（01）
① 弟子不必不如師＝
① 弟子不二必不一レ如レ師＝
① 弟子不［必不〔如（師）〕］⇒
① 弟子［必〔（師）如〕不］不＝
① 弟子は［必ずしも〔（師に）如か〕ずんば］あらず＝
① 弟子は、必ずしも、師匠に及ばない。といふわけではない（師の説、韓愈）。
然るに、
（02）
（ⅱ）
１ （１）～∀ｘ｛弟子ｘ→ ∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～｛弟子ｘ→ ∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）｝ １量化子の関係
３（３） ～｛弟子ａ→ ∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）｝ Ａ（２の代表的選言項）
３（４） ～｛～弟子ａ∨∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）｝ ３含意の定義
３（５） 弟子ａ＆～∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ） ４ド・モルガンの法則
３（６） 弟子ａ ５＆Ｅ
３（７） ～∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ） ５＆Ｅ
３（８） ∀ｙ～（師ｙａ＆～如ａｙ） ６量化子の関係
３（９） ～（師ｂａ＆～如ａｂ） ７ＵＥ
３（ア） ～師ｂａ∨ 如ａｂ ８ド・モルガンの法則
３（イ） 師ｂａ→ 如ａｂ ９含意の定義
３（ウ） ∀ｙ（師ｙａ→ 如ａｙ） イＵＩ
３（エ） 弟子ａ＆ ∀ｙ（師ｙａ→ 如ａｙ） ５ウ＆Ｉ
３（オ） ∃ｘ｛弟子ｘ＆ ∀ｙ（師ｙｘ→ 如ｘｙ）｝ エＥＩ
１ （カ） ∃ｘ｛弟子ｘ＆ ∀ｙ（師ｙｘ→ 如ｘｙ）｝ ２３オＥＥ
（ⅲ）
１ （１） ∃ｘ｛弟子ｘ＆ ∀ｙ（師ｙｘ→ 如ｘｙ）｝ Ａ
２ （２） 弟子ａ＆ ∀ｙ（師ｙａ→ 如ａｙ） Ａ（１の代表的選言項）
２ （３） 弟子ａ ２＆Ｅ
２ （４） ∀ｙ（師ｙａ→ 如ａｙ） ２＆Ｅ
２ （５） 師ｂａ→ 如ａｂ ４ＵＥ
２ （６） ～師ｂａ∨ 如ａｂ ５含意の定義
２ （７） ～（師ｂａ＆～如ａｂ） ６ド・モルガンの法則
２ （８） ∀ｙ～（師ｙａ＆～如ａｙ） ７ＵＩ
２ （９） ～∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ） ８量化子の関係
ア（ア） 弟子ａ→ ∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ） Ａ（エのＲＡＡを目指す）
２ア（イ） ∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ） ３アＭＰＰ
２ア（ウ） ～∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）＆
∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ） ９イ＆Ｉ
２ （エ） ～｛弟子ａ→ ∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ） アウＲＡＡ
２ （オ）∃ｘ～｛弟子ｘ→ ∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）｝ エＥＩ
１ （カ）∃ｘ～｛弟子ｘ→ ∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）｝ １２オＥＥ
１ （キ）～∀ｘ｛弟子ｘ→ ∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）｝ カ量化子の関係
従って、
（02）により、
（03）
② ～∀ｘ｛弟子ｘ→∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）｝
③ ∃ｘ｛弟子ｘ＆∀ｙ（師ｙｘ→ 如ｘｙ）｝
に於いて、すなはち、
②｛すべてのｘについて、ｘが弟子であるならば、あるｙはｘの師匠であって、 ｘはｙに及ばない。｝といふことはない。
③ ある｛ｘは弟子であって、すべてのｙについて、ｙがｘの師匠であるならば、ｘはｙに及んでゐる｝。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（04）
③ ある｛ｘは弟子であって、すべてのｙについて、ｙがｘの師匠であるならば、ｘはｙに及んでゐる｝。
といふことは、
③ 自分の師匠に対して、劣ることことが無い、弟子が存在する。
といふことである。
然るに、
（05）
③ 自分の師匠に対して、劣ることことが無い、弟子が存在する。
といふことは、
① 弟子は、必ずしも、師匠に及ばない。といふわけではない（師の説、韓愈）。
といふことである。
然るに、
（06）
②｛すべてのｘについて、ｘが弟子であるならば、あるｙはｘの師匠であって、 ｘはｙに及ばない。｝といふことはない。
③ ある｛ｘは弟子であって、すべてのｙについて、ｙがｘの師匠であるならば、ｘはｙに及んでゐる｝。
といふ「意味」である所の
② ～∀ｘ｛弟子ｘ→∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）｝
③ ∃ｘ｛弟子ｘ＆∀ｙ（師ｙｘ→ 如ｘｙ）｝
といふ「式」は、
② その弟子は、自分の、すべての師匠に対して、劣らない。
③ その弟子は、自分の、すべての師匠に対して、劣らない。
といふ「意味」である。
然るに、
（07）
② その弟子は、自分の、すべての師匠に対して、劣らない。
③ その弟子は、自分の、すべての師匠に対して、劣らない。
といふことは、
② その弟子の師匠は、一人ではなく、複数である。
③ その弟子の師匠は、一人ではなく、複数である。
といふことを、「否定」しない。
然るに、
（08）
① 弟子不必不如師＝
① 弟子不二必不一レ如レ師＝
① 弟子不［必不〔如（師）〕］⇒
① 弟子［必〔（師）如〕不］不＝
① 弟子は［必ずしも〔（師に）如か〕ずんば］あらず＝
① 弟子は、必ずしも、師匠に及ばない。といふわけではない（師の説 韓愈）。
といふ「漢文」は、「師匠」は、「一人」であるとする方が、「自然」である。
然るに、
（09）
② ～∀ｘ｛弟子ｘ→∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）｝
に対して、
② ～∀ｘ｛弟子ｘ→［∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）＆∀ｚ（師ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝
とするならば、すなはち、
②｛すべてのｘについて、ｘが弟子であるならば、あるｙはｘの師匠であって、 ｘはｙに及ばず、すべてのｚについて、ｚがｘの師匠であるならば、ｚはｙと同一人物である｝といふことはない。
とするならば、
② 弟子ｘの、師匠ｙは、一人しかゐない。
然るに、
（10）
（ⅱ）
１ （１）～∀ｘ｛弟子ｘ→［∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）＆∀ｚ（師ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～｛弟子ｘ→［∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）＆∀ｚ（師ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝ １量化子の関係
３ （３） ～｛弟子ａ→［∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）＆∀ｚ（師ｚａ→ｚ＝ｙ）］｝ Ａ（２の代表的選言項）
３ （４） ～｛～弟子ａ∨［∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）＆∀ｚ（師ｚａ→ｚ＝ｙ）］｝ ３含意の定義
３ （５） 弟子ａ＆～［∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）＆∀ｚ（師ｚａ→ｚ＝ｙ）］ ４ド・モルガンの法則
３ （６） 弟子ａ ５＆Ｅ
３ （７） ～［∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）＆∀ｚ（師ｚａ→ｚ＝ｙ）］ ５＆Ｅ
３ （８） ～∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）∨～∀ｚ（師ｚａ→ｚ＝ｙ） ７ド・モルガンの法則
９ （９） ～∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ） Ａ（８選言項Ｌ）
９ （ア） ∀ｙ～（師ｙａ＆～如ａｙ） ９量化子の関係
９ （イ） ～（師ｂａ＆～如ａｂ） アＵＥ
９ （ウ） ～師ｂａ∨ 如ａｂ イ、ド・モルガンの法則
９ （エ） 師ｂａ→ 如ａｂ ウ含意の定義
９ （オ） ∀ｙ（師ｙａ→ 如ａｙ） エＵＩ
９ （カ） ～∀ｚ（師ｚａ→ ｚ＝ｙ）∨∀ｙ（師ｙａ→如ａｙ） オ∨Ｉ
９ （キ） ∀ｚ（師ｚａ→ ｚ＝ｙ）→∀ｙ（師ｙａ→如ａｙ） カ含意の定義
ク （ク） ～∀ｚ（師ｚａ→ ｚ＝ｙ） Ａ（８選言項Ｒ）
ク （ケ） ～∀ｚ（師ｚａ→ ｚ＝ｙ）∨∀ｙ（師ｙａ→如ａｙ） ク∨Ｉ
ク （コ） ∀ｚ（師ｚａ→ ｚ＝ｙ）→∀ｙ（師ｙａ→如ａｙ） ケ含意の定義
３ （サ） ∀ｚ（師ｚａ→ ｚ＝ｙ）→∀ｙ（師ｙａ→如ａｙ） ８９キクコ∨Ｅ
シ（シ） ～∃ｚ（師ｚａ＆ ｚ≠ｙ） Ａ（テのＣＰを目指す）
シ（ス） ∀ｚ～（師ｚａ＆ ｚ≠ｙ） シ含意の定義
シ（セ） ～（師ｃａ＆ ｃ≠ｙ） スＵＥ
シ（ソ） ～師ｃａ∨ ｃ＝ｙ セ、ド・モルガンの法則
シ（タ） 師ｃａ→ ｃ＝ｙ ソ含意の定義
シ（チ） ∀ｚ（師ｚａ→ ｚ＝ｙ） タＵＩ
３ シ（ツ） ∀ｙ（師ｙａ→如ａｙ） サチＭＰＰ
３ （テ） ～∃ｚ（師ｚａ＆ｚ≠ｙ）→∀ｙ（師ｙａ→如ａｙ） シツＣＰ
３ （ト） 弟子ａ＆［～∃ｚ（師ｚａ＆ｚ≠ｙ）→∀ｙ（師ｙａ→如ａｙ）］ ６テ＆Ｉ（目標達成）
３ （ナ）∃ｘ｛弟子ｘ＆［～∃ｚ（師ｚｘ＆ｚ≠ｙ）→∀ｙ（師ｙｘ→如ｘｙ）］｝ トＥＩ
１ （ニ）∃ｘ｛弟子ｘ＆［～∃ｚ（師ｚｘ＆ｚ≠ｙ）→∀ｙ（師ｙｘ→如ｘｙ）］｝ ２３ナＥＥ
（ⅲ）
１ （１）∃ｘ｛弟子ｘ＆［～∃ｚ（師ｚｘ＆ｚ≠ｙ）→∀ｙ（師ｙｘ→如ｘｙ）］｝ Ａ
２ （２） 弟子ａ＆［～∃ｚ（師ｚａ＆ｚ≠ｙ）→∀ｙ（師ｙａ→如ａｙ）］ Ａ（１の代表的選言項）
２ （３） 弟子ａ ２＆Ｅ
２ （４） ［～∃ｚ（師ｚａ＆ｚ≠ｙ）→∀ｙ（師ｙａ→如ａｙ）］ ２＆Ｅ
３ （５） ∀ｚ（師ｚａ→ｚ＝ｙ） Ａ（ウのＣＰを目指す）
３ （６） 師ｃａ→ｃ＝ｙ ５ＵＥ
３ （７） ～師ｃａ∨ｃ＝ｙ ６含意の定義
３ （８） ～（師ｃａ＆ｃ≠ｙ） ７ド・モルガンの法則
３ （９） ∀ｚ～（師ｚａ＆ｚ≠ｙ） ８ＵＩ
３ （ア） ～∃ｚ（師ｚａ＆ｚ≠ｙ） ９量化子の関係
２３ （イ） ∀ｙ（師ｙａ→如ａｙ） ４アＭＰＰ
２ （ウ） ∀ｚ（師ｚａ→ｚ＝ｙ）→∀ｙ（師ｙａ→如ａｙ） ３イＣＰ
エ （エ） ∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ） Ａ（ウでＭＴＴ、シでＣＰがしたい）
オ （オ） 師ｂａ＆～如ａｂ Ａ（エの代表的選言項）
オ （カ） ～（～師ｂａ∨如ａｂ） オ、ド・モルガンの法則
オ （キ） ～（師ｂａ→如ａｂ） カ含意の定義
オ （ク） ∃ｙ～（師ｙａ→如ａｙ） キＥＩ
エ （ケ） ∃ｙ～（師ｙａ→如ａｙ） エオクＥＥ
エ （コ） ～∀ｙ（師ｙａ→如ａｙ） ケ量化子の関係
２ エ （サ） ～∀ｚ（師ｚａ→ｚ＝ｙ） ウコＭＴＴ
２ （シ） ∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）→～∀ｚ（師ｚａ→ｚ＝ｙ） エサＣＰ
２ （ス） ～∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）∨～∀ｚ（師ｚａ→ｚ＝ｙ） 含意の定義
２ （セ） ～［∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）＆∀ｚ（師ｚａ→ｚ＝ｙ）］ ス、ド・モルガンの法則
ソ（ソ） 弟子ｘ→［∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）＆∀ｚ（師ｚｘ→ｚ＝ｙ）］ Ａ（ツのＲＡＡがしたい）
２ ソ（タ） ［∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）＆∀ｚ（師ｚｘ→ｚ＝ｙ）］ ２ソＭＰＰ
２ ソ（チ） ～［∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）＆∀ｚ（師ｚａ→ｚ＝ｙ）］＆
［∃ｙ（師ｙａ＆～如ａｙ）＆∀ｚ（師ｚａ→ｚ＝ｙ）］ セタ＆Ｉ
２ （ツ） ～｛弟子ｘ→［∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）＆∀ｚ（師ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝ ソチＲＡＡ（目標達成）
２ （テ）∃ｘ～｛弟子ｘ→［∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）＆∀ｚ（師ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝ ツＥＩ
１ （ト）∃ｘ～｛弟子ｘ→［∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）＆∀ｚ（師ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝ １２テＥＥ
１ （ナ）～∀ｘ｛弟子ｘ→［∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）＆∀ｚ（師ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝ ト量化子の関係
従って、
（10）により、
（11）
② ～∀ｘ｛弟子ｘ→［ ∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）＆∀ｚ（師ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝
③ ∃ｘ｛弟子ｘ＆［～∃ｚ（師ｚｘ＆ ｚ≠ｙ）→∀ｙ（師ｙｘ→如ｘｙ）］｝
に於いて、すなはち、
②｛すべてのｘについて、ｘが弟子であるならば、あるｙはｘの師匠であって、 ｘはｙに及ばず、すべてのｚについて、ｚがｘの師匠であるならば、ｚとｙは同一である。｝といふことはない。
③ ある｛ｘは弟子であって、ｘの師匠は、ｙ以外にはゐないものの、すべてのｙについて、ｙがｘの師匠であるならば、ｘはｙに及んでゐる｝。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（12）
③ ある｛ｘは弟子であって、ｘの師匠は、ｙ以外にはゐないものの、すべてのｙについて、ｙがｘの師匠であるならば、ｘはｙに及んでゐる｝。
といふことは、
③ ｙといふ、一人の師匠の弟子の中には、そのｙに劣らない、ｘといふ、弟子がゐる。
といふことである。
従って、
（08）（11）（12）により、
（13）
① 弟子不必不如師＝
① 弟子不二必不一レ如レ師＝
① 弟子不［必不〔如（師）〕］⇒
① 弟子［必〔（師）如〕不］不＝
① 弟子は［必ずしも〔（師に）如か〕ずんば］あらず＝
① 弟子は、必ずしも、師匠に及ばない。といふわけではない（師の説 韓愈）。
といふ「漢文」は、
② ～∀ｘ｛弟子ｘ→［ ∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）＆∀ｚ（師ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝
③ ∃ｘ｛弟子ｘ＆［～∃ｚ（師ｚｘ＆ ｚ≠ｙ）→∀ｙ（師ｙｘ→如ｘｙ）］｝
といふ「述語論理（Predicate logic）」に、対応する。
然るに、
（14）
「昨日（令和０２年０２月２８日）」で説明した通り、例へば、
① 學而不思則罔（学びて思はざれば、すなはち、罔し）。
② 學＆～思→罔（學であって、思でないならば、罔である）。
に於いて、
① の「 漢文 」と、
② の「論理式」は、「完全に等しい」。
然るに、
（15）
① 弟子不必不如師。
② ～∀ｘ｛弟子ｘ→［∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）＆∀ｚ（師ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝
に於いて、
① の「 漢文 」と、
② の「論理式」は、「全く、見た目が違ふ」。
然るに、
（16）
それでは、狭義の述語論理において究極的な主語となるものは何であろうか。それは「人間」というような一般的なものではない。また「ソクラテス」も述語になりうるし、「これ」すらも「これとは何か」という問に対して「部屋の隅にある机がこれです」ということができる。
そこで私たちは主語を示す変項ｘ、ｙを文字通りに解釈して、「或るもの」（英語で表現するならば something）とか、「他の或るもの」というような不定代名詞にあたるものを最も基本的な主語とする。そこで「ソクラテスは人間である」といふ一つの文は、
（ｘはソクラテスである）（ｘは人間である）
という、もっとも基本的な 主語－述語 からなる二つの文の特定の組み合わせと考えることができる。すなわち、
ＳはＰである。
という一般的な 主語－述語文は、
Ｆｘ Ｇｘ
という二つの文で構成されていると考える。そしてこの場合、Ｆｘ はもとの文の主語に対応し、Ｇｘ は述語に対応していることがわかる。
（沢田充茂、現代論理学入門、1962年、１１８・１１９頁）
従って、
（16）により、
（17）
「述語論理（Predicate logic）」の場合は、一つには、
ＳはＰである。
という一般的な 主語－述語文であっても、
Ｆｘ（ｘはＦである）
Ｇｘ（ｘはＧである）
という二つの文で構成されていると考える。が故に、
① 弟子不必不如師。
② ～∀ｘ｛弟子ｘ→［∃ｙ（師ｙｘ＆～如ｘｙ）＆∀ｚ（師ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝
に於いて、
① の「 漢文 」と、
② の「論理式」は、「全く、見た目が違ふ」。
といふ、ことになる。
（18）
以前に書いた、｛「師の説（韓愈）」の「述語論理」｝に関しては、無かったことに、して貰へると、助かります。
（01）
① 學而不思則罔＝
① 學而不（思）則罔⇒
① 學而（思）不則罔＝
① 学びて思はざれば則ち罔し＝
① 学んでも、考へなければ、〔物事は〕ハッキリしない（論語、爲政、十五）。
然るに、
（02）
「而」は「＆」であって、
「不」は「～」であって、
「則」は「→」であって、
① 學而不思則罔。といふ「 漢文 」は、まさに、
② 學＆～思→罔。といふ「論理式」そのものである。
然るに、
（03）
「～」の「結合力」は、
「＆」の「結合力」よりも強く、
「＆」の「結合力」は、
「→」の「結合力」よりも強い。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① 學而不思則罔。
② 學＆～思→罔。
に於いて、
①＝② であるならば、
①（學而不思）則罔。
②（學＆～思）→罔。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
（ⅰ）
１ （１） （學＆～思）→罔 Ａ
２ （２） ～罔 Ａ
１２ （３）～（學＆～思） １２ＭＴＴ
１２ （４） ～學∨ 思 ３ド・モルガンの法則
１２ （５） 學→ 思 ４含意の定義
１ （６）～罔→（學→思） ２５ＣＰ
７（７）（學＆～罔） ７Ａ
７（８） ～罔 ７＆Ｅ
１ ７（９） 學→思 ７８ＭＰＰ
７（ア） 學 ７＆Ｅ
１ ７（イ） 思 ９アＭＰＰ
１ （ウ）（學＆～罔）→思 ７イＣＰ
（ⅱ）
１ （１） （學＆～罔）→思 Ａ
２ （２） ～思 Ａ
１２ （３）～（學＆ 罔） １２ＭＴＴ
１２ （４） ～學∨ 罔 ３ド・モルガンの法則
１２ （５） 學→ 罔 ４含意の定義
１ （６）～思→（學→ 罔） ２５ＣＰ
７（７）（學＆～思） Ａ
７（８）～思 ７＆Ｅ
１ ７（９） 學→ 罔 ７８ＭＰＰ
７（ア） 學 ７＆Ｅ
１ ７（イ） 罔 ９アＭＰＰ
１ （ウ）（學＆～思）→罔 ７イＣＰ
従って、
（05）により、
（06）
①（學＆～思）→罔
②（學＆～罔）→思
に於いて、
①＝② である。
① 学びて思はざれば則ち罔し。
② 学びて罔かざれば、則ち思ふ。
従って、
（01）（06）により、
（07）
① 学んでも、考えなければ、（物事）はハッキリしない。
② 学んでゐて、その上、（物事）がハッキリするのであれば、考へてゐる。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（08）
魯の人。孔門十哲の一人で、随一の秀才。孔子にその将来を嘱望されたが、孔子に先立って没した。顏回は名誉栄達を求めず、ひたすら孔子の教えを理解し実践することを求めた。その暮らしぶりは極めて質素であったという。このことから老荘思想発生の一源流とみなす説もある（ウィキペディア）。
従って、
（01）（07）（08）により、
（09）
② 顏回は、学んでゐて、その上、（物事）がハッキリしてゐるので、考へてゐる。
従って、
（04）～（09）により、
（10）
①（學而不思）則罔。
②（學＆～思）→罔。
に於いて、
①＝② である。
ｃｆ.
① 学びて思はざれば則ち罔し。
② 学びて思はざれば則ち罔し。
然るに、
（11）
「～」の「結合力」は、
「＆」の「結合力」よりも強く、
「＆」の「結合力」は、
「→」の「結合力」よりも強い。
と決めたのは、「むやみに括弧が多くなるのが、我慢できないからである（E.J.レモン）。」
従って、
（10）（11）により、
（12）
①（學而不思）則罔。
②（學＆～思）→罔。
は、「普通」は、
① 學而不思則罔。
② 學＆～思→罔。
といふ風に、書く。
従って、
（10）（12）により、
（13）
① 學而不思則罔。 といふ「 漢文 」は、
② 學＆～思→罔。 といふ「論理式」そのものである。
然るに、
（14）
ｼﾞｮ【如】［接続詞］
２もシクハ
Ａ如シクハＢ ［読み］ＡもシクハＢ ： Ａ・Ｂは体言 ［訳］ＡあるいはＢ、ＡまたはＢ
（天野成之、漢文基本語辞典、1999年、２０６頁）
従って、
（14）により、
（15）
「∨（または）」＝「如」である。
従って、
（05）（13）（15）により、
（16）
「計算（05）」は、
（ⅰ）
１ （１） 學而不思則罔 Ａ
２ （２） 不罔 Ａ
１２ （３）不學而不思 １２ＭＴＴ
１２ （４）不學如 思 ３ド・モルガンの法則
１２ （５） 學則 思 ４含意の定義
１ （６）不罔則學則思 ２５ＣＰ
７（７）學而不罔 ７Ａ
７（８） 不罔 ７而Ｅ
１ ７（９） 學則思 ８ＭＰＰ
７（ア） 學 ７而Ｅ
１ ７（イ） 思 ９アＭＰＰ
１ （ウ）學而不罔則思 ７イＣＰ
（ⅱ）
１ （１） 學而不罔則思 Ａ
２ （２） 不思 Ａ
１２ （３）不學而 罔 １２ＭＴＴ
１２ （４） 不學如 罔 ３ド・モルガンの法則
１２ （５） 學則 罔 ４含意の定義
１ （６）不思則學則 罔 ２５ＣＰ
７（７）學而不思 Ａ
７（８）不思 ７而Ｅ
１ ７（９） 學則 罔 ７８ＭＰＰ
７（ア） 學 ７而Ｅ
１ ７（イ） 罔 ９アＭＰＰ
１ （ウ）學而不思則罔 ７イＣＰ
といふ「計算（16）」と、「完全に、同じ」である。
然るに、
（17）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ６７＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（17）により、
（18）
「計算（17）」は、
（ⅰ）
１ （１） 甲則乙 Ａ
２ （２） 不（不甲如乙） Ａ
３（３） 不甲 Ａ
３（４） 不甲如乙 ３如Ｉ
２３（５） 不（不甲如乙）而
（不甲如乙） ２４而Ｉ
２ （６） 不不甲 ３５ＲＡＡ
２ （７） 甲 ６ＤＮ
１２ （８） 乙 １７ＭＰＰ
１２ （９） 不甲如乙 ８如Ｉ
１２ （ア） 不（不甲如乙）而
（不甲如乙） ２９而Ｉ
１ （イ）不不（不甲如乙） ２アＲＡＡ
１ （ウ） 不甲如乙 イＤＮ
（ⅱ）
１ （１） 不甲如 乙 Ａ
２ （２） 甲而不乙 Ａ
３ （３） 不甲 Ａ
２ （４） 甲 ２而Ｅ
２３ （５） 不甲而甲 ３４而Ｉ
３ （６）不（甲而不乙） ２５ＲＡＡ
７ （７） 乙 Ａ
２ （８） 不乙 ２而Ｅ
２ ７ （９） 乙而不乙 ６７而Ｉ
７ （ア）不（甲而不乙） ２９ＲＡＡ
１ （イ）不（甲而不乙） １３６７ア如Ｅ
ウ （ウ） 甲 Ａ
エ（エ） 不乙 Ａ
ウエ（オ） 甲而不乙 ウエ而Ｉ
１ ウエ（カ）不（甲而不乙）而
（甲而不乙） イオ而Ｉ
１ ウ （キ） 不不乙 エカＲＡＡ
１ ウ （ク） 乙 キＤＮ
１ （ケ） 甲則 乙 ウクＣ甲
といふ「計算（18）」と、「完全に、同じ」である。
従って、
（17）（18）により、
（19）
① 甲則乙（甲ならば、乙である）。
② 不甲如乙（甲でないか乙である）。
に於いて、
①＝② であって、この「等式」を「含意の定義」といふ。
従って、
（01）～（19）により、
（20）
「漢文」といふ「集合」は、「命題論理」を、その「部分集合」として、含んでゐる。
従って、
（21）
明治以前の日本人は、漢文を読むことで論理的な考えを身につけました。漢文は論理的な構文をたくさん含んでいるからです（山下正男、論理的に考えること、1985年、ⅲ）。
といふ「言ひ方」は、「正しい」。
従って、
（20）（21）により、
（22）
「中国語」は学んでも、「漢文」を学ぼうとしない、令和時代の日本人が、明治以前の日本人よりも、「論理的に考えること」が苦手であることは、「已むを得ない」。
（01）
―「昨日（2020年2月25日）」は、「半分」しか「計算」しなかったものの、「今回」は、「もう半分を、計算」する。―
―「昨日の計算」は、次の通りである。―
（ⅰ）
１ （１） ～｛ Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２３ （４） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝＆
（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ（半分ゲット）
８ （８） （～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
８ （９） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ８∨Ｉ
２ ８ （ア） ～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝＆
（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ ２９＆Ｉ
２ （イ） ～（～Ｑ＆～Ｒ） ８ＲＡＡ
ウ （ウ） ～（ Ｑ∨ Ｒ） Ａ（ＲＡＡを目指す）
エ （エ） Ｑ Ａ
エ （オ） Ｑ∨ Ｒ エ∨Ｉ
ウエ （カ） ～（ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｑ∨ Ｒ） イオ＆Ｉ
ウ （キ） ～Ｑ エカＲＡＡ
ク（ク） Ｒ Ａ
ク（ケ） Ｑ∨ Ｒ ク∨Ｉ
ウ ク（コ） ～（ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｑ∨ Ｒ） ウケ＆
ウ （サ） ～Ｒ クコＲＡＡ
ウ （シ） ～Ｑ＆～Ｒ キサ＆Ｉ
２ ウ （ス） ～（～Ｑ＆～Ｒ）＆
（～Ｑ＆～Ｒ） イシ＆Ｉ
２ （セ） ～～（ Ｑ∨ Ｒ） ウスＲＡＡ
２ （ソ） （ Ｑ∨ Ｒ） セＤＮ（残りもゲット）
２ （タ） Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ） ７ソ＆Ｉ
１２ （チ） ～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝＆
｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ １タ＆Ｉ
１ （ツ）～～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ ２チＲＡＡ
１ （テ） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ツＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ（１選言項Ｌ）
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ ２５ＲＡＡ
２ （７） Ｑ∨ Ｒ ２＆Ｅ
８ （８） ～Ｑ＆～Ｒ Ａ（１選言項Ｒ）
９ （９） Ｑ Ａ
８ （ア） ～Ｑ ８＆Ｅ
８９ （イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ） ～（～Ｑ＆～Ｒ） ８イＲＡＡ
エ （エ） Ｒ Ａ
８ （オ） ～Ｒ ８＆Ｅ
８ エ （カ） Ｒ＆～Ｒ エオ＆Ｉ
エ （キ） ～（～Ｑ＆～Ｒ） ８カＲＡＡ
２ （ク） ～（～Ｑ＆～Ｒ） ７９ウエキ∨Ｅ
２ ８ （ケ） （～Ｑ＆～Ｒ）＆
～（～Ｑ＆～Ｒ） ８ク＆Ｉ
８ （コ） ～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ ２ケＲＡＡ
１ （サ） ～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ １３６８コ∨Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
① ～｛ Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝
② ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅲ）
１ （１） （ Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ Ａ
２ （２） （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ Ａ
３ （３） （ Ｐ＆ Ｑ） Ａ（１選言項Ｌ）
２ （４） （～Ｐ∨～Ｑ） ２＆Ｅ
５ （５） ～Ｐ Ａ（４選言項Ｌ）
３ （６） Ｐ ３＆Ｅ
３５ （７） ～Ｐ＆Ｐ ５６＆Ｉ
５ （８） ～（ Ｐ＆ Ｑ） ３７ＲＡＡ
９ （９） ～Ｑ Ａ（４選言項Ｒ）
３ （ア） Ｑ ３＆Ｅ
３ ９ （イ） ～Ｑ＆Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ） ～（ Ｐ＆ Ｑ） ３イＲＡＡ
２ （エ） ～（ Ｐ＆ Ｑ） ４５８９ウ∨Ｅ
２３ （オ） ～（Ｐ＆Ｑ）＆（Ｐ＆Ｑ） ３エ＆Ｉ
３ （カ）～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝ ２オＲＡＡ
キ（キ） Ｒ Ａ（１選言項Ｒ）
２ （ク） ～Ｒ ２＆Ｅ
２ キ（ケ） Ｒ＆～Ｒ キク＆Ｉ
キ（コ）～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝ ２ケＲＡＡ
１ （サ）～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝ １３カキコ∨Ｅ
（ⅳ）
１ （１） ～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝ Ａ
２ （２） ～｛（ Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝ Ａ
３ （３） （ Ｐ＆ Ｑ） Ａ
３ （４） （ Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ ３∨Ｉ
２３ （５） ～｛（ Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝＆
２ （６） ～（ Ｐ＆ Ｑ） ３５ＲＡＡ
７ （７） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
８ （８） ～Ｐ Ａ
８ （９） ～Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
７８ （ア） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ７９＆Ｉ
７ （イ） ～～Ｐ ８アＲＡＡ
７ （ウ） Ｐ イＤＮ
エ （エ） ～Ｑ Ａ
エ （オ） ～Ｐ∨～Ｑ エ∨Ｉ
７ エ （カ） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ７オ＆Ｉ
７ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
７ （ク） Ｑ キＤＮ
７ （ケ） Ｐ＆ Ｑ ウク＆Ｉ
２ ７ （コ） ～（ Ｐ＆ Ｑ）＆
（ Ｐ＆ Ｑ） ６ケ＆Ｉ
２ （サ） ～～（～Ｐ∨～Ｑ） ７コＲＡＡ
２ （シ） （～Ｐ∨～Ｑ） サＤＮ（半分ゲット）
ス（ス） Ｒ Ａ
ス（セ） （ Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ ス∨Ｉ
２ ス（ソ） ～｛（ Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝＆
｛（ Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝ ２セ＆Ｉ
２ （タ） ～Ｒ スソＲＡＡ（残りもゲット）
２ （チ） （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ シタ＆Ｉ
１２ （ツ） ～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝＆
｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝ １チ＆Ｉ
１ （テ）～～｛（ Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝ ２ツＲＡＡ
１ （ト） （ Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ テＤＮ
従って、
（03）により、
（04）
③ ｛（ Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
④ ～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（04）により、
（05）
（２＋２）＝ （２×２）＝ ４
ならば、
－（２＋２）＝－（２×２）＝－４
であることと、「同じやうな理屈」で、
③ ～｛（ Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
④ （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（02）（05）により、
（06）
① ～｛ Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝
② ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
③ ～｛（ Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
④ （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（06）により、
（07）
いづれにせよ、
① ～｛ Ｐ＆ Ｑ∨ Ｒ｝
② ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
③ ～｛ Ｐ＆ Ｑ∨ Ｒ｝
④ ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（08）
① ～｛Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）｝≡～｛（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ∨Ｒ）｝
③ ～｛（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ｝≡～｛（Ｐ∨Ｒ）＆（Ｑ∨Ｒ）｝
ｃｆ.
分配法則（Distributive property）。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① ～｛ Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝
② ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
③ ～｛（ Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
④ （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
①＝②＝③＝④ ではない。
然るに、
（10）
（ａ）
１ （１） ～（ Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
２３ （６） （～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （７） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （８） Ｐ ７ＤＮ
９（９） ～Ｑ Ａ
９（ア） ～Ｐ∨～Ｑ ９∨Ｉ
２ ９（イ） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２ア＆Ｉ
２ （ウ） ～～Ｑ ９イＲＡＡ
２ （エ） Ｑ ウＤＮ
２ （オ） Ｐ＆ Ｑ ８エ＆Ｉ
１２ （カ） ～（ Ｐ＆ Ｑ）＆
（ Ｐ＆ Ｑ）
１ （キ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２カＲＡＡ
１ （ク） ～Ｐ∨～Ｑ キＤＮ
（ｂ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ｃ）
１ （１）～（Ｐ∨Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
６（６） Ｑ Ａ
６（７） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
１ ６（８）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １６＆Ｉ
１ （９） ～Ｑ ６８ＲＡＡ
１ （ア）～Ｐ＆～Ｑ ５９＆Ｉ
（ｄ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
４ （４） Ｐ Ａ
１ ４ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） １５ＲＡＡ
１ （７） ～Ｑ １＆Ｅ
８（８） Ｑ Ａ
１ ８（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
８（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２４６８ア∨Ｅ
１２ （ウ） （～Ｐ＆～Ｑ）＆
～（～Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ） ～（Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
従って、
（10）により、
（11）
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。
然るに、
（12）
（ⅰ）
１ （１）～｛Ｐ＆（Ｑ∨ Ｒ）｝ Ａ
１ （２）～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ） １ド・モルガンの法則
３ （３）～Ｐ Ａ
３ （４）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ３∨Ｉ
５（５） ～（Ｑ∨ Ｒ） Ａ
５（６） ～Ｑ＆～Ｒ ５ド・モルガンの法則
５（７）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ６∨Ｉ
１ （８）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ２３４６７∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） １
２ （２）～Ｐ Ａ
２ （３）～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ） ２∨Ｉ
４（４） （～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
４（５） ～（Ｑ∨ Ｒ） ４ド・モルガンの法則
４（６）～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ） ５∨Ｉ
１ （７）～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ） １２３４６∨Ｅ
１ （８）～｛Ｐ＆（Ｑ∨ Ｒ）｝ ７ド・モルガンの法則
（ⅲ）
１（１）～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝ Ａ
１（２） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆～Ｒ １ド・モルガンの法則
１（３） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２＆Ｅ
１（４） ～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
１（５） ～Ｒ ２＆Ｅ
１（６） （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ ４５＆Ｉ
（ⅳ）
１（１） （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ ４５＆Ｉ
１（２） （～Ｐ∨～Ｑ） １＆Ｅ
１（３） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２ド・モルガンの法則
１（４） ～Ｒ １＆Ｅ
１（５） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆～Ｒ ３４＆Ｉ
１（６）～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝ ５ド・モルガンの法則
従って、
（12）により、
（13）
① ～｛ Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝
② ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
③ ～｛（ Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
④ （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（01）（13）により、
（14）
例へば、
（ⅰ）
１ （１） ～｛ Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２３ （４） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝＆
（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８ （８） （～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
８ （９） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ８∨Ｉ
２ ８ （ア） ～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝＆
（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ ２９＆Ｉ
２ （イ） ～（～Ｑ＆～Ｒ） ８ＲＡＡ
ウ （ウ） ～（ Ｑ∨ Ｒ） Ａ
エ （エ） Ｑ Ａ
エ （オ） Ｑ∨ Ｒ エ∨Ｉ
ウエ （カ） ～（ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｑ∨ Ｒ） イオ＆Ｉ
ウ （キ） ～Ｑ エカＲＡＡ
ク（ク） Ｒ Ａ
ク（ケ） Ｑ∨ Ｒ ク∨Ｉ
ウ ク（コ） ～（ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｑ∨ Ｒ） ウケ＆
ウ （サ） ～Ｒ クコＲＡＡ
ウ （シ） ～Ｑ＆～Ｒ キサ＆Ｉ
２ ウ （ス） ～（～Ｑ＆～Ｒ）＆
（～Ｑ＆～Ｒ） イシ＆Ｉ
２ （セ） ～～（ Ｑ∨ Ｒ） ウス
２ （ソ） （ Ｑ∨ Ｒ） セＤＮ
２ （タ） Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ） ７ソ＆Ｉ
１２ （チ） ～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝＆
｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ １タ＆Ｉ
１ （ツ）～～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ ２チＲＡＡ
１ （テ） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ツＤＮ
といふ「２９行の計算」は、
（ⅰ）
１ （１）～｛Ｐ＆（Ｑ∨ Ｒ）｝ Ａ
１ （２）～Ｐ∨～（Ｑ∨ Ｒ） １ド・モルガンの法則
３ （３）～Ｐ Ａ
３ （４）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ３∨Ｉ
５（５） ～（Ｑ∨ Ｒ） Ａ
５（６） ～Ｑ＆～Ｒ ５ド・モルガンの法則
５（７）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ６∨Ｉ
１ （８）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ２３４６７∨Ｅ
といふ「８行の計算」に、「置き換へ」ることが、出来る。
従って、
（15）
「２９行の計算」は、「無駄」であると言へば、「無駄」であるが、
① ～（Ｐ＆Ｑ）
といふ「式」に於いて、
Ｑ＝（Ｑ∨Ｒ）
といふ「代入（Substitution）」を行った「式」が、
① ～｛Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）｝
といふ「式」である。
従って、
（14）（15）により、
（16）
（ⅰ）
１ （１） ～｛ Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２３ （４） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝＆
（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８ （８） （～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
８ （９） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ８∨Ｉ
２ ８ （ア） ～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝＆
（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ ２９＆Ｉ
２ （イ） ～（～Ｑ＆～Ｒ） ８ＲＡＡ
ウ （ウ） ～（ Ｑ∨ Ｒ） Ａ
エ （エ） Ｑ Ａ
エ （オ） Ｑ∨ Ｒ エ∨Ｉ
ウエ （カ） ～（ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｑ∨ Ｒ） イオ＆Ｉ
ウ （キ） ～Ｑ エカＲＡＡ
ク（ク） Ｒ Ａ
ク（ケ） Ｑ∨ Ｒ ク∨Ｉ
ウ ク（コ） ～（ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｑ∨ Ｒ） ウケ＆
ウ （サ） ～Ｒ クコＲＡＡ
ウ （シ） ～Ｑ＆～Ｒ キサ＆Ｉ
２ ウ （ス） ～（～Ｑ＆～Ｒ）＆
（～Ｑ＆～Ｒ） イシ＆Ｉ
２ （セ） ～～（ Ｑ∨ Ｒ） ウス
２ （ソ） （ Ｑ∨ Ｒ） セＤＮ
２ （タ） Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ） ７ソ＆Ｉ
１２ （チ） ～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝＆
｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ １タ＆Ｉ
１ （ツ）～～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ ２チＲＡＡ
１ （テ） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ツＤＮ
といふ「計算」は、
① ～（Ｐ＆Ｑ）
といふ「式」に於いて、
Ｑ＝（Ｑ∨Ｒ）
といふ「代入（Substitution）」を行っても、「ド・モルガンの法則」は「有効である」。といふことに対する、「証明（証拠）」になってゐる。
（01）
―「前回（2020年2月23日）」は、「代入」で求めたものの、「今回」は、「直接、計算」する。―
（ⅰ）
１ （１） ～｛ Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２３ （４） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝＆
（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８ （８） （～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
８ （９） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ８∨Ｉ
２ ８ （ア） ～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝＆
（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ ２９＆Ｉ
２ （イ） ～（～Ｑ＆～Ｒ） ８ＲＡＡ
ウ （ウ） ～（ Ｑ∨ Ｒ） Ａ
エ （エ） Ｑ Ａ
エ （オ） Ｑ∨ Ｒ エ∨Ｉ
ウエ （カ） ～（ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｑ∨ Ｒ） イオ＆Ｉ
ウ （キ） ～Ｑ エカＲＡＡ
ク（ク） Ｒ Ａ
ク（ケ） Ｑ∨ Ｒ ク∨Ｉ
ウ ク（コ） ～（ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｑ∨ Ｒ） ウケ＆
ウ （サ） ～Ｒ クコＲＡＡ
ウ （シ） ～Ｑ＆～Ｒ キサ＆Ｉ
２ ウ （ス） ～（～Ｑ＆～Ｒ）＆
（～Ｑ＆～Ｒ） イシ＆Ｉ
２ （セ） ～～（ Ｑ∨ Ｒ） ウスＲＡＡ
２ （ソ） （ Ｑ∨ Ｒ） セＤＮ
２ （タ） Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ） ７ソ＆Ｉ
１２ （チ） ～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝＆
｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ １タ＆Ｉ
１ （ツ）～～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ ２チＲＡＡ
１ （テ） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ツＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ ２５ＲＡＡ
２ （７） Ｑ∨ Ｒ ２＆Ｅ
８ （８） ～Ｑ＆～Ｒ Ａ
９ （９） Ｑ Ａ
８ （ア） ～Ｑ ８＆Ｅ
８９ （イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ） ～（～Ｑ＆～Ｒ） ８イＲＡＡ
エ （エ） Ｒ Ａ
８ （オ） ～Ｒ ８＆Ｅ
８ エ （カ） Ｒ＆～Ｒ エオ＆Ｉ
エ （キ） ～（～Ｑ＆～Ｒ） ８カＲＡＡ
２ （ク） ～（～Ｑ＆～Ｒ） ７９ウエキ∨Ｅ
２ ８ （ケ） （～Ｑ＆～Ｒ）＆
～（～Ｑ＆～Ｒ） ８ク＆Ｉ
８ （コ） ～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ ２ケＲＡＡ
１ （サ） ～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ １３６８コ∨Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
① ～｛ Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝
② ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
「演算子」としての「＆」と、
「演算子」としての「∨」の「結合力」は「等しい」。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ～｛ Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ｝
② ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝② であるならば、
③ ～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
④ （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
③＝④
でなければ、ならない。
然るに、
（05）
（ⅲ）
１（１）～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝ Ａ
１（２） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆～Ｒ １ド・モルガンの法則
１（３） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２＆Ｅ
１（４） ～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
１（５） ～Ｒ ２＆Ｅ
１（６） （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ ４５＆Ｉ
（ⅳ）
１（１） （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ ４５＆Ｉ
１（２） （～Ｐ∨～Ｑ） １＆Ｅ
１（３） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２ド・モルガンの法則
１（４） ～Ｒ １＆Ｅ
１（５） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆～Ｒ ３４＆Ｉ
１（６）～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝ ５ド・モルガンの法則
従って、
（04）（05）により、
（06）
① ～｛ Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝
② ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝② であるならば、果たして、
③ ～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
④ （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
① ～｛ Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝
② ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
③ ～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
④ （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（07）により、
（08）
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① ～｛ Ｐ＆（ ～Ｑ∨ Ｒ）｝
② ～Ｐ∨（～～Ｑ＆～Ｒ）
③ ～｛（Ｐ＆ ～Ｑ）∨ Ｒ｝
④ （～Ｐ∨～～Ｑ）＆～Ｒ
従って、
（08）により、
（09）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① ～｛ Ｐ＆（～Ｑ∨ Ｒ）｝
② ～Ｐ∨（ Ｑ＆～Ｒ）
③ ～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｒ｝
④ （～Ｐ∨ Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（09）により、
（10）
「連言（＆）と選言（∨）」が混在する場合の「ド・モルガンの法則」は、例へば、
① ～｛ Ｐ＆（～Ｑ∨ Ｒ）｝
② ～Ｐ∨（ Ｑ＆～Ｒ）
③ ～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｒ｝
④ （～Ｐ∨ Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（11）
「君子不以其所以養人者害人」と「その対偶」の「述語論理」（2020年2月23日）。でも書いたものの、
あるいは、探し方が悪いのかもしれませんが、
① ～｛ Ｐ＆（～Ｑ∨ Ｒ）｝
② ～Ｐ∨（ Ｑ＆～Ｒ）
③ ～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｒ｝
④ （～Ｐ∨ Ｑ）＆～Ｒ
のやうに、「連言（＆）と選言（∨）」が混在する場合の「ド・モルガンの法則」に関する「説明」は、少なくとも、「グーグルの１ページ目」では、見付けることが出来ません。
（01）
（ａ）
１ （１） ～（ Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
２３ （６） （～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （７） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （８） Ｐ ７ＤＮ
９（９） ～Ｑ Ａ
９（ア） ～Ｐ∨～Ｑ ９∨Ｉ
２ ９（イ） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２ア＆Ｉ
２ （ウ） ～～Ｑ ９イＲＡＡ
２ （エ） Ｑ ウＤＮ
２ （オ） Ｐ＆ Ｑ ８エ＆Ｉ
１２ （カ） ～（ Ｐ＆ Ｑ）＆
（ Ｐ＆ Ｑ）
１ （キ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２カＲＡＡ
１ （ク） ～Ｐ∨～Ｑ キＤＮ
（ｂ）
１ （１） ～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
３ （５） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ４∨Ｉ
２３ （６） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２５＆Ｉ
２ （７） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （８） Ｐ ７ＤＮ
９ （９） ～Ｑ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨～Ｑ ９∨Ｉ
９ （イ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ア∨Ｉ
２ ９ （ウ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２イ＆Ｉ
２ （エ） ～～Ｑ ９ウＲＡＡ
２ （オ） Ｑ エＤＮ
カ（カ） ～Ｒ Ａ
カ（キ） ～Ｑ∨～Ｒ カ∨Ｉ
カ（ク） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ キ∨Ｉ
２ カ（ケ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２ク＆Ｉ
２ （コ） ～～Ｒ カケＤＮ
２ （サ） Ｒ コＤＮ
２ （シ） Ｐ＆ Ｑ ８オ＆Ｉ
２ （ス） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ サシ＆Ｉ
１２ （セ） ～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）＆
（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １ス＆Ｉ
１ （ソ）～～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２セＲＡＡ
１ （タ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ソＤＮ
（02）
（ｃ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ｄ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ２５ＲＡＡ
７ （７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ２９ＲＡＡ
イ（イ） ～Ｒ Ａ
２ （ウ） Ｒ ２＆Ｅ
２ イ（エ） ～Ｒ＆Ｒ イウ＆
イ（オ）～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ２エＲＡＡ
１ （カ）～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １３６７アイオ∨Ｅ
従って、
（01）（02）により、
（03）
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ） ⇔ ～Ｐ∨～Ｑ
（〃）～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。
（04）
（ｅ）
１ （１）～（Ｐ∨Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
６（６） Ｑ Ａ
６（７） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
１ ６（８）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １６＆Ｉ
１ （９） ～Ｑ ６８ＲＡＡ
１ （ア）～Ｐ＆～Ｑ ５９＆Ｉ
（ｆ）
１ （１） ～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ∨Ｑ∨Ｒ
１２ （５） ～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）＆
（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ） １４＆Ｉ
１ （６） ～Ｐ ２ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
７ （８） Ｐ∨Ｑ ７∨Ｉ
７ （９） Ｐ∨Ｑ∨Ｒ ８∨Ｉ
１ ７ （ア） ～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）＆
（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ） １９＆Ｉ
１ （イ） ～Ｑ ７アＲＡＡ
ウ（ウ） Ｒ Ａ
ウ（エ） Ｑ∨Ｒ ウ∨Ｉ
ウ（オ） Ｐ∨Ｑ∨Ｒ エ∨Ｉ
１ ウ（カ） ～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）＆
（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ） １オ＆Ｉ
１ （キ） ～Ｒ ウカＲＡＡ
１ （ク）～Ｐ＆～Ｑ ６イ＆Ｉ
１ （ケ）～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ キク＆Ｉ
（05）
（ｇ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
４ （４） Ｐ Ａ
１ ４ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） １５ＲＡＡ
１ （７） ～Ｑ １＆Ｅ
８（８） Ｑ Ａ
１ ８（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
８（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２４６８ア∨Ｅ
１２ （ウ） （～Ｐ＆～Ｑ）＆
～（～Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ） ～（Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
（ｈ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
４ （４） Ｐ Ａ
１ ４ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １５ＲＡＡ
１ （７） ～Ｑ １＆Ｅ
８ （８） Ｑ Ａ
１ ８ （９） Ｑ＆～Ｑ Ａ
８ （ア）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １９ＲＡＡ
１ （イ） ～Ｒ １＆Ｅ
ウ（ウ） Ｒ Ａ
１ ウ（エ） ～Ｒ＆Ｒ イウ＆Ｉ
ウ（オ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １エＲＡＡ
２ （カ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １３６８アウオイウ∨Ｅ
従って、
（04）（05）により、
（06）
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ） ⇔ ～Ｐ＆～Ｑ
（〃）～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｑ
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。
従って、
（03）（06）により、
（07）
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ） ⇔ ～Ｐ∨～Ｑ
（〃）～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ） ⇔ ～Ｐ＆～Ｑ
（〃）～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｑ
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。
然るに、
（01）（02）（04）（05）により、
（08）
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ） ⇔ ～Ｐ∨～Ｑ
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ） ⇔ ～Ｐ＆～Ｑ
といふ「等式」と、
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｑ
といふ「等式」は、「計算」としては、「命題の数」が、一方は「２つ」で、一方が「３つ」であるといふことに、過ぎない。
従って、
（09）
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ） ⇔ ～Ｐ∨～Ｑ
（〃）～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ） ⇔ ～Ｐ＆～Ｑ
（〃）～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｑ
といふ「等式」が成立する以上、当然、
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ） ⇔ ～Ｐ∨～Ｑ
（〃）～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ） ⇔ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
（〃）～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ＆Ｓ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ） ⇔ ～Ｐ＆～Ｑ
（〃）～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ） ⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｑ
（〃）～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ∨Ｓ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｑ＆～Ｓ
といふ「等式」が成立する。
然るに、
（10）
右の「等式」は、
（ⅰ）～（０＆１） ⇔ ～０∨～１
（〃）～（０＆１＆２） ⇔ ～０∨～１∨～２
（〃）～（０＆１＆２＆３）⇔ ～０∨～１∨～２∨～３
（ⅱ）～（０∨１） ⇔ ～０＆～１
（〃）～（０∨１∨２） ⇔ ～０＆～１＆～２
（〃）～（０∨１∨２∨３）⇔ ～０＆～１＆～２＆～３
といふ風に、書くことが出来る。
従って、
（09）（10）により、
（11）
「ド・モルガンの法則」は、「（２以上の）自然数」と「同じ個数（無限個）」の「命題」に於いても、成立する。
ｃｆ.
数学的帰納法（mathematical induction）。
然るに、
（12）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→～Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） ～Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨～Ｑ イＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ ～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） ～Ｑ Ａ
２ （８） ～～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） ～Ｑ＆～～Ｑ ６７＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～～Ｑ）＆
（Ｐ＆～～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） ～Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ ～Ｑ ウクＣＰ
従って、
（12）により、
（13）
① Ｐ→～Ｑ
② ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）により、
（14）
② ～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（13）（14）により、
（15）
① Ｐ→～Ｑ
② ～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（16）
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitutuion）」を行ふと、
① Ｐ→～～Ｑ
② ～Ｐ∨～～Ｑ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（17）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｐ∨ Ｑ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ であるが、
①＝② を称して、「含意の定義」といひ、
①＝③ を称して、「含意の定義」といふ。
然るに、
（18）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆ Ｑ）→Ｒ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｒ １含意の定義
３ （３）～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
３ （５） ～Ｐ∨～Ｑ ∨Ｒ ４∨Ｉ
６（６） Ｒ Ａ
６（７） ～Ｑ ∨Ｒ ６∨Ｉ
６（８） ～Ｐ∨～Ｑ ∨Ｒ ７∨Ｉ
１ （９） ～Ｐ∨～Ｑ ∨Ｒ ２３５６８∨Ｅ
１ （ア）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ ９結合法則
（ⅱ）
１ （１）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ Ａ
２ （２）（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
２ （３）～（Ｐ＆ Ｑ） ３ド・モルガンの法則
２ （４）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｒ ３∨Ｉ
５（５） Ｒ Ａ
５（６）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｒ ５∨Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｒ １２４５６∨Ｅ
１ （８） （Ｐ＆ Ｑ）→Ｒ ７含意の定義
従って、
（18）により、
（19）
① （Ｐ＆ Ｑ）→Ｒ
② （～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（20）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→ Ｒ Ａ
２ （２） （Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ Ａ
２ （３） （Ｐ＆Ｑ） ２＆Ｅ
１２ （４） Ｒ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｒ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｒ＆～Ｒ ４５＆Ｉ
１ （７）～｛（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ｝ ２６ＲＡＡ
（ⅲ）
１ （１）～｛（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ｝ Ａ
１ （２） ～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｒ １ド・モルガンの法則
１ （３） （Ｐ＆Ｑ）→ Ｒ ２含意の定義
従って、
（20）により、
（21）
① （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
③ ～｛（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ｝
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（19）（21）により、
（22）
① （Ｐ＆ Ｑ）→ Ｒ
② （～Ｐ∨～Ｑ）∨ Ｒ
③ ～｛（Ｐ＆ Ｑ）＆～Ｒ｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（23）
「同じこと」なので、敢へて、一つだけ「計算」すると、
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）→Ｓ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）∨Ｓ １含意の定義
３ （３）～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ３ド・モルガンの法則
３ （５） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ∨Ｓ ４∨Ｉ
６（６） Ｓ Ａ
６（７） ～Ｑ ∨Ｓ ６∨Ｉ
６（８） ～Ｑ∨～Ｒ ∨Ｓ ７∨Ｉ
６（９） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ∨Ｓ ８∨Ｉ
１ （ア） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ∨Ｓ ２３５６９∨Ｅ
１ （イ）（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）∨Ｓ ア結合法則
従って、
（17）（22）（23）により、
（24）
① （Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）→ Ｓ
② （～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）∨ Ｓ
③ ～｛（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）＆～Ｓ｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（25）
① （Ｐ＆ Ｑ）→ Ｒ
② （～Ｐ∨～Ｑ）∨ Ｒ
③ ～｛（Ｐ＆ Ｑ）＆～Ｒ｝
に於いて、
①＝②＝③ であること覚えてゐれば、
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｐ∨ Ｑ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ ことも、
① （Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）→ Ｓ
② （～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）∨ Ｓ
③ ～｛（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）＆～Ｓ｝
に於いて、
①＝②＝③ であることも、両方とも、思ひだすことが、出来る。
然るに、
（26）
① Ｐ→ Ｒ
② ～Ｐ∨ Ｒ
③ ～｛Ｐ＆～Ｒ｝
に於いて、
Ｐ＝（Ｐ＆Ｑ）
といふ「代入（Substitutuion）」を行ふと、
① （Ｐ＆Ｑ）→ Ｒ
② ～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｒ
③ ～｛（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ｝
然るに、
（27）
「ド・モルガンの法則」により、
② ～（Ｐ＆Ｑ）＝（～Ｐ∨～Ｑ）
であるため、
① （Ｐ＆Ｑ）→ Ｒ
② ～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｒ
③ ～｛（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ｝
であるならば、
① （Ｐ＆ Ｑ）→ Ｒ
② （～Ｐ∨～Ｑ）∨ Ｒ
③ ～｛（Ｐ＆ Ｑ）＆～Ｒ｝
である。
従って、
（01）～（27）により、
（28）
以上に於いて、「計算ミス」は無い。
然るに、
（29）
「命題計算（Propositional calculus）」は、「１（真）と０（偽）」だけを、「値（value）」とする「計算」である。
従って、
（30）
① Ｐ→ Ｒ
② ～Ｐ∨ Ｒ
③ ～｛Ｐ＆～Ｒ｝
に於いて、
Ｐ＝（Ｐ＆Ｑ）
といふ「代入（Substitutuion）」を行ふといふことは、
① Ｐ→ Ｒ
② ～Ｐ∨ Ｒ
③ ～｛Ｐ＆～Ｒ｝
に於いて、
Ｐ＝１（真） または、
Ｐ＝０（偽） といふ「代入（Substitutuion）」を行ふ。といふことである。
然るに、
（31）
① Ｐ→ Ｒ
② ～Ｐ∨ Ｒ
③ ～｛Ｐ＆～Ｒ｝
に於いて、
①＝②＝③ であるならば、当然、
① １→ Ｒ
② ～１∨ Ｒ
③ ～｛１＆～Ｒ｝
に於いても、
①＝②＝③ であるし、
① ０→ Ｒ
② ～０∨ Ｒ
③ ～｛０＆～Ｒ｝
に於いても、
①＝②＝③ である。
従って、
（01）～（31）により、
（32）
以上の「内容」は、
① Ｐ→ Ｒ
② ～Ｐ∨ Ｒ
③ ～｛Ｐ＆～Ｒ｝
に於いて、
①＝②＝③ であるならば、当然、
① １→ Ｒ
② ～１∨ Ｒ
③ ～｛１＆～Ｒ｝
に於いても、
①＝②＝③ であるし、
① ０→ Ｒ
② ～０∨ Ｒ
③ ～｛０＆～Ｒ｝
に於いても、
①＝②＝③ である。
といふことに対する、「確認」である。
といふ風に、言へないこともない。
（33）
（Ｓ１）証明された定理の任意の代入例に対して、証明が見出されうる。
（Ｓ１）A proof can be found for any substitution-instance of a proved theorem.
（E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学入門、６９頁と原文）
といふことは、「実感」としても、確かに、「正しい」。
（01）
（ａ）
１ （１） ～（ Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
２３ （６） （～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （７） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （８） Ｐ ７ＤＮ
９（９） ～Ｑ Ａ
９（ア） ～Ｐ∨～Ｑ ９∨Ｉ
２ ９（イ） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２ア＆Ｉ
２ （ウ） ～～Ｑ ９イＲＡＡ
２ （エ） Ｑ ウＤＮ
２ （オ） Ｐ＆ Ｑ ８エ＆Ｉ
１２ （カ） ～（ Ｐ＆ Ｑ）＆
（ Ｐ＆ Ｑ）
１ （キ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２カＲＡＡ
１ （ク） ～Ｐ∨～Ｑ キＤＮ
（ｂ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ｃ）
１ （１）～（Ｐ∨Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
６（６） Ｑ Ａ
６（７） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
１ ６（８）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １６＆Ｉ
１ （９） ～Ｑ ６８ＲＡＡ
１ （ア）～Ｐ＆～Ｑ ５９＆Ｉ
（ｄ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
４ （４） Ｐ Ａ
１ ４ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） １５ＲＡＡ
１ （７） ～Ｑ １＆Ｅ
８（８） Ｑ Ａ
１ ８（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
８（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２４６８ア∨Ｅ
１２ （ウ） （～Ｐ＆～Ｑ）＆
～（～Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ） ～（Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。
然るに、
（03）
（ｅ）
１ （１） ～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
３ （５） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ４∨Ｉ
２３ （６） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２５＆Ｉ
２ （７） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （８） Ｐ ７ＤＮ
９ （９） ～Ｑ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨～Ｑ ９∨Ｉ
９ （イ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ア∨Ｉ
２ ９ （ウ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２イ＆Ｉ
２ （エ） ～～Ｑ ９ウＲＡＡ
２ （オ） Ｑ エＤＮ
カ（カ） ～Ｒ Ａ
カ（キ） ～Ｑ∨～Ｒ カ∨Ｉ
カ（ク） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ キ∨Ｉ
２ カ（ケ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２ク＆Ｉ
２ （コ） ～～Ｒ カケＤＮ
２ （サ） Ｒ コＤＮ
２ （シ） Ｐ＆ Ｑ ８オ＆Ｉ
２ （ス） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ サシ＆Ｉ
１２ （セ） ～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）＆
（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １ス＆Ｉ
１ （ソ）～～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２セＲＡＡ
１ （タ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ソＤＮ
（ｆ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ２５ＲＡＡ
７ （７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ２９ＲＡＡ
イ（イ） ～Ｒ Ａ
２ （ウ） Ｒ ２＆Ｅ
２ イ（エ） ～Ｒ＆Ｒ イウ＆
イ（オ）～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ２エＲＡＡ
１ （カ）～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １３６７アイオ∨Ｅ
（ｇ）
１ （１） ～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ∨Ｑ∨Ｒ
１２ （５） ～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）＆
（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ） １４＆Ｉ
１ （６） ～Ｐ ２ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
７ （８） Ｐ∨Ｑ ７∨Ｉ
７ （９） Ｐ∨Ｑ∨Ｒ ８∨Ｉ
１ ７ （ア） ～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）＆
（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ） １９＆Ｉ
１ （イ） ～Ｑ ７アＲＡＡ
ウ（ウ） Ｒ Ａ
ウ（エ） Ｑ∨Ｒ ウ∨Ｉ
ウ（オ） Ｐ∨Ｑ∨Ｒ エ∨Ｉ
１ ウ（カ） ～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）＆
（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ） １オ＆Ｉ
１ （キ） ～Ｒ ウカＲＡＡ
１ （ク）～Ｐ＆～Ｑ ６イ＆Ｉ
１ （ケ）～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ キク＆Ｉ
（ｈ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
４ （４） Ｐ Ａ
１ ４ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １５ＲＡＡ
１ （７） ～Ｑ １＆Ｅ
８ （８） Ｑ Ａ
１ ８ （９） Ｑ＆～Ｑ Ａ
８ （ア）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １９ＲＡＡ
１ （イ） ～Ｒ １＆Ｅ
ウ（ウ） Ｒ Ａ
１ ウ（エ） ～Ｒ＆Ｒ イウ＆Ｉ
ウ（オ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １エＲＡＡ
２ （カ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １３６８アウオイウ∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
（ⅲ）～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
（ⅳ）～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｑ
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。
従って、
（02）（04）により、
（05）
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ） ⇔ ～Ｐ∨～Ｑ
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ） ⇔ ～Ｐ＆～Ｑ
（ⅲ）～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
（ⅳ）～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｑ
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。
然るに、
（01）（03）により、
（06）
（ａ）～（ｄ）の「計算」と、
（ｅ）～（ｈ）の「計算」は、
（Ｐ，Ｑ） といふ「２つの命題」が、
（Ｐ，Ｑ，Ｒ）といふ「３つの命題」に変はっただけで、「計算」としては、「やってゐること」は、「全く同じ」である。
従って、
（06）により、
（07）
（Ｐ，Ｑ，Ｒ） が、
（Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｒ）に変はったとしても、「証明（計算）」は書けるものの、「面倒くさいし、切りがない」ので、ただ単に、「書かない」だけである。
然るに、
（08）
（ａ）であれば、
１ （１） ～（ １＆ ２） Ａ
２ （２） ～（～１∨～２） Ａ
３ （３） ～１ Ａ
３ （４） ～１∨～２ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～１∨～２）＆
２３ （６） （～１∨～２） ２４＆Ｉ
２ （７） ～～１ ３ＲＡＡ
２ （８） １ ７ＤＮ
９（９） ～２ Ａ
９（ア） ～１∨～２ ９∨Ｉ
２ ９（イ） ～（～１∨～２）＆
（～１∨～２） ２ア＆Ｉ
２ （ウ） ～～２ ９イＲＡＡ
２ （エ） ２ ウＤＮ
２ （オ） １＆ ２ ８エ＆Ｉ
１２ （カ） ～（ １＆ ２）＆
（ １＆ ２）
１ （キ）～～（～１∨～２） ２カＲＡＡ
１ （ク） ～１∨～２ キＤＮ
といふ風に、書くことが出来き、
（ｅ）であれば、
１ （１） ～（ １＆ ２＆ ３） Ａ
２ （２） ～（～１∨～２∨～３） Ａ
３ （３） ～１ Ａ
３ （４） ～１∨～２ ３∨Ｉ
３ （５） ～１∨～２∨～３ ４∨Ｉ
２３ （６） ～（～１∨～２∨～３）＆
（～１∨～２∨～３） ２５＆Ｉ
２ （７） ～～１ ３ＲＡＡ
２ （８） １ ７ＤＮ
９ （９） ～２ Ａ
９ （ア） ～１∨～２ ９∨Ｉ
９ （イ） ～１∨～２∨～３ ア∨Ｉ
２ ９ （ウ） ～（～１∨～２∨～３）＆
（～１∨～２∨～３） ２イ＆Ｉ
２ （エ） ～～２ ９ウＲＡＡ
２ （オ） ２ エＤＮ
カ（カ） ～３ Ａ
カ（キ） ～２∨～３ カ∨Ｉ
カ（ク） ～１∨～２∨～３ キ∨Ｉ
２ カ（ケ） ～（～１∨～２∨～３）＆
（～１∨～２∨～３） ２ク＆Ｉ
２ （コ） ～～３ カケＤＮ
２ （サ） ３ コＤＮ
２ （シ） １＆ ２ ８オ＆Ｉ
２ （ス） １＆ ２＆ ３ サシ＆Ｉ
１２ （セ） ～（ １＆ ２＆ ３）＆
（ １＆ ２＆ ３） １ス＆Ｉ
１ （ソ）～～（～１∨～２∨～３） ２セＲＡＡ
１ （タ） ～１∨～２∨～３ ソＤＮ
といふ風に、書くことが出来る。
然るに、
（09）
数学的帰納法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（WiＫipedia）』
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数学的帰納法（すうがくてききのうほう、英: mathematical induction）は自然数に関する命題 Ｐ（n） が全ての自然数 n に対して成り立っている事を証明するための、次のような証明手法である[注 1]。
・Ｐ（1） が成り立つ事を示す。
・任意の自然数 Ｋ に対して、「Ｐ（Ｋ）⇒Ｐ（Ｋ＋１）」が成り立つ事を示す。
・以上の議論から任意の自然数ｎについて Ｐ（ｎ）が成り立つ事を結論づける。
・上で1と2から3を結論づける所が数学的帰納法に当たる。自然数に関するペアノの公理の中に、ほぼ等価なものが含まれている。
（01）～（09）により、
（10）
「数学的帰納法」によって、
「ド・モルガンの法則」は、「（２以上の）自然数」と「同じ個数（無限個）」の「命題」に於いても、成立する。
然るに、
（11）
ドモルガンの法則はベン図を書けば簡単に理解できます。
メリット
ベン図を書けば誰もが納得できる，分かりやすい。基本的には困ったらベン図を書くべし。
集合が３つ以下ならどんな集合の等式もベン図で証明できる。
デメリット
・集合が４つ以上だと通用しない。
（ドモルガンの法則の解説 | 高校数学の美しい物語）
然るに、
（12）
・集合が４つ以上だと通用しない。
といふことは、
・集合が「自然数と同じ個数（無限個）」の場合も、通用しない。
然るに、
（13）
ドモルガンの法則について
ドモルガンの法則は入試で必要になることは少ないですが，式変形の途中にしれっと登場したりするので覚えておきましょう。
以下ではドモルガンの法則を通じて集合の等式の証明について解説します。日本語による解説，ベン図による解説，真理値表（総当り）による解説。
（ドモルガンの法則の解説 | 高校数学の美しい物語）
従って、
（13）により、
（14）
（ドモルガンの法則の解説 | 高校数学の美しい物語）に於いては、
（ａ）日本語による解説
（ｂ）ベン図による解説
（ｃ）真理値表（総当り）による解説
は行はれていても、惜しむらくは、
（ｄ）命題計算（今、私が示したそれ）による解説
を行はれゐないし、そのやうな「方法」があることにも、触れてゐない。
（15）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ６７＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（15）により、
（16）
① Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである）。
② ～Ｐ∨Ｑ（ＰでないかＱである）。
に於いて、
①＝② であって、この「等式」を「含意の定義」といふ。
従って、
（16）により、
（17）
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① Ｐ→～Ｑ（Ｐならば、Ｑでない）。
② ～Ｐ∨～Ｑ（ＰでないかＱである）。
に於いて、
①＝② であって、この「等式」も「含意の定義」である。
然るに、
（01）により、
（18）
② ～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（17）（18）により、
（19）
① Ｐ→～Ｑ
② ～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（19）により、
（20）
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① Ｐ→～～Ｑ
② ～Ｐ∨～～Ｑ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（20）により、
（21）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｐ∨ Ｑ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、すなはち、
① Ｐならば、 Ｑである。
② Ｐでないか、Ｑである。
③ Ｐであって、Ｑでない。といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
（01）
② 風邪を引いたので会社を休む。
と言へるためには、
① 風邪を引いたならば会社を休む。
といふ「命題」が、「真」でなければならない。
従って、
（01）により、
（02）
② ＰなのでＱである（ＰなればＱなり）。
と言へるためには、
① ＰならばＱである（ＰならばＱなり）。
といふ「命題」が、「真」でなければならない。
然るに、
（03）
１ （１）ＰならばＱである。 仮定
２（２）Ｐである。 仮定
１２（３） Ｑである。 １２前件肯定
従って、
（03）により、
（04）
１ （１）Ｐ→Ｑ Ａ
２（２）Ｐ Ａ
１２（３） Ｑ １２ＭＰＰ
然るに、
（05）
「・・・・・という仮定が与えられるならば、・・・・・と正しく結論することができる」という煩雑な表現の略記法があれば好都合であろう。このためわたしは、論理学の文献のなかでしばしば、しかし誤解を招きやすい仕方で、断定記号（assertion-sign）、
├
を導入する。これは「故に」（therefore）と読むのが便利であろう。
（E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学入門、１６頁）
従って、
（01）～（05）により、
（06）
② Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
② ＰならばＱである。Ｐである。ので、Ｑである。
といふ「連式」に於ける、
② Ｐ→Ｑ
② ＰならばＱである。
といふ「仮言命題」が、「省略」された形が、
② Ｐ├ Ｑ
② ＰなのでＱである。
といふ「連式」である。
然るに、
（07）
① ＰならばＱである。
② ＰなのでＱである。
といふ「口語」は、
① Ｐなら（未然形）ばＱなり。
② Ｐなれ（已然形）ばＱなり。
といふ「文語」に相当し、
① 未然形
（ｃ）
「ば」に続いて「仮定条件」を表す。
＊未然―「未だ然からず」、すなわち「まだ、そうなっていない」の意である。
⑤ 已然形
（ａ）「ば」「ども」に続いて「確定条件」を表す。
＊已然―前の「未然」の反対で、「已に然り」、すなわち、「すでにそうなっている」の意である。
（中村菊一、基礎からわかる古典文法、1978年、２３・２４頁）
従って、
（01）～（07）により、
（08）
① 風邪を引いたならば会社を休む。
② 風邪を引いたので会社を休む。
といふ「口語」は、
① 風邪引か（未然形）ば会社を休む。
② 風邪引け（已然形）ば会社を休む。
といふ「文語」に訳すことが出来、
① 風邪引か（未然形）ば会社を休む。
② 風邪引け（已然形）ば会社を休む。
といふ「文語」は、
① 風邪を引いた→ 会社を休む。
② 風邪を引いた├ 会社を休む。
といふ風に、書くことが出来る。
従って、
（06）（08）により、
（09）
② 風邪引け（已然形）ば会社を休む。
といふ「日本語」は、
②（風邪引かば会社を休む、）風引きぬ。├ 会社を休む。
といふ「意味」である。
（01）
① 明日が晴れならば、釣りに行く。
とは、言ふものの、
① 明日は晴れならば、釣りに行く。
とは、言はない。
ｃｆ.
もしも明日が晴れならば、
愛する人よあの場所で、
もしも明日が晴れならば、
愛する人よそばにいて、
（もしも明日が、作詞 荒木とよひさ、作曲 三木たかし、唄 わらべ）
然るに、
（02）
その一方で、
② 明日は休みなので、釣りに行く。
とは、言ふ。
然るに、
（03）
①「明日が晴れ」であることは「未定」であるが、
②「明日は休み」であることは「確定」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
①（ＡがＢである）ならば、Ｃである。
②（ＡはＢである）ならば、Ｃである。
といふ「仮言命題」に於いて、
①（ＡがＢである）に対して、
②（ＡはＢである）とは言はないし、
①（ＡがＢである）ことは、「未定」である。
然るに、
（05）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ６７＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（05）により、
（06）
① Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである）。
② ～Ｐ∨Ｑ（ＰでないかＱである）。
に於いて、
①＝② であって、この「等式」を「含意の定義」といふ。
従って、
（06）により、
（07）
① Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである）。
② ～Ｐ∨Ｑ（ＰでないかＱである）。
に於いて、
Ｐ＝ＡがＢである。
Ｑ＝Ｃである。
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
①（ＡがＢである）ならば（Ｃである）。
②（ＡがＢでない）か、 （Ｃである）。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（08）
②（ＡがＢでない）か（Ｃである）。
といふ「選言命題」は、
②（ＡがＢでない）か、
②（Ｃである） か、といふ、二つの内の、
② 少なくとも一方は、「真（本当）」である。
といふ「意味」である。
従って、
（08）により、
（09）
②（ＡがＢでない）か（Ｃである）。
といふ「選言命題」は、
②（ＡがＢでない）でない。ならば、（Ｃであり）、
②（Ｃである） でない。ならば、（ＡはＢでない）。
といふ「意味」である。
然るに、
（10）
②（ＡがＢでない）でない。
といふことは、
②（ＡがＢである）。
といふことである。
従って、
（06）（09）（10）により、
（11）
②（ＡがＢでない）か（Ｃである）。
といふ「選言命題」は、
①（ＡがＢである）ならば（Ｃである）。
といふ「仮言命題」に「等しい」。
然るに、
（12）
①（ＡがＢである）ならば（Ｃである）。
②（ＡがＢでない）か、 （Ｃである）。
といふことは、
③（ＤがＢである）
④（ＤがＢでない）
といふ場合については、何も、述べてはゐない。
従って、
（12）により、
（13）
①（ＡがＢである）ならば（Ｃである）。
②（ＡがＢでない）か、 （Ｃである）。
といふことは、
③（ＤがＢである）ならば（Ｃである）。
④（ＤがＢでない）か、 （Ｃである）。
といふことでは、決してない。
従って、
（14）
「聞き手」の側が、
③（ＤがＢである）
と「誤解」してゐるならば、
③（Ｃでない）といふことが「確定」した場合には、
「聞き手」からすれば、「話し手」が、「ウソ」を付いたことになる。
従って、
（13）（14）により、
（15）
① （ＡがＢである）ならば（Ｃである）。
といふ場合には、
①｛（ＤがＢである）ならば｝ではなく、
といふ「気持ち」をこめた上での、
①｛（ＡがＢである）ならば｝そのときには（Ｃである）。
といふ「意味」であることは、「不自然」ではない。
従って、
（15）により、
（16）
①（ＡがＢである）ならば（Ｃである）。
といふ場合には、
①（Ａ以外ではない、ＡがＢである）ならば（Ｃである）。
といふ「意味」であることは、「不自然」ではない。
然るに、
（17）
①（Ａ以外ではない、ＡがＢである）ならば、
と言ひたいのであれば、
①（Ａ＿Ｂである）ならば（Ｃである）。
に於いて、
① Ａ＿ を「強調」すれば良い。
然るに、
（18）
清音の方は、小さくきれいで速い感じで、コロコロと言うと、ハスの上を水玉がころがるような時の形容である。ゴロゴロと言うと、大きく荒い感じで、力士が土俵でころがる感じである（金田一春彦、日本語（上）、1988年、１３１頁）。もし濁音を発音するときの物理的・身体的な口腔の膨張によって「濁音＝大きい」とイメージがつくられているのだとしたら、面白いですね。この仮説が正しいとすると、なぜ英語話者や中国語話者も濁音に対して「大きい」というイメージを持っているか説明がつきます（川原繁人、音とことばの不思議な世界、2015年、１３頁）。
従って、
（18）により、
（19）
① Ａが（濁音）
② Ａは（清音）
に於いて、
① の「心理的な音量」の方が、
② の「心理的な音量」よりも、大きい。
従って、
（17）（18）（19）により、
（20）
①（ＡがＢである）ならば（Ｃである）。
②（ＡはＢである）ならば（Ｃである）。
に於いて、
③ If Ａ・Ｂ then Ｃ．
といふ「仮言命題」として、「ふさわしい」のは、
① であって、
② ではない。
といふ、ことになる。
（01）
（ⅰ）～（Ａ＆Ｂ）⇔ ～Ａ∨～Ｂ
（ⅱ）～（Ａ∨Ｂ）⇔ ～Ａ＆～Ｂ
といふ「等式」を「ド・モルガンの法則」といふ。
従って、
（02）
① ～（Ａ＆Ｂ）
② ～Ａ∨～Ｂ
に於いて、
①＝② であって、
③ ～（Ａ∨Ｂ）
④ ～Ａ＆～Ｂ
に於いて、
③＝④ であり、これらの「等式」を、「ド・モルガンの法則」といふ。
然るに、
（03）
① ～（Ａ＆Ｂ）
② ～Ａ∨～Ｂ
といふ「論理式」は、順番に、
①（Ａが本当であって、その上、Ｂも本当である）といふことはない。
②（ＡとＢの内の、少なくとも一方は、ウソである）。
といふ「意味」である。
然るに、
（04）
①（Ａが本当であって、その上、Ｂも本当である）といふことはない。
といふことは、
②（ＡとＢの内の、少なくとも一方は、ウソである）。
といふことであって、
②（ＡとＢの内の、少なくとも一方は、ウソである）。
といふことは、
①（Ａが本当であって、その上、Ｂも本当である）といふことはない。
といふ、ことである。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① ～（Ａ＆Ｂ）＝（Ａが本当であって、その上、Ｂも本当である）といふことはない。
② ～Ａ∨～Ｂ ＝（ＡとＢの内の、少なくとも一方は、ウソである）。
に於いて、
①＝② である。
（06）
③ ～（Ａ∨Ｂ）
④ ～Ａ＆～Ｂ
といふ「論理式」は、順番に、
③（ＡとＢの、少なくとも一方は、本当である）といふことはない。
④（ＡとＢは、両方とも、ウソである）。
といふ「意味」である。
然るに、
（07）
③（ＡとＢの、少なくとも一方は、本当である）といふことはない。
といふことは、
④（ＡとＢは、両方とも、ウソである）。
といふことであり、
④（ＡとＢは、両方とも、ウソである）。
といふことは、
③（ＡとＢの、少なくとも一方は、本当である）といふことはない。
といふことである。
従って、
（06）（07）により、
（08）
③ ～（Ａ∨Ｂ）＝（ＡとＢの、少なくとも一方は、本当である）といふことはない。
④ ～Ａ＆～Ｂ ＝（ＡとＢは、両方とも、ウソである）。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（01）～（08）により、
（09）
①（Ａが本当であって、その上、Ｂも本当である）といふことはない。
②（ＡとＢの内の、少なくとも一方は、ウソである）。
③（ＡとＢの、少なくとも一方は、本当である）といふことはない。
④（ＡとＢは、両方とも、ウソである）。
に於いて、
①＝② であり、
③＝④ である。
といふことを「理解できる」のであれば、その人は、すでに、
（ⅰ）～（Ａ＆Ｂ）⇔ ～Ａ∨～Ｂ
（ⅱ）～（Ａ∨Ｂ）⇔ ～Ａ＆～Ｂ
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」を、理解してゐる。
といふ、ことになる。
然るに、
（10）
① ～（Ａ＆Ｂ）
② ～Ａ∨～Ｂ
③ ～（Ａ∨Ｂ）
④ ～Ａ＆～Ｂ
に於いて、
Ｂ＝～Ｂ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① ～（Ａ＆～Ｂ）
② ～Ａ∨～～Ｂ
③ ～（Ａ∨～Ｂ）
④ ～Ａ＆～～Ｂ
然るに、
（11）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① ～（Ａ＆～Ｂ）
② ～Ａ∨ Ｂ
③ ～（Ａ∨～Ｂ）
④ ～Ａ＆ Ｂ
然るに、
（12）
① ～（Ａ＆～Ｂ）は、
①（Ａが本当であって、その上、Ｂもウソである）といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（13）
①（Ａが本当であって、その上、Ｂもウソである）といふことはない。
といふ「言ひ方」を、
②（ＡとＢの内の、少なくとも一方は、・・である）。
といふ風に、表現することは、出来ない。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
① ～（Ａ＆～Ｂ）
② ～Ａ∨ Ｂ
に於いて、
①＝② である。
といふことを、「言葉」で説明するのは「難しい」。
然るに、
（15）
（ⅰ）
１ （１） ～（ Ａ＆ ～Ｂ） Ａ
２ （２） ～（～Ａ∨～～Ｂ） Ａ
３ （３） ～Ａ Ａ
３ （４） ～Ａ∨～～Ｂ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ａ∨～～Ｂ）＆
２３ （６） （～Ａ∨～～Ｂ） ２４＆Ｉ
２ （７） ～～Ａ ３ＲＡＡ
２ （８） Ａ ７ＤＮ
９（９） ～～Ｂ Ａ
９（ア） ～Ａ∨～～Ｂ ９∨Ｉ
２ ９（イ） ～（～Ａ∨～～Ｂ）＆
（～Ａ∨～～Ｂ） ２ア＆Ｉ
２ （ウ） ～～～Ｂ ９イＲＡＡ
２ （エ） ～Ｂ ウＤＮ
２ （オ） Ａ＆ ～Ｂ ８エ＆Ｉ
１２ （カ） ～（ Ａ＆ ～Ｂ）＆
（ Ａ＆ ～Ｂ）
１ （キ）～～（～Ａ∨～～Ｂ） ２カＲＡＡ
１ （ク） ～Ａ∨～～Ｂ キＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ａ∨～～Ｂ Ａ
２ （２） Ａ＆ ～Ｂ Ａ
３ （３） ～Ａ Ａ
２ （４） Ａ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ａ＆Ａ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ａ＆ ～Ｂ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～～Ｂ Ａ
２ （８） ～Ｂ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～～Ｂ＆～Ｂ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ａ＆ ～Ｂ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ａ＆ ～Ｂ） １３６７ア∨Ｅ
（ⅲ）
１ （１）～（Ａ∨～Ｂ） Ａ
２ （２） Ａ Ａ
２ （３） Ａ∨～Ｂ ２∨Ｉ
１２ （４）～（Ａ∨～Ｂ）＆
（Ａ∨～Ｂ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ａ ２４ＲＡＡ
６（６） ～Ｂ Ａ
６（７） Ａ∨～Ｂ ６∨Ｉ
１ ６（８）～（Ａ∨～Ｂ）＆
（Ａ∨～Ｂ） １６＆Ｉ
１ （９） ～～Ｂ ６８ＲＡＡ
１ （ア）～Ａ＆～～Ｂ ５９＆Ｉ
（ⅳ）
１ （１） ～Ａ＆～～Ｂ Ａ
２ （２） Ａ∨ ～Ｂ Ａ
１ （３） ～Ａ １＆Ｅ
４ （４） Ａ Ａ
１ ４ （５） ～Ａ＆Ａ ３４＆Ｉ
４ （６）～（～Ａ＆～～Ｂ） １５ＲＡＡ
５（７） ～Ｂ Ａ
１ （８） ～～Ｂ １＆Ｅ
１ ５（９） ～Ｂ＆～～Ｂ ７８＆Ｉ
５（ア）～（～Ａ＆～～Ｂ） １９ＲＡＡ
２ （イ）～（～Ａ＆～～Ｂ） ２４６７ア∨Ｅ
１２ （ウ） （～Ａ＆～～Ｂ）＆
～（～Ａ＆～～Ｂ） １イ＆Ｉ
１ （エ） ～（Ａ∨ ～Ｂ） ２ウＲＡＡ
従って、
（15）により、
（16）
① ～（Ａ＆ ～Ｂ）
② ～Ａ∨～～Ｂ
③ ～（Ａ∨ ～Ｂ）
④ ～Ａ＆～～Ｂ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（16）により、
（17）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① ～（Ａ＆～Ｂ）
② ～Ａ∨ Ｂ
③ ～（Ａ∨～Ｂ）
④ ～Ａ＆ Ｂ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
（01）（17）により、
（ⅰ）～（Ａ＆ Ｂ）⇔ ～Ａ∨～Ｂ
（ⅱ）～（Ａ∨ Ｂ）⇔ ～Ａ＆～Ｂ
（ⅲ）～（Ａ＆～Ｂ）⇔ ～Ａ∨ Ｂ
（ⅳ）～（Ａ∨～Ｂ）⇔ ～Ａ＆ Ｂ
といふ「等式」等を「ド・モルガンの法則」といふ。
然るに、
（18）
「今日（令和０２年０２月２３日）」の「最初の記事（この記事は３番目）」でも「証明」した、
（ⅴ）～（Ａ＆ Ｂ∨Ｃ）⇔ ～Ａ∨～Ｂ＆～Ｃ
（ⅵ）～（Ａ∨ Ｂ＆Ｃ）⇔ ～Ａ＆～Ｂ∨～Ｃ
（ⅶ）～（Ａ＆～Ｂ∨Ｃ）⇔ ～Ａ∨ Ｂ＆～Ｃ
（ⅷ）～（Ａ∨～Ｂ＆Ｃ）⇔ ～Ａ＆ Ｂ∨～Ｃ
といふ「等式」等も、「ド・モルガンの法則」といふ、はずである。
（01）
① 君子於其所不知、蓋蓋闕如也＝
① 君子於二其所一レ不レ知、蓋闕如也＝
① 君子於［其所〔不（知）〕］、蓋闕如也⇒
① 君子於［其〔（知）不〕所］、蓋闕如也＝
① 君子は［其の〔（知ら）不る〕所に］於いて、蓋し闕如す。
然るに、
（02）
君子於其所不知、蓋蓋闕如也。
君子は自分のわからないことではだまっているものだ。
（金谷治 訳注、論語、1963年、２４９頁）
然るに、
（03）
其 そノ そレ
［指示形容詞］《人・物・事などを指し、単数・複数のどちらをも指す》
① 連体修飾格
（ⅱ）〈人を指し、主語と一致する場合〉「自分の」
（天野成之、漢文基本語辞典、1999年、７５頁）
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① 君子於［其所〔不（知）〕］、蓋闕如也⇒
① 君子於［其〔（知）不〕所］、蓋闕如也＝
① 君子は［其の〔（知ら）不る〕所に］於いて、蓋し闕如す。
に於いて、
① 其の＝自分の
である。
然るに、
（05）
② 君子不以其所以養人者害人＝
② 君子不乙以下其所二以 養一レ人者上害甲レ人＝
② 君子不｛以［其所－以〔養（人）〕者］害（人）｝⇒
② 君子｛［其〔（人）養〕所－以者］以（人）害｝不＝
② 君子は｛［其の〔（人を）養ふ〕所－以の者を］以て（人を）害せ｝ず。
従って、
（04）（05）により、
（06）
② 君子不｛以［其所－以〔養（人）〕者］害（人）｝⇒
② 君子｛［其〔（人）養〕所－以者］以（人）害｝不＝
② 君子は｛［其の〔（人を）養ふ〕所－以の者を］以て（人を）害せ｝ず。
に於いても、
② 其の＝自分の
である。
然るに、
（07）
君子不以其所以養人者害人
君子は人間が生きてゆく手段である土地が惜しさに争って、大切な人間そのものを犠牲にはしないものだ。
（小林勝人 訳注、孟子 上、1968年、１０４頁）
従って、
（07）により、
（08）
② 所以養人者＝
② 人間が生きてゆく手段＝
② 土地
である。
然るに、
（09）
滕文公問曰、滕小國也、竭力以事大國、則不得免焉、如之何則可、孟子對曰、昔者大王居邠、狄人侵之、事之以皮幣、不得免焉、事之以犬馬、不得免焉、事之以珠玉、不得免焉、乃屬其耆老而告之曰、狄人之所欲者、吾土地也、吾聞之也、君子不以其所以養人者害人、
滕文の公問ひて曰く、滕は小國なり、力を竭して以て大國に事うるとも、則ち免るるを得じ。如之何にせば則ち可ならん、孟子對へて曰く、昔者大王邠に居りしとき、狄人之を侵せり。之に事うる皮幣を以てするも、免かるるを得ず。之に事うるに犬馬を以てするも、免かるるを得ず。之に事うる珠玉を以てするも、免かるるを得ず。乃ち其の耆老を屬めて之に告げて曰く、狄人の欲する所の者は、吾が土地なり、吾之を聞く、君子は其の人を養ふ所以の者を以て人を害せず（小林勝人 訳注、孟子 上、1968年、１０４頁改）。
従って、
（09）により、
（10）
② 君子不以其所以養人者害人。
に於いて、
② 人＝王の人民
である。
従って、
（01）～（10）により、
（11）
② 君子不以其所以養人者害人＝
② 君子不乙以下其所二以 養一レ人者上害甲レ人＝
② 君子不｛以［其所－以〔養（人）〕者］害（人）｝⇒
② 君子｛［其〔（人）養〕所－以者］以（人）害｝不＝
② 君子は｛［其の〔（人を）養ふ〕所－以の者を］以て（人を）害せ｝ず。
といふ「漢文・訓読」は、突き詰めて言へば、
② 君子は、自分の土地で、自分の人民を害さない。
といふ「意味」になる。
然るに、
（12）
② 君子は、自分の土地で、自分の人民を害さない。⇔
② ∀ｘ｛君子ｘ→∃ｙ∃ｚ（人ｙｘ＆地ｚｘ＆～害ｚｙ）｝⇔
② すべてのｘについて、ｘが君子であるならば、あるｙとあるｚについて、ｙはｘの人民であり、ｚはｘの土地であり、ｚはｙを害さない。
従って、
（11）（12）により、
（13）
② 君子不以其所以養人者害人。
といふ「漢文」は、
② ∀ｘ｛君子ｘ→∃ｙ∃ｚ（人ｙｘ＆地ｚｘ＆～害ｚｙ）｝
といふ風に、訳すことが、出来る。
然るに、
（14）
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ｛君子ｘ→∃ｙ∃ｚ（人ｙｘ＆地ｚｘ＆～害ｚｙ）｝ Ａ
１ （２） 君子ａ→∃ｙ∃ｚ（人ｙａ＆地ｚａ＆～害ｚｙ） １ＵＥ
３ （３） ∀ｙ∀ｚ［（人ｙａ＆地ｚａ）→害ｚｙ］ Ａ
３ （４） ∀ｚ［（人ｂａ＆地ｚａ）→害ｚｂ］ ３ＵＥ
３ （５） （人ｂａ＆地ｃａ）→害ｃｂ ４ＵＥ
３ （６） ～（人ｂａ＆地ｃａ）∨害ｃｂ ５含意の定義
７ （７） ～（人ｂａ＆地ｃａ） Ａ
７ （８） ～人ｂａ∨～地ｃａ ７ド・モルガンの法則
７ （９） ～人ｂａ∨～地ｃａ∨ 害ｃｂ ８∨Ｉ
ア（ア） 害ｃｂ Ａ
ア（イ） ～人ｂａ∨～地ｃａ∨ 害ｃｂ ア∨Ｉ
３ （ウ） ～人ｂａ∨～地ｃａ∨ 害ｃｂ ６７９アイ∨Ｅ
３ （エ） ～（人ｂａ＆地ｃａ＆～害ｃｂ） ウ、ド・モルガンの法則
３ （オ） ∀ｚ～（人ｂａ＆地ｚａ＆～害ｚｂ） エＵＩ
３ （カ） ～∃ｚ（人ｂａ＆地ｚａ＆～害ｚｂ） オ量化子の関係
３ （キ） ∀ｙ～∃ｚ（人ｂａ＆地ｚａ＆～害ｚｂ） カＵＩ
３ （ク） ～∃ｙ∃ｚ（人ｙａ＆地ｚａ＆～害ｚｙ） キ量化子の関係
１３ （ケ） ～君子ａ ２クＭＴＴ
１ （コ） ∀ｙ∀ｚ［（人ｙａ＆地ｚａ）→害ｚｙ］→～君子ａ ３ケＣＰ
１ （サ）∀ｘ｛∀ｙ∀ｚ［（人ｙｘ＆地ｚｘ）→害ｚｙ］→～君子ｘ｝ コＵＩ
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ｛∀ｙ∀ｚ［（人ｙｘ＆地ｚｘ）→害ｚｙ］→～君子ｘ｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ∀ｚ［（人ｙａ＆地ｚａ）→害ｚｙ］→～君子ａ １ＵＥ
３ （３） 君子ａ Ａ
３ （４） ～～君子ａ ３ＤＮ
１３ （５） ～∀ｙ∀ｚ［（人ｙａ＆地ｚａ）→害ｚｙ］ ２４ＭＴＴ
１３ （６） ∃ｙ～∀ｚ［（人ｙａ＆地ｚａ）→害ｚｙ］ ５量化子の関係
１３ （７） ∃ｙ∃ｚ～［（人ｙａ＆地ｚａ）→害ｚｙ］ ６量化子の関係
８ （８） ∃ｚ～［（人ｂａ＆地ｚａ）→害ｚｂ］ Ａ
９（９） ～［（人ｂａ＆地ｃａ）→害ｃｂ］ Ａ
９（ア） ～［～（人ｂａ＆地ｃａ）∨害ｃｂ］ ９含意の定義
９（イ） （人ｂａ＆地ｃａ）＆～害ｃｂ ア、ド・モルガンの法則
９（ウ） 人ｂａ＆地ｃａ＆～害ｃｂ イ結合法則
９（エ） ∃ｚ（人ｂａ＆地ｃａ＆～害ｃｂ） ウＥＩ
８ （オ） ∃ｚ（人ｂａ＆地ｃａ＆～害ｃｂ） ８９エＥＥ
８ （カ） ∃ｙ∃ｚ（人ｂａ＆地ｃａ＆～害ｃｂ） オＥＩ
１３ （キ） ∃ｙ∃ｚ（人ｂａ＆地ｃａ＆～害ｃｂ） ７８カＥＥ
１ （ク） 君子ａ→∃ｙ∃ｚ（人ｙａ＆地ｚａ＆～害ｚｙ） ３キＣＰ
１ （ケ）∀ｘ｛君子ｘ→∃ｙ∃ｚ（人ｙｘ＆地ｚｘ＆～害ｚｙ）｝ クＵＩ
従って、
（14）により、
（15）
② ∀ｘ｛君子ｘ→∃ｙ∃ｚ（人ｙｘ＆地ｚｘ＆～害ｚｙ）｝⇔
② すべてのｘについて、ｘが君子であるならば、あるｙとあるｚについて、ｙはｘの人民であり、ｚはｘの土地であり、ｚはｙを害さない。
の「対偶（Contraposition）」は、
③ ∀ｘ｛∀ｙ∀ｚ［（人ｙｘ＆地ｚｘ）→害ｚｙ］→～君子ｘ｝⇔
③ すべての、ｘとｙとｚについて、ｙがｘの人民であって、ｚがｘの土地ならば、ｚがｙを害するならば、ｘは君子でない。
である。
然るに、
（16）
③ ∀ｘ｛∀ｙ∀ｚ［（人ｙｘ＆地ｚｘ）→害ｚｙ］→～君子ｘ｝⇔
③ すべての、ｘとｙとｚについて、ｙがｘの人民であって、ｚがｘの土地ならば、ｚがｙを害するならば、ｘは君子でない。
といふことは、
③ 自分の土地が、自分の人民を害するならば、君子ではない。
といふことである。
然るに、
（17）
③ 自分の土地が、自分の人民を害するならば、君子ではない。
であるならば、
③ 如其地害其人則非君子＝
③ 如其地害（其人）則非（君子）⇒
③ 如其地（其人）害則（君子）非＝
③ 如し其の地（其の人を）害さ則ち（君子に）非ず。
といふ風に、書くことが出来る。
従って、
（08）（10）（17）により、
（18）
② 君子不以其所以養人者害人。
③ 如其所以人者害人則非君子。
に於いて、
②＝③ は、「対偶（Contraposition）」である。
（19）
先ほどの、「ド・モルガンの法則」に関する「記事（令和０２年０２月２３日）」は、
② 君子不以其所以養人者害人。
といふ「漢文」を「述語論理」に翻訳してゐる際に、
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。
といふことを、ネットで確認しようとしても、「確認できなかった」ので、「自分で証明」したものです。
（20）
あるいは、探し方が悪いのかもしれませんが、「連言（∩）と選言（∪）」が混在する場合の「ド・モルガンの法則」に関する「説明」は、少なくとも、「グーグルの１ページと２ページ」では、見付けることが出来ません。
（01）
（ａ）
１ （１） ～（ Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
２３ （６） （～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （７） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （８） Ｐ ７ＤＮ
９（９） ～Ｑ Ａ
９（ア） ～Ｐ∨～Ｑ ９∨Ｉ
２ ９（イ） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２ア＆Ｉ
２ （ウ） ～～Ｑ ９イＲＡＡ
２ （エ） Ｑ ウＤＮ
２ （オ） Ｐ＆ Ｑ ８エ＆Ｉ
１２ （カ） ～（ Ｐ＆ Ｑ）＆
（ Ｐ＆ Ｑ）
１ （キ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２カＲＡＡ
１ （ク） ～Ｐ∨～Ｑ キＤＮ
（ｂ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ｃｆ.
１２ （ウ） （Ｐ＆ Ｑ）＆
～（Ｐ＆ Ｑ） ２イ＆Ｉ
２ （エ）～（～Ｐ∨～Ｑ） １ウＲＡＡ
（ｃ）
１ （１）～（Ｐ∨Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
６（６） Ｑ Ａ
６（７） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
１ ６（８）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １６＆Ｉ
１ （９） ～Ｑ ６８ＲＡＡ
１ （ア）～Ｐ＆～Ｑ ５９＆Ｉ
（ｄ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
４ （４） Ｐ Ａ
１ ４ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） １５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
１ （８） ～Ｑ １＆Ｅ
１ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２４６７ア∨Ｅ
１２ （ウ） （～Ｐ＆～Ｑ）＆
～（～Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ） ～（Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。
従って、
（02）により、
（03）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
（ⅰ）～（～Ｐ＆～Ｑ）⇔ ～～Ｐ∨～～Ｑ ⇔ Ｐ∨Ｑ
（ⅱ）～（～Ｐ∨～Ｑ）⇔ ～～Ｐ＆～～Ｑ ⇔ Ｐ＆Ｑ
といふ「等式」と、
（ⅰ）～（～Ｐ＆ Ｑ）⇔ ～～Ｐ∨ ～Ｑ ⇔ Ｐ∨～Ｑ
（ⅱ）～（～Ｐ∨ Ｑ）⇔ ～～Ｐ＆ ～Ｑ ⇔ Ｐ＆ Ｑ
といふ「等式」と、
（ⅰ）～（ Ｐ＆～Ｑ）⇔ ～Ｐ∨～～Ｑ ⇔ ～Ｐ∨Ｑ
（ⅱ）～（ Ｐ∨～Ｑ）⇔ ～Ｐ＆～～Ｑ ⇔ ～Ｐ＆Ｑ
といふ「等式」が成立し、これはすべて、「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（02）により、
（04）
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
Ｑ＝Ｑ∨Ｒ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ）
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（05）
（ⅱ）
１ （１）～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ） Ａ
２ （２）～Ｐ Ａ
２ （３）～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ ２∨Ｉ
４（４） ～（Ｑ∨Ｒ） Ａ
４（５） ～Ｑ＆～Ｒ ４ド・モルガンの法則
４（６）～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ ５∨Ｉ
１ （７）～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ １２３４６∨Ｅ
（ⅲ）
１ （１）～Ｐ∨ ～Ｑ＆～Ｒ Ａ
１ （２）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） １結合法則
３ （３）～Ｐ Ａ
３ （４）～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ） ３∨Ｉ
５（５） ～Ｑ＆～Ｒ Ａ
５（６） ～（Ｑ∨Ｒ） ５ド・モルガンの法則
５（７）～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ） ６∨Ｉ
１ （８）～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ） ２３４５７∨Ｅ
従って、
（05）により、
（06）
（ⅱ）～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ）
（ⅲ）～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
（ⅱ）＝（ⅲ） である。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
（ⅱ）～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（04）（07）により、
（08）
（ⅰ） ～（Ｐ＆Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ）
（ⅱ）～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（08）により、
（09）
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（02）により、
（10）
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
Ｑ＝Ｑ＆Ｒ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～（Ｑ＆Ｒ）
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。
然るに、
（11）
（ⅱ）
１（１）～Ｐ＆～（Ｑ＆Ｒ） Ａ
１（２）～Ｐ １＆Ｅ
１（３） ～（Ｑ＆Ｒ） １＆Ｅ
１（４） ～Ｑ∨～Ｒ ３ド・モルガンの法則
１（５）～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ ２４＆Ｉ
（ⅲ）
１（１）～Ｐ＆ ～Ｑ∨～Ｒ Ａ
１（２）～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ） １結合法則
１（３）～Ｐ ２＆Ｅ
１（４） （～Ｑ∨～Ｒ） ２＆Ｅ
１（５） ～（Ｑ＆Ｒ） ４ド・モルガンの法則
１（６）～Ｐ＆～（Ｑ＆Ｒ） ３５＆Ｉ
従って、
（11）により、
（12）
（ⅲ）～Ｐ＆～（Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ＆Ｒ） ⇔ ～Ｐ＆～（Ｑ＆Ｒ）
（ⅲ）～Ｐ＆～（Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ
従って、
（13）により、
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ＆Ｒ） ⇔ ～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（09）（13）により、
（14）
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（14）により、
（15）
「二重否定律（ＤＮ）」により、例へば、
（ⅰ）～（Ｐ＆～Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～～Ｑ＆～Ｒ ⇔ ～Ｐ∨Ｑ＆～Ｒ
（ⅱ）～（Ｐ∨～Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～～Ｑ∨～Ｒ ⇔ ～Ｐ＆Ｑ∨～Ｒ
といふ「等式」、すなはち、
（ⅰ）～（Ｐ＆～Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ∨Ｑ＆～Ｒ
（ⅱ）～（Ｐ∨～Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ＆Ｑ∨～Ｒ
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（15）により、
（16）
誰かがその気になれば、「数学的帰納法」により、「可算個の命題と、可算個の＆・∨」に於いて、
（ⅰ）～（Ｐ＆～Ｑ∨Ｒ・・・・・）⇔ ～Ｐ∨Ｑ＆～Ｒ・・・・・・
（ⅱ）～（Ｐ∨～Ｑ＆Ｒ・・・・・）⇔ ～Ｐ＆Ｑ∨～Ｒ・・・・・・
といふ「等式」を、「証明」出来る。
然るに、
（17）
―ドモルガンの法則の解説 | 高校数学の美しい物語―
ドモルガンの法則の日本語による解説
ドモルガンの法則を日本語で表現すると以下のようになります。
1：「Ａ または Ｂ」でない，という状況は
「Ａ でない」かつ「Ｂ でない」という状況と同じ
2：「Ａ かつ Ｂ」でない，という状況は
「Ａ でない」または「Ｂ でない」という状況と同じ
多くの人はよく分からないと思いますが，この日本語を見ただけで納得できる人にとってはこの説明のみで十分でしょう。
メリット
・日本語にただなおすだけで集合の等式が理解できる。理解できると面白い。
デメリット
・みんなが納得できる説明ではない（数学的に厳密でない）。
然るに、
（18）
①「Ａが本当であって、尚且つ、Ｂも本当である。」といふことはない。
といふことは、
②「ＡとＢの内の、少なくとも一方は、ウソである。」
といふことである。
然るに、
（19）
① ～（Ａ＆Ｂ）⇔「Ａが本当であって、尚且つ、Ｂも本当である。」といふことはない。
② ～Ａ∨～Ｂ ⇔「ＡとＢの内の、少なくとも一方は、ウソである。」
従って、
（18）（19）により、
（20）
①「Ａが本当であって、尚且つ、Ｂも本当である。」といふことはない。
といふことは、
②「ＡとＢの内の、少なくとも一方は、ウソである。」
といふことである。
といふ「日本語」を、「理解できる」のであれば、その人は、すでに、
① ～（Ａ＆Ｂ）⇔ ～Ａ∨～Ｂ
といふ「ド・モルガンの法則」を、「日本語で、理解」してゐる。
然るに、
（21）
―ドモルガンの法則の解説 | 高校数学の美しい物語―
ドモルガンの法則のベン図による解説
ドモルガンの法則
ドモルガンの法則はベン図を書けば簡単に理解できます。
メリット
ベン図を書けば誰もが納得できる，分かりやすい。基本的には困ったらベン図を書くべし。
集合が３つ以下ならどんな集合の等式もベン図で証明できる。
デメリット
・集合が４つ以上だと通用しない。
然るに、
（22）
「ベン図」の場合、
・集合が４つ以上だと通用しない。
といふのであれば、
・集合が無限個だと通用しない。
従って、
（23）
誰かがその気になれば、「数学的帰納法」により、「可算個の命題と、可算個の＆・∨」に於いて、
（ⅰ）～（Ｐ＆～Ｑ∨Ｒ・・・・・）⇔ ～Ｐ∨Ｑ＆～Ｒ・・・・・・
（ⅱ）～（Ｐ∨～Ｑ＆Ｒ・・・・・）⇔ ～Ｐ＆Ｑ∨～Ｒ・・・・・・
といふ「等式」を、「証明」出来るとしても、「ベン図」を用ひる限り、「証明」は出来ない。
従って、
（01）～（23）により、
（24）
ドモルガンの法則はベン図を書けば簡単に理解できます。
とは言ふものの、
「ド・モルガンの法則」を「理解」する際に、「ベン図」を用ひることは、好ましいとは、言へない、はずである。
因みに、
（24）
「＆、∨」に対して、
「∩、∪」の場合は、「どっちが、積で、どっちが、和なのか」が、分かりにくいし、
「∧、∨」の場合も、「どっちが、積で、どっちが、和なのか」が、分かりにくい。
然るに、
（25）
「∨ｅｌ」は「ＯＲ（ラテン語）」なので、
「＆、∨」と書けば、「ＡＮＤ、ＯＲ」で迷うことはないし、そのため、私は、
「∧、∨」といふ「記号」を、使はない。
（01）
① 風邪を引いたので会社を休む。
と言へるためには、
② 風邪を引いたならば会社を休む。
といふ「命題」が、「真」でなければならない。
従って、
（01）により、
（02）
① ＰなのでＱである（ＰなればＱなり）。
と言へるためには、
② ＰならばＱである（ＰならばＱなり）。
といふ「命題」が、「真」でなければならない。
従って、
（02）により、
（03）
① ＰなのでＱである（ＰなればＱなり）。
といふ風に、言へたのであれば、
② ＰならばＱである（ＰならばＱなり）
といふ風に、言っても良い。
従って、
（03）により、
（04）
① ＰなのでＰである（ＰなればＰなり）。
といふ風に、言へたのであれば、
② ＰならばＰである（ＰならばＰなり）。
といふ風に、言っても良い。
然るに、
（05）
２９ Ｐ├ Ｐ
１（１）Ｐ Ａ
これ以上短い式は証明できないし、またその証明は可能な最も短い証明であり。しかしそれはくわしく注意するに値する。（１）の行は（１）が与えられたならばＰが導かれることを主張している。では（１）と何であろうか―命題Ｐそのものである。
No shorter sequent than this can be proved, and its proof is the shortest possible proof: yet it is worth close attention. Line（１）affirms that given（１）, P follows; what is（１）―the proposition Ｐ itself.
（E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、４４頁と、原文）
従って、
（05）により、
（06）
① Ｐ├ Ｐ
といふ「連式（sequent）」は、
① ＰなのでＰである（ＰなればＰなり）。
といふ「意味」である。
然るに、
（07）
３８ ├ Ｐ→Ｐ（連式２９を参照）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
従って、
（04）（06）（07）により、
（08）
① Ｐ├ Ｐ
① ＰなのでＰである（ＰなればＰなり）。
といふ風に、言へたので、
②├ Ｐ→Ｐ
② ＰならばＰである（ＰならばＰなり）。
といふ風に、言っても良い。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ６７＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（09）により、
（10）
① Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである）。
② ～Ｐ∨Ｑ（ＰでないかＱである）。
に於いて、
①＝② であって、この「等式」を「含意の定義」といふ。
然るに、
（10）により、
（11）
① Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである）。
② ～Ｐ∨Ｑ（ＰでないかＱである）。
に於いて、
①＝② であるため、
① Ｐ→Ｐ（Ｐならば、Ｐである）。
② ～Ｐ∨Ｐ（ＰでないかＰである）。
に於いても、
①＝② である。
然るに、
（12）
② ～Ｐ∨Ｐ（ＰでないかＰである）。
といふことは、
②（Ｐであるか、Ｐでないか）は、「未定」である。
といふ、ことである。
従って、
（05）（06）（07）（12）により、
（13）
２９ Ｐ├ Ｐ
１（１）Ｐ Ａ
３８ ├ Ｐ→Ｐ（連式２９を参照）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
に於いて、
１（１） Ｐ の「Ｐ（Ｐである）は、確定である」が、
（２） Ｐ→Ｐ の「Ｐ（Ｐである）は、未定である」。
（〃）～Ｐ∨Ｐ の「Ｐ（Ｐである）は、未定である」。
従って、
（13）により、
（14）
１（１）～Ｐ Ａ
に於いて、
１（１）～Ｐ（Ｐでない）は、「確定」である。
従って、
（13）（14）により、
（15）
１（１）～Ｐ Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１（３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
に於いて、
１（１）～Ｐ（Ｐでない）は「確定」である。
１（２）～Ｐ（Ｐでない）は「確定」である。
１（３）～Ｐ（Ｐでない）は「確定」である。
従って、
（15）により、
（16）
１ （１）～Ｐ Ａ
１ （２）～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
に続けて、
４（４） Ｐ Ａ
とするならば、すなはち、
１ （１）～Ｐ Ａ
１ （２）～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
４（４） Ｐ Ａ
とするならば、
１ （３）～Ｐ（Ｐでない）は「確定」であるにも拘らず、それと「同時」に、
４（４） Ｐ（Ｐである）も「確定」である」。
従って、
（16）により、
（17）
１ （１）～Ｐ Ａ
１ （２）～Ｐ∨Ｑ ∨Ｉ
１ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
４（４） Ｐ Ａ
１４（５） Ｑ ３４ＭＰＰ
とするならば、
１４（５） Ｑ ３４ＭＰＰ
に於いて、
１４（５）～Ｐ（Ｐでない）は「確定」であって、「同時」に、
１４（〃） Ｐ（Ｐである）も「確定」である。
然るに、
（18）
「・・・・・という仮定が与えられるならば、・・・・・と正しく結論することができる」という煩雑な表現の略記法があれば好都合であろう。このためわたしは、論理学の文献のなかでしばしば、しかし誤解を招きやすい仕方で、断定記号（assertion-sign）、
├
を導入する。これは「故に」（therefore）と読むのが便利であろう。
（E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学入門、１６頁）
従って、
（05）（06）（18）により、
（19）
（ⅲ）
１ （１）～Ｐ Ａ
１ （２）～Ｐ∨Ｑ ∨Ｉ
１ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
４（４） Ｐ Ａ
１４（５） Ｑ ３４ＭＰＰ
といふ「計算」により、
③ ～Ｐ，Ｐ├ Ｑ
といふ「連式」、すなはち、
③ Ｐでなくて、Ｐなので、Ｑである。
といふ「連式」が「証明」されたことになる（？）。
従って、
（19）により、
（20）
③ ～Ｐ，Ｐ├ Ｑ
に於いて、
Ｐ＝バカボンのパパは天才である。
Ｑ＝太陽は西から昇る。
であるならば、
③ バカボンのパパは天才であって、天才でないので、太陽は西から昇る。
といふ「推論」は、「妥当」である（？）。
然るに、
（21）
（ⅳ）
１（１）～Ｐ＆Ｐ Ａ
１（２）～Ｐ １＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
１（５） Ｐ １＆Ｅ
１（６） Ｑ ４５ＭＰＰ
といふ「計算」により、
④ ～Ｐ＆Ｐ├ Ｑ
に於いても、
Ｐ＝バカボンのパパは天才である（？）。
Ｑ＝太陽は西から昇る。
であるならば、
④ バカボンのパパは天才であって、天才でないので、太陽は西から昇る。
といふ「推論」は、「妥当」である（？）。
然るに、
（22）
２ 推論の規則
論理式「Ｐ」と「Ｐ→Ｑ」が共に真ならば、論理式「Ｑ」も真である。
（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、１７３・４頁改）
従って、
（22）により、
（23）
２ 推論の規則
論理式「～Ｐ＆Ｐ」と「～Ｐ＆Ｐ→Ｑ」が共に真ならば、論理式「Ｑ」も真である。
然るに、
（24）
～Ｐ＆Ｐ（矛盾）は、「恒に、偽」である。
従って、
（23）（24）により、
（25）
論理式「～Ｐ＆Ｐ」と「～Ｐ＆Ｐ→Ｑ」が共に真になることはない。
従って、
（21）（22）（25）により、
（26）
③ ～Ｐ，Ｐ├ Ｑ
③ バカボンのパパは天才であって、天才でないので、太陽は西から昇る。
といふ「推論」も、
④ ～Ｐ＆Ｐ├ Ｑ
④ バカボンのパパは天才であって、天才でないので、太陽は西から昇る。
といふ「推論」も、
２ 推論の規則
論理式「Ｐ」と「Ｐ→Ｑ」が共に真ならば、論理式「Ｑ」も真である。
といふ「規則」に、「違反」してゐる。
従って、
（27）
「矛盾からは、どのやうな命題でも、演繹できる。」といふ「言ひ方」は、「マチガイ」であって、
「矛盾に気付かない場合は、どのやうな命題でも、演繹できたやうな、気になってしまふ。」といふのが、「正しい」。
然るに、
（28）
④ ～Ｐ＆Ｐ├ Ｑ
④ バカボンのパパは天才であって、天才でないので、太陽は西から昇る。
といふ「結論」であれば、
④ バカボンのパパは天才であって、天才でない。
といふ「矛盾」に気付かないことは、有り得ない。
然るに、
（29）
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sgx********さん 編集あり2006/6/1016:19:35
四色問題の最終証明は100ページの概要と100ページの詳説、
700ページの予備的成果らしいです。
ワイルズの証明したフェルマーの最終定理は109ページ。
フィールズ賞を受賞した廣中平祐の「代数多様体の特異点解消」の
論文は、論文の中身としてはこれらより長くて217ページです。
従って、
（27）（29）により、
（30）
そのやうな「ページ数の証明」であれば、「矛盾に気付かないまま、証明できたやうな、気になってしまふ。」といふことは、有り得る、ことになる。
（01）
①｛象、机、車｝であれば、
①｛象が動物であり｝、
②｛象、兎、馬｝であれば、
②｛象も動物である｝。
従って、
（01）により、
（02）
① 象が動物である＝象は動物であり、象以外（机、車）は動物でない。
② 象も動物である＝象は動物であり、象以外（兎、馬）も動物である。
に於いて、①と②は、
① 象以外は動物でない。
② 象以外も動物である。
の「部分」が、「矛盾」する。
然るに、
（03）
① 象が動物である＝象は動物であり、象以外は動物でない。
といふ「命題」は、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ）
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが動物でなければ、ｘは動物ではない）。
といふ風に、書くことが出来る。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① 象が動物である＝象は動物であり、象以外は動物でない。
② 象も動物である＝象は動物であり、象以外も動物である。
に於いて①と②は、
① ～象ｘ→～動物ｘ
② ～（～象ｘ→～動物ｘ）
の「部分論理式」が、「矛盾」する。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① 象が動物である＝象は動物であり、象以外は動物でない。
② 象も動物である＝象は動物であり、象以外も動物である。
といふ「日本語」は、それぞれ、
① ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆ ～象ｘ→～動物ｘ｝
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
といふ「述語論理」に、相当する。
然るに、
（06）
１０９ ∀ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）┤├ ∀ｘＦｘ＆∀ｘＧｘ
（ａ） １（１）∀ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） Ａ
１（２） Ｆａ＆Ｇａ １ＵＥ
１（３） Ｆａ ２＆Ｅ
１（４） ∀ｘＦｘ ３ＵＩ
１（５） Ｇａ ２＆Ｅ
１（６） ∀ｘＧｘ ５ＵＩ
１（７）∀ｘＦｘ＆∀ｘＧｘ ４６＆Ｉ
（ｂ）
１（１）∀ｘＦｘ＆∀ｘＧｘ Ａ
１（２）∀ｘＦｘ １＆Ｅ
１（３） Ｆａ ２ＵＥ
１（４） ∀ｘＧｘ １＆Ｅ
１（５） Ｇａ ４ＵＥ
１（６） Ｆａ＆Ｇａ ３５＆Ｉ
１（７）∀ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ６ＵＩ
１０９の、相互導出可能性の結果は、普遍量記号が連言の仲間であることからすれば、全く予想されることである。
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１５１・１５３頁改）。
従って、
（05）（06）により、
（07）
① ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆ ～象ｘ→～動物ｘ｝
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
といふ「式」は、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆ ∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）
といふ「式」に「等しい」。
然るに、
（08）
（ⅱ）
１（１）∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ） Ａ
１（２） ～（～象ａ→～動物ａ） １ＵＥ
１（３） ～（象ａ∨～動物ａ） ２含意の定義
１（４） ～象ａ＆ 動物ａ ３ド・モルガンの法則
１（５） ∀ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ） ４ＵＩ
（ⅲ）
１（１） ∀ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ） Ａ
１（２） ～象ａ＆ 動物ａ １ＵＥ
１（３） ～（象ａ∨～動物ａ） ２ド・モルガンの法則
１（４） ～（象ａ→～動物ａ） ３含意の定義
１（５） ∀ｘ～（象ａ→～動物ａ） ４ＵＩ
従って、
（08）により、
（09）
② ∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）
③ ∀ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（06）～（09）により、
（10）
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ ＆ ～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ）
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（11）
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ）
に於いて、
③ ∀ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）
といふ「論理式」は、
③ すべてのｘは、象以外の動物である。
といふ「意味」である。
従って、
（10）（11）により、
（12）
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ ＆ ～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ）
といふ「論理式（命題）」は、
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、すべてのｘは象以外の動物である。
といふ「意味」である。
然るに、
（13）
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、すべてのｘは象以外の動物である。
といふことは、
②｛象、兎、馬｝ではなく、例へば、
③｛犬、兎、馬｝でなければ、ならない。
然るに、
（14）
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、すべてのｘは象以外の動物である。
ではなく、
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、あるｙは象以外の動物である。
であるならば、
③｛象、兎、馬｝であるため、「問題」は無い。
然るに、
（15）
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、あるｙは象以外の動物である。
であるならば、
③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動物ｙ）｝
である。
従って、
（01）～（15）により、
（16）
③｛象、兎、馬｝であれば、
③｛象も動物である｝であるため、
③「象も動物である。」といふ「日本語」は、
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
といふ「論理式」ではなく、
③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動物ｙ）｝
といふ「論理式」に、相当する。
然るに、
（17）
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→動物ａ＆～（～象ａ→～動物ａ） １ＵＥ
１ （３） 象ａ→動物ａ ２＆Ｅ
１ （４） ～（～象ａ→～動物ａ） ２＆Ｅ
５ （５） ～（～象ａ＆ 動物ａ） Ａ
６ （６） ～象ａ Ａ
７（７） 動物ａ Ａ
６７（８） ～象ａ＆ 動物ａ ６７＆Ｉ
５６７（９） ～（～象ａ＆ 動物ａ）＆
（～象ａ＆ 動物ａ） ５８＆Ｉ
５６ （ア） ～動物ａ ７９ＲＡＡ
５ （イ） ～象ａ→～動物ａ ６アＣＰ
１５ （ウ） ～（～象ａ→～動物ａ）
（～象ａ→～動物ａ） ４イ＆Ｉ
１ （エ） ～～（～象ａ＆ 動物ａ） ５ウＲＡＡ
１ （オ） ～象ａ＆ 動物ａ エＤＮ
１ （カ） ∃ｙ（～象ｙ＆ 動物ｙ） オＥＩ
１ （キ） 象ａ→動物ａ＆∃ｙ（～象ｙ＆ 動物ｙ） ３カ＆Ｉ
１ （ク）∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆ 動物ｙ）｝ キＵＩ
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆ 動物ｙ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→動物ａ＆∃ｙ（～象ｙ＆ 動物ｙ） １ＵＲ
１ （３） 象ａ→動物ａ ２＆Ｅ
１ （４） ∃ｙ（～象ｙ＆ 動物ｙ） ２＆Ｅ
５ （５） ～象ａ＆ 動物ａ Ａ
６ （６） ～象ａ→～動物ａ Ａ
５ （７） ～象ａ ５＆Ｅ
６ （８） 動物ａ ５＆Ｅ
５６ （９） ～動物ａ ６７ＭＰＰ
５６ （ア） 動物ａ＆～動物ａ ８９＆Ｉ
５ （イ） ～（～象ａ→～動物ａ） ６アＲＡＡ
１ （ウ） ～（～象ａ→～動物ａ） ４５イＥＥ
１ （エ） 象ａ→動物ａ＆～（～象ａ→～動物ａ） ３ウ＆Ｉ
１ （オ） ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝ エＵＩ
従って、
（17）により、
（18）
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆ ～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆ 動物ｙ）｝
に於いて、
②＝③ である（？）。
従って、
（16）（17）（18）により、
（19）
③「象も動物である。」といふ「日本語」は、
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝といふ「論理式」ではなく、
③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動物ｙ）｝といふ「論理式」に、相当する。
と言ってゐるにも拘らず、実際には、
②＝③ である。
といふことになってしまい、「お前の言ってゐることは、矛盾である」。
といふ、ことになる。
然るに、
（20）
１ （１）∃ｘＦｘ Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
１ （３） Ｆａ １２２ＥＥ
１ （４）∀ｘＦｘ ３ＵＩ
ＵＩの適用は正しい。なぜならば、１は「ａ」を含まないからである。しかし、ＥＥの適用は正しくない。
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１４７頁）
従って、
（17）（20）により、
（21）
（ⅲ）
１ （ウ） ～（～象ａ→～動物ａ） ４５イＥＥ
１ （エ） 象ａ→動物ａ＆～（～象ａ→～動物ａ） ３ウ＆Ｉ
１ （オ） ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝ エＵＩ
といふ「３行」も、「マチガイ」である。
従って、
（17）（18）（21）により、
（22）
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆ ～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆ 動物ｙ）｝
に於いて、
②＝③ ではなく、実際には、
②⇒③ である。
従って、
（19）（22）により、
（23）
③「象も動物である。」といふ「日本語」は、
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝といふ「論理式」ではなく、
③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動物ｙ）｝といふ「論理式」に、相当する。
といふ「主張」は、「矛盾」しない。
従って、
（23）により、
（24）
③ 象も動物である。⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動物ｙ）｝⇔
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、あるｙは象以外の動物である。
といふ「等式」が、成立する。
（01）
（ⅰ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ６７＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① ～Ｐ∨Ｑ（ＰでないかＱである）。
② Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである）。
に於いて、
①＝② であって、この「等式」を「含意の定義」といふ。
然るに、
（03）
（ⅲ）
１（１） Ｑ Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１（３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
従って、
（03）により、
（04）
③ Ｑ├ Ｐ→Ｑ
といふ「連式（Sequent）」は「妥当」であり、このことは、
③「任意の命題（Ｑ）は、任意の仮言命題（Ｐ→Ｑ）の後件（Ｑ）である。」
といふことを、示してゐる。
然るに、
（05）
（ⅲ）
１（１） Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１（３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
（４）Ｑ→（Ｐ→Ｑ）
然るに、
（06）
系Ⅰ：任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１１４頁）
従って、
（05）（06）により、
（07）
③ Ｑ→（Ｐ→Ｑ）
③ Ｑならば（ＰならばＱである）。
は「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（07）により、
（08）
③ 任意のＱとＰに於いて、
③ Ｑ→（Ｐ→Ｑ）
③ Ｑならば（ＰならばＱである）。
は、「恒に、真（本当）」である。
従って、
（08）により、
（09）
Ｐ＝太陽は東から昇る。
Ｑ＝バカボンのパパは天才である。
として、
③ バカボンのパパが天才であるならば（太陽が東から昇るならば、バカボンのパパは天才である）。
といふ「仮言命題」は、「恒に、真（本当）」である。
然るに、
（10）
③ 太陽は東から昇る。
といふ「命題」は「真（本当）」である。
然るに、
（11）
③ Ｑ→（Ｐ→Ｑ）
が、「恒真式（トートロジー）」であるといふことは、
③ Ｑ→（真→Ｑ） であっても、
③ Ｑ→（偽→Ｑ） であっても、いづれにせよ、「真（本当）」である。
といふ、ことである。
然るに、
（12）
③ Ｑ→（Ｐ→Ｑ）
に於いて、
③ Ｑ→（真→Ｑ） であっても、
③ Ｑ→（偽→Ｑ） であっても、いづれにせよ、「真（本当）」である。
といふことは、
③ Ｑならば（Ｐであろうと、Ｐでなかろうと）Ｑである。
といふことである。
然るに、
（13）
③ Ｑならば（Ｐであろうと、Ｐでなかろうと）Ｑである。
といふことは、
③ ＱならばＱである（同一律）。
と、「同じ」である。
従って、
（09）（13）により、
（14）
③ バカボンのパパが天才であるならば（太陽が東から昇るならば、バカボンのパパは天才である）。
といふ「恒真式（トートロジー）」は、
③ バカボンのパパが天才であるならば、バカボンのパパは天才である。
といふ「同一律（Ｑ→Ｑ）」と「同じ」である。
然るに、
（15）
（ⅲ）
（１） Ｑ→Ｑ 定理導入の規則（ＴＩ）
（２）～Ｑ∨Ｑ 含意の定義
（ⅳ）
（１）～Ｑ∨Ｑ 定理導入の規則（ＴＩ）
（２） Ｑ→Ｑ 含意の定義
従って、
（15）により、
（16）
③ Ｑ→Ｑ （同一律）
④ ～Ｑ∨Ｑ （排中律）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（14）（15）（16）により、
（17）
③ バカボンのパパが天才であるならば（太陽が東から昇るならば、バカボンのパパは天才である）。
といふ「恒真式（トートロジー）」は、
③ バカボンのパパが天才であるならば、バカボンのパパは天才である。
といふ「同一律（Ｑ→Ｑ）」と「同じ」であって、
③ バカボンのパパが天才であるならば、バカボンのパパは天才である。
といふ「同一律（Ｑ→Ｑ）」は、
③ バカボンのパパは天才でないか、もしくは、バカボンのパパは天才である。
といふ「排中律（～Ｑ∨Ｑ）」と、「同じ」である。
然るに、
（18）
③ バカボンのパパは天才でないか、もしくは、バカボンのパパは天才である。
といふのであれば、
③ バカボンのパパは天才である。
とは、言へない。
従って、
（17）（18）により、
（19）
Ｐ＝太陽は東から昇る。
Ｑ＝バカボンのパパは天才である。
として、
③ バカボンのパパが天才であるならば（太陽が東から昇るならば、バカボンのパパは天才である）。
といふ「仮言命題」は、「恒に、真（本当）」であって、
③ 太陽は東から昇る。
といふ「命題」も「真（本当）」であるが、
③ バカボンのパパは天才である。
といふ「命題」は、「真（本当）」であるとは、限らない。
従って、
（04）（19）により、
（20）
③「任意の命題（Ｑ）は、任意の仮言命題（Ｐ→Ｑ）の後件（Ｑ）である。」が、
③「後件（Ｑ）の真偽（本当・ウソ）は、不明である。」
―「一昨日（令和０２年０２月１８日）」の記事を書き直して、わずかに、要約します。結論は、（44）に示します。―
（01）
①｛象、□、□｝
②｛象、机、車｝
③｛象、兎、馬｝
に於いて、
①｛象、□、□｝
であれば、
①｛少なくとも、象は動物である｝。
然るに、
（02）
②｛象、机、車｝
③｛象、兎、馬｝
に於いて、
② であれば、｛象以外（机、車）は動物ではなく｝、
③ であれば、｛象以外（兎、馬）も動物ではある｝。
然るに、
（03）
②｛象、机、車｝であれば、
②｛象が動物であり｝、
③｛象、兎、馬｝であれば、
③｛象も動物である｝。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① 象は動物である。⇔ 象は動物である。
② 象が動物である。⇔ 象は動物であり、象以外は動物でない。
③ 象も動物である。⇔ 象は動物であり、象以外も動物である。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（05）
① 象は動物である。
② 象は動物であり、象以外は動物でない。
③ 象は動物であり、象以外も動物である。
といふことは、「記号」で書くと。
① ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）
③ ∀ｘ｛象ｘ→動ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動ｙ）｝
であって、それぞれの「読み方」は、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物である。
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない。
③ すべてのｘについて、ｘが象であるなあば、ｘは動物であり、あるｙは象ではないが、動物である。
である。
（06）
④ 象は鼻は長い。
といふことは、
④ 象には長い鼻がある。
といふことである。
従って、
（06）により、
（07）
④ 象は鼻は長い。⇔
④ 象には長い鼻がある。⇔
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔
④ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長い。
（08）
⑤ 象は鼻が長い。
といふことは、
⑤ 象の鼻は長いが、鼻以外は長くない。
といふことである。
従って、
（08）により、
（09）
⑤ 象は鼻が長い。⇔
⑤ 象の鼻は長いが、鼻以外は長くない。⇔
⑤ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
⑤ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
（10）
⑥ 象は鼻も長い。
といふことは、
⑥ 象は鼻は長いが、鼻以外が長くない、といふわけではない。
といふことである。
従って、
（09）（10）により、
（11）
⑥ 象は鼻も長い。⇔
⑥ 象は鼻は長いが、鼻以外が長くない、といふわけではない。⇔
⑥ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
⑥ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない、といふわけではない。
然るに、
（12）
（ⅵ）
１ （１）～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ） Ａ
１ （２）∃ｚ～（～鼻ｚｘ→～長ｚ） １量化子の関係
３（３） ～（～鼻ｃｘ→～長ｃ） Ａ
３（４） ～（ 鼻ｃｘ∨～長ｃ） ３含意の定義
３（５） ～鼻ｃｘ＆ 長ｃ ４ド・モルガンの法則
３（６） ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） ５ＥＩ
１ （７） ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） １３６ＥＥ
（ⅶ）
１ （１） ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） Ａ
２ （２） ～鼻ｃｘ＆ 長ｃ Ａ
３（３） ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ） Ａ
３（４） ～鼻ｃｘ→～長ｃ） ３ＵＥ
２ （５） ～鼻ｃｘ ２＆Ｅ
２３（６） ～長ｃ ４５ＭＰＰ
２ （７） 長ｃ ２＆Ｅ
２３（８） ～長ｃ＆長ｃ ６７＆Ｉ
２ （９）～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ） ３８ＲＡＡ
従って、
（12）により、
（13）
⑥ ～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
⑦ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）
に於いて、
⑥＝⑦ である。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
⑥ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
⑦ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
に於いて、
⑥＝⑦ である。
従って、
（11）（14）により、
（15）
⑥ 象は鼻も長い。⇔
⑥ 象は鼻は長く、鼻以外も長い。⇔
⑥ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔
⑥ すべてのｘについて、あるｙはｘの鼻であって、長く。あるｚはｘの鼻ではなく、ｚは長い。
従って、
（04）（05）（07）（09）（15）により、
（16）
① 象は動物である。
② 象が動物である。
③ 象も動物である。
④ 象は鼻は長い。
⑤ 象は鼻が長い。
⑥ 象は鼻も長い。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）
③ ∀ｘ｛象ｘ→動ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動ｙ）｝
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
⑤ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
⑥ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
といふ「述語論理」に、相当する。
（17）
⑦ 象が鼻は長い。
といふことは、
⑦ 象は鼻は長いが、象以外の動物の鼻は長くない。
といふことである。
然るに、
（18）
⑦ 象は鼻は長いが、象以外の動物はの鼻は長くない。⇔
⑦ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔
⑦ すべてのｘについて、ｘが象ならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、ｘが象でないならば、ｘの鼻であって、長いｙは存在しない。
従って、
（17）（18）により、
（19）
⑦ 象が鼻は長い。⇔
⑦ 象は鼻は長いが、象以外の動物はの鼻は長くない。⇔
⑦ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔
⑦ すべてのｘについて、ｘが象ならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、ｘが象でないならば、ｘの鼻であって、長いｙは存在しない。
（20）
⑧ 象が鼻が長い。
といふことは、
⑧ 象以外に、鼻が長い動物はゐない。
といふことである。
然るに、
（21）
⑧ 象以外に、鼻が長い動物はゐない。
といふことは、
⑧ 象以外に、鼻は長いが、鼻以外は長くない動物はゐない。
といふことである。
然るに、
（22）
② 象が動物である。
⑤ 象は鼻が長い。
② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）
⑤ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
を「合成」すると、
⑧ 象が鼻が長い。⇔
⑧ 象以外に、鼻が長い動物はゐない。⇔
⑧ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
といふ、ことになる。
然るに、
（23）
（ⅷ）
１ （１）～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］ Ａ
１ （２）～象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ Ａ
３ （３）～象ａ
１３ （４） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ２３ＭＰＰ
１３ （５） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４ド・モルガンの法則
１３ （６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ５含意の定義
７ （７） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
１３７ （８） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ６７ＭＰＰ
１３７ （９） ∃ｚ～（～鼻ｃａ→～長ｃ） ８量化子の関係
ア （ア） ～（ 鼻ｃａ∨～長ｃ） ９含意の定義
ア （イ） ～鼻ｃａ＆ 長ｃ ア、ド・モルガンの法則
ア （ウ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） イＥＩ
１３７ （エ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） クアウＥＥ
１３ （オ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ７エＣＰ
１ （カ）～象ａ→［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ３オＣＰ
キ（キ）～象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
キ（ク）～象ａ キ＆Ｅ
１ キ（ケ） ［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ カクＭＰＰ
キ（コ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） キ＆Ｅ
１ キ（サ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ケコＭＰＰ
１ （シ） ～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） キサ
１ （ス） ～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） シＵＩ
（ⅸ）
１ （１） ～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） Ａ
１ （２） ～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） １ＵＥ
３ （３） ～象ａ Ａ
４ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
３４ （５） ～鼻ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３４＆Ｉ
１３４ （６） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ２５ＭＰＰ
７ （７） ～鼻ｃａ＆ 長ｃ Ａ
７ （８） ～（鼻ｃａ∨～長ｃ） ７ド・モルガンの法則
７ （９） ～（～鼻ｃａ→～長ｃ） ８含意の定義
７ （ア） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｃ） ９ＥＩ
１３４ （イ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｃ） ６７アＥＥ
１３４ （ウ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｃ） イ量化子の関係
１３ （エ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｃ） ４ウＣＰ
１３ （オ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） エ含意の定義
１３ （カ） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ オ、ド・モルガンの法則
１ （キ）～象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ３カＣＰ
１ （ク）～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］ キＵＩ
従って、
（23）により、
（24）
⑧ ～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］
⑨ ～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）
に於いて、
⑧＝⑨ である。
従って、
（22）（23）（24）により、
（25）
⑧ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
⑨ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
に於いて、
⑧＝⑨ である。
然るに、
（26）
⑧ ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔
⑧ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くなく、ｘが象ではなく、ｙがｘの鼻であって長いならば、あるｚはｘの鼻ではなくて、長い。
といふことは、
⑧ 象は、鼻は長く、鼻以外は長くないが、象以外に、鼻が長い動物は、鼻以外も長い。
といふ、ことである。
然るに、
（27）
⑧ 象は、鼻は長く、鼻以外は長くないが、象以外に、鼻が長い動物は、鼻以外も長い。
といふことは、
⑧ 鼻は長く、鼻以外は長くない動物は、象だけである。
といふことである。
然るに、
（28）
⑧ 鼻は長く、鼻以外は長くない動物は、象だけである。
といふことは、
⑧ 象が鼻が長い。
といふことである。
従って、
（20）～（28）により、
（29）
⑧ 象が鼻が長い。⇔
⑧ 象以外に、鼻が長い動物はゐない。
⑧ ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔
⑧ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くなく、ｘが象ではなく、ｙがｘの鼻であって長いならば、あるｚはｘの鼻ではなくて、長い。
然るに、
（30）
⑨ 象が鼻も長い。
といふことは、
⑨ 象は、鼻と、鼻以外も長いが、象以外の動物の鼻が長がければ、その動物の鼻以外は長くない。
といふことである。
然るに、
（31）
⑨ 象は、鼻と、鼻以外も長いが、象以外の動物の鼻が長がければ、その動物の鼻以外は長くない。⇔
⑨ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔
⑨ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、あるｚはｘの鼻ではなくて、長く、ｘが象でなくて、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、ｘの鼻でなくて、長いｚは存在しない
従って、
（30）（31）により、
（32）
⑨ 象が鼻も長い。⇔
⑨ 象は、鼻と、鼻以外も長いが、象以外の動物の鼻が長がければ、その動物の鼻以外は長くない。⇔
⑨ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔
⑨ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、あるｚはｘの鼻ではなくて、長く、ｘが象でなくて、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、ｘの鼻でなくて、長いｚは存在しない
従って、
（16）（19）（29）（32）により、
（33）
① 象は動物である。
② 象が動物である。
③ 象も動物である。
④ 象は鼻は長い。
⑤ 象は鼻が長い。
⑥ 象は鼻も長い。
⑦ 象が鼻は長い。
⑧ 象が鼻が長い。
⑨ 象が鼻も長い。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）
③ ∀ｘ｛象ｘ→動ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動ｙ）｝
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
⑤ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
⑥ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
⑦ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
⑧ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
⑨ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
といふ「述語論理」に、相当する。
（34）
⑩ 象も鼻は長い。
といふことは、
⑩ 象は鼻は長いが、象以外の動物の鼻で、長い鼻が存在しない、といふわけではない。
といふことである。
然るに、
（35）
⑩ 象は鼻は長いが、象以外の動物の鼻ならば、長い鼻が存在しない、といふわけではない。⇔
⑩ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～［～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）］｝⇔
⑩ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、ｘが象でないならば、ｘの鼻であって、長いｙが存在しない、といふわけではない。
然るに、
（36）
（ａ）
１（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～［～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）］｝ Ａ
１（２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～［～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］｝ Ａ
１（３） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ２ＵＥ
１（４） ～［～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］ ２ＵＥ
１（５） ～［ 象ａ∨～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］ ４含意の定義
１（６） ～象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ５ド・モルガンの法則
１（７） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ～象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３６＆Ｉ
１（８）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ～象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ ７ＵＩ
（ｂ）
１ （１）∀ｘ｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ～象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ～象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） １ＵＥ
１ （３） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ２＆Ｅ
１ （４） ～象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ２＆Ｅ
５（５） ～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
１ （６） ～象ａ ４＆Ｅ
１５（７） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ５６ＭＰＰ
１ （８） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４＆Ｅ
１５（９） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆
∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ７８＆Ｉ
１ （ア） ～［～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］ ５９ＲＡＡ
１ （イ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～［～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］ ３ア＆Ｉ
１ （ウ）∀ｘ｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～［～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］｝ イＵＩ
従って、
（36）により、
（37）
（ａ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～［～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）］｝
（ｂ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ～象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
に於いて、
（ａ）＝（ｂ）である。
従って、
（34）（35）（36）により、
（38）
⑩ 象も鼻は長い。⇔
⑩ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔
⑩ すべてのｘについて、ｘが象ならば、あるｙはｘの鼻であって長く、ｘは象でなくとも、あるｙはｘの鼻であって長い。
然るに、
（33）により、
（39）
⑤ 象は鼻が長い。⇔
⑤ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
従って、
（38）（39）により、
（40）
⑤ 象は鼻が長い。 と、
⑤ 象は鼻が長い。 を、「合成」すると、
⑪ 象も鼻が長い。⇔
⑪ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
⑪ すべてのｘについて、ｘが象ならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くなく、ｘは象でなくとも、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くなくない。
然るに、
（41）
⑫ 象も鼻も長い。
といふことは、
⑫ 象と、象の他に、鼻と鼻以外が長い動物がゐる。
といふことである。
然るに、
（42）
⑫ 象と、象の他に、鼻と鼻以外が長い動物がゐる。
⑫ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔
⑫ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であり、長く、あるｚはｘの鼻以外であるが、長く、ｘが象でなくとも、あるｙはｘの鼻であり、長く、あるｚはｘの鼻以外であるが、長い。
従って、
（41）（42）により、
（43）
⑫ 象も鼻も長い。⇔
⑫ 象と、象の他に、鼻と鼻以外が長い動物がゐる。
⑫ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔
⑫ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であり、長く、あるｚはｘの鼻以外であるが、長く、ｘが象でなくとも、あるｙはｘの鼻であり、長く、あるｚはｘの鼻以外であるが、長い。
従って、
（33）（38）（40）（43）により、
（44）
① 象は動物である。
② 象が動物である。
③ 象も動物である。
④ 象は鼻は長い。
⑤ 象は鼻が長い。
⑥ 象は鼻も長い。
⑦ 象が鼻は長い。
⑧ 象が鼻が長い。
⑨ 象が鼻も長い。
⑩ 象も鼻は長い。
⑪ 象も鼻が長い。
⑫ 象も鼻も長い。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）
③ ∀ｘ｛象ｘ→動ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動ｙ）｝
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
⑤ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
⑥ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
⑦ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
⑧ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
⑨ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
⑩ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
⑪ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
⑫ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
といふ「述語論理」に、相当する。
然るに、
（45）
日常言語の文から述語計算の文の翻訳のためには、一般にあたまが柔軟であることが必要である。なんら確定的な規則があるわけでなく、量記号に十分に馴れるまでには、練習を積むことが必要である。そこに含まれている仕事は翻訳の仕事に違いないけれども、しかしそこへ翻訳が行われる形式言語は、自然言語のシンタックスとは幾らか違ったシンタックスをもっており、また限られた述語―論理的結合記号、変数、固有名、述語文字、および２つの量記号―しかもたない。その言語のおもな長所は、記法上の制限にもかかわらず、非常に広範な表現能力をもっていることである（Ｅ.Ｊ.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１３０頁）。
然るに、
（46）
⑩ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
⑪ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
⑫ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
といふ「述語論理式」が書けるようになるためには、確かに、
（ａ）あたまが柔軟であることが必要であるし、
（ｂ）なんら確定的な規則があるわけではないし、
（ｃ）量記号に十分に馴れるまでには、練習を積むことが必要である。
従って、
（47）
「練習を積むこと」を厭はない人でなければ、
⑩ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
⑪ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
⑫ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
といふ「式」を、書けるようには、ならないのが、「普通」であると、思はれる。