算額（その1027）

算額（その1027）

二十三 一関市萩荘字八幡 達小袋八幡神社 弘化3年(1840)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html

大円の中に中円，乙円，小円を 3 個ずつと中央に甲円を 1 個入れる。中円の直径が与えられたとき，大円の直径を求めよ。

注：「問」では「小円及び甲乙円各三個容れる」とあるが，図では「甲」はなく，「小」が 4 個描かれている。中央にあるのが甲で（当然1個しかない），それ以外の小円が「小」である。また，図では中円は接していないように描かれているが，実際には接している。

大円の半径と中心座標を R, (0, 0)
中円の半径と中心座標を r1, (x1, y1); x1 = (R - r1)*√3/2; y1= (R - r1)/2
甲円の半径と中心座標を R - 2r1, (0, 0)
乙円の半径と中心座標を r2, (0, R - r2)
小円の半径と中心座標を r3, (0, R - 2r2 - r3)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms R::positive, r1::positive,
     r2::positive, x2::positive, y2::positive,
     r3::positive, y3::positive
x1 = (R - r1)*√Sym(3)/2
y1 = (R - r1)/2
eq1 = x1 - r1
eq2 = x1^2 + (R - r2 - y1)^2 - (r1 + r2)^2
eq3 = x1^2 + (R - 2r2 - r3 - y1)^2 - (r1 + r3)^2
solve([eq1, eq2, eq3], (R, r2, r3))

   1-element Vector{Tuple{Sym{PyCall.PyObject}, Sym{PyCall.PyObject}, Sym{PyCall.PyObject}}}:
    (r1*(3 + 2*sqrt(3))/3, 4*sqrt(3)*r1/33 + 3*r1/11, 6*sqrt(3)*r1/253 + 19*r1/253)

大円の半径は，中円の半径の (3 + 2√3)/3 倍である。
中円の直径が 181 のとき，大円の半径は 390.0007974466445 である。

その他のパラメータは以下のとおりである。
r1 = 90.5;  R = 195;  r2 = 43.6819;  r3 = 10.5138

181*(3 + 2√3)/3

   390.0007974466445

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r1 = 181/2
   (R, r2, r3) = r1 .* ((3 + 2√3)/3, (4√3 + 9)/33, (6√3 + 19)/253)
   x1 = (R - r1)*√3/2
   y1 = (R - r1)/2
   @printf("中円の直径が %g のとき，大円の直径は %g である。\n", 2r1, 2R)
   @printf("r1 = %g;  R = %g;  r2 = %g;  r3 = %g\n", r1, R, r2, r3)
   plot()
   circle(0, 0, R, :blue)
   circle(0, 0, R - 2r1, :green)
   rotate(0, r1 - R, r1)
   rotate(0, R - r2, r2, :orange)
   rotate(0, R - 2r2 - r3, r3, :purple)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(x1, y1, "中円:r1,(x1,y1)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(0, R - 2r2 - r3, "  小円:r3,(0,R-2r2-r3)", :purple, :left, :vcenter)
       point(0, 0, "   甲円:R-2r1,(0,0)", :green, :left, :vcenter)
       point(0, R - r2, "  乙円:r2,(0,R-r2)", :orange, :left, :vcenter)
       point(0, R, " R", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
   end
end;