算額（その436）
橘田彌曾八元克 天明八年戊申2月(1788)
藤田貞資(1789)：神壁算法巻上
http://www.wasan.jp/jinpeki/jinpekisanpo1.pdf
外円の中に，甲円 3 個，乙円 2 個，丙円 1 個が入っている。甲円は弦に接している。
外円の直径が 3 寸 6 分 のとき，甲円の直径を求めよ。
外円の半径と中心座標を r0, (0, 0)
甲円の半径と中心座標を r1, (2r1, a + r1)
乙円の半径と中心座標を r2, (r1, y2)
丙円の半径と中心座標を r3, (0, r0 - r3)
として以下の連立方程式の数値解を求める。
include("julia-source.txt");
using SymPy
@syms r0::positive, a::positive, r1::negative,
r3::positive, r2::positive, y2::positive;
r0 = 36//20
eq1 = (2r1)^2 + (a + r1)^2 - (r0 - r1)^2
eq2 = r1^2 + (y2 - a - r1)^2 - (r1 + r2)^2
eq3 = r1^2 + y2^2 - (r0 - r2)^2
eq4 = r1^2 + (r0 - r3 - y2)^2 - (r3 + r2)^2
eq5 = 2r3 + 2r1 + a - r0;
# res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4, eq5], (a, r1, r3, r2, y2))
using NLsolve
function nls(func, params...; ini = [0.0])
if typeof(ini) <: Number
r = nlsolve((vout, vin) -> vout[1] = func(vin[1], params..., [ini]), ftol=big"1e-40")
v = r.zero[1]
else
r = nlsolve((vout, vin)->vout .= func(vin, params...), ini, ftol=big"1e-40")
v = r.zero
end
return v, r.f_converged
end;
function H(u)
(a, r1, r3, r2, y2) = u
return [
4*r1^2 + (a + r1)^2 - (r0 - r1)^2, # eq1
r1^2 - (r1 + r2)^2 + (-a - r1 + y2)^2, # eq2
r1^2 + y2^2 - (r0 - r2)^2, # eq3
r1^2 - (r2 + r3)^2 + (r0 - r3 - y2)^2, # eq4
a - r0 + 2*r1 + 2*r3, # eq5
]
end;
r0 = 3.6/2
iniv = r0 .* [big"0.22", 0.24, 0.14, 0.12, 0.69]
res = nls(H, ini=iniv);
println([round(Float64(x), digits=6) for x in res[1]], " 収束:", res[2]);
[0.330519, 0.500029, 0.234712, 0.282615, 1.43263] 収束:true
a = 0.330519; r1 = 0.500029; r3 = 0.234712; r2 = 0.282615; y2 = 1.43263
外円の直径が 3.6 のとき，甲円の直径 は 1.00006 である。
using Plots
function draw(more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
(a, r1, r3, r2, y2) = res[1]
@printf("a = %g; r1 = %g; r3 = %g; r2 = %g; y2 = %g\n", a, r1, r3, r2, y2)
@printf("外円の直径 = %g; 甲円の直径 = %g\n", 2r0, 2r1)
plot()
circle(0, 0, r0, :gray)
circle(0, a + r1, r1)
circle(2r1, a + r1, r1)
circle(-2r1, a + r1, r1)
circle(0, r0 - r3, r3, :blue)
circle(r1, y2, r2, :green)
circle(-r1, y2, r2, :green)
b = sqrt(r0^2 - a^2)
segment(-b, a, b, a, :magenta)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) / 3 # size[2] * fontsize * 2
point(0, a + r1, " 甲円:r1,(0,a+r1)", :red, :center, :top, delta=-delta/2)
point(2r1, a + r1, " (2r1,a+r1)", :red, :center, :bottom, delta=delta)
point(0, r0 - r3, " 丙円:r3,(0,r0-r3)", :black, :center, :bottom, delta=delta)
point(r1, y2, " 乙円:r2,(r1,y2)", :black, :left, :vcenter)
point(0, a, " a", :magenta, :left, :top, delta=-delta/2)
point(0, r0, " r0", :gray, :left, :bottom, delta=delta/2)
vline!([0], color=:black, lw=0.5)
hline!([0], color=:black, lw=0.5)
else
plot!(showaxis=false)
end
end;
