算額（その2135）

算額（その2135）

京都府京都市上京区北野馬喰町 北野天満宮 明治12年(1879)
近畿数学史学会：近畿の算額「数学の絵馬を訪ねて」，平成4年5月16日 初版第一刷，大阪教育図書株式会社，大阪市.
キーワード：円5個（円欠）
#Julia, #SymPy, #算額, #和算

外円を水平な弦で切り取り，大円 1 個，小円 3 個を容れる。大円，小円の直径が 4 寸，1 寸のとき，外円の直径はいかほどか。

外円を切り取る水平な弦と y 軸の交点座標を (0, y); y < 0
外円の半径と中心座標を R, (0, 0)
大円の半径と中心座標を r1, (x, r1 + y)
小円の半径と中心座標を r2, (x2, y2), (x + a, y + r2), (x - a, y + r2)
大円と小円の中心の水平距離を a = 2sqrt(r1*r2)
とおき，以下の連立方程式を解く。

SymPy では r1, r2 についての一般解（数式解）を求めることができないので，特定の値を指定して解を求める。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms R::positive, y::negative, a::positive,
     r1::positive, x::negative, r2::positive,
     x2::positive, y2::positive;
(r1, r2) = (4, 1) ./ Sym(2)
a = 2sqrt(r1*r2)
eq1 = x^2 + (r1 + y)^2 - (R - r1)^2
eq2 = x2^2 + y2^2 - (R - r2)^2
eq3 = (x - a)^2 + (y + r2)^2 - (R - r2)^2
eq4 = (x2 - x)^2 + (r1 + y - y2)^2 - (r1 + r2)^2
eq5 = (x2 - x - a)^2 + (y2 - y - r2)^2 - 4r2^2;
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4, eq5], (R, y, x, x2, y2))[1]

   (-6/19 + 24*sqrt(6)/19, 98/95 - 88*sqrt(6)/95, 44/95 - 24*sqrt(6)/95, 1094/475 - 6*sqrt(6)/475, 1569/950 - 288*sqrt(6)/475)

大円，小円の直径が 4 寸, 1 寸のとき，外円の直径は 12(4√6 - 1)/19 = 5.556605665978554 寸である。

全てのパラメータは以下のとおりである。

   r1 = 2;  r2 = 0.5;  R = 2.7783;  y = -1.23742;  a = 2;  x = -0.155661;  x2 = 2.27222;  y2 = 0.166415

function draw(more)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (r1, r2) = (4/2, 1/2)
   (R, y, a, x, x2, y2) = (-6/19 + 24*sqrt(6)/19, 98/95 - 88*sqrt(6)/95, 2*sqrt(299263 - 3282*sqrt(6))*(3*sqrt(6) + 547)/299155, 4*(311 - 171*sqrt(6))*sqrt(299263 - 3282*sqrt(6))/1495775, sqrt(1197052/225625 - 13128*sqrt(6)/225625), 1569/950 - 288*sqrt(6)/475)
   @printf("大円，小円の直径が %g, %g のとき，外円の直径は %g である。\n", 2r1, 2r2, 2R)
   @printf("r1 = %g;  r2 = %g;  R = %g;  y = %g;  a = %g;  x = %g;  x2 = %g;  y2 = %g\n", r1, r2, R, y, a, x, x2, y2)
   θ = atand(y, sqrt(R^2 - y^2))
   plot()
   circle(0, 0, R, :green, beginangle=θ, endangle=180-θ, n=1000)
   segment(-sqrt(R^2 - y^2), y, sqrt(R^2 - y^2), y)
   circle(x, r1 + y, r1)
   circle(x2, y2, r2, :blue)
   circle(x + a, y + r2, r2, :blue)
   circle(x - a, y + r2, r2, :blue)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, R, "R", :green, :center, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, 0, "外円:R,(0,0)", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(x, r1 + y, "大円:r1,(x,r1+y)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(x2, y2, "小円:r2\n(x2,y2)", :blue, :center, :bottom, delta=delta/2)
       point(x + a, y + r2, "小円:r2\n(x+a,y+r2)", :blue, :center, :bottom, delta=delta/2)
       point(x - a, y + r2, "小円:r2\n(x-a,y+r2)", :blue, :center, :bottom, delta=delta/2)
   end  
end;

draw(true)