重積分の導入

２人の恐怖政治を敷いた指導者こと室町６代将軍足利義教とフランス革命のロベスピエールを関孝和とコーシーを介して数学で話をつないでみようなどとトンデモナイを思いつくものの、私の数学力のなさが更新を阻んでいるみたいですｗ

さてさて、前回ようやく偏微分にたどり着きましたが、複数の変数で構成される関数の変化を調べるのに偏微分があれば、今度は複数の変数で構成される関数の各成分に対する累積を調べようってのが重積分なわけです。

重積分の不定積分や厳密な話となると数学がろくろくわかってない私では到底説明できるところではありませんが、定積分ですと何とか説明できるかなぁってところですね。

偏微分が他の変数を定数のように扱って微分すればいいのと同じように、重積分も他の成分を定数として扱って対象となる変数を定積分すればいいってことです。変数同士に相関があるときとか難しい話は置いとくことにしましょうｗ

じゃあ単純に各変数を定積分すれば終わりかというとこれでは例えばxyz座標系では箱形の積分しかできません。積分の範囲は曲線や曲面や歪んだ立体の場合だってある、むしろ現実に必要なのはそうした形の積分です。

また、積分記号の∫ってのを見ただけで反射的に嫌悪感を催される方もおられるでしょうけど、さらには∰みたいな嫌悪感を目いっぱい引き出してくれそうな記号だってあるｗ。こんなもんどーやって理解せー！っちゅうｎぢゃｗｗとなってきますが、そんな時こそ積分とは何ぞやという原点に返ることになる。積分とはある領域の量を無限に細かい区分に分けて足し合わせることです。あくまで微分法の逆だってのは後から見出されたことで、この原点を抑えておかなきゃ大学の物理学や一定レベル以上の理工系の資格試験なんかは高校物理の延長線上に微積分を使った公式の暗記を付け加えただけのものとなって、公式帳をやたら分厚くしてしまうことになりかねません。

そんなわけで次は実例を交えて様々な積分の使い方を見てみましょう。

厳密な計算は難儀しますが、立式はあくまでも微積分は直感的に分かることをそのまま数式に表したものなんだという認識を持てればそこそこ使いこなすことができるようになります。

 

偏微分とはなんぞや

等持院の歴代足利将軍の木像から恐怖政治を敷いた６代義教、彼に戦を挑んで滅ぼされかけるも再興された結城一族、その分家の関家に養子に入った和算の天才の関孝和の話をしてきました。

で、日本史で語られる恐怖政治を潜り抜けて世に出た数学の天才と、世界史でロベスピエールの恐怖政治を潜り抜けたオーギュスタン・ルイ・コーシーとをつなぐキーワードとして数学、特に微積分をつらつら述べてきましたが、微積分がどんなものなのかってことを説明すると一つの要素から一つの結果が生み出されるときに要素の変化や累積に対して結果がどのようになるかを調べるってことなわけです。

ですが、物事の結果がたった一つの要素のみから決まることはまれでしょう。例えば釣果という結果に対して釣果を左右する要素として狙う魚種、日取り、潮汐、天候、日照、波風など様々な要素が絡み合って結果につながるわけです。で、結果がボーズだったときは、そのどれかあるいは複数の要素によってボーズという結果が導き出される。まぁ、このブログも色々な釣果を乗せてますがそれ以上にボーズ食らって地団太踏んでる日が多いんだろうなｗと容易に推察されることでしょう。なんせ、時々電験２種の免状をアップしてますけど、これを取るのに５回にわたって地団太踏み続けた記録はそんなに詳細にアップされてませんし、思い出せば腹も立ってきますｗ。

ここで、複数の要素で表される結果ってのを数学的にはやはり関数って言います。抽象的に記号で書くと、ｆ（ｘ、ｙ、ｚ）みたいな書き方をします。そして関数を構成する要素を変数って言います。そうなると、ある変数が変化したら関数はどんな風に変化するんじゃろ？って疑問は当然湧いてくることになります。釣果にしたって日取りや時間帯どれか一つだけを変化させることで結果はどう変わる？ってことを考えるときに一つの要素が変化することで他の要素がどう変化してそれが結果にどのように影響するかまでを調べなきゃなりません。

d/dx  f(x,y,z)を調べるには他のｙとｚがｘの変化に対してどのように変化して、さらにそれによってｆがどのように変化するかまで調べなきゃなりません。これを全微分っていいます。

それを調べるのに、一旦他の変数は定数の如く扱って直接ｆに影響している分の変化だけ調べるのを偏微分って言います。言ってることは難儀なことですがやってることは他の変数を定数として対象となる変数について微分するだけの事です。記号は全微分がd/dxと書いてディーバイディーエックスと読むのに対し∂/∂ｘでデルバイデルエックスって読みます。

この考え方は方々で使われていて、空間に流れがあって時間的に変化する電磁気学や流体力学は偏微分の知識無くして理解不能でしょうし、経済学などにも応用されています。そうです、私が電磁気学をまるで解ってないのは基本的な原理と完成形は分かってても変微分方程式を使いこなしてケースバイケースの電磁界を解析できてないからなのですｗ

複数の変数による関数の微分の手法があるなら当然複数の変数による関数で微分の逆の事をする積分も存在します。これを重積分というんですが、単一の変数に対する定積分は不定積分が求まれば単純に計算できるのに対して重積分の領域の取り方は変幻自在で単純に箱型とはいかないでしょう。

ってことで次は重積分について述べてみましょう。

エアコンを孤軍奮闘させない初等熱力学入門

こんなに暑くっちゃブログ更新もめんどくさくなるわけです。

お盆に入ると７月に元気だった小学生のテンションが下がる頃合いでしょうか・・・

まぁ私自身、地蔵盆を過ぎると残された宿題を前に顔面蒼白になってましたから。とは言っても私が小学生の頃に比べ気温も高くなって、こんな酷暑さなかに人様に勉強させようって発想自体が犯罪的に思えてきてしまいますｗ

無理せずエアコンをったってエアコンが頑張ってもあまり効かないってのも珍しくありません。

ってことで、初歩的な熱力学から少しでもエアコンの効きを良くして涼しく過ごす術を考えてみましょう。あまり詳しいことは工業熱力学や統計物理学が良く分かっていない私では荷が重すぎますｗ

 

まず、温度がどうやって上がり下がりするか？ってことですが、熱が加われば温度が上がり熱を奪えば温度が下がるってことです。ってことは外気温が高ければ外の熱が入ってきますし、直射日光が当たれば熱が発生します。なるたけ部屋に熱を入れないためには直射日光を部屋の中に入れないことですね。カーテンを閉めるのも一定の効果はありますがカーテンにあたった直射日光が発熱して部屋に拡散しますから、窓の外にすだれを付けて日光の熱を外で発散させるようにすれば部屋に入る熱量をかなり減らせます。

次にエアコンですが梅雨時は効きがいいのに乾いた夏になると効きが悪くなりますね。これはエアコンには除湿機能があって空気中の水蒸気を水滴に変えるときに冷却媒体に熱を与える分、熱の輸送能力が大きくなるわけです。

となると加湿器で湿度を増やせばエアコンが同じパワーで冷却媒体を循環させて送風しても除去できる熱量は増えるんですが、スチーム式では加えた熱を捨てるだけの電気代の無駄遣いに終わってしまいます。

ちなみに冷風扇はミストで涼しくするんですが、室内で冷風扇単体で使うときは風通しを良くして風上に設置しないとやがて水蒸気が飽和して温度が上昇するとただただ不快になっていきます。

冷風扇や超音波の加湿器をエアコンから遠い位置につけて、気化熱で涼しくする。そしてエアコンの除湿で加えた水分を取り除けばミストを通じたちょっとしたヒートポンプを構築できます。これを扇風機で下の空気を上にかき回せば室内機の効率が上がります。

次に室外機ですが直射日光の反射板や屋根を付けるなどして日光による過熱を少しでも防ぎましょう。

ただし日光を防ぐために風通しが悪くなれば逆効果なので注意が必要です。

最後に除湿で室外に出た水を室外機周辺に打ち水して加湿器の水を利用すれば、かなりエアコンの効きが良くなります。

 

改めて思い知る飯泉先生の偉大さ

【物理】私大・国立二次徹底！ポイント復習～いろいろな単振動～Part1

 

物理学を学ぶときに抑えるべき基本は

1.変化をもたらす「力」

2.保存される「エネルギー」

3.変化するたびに増大する「エントロピー」

の三つなんですけど、力が平衡状態から離れようとすると元に戻るように働く場合が多いから振動と波動をしっかり押さえるというのは物理系はもとより電気系・機械系どちらも重要度が高くなってきます。

よく言われるのが「基礎ばかり学んでいては基礎的なことしか分からない」ってことで、これは確かに正しいのです。ですが、「基礎」と「基本」は違います。基本を抑えておくと分野が変わっても理解モデルを立てるのが楽になります。物理で分野別の公式集をやたら充実させるってのは一番結果に結びつかない勉強法ですから注意が必要ですね。

振動は変化をもたらす力が作用して起こります。「変化」を調べるのは数学的に言えば「微分する」と言います。つまりは微積分・微分方程式に通じておくと振動・波動を理解しやすくなるわけですが、如何せん高校物理は微積分が分からなくても何とかなる範疇にとどめることが求められてきます。もちろん高校で微積分は習うわけですから微積分を習った後なら教師・講師は微積分をさらっと使って説明することで高校物理の難易度は大幅に下がります。

理工系の資格試験に文系出身者が挑む場合、数学の理解度を最適化することに成功した人が早々に資格を取得できますよね。数学を端折ると後々モーレツに苦労しますし、深入りしすぎて必要以上に数学を学んでも本来習得すべきことをなかなか習得できずに合格が遠のきます。

振動・波動を微積分を使わずに説明するのは困難を極めますが、これだけ分かりやすく微積分抜きで振動を説明されるのは素晴らしい。

やはり物理学を学びなおすんだったらムサいおっさんの動画よりもビジュアルから入っていける飯泉先生の動画がオススメなんですが、単にビジュアルの問題ではなくて微積分抜きで振動・波動を分かりやすく説明できるってのが偉大なところです。

微積分・微分方程式が分かる人への高校物理の振動・波動の説明はアホでもできると思いますが、数学が良く分からない・数学的手法のカードの手持ちが少ない人に説明できてこそ物理を教えるプロと言えるんじゃないでしょうか。

 

積分とは何か

さてさて、微分法についていろいろ述べましたが、今度は積分法について述べてみましょう。

まず、積分とは何か？

この問いに対する答えは、「積分とは無限に細かい要素に分けて足し合わせる」ということです。

例えば長方形の面積は辺の長さを掛ければいいだけで小学校の算数レベルの話です。もし、長方形の面積の求め方が分からないって方がいれば悪いことは言いません、その程度の算数は学びなおしておかないと日本の社会では日常生活に支障をきたすでしょう。ピタゴラスの定理や連立方程式あるいは二次方程式を解くといったような高度な算術が分からないと言われても日常生活に支障をきたさなきゃそれでいいんじゃね？ってのが私の考え方です。自分の職種がそういったことを求めてなければ問題ありません。私の場合は不幸にしてそういったことを必要とする職種に就いているので習得しないわけにはいきませんが・・・。ただ、本当に初歩的な小学生レベルの算術となると分かっていないと後々何かと苦労することになるでしょう。

直角三角形の面積を求めることだって法外に難しい話じゃありません。

ところがこれに曲線が絡んでくると話は一気に難しくなってきます。

例えば底辺がb-a、一方の端がf(a)もう一方がf(b)で上辺がf(x)という図形の面積を求めようとするときにf(x)のところの微小な区間⊿ｘについては長方形の面積f(x)⊿ｘと見做して問題ない。この微小な区間の長方形をx=a～ｂの間で足し合わせる。この区間⊿ｘを限りなく0に近づけると無限級数になって曲線が絡んだ図形の面積を求めることが出来る。これが積分法と呼ばれる手法です。

実例でいえばある時刻ｔで速度がv(t)であるなら、微小な時間⊿ｔの間の道のりはv(t)⊿ｔこれを⊿ｔ→0として時刻aからbまでに進んだ道のりを求めようとします。速度が一定なら速度に時間を掛ければ道のりは容易に出てくる。これが速度が時々刻々変化するなら速度を積分すれば道のりが算出できる。ってことは道のりを微分したら速度が算出できるんだから積分って微分の逆の事をすればいいんじゃね？ってことになる。ですが、数学的にはまだこれでは根拠が十分じゃないですね。

そこでf(x)を0→ｘの区間で累積を取った関数をＦ(x)とする。この大文字の関数は原始関数と呼ばれます。このＦ(x)が微小な区間⊿ｘの間でどれだけ変化するかと言いますと、当然f(x)⊿ｘという長方形の面積分だけ増えてるわけです。ですからF(x+⊿)=F(x)+f(x)⊿xとなる。ですからF(x)の微分はlim ⊿x→0　(F(x+⊿)-F(x))/⊿x=f(x)もとの関数に戻ることが分かります。

こうして遂に積分とは微分することで元の関数に戻るような関数を探すことであるという普遍の真実にたどり着いたのです！

・・・私ではなくライプニッツって親父が・・・

なんだか地理で出てくるドイツの都市ライプツィヒとごちゃ混ぜになりそうですが実際にライプニッツ自身がライプツィヒ出身です。ライプツィヒ出身でいえば私が思い浮かべるのはリヒャルト・ワーグナーですか・・・

 

気分が滅入っているときにワーグナーの曲って落ち込んだ気分が高揚してきて、リエンツィ・タンホイザー・ニーベルンゲンなどなどをよく聞きますね。

 

さて話を戻して積分ですが、微分ってのはルール通りに手続き踏んで計算するんですが、微分したらその関数になるような関数を探すってのは並大抵のこっちゃないｗ。実際に原始関数を厳密に求められる関数なんて数ある関数のうちのごくごく一部なんでしょう。すでにある関数を微分して求められた関数はすぐに積分できるとしても、多くの積分計算はよくこんな方法を思いつくなぁと感心させられることしきりです。微分は名の如く微かに分かるんですが積分は本当にまるで解りませんｗ

ここまで変数が一つの場合の微積分を述べましたが、多くの関数は３次元の各要素と時間など複数の変数で構成されています。そんな場合の微積分、偏微分と重積分を考えていくことにしましょう。

 

やっと腑に落ちる

とある八雲の科学解説 『高速フーリエ変換』

FFTの理論ってなんか訳わかんなかったけど、動画で順を追って説明されてやっと腑に落ちたと言いますか・・・

 

う～ん、ムスカの通信にFFTが完成してたらシータは瓶で後頭部をどついて逃げることが出来なかったかも・・・

 

ま、学校教育で数学を必要とする理由もこうした数学を使いこなせる人材を幅広くサーチしておく必要があるからなんですね。

学校の数学で複素数、三角関数、マトリクスなどを習っても社会でそれらを使う職種なんてほんの一握りでしょう。でもそうした職種を世

の中が必要としてるのも事実。そんな職種にならなかったらきれいさっぱり忘れても差し支えないわけで、それまでは誰かが使いこなせる必要がある分野を出来るだけ広い階層に教育の機会を確保する必要があるわけです。

まぁ、動画にあるように時間や空間を周波数や波数の領域に変換することで少ない計算で多くの情報を扱えるようになってる。年頃の高校生に数学の学習の必要性を説くときに、受験戦争に勝ち抜かなければなんて説教しても反感を買うだけでしょう。でも、「数学の学びが途絶えると将来エロ画を見れなくなるかもしれないぞｗ」なんて脅せばエロスに興味を持つ年頃、必死にエロ画圧縮の技術を絶やさないためには数学の勉強が必要！と必死になるかもねｗ

 

導関数に見る人生論

以前に導関数を算出するという行為を微分するって説明しましたが、この導関数ってものがどんな性質をもつものか述べてみましょう。

一言でいえば変化の法則です。変化の仕方が刻々と移り変わっているときにどのように変化させようとしているかを刻々と表しているわけです。

導関数が0になるところでは接線の傾きが0すなわち水平になる。この場所を「極値」って言いますが例外があるってことをあらかじめ言っておかないと数学がある程度わかっている人から見たらでたらめ書きやがってｗってことになりますね。ただ、多くの場合は極値つまりは山のてっぺんになるか谷底になるわけです。

では導関数の導関数ってのは？ってことですが、これを求めることを二階微分って言います。なんか日本の今の政界のボスを細かく切り分けてゴミ箱に投げ捨てるという実現すれば爽快間違いなしみたいなネーミングですが、やってることを微分を２回するってことです。算出される関数は２次導関数と言います。

２次導関数がプラスの時は変化が増え続ける。接線の傾きは大きくなっていく。そうなると元の関数は下向きに凹む形になります。逆にマイナスになるときは変化が減り続ける。接線の傾きは小さくなり続ける。元の関数は上に凸の形になります。２次導関数が0になるときに凹凸の境目となり、この点を変曲点と言います。

こうすると、導関数と２次導関数が0になるところが重ならない限り、導関数が0になるところで２次導関数がマイナスだったら山の頂（これを極大といいます）になり、２次導関数がプラスなら谷底（これを極小といいます）になる。２次導関数が0になるところを境に凹凸が入れ代わる（これを変曲点と言います）。

このようにして微分法で導関数と２次導関数が0になるところと、その時に縦軸の数値を算出すれば関数のおおよその形を描くことが出来るわけです。

人生山あり谷ありとは言いますが、関数ってのは人生に通じるものがあるようにも思えます。私の場合はなぜか不思議なことに人生谷あり崖あり谷底には落とし穴ｗって気もしなくはないですがとりあえずそのことは置いておきましょうｗ

上り坂でも上り具合が小さくなってくれば頂点が近く、それを過ぎれば下り坂になるから用心すべし。下り坂も下り方が小さくなればやがて底をついて上り調子になるから希望を持とう。運勢の絶対量と上り運、下り運ってのはよく見ますが上りと下りの変化を見ると運勢の変曲点ってのも見逃さないようにしたいものです。とは言っても私ぐらいの年齢になればこの後、極大・極小・変曲点もなくって棺桶まっしぐらな気もしますが・・・

変化が0になるときに極値にならないのは導関数が0でさらに２次導関数が0になるとき、その時に２次導関数が前後で符号が入れ代わると極値ではなく変曲点になる。符号が入れ代わらなかったら極値になる。

そういえば昔電磁気学で2階変微分方程式であるラプラス方程式の解は極値を取らないってピンとこなかったんですが、こうやって書いていくと確かにそうだなぁと思えます。結局電磁気学は若いころ良く分からなくて、今となっては昔分かってたことすらわからなくなってる。電気系の技術者の資質は電磁気学の理解程度を見ればいいって言われたことを今もって痛感しますね。電気に関することってたった4つの公式の上に積み上げられたもので電磁気学をしっかり学べば多岐にわたるように見える電気工学・電子工学は根底でつながる基本理論の上に成立しているから、基本を抑えられる人は応用が利く。私が応用が利かない大したことのない電気技術者になってしまっているのも若いころの怠惰のツケなんでしょうｗ

で、運勢の関数がｙ＝－ｘ＾3なんて人生が一番最悪で、ｘ＝0で傾きは0になる。やっと下りが終わったかと思えば更なる下り運でトドメを刺されるなんてのもあったりする。

数学はそんな森羅万象を抽象的に映し出す鏡みたいなところがあって、だから算術も糞オモロナイんですけど、数学となるとそこに絶望が加味されてますます嫌になったんです。

とことん数学が嫌いだって話の次は累積の法則である積分について述べることにしましょう。

 

ダイヤモンドの半導体

佐賀大がダイヤモンドで半導体スイッチを作ったみたいですね。

最初のトランジスタはゲルマニウム。希少価値が高いのでどうしてもトランジスタ自体が高価だったわけです。やがて砂粒からざっくざっく採れるシリコンが半導体の主流になってくる。

半導体素子のベースはシリコンやゲルマニウムのように最外殻電子が4つのものかガリウムひ素、窒化ガリウムみたいに3と5の混成結晶ってことは炭素は？って疑問は当然湧いてくる。が、格子欠陥の少ないダイヤモンドにキャリアを注入するってなどなど考えると実現できたってのがすごい。おそるべしS　A　G　Ａ　佐賀ｗ

熱や高電圧に強いってのはニュースで分かったんですけど、スイッチングロスはどうなんでしょう？

半導体のスイッチってのはOFFの時に電圧はフルにかかっているけど電流はほぼ流れてないから電圧と電流を掛け合わせた電力ってのは少ないですね。一方でONの時は電流はおもくそ流れるけど電圧はほとんどかかってないので電力はやはりほとんど消費していない。ところがONとOFFの間で切り替わるときに電圧と電流がすぐに０近くになるわけじゃないので、電圧と電流を掛け合わせた電力は途中で大きくなる。これがスイッチングロスと呼ばれるもので、例えばパソコンですとクロックパルスの周波数が上がれば時間当たりのON・OFFの回数が増えるから時間当たりの消費電力も大きくなり、パソコンは熱くなる。インバーターではほぼパルス幅変調ことPWMを採用しているので搬送波周波数を上げることで電流は正弦波に近くなる。けどやはりON・OFFの回数が増えるってことはロスが大きくなる。

特に続流といって電流を続けて流そうって働きが強いときは１回のスイッチングロスが大きくなる。続流が多くなるのはコイルや配線などのインダクタンスが原因です。半導体がなくってリアルに引き離すスイッチに電力設備にはディスコンこと断路器があるんですが、その下流にトランスなどがあって続流を流そうとする。ですから遮断器などで強制的に消弧してからじゃないといきなりディスコンを落とすとアークが降ってきてシャレにならないことになってしまいます。続流を打ち消すのにインダクタンスが原因ならコンデンサで補償すればいいって考え方もあるわけで、半導体スイッチではスナバ回路という続流を減らしてスイッチングロスを減らすものがパワーモジュールのウェハーに一体でくっついているわけです。ただし純粋にコンデンサにするとインダクタンスと共振を起こしてしまいますので抵抗やダイオードを組み入れて振動を減衰させているわけです。抵抗があるってことはそこからロスが生じるのでは？と思うことでしょうけど、スナバ回路の抵抗ロスよりもスナバ回路抜きのスイッチングロスの方が大きくなります。

コンデンサは導体や半導体で絶縁物を挟めばいいわけで、シリコンですと酸素をドープするとガラスや水晶の材料となる石英が出来る。ですがダイヤモンドは炭素、酸素をドープすればCO2すなわちビールの泡になっちゃいますけどどうなんでしょ？

 

微分法について その2

2.微分係数と導関数

前回はある場所、ある瞬間の変化の度合いを調べる手法が微分法と呼ばれることを説明しました。

ではそれは実際の算術的にはどうやって調べることが出来るのかという話をしましょう。

対象とする関数はシンプルにｙ＝ｘ＾2にしておきましょう。

ｘが3から5に変化する間にｙはどれだけ変化するか？

まずはｘ＝3のときｙ＝9

次にｘ＝5のときｙ＝25

ですのでｙの変化は25－9＝16ですね。

当然ｘの変化は5-3＝2となります。

ではこの区間の変化の度合いはというと16÷2＝4

これは2点を結ぶ直線の傾きです。

ではこの区間を際限なくｘ＝3に近づけるとどうなるか？

傾きは接線の傾きと同じになっていくのはイメージできますか？

ｘ＝3の時の接線の傾きを算術的に求めてみましょう。

ｘ＝3からとっても小さい区間⊿ｘだけ進めたときのｙはと言いますと

ｙ＝（3+⊿ｘ）＾2＝9+6⊿ｘ+⊿ｘ＾2となります。ではｙの変化⊿ｙはｘ＝3のときのｙ＝9を引いて

⊿ｙ＝6⊿ｘ+⊿ｘ＾2これを⊿ｘで割ったのが3から⊿ｘ変化させたときの変化の割合ということになります。ですので⊿ｙ/⊿ｘ＝6+⊿ｘこれが平均の変化なんですが、⊿ｘを際限なく0に近づけると⊿ｙ/⊿ｘ＝6になるわけです。実際にｙ＝ｘ＾2のｘ＝3における接線の傾きは6です。

こうやってある関数のある点での接線の傾きを微分係数と言います。ここで、ｘを特定の数値に限定せずにｘ+⊿ｘでのｙの変化を求めて⊿ｘを際限なく0に近づけると接線の傾きの法則が出てきます。これを導関数と言って、導関数を求めることが微分するということなのです。

先ほどのｙ＝ｘ＾2ですとｙ+⊿ｙ＝ｘ＾2+2ｘ・⊿ｘ+⊿ｘ＾2ここからｙ＝ｘ＾2を引いて、⊿ｘを際限なく0に近づけた関数をｙ’とするとｙ’＝2ｘこれがｙ＝ｘ＾2の導関数です。

色々な関数の導関数の求め方は数学の本に載ってることでしょうから省きまして、次は導関数の性質から分かることを述べることにしましょう。

 

 

微分法についてその1

微分法その1.　変化の平均を捉える

距離と速さと時間の関係ってのを小学校の算数で習いますね。算数と数学の違いと言えば数えることと論理的思考の差ではないでしょうか。実用的に数えることを重視する算数と、役に立つかどうかは知らんけど論理的に思考してパズルを解くように数という最も客観的に俯瞰できるものの法則を探る。ちなみに私は算数も数学もめっちゃ成績が悪かったのであしからずｗ

微分法ってのは割と決められた手法をその通り実行するわけで、数学というより算数に近い。一方で積分計算ってのは決められた手法で単純にできるのはごく一部で、算出にインスピレーションが求められるケースが多くパズルを解くがごとく数学的な分野と言えるでしょう。

さて、そんな微分法の手法の原点はその場所、その時の変化とは？って問に答えを出そうってところにあります。

まずは小学校の算数の問題として100ｍ進むのに50秒かかりました。速度は何m/sでしょう？ってのを考えてみましょう。答えは100m÷50s=2m/sですね。早ければ早いほど時間はかからなくて済む。遠ければ遠いほど時間がかかるってことをイメージ出来れば学校を卒業した後で充分に歳月が経過して数理能力を問われない職種にあってはそれで十分だと言えるでしょう。けど、中学校以降の数学はともかく小学校で習う算数の能力が無いと多くの職種で苦労しますから、わからないなら今からでも算数の勉強はしておいた方がいいってものです。

 

次にビールをピッチャーからジョッキに５秒かけて500ml注いだとしてビールの流量は？ってきかれるなら100ml/sだってことが分かります。

 

どこかの傾斜を知りたいときに距離が100ｍ離れたところが2ｍの標高差があれば傾斜は0.02です。三角関数が分かる方はtanでエクセルなり関数電卓なりで計算すれば傾斜角が出てきます。ただし、出力は°（設定ではdeg読み方はディグリーって言います）かrad（ラジアン）かは確かめておいてください。関数電卓を持っている人は少ないでしょうけど、大抵家のＰＣにはワードとエクセルが仕込まれていますね。ラジアンで計算する必要がなければ常に°で結果が出るようにしてやりゃいいんです。私のような職種の人がラジアンが分からないってのは致命傷に近いものがありますが、多くの方は°が分かればラジアンなんて知らぬ存ぜぬでなんら不自由しないことでしょう。

 

さて、ここまで速度、流量、傾斜について述べましたが、これらはあくまでかかった時間や距離の間の平均した数値だということです。

 

ビールを注ぐときだって最初はジョッキを傾けてゆっくり注ぎ始めて最初にビールが接触するときの泡を抑え、だんだん勢いを増やしてやがて泡がこぼれそうな勢いであるのを見ればおっとっと！ｗと勢いを弱めます。つまり５秒かけて生中を注いだといってもその５秒間の中で流量は変化し続けているわけです。

ではある時刻を中心に時間帯を狭めていけばだんだんと瞬間の流量に近づいていきます。

傾斜だってある場所を中心に際限なく距離を縮めればその場所の傾斜が分かるでしょうし、分度器を当てれば確かにある場所の傾斜ってのは距離を取らなくったって分かります。

 

ある瞬間、ある場所での変化の度合いを分かるために何をすべきか？

もし移動した距離やビールの量、標高が関数として与えられるなら厳密に算出できるだけでなく速度、流量、傾斜の時間や場所に対する法則も算出できる。

この考え方が微分法の原点なわけで。

次はもう少し具体的に「微分する」という手法について述べてみましょう。