算額（その589）

算額（その589）

長崎市 鎮西大社諏訪神社 明治20年(1887)
米光丁: 長崎県の和算の概説
http://hyonemitsu.web.fc2.com/Nagasakiwasan.pdf

問題 3. 外円内に甲円，乙円，丙円を入れる。甲円，乙円の直径が 20 寸，8 寸のとき，丙円の直径はいかほどか。

問では，外円内にある三角形が直角三角形であることは言及されていない。しかし答は直角三角形でなければ導けないので，ここでも直角三角形と仮定して答えを求める。直角三角形であるならば，斜辺は外円の中心を通る。

外円の半径と中心座標を R, (0, 0);  R = 2r1
甲円の半径と中心座標を r1, (x1, y1)
乙円の半径と中心座標を r2, (0, r2 - R)
丙円の半径と中心座標を r3, (r3 - R, 0)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy

@syms R::positive, r1::positive, r2::positive, r3::positive, x1::positive, y1::positive

R = 2r1
eq1 = 4*R^2 - ((2R - 4r2)^2 + (2R - 4r3)^2)
eq3 = x1^2 + y1^2 - (R - r1)^2
eq4 = y1/x1 * (2r2 - R)/(R - 2r3) + 1
res = solve([eq1, eq3, eq4], (r3, x1, y1))

   2-element Vector{Tuple{Sym, Sym, Sym}}:
    ((r1^3 + r1^2*sqrt(r2)*sqrt(2*r1 - r2) - 2*r1^2*r2 - 2*r1*r2^(3/2)*sqrt(2*r1 - r2) + r1*r2^2 + r2^(5/2)*sqrt(2*r1 - r2))/(r1 - r2)^2, -r1 + r2, sqrt(r2)*sqrt(2*r1 - r2))
    (r1 - sqrt(r2)*sqrt(2*r1 - r2), r1 - r2, sqrt(r2)*sqrt(2*r1 - r2))

2 組の解が得られるが，2番目のものが適解である。

丙円の半径は r1 - sqrt(r2)*sqrt(2*r1 - r2)

甲円，乙円の直径が 20 寸，8 寸のとき，丙円の直径は 4 寸である。

(r1, r2) = (20, 8) .// 2
2(r1 - sqrt(r2)*sqrt(2*r1 - r2))

   4.0

ちなみに，x1 = 6;  y1 = 8。

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (r1, r2) = (20, 8) .// 2
   (r3, x1, y1) = (r1 - sqrt(r2)*sqrt(2*r1 - r2), r1 - r2, sqrt(r2)*sqrt(2*r1 - r2))
   R = 2r1
   @printf("丙円の直径 = %g;  R = %g; r1 = %g;  r2 = %g;  r3 = %g; x1 = %g;  y1 = %g\n", 2r3, R, r1, r2, r3, x1, y1)
   plot([2r3 - R, R - 2r3, 2r3 - R, 2r3 - R], [2r2 - R, 2r2 - R, R - 2r2, 2r2 - R], color=:orange, lw=0.5)
   circle(0, 0, R)
   circle(x1, y1, r1, :magenta)
   circle(0, r2 - R, r2, :blue)
   circle(r3 - R, 0, r3, :green)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:black, lw=0.5)
       vline!([0], color=:black, lw=0.5)
       point(x1, y1, "甲円:r1,(x1,y1)", :magenta, :center, delta=-delta/2)
       point(0, r2 - R, "  乙円:r2,(0,r2-R)", :blue, :left, :vcenter)
       point(r3 - R, 0, "    丙円:r3,(r3-R,0)", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(2r3 - R, R - 2r2, "  (2r3-R,R-2r2)", :black, :left, :vcenter)
       
   end
end;

算額（その588）

算額（その588）

長崎市 鎮西大社諏訪神社 明治20年(1887)
米光丁: 長崎県の和算の概説
http://hyonemitsu.web.fc2.com/Nagasakiwasan.pdf

問題 2. 外円の内部に大円 1 個と，弧に挟まれた小円 6 個を入れる。弧を構成する円の半径は外円の半径と同じである。外円の直径が 40 寸のとき，大円の直径はいかほどか。

外円の半径と中心座標を R, (0, 0)
大円の半径と中心座標を r1, (0, 0)
小円の半径と中心座標を r2, (R - r2, 0)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy

@syms R::positive, r1::positive, r2::positive

eq1 = (1 - sqrt(Sym(3))/2)R - r2
eq2 = r1 - (R - 2r2)
res = solve([eq1, eq2], (r1, r2))
res |> println

   Dict{Any, Any}(r2 => -sqrt(3)*R/2 + R, r1 => -R + sqrt(3)*R)

大円の半径は，外円の半径の √3 - 1 倍である。
小円の半径は，外円の半径の 1 -　√3/2 倍である。

外円の直径が 40 寸のとき，大円の直径は 40(√3 - 1) = 29.282032302755088 寸である。

40(√3 - 1)

   29.282032302755088

using Plots

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   R = 40 // 2
   r1 = (√3 - 1)R
   r2 = (1 -　√3/2)R
   @printf("大円の直径 = %g;  R = %g; r1 = %g;  r2 = %g\n", 2r1, R, r1, r2)
   plot()
   circle(0, 0, R)
   circle(0, 0, r1, :magenta)
   rotate(r1 + r2, 0, r2, :green, angle=60)
   for i = 0:5
       circle(2(R - r2)*cosd(60i), 2(R - r2)*sind(60i), R, :blue, beginangle=150 + 60i, endangle=210 + 60i)
   end
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:black, lw=0.5)
       vline!([0], color=:black, lw=0.5)
       point(R, 0, " R", :red, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(r1, 0, "r1 ", :red, :right, :bottom, delta=delta/2)
       point(R - r2, 0, "R-r2", :red, :center, :bottom, delta=delta/2)
   end
end;

 

算額（その587）

算額（その587）

長崎市 鎮西大社諏訪神社 明治20年(1887)
米光丁: 長崎県の和算の概説
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問題 1. 外円内に正三角形，大円，小円が入っている。大円，小円の直径が 60 寸，48 寸のとき，外円の直径はいかほどか。

外円の半径と中心座標を R, (0, R)
大円の半径と中心座標を r1, (0, r1)
小円の半径と中心座標を r2, (0, r2)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy

@syms R::positive, r1::positive, r2::positive, x::positive

x = 2r2 - r1
eq = sqrt(r1^2 - x^2)/(2R - 2r2) - 1/sqrt(Sym(3))
res = solve(eq, R)
res |> println

   Sym[sqrt(3)*sqrt(r2)*sqrt(r1 - r2) + r2]

外円の半径は，sqrt(3)*sqrt(r2)*sqrt(r1 - r2) + r2 で求められる。
大円，中円の直径が 60 寸，48 寸のとき，外円の半径は 44.7846096908265 寸，直径は 89.5692193816530 寸である。

res[1](r1 => 60/2, r2 => 48/2).evalf() |> println
2res[1](r1 => 60/2, r2 => 48/2).evalf() |> println

   44.7846096908265
   89.5692193816530

算額の答えでは 89.568 寸としているが，外円の半径を小数点以下3桁まで求め（切り捨て）44.784 を 2 倍したのかもしれない。

using Plots

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (r1, r2) = (60, 48) .// 2
   R = sqrt(3)*sqrt(r2)*sqrt(r1 - r2) + r2
   @printf("外円の直径 = %g;  R = %g; r1 = %g;  r2 = %g\n", 2R, R, r1, r2)
   plot()
   circle(0, R, R)
   circle(0, r1, r1, :blue)
   circle(0, r2, r2, :green)
   x1 = sqrt(r1^2 - (2r2 - r1)^2)
   plot!([-x1, x1, 0, -x1], [2r2, 2r2, 2R, 2r2], color=:black, lw=0.5)
   x2 = (2R - 2r1)/√3
   segment(-x2, 2r1, x2, 2r1, :black)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:black, lw=0.5)
       vline!([0], color=:black, lw=0.5)
       point(0, 2R, " 2R", :red, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, 2r1, " 2r1", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, 2r2, " 2r2", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, R, " R", :red, :left, :vcenter)
       point(0, r1, " r1", :blue, :left, :vcenter)
       point(0, r2, " r2", :green, :left, :vcenter)
       point(x1, 2r2, "  (x1,2r2)", :black, :left, :vcenter)
       point(x2, 2r1, "  (x2,2r1)", :black, :left, :vcenter)
   end
end;