微分法について その2

2.微分係数と導関数

前回はある場所、ある瞬間の変化の度合いを調べる手法が微分法と呼ばれることを説明しました。

ではそれは実際の算術的にはどうやって調べることが出来るのかという話をしましょう。

対象とする関数はシンプルにｙ＝ｘ＾2にしておきましょう。

ｘが3から5に変化する間にｙはどれだけ変化するか？

まずはｘ＝3のときｙ＝9

次にｘ＝5のときｙ＝25

ですのでｙの変化は25－9＝16ですね。

当然ｘの変化は5-3＝2となります。

ではこの区間の変化の度合いはというと16÷2＝4

これは2点を結ぶ直線の傾きです。

ではこの区間を際限なくｘ＝3に近づけるとどうなるか？

傾きは接線の傾きと同じになっていくのはイメージできますか？

ｘ＝3の時の接線の傾きを算術的に求めてみましょう。

ｘ＝3からとっても小さい区間⊿ｘだけ進めたときのｙはと言いますと

ｙ＝（3+⊿ｘ）＾2＝9+6⊿ｘ+⊿ｘ＾2となります。ではｙの変化⊿ｙはｘ＝3のときのｙ＝9を引いて

⊿ｙ＝6⊿ｘ+⊿ｘ＾2これを⊿ｘで割ったのが3から⊿ｘ変化させたときの変化の割合ということになります。ですので⊿ｙ/⊿ｘ＝6+⊿ｘこれが平均の変化なんですが、⊿ｘを際限なく0に近づけると⊿ｙ/⊿ｘ＝6になるわけです。実際にｙ＝ｘ＾2のｘ＝3における接線の傾きは6です。

こうやってある関数のある点での接線の傾きを微分係数と言います。ここで、ｘを特定の数値に限定せずにｘ+⊿ｘでのｙの変化を求めて⊿ｘを際限なく0に近づけると接線の傾きの法則が出てきます。これを導関数と言って、導関数を求めることが微分するということなのです。

先ほどのｙ＝ｘ＾2ですとｙ+⊿ｙ＝ｘ＾2+2ｘ・⊿ｘ+⊿ｘ＾2ここからｙ＝ｘ＾2を引いて、⊿ｘを際限なく0に近づけた関数をｙ’とするとｙ’＝2ｘこれがｙ＝ｘ＾2の導関数です。

色々な関数の導関数の求め方は数学の本に載ってることでしょうから省きまして、次は導関数の性質から分かることを述べることにしましょう。

 

 

おめでとうございます！

電験三種２２年度下期試験☆当日採点します！生ライブ！！

 

ななさんがついに電験３種に合格されたようですね。

おめでとうございます。

 

動画を通じてななさんがずっと努力をしてこられたことを見てきました。

努力した人がきちんと結果で報いられるところを見ることが出来て私もうれしく思います。

 

受からなかった方も努力が足りなかったのではなくて、努力を通じて報われるところに近づけたんだと思います。

 

いよいよ今年度はCBT方式導入で得点率はすぐにわかる代わりに時が来るまで試験問題の内容を他言無用ってのは王様の耳はロバの耳に出てくる床屋になった気分で、精神衛生上はあんまりよくない気がしますね。

 

パセリと鯛

春の彩でパセリのペペロンチーノと鯛のカルパッチョ。

 

最大の調味料は愛情なんて言うけど違うと思うんですね。料理する側に最大の調味料を用意することはできなくって、食べる側が空腹と感謝の心をもって食事に向かうことこそが最大の調味料なんだと思います。

 

微分法についてその1

微分法その1.　変化の平均を捉える

距離と速さと時間の関係ってのを小学校の算数で習いますね。算数と数学の違いと言えば数えることと論理的思考の差ではないでしょうか。実用的に数えることを重視する算数と、役に立つかどうかは知らんけど論理的に思考してパズルを解くように数という最も客観的に俯瞰できるものの法則を探る。ちなみに私は算数も数学もめっちゃ成績が悪かったのであしからずｗ

微分法ってのは割と決められた手法をその通り実行するわけで、数学というより算数に近い。一方で積分計算ってのは決められた手法で単純にできるのはごく一部で、算出にインスピレーションが求められるケースが多くパズルを解くがごとく数学的な分野と言えるでしょう。

さて、そんな微分法の手法の原点はその場所、その時の変化とは？って問に答えを出そうってところにあります。

まずは小学校の算数の問題として100ｍ進むのに50秒かかりました。速度は何m/sでしょう？ってのを考えてみましょう。答えは100m÷50s=2m/sですね。早ければ早いほど時間はかからなくて済む。遠ければ遠いほど時間がかかるってことをイメージ出来れば学校を卒業した後で充分に歳月が経過して数理能力を問われない職種にあってはそれで十分だと言えるでしょう。けど、中学校以降の数学はともかく小学校で習う算数の能力が無いと多くの職種で苦労しますから、わからないなら今からでも算数の勉強はしておいた方がいいってものです。

 

次にビールをピッチャーからジョッキに５秒かけて500ml注いだとしてビールの流量は？ってきかれるなら100ml/sだってことが分かります。

 

どこかの傾斜を知りたいときに距離が100ｍ離れたところが2ｍの標高差があれば傾斜は0.02です。三角関数が分かる方はtanでエクセルなり関数電卓なりで計算すれば傾斜角が出てきます。ただし、出力は°（設定ではdeg読み方はディグリーって言います）かrad（ラジアン）かは確かめておいてください。関数電卓を持っている人は少ないでしょうけど、大抵家のＰＣにはワードとエクセルが仕込まれていますね。ラジアンで計算する必要がなければ常に°で結果が出るようにしてやりゃいいんです。私のような職種の人がラジアンが分からないってのは致命傷に近いものがありますが、多くの方は°が分かればラジアンなんて知らぬ存ぜぬでなんら不自由しないことでしょう。

 

さて、ここまで速度、流量、傾斜について述べましたが、これらはあくまでかかった時間や距離の間の平均した数値だということです。

 

ビールを注ぐときだって最初はジョッキを傾けてゆっくり注ぎ始めて最初にビールが接触するときの泡を抑え、だんだん勢いを増やしてやがて泡がこぼれそうな勢いであるのを見ればおっとっと！ｗと勢いを弱めます。つまり５秒かけて生中を注いだといってもその５秒間の中で流量は変化し続けているわけです。

ではある時刻を中心に時間帯を狭めていけばだんだんと瞬間の流量に近づいていきます。

傾斜だってある場所を中心に際限なく距離を縮めればその場所の傾斜が分かるでしょうし、分度器を当てれば確かにある場所の傾斜ってのは距離を取らなくったって分かります。

 

ある瞬間、ある場所での変化の度合いを分かるために何をすべきか？

もし移動した距離やビールの量、標高が関数として与えられるなら厳密に算出できるだけでなく速度、流量、傾斜の時間や場所に対する法則も算出できる。

この考え方が微分法の原点なわけで。

次はもう少し具体的に「微分する」という手法について述べてみましょう。

 

 

 

 

ハンドルにしがみつけ！

富山でフォークリフトの転落事故があったみたいですね。

フォークリフトってのは横転しそうになると飛び降りるか振り落とされるかする。

何かを持ち上げるときになるべく車体を浮かさないようにするために錘が入っているので見かけより重量は重たい。そんなやつが落とされた人の上に倒れ掛かるからフォークリフトの横転事故は大抵死亡事故になる。

とにかくフォークリフトがぐらついてヤバイと思ったらハンドルにしがみついてフォークリフトと一緒に倒れること。そうすれば命は守ることが出来る。

 

メディアは自らを省みなくていいのか？

指導者がメディアを規制することは現代社会においては禁じ手であるし、そのような指向を匂わせた指導者や政治家が叩かれること自体は間違っていない。

メディアは事実と異なることを報じない限り左右のスタンスは自由であるとは思う。

 

だから高市早苗さんや菅前首相を叩く報道を規制される謂れもないってことは分かる。

 

その上でメディアに問いたいのは権力をチェックする立場、その報道が世論を動かすとなればもはや一つの権力であると言っていい。

だったら、その権力を適正に行使しているか自ら検証し読者や視聴者に自らを省みて報道の在り方を問うたことはあるのか？

今の高市総袋叩きの報道を見ているとアンフェアに第４権力が行使されているとしか思えない。

 

それから、今回の騒ぎを見て確信できるのは高市早苗さんって現場から恨まれやすい種類の人なんだなってこと。やってることの是非は問わないけど、敵を作りやすい人ってのは確かですね。

まぁ、私はこの問題あーでもないこーでもないって様々な方向から唾を飛ばしあっているけど事実がどうだったのかが見えてこないので高市早苗さんを叩きも庇いもしませんけど。

 

桜の前には

梅が咲く。

 

微積分の本質は分かっている

以前に江戸期の数学事情と和算の偉人こと関孝和について述べましたが、微積分とは何ぞや？ってことを述べる前に、微積分の本質は既に分かっているんだという話をしましょう。

 

ここで言いたいことは私が微積分の本質を分かっているんだってことではありません。もちろん私自身も微積分の本質的なところは分かってるつもりですが、皆さんが微積分の本質を分かっているんだということです。

これは努力すればだれでも微積分が分かるという話でもありません。誰でも、もともと微積分の本質は既に分かっているんです。それどころか微積分の本質が分かっていないならば生命に危険が及ぶことになります。

確かに算術としての微積分は難易度が高いです。しかし算術としての微積分は本質的にわかっているものを算術として表現したものであり、微積分を学ぶということは既に本質自体は何となく分かっている事を表現できるようにしようってことです。微積分が分からないって方は本当に微積分が皆目わからないってことじゃなくって、既に本質は掴んでいるけど上手く表現するあと一歩のところで踏みとどまっているってことです。

進学試験、学校の試験、資格試験で微積分が分からないって方は、自分に理解力が無いなどと決めつけず本当は既に分かっている、だけど表現するためのあと一歩が踏み出せない、だから表現するために自分につっかえているものを取り除けば算術としての微積分は必ず使いこなせるはずだと自信を持ちましょう。

 

微分とは変化の法則を知る、積分とは累積の法則を知るということです。

例えば街角を走っていて壁や人なり車なりにぶつかりそうになったらスピードを落としますよね。これは位置の変化をとらえていて位置を変化させる速度を調節してぶつからないようにしているわけです。知らず知らずの間に微積分を行っているのです。もし分かってなければぶつかりまくって命がいくつあっても足りないでしょう。人間の頭脳は多くの人が思うよりずっと優れたものです。

よく「あの人は有能」「あいつは無能」などといわれますが、それは能力の差を見るからそう思うんであって、能力の絶対的な量を見ることが出来るなら個人間の本質的な差は非常に小さなものだと思います。人間誰かと比べて絶対的に優れる人も劣る人もいなくって、ジグソーパズルのようにあるところは突出し、あるところはへこんでいるのがお互い補い合って世の中を作り上げているんだと思います。

ってことで、誰もが微積分の本質は分かっているけど表現するのにうっ！ｗとなってしまうってのを踏まえて次は微分とは何かってことをもう少し算術的に述べてみましょう。

 

電工２種出願

電工２種が今日から出願受付なので早速出願しました。

ネットで申し込んでコンビニで支払い。

めんどくさいことが大っ嫌いな私が学科試験を受けようなどという気が起きるはずもないので学科免除で申し込み。

固有番号のQRを印刷して

主任技術者免状をコピーしたのに貼り付け。

あとは試験センターに送付。

工作はわりかし順調。試験勉強をしているときの妻の反応もいい。スイッチだなんだと色々な器具をつなぎ合わせて工作するのは見てても楽しいのであろう。

電験３種→２種　そっからエネ管とsin cos ∑　∫などなどの記号を書き連ねて計算してた時は、つまらんものを見せやがってと言わんばかりの反応だったけど、今回はわいのわいのと学習を進められそうです

さぁ、７月の試験に向けてせめてあと2周は工作をしておくことにしましょう。

 

鎖国下の数学

以前に見逃された幼児が足利家を存続させた話をしました。幼名は永寿王、後に古河公方となる足利成氏ですが彼の兄たちは自害もしくは足利義教によって処刑されています。持氏の遺児を担ぎ上げたのが結城氏朝で敗戦の結果、結城氏は滅亡に向かうかに見えましたが成氏によって再興することが許されます。戦国末期には徳川家康の次男坊　秀康が養子に入って越前松平氏につながっていきます。一方で結城氏の一族で関氏に養子に入った人物が数学の天才で名を関孝和といいます。

生まれたのは寛永年間ですから島原の乱を前後するころ、戦国の完全なる終焉を見据えたころ合いと言えます。活躍したのは綱吉の時代、後の６代将軍家宣となる甲州藩主に仕えそのまま将軍となった家宣に仕えました。同じ６代将軍でも恐怖政治を敷いた室町将軍義教と違ってなかなか出来た人物で、反対意見の排除をしない、新井白石を師として尊敬し師弟の礼儀を将軍になった後も守るけど彼が気に入らない人物を新井白石がいくら排除しようとしても家宣は聞き入れなかったと言います。７代将軍となると室町も江戸もなぜかお子様将軍、ただ最近の研究では室町７代義勝も江戸７代家継も幼少ではあるけど言動はしっかりしていたんじゃないかと言われています。義勝は武家の棟梁たる将軍になるべく帝王学を授けられていて同母弟で公家に育てられて文化人としては一流だけど武家の棟梁としては三流以下で応仁の乱を引き起こした義政とは育ち方が違っていたと言います。一方で家継も家宣の実子で家宣の意向を受けて育っていたなら言動はしっかりしていたんじゃないかと思えます。ただし家宣の難点と言えば尾張宗春にも共通するんですが政治哲学・倫理・価値観が現代人の思考パターンに近く江戸時代の将軍や領主としては不向きだったのかもしれません。ただ、関孝和が家宣に気に入られたなら優れた人物じゃないかと反射的に思ってしまうところもあります。

和算で検索して画像を見るとパズルに近いものがあります。数学の本質がパズルだってことに近世の日本人は分かっていた。数学の授業では公式の暗記や繰り返し演習が主体で考えさせる授業に巡り合いにくいんですが、和算の時代は数学は考えることや解き方の分からないことに自分で答えを出すことにちゃんと価値を見出していたわけです。おおよそ数学で繰り返し演習が必要なのは基本的なことを理解するためであって難問の繰り返し演習は害悪でしかないと思いますから。明治以降に洋算にとってかわられるのは実用性と記号を使うことで少ないスペースに多くの情報を乗せられるってのがあるんでしょう。表意文字を使う私たちにしてみれば少ない漢字で意味を伝えるのは可能で、表音文字を使う人々にしてみれば同じ演算を多くの文字列で表さなければならない。だからこそライプニッツは数学の授業で必ず嫌悪感の対象にされる∑や∫など数学独特の表意文字を作り出していった。しかも私たちのようにもともと表意文字を使って文章を表す側より少ない文字列で多くの算術上の情報を盛り込めた。これも現代人が数学を使って技術上の計算を行うときに利便性がいいので洋算に頼る原因となっていくわけです。

さてさて、関孝和には関数の概念がなかったので微積分学をニュートンやライプニッツより早く見出したとは言えないにしても、面積・体積・経路の長さを細かい要素に分け足し合わせるってのは積分法の本質自体はつかんでいたといえるんじゃないかと思えます。ただ、関数という概念をライプニッツは分かっていたから積分法は微分法の逆の手法と気づけたわけで、多くの曲線に囲まれた面積や体積を厳密に一般化された手法で導出できた。この点では微積分学の太祖はニュートンやライプニッツにあると言えますし、後継者による理論の発達という点では圧倒的に現代数学は彼らの系譜をひいているものと言って差し支えありません。

さらには幕末に近い頃になれば複素平面上の積分論が発達して、産業革命で動力を人力以外で容易に得られた次は自動的に制御する必要に駆られるわけですがその基本理論となる複素関数のモードの計算に必要なラプラスの順逆変換の数学が整ってきて、寛永年間に西洋との接触を限定しつつも西洋に言われるほどは遜色のない文明を発達させてきた江戸期の日本の文明は嘉永年間には西洋に一気に先を走られることになります。足利義教の恐怖政治を潜り抜けた家系から和算の大家が現れたのに対し、複素関数の積分法はフランス革命の恐怖政治を潜り抜けた家系から現れた天才によって大幅な発達を見せます。彼の名はオーギュスタン・コーシー、日本でいえばもう幕末期に近い頃に活躍した人物です。

幕末期にあたるころの洋算の話をする前に、お次は微分・積分・複素関数のちょぼっとしたトリビアに触れておくことにしましょう。