算額（その890）

算額（その890）

改訂版：2024/09/02

七〇 加須市大字外野 棘脱地蔵堂 明治6年(1873)
埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.
キーワード：円7個，外円，円弧

外円内に円弧 6 個と等円 6 個を入れる。外円の直径が 3 寸のとき，等円の直径はいかほどか。

円弧の半径は外円の半径と同じ。また，等円の中心は正六角形を構成する。
外円の半径と中心座標を R, (0, 0)
等円の半径と中心座標を r, (x, y); 第1象限に中心がある等円
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms R::positive, r::positive, x::positive, y::positive
y = R/2  # R*sin(PI/6)
eq1 = x^2 + y^2 - (R - r)^2  # 等円が外円に内接する
eq2 = R*(1 - cos(PI/6)) +  r - x  # 等円の中心の x 座標
res = solve([eq1, eq2], (r, x))[1];

等円の半径 r は 外円の半径 R の (3√3 - 1)/13 倍である。

res[1] |> factor |> println

    R*(-1 + 3*sqrt(3))/13

外円の直径が 3 寸のとき，等円の直径は 3(3√3 - 1)/13 = 0.9683428667784535 である。

3*(3√3 - 1)/13

    0.9683428667784535

「術」には，「置二十四個開平方一個減以除十三個乗外円径」とあるが，数式は「外円直径 × (√24 - 1)/13」であるが，「置二十四個」ではなく「置二十七個」の誤り（誤記?）で，「外円直径 × (√27 - 1)/13 = 外円直径 × (3√3 - 1)/13」となり，前述の式と一致する。
なお，「答」は，この修正のあとでも一致しない。

等円の中心の y 座標は y = R\*sin(π/6) = R/2 であるが，x 座標は x = R\*(24 - 7√3)/26 である。

res[2] |> factor |> println

  -R*(-24 + 7*sqrt(3))/26

function draw(R)
    pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
    y = R/2  # R*sind(30)
    r = R*(3√3 - 1)/13
    x = R*(24 - 7√3)/26
    @printf("外円の直径 = %g;  等円の直径 = %g\n", 2R, 2r)
    plot()
    delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
    dimension_line(0, 0, x, y, "R-r", :gray70, deltax=15delta, delta=5delta)
    point(0,0)
    hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
    vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
    x0 = R*cosd(30)
    y0 = R*sind(30)
    segment(-x0, y0, x0, y0, :gray70, linestyle=:dashdot)
    circle(0, 0, R, :green)
    rotate(x, y, r, angle=60)
    for θ = 30:60:330
        circle(R*cosd(θ), R*sind(θ), R, :blue, beginangle=180 + θ, endangle=240 + θ)
    end
    point(x, y, "(x,y)", :red, :center, :bottom, delta=delta)
    point(0, R, "R", :green, :center, :bottom, delta=delta)
end;

draw(3/2)