算額(その497)
埼玉県さいたま市中央区円阿弥 日枝神社 慶応2年(1866) 正野友三郎一門奉納の算額
与野郷土資料館 展示Web解説(その21)
https://www.city.saitama.jp/004/005/004/005/yono/yonokyodo_tenjikaisetsu/p078011.html
外円の中に2個の三角形と甲円が 2 個,乙円が 6 個入っている。乙円の直径が 1 寸のとき,甲円の直径はいかほどか。
外円の半径と中心座標を r0, (0, 0)
甲円の半径と中心座標を r1, (0, r2 + r1)
乙円の半径と中心座標を r2, (x2, y2), (r0 - r2, 0)
とおき,以下の連立方程式を解く。
ただし,一度に解くと solve() の能力的に解けないことと,数値解を求める場合にも収束が不安定になるので,まずは外円と甲円の r0, r1 を先に求める。
include("julia-source.txt");
using SymPy
@syms r0::positive, r1, r2, x2, y2;
x = sqrt(r0^2 - r2^2)
eq1 = r0*x - (r0 - 2r2)sqrt(x^2 + (r0 - r2)^2)
eq2 = (sqrt(r0^2 - r2^2) + sqrt(r0^2 - r2^2 + (r0 - r2)^2))r1 - sqrt(r0^2 - r2^2)*(r0 - r2);
res1 = solve([eq1, eq2], (r0, r1))
2-element Vector{Tuple{Sym, Sym}}:
(r2, r1)
(8*r2, 3*r2)
解は 2 通り求まるが 2 番目のものが適解である。
すなわち,外円の半径は乙円の半径の 8 倍,甲円の半径は乙円の半径の 3 倍である。
乙円の直径が 1 寸のとき,外円の直径は 8 寸,甲円の直径は 3 寸である。
算額の問の答えとしては以上で十分であるが,図形を描くために右上にある乙円の中心座標を求める。
@syms r0, r1, r2, x2, y2;
(r0, r1) = (8r2, 3r2)
eq3 = y2*r0/(x2*sqrt(r0^2 - r2^2)) - 1
eq4 = x2^2 + y2^2 - (r0 - r2)^2
res2 = solve([eq3, eq4], (x2, y2))
2-element Vector{Tuple{Sym, Sym}}:
(-56*sqrt(127)*r2^2/(127*sqrt(r2^2)), -21*sqrt(889)*r2/127)
(56*sqrt(127)*r2^2/(127*sqrt(r2^2)), 21*sqrt(889)*r2/127)
解は 2 通り求まるが 2 番目のものが適解である。
乙円の直径が 1 寸のとき,
甲円の直径 = 3; 外円の直径 = 8
r0 = 4; r1 = 1.5; r2 = 0.5; x2 = 2.4846; y2 = 2.46511 である。
using Plots
function draw(r2, more)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
(r0, r1) = (8*r2, 3*r2)
(x2, y2) = (56*sqrt(127)*r2^2/(127*sqrt(r2^2)), 21*sqrt(889)*r2/127)
@printf("甲円の直径 = %g; 外円の直径 = %g; r0 = %g; r1 = %g; r2 = %g; x2 = %g; y2 = %g\n",
2r1, 2r0, r0, r1, r2, x2, y2)
x = sqrt(r0^2 - r2^2)
plot([x, 0, -x, x], [r2, r0, r2, r2], color=:red, lw=0.5)
plot!([x, 0, -x, x], -[r2, r0, r2, r2], color=:red, lw=0.5)
circle(0, 0, r0, :gray)
circle(0, r2 + r1, r1, :blue)
circle(0, -r2 - r1, r1, :blue)
circle4(x2, y2, r2, :green)
circle(r0 - r2, 0, r2, :green)
circle(r2 - r0, 0, r2, :green)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:black, lw=0.5)
vline!([0], color=:black, lw=0.5)
point(0, r2 + r1, " 甲円:r1\n (0,r2+r1)", :blue, :left, :vcenter)
point(x2, y2, "乙円:r2,(x2,y2)", :green, :center, :bottom, delta=delta/2)
point(r0 - r2, 0, "r0-r2", :green, :center, :bottom, delta=delta/2)
point(r0, 0, " r0", :black, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(r0, 0, " r0", :black, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(x, r2, "(√(r0^2-r2^2),r2) ", :red, :right, :bottom, delta=delta/2)
point(0, r2, " r2", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
else
plot!(showaxis=false)
end
end;
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