重積分の導入

２人の恐怖政治を敷いた指導者こと室町６代将軍足利義教とフランス革命のロベスピエールを関孝和とコーシーを介して数学で話をつないでみようなどとトンデモナイを思いつくものの、私の数学力のなさが更新を阻んでいるみたいですｗ

さてさて、前回ようやく偏微分にたどり着きましたが、複数の変数で構成される関数の変化を調べるのに偏微分があれば、今度は複数の変数で構成される関数の各成分に対する累積を調べようってのが重積分なわけです。

重積分の不定積分や厳密な話となると数学がろくろくわかってない私では到底説明できるところではありませんが、定積分ですと何とか説明できるかなぁってところですね。

偏微分が他の変数を定数のように扱って微分すればいいのと同じように、重積分も他の成分を定数として扱って対象となる変数を定積分すればいいってことです。変数同士に相関があるときとか難しい話は置いとくことにしましょうｗ

じゃあ単純に各変数を定積分すれば終わりかというとこれでは例えばxyz座標系では箱形の積分しかできません。積分の範囲は曲線や曲面や歪んだ立体の場合だってある、むしろ現実に必要なのはそうした形の積分です。

また、積分記号の∫ってのを見ただけで反射的に嫌悪感を催される方もおられるでしょうけど、さらには∰みたいな嫌悪感を目いっぱい引き出してくれそうな記号だってあるｗ。こんなもんどーやって理解せー！っちゅうｎぢゃｗｗとなってきますが、そんな時こそ積分とは何ぞやという原点に返ることになる。積分とはある領域の量を無限に細かい区分に分けて足し合わせることです。あくまで微分法の逆だってのは後から見出されたことで、この原点を抑えておかなきゃ大学の物理学や一定レベル以上の理工系の資格試験なんかは高校物理の延長線上に微積分を使った公式の暗記を付け加えただけのものとなって、公式帳をやたら分厚くしてしまうことになりかねません。

そんなわけで次は実例を交えて様々な積分の使い方を見てみましょう。

厳密な計算は難儀しますが、立式はあくまでも微積分は直感的に分かることをそのまま数式に表したものなんだという認識を持てればそこそこ使いこなすことができるようになります。