |> println
res2[3](弦 => 10) |> println

    4
    6
    8

 

 

算額（その1447）

算額（その1447）

十一 金ケ崎町 個人宅 元文6年(1741)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html
キーワード：正方形3個，円1個，直角三角形1個
#Julia, #SymPy, #算額, #和算

ごちゃごちゃしているので，分かりやすく書き下すと，以下の 6 式が述べられている。
(1) 「中正方形の面積から直角三角形の面積を除いたもの」と，「大正方形から円の面積を除いたもの」と，「小正方形の一辺の長さの 4 乗」を加えると 4240.36
(2) 鈎，股，円径を加えると 18
(3) 矢は 3
(4) 股 - 股 = 2
(5) 大方面 - 中方面 = 1
(6) 中方面 - 小方面 = 1
ただし，円積率として 0.79 ≒ π/4 = 0.7853981633974483 を使え。

注1：直径が5の円の面積は 5^2*0.79 = 19.75 と計算する。正確には π*2.5^2 = 19.634954084936208

以上 (1) 〜 (6) を連立方程式として解く。

using SymPy
@syms 大方面, 中方面, 小方面, 円径, 矢, 鈎, 股
矢 = 3
eq1 = (中方面^2 - 鈎*股/2) + (大方面^2 - 円径^2*0.79) + 小方面^4 - 4240.36
eq2 = 鈎 + 股 + 円径 - 18
eq3 = 円径 - (大方面 - 2矢)
eq4 = (股 - 鈎) - 2
eq5 = (大方面 - 中方面) - 1
eq6 = (中方面 - 小方面) - 1
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4, eq5, eq6], (大方面, 中方面, 小方面, 円径, 鈎, 股))[2]  # 2 of 4

    (10.0000000000000, 9.00000000000000, 8.00000000000000, 4.00000000000000, 6.00000000000000, 8.00000000000000)

 すべて整数の解が得られた。中正方形の一辺の長さ（中方面）は 9 である。

eq2 〜 eq6 を連立方程式として大方面，小方面，円径，鈎，股を求めると以下のようになる。

res2 = solve([eq2, eq3, eq4, eq5, eq6], (大方面, 小方面, 円径, 鈎, 股))

この結果を eq1 に代入して，中方面のみを含む多項式にする。

eq1 = eq1(円径 => res2[円径], 鈎 => res2[鈎]，大方面 => res2[大方面], 股 => res2[股], 小方面 => res2[小方面])
eq1 |> println

    中方面^2 - (21/2 - 中方面/2)*(25/2 - 中方面/2)/2 - 0.79*(中方面 - 5)^2 + (中方面 - 1)^4 + (中方面 + 1)^2 - 4240.36

簡約化すると以下のように，中方面の 4 次式になるのでこれを解いて中方面を求める。

eq1 = eq1 |> simplify
eq1 |> println

    1.0*中方面^4 - 4.0*中方面^3 + 7.085*中方面^2 + 11.65*中方面 - 4323.735

解は ４ 個得られるが，そのうちの ２ 個は虚数解，もう 1 つは不適切解であり，残りの 1 つのみが適解である。

中正方形の一辺の長さ（中方面）は 9 である。

solve(eq1)[2] |> println

    9.00000000000000

 

算額（その1446）

算額（その1446）

十一 金ケ崎町 個人宅 元文6年(1741)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html
キーワード：正方形3個，円1個，正三角形1個，直角三角形1個
#Julia, #SymPy, #算額, #和算

ごちゃごちゃしているので，分かりやすく書き下すと，以下の 7 式が述べられている。

(1) 外側の大正方形の面積から，中正方形，小正方形，円，正三角形，直角三角形の面積を除いた面積（外積）と大方面の4乗の和が 65580.185
(2) 大正方形，中正方形，小正方形の一辺の長さ（大方面，中方面，小方面），円の直径（円径），直角三角形の直角を挟む二辺の短い方（鈎），正三角形の一辺の長さ（三角面）の 6 つを加えると 51
(3) 円径 - 中方面 = 1
(4) 中方面 - 小方面 = 1
(5) 小方面 - 鈎 = 1
(6) 鈎 - 三角面 = 1
(7) 股 - 鈎 = 2
である。小方面（およびその他のパラメータ）はいかほどか。ただし，円積率として 0.79 ≒ π/4 = 0.7853981633974483，三角積率として 0.43 ≒ √3/4 = 0.4330127018922193 を使え。

注1：直径が5の円の面積は 5^2*0.79 = 19.75 と計算する。正確には π*2.5^2 = 19.634954084936208
注2：一辺が5の正三角形の面積は 5^2*0.43 = 10.75 と計算する。正確には 5^2*√3/4 = 10.825317547305483
問には 0.43 を使えと書いているが，0.433 を使えば 10.825 になり，精度は格段に上がるのになぜ？以下では 0.433 を使うと期待される答えが高精度で得られる。また，山村も 0.433 を使っている。

以上 (1) 〜 (7) を連立方程式として解く。

using SymPy
@syms 大方面, 中方面, 小方面, 円径, 三角面, 鈎, 股
eq1 = (大方面^2 - 円径^2*0.79 - 中方面^2 - 小方面^2 - 三角面^2*0.433 - 鈎*股/2) + 大方面^4 - 65580.185
eq2 = 大方面 + 中方面 + 小方面 + 円径 + 鈎 + 三角面 - 51
eq3 = (円径 - 中方面) - 1
eq4 = (中方面 - 小方面) - 1
eq5 = (小方面 - 鈎) - 1
eq6 = (鈎 - 三角面) - 1
eq7 = (股 - 鈎) - 2
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4, eq5, eq6, eq7], (大方面, 中方面, 小方面, 円径, 三角面, 鈎, 股))[1]  # of 4

    (16.0000000000000, 8.00000000000000, 7.00000000000000, 9.00000000000000, 5.00000000000000, 6.00000000000000, 8.00000000000000)

三角積率として 0.433 を使った。
その結果として，求められた 7 個のパラメータは全て（誤差のない）整数値になった。というか，結果が整数値になるように 65580.185 のように妙な数値を持ち込んだのであろう。

小正方形の一辺の長さ（小方面）は 7 である。

三角積率として 0.43 を採用すると得られる解は，
(15.9999954343728, 8.00000091312543, 7.00000091312543, 9.00000091312543, 5.00000091312543, 6.00000091312543, 8.00000091312543)
になる。
算額出題者は三角積率として 0.433 を使ったのではなかろうか?

山村の解説では，術は小方面を未知数として高次方程式を解いているようだ。
eq2 ~ eq7 を連立方程式として，大方面, 中方面, 円径, 三角面, 鈎, 股 を求めると，それぞれは小方面を含む式で表される。

res = solve([eq2, eq3, eq4, eq5, eq6, eq7], (大方面, 中方面, 円径, 三角面, 鈎, 股));

得られた解を eq1 に代入する。

eq1 = eq1(円径 => res[円径], 股 => res[股], 中方面 => res[中方面], 三角面 => res[三角面], 大方面 => res[大方面], 鈎 => res[鈎])
eq1 |> println

    -小方面^2 + (51 - 5*小方面)^4 + (51 - 5*小方面)^2 - 0.433*(小方面 - 2)^2 - (小方面 - 1)*(小方面 + 1)/2 - (小方面 + 1)^2 - 0.79*(小方面 + 2)^2 - 65580.185

簡約化すると，小方面についての 4 次式が得られる。

eq1 = simplify(eq1)
eq1 |> println

    625.0*小方面^4 - 25500.0*小方面^3 + 390171.277*小方面^2 - 2653533.428*小方面 + 6702216.423

方程式を解いて得られる解は，連立方程式を解いて得られるものと同じである。

solve(eq1, 小方面)[1] |> println

    7.00000000000000

係数を -2 倍して，山村の式と比較してみよう。

-2eq1 |> println

    -1250.0*小方面^4 + 51000.0*小方面^3 - 780342.554*小方面^2 + 5307066.856*小方面 - 13404432.846

山村（及び術？）は，x^2 の係数として -780342.555 としているがこれは  780342.554 である。

@syms x
eq0 = -13404432.846 + 5307066.856x - 780342.555x^2 + 51000x^3 - 1250x^4
eq0 |> println

    -1250*x^4 + 51000*x^3 - 780342.555*x^2 + 5307066.856*x - 13404432.846

この違いは大きい。解を求めると，x = 7 となるべきところが 7.00000029828747 になる。

solve(eq0, x)[1] |>  println

    7.00000029828747