算額（その684）

算額（その684）

和算問題あれこれ 2 令和5年2月の問題-No.2（茨城県 板橋不動願成寺）
https://gunmawasan.web.fc2.com/k-n-mondai.html

正三角形の中に，大円，中円，小円が入っており，中円と小円の共通接線となる斜線がある。
小円の直径が 9 寸のとき，中円の直径を求めよ。

正三角形の左の頂点を原点とする
正三角形の一辺の長さを a
大円の半径と中心座標を r1, (a/2, r1); r1 = √3*a/6
中円の半径と中心座標を r2, (a/2, 2r1 + r2)
小円の半径と中心座標を r3, (x3, y3)
斜線と正三角形の交点座標を (x1, y1) 
とおき，以下の連立方程式を解く。

(1)　まず，正三角形の一辺の長さ a と，大円，中円の半径 r1, r2 の関連を知る。

include("julia-source.txt");
# julia-source.txt ソース　https://blog.goo.ne.jp/r-de-r/e/ad3a427b84bb416c4f5b73089ae813cf

using SymPy
@syms a::positive, r1::positive, r2::positive

sqrt3 = sqrt(Sym(3))
eq1 = (sqrt3*a/2 - r1)/2 - r1
eq2 = (sqrt3*a/2 - 2r1 - r2)/2 - r2
solve([eq1, eq2], (r1, r2))

   Dict{Any, Any} with 2 entries:
     r1 => sqrt(3)*a/6
     r2 => sqrt(3)*a/18

(2)　次に，小円の半径がわかっているので，小円の中心座標 (x3, y3) と正三角形の一辺の長さ a を求める

@syms a::positive, r1::positive, r2::positive,
     r3::positive, x3::positive, y3::positive,
     x1::positive
y1 = sqrt3*(a - x1)
r1 = sqrt3*a/6
r2 = r1/3
r3 = 9//2

eq3 = (a/2 - x3)^2 + (sqrt3*a/6 - y3)^2 - (r1 + r3)^2
eq5 = y3*a/2 - (2r1 + r2)*x3
eq6 = (a/2 - 2sqrt(r1*r3))*r2 - (a/2 +  2sqrt(r1*r2))*(9//2);

res = solve([eq3, eq5, eq6], (a, x3, y3))

   2-element Vector{Tuple{Sym, Sym, Sym}}:
    (75*sqrt(3), 27*sqrt(3)/2, 63/2)
    (75*sqrt(3), 1287*sqrt(3)/38, 3003/38)

2 組の解が得られるが，最初のものが適解である。

(3)　最後に斜線と正三角形の交点座標 (x1, y1) を求める。

@syms a::positive, r1::positive, r2::positive,
     r3::positive, x3::positive, y3::positive,
     x1::positive
(a, x3, y3) = (75*sqrt3, 27*sqrt3/2, 63//2)
y1 = sqrt3*(a - x1)
(r1, r2, r3) = (sqrt3*a/6, sqrt3*a/18, 9//2)
eq4 = dist(0, 0, x1, y1, a/2, 2r1 + r2) - r2^2
res2 = solve(eq4)
res2 |> println

   Sym[75*sqrt(3)/2, 325*sqrt(3)/7]

2番目のものが適解である。x1 = 325√3/7 = 80.4166446371264

x1 = res2[2].evalf()
x1 |> println

   80.4166446371264

y 座標値は y1 = √3(a - x1) = 85.7142857142857

y1 = √3(a - x1).evalf()
y1 |> println

   85.7142857142857

以上のパラメータをまとめると以下のようになる。

   中円の直径 = 25;  a = 129.904;  r1 = 37.5;  r2 = 12.5;  r3 = 4.5;  x3 = 23.3827;  y3 = 31.5;  x1 = 80.4166;  y1 = 85.7143

using Plots

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   sqrt3 = √3
   (a, x3, y3) = (75√3, 27√3/2, 63/2)
   (r1, r2, r3) = (√3a/6, √3a/18, 9/2)
   x1 = 325*sqrt(3)/7
   y1 = sqrt3*(a - x1)
   @printf("中円の直径 = %.15g;  a = %g;  r1 = %g;  r2 = %g;  r3 = %g;  x3 = %g;  y3 = %g;  x1 = %g;  y1 = %g\n",
       2r2, a, r1, r2, r3, x3, y3, x1, y1)
   plot([0, a, a/2, 0], [0, 0, sqrt3*a/2, 0], color=:black, lw=0.5)
   circle(a/2, r1, r1)
   circle(a/2, 2r1 + r2, r2, :blue)
   circle(x3, y3, r3, :green)
   segment(0, 0, x1, y1, :orange)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       vline!([0], color=:black, lw=0.5)
       hline!([0], color=:black, lw=0.5)
       point(a/2, r1, "大円:r1,(a/2,r1)", :red, :center, delta=-delta)
       point(a/2, 2r1 + r2, "中円:r2,(a/2,2r1+r2) ", :blue, :right, :vcenter)
       point(x3, y3, " 小円:r3,(x3,y3)", :blue, :left, :top, delta=-2delta)
       point(a, 0, " a", :black, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(a/2, 0, "a/2", :black, :center, :bottom, delta=delta/2)
       point(a/2, √3a/2, "(a/2,√3a/2)", :black, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(x1, y1, " (x1,y1)", :black, :left, :vcenter)
   end
end;