（01）
問題 次の報告から確実に正しいと言えることには〇を、そうでないないものには✕を、左側の空欄に記入して下さい。
公園に子どもたちが集まっています。
男の子も女の子もいます。
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。そして、
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１８２頁）。
正しいのは（１）のみです。
― 中略 ―
この問題の正解率は６４.５％でした。入試で問われるスキルは何一つ問うていないのに、
国立Ｓクラスでは８５％が正当した一方、私大Ｂ、Ｃクラスでは正当率が５割を切りました。
では、多くの高校生が憧れる私大Ｓクラスではどうだったか。国立Ｓクラスに比べて２０ポイントも低い６６.８％に留まりました。
どこの大学に入学できるかは、学習量でも知識でも運でもない、論理的な読解と推論の力ではないのか、６０００枚の答案をみているうちに、私は確信するようになりました。
（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１８２頁）。
然るに、
（02）
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。そして、
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
という「日本語」は、それぞれ、
（α）すべてのｘについて（ｘが帽子をかぶっていないならば、ｘは女子である）。
（β）（スニーカーを履いているｘであって、そのうえ、男子であるｘ）は存在しない。
（１）すべてのｘについて（ｘが男子ならば、ｘは帽子をかぶっている）。
（２）（帽子をかぶっているｘであって、そのうえ、女子であるｘ）は存在しない。
（３）（帽子をかぶっていて、その上、スニーカーを履いているｘ）は存在しない。
という「意味」である。
然るに、
（03）
（α）すべてのｘについて（ｘが帽子をかぶっていないならば、ｘは女子である）。
（β）（スニーカーを履いているｘであって、そのうえ、男子であるｘ）は存在しない。
（１）すべてのｘについて（ｘが男子ならば、ｘは帽子をかぶっている）。
（２）（帽子をかぶっているｘであって、そのうえ、女子であるｘ）は存在しない。
（３）（帽子をかぶっていて、その上、スニーカーを履いているｘ）は存在しない。
という「日本語」は、
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）。
（β）～∃ｘ（スニｘ＆ 男子ｘ）。
（１） ∀ｘ（男子ｘ→ 帽子ｘ）。
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆ 女子ｘ）。
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆ スニｘ）。
という「述語論理式」に「相当」する。
従って、
（02）（03）により、
（04）
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
という「日本語」は、それぞれ、
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）。
（β）～∃ｘ（スニｘ＆ 男子ｘ）。
（１） ∀ｘ（男子ｘ→ 帽子ｘ）。
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆ 女子ｘ）。
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆ スニｘ）。
という「述語論理式」に「相当」する。
然るに、
（05）
（Γ） ∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ）
（〃）∀ｘ｛（男子ｘ→～女子ｘ）＆（～女子ｘ→男子ｘ）｝
（〃）男子ならば、そのときに限って、女子ではない。
という「命題」を、「公理」とする。
然るに、
（06）
「結論」を先に言うと、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
に於いて、
（α）と（１）は「対偶」であり、
（１）と（２）は「 逆 」であり、
（１）と（３）も「 逆 」であり、そのため、
（１）〇
（２）✕
（３）✕
然るに、
（07）
（α）
１ （１）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ） Ａ
１ （２） ～帽子ａ→女子ａ １ＵＥ
（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ＵＥ
（５） 男子ａ→～女子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６（６） 男子ａ Ａ
６（７） ～女子ａ ５６ＭＰＰ
１６（８） ～～帽子ａ １７ＭＰＰ
１６（９） 帽子ａ ８ＤＮ
１ （ア） 男子ａ→帽子ａ ６９ＣＰ
１ （イ） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ） アＵＩ
（１）
１ （１）∀ｘ（男子ｘ→ 帽子ｘ） Ａ
１ （２） 男子ａ→ 帽子ａ １ＵＥ
（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ＵＥ
（５） ～女子ａ→男子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６（６） ～帽子ａ Ａ
１６（７） ～男子ａ ２６ＭＴＴ
１６（８） ～～女子ａ ５７ＭＴＴ
１６（９） 女子ａ ８ＤＮ
１ （ア） ～帽子ａ→女子ａ ６９ＣＰ
１ （イ）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ） アＵＩ
従って、
（04）（07）により、
（08）
（α）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（１）∀ｘ（男子ｘ→ 帽子ｘ）
に於いて、すなわち、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です（男の子ではない）。
（１）男の子（女の子でない子ども）はみんな帽子をかぶっている。
に於いて、
（α）と（１）は「対偶」であり、それ故、
（α）と（１）は「等しい」。
然るに、
（09）
（２）
１ （１）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ） Ａ
１ （２）∀ｘ～（帽子ｘ＆女子ｘ） １量化子の関係
１ （３） ～（帽子ａ＆女子ａ） １ＵＥ
１ （４） ～帽子ａ∨～女子ａ ３ド・モルガンの法則
１ （５） 帽子ａ→～女子ａ ４含意の定義
（６）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（７） 男子ａ⇔～女子ａ ６ＵＥ
（８） ～女子ａ→男子ａ ７＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
９（９） 帽子ａ Ａ
１９（ア） ～女子ａ ５９ＭＰＰ
１９（イ） 男子ａ ８アＭＰＰ
１ （ウ） 帽子ａ→ 男子ａ ９イＣＰ
１ （エ）∀ｘ（帽子ｘ→ 男子ｘ） ウＵＩ
（Ⅱ）
１ （１）∀ｘ（帽子ｘ→ 男子ｘ） Ａ
１ （２） 帽子ａ→ 男子ａ １ＵＥ
（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ３ＵＥ
（５） 男子ａ→～女子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６（６） 帽子ａ Ａ
１６（７） 男子ａ ２６ＭＰＰ
１６（８） ～女子ａ ５７ＭＰＰ
１ （９） 帽子ａ→～女子ａ ６８ＣＰ
１ （ア） ～帽子ａ∨～女子ａ ９含意の定義
１ （イ） ～（帽子ａ＆女子ａ） ア、ド・モルガンの法則
１ （ウ）∀ｘ～（帽子ｘ＆女子ｘ） イＵＩ
１ （エ）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ） ウ量化子の関係
従って、
（09）により、
（10）
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）
（Ⅱ） ∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
に於いて、
（２）＝（Ⅱ） である。
従って、
（11）
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）
（Ⅱ） ∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
（１） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
に於いて、
（２）＝（Ⅱ）であって、
（Ⅱ）は（１）の「逆」であるが、「逆は必ずしも、〇（真）ではない」。
従って、
（04）（11）により、
（12）
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
に於いて、 （２）は（１）の「逆」であるが、「逆は必ずしも、〇（真）ではない」。
然るに、
（13）
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
１ （１）～∃ｘ（スニｘ＆男子ｘ） Ａ
１ （２）∀ｘ～（スニｘ＆男子ｘ） １量化子の関係
１ （３） ～（スニａ＆男子ａ） １ＵＥ
１ （４） ～スニａ∨～男子ａ ３ド・モルガンの法則
１ （５） スニａ→～男子ａ ４含意の定義
（６）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（７） 男子ａ⇔～女子ａ ６ＵＥ
（８） ～男子ａ→ 女子ａ ７＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
９（９） スニａ Ａ
１９（ア） ～男子ａ ５９ＭＰＰ
１９（イ） 女子ａ ８アＭＰＰ
１ （ウ） スニａ→ 女子ａ ９イＣＰ
１ （エ）∀ｘ（スニｘ→ 女子ｘ） ウＵＩ
（Ｂ）スニーカーを履いている子は、みんな女子です。
１ （１）∀ｘ（スニｘ→ 女子ｘ） Ａ
１ （２） スニａ→ 女子ａ １ＵＩ
（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ３ＵＥ
（５） 男子ａ→～女子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６ （６） 女子ａ Ａ
６ （７） ～～女子ａ ６ＤＮ
６ （８） ～男子ａ ５７ＭＴＴ
（９） 女子ａ→～男子ａ ６８ＣＰ
ア（ア） スニａ Ａ
１ ア（イ） 女子ａ ２アＭＰＰ
１ ア（ウ） ～男子ａ ９イＭＰＰ
１ （エ） スニａ→～男子ａ アウＣＰ
１ （オ） ～スニａ∨～男子ａ エ含意の定義
１ （カ） ～（スニａ＆男子ａ） オ、ド・モルガンの法則
１ （キ）∀ｘ～（スニｘ＆男子ｘ） カＵＩ
１ （ク）～∃ｘ（スニｘ＆男子ｘ） キ、量化子の関係
従って、
（13）により、
（14）
（β）～∃ｘ（スニｘ＆男子ｘ）
（Ｂ） ∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
に於いて、すなわち、
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（Ｂ）スニーカーを履いている子は、みんな女子です。
に於いて、
（β）＝（Ｂ）である。
然るに、
（15）
（Ｂ）スニーカーを履いている子は、みんな女子です。
というのであれば、
（３）帽子をかぶっていて、しかも「スニーカーを履いている子ども」は一人もいない。
ということは、
（３）帽子をかぶっていて、しかも「女の子である子ども」は一人もいない。
ということに、「他ならない」。
然るに、
（16）
一々、「計算」はしないものの、
（３）帽子をかぶっていて、しかも「女の子である子ども」は一人もいない。
ということは、
（Ⅱ）帽子をかぶっている子はみんな男の子です。
（〃）∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
ということに、「他ならない」。
従って、
（12）～（16）により、
（17）
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
に於いて、 （２）は（１）の「逆」であるが、「逆は必ずしも、〇（真）ではない」。
というだけでなく、
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（３）帽子をかぶっていて、しかも「スニーカーを履いている子ども」は一人もいない。
（３）は（１）の「逆」であるが、「逆は必ずしも、〇（真）ではない」。
従って、
（04）（05）（06）（17）により、
（18）
もう一度、確認すると、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（Γ）男子ならば、そのときに限って、女子ではない。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
という「日本語」は、それぞれ、
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）。
（β）～∃ｘ（スニｘ＆ 男子ｘ）。
（Γ） ∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ）。
（１） ∀ｘ（男子ｘ→ 帽子ｘ）。
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆ 女子ｘ）。
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆ スニｘ）。
という「述語論理式」に「相当」し、それ故、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
に於いて、
（α）と（１）は「対偶」であり、
（１）と（２）は「 逆 」であり、
（１）と（３）も「 逆 」であり、そのため、
（１）〇
（２）✕
（３）✕
である。
（01）（18）により、
（19）
問題 次の報告から確実に正しいと言えることには〇を、そうでないないものには✕を、左側の空欄に記入して下さい。
公園に子どもたちが集まっています。
男の子も女の子もいます。
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。そして、
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１８２頁）。
正しいのは（１）のみです。
といふ「問題」は、「述語論理」によって、「解答」可能である。
然るに、
（20）
（述語）論理式にはこれまで述べたように、厳密な（形式的な）意味論が与えられるから、自然言語文も、翻訳を介して意味論に法っとった解釈が与えられ、したがって、間接的であるが、自然言語に意味論が与えられることになる（長尾真・淵一博、論理と意味、1983年、１６７頁）。
（21）
さて、統計的な手法が登場する以前、自然言語処理の技術を使う自動翻訳や質疑応答の分野では、研究者たちはＡＩに文法などの言葉のルールを覚えさせ、論理的、演繹的な手法で精度を上げようとしました。けれど、その手法は何度試みても失敗を繰り返しました（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１２４頁）。
従って、
（19）（20）（21）により、
（22）
問題 次の報告から確実に正しいと言えることには〇を、そうでないないものには✕を、左側の空欄に記入して下さい。
公園に子どもたちが集まっています。
というような「問題」を、「生成ＡＩ」は、「（述語）論理式」を用いて、「解答」することは、出来ない。
（01）
問題 次の報告から確実に正しいと言えることには〇を、そうでないないものには✕を、左側の空欄に記入して下さい。
公園に子どもたちが集まっています。
男の子も女の子もいます。
帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。そして、
スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
正しいのは（１）のみです。
（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１８２頁）。
従って、
（01）により、
（02）
「教科書が読めない子供たち」によると、
（ⅰ）帽子をかぶっていないならば、女子である。従って、
（ⅱ）男子であるならば、帽子をかぶっている。
という『推論』は、「妥当」である。
然るに、
（03）
１ （１） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ） Ａ
２ （２） ∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ） Ａ
３ （３） ～∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ） Ａ
１ （４） ～帽子ａ→女子ａ １ＵＥ
２ （５） 女子ａ→～男子ａ ２ＵＥ
３ （６） ∃ｘ～（男子ｘ→帽子ｘ） ３量化子の関係
７（７） ～（男子ａ→帽子ａ） Ａ
７（８） ～（～男子ａ∨帽子ａ） ７含意の定義
７（９） 男子ａ＆～帽子ａ ８ド・モルガンの法則
７（ア） ～帽子ａ ９＆Ｅ
１ ７（イ） 女子ａ ４アＭＰＰ
１２ ７（ウ） ～男子ａ ５イＭＰＰ
１２ ７（エ） 男子ａ ９＆Ｅ
１２ ７（オ） 男子ａ＆～男子ａ イウ＆Ｉ
１ ７（カ）～∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ） ２オＲＡＡ
１ ３ （キ）～∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ） ３７カＥＥ
１２３ （ク）～∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ）＆
∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ） ２キ＆Ｉ
１２ （ケ）～～∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ） ３クＲＡＡ
１２ （コ） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ） ケＤＮ
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）。然るに、
（ⅱ）∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ）。従って、
（ⅲ） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）。
という『推論』、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘが帽子をかぶっていないならば、ｘは女子である）。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて（ｘが女子であるならば、ｘは男子ではない）。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが男子であるならば、ｘは帽子をかぶっている）。
という『推論』、すなはち、
（ⅰ）帽子をかぶっていないならば、女子である。然るに、
（ⅱ）女子であるならば、男子ではない。従って、
（ⅲ）男子であるならば、帽子をかぶっている。
という『推論』は、「妥当」である。
従って、
（04）により、
（05）
「述語論理」からすれば、
（ⅰ）帽子をかぶっていないならば、女子である。然るに、
（ⅱ）女子であるならば、男子ではない。従って、
（ⅲ）男子であるならば、帽子をかぶっている。
という『推論』は、「妥当」であるが、
（ⅰ）帽子をかぶっていないならば、女子である。従って、
（ⅲ）男子であるならば、帽子をかぶっている。
という『推論』は、「妥当」ではない。
従って、
（02）（05）により、
（06）
「述語論理」からすれば、
「ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年」による、
（ⅰ）帽子をかぶっていないならば、女子である。従って、
（ⅱ）男子であるならば、帽子をかぶっている。
という『推論』は、
（ⅱ）女子であるならば、男子ではない。
という「前提」が、「省略」されているため、「妥当」ではない。
従って、
（06）により、
（07）
「ＡＩ」に対して、
「述語論理」による『推論』をさせる場合は、
「ＡＩ」に対して、
「人間の５歳児には常識である」所の、
（ⅱ）女子であるならば、男子ではない。
という「常識」を、「予め、教えなければ、ならない」。
従って、
（07）により、
（08）
「生成ＡＩ」が、
「人間の５歳児なみに、賢くなる」ためには、
「生成ＡＩ」は、
「人間の５歳児なみの、常識を、獲得しなければ、ならない」。
然るに、
（09）
「人間の５歳児は、知らないことが多い」としても、
「人間の５歳児には、様々な、実体験が有り」、その一方で、
「人間の５歳児の知識としては、例えば、ウィキペディアから得たものは、ほとんど無い。」
従って、
（09）により、
（10）
「生成ＡＩ」が、
「人間の５歳児と同じように、賢くなること」は、「不可能」である。
（01）
「マイクロソフトのＡＩ」に「質問(兎は象ですか？)」をしたところ、「ＡＩ」は「パニック」を起こしたのか？？
然るに、
（02）
さて、統計的な手法が登場する以前、自然言語処理の技術を使う自動翻訳や質疑応答の分野では、研究者たちはＡＩに文法などの言葉のルールを憶えさせ、論理的、演繹的な手法で精度を上げようとしました（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１２４頁）。
然るに、
（03）
Ｐｒｏｌｏｇの文は「述語論理」にならって節（Ｃｌａｕｓｅ）と呼ぶことが多いのでここでも節と呼ぶことににします。一つの節は、一つの述語が、どういう場合に真になるかを記述しています。もっとも単純な例として、
ｆａｔｈｅｒ（ｍａｒｙ，ｈｅｎｒｙ）.
という節は、ｆａｔｈｅｒという述語がｍａｒｙ，ｈｅｎｒｙという引数に対して成立するということを表しています（淵一博 監修、第五世代コンピューター入門、1987年、１１頁）。
然るに、
（04）
第五世代コンピュータ（だいごせだいコンピュータ）計画とは、1982年から1992年にかけて日本の通商産業省（現経済産業省）所管の新世代コンピュータ技術開発機構（ICOT）が進めた国家プロジェクトで、いわゆる人工知能コンピュータの開発を目的に総額540億円の国家予算が投入された（ウィキペディア）。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
「（統計的な手法が登場する以前の、）第五世代コンピュータ計画」の「時代」には、
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
３ （３） ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
１ ６ （ア） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （イ） ～鼻ｂａ→～長ｂ アＵＥ
２ ６ （ウ） ∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ５８ＭＰＰ
エ （エ） 耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
エ （オ） ～鼻ｂａ エ＆Ｅ
エ （カ） 長ｂ エ＆Ｅ
１ ６エ （キ） ～長ｂ イオＭＰＰ
１ ６エ （ク） 長ｂ＆～長ｂ カキ＆Ｉ
１２ ６ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ ウエクＥＥ
１２３ （コ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ケＥＥ
１２ （サ）～∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） ３コＲＡＡ
シ （シ） ～（象ａ→～兎ａ） Ａ
シ （ス） ～（～象ａ∨～兎ａ） シ含意の定義
シ （セ） 象ａ＆ 兎ａ ス、ド・モルガンの法則
シ （ソ） ∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） セＥＩ
１２ シ （タ）～∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ）＆∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） サソ＆Ｉ
１２ （チ） ～～（象ａ→～兎ａ） シタＲＡＡ
１２ （ツ） （象ａ→～兎ａ） チＤＮ
テ（テ） 兎ａ Ａ
テ（ト） ～～兎ａ テＤＮ
１２ テ（ナ） ～象ａ ツトＭＴＴ
１２ （ニ） 兎ａ→～象ａ テナＣＰ
１２ （ヌ） ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ニＵＩ
といふ「述語計算」を用ひて、「コンピューター」に対して、
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（演繹）」をさせようとしてゐた。
然るに、
（05）により、
（06）
２（２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
から、 「～鼻ｚｘ（耳は鼻でない）」を「除いた」場合は、
１２（ヌ） ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ニＵＩ
１２（〃） 兎は象ではない。 ニＵＩ
といふ「結論」を得ることは、出来ない。
従って、
（05）（06）により、
（07）
（ⅱ）兎の耳は鼻ではない。
といふ「条件」が示されてはゐない。
といふ「理由」により、
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳が長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（演繹）」は、「述語論理」としては、「間違ひ」である。
然るに、
（08）
（ⅱ）兎の耳は鼻ではない。
（〃）王様の耳はロバの耳である。
（〃）パンの耳は食べられる。
といふことは、「（一々、断らなくとも）、常識」である。
従って、
（08）～（08）により、
（09）
「人間」にではなく、
「第五世代コンピュータ」に対して、次に、
（ⅰ）ロバは耳が長い。然るに、
（ⅱ）王様は耳が短い。従って、
（ⅲ）王様はロバではない。
といふ「推論（演繹）」を行わせようとするならば、
（ⅱ）（童話の中では）王様の耳は長いこともあるが、
（〃）（童話の中でも）パンの耳は、王様の耳ではない。
といふこと、「その他」を、予め、「記述」をしておく「必要」が有る。
従って、
（02）（07）（08）（09）により、
（10）
「述語論理」を用ひて、
「第五世代コンピュータ」に対して、
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳が長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（演繹）」を行はせようとすると、
「文法などの言葉のルール」の他に、「大量の常識」を、
「第五世代コンピュータ」に対して、「教へなければ、ならない」。
然るに、
（11）
国語はどう考えても正攻法でなんとかできるとは思えません。そこで国語チームが試みたのは、センター国語試験で最も配点の大きい傍線部分の問題に対し、文字の重複などごく表面的なことから選択肢を選ぶという「荒業」でした。単純に言うと、傍線のついている部分とその前の段落の文を取って来て、「『あ』という文字が何回、『山』という文字が何回」と同じ文字の数を数えて、選択肢のほうも同様に数えて、いちばん重複の多い選択肢を選ぶという方法を採用したのです。文の意味どころか、単語の意味も調べません（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、 新井紀子、2018年、１２４頁）。
然るに、
（12）
「グーグルのＡＩ」に「質問(兎は象ですか？)」をしたところ、
（13）
論理式にはこれまで述べたように、厳密な（形式的な）意味論が与えられるから、自然言語文も、翻訳を介して意味論に法っとった解釈が与えられ、したがって、間接的であるが、自然言語に意味論が与えられることになる（長尾真・淵一博、論理と意味、1983年、１６７頁）。
然るに、
（14）
他方、アメリカの企業は日本の失敗を学びました。論理的な手法で自動翻訳などのＡＩを開発することに見切りをつけ、統計的手法に梶を切り、グーグル翻訳やワトソンなどで成果を上げたのです（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、９０頁）。
然るに、
（15）
さて、統計的な手法が登場する以前、自然言語処理の技術を使う自動翻訳や質疑応答の分野では、研究者たちはＡＩに文法などの言葉のルールを覚えさせ、論理的、演繹的な手法で精度を上げようとしました。けれど、その手法は何度試みても失敗を繰り返しました（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１２４頁）。
従って、
（02）（12）～（15）により、
（16）
①「論理」と「意味」による「ＡＩ技術」と、
②「統計的な手法」による、「ＡＩ技術」とが有って、
① では、「難しかった」、または、「成功」しなかった所の、
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳が長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、
② では、「容易」である。
といふ、ことになる。
然るに、
（17）
言ふ迄も無く、「我々（人間）」は、「論理と意味」だけを用ひて、「推論（演繹）」をする。
従って、
（18）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳が長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（演繹）」する際に、「我々（人間）」は、「統計的な手法」など、「用ひない」。
従って、
（19）
「ＡＩ」は、「我々（人間）のやうに、考へはしない」し、と言ふよりも、固より、 「ＡＩ」は、「何も考えてはいない！！」
然るに、
（20）
最近は、その努力を怠っているものの、私は、以前から、曾祖父のやうに、「漢文か書ける」ようになりたかったものの、その一方で、「ＡＩが発達すれば、人間が書かなくとも、ＡＩが漢文を書くようになる」のではと、思ってゐた。
然るに、
（21）
「漢文」には、「ネイティブ・ライター」はゐない上に、「（「東大合格を目指すＡＩ」にとって）さらに過酷な状況にあるのは古文や漢文です（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、８４頁）」といふこともあって、「もう一度、漢文の勉強を、趣味にしよう」と、思ってゐるが、このところ、「私も、いくらか、忙しい」。
（01）
― 次に示す通り、例へば、―
① Ｐ∨ Ｑ
② ￢Ｐ∧￢Ｑ
③ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ
④ ￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）
⑤ ￢Ｐ∧ Ｑ∨￢Ｒ
⑥ ￢（ Ｐ∨￢Ｑ∧ Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
③＝④ である。
⑤＝⑥ である。
（02）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ￢Ｐ∧￢Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ￢Ｐ ２∧Ｅ
２３ （５） Ｐ∧￢Ｐ ３４∧Ｉ
３ （６）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ￢Ｑ ２∧Ｅ
２ ７（９） Ｑ∧￢Ｑ ７８∧Ｉ
７（ア）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ） Ａ
２ （２） ￢（Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ￢（Ｐ∨ Ｑ）∧
（Ｐ∨ Ｑ） ２４∧Ｉ
２ （６） ￢Ｐ ３５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
７（８） Ｐ∨ Ｑ ７∨Ｉ
２ ７（９） ￢（Ｐ∨ Ｑ）∧
（Ｐ∨ Ｑ） ２８∧Ｉ
２ （ア） ￢Ｑ ７９ＲＡＡ
２ （イ） ￢Ｐ∧￢Ｑ ６ア∧Ｉ
１２ （ウ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ）∧
（￢Ｐ∧￢Ｑ） １イ∧Ｉ
１ （エ）￢￢（Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
１ （オ） Ｐ∨ Ｑ エＤＮ
従って、
（02）により、
（03）
① Ｐ∨ Ｑ
② ￢（￢Ｐ∧￢Ｑ）
により、
①＝② である（命題変数が２つである場合の、ド・モルガンの法則）。
（04）
（ⅲ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ Ａ
２ （２） ￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ Ａ
１ （３） （Ｐ∨ Ｑ）∨Ｒ １結合法則
４ （４） （Ｐ∨ Ｑ） Ａ
５ （５） Ｐ Ａ
２ （６） ￢Ｐ ２∧Ｅ
２ ５ （７） Ｐ∧￢Ｐ ５６∧Ｉ
５ （８）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） ２７ＲＡＡ
９ （９） Ｑ Ａ
２ （ア） ￢Ｑ ２∧Ｅ
２ ９ （イ） Ｑ∧￢Ｑ ９ア∧Ｉ
９ （ウ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） ２９ＲＡＡ
４ （エ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） ４５８９ウ∨Ｅ
オ（オ） Ｒ Ａ
２ （カ） ￢Ｒ ２∧Ｅ
２ オ（キ） Ｒ∧￢Ｒ オカ∧Ｉ
オ（ク）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） ２キＲＡＡ
１ （ケ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） ３４エオク∨Ｅ
１２ （コ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）∧
（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） ２ケ∧Ｉ
１ （サ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） ２コＲＡＡ
（ⅳ）
１ （１） ￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） Ａ
２ （２） ￢（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
３ （５） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ３４∨Ｉ
２３ （６） ￢（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）∧
（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２５∧Ｉ
２ （７） ￢Ｐ ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ∨ Ｑ ８∨Ｉ
８ （ア） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ９∨Ｉ
２ ８ （イ） ￢（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）∧
（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２ア∧Ｉ
２ （ウ） ￢Ｑ ８イ∧Ｉ
２ （エ） ￢Ｐ∧￢Ｑ ７ウ∧Ｉ
オ（オ） Ｒ Ａ
オ（カ） Ｑ∨ Ｒ オ∨Ｉ
オ（キ） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ∨Ｉ
２ オ（ク） ￢（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）∧
（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２キ∧Ｉ
２ （ケ） ￢Ｒ オクＲＡＡ
２ （コ） ￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ エケ∧Ｉ
１２ （サ） ￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）∧
（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） １コ∧Ｉ
１ （シ）￢￢（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２サＲＡＡ
１ （ス） （ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） シＤＮ
従って、
（04）により、
（05）
③ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ
④ ￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）
に於いて、
③＝④ である（命題変数が３つである場合の、ド・モルガンの法則）。
然るに、
（06）
（ⅴ）
１ （１） ￢Ｐ∧ Ｑ ∨￢Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ Ａ
１ （３） （￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ １結合法則
２ （４） （ Ｐ∨￢Ｑ）∧ Ｒ ２結合法則
５ （５） （￢Ｐ∧ Ｑ） Ａ
２ （６） （ Ｐ∨￢Ｑ） ４∧Ｅ
５ （７） ￢Ｐ ５∧Ｅ
８ （８） Ｐ Ａ
５８ （９） ￢Ｐ∧Ｐ ７８∧Ｉ
８ （ア）￢（￢Ｐ∧ Ｑ） ５９ＲＡＡ
５ （イ） Ｑ ５∧Ｅ
ウ （ウ） ￢Ｑ Ａ
５ ウ （エ） Ｑ∧￢Ｑ イウ∧Ｉ
ウ （オ）￢（￢Ｐ∧ Ｑ） ５エＲＡＡ
２ （カ）￢（￢Ｐ∧ Ｑ） ２８アウオ∨Ｅ
キ （キ） ￢Ｒ Ａ
２ （ク） Ｒ ４∧Ｅ
２ キ （ケ） ￢Ｒ∧Ｒ キク∧Ｉ
２ （コ） ￢￢Ｒ キケＤＮ
２ （サ） Ｒ コＤＮ
２ （シ）￢（￢Ｐ∧ Ｑ）∧ Ｒ カサ∧Ｉ
ス （ス） （￢Ｐ∧ Ｑ） Ａ（３の選言項左）
２ （セ）￢（￢Ｐ∧ Ｑ） シ∧Ｅ
２ ス （ソ） （￢Ｐ∧ Ｑ）∧
￢（￢Ｐ∧ Ｑ） スセ∧Ｉ
ス （タ） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） ２ソＲＡＡ
チ（チ） ￢Ｒ Ａ（３の選言項右）
２ （ツ） Ｒ シ∧Ｅ
２ チ（テ） ￢Ｒ∧Ｒ チツ∧Ｉ
チ（ト） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） ２テＲＡＡ
１ （ナ） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） ３スタチト∨Ｅ
１２ （ニ） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ）∧
（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） ２ナ∧Ｉ
１ （ヌ） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） ２ニＲＡＡ
（ⅵ）
１ （１） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） Ａ
１ （２） ￢（（Ｐ∨￢Ｑ）∧ Ｒ） １結合法則
３ （３） ￢（￢Ｐ∧ Ｑ ∨￢Ｒ） Ａ
３ （４）￢（（￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ） ３結合法則
５ （５） （￢Ｐ∧ Ｑ） Ａ
５ （６） （￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ ５∨Ｉ
３５ （７）￢（（￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ）∧
（（￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ） ４６∧Ｉ
３ （８） ￢（￢Ｐ∧ Ｑ） ５７ＲＡＡ
９ （９） ￢（Ｐ∨￢Ｑ） Ａ
ア （ア） Ｐ Ａ
ア （イ） Ｐ∨￢Ｑ ア∨Ｉ
９ア （ウ） ￢（Ｐ∨￢Ｑ）∧
（Ｐ∨￢Ｑ） ９イ∧Ｉ
９ （エ） ￢Ｐ アウＲＡＡ
オ （オ） ￢Ｑ Ａ
オ （カ） Ｐ∨￢Ｑ オ∨Ｉ
９ オ （キ） ￢（Ｐ∨￢Ｑ）∧
（Ｐ∨￢Ｑ） ９カ∧Ｉ
９ （ク） ￢￢Ｑ オキＲＡＡ
９ （ケ） Ｑ クＤＮ
９ （コ） ￢Ｐ∧ Ｑ エケ∧Ｉ
３ ９ （サ） ￢（￢Ｐ∧ Ｑ）∧
（￢Ｐ∧ Ｑ） ８コ∧Ｉ
３ （シ） ￢￢（Ｐ∨￢Ｑ） ９サＲＡＡ
３ （ス） （Ｐ∨￢Ｑ） シＤＮ
セ （セ） ￢Ｒ Ａ
セ （ソ） （￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ セ∨Ｉ
３ セ （タ）￢（（￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ）∧
（（￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ ３ソ∧Ｉ
３ （チ） ￢￢Ｒ セタＲＡＡ
３ （ツ） Ｒ チＤＮ
３ （テ） （Ｐ∨￢Ｑ）∧ Ｒ スツ∧Ｉ
１３ （ト） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） １テ∧Ｉ
１ （ナ）￢￢（￢Ｐ∧ Ｑ ∨￢Ｒ） ３トＲＡＡ
１ （ニ） （￢Ｐ∧ Ｑ ∨￢Ｒ） ナＤＮ
従って、
（06）により、
（07）
⑤ ￢Ｐ∧ Ｑ∨￢Ｒ
⑥ ￢（ Ｐ∨￢Ｑ∧ Ｒ）
に於いて、
⑤＝⑥ である（命題変数が３つで、∨と∧が混在する場合のド・モルガンの法則）。
然るに、
（07）により、
（08）
特に、（ⅵ）の「計算」は、途中で、自分でも「何をやってゐるのか」分からなくなるくらひ、「メチャクチャ、めんどくさい」。
然るに、
（09）
（ⅵ）の「計算」も、「ド・モルガンの法則」を用ひて良いのであれば、
（ⅵ）
１ （１） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） Ａ
１ （２）￢（（Ｐ∨￢Ｑ）∧ Ｒ） １結合法則
１ （３） ￢（Ｐ∨￢Ｑ）∨￢Ｒ ２（２項によるド・モルガンの法則）
４ （４） ￢（Ｐ∨￢Ｑ） Ａ
４ （５） ￢Ｐ∧ Ｑ ４（２項によるド・モルガンの法則）
４ （６） ￢Ｐ∧ Ｑ∨ ￢Ｒ ５∨Ｉ
７ （７） ￢Ｒ Ａ
７ （８） ￢Ｐ∧ Ｑ∨ ￢Ｒ ７∨Ｉ
１ （９） ￢Ｐ∧ Ｑ∨ ￢Ｒ ３４６７８∨Ｅ
といふ具合に、「メチャクチャ、簡単である」。
（10）
― お知らせ ―
しばらく（１週間、あるいは、２週間、あるいは、３週間ほど？）、ブログを、休みます。
（01）
① （Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
といふ「論理式」、すなはち、
① ＰであってＱであるならば、Ｐである。
② ＰであってＱであるならば、Ｐでない。
といふ「命題」に於いて、
① は、明らかに「真（トートロジー）」であるが、
② は、明らかに「偽（矛盾）」である（？？）。
然るに、
（02）
① （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
に対する「否定」を「計算」すると、
（ⅰ）
１（１） ～｛（Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ｝ Ａ
１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｐ｝ １含意の定義
１（３） （Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ＆Ｑ ３＆Ｅ
１（５） Ｐ ４＆Ｅ
１（６） Ｑ ４＆Ｅ
１（７） ～Ｐ ３＆Ｅ
１（８） Ｐ＆～Ｐ ５７＆Ｉ
１（９） （Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ ６８＆Ｉ
（〃）
１（１） （Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ Ａ
１（２） Ｐ＆～Ｐ １＆Ｅ
１（３） Ｐ ２＆Ｅ
１（４） ～Ｐ ２＆Ｅ
１（５） Ｑ １＆Ｅ
１（６） Ｐ＆Ｑ ３５＆I
１（７） （Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ ４６＆I
１（８）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｐ｝ ７ド・モルガンの法則
１（９） ～｛（Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ｝ ８含意の定義
従って、
（02）により、
（03）
① （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
に対する「否定」を「計算」すると、
①（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ
であるものの、
①（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ
であれば、
①（矛盾）＆Ｑ
であって、
①（矛盾）＆Ｑ
は、「偽」である。
然るに、
（04）
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
に対する「否定」を「計算」すると、
（ⅱ）
１（１） ～｛（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ｝ Ａ
１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ｝ １含意の定義
１（３） （Ｐ＆Ｑ）＆ Ｐ ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ＆Ｑ ３＆Ｅ
（ⅲ）
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） （Ｐ＆Ｑ）＆ Ｐ １２＆Ｉ
１（４）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ｝ ３ド・モルガンの法則
１（５） ～｛（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ｝ ４含意の定義
従って、
（04）により、
（05）
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
に対する「否定」を「計算」すると、
③ Ｐ＆Ｑ
であるものの、
③ Ｐ＆Ｑ
は、それ自体は、「真」でも、「偽」でもない。
然るに、
（04）により、
（06）
いづれにせよ、
② ～｛（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ｝
③ Ｐ＆Ｑ
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（06）により、
（07）
② ～～｛（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ｝
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（07）により、
（08）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
然るに、
（09）
（ⅲ）
１ （１）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆Ｑ）＆
（Ｐ＆Ｑ） １３＆Ｉ
１２ （６） ～Ｑ ３５ＲＡＡ
１ （７） Ｐ→～Ｑ ２６ＣＰ
（ⅳ）
１ （１） Ｐ→～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） ～Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆Ｑ） ２６ＲＡＡ
従って、
（09）により、
（10）
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
④ Ｐ→～Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
④ Ｐ→～Ｑ
に於いて、
②＝③＝④ である。
然るに、
（12）
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ Ａ
３ （３）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （４）～Ｐ∨～Ｑ ド・モルガンの法則
３ （５）～Ｐ∨～Ｑ∨ ～Ｐ ４∨Ｉ
６（６） ～Ｐ Ａ
６（７） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｐ ７∨Ｉ
１ （８）～Ｐ∨～Ｑ∨ ～Ｐ １３５６７∨Ｅ
１ （９）～Ｐ∨～Ｐ∨ ～Ｑ ８交換法則
１ （ア）～Ｐ∨～Ｑ ９冪等律
１ （イ） Ｐ→～Ｑ ア含意の定義
（ⅲ）
１ （１） Ｐ→～Ｑ Ａ
１ （２） ～Ｐ∨～Ｑ １含意の定義
１ （３） ～Ｐ∨～Ｐ∨ ～Ｑ ２冪等律。
１ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨ ～Ｐ ３交換法則
１ （５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｐ ４結合法則
６ （６）（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
６ （７）～（Ｐ＆Ｑ） ６ド・モルガンの法則
６ （８）～（Ｐ＆Ｑ）∨ ～Ｐ ７∨Ｉ
９（９） ～Ｐ Ａ
９（ア）～（Ｐ＆Ｑ）∨ ～Ｐ ９∨Ｉ
１ （イ） （Ｐ＆Ｑ）→ ～Ｐ ア含意の定義
従って、
（12）により、
（13）
②（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
③ Ｐ→～Ｑ
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（14）
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） ～～Ｐ ２ＤＮ
１２ （４）～（Ｐ＆Ｑ） １３ＭＴＴ
１２ （５）～Ｐ∨～Ｑ ４ド・モルガンの法則
１２ （６） Ｐ→～Ｑ ５含意の定義
１ （７） Ｐ→（Ｐ→～Ｑ） ２６ＣＰ
８（８） Ｐ Ａ
１ ８（９） Ｐ→～Ｑ ７８ＭＰＰ
１ ８（ア） ～Ｑ ８９ＭＰＰ
１ （イ） Ｐ→～Ｑ ８アＣＰ
（ⅲ）
１ （１） Ｐ→～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） ～Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆Ｑ） ２６ＲＡＡ
１ （８）～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ ７∨Ｉ
１ （９） （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ ８含意の定義
従って、
（14）により、
（15）
②（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
③ Ｐ→～Ｑ
に於いて、
②＝③ は「対偶」である。
従って、
（12）（15）により、
（16）
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ Ａ
３ （３）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （４）～Ｐ∨～Ｑ ド・モルガンの法則
３ （５）～Ｐ∨～Ｑ∨ ～Ｐ ４∨Ｉ
６（６） ～Ｐ Ａ
６（７） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｐ ７∨Ｉ
１ （８）～Ｐ∨～Ｑ∨ ～Ｐ １３５６７∨Ｅ
１ （９）～Ｐ∨～Ｐ∨ ～Ｑ ８交換法則
１ （ア）～Ｐ∨～Ｑ ９冪等律
１ （イ） Ｐ→～Ｑ ア含意の定義
（ⅲ）
１ （１） Ｐ→～Ｑ Ａ
１ （２） ～Ｐ∨～Ｑ １含意の定義
１ （３） ～Ｐ∨～Ｐ∨ ～Ｑ ２冪等律。
１ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨ ～Ｐ ３交換法則
１ （５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｐ ４結合法則
６ （６）（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
６ （７）～（Ｐ＆Ｑ） ６ド・モルガンの法則
６ （８）～（Ｐ＆Ｑ）∨ ～Ｐ ７∨Ｉ
９（９） ～Ｐ Ａ
９（ア）～（Ｐ＆Ｑ）∨ ～Ｐ ９∨Ｉ
１ （イ） （Ｐ＆Ｑ）→ ～Ｐ ア含意の定義
といふ「計算」は、結局は、「対偶の計算」であった。
といふことになる。
従って、
（11）～（16）により、
（17）
いづれにせよ、
②（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
③ Ｐ→～Ｑ
に於いて、すなはち、
② ＰであってＱであるならば、Ｐでない。
③ Ｐであるならば、Ｑでない。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（17）により、
（18）
③ Ｐであるならば、Ｑでない。
といふ「命題」は、言ふまでもなく、「矛盾」ではない。
従って、
（01）（18）により、
（19）
① （Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
といふ「論理式」、すなはち、
① ＰであってＱであるならば、Ｐである。
② ＰであってＱであるならば、Ｐでない。
といふ「命題」に於いて、
① は、明らかに「真（トートロジー）」であるが、
② は、決して、「偽（矛盾）」ではない（！！）。
（01）
１（１） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
１（３） Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅲ
１（１） Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅳ
１ （１） Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
１ （２） ～Ｑ １＆Ｅ
２（３） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２（４） Ｑ ３＆Ｅ
１２（５） ～Ｑ＆Ｑ ３４＆Ｉ
１ （６）～（Ｐ＆Ｑ） ２５ＲＡＡ
１ （７）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ ６∨Ｉ
１ （８）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ７∨Ｉ
１ （９） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ８含意の定義
（ⅴ
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅵ
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
１（３） Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅶ
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅷ
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ Ａ
１ （２） ～Ｑ １＆Ｅ
２（３） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２（４） Ｑ ３＆Ｅ
１２（５） ～Ｑ＆Ｑ ３４＆Ｉ
１ （６）～（Ｐ＆Ｑ） ２５ＲＡＡ
１ （７）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ ６∨Ｉ
１ （８）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ７∨Ｉ
１ （９） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ８含意の定義
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
といふ「論理式」、すなはち、
① ＰであってＱであるならば、Ｑであるか、または、Ｒである。
といふ「命題」は、
① 命題変数（Ｐ、Ｑ、Ｒ）の「真偽」に関はらず、「恒に真」である。
従って、
（03）により、
（04）
① Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（05）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
に於ける、例へば、
⑥ を「否定」すると、
⑥ ～（ Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）は、「ド・モルガンの法則」により、
⑥ （～Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）に、「等しい」。
然るに、
（06）
（ⅱ）
１（１）～Ｐ∨ ～Ｑ∨Ｒ Ａ
１（２）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ） １結合法則
１（３） Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） ２含意の定義
（〃）
１（１） Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） Ａ
１（２）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ） １含意の定義
１（３）～Ｐ∨ ～Ｑ∨Ｒ ２結合法則
従って、
（05）（06）により、
（07）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
に於ける、例へば、
⑥ を「否定」すると、
⑥ ～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）は、「ド・モルガンの法則」により、
⑥ （ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）に、「等しく」、
⑥ （ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）は、「含意の定義」により、
⑥ ～Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）に、「等しい」。
従って、
（07）により、
（08）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
に於ける、
⑥ を「否定」すると、
⑥ ～Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
であるため、「否定」をする前の、
⑥ 自体は、 「二重否定」により、
⑥ ～（～Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ））
でなければ、ならない。
従って、
（02）（08）により、
（09）
この場合は、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
のやうに、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
といふ風には、ならずに、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ ～（Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
といふ風に、なるに「違ひない」。
然るに、
（10）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） ～Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３）～～Ｐ ２ＤＮ
１（４）～～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
１（５）～～Ｐ∨Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
１（６） ～Ｐ→Ｑ∨Ｒ ５∨Ｉ
（ⅲ）
１（１） Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） ～Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅳ）
１（１） Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３）～～Ｐ ２ＤＮ
１（４）～～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
１（５）～～Ｐ∨Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
１（６） ～Ｐ→Ｑ∨Ｒ ５∨Ｉ
（ⅴ）
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） ～Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅵ）
１ （１） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
１２ （４） ～Ｑ∨ Ｒ ２３ＭＰＰ
５ （５） ～Ｑ Ａ
１ （６） Ｑ １＆Ｅ
１ ５ （７） ～Ｑ＆Ｑ ５６＆Ｉ
５ （８）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １７ＲＡＡ
９（９） Ｒ Ａ
１ （ア） ～Ｒ １＆Ｅ
１ ９（イ） Ｒ＆～Ｒ ９ア＆Ｉ
９（ウ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １イＲＡＡ
１２ （エ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） ４５８９ウ∨Ｅ
１２ （オ） （～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）＆
～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～（～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ） ２オＲＡＡ
（ⅶ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） ～Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅷ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
１（２） ～Ｑ １＆Ｅ
１（３） ～Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
従って、
（09）（10）により、
（11）
果たして、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ ～（Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
である。
然るに、
（12）
（ⅵ）
１ （１） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
１２ （４） ～Ｑ∨ Ｒ ２３ＭＰＰ
５ （５） ～Ｑ Ａ
１ （６） Ｑ １＆Ｅ
１ ５ （７） ～Ｑ＆Ｑ ６７＆Ｉ
５ （８）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １７ＲＡＡ
９（９） Ｒ Ａ
１ （ア） ～Ｒ １＆Ｅ
１ ９（イ） Ｒ＆～Ｒ ９ア＆Ｉ
９（ウ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １イＲＡＡ
１２ （エ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） ４５８９ウ∨Ｉ
１２ （オ） （～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）＆
～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～（～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ） ２オＲＡＡ
（〃）
１ （１）～（～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ） Ａ
１ （２）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） １含意の定義
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
３ （５） Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ ４∨Ｉ
１３ （６）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） ２５＆Ｉ
１ （７） ～Ｐ ５６ＲＡＡ
８ （８） ～Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
８ （ア） Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ ９∨Ｉ
１ ８ （イ）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） ２ア＆Ｉ
１ （ウ） ～～Ｑ ８ＲＡＡ
１ （エ） Ｑ ウＤＮ
オ（オ） Ｒ Ａ
オ（カ） ～Ｑ∨ Ｒ オ∨Ｉ
オ（キ） Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ ∨Ｉ
１ オ（ク）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） ２キ＆Ｉ
１ （ケ） ～Ｒ オクＲＡＡ
１ （コ） ～Ｐ＆ Ｑ ７エ＆Ｉ
１ （サ） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ ケコ＆Ｉ
従って、
（12）により、
（13）
⑥ ～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ ├ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
であるだけではなく、
⑥ ～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ ┤├ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
である。
従って、
（11）（13）により、
（14）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
である一方で、
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ ┤├ ～（Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ））
であるため、
⑥ ～Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
といふ「論理式」、
⑥ Ｐでないならば、Ｑでないか、または、Ｒである。
といふ「命題」は、
⑥ 命題変数（Ｐ、Ｑ、Ｒ）の「真偽」に関はらず、「恒に真」である。
といふことには、ならない。
従って、
（03）（14）により、
（15）
① ＰであってＱであるならば、Ｑであるか、または、Ｒである。
⑥ Ｐでないならば、Ｑでないか、または、Ｒである。
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
⑥ は、「恒真式（トートロジー）」ではない。
（01）
たとえ名辞が三つに限られていても、ヴェン図形では処理できない推論がある。
たとえば、以下の推論を考えよう。
もしある論理学の問題がやさしければ、すべての受講者は単位がもらえる。
しかし、ある受講者は単位がもらえない。
∴ 論理学の問題はどれもやさしくない。
第一の前提では、特称肯定命題と全称肯定命題が「→」で結ばれている。
結合子については、われわれの推論の方法をすでに習得している。
結合子で結ばれた命題については、ヴェン図で処理できるだろう。
しかし、この二つ混ざった命題については、われわれはどう処理してよいのかまだわからないのである。
われわれは本格的な述語論理へすすまなければならない。
（昭和堂入門選書２５、論理学基礎、1994年、１１４頁）
然るに、
（02）
「昭和堂入門選書２５、論理学基礎」には、
もしある論理学の問題がやさしければ、すべての受講者は単位がもらえる。
しかし、ある受講者は単位がもらえない。
∴ 論理学の問題はどれもやさしくない。
に対する、「述語論理」よる「証明（解答）」が、示されてゐない。
加へて、
（03）
第一の前提では、特称肯定命題と全称肯定命題が「→」で結ばれている。
とすると、私には、「証明（解答）」が書けない。
従って、
（04）
もしある論理学の問題がやさしければ、すべての受講者は単位がもらえる。
といふ「第一の前提」に関しては、
特称肯定命題と全称肯定命題が「→」で結ばれている。
とはせずに、
全称肯定命題と全称肯定命題が「→」で結ばれている。
としたいものの、その場合、「証明（解答）」は、次（05）の通りとなる。
すなはち、
（05）
論理＝論理学の問題である。
容易＝易しい。
学生＝受講者である。
単位＝論理学の単位がもらえる。
であるとして、
１ （１） ∀ｘ｛論理ｘ＆容易ｘ→∀ｙ（学生ｙ→単位ｙｘ）｝ Ａ
２ （２） ∃ｙ（学生ｙ＆～単位ｙａ） Ａ
１ （３） 論理ａ＆容易ａ→∀ｙ（学生ｙ→単位ｙａ） １ＵＥ
４ （４） 学生ｂ＆～単位ｂａ Ａ
５（５） 論理ａ＆容易ａ Ａ
１ ５（６） ∀ｙ（学生ｙ→単位ｙａ） ３５ＭＰＰ
１ ５（７） 学生ｂ→単位ｂａ ６ＵＥ
４ （８） 学生ｂ ４＆Ｅ
１ ４５（９） 単位ｂａ ７８ＭＰＰ
１ ４５（ア） ～単位ｂａ ４＆Ｅ
１ ４５（イ） ～単位ｂａ＆単位ｂａ ９ア＆Ｉ
１ ４ （ウ） ～（論理ａ＆容易ａ） ５イＲＡＡ
１ ４ （エ） ～論理ａ∨～容易ａ ウ、ド・モルガンの法則
１ ４ （オ） 論理ａ→～容易ａ エ含意の定義
１ ４ （カ） ∀ｘ（論理ｘ→～容易ｘ） オＵＩ
１２ （キ） ∀ｘ（論理ｘ→～容易ｘ） ２４カＥＥ
といふ風に、書くことが出来る（はずである？）。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
もし論理学の問題がやさしければ、すべての学生は単位がもらえる。
しかし、ある学生は単位がもらえない。
∴ 論理学の問題はどれもやさしくない。
といふ「推論」は、正しい（はずである？）。
（01）
他方、ヴェン図は、三段論法の枠にはまらない推論にも使える。
たとえば、次の推論を考えてみよう。
哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。
すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。
∴ あるエゴイストは嘘つきではない。
（昭和堂入門選書２５、論理学基礎、1994年、１１２頁）
然るに、
（02）
① 哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。
② 嘘つきでない哲学者はエゴイストである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
① すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。
② 嘘つきでない哲学者がゐる。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① 哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。
② すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。
といふことは、
① 嘘つきでない哲学者はエゴイストである。
② 嘘つきでない哲学者がゐる。
といふことに、「他ならない」。
然るに、
（05）
① 嘘つきでない哲学者はエゴイストである。
② 嘘つきでない哲学者がゐる。
といふことは、
③ 嘘つきでない哲学者がゐるが、嘘つきでない哲学者はエゴイストである。
といふことである。
然るに、
（06）
③ 嘘つきでない哲学者がゐるが、嘘つきでない哲学者はエゴイストである。
といふことは、
③ 嘘つきでない哲学者がゐて、その哲学者はエゴイストである。
といふことである。
然るに、
（07）
③ 嘘つきでない者がゐて、その者はエゴイストである。
といふのであれば、
② あるエゴイストは嘘つきではない。
といふ、ことになる。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
「日本語」で考へる限り、たしかに、
哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。
すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。
∴ あるエゴイストは嘘つきではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（09）
１ （１） ∀ｘ（哲学者ｘ→ エゴイストｘ∨嘘つきｘ） Ａ
２ （２）～∀ｘ（哲学者ｘ→ 嘘つきｘ） Ａ
１ （３） 哲学者ａ→ エゴイストａ∨嘘つきａ １ＵＥ
２ （４）∃ｘ～（哲学者ｘ→ 嘘つきｘ） ２量化子の関係
５（５） ～（哲学者ａ→ 嘘つきａ） Ａ
５（６） ～（～哲学者ａ∨ 嘘つきａ） ５含意の定義
５（７） 哲学者ａ＆～嘘つきａ ６ド・モルガンの法則
５（８） 哲学者ａ ７＆Ｅ
５（９） ～嘘つきａ ７＆Ｅ
１ ５（ア） エゴイストａ∨嘘つきａ ３８ＭＰＰ
１ ５（イ） 嘘つきａ∨エゴイストａ ア交換法則
１ ５（ウ） ～～嘘つきａ∨エゴイストａ イＤＮ
１ ５（エ） ～嘘つきａ→エゴイストａ ウ含意の定義
１ ５（オ） エゴイストａ ９エＭＰＰ
１ ５（カ） エゴイストａ＆～嘘つきａ ９オ＆Ｉ
１ ５（キ） ∃ｘ（エゴイストｘ＆～嘘つきｘ） カＥＩ
１２ （ク） ∃ｘ（エゴイストｘ＆～嘘つきｘ） ４５キＥＥ
従って、
（09）により、
（10）
（ⅰ） ∀ｘ（哲学者ｘ→ エゴイストｘ∨嘘つきｘ）。然るに、
（ⅱ）～∀ｘ（哲学者ｘ→ 嘘つきｘ）。 従って、
（ⅲ） ∃ｘ（エゴイストｘ＆～嘘つきｘ）。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘが哲学者であるならば、ｘはエゴイストであるか、または、ｘは嘘つきである）。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて（ｘが哲学者であるならば、ｘは嘘つきである）といふわけではない。従って、
（ⅲ） あるｘについて（ｘはエゴイストであるが、ｘは嘘つきではない）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。
すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。
∴ あるエゴイストは嘘つきではない。
といふ「推論」は、「日本語」で考へても、「述語論理」で「計算」しても、「妥当」である。
然るに、
（12）
法律家、つまり弁護士とか裁判官とか検事などは、
自分たちが論理を得意とすると思っているようです。
（横浜の弁護士のブログ）
従って、
（11）（12）により、
（13）
「弁護士とか裁判官とか検事」などは、
原告はみなエゴイストであるか嘘つきである。
すべての原告は嘘つきであるとは限らない。
∴ あるエゴイストは嘘つきではない。
といふ「推論」に接した際に、「この推論は妥当」である。
といふことを、「直ちに判定」出来ることが「期待」される。
然るに、
（14）
でも、他分野の学問にそれなりに触れた人にとっては、
法律家が論理を理解しているようには思えないと思います。
むしろ、法律学というのは極めて非論理的なものという印象を抱くのではないでしょうか。
然るに、
（15）
短答式試験の試験科目は、民法、憲法、刑法の計3科目です。
論文式試験の試験科目は、憲法、行政法、民法、商法、民事訴訟法、刑法、刑事訴訟法、選択科目の系8科目です。
といふ風に、「司法試験の試験科目」に「論理学」は無い。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
大変、「由々しきこと」ではあるものの、恐らくは、ある裁判官は、
原告はみなエゴイストであるか嘘つきである。
すべての原告は嘘つきであるとは限らない。
∴ あるエゴイストは嘘つきではない。
といふ「推論」に接した際に、「この推論は妥当」である。
といふことを、「直ちに判定」出来るとは、限らない（！？）。
―「昨日（令和６年２月１７日）」の「続き」を書きます。―
然るに、
（27）
（ⅰ）
１ （１）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ Ａ
１ （２） ～Ｐ∨Ｐ １＆Ｅ
１ （３） Ｑ １＆Ｅ
４ （４） ～Ｐ Ａ
１４ （５） ～Ｐ＆Ｑ ３４＆Ｉ
１４ （６）（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ） ５∨Ｉ
７（７） Ｐ Ａ
７（８） Ｐ＆Ｑ ３７＆Ｉ
１ ７（９）（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ） ８∨Ｉ
１ （ア）（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ） ２４６７９∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ） Ａ
２ （２） ～Ｐ＆Ｑ Ａ
２ （３） ～Ｐ ２＆Ｅ
２ （４） Ｑ ２＆Ｅ
２ （５） ～Ｐ∨Ｐ ３∨Ｉ
２ （６）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ４５＆Ｉ
７（７） Ｐ＆Ｑ Ａ
７（８） Ｐ ７＆Ｅ
７（９） Ｑ ７＆Ｅ
７（ア） ～Ｐ∨Ｐ ８∨Ｉ
７（イ） （～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ９ア＆Ｉ
１ （ウ）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ １２６７イ∨Ｅ
従って、
（27）により、
（28）
①（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
②（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
①＝② である（分配法則）。
然るに、
（29）
①（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
②（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ）
が「真」であるならば、
① Ｐであろうと、Ｐでなかろうと、いづれにせよ、Ｑである。
② Ｐであろうと、Ｐでなかろうと、いづれにせよ、Ｑである。
然るに、
（30）
① Ｐであろうと、Ｐでなかろうと、いづれにせよ、Ｑである。
② Ｐであろうと、Ｐでなかろうと、いづれにせよ、Ｑである。
といふことは、要するに、
① Ｑである。
② Ｑである。
といふことに、「他ならない」。
従って、
（29）（30）により、
（31）
①（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
②（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ）
といふ「論理式」は、
① Ｑ
② Ｑ
といふ「命題変数」に「等しい」が、言ふまでもなく、
① Ｑ
② Ｑ
といふ「命題変数」は「恒真式（トートロジー）」ではない。
従って、
（18）（31）により、
（32）
①（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
②（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
に於いて、
① は「恒真式（トートロジー）」であるが、
② は「恒真式（トートロジー）」ではない。
（01）
（ⅰ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｐ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｐ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｐ Ａ
２ （８） ～Ｐ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｐ＆～Ｐ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆～Ｐ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｐ） １３６７ア∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ＆～Ｐ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨Ｐ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） Ｐ Ａ
８（９） ～Ｐ∨Ｐ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） ２８＆Ｉ
２ （イ） ～Ｐ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｐ＆～Ｐ ７イ＆Ｉ
１２ （エ） ～（Ｐ＆～Ｐ）＆
（Ｐ＆～Ｐ） １ウ＆Ｉ
１ （オ）～～（～Ｐ∨Ｐ） ２エＲＡＡ
１ （カ） ～Ｐ∨Ｐ オＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① ～Ｐ∨ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ＆～Ｐ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｐ ２３＆Ｉ
１２３（５） ～（Ｐ＆～Ｐ）＆
（Ｐ＆～Ｐ） １５＆Ｉ
１２ （６） Ｐ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１ （８） （Ｐ→ Ｐ） ２７ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ→ Ｐ） Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ Ａ
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｐ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｐ＆～Ｐ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｐ） ２６ＲＡＡ
従って、
（03）により、
（04）
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ Ｐ→ Ｐ
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① （～Ｐ∨Ｐ）は「排中律」。
② ～（Ｐ＆～Ｐ）は「矛盾律」。
③ （Ｐ→ Ｐ）は「同一律」。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１（１） Ｐ Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｐ １∨Ｉ
（ⅱ）
１（１）～Ｐ Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｐ １∨Ｉ
従って、
（06）により、
（07）
① Ｐ├ ～Ｐ∨Ｐ
② ～Ｐ├ ～Ｐ∨Ｐ
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
① （～Ｐ∨Ｐ）は「排中律」であって、「命題変数Ｐの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
② ～（Ｐ＆～Ｐ）は「矛盾律」であって、「命題変数Ｐの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
③ （Ｐ→ Ｐ）は「同一律」であって、「命題変数Ｐの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ ３∨Ｉ
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ ３∨Ｉ
（ⅲ）
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ ３∨Ｉ
（ⅳ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ ３∨Ｉ
従って、
（09）により、
（10）
① Ｐ＆ Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
② Ｐ＆～Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
① （～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
② ～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
③ （Ｐ→ Ｐ）∨Ｑ は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
然るに、
（12）
（ⅰ）
１（１）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ） １結合法則
１（３） Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ２含意の定義
（ⅳ）
１（１） Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） Ａ
１（２） ～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ） １含意の定義
１（３）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ ２結合法則
従って、
（12）により、
（13）
①（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
② Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（14）
（ⅲ）
１（１）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ∨Ｐ ∨～Ｑ １結合法則
１（３） ～Ｐ∨～Ｑ∨ Ｐ ２交換法則
１（４）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ ３結合法則
１（５）～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｐ ４ド・モルガンの法則
１（６） （Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ ５含意の定義
（ⅳ）
１（１） （Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ Ａ
１（２）～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｐ １含意の定義
１（３） ～Ｐ∨～Ｑ∨ Ｐ ２ド・モルガンの法則
１（４） ～Ｐ∨Ｐ ∨～Ｑ ３交換法則
１（５）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ 結合法則
従って、
（14）により、
（15）
③（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
④ （Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（16）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ ３∨Ｉ
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ ３∨Ｉ
（ⅲ）
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ ３∨Ｉ
（ⅳ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ ３∨Ｉ
従って、
（16）により、
（17）
① Ｐ＆ Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
② Ｐ＆～Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
従って、
（10）（11）（13）（15）（17）により、
（18）
①（～Ｐ∨Ｐ）∨ Ｑ は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
② Ｐ→（Ｐ∨ Ｑ）は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
③（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
④ （Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」である。
といふ「意味」では、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（18）により、
（19）
①（～Ｐ∨Ｐ）∨ Ｑ
③（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ
に於いて、
① は、「 Ｑ」であるが、
③ は、「～Ｑ」であるため、
①＝③ ではない。
従って、
（13）（15）（19）により、
（20）
②「選言導入（∨Ｉ）」である所の、 Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）は、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」であって、
④「連言除去（＆Ｅ）」である所の、（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ も、「命題変数ＰとＱの真偽」に関はらず、「恒に真（トートロジー）」であるものの、
②＝④ ではない。
然るに、
（21）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） Ｑ １＆Ｅ
１（４） ～Ｐ∨Ｐ ３∨Ｉ
１（５）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ３４＆Ｉ
といふ「推論」は「妥当」である。
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｑ １＆Ｅ
１（４） ～Ｐ∨Ｐ ３∨Ｉ
１（５）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ３４＆Ｉ
といふ「推論」は「妥当」ではない。
（ⅲ）
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ １＆Ｅ
１（３） Ｑ １＆Ｅ
１（４） ～Ｐ∨Ｐ ３∨Ｉ
１（５）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ３４＆Ｉ
といふ「推論」は「妥当」である。
（ⅳ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｑ １＆Ｅ
１（４） ～Ｐ∨Ｐ ３∨Ｉ
１（５）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ３４＆Ｉ
といふ「推論」は「妥当」ではない。
従って、
（21）により、
（22）
① Ｐ＆ Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
② Ｐ＆～Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
に於いて、
①と③ は「妥当」であるが、
②と④ は「妥当」ではなく、それ故、
①（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ は、「恒に真（トートロジー）」ではない。
従って、
（18）（22）により、
（23）
①（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ は、「恒に、真（トートロジー）」であるが、
②（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ は、「恒には真（トートロジー）」ではない。
従って、
（23）により、
（24）
「結合法則・含意の定義」として、
①（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ ≡～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）≡Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）。
②（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ≡～Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）≡Ｐ→（Ｐ＆Ｑ）。
であるものの、
① は「妥当」であるが、
② は「妥当」ではない。
従って、
（24）により、
（25）
① Ｐであるならば（Ｐであるか、または、Ｑである）。
② Ｐであるならば（Ｐであって、尚且つ、Ｑである）。
に於いて、
① は「妥当」であるが、
② は「妥当」ではない。
（26）
仮に、
②（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ ≡～Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）≡Ｐ→（Ｐ＆Ｑ）。
であるならば、すなはち、
② Ｐであるならば（Ｐであって、尚且つ、Ｑである）。
とするならば、
②「任意の命題」が「真」であるならば、「全ての命題」は「真」である。
といふことになるものの、
②「そのやうなこと」は、「有っては、ならない」。
（01）
① Ａ，Ｂ├ Ｃ
② Ａ├ Ｂ→Ｃ
③ ├ Ａ→（Ｂ→Ｃ）
に於いて、
① ならば、② であり、
② ならば、③ である。
従って、
（01）により、
（02）
① Ａが真で、Ｂも真、なので、Ｃは真である。
② Ａが真、なので、Ｂが真ならば、Ｃは真である。
③ なので、Ａが真ならば（Ｂが真ならば、Ｃは真である）。
に於いて、
① ならば、② であり、
② ならば、③ である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ａ，Ｂ├ Ｃ
② Ａ├ Ｂ→Ｃ
③ ├ Ａ→（Ｂ→Ｃ）
であれば、
① 真，真├ 真
② 真├ 真→真
③ ├ 真→（真→真）
である。
然るに、
（04）
③ ├ 真→（真→真）
であれば、
③ 真→（真→真）
である。
然るに、
（05）
「真理表（Truth table）」により、
① 真→（真→真）
② 真→（真）
③ 真
に於いて、
① ならば、② であって、
② ならば、③ である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① Ａ，Ｂ├ Ｃ
② Ａ├ Ｂ→Ｃ
③ ├ Ａ→（Ｂ→Ｃ）
であるならば、
④ Ａ→（Ｂ→Ｃ）
は「真」である。
然るに、
（07）
１ （１） Ｐ Ａ
２（２） Ｐ→Ｑ Ａ
１２（３） Ｑ １２ＭＰＰ
１ （４）（Ｐ→Ｑ）→Ｑ ２３ＣＰ
（５） Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） １４ＣＰ
従って、
（06）（07）により、
（08）
① Ｐ，Ｐ→Ｑ├ Ｑ
② Ｐ├（Ｐ→Ｑ）→Ｑ
③ ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
であるため、
④ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
は「真」である。
然るに、
（09）
「番号」を付け直すとして、
① Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
② ～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）｝
に於いて、
② は、① の「否定」である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
① Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
② ～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）｝
に於いて、
① が「真」である以上、その「否定」である、
② は、必然的に、「偽」である。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１（１） Ｐ→（ （ Ｐ→Ｑ）→Ｑ） Ａ
１（２）～Ｐ∨（ （ Ｐ→Ｑ）→Ｑ） １含意の定義
１（３）～Ｐ∨（ （～Ｐ∨Ｑ）→Ｑ） ２含意の定義
１（４）～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ） ２含意の定義
（ⅱ）
１（１）～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ） Ａ
１（２）～Ｐ∨（ （～Ｐ∨Ｑ）→Ｑ） １含意の定義
１（３）～Ｐ∨（ （ Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ２含意の定義
１（４） Ｐ→（ （ Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ３含意の定義
従って、
（11）により、
（12）
① Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
と いふ「論理式」は、
① ～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）
と いふ「論理式」に「等しい」。
従って、
（10）（12）により、
（13）
① Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
② ～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）｝
に於いて、すなはち、
① ～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）
② ～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）｝
に於いて、
① が「真」である以上、その「否定」である、
② は、必然的に、「偽」である。
然るに、
（14）
（ⅱ）
１（１）～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ Ｑ）｝ Ａ
１（２） Ｐ＆～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ Ｑ） １ド・モルガンの法則
１（３） Ｐ ２＆Ｅ
１（４） ～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ Ｑ） ２＆Ｅ
１（５） （～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｑ ４ド・モルガンの法則
１（６） （～Ｐ∨Ｑ） ５＆Ｅ
１（７） Ｐ→Ｑ ６含意の定義
１（８） Ｑ ３７ＭＰＰ
１（９） ～Ｑ ５＆Ｅ
１（ア） Ｑ＆～Ｑ ８９＆Ｉ
１（イ） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｑ） ３ア＆Ｉ
（ⅲ）
１（１） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｑ） Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） （Ｑ＆～Ｑ） １＆Ｅ
１（４） Ｑ ３＆Ｅ
１（５） ～Ｑ ３＆Ｅ
１（６） ～Ｐ∨Ｑ ４∨Ｉ
１（７） （～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｑ ５６＆Ｉ
１（８） ～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ Ｑ） ７ド・モルガンの法則
１（９） Ｐ＆～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ Ｑ） ２８＆Ｉ
１（ア）～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ Ｑ）｝ ９ド・モルガンの法則
従って、
（14）により、
（15）
② ～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）｝
③ Ｐ＆（Ｑ＆～Ｑ）
に於いて、すなはち、
② ～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）｝
③ Ｐ＆（矛盾）
に於いて、すなはち、
② ～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）｝
③ Ｐ＆（偽）
に於いて、すなはち、
② ～｛～Ｐ∨（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ）｝
③ 偽
に於いて、すなはち、
②＝③ である。
従って、
（10）～（15）により、
（16）
① Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
② ～｛Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）｝
に於いて、
① が「真」である以上、その「否定」である、
② は、必然的 に、「偽」である。
といふ「命題」は、「真」である。
然るに、
（17）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） Ｑ Ａ
１（３） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） （Ｐ→Ｑ）→Ｑ ３含意の定義
１（５）～Ｐ∨（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ４∨Ｉ
１（６） Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ５含意の定義
（ⅱ）
１ （１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（２） Ｐ→ Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
１２（４） Ｑ ２３ＭＰＰ
１ （５） ～Ｑ １＆Ｅ
１２（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ→Ｑ） ２ＲＡＡ
１ （８） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｑ ７∨Ｉ
１ （９） （Ｐ→Ｑ）→Ｑ ８含意の定義
１ （ア）～Ｐ∨（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ９∨Ｉ
１ （イ） Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ア含意の定義
（ⅲ）
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） Ｑ Ａ
１（３） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） （Ｐ→Ｑ）→Ｑ ３含意の定義
１（５）～Ｐ∨（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ４∨Ｉ
１（６） Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ５含意の定義
（ⅳ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２）～Ｐ １＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） ３含意の定義
従って、
（17）により、
（18）
① Ｐ＆ Ｑ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
② Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
③ ～Ｐ＆ Ｑ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
といふ「連式」は、４つとも「正しい」。
従って、
（18）により、
（19）
① Ｐが真で、Ｑが真である、としても、
② Ｐが真で、Ｑが偽である、としても、
③ Ｐが偽で、Ｑが真である、としても、
④ Ｐが偽で、Ｑが偽である、としても、
いづれにしても、
① Ｐならば（（ＰならばＱである）ならばＱである）。
といふ「命題」は、「恒に真」である。
従って、
（08）（16）（19）により、
（20）
① Ｐ，Ｐ→Ｑ├ Ｑ
② Ｐ├（Ｐ→Ｑ）→Ｑ
③ ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
であるため、
④ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
は「真」である。
といふことは、
④ の「否定」は「偽」であり、
④ は「命題変数（ＰとＱ）の真偽」に関はらず、「恒に真」である。
といふことに、「他ならない」。
―「文字数制限」をオバーするため、（01）～（14）を「省略」します。―
（15）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） Ｒ∨Ｐ Ａ
３ （３） Ｒ Ａ
３ （４） Ｒ∨Ｑ ３∨Ｉ
５（５） Ｐ Ａ
１ ５（６） Ｑ １５ＭＰＰ
１ ５（７） Ｒ∨Ｑ ６∨Ｉ
１２ （８） Ｒ∨Ｑ ２３４５７∨Ｅ
という「計算」に於ける、
① Ｐ→Ｑ
② Ｒ∨Ｐ
③ Ｒ∨Ｑ
という「論理式」に於いて、
① は「仮定」により「真」であり、
② も「仮定」により「真」であり、
③ は『規則』により「真」である。
従って、
（15）により、
（16）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） Ｒ∨Ｐ Ａ
３ （３） Ｒ Ａ
３ （４） Ｒ∨Ｑ ３∨Ｉ
５（５） Ｐ Ａ
１ ５（６） Ｑ １５ＭＰＰ
１ ５（７） Ｒ∨Ｑ ６∨Ｉ
１２ （８） Ｒ∨Ｑ ２３４５７∨Ｅ
１ （９）（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ２８ＣＰ
（ア）（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） １９ＣＰ
という「計算」は「妥当」であり、それ故、
① Ｐ→Ｑ，Ｒ∨Ｐ├ Ｒ∨Ｑ
② Ｐ→Ｑ├（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）
③ ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という「連式（Sequents）」は、「妥当」ある。
然るに、
（16）により、
（17）
③├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
に於ける、
③ （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という「論式」は、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」であって、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」は、「恒真式（トートロジー）である。
従って、
（15）（16）（17）により、
（18）
③├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という風に、
例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」がそうであるように、
（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の「論理式」は「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（19）
１（１） ～（（ Ｐ→Ｑ）→ （（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））） Ａ
１（２） ～（（～Ｐ∨Ｑ）→ （（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））） １含意の定義
１（３）～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ （（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））） ２含意の定義
１（４）～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ （～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ））） ３含意の定義
１（５） （～Ｐ∨Ｑ）＆～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）） ４ド・モルガンの法則
１（６） （～Ｐ∨Ｑ） ５＆Ｅ
１（７） ～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）） ５＆Ｅ
１（８） （Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｑ） ７ド・モルガンの法則
１（９） Ｒ∨Ｐ ８＆Ｅ
１（ア） ～（Ｒ∨Ｑ） ８＆Ｅ
１（イ） ～Ｒ＆～Ｑ ア、ド・モルガンの法則
１（ウ） ～Ｒ イ＆Ｅ
１（エ） ～Ｑ イ＆Ｅ
１（オ） Ｐ→Ｑ ６含意の定義
１（カ） ～Ｐ エオＭＴＴ
１（キ） ～Ｒ＆～Ｐ ウカ＆Ｉ
１（ク） ～（Ｒ∨Ｐ） キ、ド・モルガンの法則
１（ケ） ～（Ｒ∨Ｐ）＆（Ｒ∨Ｐ） ９ク＆Ｉ
従って、
（18）（19）により、
（20）
例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」がそうであるように、
（ⅱ）「恒真式（トートロジー）」の「否定」は、「恒偽式（矛盾）」である。
然るに、
（21）
１（１） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ Ａ
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
１（２） Ｑ Ａ
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
（ⅲ）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ Ａ
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
（ⅳ）
１ （１） Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
２（２） Ｐ→ Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
１２（４） Ｑ ２３ＭＰＰ
１ （５） ～Ｑ １＆Ｅ
１２（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ→Ｑ） ２６ＲＡＡ
１ （８）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ７∨Ｉ
１ （９）（ Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） １含意の定義
（ⅴ）
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｑ Ａ
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
（ⅵ）
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
１（２） Ｑ Ａ
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
（ⅶ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｑ Ａ
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
（ⅷ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
１ （２） ～Ｐ １＆Ｅ
３（３） ～（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） Ａ
３（４） ～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）） ３含意の定義
３（５） （Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｑ） ４ド・モルガンの法則
３（６） Ｒ∨Ｐ ５＆Ｅ
３（７） ～（Ｒ∨Ｑ） ５＆Ｅ
３（８） ～Ｒ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
３（９） ～Ｒ ８＆Ｅ
１３（ア） ～Ｒ＆～Ｐ ２９＆Ｉ
１３（イ） ～（Ｒ∨Ｐ） ア、ド・モルガンの法則
１３（ウ） （Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｐ） ６イ＆Ｉ
１ （エ） ～～（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ３ウＲＡＡ
１ （オ） （（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ＤＮ
１ （カ）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） オ∨Ｉ
１ （キ） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） カ含意の定義
従って、
（21）により、
（22）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
然るに、
（23）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→（ （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） Ａ
１ （２） ～（Ｐ→Ｑ）∨（ （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） １含意の定義
１ （３）～（～Ｐ∨Ｑ）∨（ （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ２含意の定義
１ （４）～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）） ３含意の定義
５ （５）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
５ （６） Ｐ＆～Ｑ ５ド・モルガンの法則
５ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ６∨Ｉ
８ （８） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） Ａ
９ （９） ～（Ｒ∨Ｐ） Ａ
９ （ア） （～Ｒ＆～Ｐ） ９ド・モルガンの法則
９ （イ） （～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ア∨Ｉ
ウ（ウ） （Ｒ∨Ｑ） Ａ
ウ（エ） （～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ウ∨Ｉ
８ （オ） （～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ８９イウエ∨Ｅ
８ （カ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） オ∨Ｉ
１ （キ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） １５７８カ∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３）～（～Ｐ∨Ｑ） ２ド・モルガンの法則
２ （４） ～（Ｐ→Ｑ） ３含意の定義
２ （５） ～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ４∨Ｉ
６ （６） （～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） Ａ
７ （７） （～Ｒ＆～Ｐ） Ａ
７ （８） ～（Ｒ∨Ｐ） ７ド・モルガンの法則
７ （９） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ８∨Ｉ
ア（ア） （Ｒ∨Ｑ） Ａ
ア（イ） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ア∨Ｉ
６ （ウ） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ６７９アイ∨Ｅ
６ （エ） （（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ウ含意の定義
６ （オ） ～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） エ∨Ｉ
１ （カ） ～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） １２５６オ∨Ｅ
１ （キ） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） カ含意の定義
従って、
（23）により、
（24）
①（Ｐ→ Ｑ）→（（Ｒ∨ Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（25）
（Ｒ）に対する「選言導入（ＤＩ）」により、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
という「連式（sequents）」は、４つとも、「妥当」である。
（26）
（Ｑ）に対する「選言導入（ＤＩ）」により、
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
という「連式（sequents）」は、２つとも、「妥当」である。
（27）
（Ｐ＆～Ｑ）に対する「選言導入（ＤＩ）」により、
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
という「連式（sequent）」は、「妥当」である。
（28）
（～Ｒ＆～Ｐ）に対する「選言導入（ＤＩ）」により、
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
という「連式（sequent）」は、「妥当」である。
従って、
（24）～（29）により、
（29）
いずれにせよ、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｒ＆～Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）
という「連式（sequents）」は、「妥当」である。
従って、
（22）（24）（29）により、
（30）
例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」がそうであるように、
（ⅲ）「命題変数（Ｐ，Ｑ，Ｒ）」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒真式（トートロジー）」の「真理値（真偽）」は、「恒に真」である。
従って、
（18）（20）（30）により、
（31）
例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」がそうであるように、
（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の「論理式」は「恒真式（トートロジー）」である。
（ⅱ）「恒真式（トートロジー）」の「否定」は、「恒偽式（矛盾）」である。
（ⅲ）「命題変数（Ｐ，Ｑ，Ｒ）」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒真式（トートロジー）」の「真理値（真偽）」は、「恒に真」である。
従って、
（14）（31）により、
（32）
例えば、「同一律」と「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」がそうであるように、
（ⅲ）「命題変数」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒真式（トートロジー）」の「真理値（真偽）」は、「恒に真」である。
従って、
（32）により、
（33）
① Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
② Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「連式（Sequents）」が「妥当」であり、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という「連式（Sequents）」が「妥当」であるからこそ、
「同一律」は、「恒に真」であって、
「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」も、「恒に真」である。
然るに、
（34）
例えば、
～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ ┤├ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
（ⅰ）
１ （１） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
１２ （４） ～Ｑ∨ Ｒ ２３ＭＰＰ
５ （５） ～Ｑ Ａ
１ （６） Ｑ １＆Ｅ
１ ５ （７） ～Ｑ＆Ｑ ６７＆Ｉ
５ （８）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １７ＲＡＡ
９（９） Ｒ Ａ
１ （ア） ～Ｒ １＆Ｅ
１ ９（イ） Ｒ＆～Ｒ ９ア＆Ｉ
９（ウ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １イＲＡＡ
１２ （エ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） ４５８９ウ∨Ｉ
１２ （オ） （～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）＆
～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～（～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ） ２オＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～（～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ） Ａ
１ （２）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） １含意の定義
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
３ （５） Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ ４∨Ｉ
１３ （６）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） ２５＆Ｉ
１ （７） ～Ｐ ５６ＲＡＡ
８ （８） ～Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
８ （ア） Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ ９∨Ｉ
１ ８ （イ）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） ２ア＆Ｉ
１ （ウ） ～～Ｑ ８ＲＡＡ
１ （エ） Ｑ ウＤＮ
オ（オ） Ｒ Ａ
オ（カ） ～Ｑ∨ Ｒ オ∨Ｉ
オ（キ） Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ ∨Ｉ
１ オ（ク）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） ２キ＆Ｉ
１ （ケ） ～Ｒ オクＲＡＡ
１ （コ） ～Ｐ＆ Ｑ ７エ＆Ｉ
１ （サ） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ ケコ＆Ｉ
従って、
（34）により、
（35）
① ～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ
② ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（35）により、
（36）
例えば、
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
という「連式（Sequent）」が「妥当」であるため、
⑥ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
という「論理式」の「否定」である所の、
⑥ ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ
という「論理式」に関しては、
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ
という「連式」の場合は、
（ⅲ）「命題変数」の「真理値（真偽）」に関わらず、「恒に真」である。
ということには「ならない」。
従って、
（33）（36）により、
（37）
⑥ ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ
という「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」ではない。
然るに、
（38）
〈練習問題２〉
仮定がすべて真になり、結論が偽になるような、変数への付値を見出すことによって、つぎの論証のパターンが不妥当（非トートロジー的）であることを示せ。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１０５頁）
〔私による、解答〕
（ａ）
① Ｐ＆Ｑ→Ｒ├ Ｐ→Ｒ
② Ｐ＆Ｑ→Ｒ├ 真→偽
③ 真＆Ｑ→偽├ 真→偽
④ 真＆偽→偽├ 真→偽
⑤ 偽 →偽├ 偽
⑥ 真 ├ 偽
（ｂ）
① Ｐ→Ｑ∨Ｒ├ Ｐ→Ｑ
② Ｐ→Ｑ∨Ｒ├ 真→偽
③ 真→偽∨Ｒ├ 真→偽
④ 真→偽∨真├ 真→偽
⑤ 真→ 真 ├ 偽
⑥ 真 ├ 偽
（ｃ）
① Ｐ→Ｑ，Ｐ→Ｒ├ Ｑ→Ｒ
② Ｐ→Ｑ，Ｐ→Ｒ├ 真→偽
③ Ｐ→真，Ｐ→偽├ 真→偽
④ 偽→真，偽→偽├ 真→偽
⑤ 真 ， 真 ├ 偽
（ｄ）
① Ｐ→Ｒ，Ｑ→Ｒ├ Ｐ→Ｑ
② Ｐ→Ｒ，Ｑ→Ｒ├ 真→偽
③ 真→Ｒ，偽→Ｒ├ 真→偽
④ 真→真，偽→真├ 真→偽
⑤ 真 ， 真 ├ 偽
（ｅ）
① Ｐ→（Ｑ→Ｒ），Ｑ，～Ｒ├ Ｐ
② Ｐ→（Ｑ→Ｒ），Ｑ，～Ｒ├ 偽
③ 偽→（Ｑ→Ｒ），Ｑ，～Ｒ├ 偽
④ 偽→（真→偽），真，～偽├ 偽
⑤ 偽→偽 ，真，真 ├ 偽
⑥ 真 ，真，真 ├ 偽
（ｆ）
① Ｐ⇔～Ｑ，Ｑ⇔～Ｒ，Ｒ⇔～Ｓ├ Ｐ⇔Ｓ
② Ｐ⇔～Ｑ，Ｑ⇔～Ｒ，Ｒ⇔～Ｓ├ 真⇔偽
③ 真⇔～Ｑ，Ｑ⇔～Ｒ，Ｒ⇔～偽├ 真⇔偽
④ 真⇔～偽，偽⇔～真，真⇔～偽├ 真⇔偽
⑤ 真⇔真 ，偽⇔真 ，真⇔真 ├ 真⇔偽
従って、
従って、
（33）（37）（38）により、
（39）
（Ｐ、Ｑ、Ｒを、変数として持つ所の、任意の論理式Ａ）は、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
であるか、または、「そうではない」。
然るに、
（40）
１ （１） Ｐ→（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ→ Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ→Ｒ １３ＭＰＰ
２３（５） Ｑ ２３ＭＰＰ
１２３（６） Ｒ ４５ＭＰＰ
１２ （７） Ｐ→Ｒ ３６ＣＰ
１ （８） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ） ２７ＣＰ
（９）（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） １８ＣＰ
であるものの（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））は、「岩波書店、現代論理学入門（1962年）」によると、「ルカジェヴィッツの公理（２）」である。
従って、
（39）（40）により、
（41）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
であるに、「違いない」。
然るに、
（42）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
に関しては、「４つまとめて」、
１（１） Ｒ Ａ
１（２） ～Ｐ∨Ｒ １∨Ｉ
１（３） Ｐ→Ｒ ２含意の定義
１（４） ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） ３∨Ｉ
１（６） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ） ４含意の定義
１（７）～（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））∨（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ６∨Ｉ
という風に、「証明」出来る。
然るに、
（43）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
に関しては、「２つまとめて」、
１（１） ～Ｐ Ａ
１（２） ～Ｐ∨Ｒ １∨Ｉ
１（３） Ｐ→Ｒ ２含意の定義
１（４） ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） ３∨Ｉ
１（６） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ） ４含意の定義
１（７）～（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））∨（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ６∨Ｉ
という風に、「証明」出来る。
然るに、
（44）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
に関しては、
１ （１） Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
２（２） Ｐ→（Ｑ→ Ｒ） Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
１２（４） Ｑ→ Ｒ ２３ＭＰＰ
１ （５） Ｑ １＆Ｅ
１２（６） Ｒ ４５ＭＰＰ
１ （７） ～Ｒ １＆Ｅ
１２（８） Ｒ＆～Ｒ ６７＆Ｉ
１ （９）～（Ｐ→（Ｑ→ Ｒ）） ２８ＲＡＡ
１ （ア）～（Ｐ→（Ｑ→ Ｒ））∨（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ９∨Ｉ
１ （イ） （Ｐ→（Ｑ→ Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ア含意の定義
という風に、「証明」出来る。
然るに、
（45）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
に関しては、
１ （１） Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
２（２） Ｐ→ Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
１２（４） Ｑ ２３ＭＰＰ
１ （５） ～Ｑ １＆Ｅ
１２（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ→Ｑ） ２６ＲＡＡ
１ （８） ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｒ） ７∨Ｉ
１ （９） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ） ８含意の定義
１ （ア）～（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））∨（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ９∨Ｉ
１ （イ） （Ｐ→（Ｑ→Ｒ））∨（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） ア含意の定義
従って、
（41）～（45）により、
（46）
果たして、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
という「連式（Sequents）」は「妥当」である。
従って、
（32）（33）（46）により、
（47）
① Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
② Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「連式（Sequents）」が「（４つとも）妥当」であり、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という「連式（Sequents）」が「（８つとも）妥当」であり、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
という「連式（Sequents）」が「（８つとも）妥当」であるからこそ、
「同一律（Law of identity）」は「恒真式（トートロジー）」であって、
「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」は「恒真式（トートロジー）」であって、
「ルカジェヴィッツの公理（２）」は「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（48）
１ （１） ～（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
２（２） Ｐ Ａ
２（３） Ｐ∨～Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ∨～Ｐ ５∨Ｉ
１ （７） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １６＆Ｉ
（８）～～（Ｐ∨～Ｐ） １７ＲＡＡ
（９） Ｐ∨～Ｐ ８ＤＮ
従って、
（47）（48）により、
（49）
（１） Ｐ∨～Ｐ ＴＩ（排中律）
（２） Ｑ∨～Ｑ ＴＩ（排中律）
３ （３） Ｐ Ａ
４ （４） Ｑ Ａ
３４ （５） Ｐ＆ Ｑ ３４＆Ｉ
３４ （６） Ｑ ５＆Ｅ
３４ （７） ～Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
３４ （８） Ｐ→Ｑ ７含意の定義
３４ （９）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ８∨Ｉ
ア （ア） ～Ｑ Ａ
３ ア （イ） Ｐ＆～Ｑ ３ア＆Ｉ
ウ （ウ） Ｐ→ Ｑ Ａ
３ ア （エ） Ｐ イ＆Ｅ
３ アウ （オ） Ｑ ウエＭＰＰ
３ ア （カ） ～Ｑ イ＆Ｅ
３ アウ （キ） Ｑ＆～Ｑ オカ＆Ｉ
３ ア （ク）～（Ｐ→Ｑ） ウキＲＡＡ
３ ア （ケ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ク∨Ｉ
３ （コ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ２４９アケ∨Ｅ
サ （サ） ～Ｐ Ａ
４ サ （シ） ～Ｐ＆ Ｑ ４サ＆Ｉ
４ サ （ス） ～Ｐ シ＆Ｅ
４ サ （セ） ～Ｐ∨Ｑ ス∨Ｉ
４ サ （ソ） Ｐ→Ｑ セ含意の定義
４ サ （タ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ソ∨Ｉ
ア サ （ツ） ～Ｐ＆～Ｑ アサ＆Ｉ
ア サ （テ） ～Ｐ ツ＆Ｅ
ア サ （ト） ～Ｐ∨Ｑ テ∨Ｉ
ア サ （ナ） Ｐ→Ｑ ト含意の定義
ア サ （ニ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ナ∨Ｉ
サ （ヌ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ２４タアニ∨Ｅ
（ネ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） １３コサヌ∨Ｅ
（ノ） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ネ含意の定義
従って、
（49）により、
（50）
（１）Ｐ∨～Ｐ ＴＩ（排中律）
（２）Ｑ∨～Ｑ ＴＩ（排中律）
３ （３）Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｐ Ａ
５ （５）Ｑ Ａ
６（６） ～Ｑ Ａ
３ ５ （７）（任意の恒真式） ３５ＳＩ（ⅰ）
３ ６（８）（任意の恒真式） ３６ＳＩ（ⅱ）
４５ （９）（任意の恒真式） ３７ＳＩ（ⅲ）
４ ６（ア）（任意の恒真式） ３８ＳＩ（ⅳ）
５ （イ）（任意の恒真式） １３７４９∨Ｅ
６（ウ）（任意の恒真式） １３８４ア∨Ｅ
（エ）（任意の恒真式） ２５イ６ウ∨Ｅ
という「計算」により、例えば、
① Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
② Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「連式」は、
①├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
という「連式」に「書き換える」ことが出来る。
従って、
（47）～（50）により、
（51）
（１）Ｐ∨～Ｐ ＴＩ（排中律）
（２）Ｑ∨～Ｑ ＴＩ（排中律）
（３）Ｒ∨～Ｒ ＴＩ（排中律）
によって、例えば、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という「連式」は、
①├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
という「連式」に「書き換える」ことが出来る。
従って、
（51）により、
（52）
（Ｐ、Ｑ、Ｒを、変数として持つ所の、任意の論理式Ａ）に対して、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
という「連式（Sequents）」が「（８つとも）妥当」であるならば、
①├（任意の論理式Ａ）
という「連式」に「書き換える」ことが出来る。
従って、
（16）（40）（52）により、
（53）
①├（任意の論理式Ａ）
という「連式（Sequents）」が、
②├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
という「連式」であるならば、これらの「連式」は、
② Ｐ→Ｑ，Ｒ∨Ｐ├ Ｒ∨Ｑ
③ Ｐ→（Ｑ→Ｒ），Ｐ→Ｑ├ Ｐ→Ｒ
という「連式」に「書き換える」ことが出来るものの、「これらの連式」は、「妥当」である。
従って、
（51）（52）（53）により、
（54）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（任意の論理式Ａ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（任意の論理式Ａ）
の中の、「一つの例（instance）」として、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
といふ「連式（Sequents）」が「妥当」であるが故に、
② ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② Ｐ→Ｑ，Ｒ∨Ｐ├ Ｒ∨Ｑ
という「連式（ヒルベルト・アッカーマンの公理４）」が「妥当」となる。
（01）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） Ｒ∨Ｐ Ａ
３ （３） Ｒ Ａ
３ （４） Ｒ∨Ｑ ３∨Ｉ
５（５） Ｐ Ａ
１ ５（６） Ｑ １５ＭＰＰ
１ ５（７） Ｒ∨Ｑ ６∨Ｉ
１２ （８） Ｒ∨Ｑ ２３４５７∨Ｅ
１ （９）（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ２８ＣＰ
（ア）（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） １９ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→Ｑ，Ｒ∨Ｐ├ Ｒ∨Ｑ
② Ｐ→Ｑ├（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）
③ ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
といふ「３つの連式」は、「恒真（トートロジー）的」である。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１（１）～（Ｒ∨Ｑ） Ａ
１（２）～Ｒ＆～Ｑ １ド・モルガンの法則
（ⅱ）
１（１）～（ （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） Ａ
１（２）～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）） １含意の定義
１（３） （Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｑ） ２ド・モルガンの法則
１（４） （Ｒ∨Ｐ） ３＆Ｅ
１（５） ～～Ｒ∨Ｐ ４ＤＮ
１（６） ～Ｒ→Ｐ ５含意の定義
１（７） ～Ｒ＆Ｑ ３＆Ｅ
１（８） ～Ｒ ７＆Ｅ
１（９） Ｑ ７＆Ｅ
１（ア） Ｐ ６８ＭＰＰ
１（イ） Ｐ＆Ｑ ９ア＆Ｉ
（ⅲ）
１（１）～（ （ Ｐ→Ｑ）→ （ （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））） Ａ
１（２）～（ （～Ｐ∨Ｑ）→ （ （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））） １含意の定義
１（３）～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ （ （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））） ２含意の定義
１（４）～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ （～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ））） ３含意の定義
１（５） （～Ｐ∨Ｑ）＆～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）） ４ド・モルガンの法則
１（６） （～Ｐ∨Ｑ） ５＆Ｅ
１（７） ～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）） ５＆Ｅ
１（８） （Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｑ） ７ド・モルガンの法則
１（９） Ｒ∨Ｐ ８＆Ｅ
１（ア） ～（Ｒ∨Ｑ） ８＆Ｅ
１（イ） ～Ｒ＆～Ｑ ア、ド・モルガンの法則
１（ウ） ～Ｒ イ＆Ｅ
１（エ） ～Ｑ イ＆Ｅ
１（オ） Ｐ→Ｑ ６含意の定義
１（カ） ～Ｐ エオＭＴＴ
１（キ） ～Ｒ＆～Ｐ ウカ＆Ｉ
１（ク） ～（Ｒ∨Ｐ） キ、ド・モルガンの法則
１（ケ） ～（Ｒ∨Ｐ）＆（Ｒ∨Ｐ） ９ク＆Ｉ
従って、
（02）（03）により、
（04）
① Ｐ→Ｑ，Ｒ∨Ｐ├ Ｒ∨Ｑ
② Ｐ→Ｑ├（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）
③ ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
に於ける、
① Ｒ∨Ｑ
②（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）
③（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
に対する、それぞれの「否定」である所の、
① ～（Ｒ∨Ｑ）
② ～（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ ～（（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）））
に於いて、
① は「矛盾」ではなく、
② も「矛盾」ではなく、
③ は「矛盾」であるが、「矛盾」は「偽」である。
従って、
（04）により、
（05）
① Ｒ∨Ｑ
②（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）
③（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
に於いて、
① は、その「否定」が「偽」でないが故に、それ自体は、「真」でも「偽」でもなく、
② も、その「否定」が「偽」でないが故に、それ自体は、「真」でも「偽」でもなく、
③ は、その「否定」が「偽」であるが故に、それ自体が、「真」である。
従って、
（05）により、
（06）
例えば、
「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」である所の、
③（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
といふ「論理式」は、それ自体が「真」である。
然るに、
（07）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ Ａ
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
１（２） Ｑ Ａ
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
（ⅲ）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ Ａ
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
（ⅳ）
１ （１） Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
２（２） Ｐ→ Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
１２（４） Ｑ ２３ＭＰＰ
１ （５） ～Ｑ １＆Ｅ
１２（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ→Ｑ） ２６ＲＡＡ
１ （８）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ７∨Ｉ
１ （９）（ Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） １含意の定義
（ⅴ）
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｑ Ａ
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
（ⅵ）
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
１（２） Ｑ Ａ
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
（ⅶ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｑ Ａ
１（３） Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） ～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ４含意の定義
１（６）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ５∨Ｉ
１（７） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ６含意の定義
（ⅷ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
１ （２） ～Ｐ １＆Ｅ
３（３） ～（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） Ａ
３（４） ～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）） ３含意の定義
３（５） （Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｑ） ４ド・モルガンの法則
３（６） Ｒ∨Ｐ ５＆Ｅ
３（７） ～（Ｒ∨Ｑ） ５＆Ｅ
３（８） ～Ｒ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
３（９） ～Ｒ ８＆Ｅ
１３（ア） ～Ｒ＆～Ｐ ２９＆Ｉ
１３（イ） ～（Ｒ∨Ｐ） ア、ド・モルガンの法則
１３（ウ） （Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｐ） ６イ＆Ｉ
１ （エ） ～～（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） ３ウＲＡＡ
１ （オ） （（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） エ、ド・モルガンの法則
１ （カ）～（Ｐ→Ｑ）∨（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） オ∨Ｉ
１ （キ） （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） カ含意の定義
従って、
（07）により、
（08）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
従って、
（08）により、
（09）
① Ｐ（真）＆Ｑ（真）＆Ｒ（真）├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
② Ｐ（真）＆Ｑ（真）＆Ｒ（偽）├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
③ Ｐ（真）＆Ｑ（偽）＆Ｒ（真）├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
④ Ｐ（真）＆Ｑ（偽）＆Ｒ（偽）├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑤ Ｐ（偽）＆Ｑ（真）＆Ｒ（真）├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑥ Ｐ（偽）＆Ｑ（真）＆Ｒ（偽）├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑦ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）＆Ｒ（真）├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
⑧ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）＆Ｒ（偽）├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
従って、
（06）（09）により、
（10）
「ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）」である所の、
③（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
といふ「論理式」が、それ自体が「真」である。
といふことは、
③「命題変数（Ｐ・Ｑ・Ｒ）」の「真偽」とは「無関係」に「真」である。
といふことに、「他ならない」。
（01）
（ⅰ）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ １含意の定義
１ （３）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ １含意の定義
４ （４）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
４ （５） Ｐ＆～Ｑ ４ド・モルガンの法則
４ （６） Ｐ ５＆Ｅ
７（７） Ｐ Ａ
１ （８） Ｐ ３４６７７∨Ｅ
（９）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １８ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） Ｒ∨Ｐ Ａ
３ （３） Ｒ Ａ
３ （４） Ｒ∨Ｑ ３∨Ｉ
５（５） Ｐ Ａ
１ ５（６） Ｑ １５ＭＰＰ
１ ５（７） Ｒ∨Ｑ ６∨Ｉ
１２ （８） Ｒ∨Ｑ ２３４５７∨Ｅ
１ （９）（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ） ２８ＣＰ
（ア）（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）） １９ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
①├ Ｐ→Ｐ
②├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③├ （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
従って、
（02）により、
（03）
① 同一律。
② パースの法則。
④ ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）。
に於いて、
① は「恒真式（トートロジー）」であって、
② も「恒真式（トートロジー）」であって、
③ も「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１（１） ～（Ｐ→Ｐ） Ａ
１（２）～（～Ｐ∨Ｐ） １含意の定義
１（３） Ｐ＆～Ｐ ２ド・モルガンの法則
（ⅱ）
１ （１） ～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ） Ａ
１ （２） ～（（（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ） １含意の定義
１ （３） ～（（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）→ Ｐ） ２含意の定義
１ （４）～（～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）∨ Ｐ） ３含意の定義
１ （５） （～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ ４ド・モルガンの法則
１ （６） （（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ ５ド・モルガンの法則
１ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ６＆Ｅ
８ （８） Ｐ＆～Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ７８９アア∨Ｅ
１ （ウ） ～Ｐ ６＆Ｅ
１ （エ） Ｐ＆～Ｐ イウ＆Ｉ
（ⅲ）
１（１）～（ （ Ｐ→Ｑ）→ （ （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））） Ａ
１（２）～（ （～Ｐ∨Ｑ）→ （ （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））） １含意の定義
１（３）～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ （ （Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））） ２含意の定義
１（４）～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨ （～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ））） ３含意の定義
１（５） （～Ｐ∨Ｑ）＆～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）） ４含意の定義
１（６） （～Ｐ∨Ｑ） ５＆Ｅ
１（７） ～（～（Ｒ∨Ｐ）∨（Ｒ∨Ｑ）） ５＆Ｅ
１（８） （Ｒ∨Ｐ）＆～（Ｒ∨Ｑ） ７ド・モルガンの法則
１（９） Ｒ∨Ｐ ８＆Ｅ
１（ア） ～（Ｒ∨Ｑ） ８＆Ｅ
１（イ） ～Ｒ＆～Ｑ ア、ド・モルガンの法則
１（ウ） ～Ｒ イ＆Ｅ
１（エ） ～Ｑ イ＆Ｅ
１（オ） Ｐ→Ｑ ６含意の定義
１（カ） ～Ｐ エオＭＴＴ
１（キ） ～Ｒ＆～Ｐ ウカ＆Ｉ
１（ク） ～（Ｒ∨Ｐ） キ、ド・モルガンの法則
１（ケ） ～（Ｒ∨Ｐ）＆（Ｒ∨Ｐ） ９ク＆Ｉ
従って、
（03）（04）により、
（05）
① 同一律。
② パースの法則。
④ ヒルベルト・アッカーマンの公理（４）。
に於いて、
① の「否定」は「矛盾」であり、
② の「否定」も「矛盾」であり、
③ の「否定」も「矛盾」である。
然るに、
（06）
１（１）～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ） Ａ
１（２）～（ Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ） １含意の定義
１（３） ～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ ２ド・モルガンの法則
従って、
（06）により、
（07）
例へば、
④ ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ
の「否定」は、「矛盾」ではない。
然るに、
（08）
～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ） ┤├ ～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ
（ⅳ）
１ （１）～（～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ） Ａ
１ （２）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） １含意の定義
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
３ （５） Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ ４∨Ｉ
１３ （６）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） ２５＆Ｉ
１ （７） ～Ｐ ５６ＲＡＡ
８ （８） ～Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
８ （ア） Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ ９∨Ｉ
１ ８ （イ）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） ２ア＆Ｉ
１ （ウ） ～～Ｑ ８ＲＡＡ
１ （エ） Ｑ ウＤＮ
オ（オ） Ｒ Ａ
オ（カ） ～Ｑ∨ Ｒ オ∨Ｉ
オ（キ） Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ ∨Ｉ
１ オ（ク）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） ２キ＆Ｉ
１ （ケ） ～Ｒ オクＲＡＡ
１ （コ） ～Ｐ＆ Ｑ ７エ＆Ｉ
１ （サ） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ ケコ＆Ｉ
（ⅴ）
１ （１） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
１２ （４） ～Ｑ∨ Ｒ ２３ＭＰＰ
５ （５） ～Ｑ Ａ
１ （６） Ｑ １＆Ｅ
１ ５ （７） ～Ｑ＆Ｑ ６７＆Ｉ
５ （８）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １７ＲＡＡ
９（９） Ｒ Ａ
１ （ア） ～Ｒ １＆Ｅ
１ ９（イ） Ｒ＆～Ｒ ９ア＆Ｉ
９（ウ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １イＲＡＡ
１２ （エ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） ４５８９ウ∨Ｉ
１２ （オ） （～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）＆
～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～（～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ） ２オＲＡＡ
従って、
（08）により、
（09）
④ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（09）により、
（10）
⑤ Ｐ（偽），Ｑ（真），Ｒ（偽）
であるときに限って、
④ ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ
といふ「論理式」は、「偽」になる。
従って、
（10）により、
（11）
④ ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」ではない。
従って、
（01）～（11）により、
（12）
① Ｐ→Ｐ
②（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③ （Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ））
④ ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ
に於いて、
④ だけが、「恒真式（トートロジー）」ではなく、
① ～（Ｐ→Ｐ）
② ～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ）
③ ～（（Ｐ→Ｑ）→（（Ｒ∨Ｐ）→（Ｒ∨Ｑ）））
④ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
に於いて、
④ だけが、「矛盾」ではない。
従って、
（12）により、
（13）
（ａ）「恒真式（トートロジー）」とは、
（ｂ）「否定」をすると、「矛盾」になる所の「論理式」である。
に、「違ひない」
―「含意の定義（Ｄｆ.→）」―
（01）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １２ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨Ｑ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨Ｑ オ∨Ｉ
８ オ（キ） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ８カ＆Ｉ
８ （ク） ～Ｑ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｐ＆～Ｑ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ８コＲＡＡ
１ （シ） ～Ｐ∨Ｑ サＤＮ
（02）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２３ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＤＮ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
（ａ） Ｐ→ Ｑ
（ｂ） Ｐ＆～Ｑ
（ｃ）～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
（ａ）と（ｂ）は『矛盾』し、
（ｂ）と（ｃ）も『矛盾』し、それ故、
（ａ）と（ｃ）は『等しい』。
従って、
（03）により、
（04）
① Ｐ→Ｑ（Ｐであるならば、Ｑである）。
② ～Ｐ∨Ｑ（Ｐでないか、または、Ｑである）。
③ ～～Ｐ→Ｑ（Ｐでない、でないならば、Ｑである）。
に於いて、
①＝②＝③ である（含意の定義）。
例へば、
（05）
① Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
に於いて、
① Ｐ→ＱとＰ を 「連式の仮定」と言ひ。
① Ｑ を「連式の結論」と言ふ。
然るに、
（06）
（ａ）「連式の仮定」に「偽」が「１つも無く（０個であって）」、
（ｂ）「連式の結論」が「偽」でないならば、そのときに限って、その「連式」は「トートロジー的（tautologous）」である。
然るに、
（07）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２（２） Ｐ Ａ
１２（３） Ｑ １２ＭＰＰ
１ （４） Ｐ→Ｑ ２３ＣＰ
（５）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） １４ＣＰ
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
（３）（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ １２ＣＰ
（ⅲ）
１（１）Ｐ Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
（３）Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） １２ＣＰ
従って、
（06）（07）により、
（08）
① Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
② Ｐ＆Ｑ├ Ｐ
③ Ｐ├ Ｐ∨Ｑ
は「トートロジー的連式（sequents）」であるため、
①├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
②├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
③├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
も「トートロジー的連式（sequents）」である。
然るに、
（09）
①├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
②├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
③├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
といふ「トートロジー的連式（sequents）」に於ける、
①（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
③ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
といふ「結論」は、それぞれ、
①「同一律 （トートロジー）」であって、
②「連言除去（トートロジー）」であって、
③「選言導入（トートロジー）」である。
従って、
（06）（09）により、
（10）
①├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
②├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
③├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
のやうに、
（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の「連式の結論」は、「恒真式（トートロジー）」である。
ｃｆ.
「仮定の個数」が「０個」であるならば、固より、「偽なる仮定の個数」も「０個」である。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１（１） ～｛（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）｝ Ａ
１（２）～｛～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）｝ １含意の定義
１（３） （Ｐ→Ｑ）＆～（Ｐ→Ｑ） ２ド・モルガンの法則
１（４） （Ｐ→Ｑ） ３＆Ｅ
１（５） ～（Ｐ→Ｑ） ３＆Ｅ
１（６） ～（～Ｐ∨Ｑ） ５含意の定義
１（７） Ｐ＆～Ｑ ６ド・モルガンの法則
１（８） Ｐ ７＆Ｅ
１（９） Ｑ ４８ＭＰＰ
１（ア） ～Ｑ ７＆Ｅ
１（イ） Ｑ＆～Ｑ ８９＆Ｉ
（ウ）～～｛（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）｝ １ＲＡＡ
（エ） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ウＤＮ
（ⅱ）
１（１） ～｛（Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ｝ Ａ
１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｐ｝ １含意の定義
１（３） （Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ＆Ｑ ３＆Ｅ
１（５） Ｐ ４＆Ｅ
１（６） ～Ｐ ３＆Ｅ
１（７） Ｐ＆～Ｐ ５６＆Ｉ
（８）～～｛（Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ｝ １７ＲＡＡ
（９） （Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ ８ＤＮ
（ⅲ）
１（１） ～｛Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝ Ａ
１（２）～｛～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）｝ １含意の定義
１（３） Ｐ＆～（Ｐ∨Ｑ） ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ ３＆Ｅ
１（５） ～（Ｐ∨Ｑ） ３＆Ｅ
１（６） ～Ｐ＆～Ｑ ５ド・モルガンの法則
１（７） ～Ｐ ６＆Ｅ
１（８） Ｐ＆～Ｐ ４７＆Ｉ
（９） Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） １８ＲＡＡ
従って、
（11）により、
（12）
① ～｛（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）｝├ Ｑ＆～Ｑ
② ～｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ｝├ Ｐ＆～Ｐ
③ ～｛Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝├ Ｐ＆～Ｐ
のやうに、
（ⅱ）「否定」をすると「矛盾」が生じる所の「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（10）（12）により、
（13）
（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の、「連式の結論（恒真式）」は、その一方で、
（ⅱ）「否定」をすると「矛盾」が生じる所の「論理式」である。
然るに、
（14）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
１（５）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ４∨Ｉ
１（６） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ５含意の定義
（ⅱ）
１ （１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（２） Ｐ→ Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
１２（４） Ｑ ２３ＭＰＰ
１ （５） ～Ｑ １＆Ｅ
１２（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ→Ｑ） ２６ＲＡＡ
１ （８）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ７∨Ｉ
１ （９） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ８含意の定義
（ⅲ）
１（１） ～Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
１（５）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ４∨Ｉ
１（６） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ５含意の定義
（ⅳ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
１（５）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ４∨Ｉ
１（６） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ５含意の定義
然るに、
（15）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４） （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ３含意の定義
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４） （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ３含意の定義
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ＆Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆Ｑ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
２（４） Ｐ ２＆Ｅ
１２（５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
１ （６）～（Ｐ＆Ｑ） ２５ＲＡＡ
１ （７）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ７含意の定義
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１ （３） Ｑ １＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） ～Ｑ＆Ｑ ３４＆Ｉ
１ （６）～（Ｐ＆Ｑ） ２５ＲＡＡ
１ （７）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ７含意の定義
然るに、
（16）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４）～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ４含意の定義
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４）～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ） ３∨Ｉ
１（５） Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ４含意の定義
（ⅲ）
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ １＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ） ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ３含意の定義
（ⅳ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ １＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ） ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ３含意の定義
従って、
（14）により、
（17）
① Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
② Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
然るに、
（15）により、
（18）
① Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
② Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
然るに、
（16）により、
（19）
① Ｐ＆ Ｑ├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
② Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
③ ～Ｐ＆ Ｑ├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
従って、
（17）により、
（20）
① Ｐ（真）＆Ｑ（真）├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
② Ｐ（真）＆Ｑ（偽）├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
然るに、
（18）により、
（21）
① Ｐ（真）＆Ｑ（真）├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
② Ｐ（真）＆Ｑ（偽）├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
③ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
④ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
然るに、
（19）により、
（22）
① Ｐ（真）＆Ｑ（真）├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
② Ｐ（真）＆Ｑ（偽）├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
③ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
④ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
然るに、
（23）
１（１）～Ｐ Ａ
（２）～Ｐ→～Ｐ １１ＣＰ
（３） Ｐ∨～Ｐ ２含意の定義
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
２（２） Ｐ Ａ
２（３） Ｐ∨～Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ∨～Ｐ ５∨Ｉ
１ （７） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １６＆Ｉ
（８）～～（Ｐ∨～Ｐ） １７ＲＡＡ
（９） Ｐ∨～Ｐ ８ＤＮ
然るに、
（24）
（１） Ｐ∨～Ｐ ＴＩ（排中律）
（２） Ｑ∨～Ｑ ＴＩ（排中律）
３ （３） Ｐ Ａ
４ （４） Ｑ Ａ
３４ （５） Ｐ＆Ｑ ３４＆Ｉ
３４ （６） Ｑ ５＆Ｅ
３４ （７） ～Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
３４ （８） Ｐ→Ｑ ７含意の定義
３４ （９）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ８∨Ｉ
ア （ア） ～Ｑ Ａ
３ ア （イ） Ｐ＆～Ｑ ３ア＆Ｉ
ウ （ウ） Ｐ→ Ｑ Ａ
３ ア （エ） Ｐ イ＆Ｅ
３ アウ （オ） Ｑ ウエＭＰＰ
３ ア （カ） ～Ｑ イ＆Ｅ
３ アウ （キ） Ｑ＆～Ｑ オカ＆Ｉ
３ ア （ク）～（Ｐ→Ｑ） ウキＲＡＡ
３ ア （ケ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ク∨Ｉ
３ （コ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ２４９アケ∨Ｅ
サ （サ） ～Ｐ Ａ
４ サ （シ） ～Ｐ＆Ｑ ４サ＆Ｉ
４ サ （ス） ～Ｐ シ＆Ｅ
４ サ （セ） ～Ｐ∨Ｑ ス∨Ｉ
４ サ （ソ） Ｐ→Ｑ セ含意の定義
４ サ （タ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ソ∨Ｉ
ア サ （ツ） ～Ｐ＆～Ｑ アサ＆Ｉ
ア サ （テ） ～Ｐ ツ＆Ｅ
ア サ （ト） ～Ｐ∨Ｑ テ∨Ｉ
ア サ （ナ） Ｐ→Ｑ ト含意の定義
ア サ （ニ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ナ∨Ｉ
サ （ヌ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） ２４タアニ∨Ｅ
（ネ）～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ） １３コサヌ∨Ｅ
（ノ） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ネ含意の定義
従って、
（24）により、
（25）
① Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
② Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③ ～Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
といふ「連式」、すなはち、
① Ｐ（真）＆Ｑ（真）├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
② Ｐ（真）＆Ｑ（偽）├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
といふ「連式」は、４とつも、
①├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
②├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
といふ風に、
（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の、「連式」に、「書き換へる」ことが出来る。
従って、
（20）～（25）により、
（26）
「同様」にして、
① Ｐ（真）＆Ｑ（真）├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
② Ｐ（真）＆Ｑ（偽）├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
③ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
④ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
といふ「連式」と、
① Ｐ（真）＆Ｑ（真）├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
② Ｐ（真）＆Ｑ（偽）├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
③ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
④ Ｐ（偽）＆Ｑ（偽）├ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
といふ「連式」も、
（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の、「連式」に、「書き換へる」ことが出来る。
従って、
（10）（25）（26）により、
（27）
（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の、「連式の結論（恒真式）」は、その一方で、
（ⅲ）「命題変数（ＰとＱ）の真偽」に関わらず、「恒に真」である所の「論理式」である。
従って、
（13）（27）により、
（28）
（ⅰ）「恒真式（トートロジー）」とは、
（ⅱ）「仮定の個数」が「０個」である所の、 「連式の結論」であって、
（ⅲ）「否定」をすると「矛盾」が生じる所の 「論理式」であって、その上、
（ⅳ）「命題変数（ＰとＱ）の真偽」に関はらず「恒に真」である所の「論理式」である。
然るに、
（29）
１ （１） ～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ） Ａ
１ （２） ～（（（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ） １含意の定義
１ （３） ～（（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）→ Ｐ） ２含意の定義
１ （４）～（～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）∨ Ｐ） ３含意の定義
１ （５） （～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ ４ド・モルガンの法則
１ （６） （（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ ５ド・モルガンの法則
１ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ６＆Ｅ
８ （８） Ｐ＆～Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ７８９アア∨Ｅ
１ （ウ） ～Ｐ ６＆Ｅ
１ （エ） Ｐ＆～Ｐ（矛盾） イウ＆Ｉ
（オ） ～～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ） １エＲＡＡ
（カ） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ オＤＮ
従って、
（30）
⑤├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「（仮定の個数が０である所の）連式」は「妥当」である。
然るに、
（31）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３）～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ３含意の定義
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３）～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ３含意の定義
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ＆Ｑ Ａ
２（２） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （３） Ｑ １＆Ｅ
１ （４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
１ （５） Ｐ→Ｑ ４含意の定義
１２（６） Ｐ ２５ＭＰＰ
１ （７） ～Ｐ １＆Ｅ
１２（８） ～Ｐ＆Ｐ ６７＆Ｉ
１ （９）～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ） ２８ＲＡＡ
１ （ア）～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ ９∨Ｉ
１ （イ） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ア含意の定義
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１ （２） ～Ｐ １＆Ｅ
１ （３） ～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１ （４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
２（５） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
１２（６） Ｐ ４５ＭＰＰ
１２（７） ～Ｐ＆Ｐ ２６＆Ｉ
１ （８）～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ ２７ＲＡＡ
１ （９）～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ ８∨Ｉ
１ （ア） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ８含意の定義
従って、
（20）～（25）、（31）により、
（32）
（１）Ｐ∨～Ｐ ＴＩ（排中律）
（２）Ｑ∨～Ｑ ＴＩ（排中律）
３ （３）Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｐ Ａ
５ （５）Ｑ Ａ
６（６） ～Ｑ Ａ
３ ５ （７）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ３５ＳＩ（ⅰ）
３ ６（８）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ３６ＳＩ（ⅱ）
４５ （９）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ３７ＳＩ（ⅲ）
４ ６（ア）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ３８ＳＩ（ⅳ）
５ （イ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １３７４９∨Ｅ
６（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １３８４ア∨Ｅ
（エ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ２５イ６ウ∨Ｅ
（E.J.レモン 著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１１３頁改）
といふ「（排中律を用いた）計算」によって、
①├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
④├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ風に、
（ⅰ）「仮定の個数」が「０個」である所の、「連式（パースの法則）」に、「書き換へる」ことが出来る。
従って、
（09）（28）（32）により、
（33）
（ⅰ）「恒真式（トートロジー）」とは、
（ⅱ）「同一律・連言除去・選言導入・パースの法則」等がそうであるやうに、
（ⅲ）「仮定の個数」が「０個」である所の、 「連式の結論」であって、
（ⅳ）「否定」をすると「矛盾」が生じる所の 「論理式」であって、その上、
（ⅴ）「命題変数（ＰとＱ）の真偽」に関はらず「恒に真」である所の「論理式」である。
従って、
（33）により、
（34）
トートロジー（英: tautology, 希: ταυτολογία, 語源はギリシャ語で「同じ」を意味するταυτοから）とは、ある事柄を述べるのに、同義語[1]または類語[2]または同語[3]を反復させる修辞技法のこと。同義語反復、類語反復、同語反復等と訳される。関連した概念に冗語があり、しばしば同じ意味で使われることもある。また、撞着語法はトートロジーの反対の技法である（ウィキペディア）。
といふ「説明」は、「恒真式（トートロジー）」の「説明」としては、「表面的」であって、「正しい」とは言へない。
然るに、
（04）により、
（35）
もう一度、確認すると、
① Ｐ→Ｑ（Ｐであるならば、Ｑである）。
② ～Ｐ∨Ｑ（Ｐでないか、または、Ｑである）。
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
然るに、
（36）
１ （１）～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２）～Ｐ Ａ
２ （３）～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
５（５） Ｑ Ａ
５（６）～Ｐ∨Ｑ ５∨Ｉ
５（７） Ｐ→Ｑ ６含意の定義
１ （８） Ｐ→Ｑ １２４５７∨Ｅ
従って、
（36）により、
（37）
１ （１）～Ｐ∨Ｑ Ａ
ではなく、
１ （２）Ｐ＆～Ｑ Ａ
であるならば、
２ （３）～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
５（５） Ｑ Ａ
５（６）～Ｐ∨Ｑ ５∨Ｉ
５（７） Ｐ→Ｑ ６含意の定義
１ （８） Ｐ→Ｑ １２４５７∨Ｅ
といふことには、「ならない」。
従って、
（36）により、
（37）
① Ｐ＆ Ｑ├ Ｐ→Ｑ
② Ｐ＆～Ｑ├ ～（Ｐ→Ｑ）
③ ～Ｐ＆ Ｑ├ Ｐ→Ｑ
④ ～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→Ｑ
然るに、
（38）
１（１） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
１（２）～（～Ｐ∨Ｑ） １含意の定義
１（３） Ｐ＆～Ｑ ２ド・モルガンの法則
然るに、
（39）
① Ｐ＆～Ｐ
② Ｐ＆～Ｑ
に於いて、言ふまでもなく、
① は「矛盾」であるが、
② は「矛盾」ではない。
従って、
（38）（39）により、
（40）
（ⅰ）
１（１） ～（Ｐ→Ｐ） Ａ
１（２）～（～Ｐ∨Ｐ） １含意の定義
１（３） Ｐ＆～Ｐ ２ド・モルガンの法則
（４）～～（Ｐ→Ｐ） １３ＲＡＡ
（５） Ｐ→Ｐ ４ＤＮ
に対して、
（ⅱ）
１（１） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
１（２）～（～Ｐ∨Ｑ） １含意の定義
１（３） Ｐ＆～Ｑ ２ド・モルガンの法則
（４）～～（Ｐ→Ｑ） １３ＲＡＡ
（５） Ｐ→Ｑ ４ＤＮ
ではない。
従って、
（33）～（40）により、
（41）
例へば、
① Ｐ→Ｐ（Ｐであるならば、Ｐである）。
② Ｐ→Ｑ（Ｐであるならば、Ｑである）。
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であるが、
② は、「恒真式（トートロジー）」ではない。