算額（その546）

算額（その546）

七十二 群馬県富岡市一ノ宮 貫前神社 嘉永2年(1849)
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.

群馬の算額 72−4 貫前神社 嘉永2年
http://takasakiwasan.web.fc2.com/gunnsann/g072-4.html

弧（弓形）の中に 2 本の斜線を入れ，各領域に 3 個の等円を入れる。弦の長さが 8 寸，矢の長さが 3 寸のとき，等円の直径はいかほどか。

弧を円の一部に含む円の半径と中心座標を R, (0, 0)
弦と y 軸の交点の座標を (0, y)
等円の半径と中心座標を r, (0, y + r), (x, y + r)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy

@syms R::positive, r::positive, x::positive, y::positive, a::positive, 矢::positive, 弦::positive

eq1 = y + 矢 - R
eq2 = sqrt(R^2 - y^2) - 弦/2
eq3 = x^2 + (y + r)^2 - (R - r)^2
eq4 = r/(矢 - r) - a/sqrt(矢^2 + a^2)
eq5 = distance(0, R, a, y, x, y + r) - r^2
eq5 = 2r/x - 矢/sqrt(矢^2 + a^2)
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4, eq5], (R, r, x, y, a));

7 組の解が得られるが，6 番目の解が適解である。

res[6]

   (弦^2/(8*矢) + 矢/2, 矢*sqrt(-2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2))/(sqrt(-2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)) + sqrt(2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2))), 弦*sqrt(-sqrt(-2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)) + sqrt(2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)))/(2*sqrt(sqrt(-2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)) + sqrt(2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)))), 弦^2/(8*矢) - 矢/2, sqrt(矢)*sqrt(-2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2))/2)

res[6][2] |> println

   矢*sqrt(-2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2))/(sqrt(-2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)) + sqrt(2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)))

SymPy では簡約化できないようなので，手動で簡約化する。
分母の有理化のために分子・分母に (sqrt(-2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)) - sqrt(2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2))) を掛ける。

num = numerator(res[6][2]) * (sqrt(-2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)) - sqrt(2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)));
den = denominator(res[6][2]) * (sqrt(-2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)) - sqrt(2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)));

num2 = num |> expand |> simplify
num2 |> println

   矢*(-弦 - 2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2))

den2 = den |> expand |> simplify
den2 |> println

   -4*矢

num2/den2 |> factor |> println

   -(-弦 - 2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2))/4

等円の半径は 「弦 + 2矢 - sqrt(弦^2 + 4*矢^2))/4」 である。

(矢, 弦) = (3, 8)
(弦 + 2矢 - sqrt(弦^2 + 4*矢^2))/4

   1.0

その他のパラメータは以下の通り。

   R = 4.16667;  r = 1;  x = 2.3094;  y = 1.16667;  a = 1.73205
   矢 = 3;  弦 = 4

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (矢, 弦) = (3, 8)
   (R, r, x, y, a) = (弦^2/(8*矢) + 矢/2, 矢*sqrt(-2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2))/(sqrt(-2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)) + sqrt(2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2))), 弦*sqrt(-sqrt(-2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)) + sqrt(2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)))/(2*sqrt(sqrt(-2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)) + sqrt(2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2)))), 弦^2/(8*矢) - 矢/2, sqrt(矢)*sqrt(-2*矢 + sqrt(弦^2 + 4*矢^2))/2)
   # (R, r, x, y, a) = [5, 1, 2.5, 2, 1.8]
   @printf("R = %g;  r = %g;  x = %g;  y = %g;  a = %g\n", R, r, x, y, a)
   @printf("矢 = %g;  弦 = %g\n", R - y, sqrt(R^2 - y^2))
   θ = atand(y, 弦/2)
   plot()
   circle(0, 0, R, beginangle=θ, endangle=181-θ)
   circle(0, y + r, r, :green)
   circle(x, y + r, r, :green)
   circle(-x, y + r, r, :green)
   plot!([-a, 0, a], [y, R, y], color=:magenta, lw=0.5)
   segment(-弦/2, y, 弦/2, y, :blue)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:black, lw=0.5)
       vline!([0], color=:black, lw=0.5)
       point(0, R, " R", :red, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, y, " y", :blue)
       point(弦/2, y, "(弦/2,y) ", :blue, :right, :top, delta=-delta/2)
       point(a, y, "(a,y) ", :blue, :center, :top, delta=-delta/2)
       point(0, y + r, " y+r", :green, :left, :vcenter)
       point(x, y + r, "(x,y+r)", :green, :center, :top, delta=-delta/2)
   end
end;

 

 

算額（その545）

算額（その545）

七十二 群馬県富岡市一ノ宮 貫前神社 嘉永2年(1849)
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.

群馬の算額 72−20 貫前神社 嘉永2年
http://takasakiwasan.web.fc2.com/gunnsann/g072−20.html

長方形の中に対角線と縦線を入れ，領域に大円と小円を入れる。大円，小円の直径がそれぞれ 12 寸，4 寸のとき，長方形の短辺の長さはいかほどか。

長方形の短辺，長辺の長さをそれぞれ a, bとする。
対角線と縦線の交点の座標を (2r1, c) とする。
大円の半径と中心座標を r1, (r1, r1)
小円の半径と中心座標を r2, (2r1 - r2, a - r2)
とおき，以下の方程式を解き a, b, c を求める。

include("julia-source.txt");

using SymPy

@syms a, b, c, r1, r2
(r1, r2) = (12, 4) .// 2
eq1 = a + b - sqrt(a^2 + b^2) - 2r1
eq2 = c/(b - 2r1) - a/b
eq3 = 2r1 + (a - c) - sqrt((2r1)^2 + (a - c)^2) - 2r2
res = solve([eq1, eq2, eq3], (a, b, c))

   2-element Vector{Tuple{Sym, Sym, Sym}}:
    (r2, 2*r1*(r1 - r2)/(2*r1 - r2), -r1*r2/(r1 - r2))
    (r1*(2*r1 - r2)/(r1 - r2), 2*r1^2/r2, 2*r1 - r2)

2 組の解が得られるが，2 番目の解が適解である。

長方形の短辺の長さは (r1*(2r1 - r2)/(r1 - r2) である。
大円，小円の直径がそれぞれ 12 寸，4 寸のとき，長方形の短辺の長さは 15 寸である。

r1 = 6
r2 = 2
r1*(2r1 - r2)/(r1 - r2)

   15.0

その他のパラメータは以下の通り。

   a = 15;  b = 36;  c = 10

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (r1, r2) = (12, 4) .// 2
   (a, b, c) = (r1*(2*r1 - r2)/(r1 - r2), 2*r1^2/r2, 2*r1 - r2)
   @printf("a = %g;  b = %g;  c = %g\n", a, b, c)
   plot([0, b, b, 0, 0], [0, 0, a, a, 0], color=:blue, lw=0.5)
   circle(r1, r1, r1)
   circle(2r1 - r2, a - r2, r2, :green)
   segment(2r1, 0, 2r1, a, :magenta)
   segment(0, a, b, 0, :magenta)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:black, lw=0.5)
       vline!([0], color=:black, lw=0.5)
       point(0, a, " a", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(b, 0, " b", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(2r1, c, " (2r1,c)", :magenta, :left, :bottom)
       point(r1, r1, "大円:r1,(r1,r1)", :red, :center, :top, delta=-delta/2)
       point(2r1 - r2, a - r2, "    小円:r2,(2r1-r2,a-r2)", :green, :left, :vcenter)
   end
end;

算額（その544）

算額（その544）

三十七 群馬県山田郡大間々町 神明宮 文政4年(1821)
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.

群馬の算額 37-1改 神明宮 文政4年(1821)
http://takasakiwasan.web.fc2.com/gunnsann/g037-1kai.html

岩手県奥州市 玉崎駒形神社 弘化5年(1848)
一関市博物館>>和算に挑戦>>令和5年度出題問題&解答例>>平成5年度出題問題(2)[中級問題]
https://www.city.ichinoseki.iwate.jp/museum/wasan/r5/normal.html

さいたま市緑区中野田 重殿社 明治14年(1881)
山口正義：やまぶき2，第39号
https://yamabukiwasan.sakura.ne.jp/ymbk39.pdf

八八 熊谷市下川上 愛染堂 明治15年(1882)
埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.

キーワード：円6個，外円

外円内に大円 2 個，中円 2 個，小円 1 個が入っている。外円，中円の直径が与えられたとき，小円の直径を求めよ。

外円の半径と中心座標を R, (0, 0)
大円の半径と中心座標を r1, (R - r1, 0)
中円の半径と中心座標を r2, (0, R - r2)
小円の半径と中心座標を r3, (0, 0)
とおき，以下の連立方程式を r1, r3 について解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy

@syms R, r1, r2, r3
eq1 = (R - r1)^2 + (R - r2)^2 - (r1 + r2)^2
eq2 = R - 2r1 + r3
res = solve([eq1, eq2], (r1, r3))

   Dict{Any, Any} with 2 entries:
     r1 => (R^2 - R*r2)/(R + r2)
     r3 => (R^2 - 3*R*r2)/(R + r2)

外円，中円の直径がそれぞれ 12 寸，3 寸のとき，大円，小円の直径はそれぞれ 7 寸 2 分，2 寸 4 分である。

2res[r1](R => 12//2, r2 =>3//2).evalf(), 2res[r3](R => 12//2, r2 =>3//2).evalf()

   (7.20000000000000, 2.40000000000000)

その他のパラメータは以下の通り。

   R = 6;  r2 = 1.5;  r1 = 3.6;  r3 = 1.2;  大円の直径 = 7.2;  小円の直径 = 2.4

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (R, r2) = (12, 3) .// 2
   (r1, r3) = ((R^2 - R*r2)/(R + r2), (R^2 - 3*R*r2)/(R + r2))
   @printf("R = %g;  r2 = %g;  r1 = %g;  r3 = %g;  大円の直径 = %g;  小円の直径 = %g\n", R, r2, r1, r3, 2r1, 2r3)
   plot()
   circle(0, 0, R)
   circle(R - r1, 0, r1, :blue)
   circle(r1 - R, 0, r1, :blue)
   circle(0, R - r2, r2, :green)
   circle(0, r2 - R, r2, :green)
   circle(0, 0, r3, :orange)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:black, lw=0.5)
       vline!([0], color=:black, lw=0.5)
       point(R, 0, "R ", :red, :right, :bottom, delta=delta/2)
       point(R - r1, 0, "大円:r1,(R-r1, 0)", :blue, :left, :top, delta=-delta/2)
       point(0, R - r2, " 中円:r2,(0,R-r2)", :green, :left, :vcenter)
       point(0, 0, " 小円:r3,(0,0)", :black, :left, :bottom, delta=delta)
   end
end;