算額(その1027)
二十三 一関市萩荘字八幡 達小袋八幡神社 弘化3年(1840)
山村善夫:現存 岩手の算額,昭和52年1月30日,熊谷印刷,盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html
大円の中に中円,乙円,小円を 3 個ずつと中央に甲円を 1 個入れる。中円の直径が与えられたとき,大円の直径を求めよ。
注:「問」では「小円及び甲乙円各三個容れる」とあるが,図では「甲」はなく,「小」が 4 個描かれている。中央にあるのが甲で(当然1個しかない),それ以外の小円が「小」である。また,図では中円は接していないように描かれているが,実際には接している。
大円の半径と中心座標を R, (0, 0)
中円の半径と中心座標を r1, (x1, y1); x1 = (R - r1)*√3/2; y1= (R - r1)/2
甲円の半径と中心座標を R - 2r1, (0, 0)
乙円の半径と中心座標を r2, (0, R - r2)
小円の半径と中心座標を r3, (0, R - 2r2 - r3)
とおき,以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt");
using SymPy
@syms R::positive, r1::positive,
r2::positive, x2::positive, y2::positive,
r3::positive, y3::positive
x1 = (R - r1)*√Sym(3)/2
y1 = (R - r1)/2
eq1 = x1 - r1
eq2 = x1^2 + (R - r2 - y1)^2 - (r1 + r2)^2
eq3 = x1^2 + (R - 2r2 - r3 - y1)^2 - (r1 + r3)^2
solve([eq1, eq2, eq3], (R, r2, r3))
1-element Vector{Tuple{Sym{PyCall.PyObject}, Sym{PyCall.PyObject}, Sym{PyCall.PyObject}}}:
(r1*(3 + 2*sqrt(3))/3, 4*sqrt(3)*r1/33 + 3*r1/11, 6*sqrt(3)*r1/253 + 19*r1/253)
大円の半径は,中円の半径の (3 + 2√3)/3 倍である。
中円の直径が 181 のとき,大円の半径は 390.0007974466445 である。
その他のパラメータは以下のとおりである。
r1 = 90.5; R = 195; r2 = 43.6819; r3 = 10.5138
181*(3 + 2√3)/3
390.0007974466445
function draw(more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
r1 = 181/2
(R, r2, r3) = r1 .* ((3 + 2√3)/3, (4√3 + 9)/33, (6√3 + 19)/253)
x1 = (R - r1)*√3/2
y1 = (R - r1)/2
@printf("中円の直径が %g のとき,大円の直径は %g である。\n", 2r1, 2R)
@printf("r1 = %g; R = %g; r2 = %g; r3 = %g\n", r1, R, r2, r3)
plot()
circle(0, 0, R, :blue)
circle(0, 0, R - 2r1, :green)
rotate(0, r1 - R, r1)
rotate(0, R - r2, r2, :orange)
rotate(0, R - 2r2 - r3, r3, :purple)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(x1, y1, "中円:r1,(x1,y1)", :red, :center, delta=-delta/2)
point(0, R - 2r2 - r3, " 小円:r3,(0,R-2r2-r3)", :purple, :left, :vcenter)
point(0, 0, " 甲円:R-2r1,(0,0)", :green, :left, :vcenter)
point(0, R - r2, " 乙円:r2,(0,R-r2)", :orange, :left, :vcenter)
point(0, R, " R", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
end
end;
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