（01）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ １含意の定義
３ （３）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （４）～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
３ （５）～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
６ （６） Ｒ Ａ
６ （７） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ６∨Ｉ
１ （８） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ １３５６７∨Ｅ
１ （９）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ） ３結合法則
ア （ア）～Ｐ Ａ
ア （イ）～Ｐ∨Ｒ ア∨Ｉ
ア （ウ） Ｐ→Ｒ イ含意の定義
ア （エ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ウ∨Ｉ
オ（オ） （～Ｑ∨Ｒ） Ａ
オ（カ） Ｑ→Ｒ オ含意の定義
オ（キ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） カ∨Ｉ
１ （ク）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ２アエオキ∨Ｉ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ→Ｒ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｒ ３４ＭＰＰ
６（６） Ｑ→Ｒ Ａ
２ （７） Ｑ ２＆Ｅ
２ ６（８） Ｒ ６７ＭＰＰ
１２ （９） Ｒ １３５６８∨Ｅ
１ （ア）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ２９ＣＰ
（02）
（ⅲ）
１ （１） Ｐ＆Ｑ⇔Ｒ Ａ
１ （２）（Ｐ＆Ｑ→Ｒ）＆（Ｒ→Ｐ＆Ｑ） Ａ
１ （３） Ｒ→Ｐ＆Ｑ １＆Ｅ
４ （４） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
４ （５） ～（Ｐ＆Ｑ） ４ド・モルガンの法則
１４ （６） ～Ｒ ３５ＭＰＰ
１ （７） （～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ ４６ＣＰ
８ （８） ～Ｐ Ａ
８ （９） ～Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
１ ８ （ア） ～Ｒ ７９ＭＰＰ
１ （イ） ～Ｐ→～Ｒ ８アＣＰ
ウ（ウ） ～Ｑ Ａ
ウ（エ） ～Ｐ∨～Ｑ ウ∨Ｉ
１ ウ（オ） ～Ｒ ７エＭＰＰ
１ （カ） ～Ｑ→～Ｒ ウオＣＰ
１ （キ）（～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ） イカ＆Ｉ
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ｐ＆Ｑ→Ｒ ┤├ （ Ｐ→ Ｒ）∨（ Ｑ→ Ｒ）
② Ｐ＆Ｑ⇔Ｒ ├ （～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ）
といふ「連式（Sequents）」は、２つとも「妥当（Valid）」である。
然るに、
（04）
①（ Ｐ→ Ｒ）∨（ Ｑ→ Ｒ）
②（～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝偽
Ｒ＝真
であるならば、
① は、「真」であるが、
② は、「偽」である。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① Ｐ＆Ｑ→Ｒ）
② Ｐ＆Ｑ⇔Ｒ
といふ「論理式」に於いて、
①＝② ではない。
然るに、
（06）
Ｐ＝日本人である。
Ｑ＝２５歳以上である。
Ｒ＝衆議院議員の被選挙権がある。
として、
① Ｐ＆Ｑ→Ｒ
② Ｐ＆Ｑ⇔Ｒ
といふ「命題論理式」は、それぞれ、
① 日本人であって、２５歳以上であるならば、衆議院議員の被選挙権がある。
② 日本人であって、２５歳以上であるならば、そのときに限って、衆議院議員の被選挙権がある。
といふ「日本語」に、相当する。
従って、
（05）（06）により、
（07）
① 日本人であって、２５歳以上であるならば、衆議院議員の被選挙権がある。
② 日本人であって、２５歳以上であるならば、そのときに限って、衆議院議員の被選挙権がある。
といふ「日本語」に於いて、
①＝② ではない。
然るに、
（08）
②（～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝日本人である。
Ｑ＝２５歳以上である。
Ｒ＝衆議院議員の被選挙権がある。
とすると、
②（～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ）
③（日本人でないならば、衆議院議員の被選挙権はない。）そして（２５歳以上でないならば、衆議院議員の被選挙権はない。）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（03）～（08）により、
（09）
① Ｐ＆Ｑ→Ｒ）
② Ｐ＆Ｑ⇔Ｒ
③（～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ）
に於いて、すなはち、
① 日本人であって、２５歳以上であるならば、衆議院議員の被選挙権がある。
② 日本人であって、２５歳以上であるならば、そのときに限って、衆議院議員の被選挙権がある。
③（日本人でないならば、衆議院議員の被選挙権はない。）そして（２５歳以上でないならば、衆議院議員の被選挙権はない。）
に於いて、
① ならば、③ ではないが、
② ならば、③ である。
従って、
（09）により、
（10）
（ⅰ）「日本人であって、２５歳以上であるならば、衆議院議員の被選挙権がある。」然るに、
（ⅱ）「日本人ではない。」従って、
（ⅲ）「衆議院議員の被選挙権はない。」
といふ「推論」は、「無効（Invalid）」であるが、
（ⅰ）「日本人であって、２５歳以上であるならば、そのときに限って、衆議院議員の被選挙権がある。」然るに、
（ⅱ）「日本人ではない。」従って、
（ⅲ）「衆議院議員の被選挙権はない。」
といふ「推論」は、「妥当（Valid）」である。
従って、
（10）により、
（11）
（ⅰ）「日本人であって、２５歳以上であるならば、衆議院議員の被選挙権がある。」然るに、
（ⅱ）「日本人ではない。」従って、
（ⅲ）「衆議院議員の被選挙権はない。」
といふ「推論」を、「妥当」であると、思ふのであれば、その人は、
① 日本人であって、２５歳以上であるならば、衆議院議員の被選挙権がある。
② 日本人であって、２５歳以上であるならば、そのときに限って、衆議院議員の被選挙権がある。
といふ「日本語」に於いて、
①と② を、『混同』してゐる。
といふ、ことになる。
従って、
（03）（06）（11）により、
（12）
（ⅰ）「日本人であって、２５歳以上であるならば、衆議院議員の被選挙権がある。」然るに、
（ⅱ）「日本人ではない。」従って、
（ⅲ）「衆議院議員の被選挙権はない。」
といふ「推論」を、「妥当」であると、思ふのであれば、その人は、
① Ｐ＆Ｑ→Ｒ ┤├ （ Ｐ→ Ｒ）∨（ Ｑ→ Ｒ）
② Ｐ＆Ｑ⇔Ｒ ├ （～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ）
といふ「連式（Sequents）」に於いて、
①と② を、『混同』してゐる。
といふ、ことになる。
従って、
（12）により、
（13）
その人は、
① Ｐ＆Ｑ→Ｒ ┤├ （ Ｐ→ Ｒ）∨（ Ｑ→ Ｒ）
といふ「連式」を、
② Ｐ＆Ｑ→Ｒ ├ （～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ）
といふ「連式」であると、「勘違ひ」をしてゐる。
といふ、ことになる。
従って、
（13）により、
（14）
その人にとっては、
② Ｐ＆Ｑ→Ｒ ├ （～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ）
といふ「マチガイ」の方が、「正しい」が故に、
① Ｐ＆Ｑ→Ｒ ┤├ （ Ｐ→ Ｒ）∨（ Ｑ→ Ｒ）
といふ「連式」は、「マチガイ（をかしい）」といふ、ことになる。
然るに、
（15）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」に関して、
大西拓郎先生（京都大学）は、
［厳密含意の論理(1) [修正版]（ユーチューブ：９分１０秒頃）］に於いて、
ＰかつＱ、２つの前提からＲが導かれるんだったら実はそれ、１つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。まぁこれ、をかしい。実質含意にはこういう変な推論がどうしてもつきまとうんですが、厳密含意になると、それがちゃんと妥当ではなくなってくれるという、ことです。
といふ風に、述べてゐる。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
大西拓郎先生（京都大学）は、
① Ｐ＆Ｑ→Ｒ ┤├ （ Ｐ→ Ｒ）∨（ Ｑ→ Ｒ）
といふ「連式」を、
② Ｐ＆Ｑ→Ｒ ├ （～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ）
といふ「連式」であると、「勘違ひ」をしてゐる。
といふ、ことになる。
―「昨日（令和０３年０６月２６日）の記事」を書き直します。―
（01）
（ⅰ）
１ （１）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ→Ｒ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｒ ３４ＭＰＰ
６（６） Ｑ→Ｒ Ａ
２ （７） Ｑ ２＆Ｅ
２ ６（８） Ｒ ６７ＭＰＰ
１２ （９） Ｒ １３５６８∨Ｅ
１ （ア）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ２９ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ １含意の定義
３ （３）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （４）～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
３ （５）～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
６ （６） Ｒ Ａ
６ （７） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ６∨Ｉ
１ （８） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ １３５６７∨Ｅ
１ （９）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ） ３結合法則
ア （ア）～Ｐ Ａ
ア （イ）～Ｐ∨Ｒ ア∨Ｉ
ア （ウ） Ｐ→Ｒ イ含意の定義
ア （エ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ウ∨Ｉ
オ（オ） （～Ｑ∨Ｒ） Ａ
オ（カ） Ｑ→Ｒ オ含意の定義
オ（キ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） カ∨Ｉ
１ （ク）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ２アエオキ∨Ｉ
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
①（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
といふ「命題」、すなはち、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「命題」が「真（本当）」である。
といふことは、
②（Ｐ→Ｒ）
③ （Ｑ→Ｒ）
④（Ｐ→Ｒ）＆（Ｑ→Ｒ）
といふ「３通り」が「真（本当）」であり得る。
といふことに、他ならない。
従って、
（03）により、
（04）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ→Ｒ）
に於いて、
① である。従って、② である。
といふ「演繹推理」は、「不可」であるが、
① である。従って、② であると、思はれる。
といふ『蓋然的推理』は「不可」ではない。
例へば、
（05）
Ｐ＝焼酎を飲む。
Ｑ＝お湯を飲む。
Ｒ＝酔ふ。
であるとして、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ ）→Ｒ
といふ「命題」は、
①（焼酎のお茶割を飲む）ならば酔ふ。
②（焼酎を飲む）ならば酔ふ。
といふ「命題」に相当し、尚且つ、
① は、「真（本当）」であり、
② も、「真（本当）」である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ→Ｒ）
に於いて、すなはち、
①（焼酎のお茶割を飲む）ならば酔ふ。
②（焼酎を飲む）ならば酔ふ。
に於いて、
① である。従って、② であると、思はれる。
といふ『蓋然的推理』は「不可」ではない。
然るに、
（07）
①（焼酎のお茶割を飲む）ならば酔ふ。
②（焼酎を飲む）ならば酔ふ。
といふことは、
①（焼酎のお茶割を飲む）ならば酔ふ。
②（焼酎を飲むが、お茶を飲まない）としても酔ふ。
といふことに、他ならない。
然るに、
（08）
①（焼酎のお茶割を飲む）ならば酔ふ。
②（焼酎を飲むが、お茶を飲まない）としても酔ふ。
といふことは、
①（Ｐ＆ Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ
といふことに、他ならない。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
①（Ｐ＆ Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ
に於いて、
① である。従って、② であると、思はれる。
といふ『蓋然的推理』は「不可」ではない。
然るに、
（10）
（ⅲ）
１ （１）（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ Ａ
１ （２）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ＆
Ｒ→（Ｐ＆Ｑ） １Ｄｆ.⇔
１ （３）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ２＆Ｅ
１ （４） Ｒ→（Ｐ＆Ｑ） ２＆Ｅ
５ （５） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
５ （６） ～（Ｐ＆Ｑ） ５ド・モルガンの法則
１５ （７）～Ｒ ４６ＭＴＴ
１ （８）（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ ５７ＣＰ
９（９） Ｐ＆～Ｑ Ａ
９（ア） ～Ｑ Ａ
９（イ） ～Ｐ∨～Ｑ ア∨Ｉ
１ ９（ウ） ～Ｒ ８イＭＰＰ
１ （エ） （Ｐ＆～Ｑ）→～Ｒ ９ウＣＰ
従って、
（10）により、
（11）
③（Ｐ＆ Ｑ）⇔ Ｒ。 従って、
④（Ｐ＆～Ｑ）→～Ｒ。 である。
といふ「推論」、すなはち、
③「（Ｐであって、 Ｑである）ならば、そのときに限って、Ｒである。」従って、
④「（Ｐであっても、Ｑでない）ならば、Ｒではない。」
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
①（Ｐ＆ Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ
に於いて、
① なので、② であるかも、知れない（演繹推理）。
であって、尚且つ、
③（Ｐ＆ Ｑ）⇔ Ｒ
④（Ｐ＆～Ｑ）→～Ｒ
に於いて、
③ なので、④ である（演繹推理）。
従って、
（12）により、
（13）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）→ Ｒ
③（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）→～Ｒ
といふ「推論」は、
① であれば、『蓋然的推理』として、「正しく」、
② であれば、「演繹推理」 として、「正しい」。
然るに、
（14）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」に関して、
大西拓郎先生（京都大学）は、
［厳密含意の論理(1) [修正版]（ユーチューブ：９分１０秒頃）］に於いて、
ＰかつＱ、２つの前提からＲが導かれるんだったら実はそれ、１つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。まぁこれ、をかしい。 といふ風に、述べてゐる。
然るに、
（15）
ＰかつＱ、２つの前提からＲが導かれるんだったら実はそれ、１つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。
といふのは、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ
といふ「推論」、すなはち、例へば、
Ｐ＝焼酎を飲む。
Ｑ＝お湯を飲む。
Ｒ＝酔ふ。
であるとして、
①（焼酎のお湯割りを飲む）ならば酔ふ。従って、（焼酎を飲んで、お湯を飲まない）としても酔ふであらう。
といふ『蓋然的推理』であるが、もちろん、
①（焼酎のお湯割りを飲む）ならば酔ふ。従って、（焼酎を飲んで、お湯を飲まない）としても酔ふであらう。
といふ「推論」は、「をかしくはない。」
然るに、
（13）により、
（16）
③（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）→～Ｒ
といふ「演繹推理」は、「妥当」であり、それ故、
③（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）→～Ｒ
④（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）→ Ｒ
に於いて、
③ は「妥当」であるが、
④ は「妥当」ではない。
従って、
（14）（15）（16）により、
（17）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ
④（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ
に於いて、
① ではなく、
④ であるならば、
ＰかつＱ、２つの前提からＲが導かれるんだったら実はそれ、１つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。
といふ「推論」は、確かに、
まぁこれ、をかしい。
といふことに、なる。
従って、
（14）～（17）により、
（18）
例へば、
①（焼酎のお湯割りを飲む）ならば酔ふ。従って、（焼酎を飲んで、お湯を飲まない）としても酔ふであらう。
といふ場合が、そうであるやうに、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ
といふ『蓋然的推理』は、実際には、「をかしくはない」にもかかわらず、大西拓郎先生は、
③（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ├（Ｐ＆～Ｑ）→～Ｒ
といふ「演繹推理」と、「混同」することにより、
①（焼酎のお湯割りを飲む）ならば酔ふ。従って、（焼酎だけを飲んだ）としても酔ふであらう。
といふ『蓋然的推理』を称して、「まぁこれ、をかしい」。
といふ風に、述べてゐる。
（01）
①（Ｐ→Ｒ）≡（ＰならばＲである）
②（Ｐ⇔Ｒ）≡（ＰならばＲである）＆（ＲならばＰである）
然るに、
（02）
（ⅱ）
１ （１） Ｐ⇔Ｒ Ａ
１ （２）（Ｐ→Ｒ）＆（Ｒ→Ｐ） １Ｄｆ.⇔
１ （３） Ｐ→Ｒ ２＆Ｅ
１ （４） Ｒ→Ｐ ２＆Ｅ
５ （５） ～Ｐ Ａ
６（６） Ｒ Ａ
１ ６（７） Ｐ ４６ＭＰＰ
１５６（８） ～Ｐ＆Ｐ ５７＆Ｉ
１５ （９） ～Ｒ ６８ＲＡＡ
１ （ア） ～Ｐ→～Ｒ ５９ＣＰ
１ （イ）（Ｐ→Ｒ）＆（～Ｐ→～Ｒ） ３ア＆Ｉ
（ⅲ）
１ （１）（Ｐ→Ｒ）＆（～Ｐ→～Ｒ） Ａ
１ （２） Ｐ→Ｒ １＆Ｅ
１ （３） ～Ｐ→～Ｒ １＆Ｅ
４ （４） Ｒ Ａ
５（５） ～Ｐ Ａ
１ ５（６） ～Ｒ ３５ＭＰＰ
１４５（７） Ｒ＆～Ｒ ４６＆Ｉ
１４ （８） ～～Ｐ ５７ＲＡＡ
１４ （９） Ｐ ８ＤＮ
１ （ア） Ｒ→ Ｐ ４９ＣＰ
１ （イ）（Ｐ→Ｒ）＆（Ｒ→Ｐ） ２ア＆Ｉ
１ （ウ） Ｐ⇔Ｒ イＤｆ.⇔
従って、
（01）（02）により、
（03）
①（Ｐ→Ｒ）≡（Ｐ→Ｒ）
②（Ｐ⇔Ｒ）≡（Ｐ→Ｒ）＆（ Ｒ→ Ｐ）
③（Ｐ⇔Ｒ）≡（Ｐ→Ｒ）＆（～Ｐ→～Ｒ）
に於いて、
①＝② ではなくて、
②＝③ である。
従って、
（03）により、
（04）
①（Ｐ→Ｒ）≡（Ｐ→Ｒ）
②（Ｐ⇔Ｒ）≡（Ｐ→Ｒ）＆（ Ｒ→ Ｐ）
③（Ｐ⇔Ｒ）≡（Ｐ→Ｒ）＆（～Ｐ→～Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝（Ｐ＆Ｑ）
といふ「代入（Substitution）」を行ふと
①｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝≡｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝
②｛（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ｝≡｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）｝
③｛（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ｝≡｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛～（Ｐ＆Ｑ）→～Ｒ｝
然るに、
（05）
（ⅲ）
１ （１） ～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） ～Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２９＆Ｉ
２ （イ） ～～Ｑ ８アＤＮ
２ （ウ） Ｑ イＤＮ
２ （エ） Ｐ＆ Ｑ ７ウ＆Ｉ
１２ （オ） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆
（Ｐ＆ Ｑ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２オＲＡＡ
１ （キ） ～Ｐ∨～Ｑ カＤＮ
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
１２ （ウ） （Ｐ＆ Ｑ）＆
～（Ｐ＆ Ｑ） ２イ＆Ｉ
１ （エ） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２ウＲＡＡ
従って、
（05）により、
（06）
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
④ ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
①｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝≡｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝
②｛（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ｝≡｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）｝
③｛（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ｝≡｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛～（Ｐ＆ Ｑ）→～Ｒ｝
④｛（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ｝≡｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝
然るに、
（08）
④｛（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ｝≡｛（Ｐであって、Ｑである）ならば、そのときに限って、Ｒである。｝
④｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝≡｛（Ｐでないか、Ｑでないか、または、ＰでもＱでない）ならば、Ｒではない。｝
然るに、
（09）
④（Ｐでないか、Ｑでないか、または、ＰでもＱでない）ならば、Ｒではない。
といふことは、
④（Ｐであったとしても、Ｑでない）ならば、Ｒではない。
といふ、ことである。
然るに、
（10）
④（Ｐであったとしても、Ｑでない）ならば、Ｒではない。
といふことは、
④（Ｐであることは、Ｒであることの、「十分条件」である）とは、言へない。
といふ、ことである。
従って、
（07）～（10）により、
（11）
④｛（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ｝≡｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝
に於いて、
④（Ｐであることが、Ｒであることの、「十分条件」であること）は無い。
然るに、
（12）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ １含意の定義
３ （３）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （４）～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
３ （５）～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
６ （６） Ｒ Ａ
６ （７） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ６∨Ｉ
１ （８） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ １３５６７∨Ｅ
１ （９）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ） ３結合法則
ア （ア）～Ｐ Ａ
ア （イ）～Ｐ∨Ｒ ア∨Ｉ
ア （ウ） Ｐ→Ｒ イ含意の定義
ア （エ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ウ∨Ｉ
オ（オ） （～Ｑ∨Ｒ） Ａ
オ（カ） Ｑ→Ｒ オ含意の定義
オ（キ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） カ∨Ｉ
１ （ク）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ２アエオキ∨Ｉ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２）（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ→Ｒ Ａ
（４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｒ ３４ＭＰＰ
６（６） Ｑ→Ｒ Ａ
２ （７） Ｑ ２＆Ｅ
２ ６（８） Ｒ ６７ＭＰＰ
１２ （９） Ｒ １３５６８∨Ｅ
１ （ア）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ２９ＣＰ
従って、
（12）により、
（13）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（14）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ≡（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
①（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
である。といふことは、
（ⅰ） Ｐ＆～Ｑ は、Ｒの「十分条件」である、かも知れないし、
（ⅱ）～Ｐ＆ Ｑ は、Ｒの「十分条件」である、かも知れないし、
（ⅲ） Ｐ＆ Ｑ は、Ｒの「十分条件」である。
といふことに、他ならない。
従って、
（14）により、
（15）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ≡（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
①（Ｐであることが、Ｒであることの、「十分条件」であること）は有る。
従って、
（11）（15）により、
（16）
①｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝≡（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
④｛（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ｝≡｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝
に於いて、
①（Ｐであることが、Ｒであることの、「十分条件」であること）は有る。
④（Ｐであることが、Ｒであることの、「十分条件」であること）は無い。
従って、
（16）により、
（17）
①｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝≡（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
といふ「論理式」に関して、
①（Ｐであることが、Ｒであることの、「十分条件」であること）は有る。
といふことは、「をかしい」とするならば、
その方が、「をかしい」といふ、ことになる。
然るに、
（18）
④（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
ではなく、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」に関して、
大西拓郎先生（京都大学）は、
［2020年度後期哲学演習I 厳密含意の論理(1) [修正版]（ユーチューブ：９分１０秒頃）］に於いて、
ＰかつＱ、２つの前提からＲが導かれるんだったら実はそれ、１つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。まぁこれ、をかしい。
といふ風に、述べてゐる。
従って、
（17）（18）により、
（19）
大西拓郎先生（京都大学）の場合も、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
④（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
に於いて、
①と④ を、「混同」してゐると、言はざるを得ない。
（20）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ≡（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝焼酎を飲む。
Ｑ＝お湯を飲む。
Ｒ＝気分が良くなる。
であるとすると、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「命題」は、
①（焼酎のお湯割りを飲む）ならば気分が良くなる。
といふ「命題」に、「等しい」。
然るに、
（21）
①（焼酎のお湯割りを飲む）ならば気分が良くなる。
といふのであれば、
②（お湯は飲まずに、焼酎だけを飲む）ならば気分が良くなる。
といふことは、「可能」である。
然るに、
（20）（21）により、
（22）
Ｐ＝焼酎を飲む。
Ｑ＝お湯を飲む。
Ｒ＝気分が良くなる。
であるとすると、
①（焼酎のお湯割りを飲む）ならば気分が良くなる。
②（お湯は飲まずに、焼酎だけを飲む）ならば気分が良くなる。
といふ「命題」は、それぞれ、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ ）→Ｒ
といふ「論理式」に、相当する。
然るに、
（23）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ ）→Ｒ
に於いて、
② は、まさに、
② ＰかつＱ、２つの前提からＲが導かれるんだったら実はそれ、１つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。
の、「具体例」である。
従って、
（18）～（23）により、
（24）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ ）→Ｒ
に於ける、
② に関して、
ＰかつＱ、２つの前提からＲが導かれるんだったら実はそれ、１つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。まぁこれ、をかしい。
といふのであれば、その方が、をかしい。
（25）
『焼酎の種類にも割り方の如何にもかかわらず、焼酎を日々堪能しつつ元気に暮らしています。』
といふ方であれば、『簡単』に、分かってもらえるやうに、
Ｐ＝焼酎を飲む。
Ｑ＝お湯を飲む。
Ｒ＝気分が良くなる。
であるとして、
①（焼酎のお湯割りを飲む）ならば気分が良くなる。
②（お湯は飲まずに、焼酎だけを飲む）ならば気分が良くなる。
といふ「命題」は、それぞれ、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ ）→Ｒ
といふ「論理式」に、「相当」するため、
① が「真」であって、尚且つ、
② も「真」であることは、「矛盾」ではない。
従って、
（25）により、
（26）
『焼酎の種類にも割り方の如何にもかかわらず、焼酎を日々堪能しつつ元気に暮らしています。』
といふ方であれば、『簡単』に、分かってもらえるやうに、
①｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝≡（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
といふ「等式」は、明らかに、「正しい」。
―「昨日（令和０３年０６月２４日）の記事」を書き直します。―
（01）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ １含意の定義
３ （３）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （４）～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
３ （５）～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
６ （６） Ｒ Ａ
６ （７） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ６∨Ｉ
１ （８） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ １３５６７∨Ｅ
１ （９）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ） ３結合法則
ア （ア）～Ｐ Ａ
ア （イ）～Ｐ∨Ｒ ア∨Ｉ
ア （ウ） Ｐ→Ｒ イ含意の定義
ア （エ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ウ∨Ｉ
オ（オ） （～Ｑ∨Ｒ） Ａ
オ（カ） Ｑ→Ｒ オ含意の定義
オ（キ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） カ∨Ｉ
１ （ク）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ２アエオキ∨Ｉ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ Ａ
１ （２） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ）＆Ｒ→（Ｐ＆Ｑ） １Ｄｆ.⇔
１ （３） Ｒ→（Ｐ＆Ｑ） ２＆Ｅ
４ （４） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
４ （５） ～（Ｐ＆Ｑ） ４ド・モルガンの法則
１４ （６） ～Ｒ ３５ＭＴＴ
１ （７） ～Ｐ∨～Ｑ→～Ｒ ４６ＣＰ
８ （８） ～Ｐ Ａ
８ （９） ～Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
１ ８ （ア） ～Ｒ ７９ＭＰＰ
１ （イ） ～Ｐ→～Ｒ ８アＣＰ
ウ （ウ） ～Ｑ Ａ
ウ （エ） ～Ｐ∨～Ｑ ウ∨Ｉ
１ ウ （オ） ～Ｒ ７エＭＰＰ
１ （カ） ～Ｑ→～Ｒ ウオＣＰ
１ （キ）（～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ） イカ＆Ｉ
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
③（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
④（～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ）
に於いて、
① ならば、② であり、
③ ならば、④ である。
然るに、
（03）
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
といふことは、
（ⅰ） Ｐ＆～Ｑ は、Ｒの「十分条件」である、かも知れないし、
（ⅱ）～Ｐ＆ Ｑ は、Ｒの「十分条件」である、かも知れないし、
（ⅲ） Ｐ＆ Ｑ は、Ｒの「十分条件」である。
といふことに、他ならない。
（04）
④（～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ）
といふことは、
（ⅰ）Ｐ は、Ｒの「必要条件」であって、
（ⅱ） Ｑ も、Ｒの「必要条件」であって、
（ⅱ）Ｐ＆Ｑ も、Ｒの「必要条件」である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
③（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
に於いて、
Ｐ＝２５歳以上である。
Ｑ＝日本人である。
Ｒ＝衆議院議員の被選挙権を有す。
であるとして、
① であるならば、
（α）２５歳以上であるならば、 日本人でなくとも、 衆議院議員であることは、「不可能」ではなく、
② であるならば、
（β）２５歳以上であるとしても、日本人でないならば、衆議院議員であるおとは、「不可能」である。
といふ、ことになる。
従って、
（05）により、
（06）
①（２５歳以上であって、日本人である）ならば、 衆議院議員の被選挙権を有す。
②（２５歳以上であって、日本人である）ならば、そのときに限って、衆議院議員の被選挙権を有す。
に於いて、
① であるならば、
（α）２５歳以上であるならば、 日本人でなくとも、 衆議院議員であることは、「不可能」ではなく、
② であるならば、
（β）２５歳以上であるとしても、日本人でないならば、衆議院議員であることは、「不可能」である。
といふ、ことになる。
然るに、
（07）
①（２５歳以上であって、日本人である）ならば、衆議院議員の被選挙権を有す。
といふのであれば、
（β）２５歳以上であるとしても、日本人でないならば、衆議院議員であることは、「不可能」である。
といふ風に、解する方が、「普通」である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
我々、日本人は、
①（２５歳以上であって、日本人である）ならば、衆議院議員の被選挙権を有す。
といふ「日本語」を、
②（２５歳以上であって、日本人である）ならば、そのときに限って、衆議院議員の被選挙権を有す。
といふ「意味」で、用ひてゐる。
といふ、ことになる。
従って、
（05）～（08）により、
（09）
我々、日本人は、
Ｐ＝２５歳以上である。
Ｑ＝日本人である。
Ｒ＝衆議院議員の被選挙権を有す。
であるとして、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」を、
③（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
といふ「論理式」として、用ひてゐる。
といふ、ことになる。
然るに、
（10）
③（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
ではなく、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」に関して、
大西拓郎先生（京都大学）曰く、
ＰかつＱ、２つの前提からＲが導かれるんだったら実はそれ、１つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。まぁこれ、をかしい。
実質含意にはこういう変な推論がどうしてもつきまとうんですが、厳密含意になると、それがちゃんと妥当ではなくなってくれるという、ことです［2020年度後期哲学演習I 厳密含意の論理(1) [修正版]（ユーチューブ：９分１０秒頃）］。
然るに、
（11）
改めて、「確認」すると、
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ １含意の定義
３ （３）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （４）～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
３ （５）～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
６ （６） Ｒ Ａ
６ （７） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ６∨Ｉ
１ （８） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ １３５６７∨Ｅ
１ （９）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ） ３結合法則
ア （ア）～Ｐ Ａ
ア （イ）～Ｐ∨Ｒ ア∨Ｉ
ア （ウ） Ｐ→Ｒ イ含意の定義
ア （エ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ウ∨Ｉ
オ（オ） （～Ｑ∨Ｒ） Ａ
オ（カ） Ｑ→Ｒ オ含意の定義
オ（キ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） カ∨Ｉ
１ （ク）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ２アエオキ∨Ｉ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２）（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ→Ｒ Ａ
（４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｒ ３４ＭＰＰ
６（６） Ｑ→Ｒ Ａ
２ （７） Ｑ ２＆Ｅ
２ ６（８） Ｒ ６７ＭＰＰ
１２ （９） Ｒ １３５６８∨Ｅ
１ （ア）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ２９ＣＰ
従って、
（11）により、
（12）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
①＝② であり、
② であれば、 ＰかつＱ、２つの前提からＲが導かれるんだったら実はそれ、１つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。
とは、言ふものの、
まぁこれ、をかしい。
といふことには、ならない。
従って、
（09）～（12）により、
（13）
大西拓郎先生（京都大学）の場合は、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
③（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
に於いて、
①と③ を、「混同」してゐると、言はざるを得ない。
―「昨日（令和０３年０６月０３日）の記事」を補足します。―
（01）
（ⅰ）αとβが「矛盾」するならば、
（ⅱ） βの「否定」は、αに「等しい」。
といふことを以て、
α＝～β
といふ「等式」が、成立するならば、そのときに限って、
α＝～β
といふ「等式」を、「（定義による）ド・モルガンの法則」と呼ぶことにする。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
１２（３）Ｐ＆～Ｐ １２＆Ｉ（矛盾）
１ （４）～（～Ｐ） ２ＲＡＡ（背理法）
（ⅱ）
１ （１）～（～Ｐ） Ａ
１ （２） Ｐ １ＤＮ
∴ Ｐ┤├ ～（～Ｐ）
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ｐ
② ～（～Ｐ）
に於いて、
①＝② は、「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
ｃｆ.
「Ｐの補集合」の「補集合」は、「Ｐ」に「等しい」。
然るに、
（04）
（ⅲ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
１２（４） Ｑ １３ＭＰＰ
２（５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ（矛盾）
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ（背理法）
（ⅳ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ（矛盾）
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ（背理法）
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→Ｑ ２７ＣＰ
∴ Ｐ→Ｑ┤├ ～（Ｐ＆～Ｑ）
（05）
（ⅴ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ（矛盾）
２ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ３５ＲＡＡ（背理法）
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ（矛盾）
７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ（背理法）
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １２６７ア∨Ｅ
（ⅵ）
１ （１） ～（ Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ２４＆Ｉ（矛盾）
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ（背理法）
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨ Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ２９＆Ｉ
２ （イ） ～Ｑ ８ＲＡＡ
２ （ウ） Ｐ＆～Ｑ ７イ＆Ｉ
１２ （エ） ～（ Ｐ＆～Ｑ）＆
（ Ｐ＆～Ｑ） １ウ＆Ｉ（矛盾）
１ （オ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ２エＲＡＡ（背理法）
１ （カ） ～Ｐ∨ Ｑ オＤＮ
∴ ～Ｐ∨Ｑ┤├ ～（Ｐ＆～Ｑ）
（06）
（ⅶ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨ ～Ｑ∨～Ｒ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨（～Ｑ∨～Ｒ） ２結合法則
４ （４） ～Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １＆Ｅ
１ ４ （６） ～Ｐ＆Ｐ ４５＆Ｉ（矛盾）
４ （７）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １６ＲＡＡ（背理法）
８ （８） （～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
９ （９） ～Ｑ Ａ
１ （ア） Ｑ １＆Ｅ
１ ９ （イ） ～Ｑ＆Ｑ ９ア＆Ｉ（矛盾）
９ （ウ）～（ Ｐ＆ Ｑ ＆Ｒ） １９ＲＡＡ（背理法）
エ（エ） ～Ｒ Ａ
１ （オ） Ｒ １＆Ｅ
１ エ（カ） ～Ｒ＆Ｒ エオ＆Ｉ（矛盾）
エ（キ）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １カＲＡＡ（背理法）
８ （ク）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ８９ウエキ∨Ｅ
２ （ケ）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ３４７８ク∨Ｅ
１２ （コ） （ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）＆
～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １ケ＆Ｉ（矛盾）
１ （サ）～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２コＲＡＡ（背理法）
（ⅷ）
１ （１） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ３∨Ｉ
１ ２ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １４＆Ｉ（矛盾）
１ （６） ～～Ｐ ２５ＲＡＡ（背理法）
１ （７） Ｐ ６ＤＮ
８ （８） ～Ｑ Ａ
８ （９） ～Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
８ （ア） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ８∨Ｉ
１ ８ （イ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １ア＆Ｉ（矛盾）
１ （ウ） ～～Ｑ ８ＲＡＡ（背理法）
１ （エ） Ｑ ウＤＮ
オ（オ） ～Ｒ Ａ
オ（カ） ～Ｑ∨～Ｒ オ∨Ｉ
オ（キ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ カ∨Ｉ
１ オ（ク） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １オ＆Ｉ（矛盾）
１ （ケ） ～～Ｒ オケＲＡＡ（背理法）
１ （コ） Ｒ ケＤＮ
１ （サ） Ｐ＆ Ｑ ７エ＆Ｉ
１ （シ） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ コサ＆Ｉ
∴ Ｐ＆Ｑ＆Ｒ ┤├ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
（07）
（ⅸ）
１ （１） （Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ Ａ
２ （２） （～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ Ａ
１ （３） Ｐ∨ Ｑ １＆Ｅ
４ （４） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
５ （５） Ｐ Ａ
４ （６） ～Ｐ ４＆Ｅ
４５ （７） Ｐ＆～Ｐ ５６＆Ｉ
５ （８）～（～Ｐ＆～Ｑ） ４７ＲＡＡ
９ （９） Ｑ Ａ
４ （ア） ～Ｑ ４＆Ｅ
４ ９ （イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ４イＲＡＡ
１ （エ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ３５８９ウ∨Ｅ
オ （オ） （～Ｐ＆～Ｑ） Ａ
１ オ （カ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） エオ＆Ｉ
オ （キ）～｛（Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ｝ １カＲＡＡ
１ （ク） Ｒ １＆Ｅ
ケ（ケ） ～Ｒ Ａ
１ ケ（コ） Ｒ＆～Ｒ クケ＆Ｉ
ケ（サ）～｛（Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ｝ １コＲＡＡ
２ （シ）～｛（Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ｝ ２オキケサ∨Ｅ
１２ （ス） ｛（Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ｝＆
～｛（Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ｝ １シ＆Ｉ（矛盾）
１ （セ）～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝ ２スＲＡＡ（背理法）
（ⅹ）
１ （１）～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝ Ａ
２ （２） ～｛（Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ｝ Ａ
３ （３） （Ｐ∨ Ｑ） Ａ
４ （４） Ｒ Ａ
３４ （５） （Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ ３４＆Ｉ
２３４ （６） ～｛（Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ｝＆
｛（Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ ２５＆Ｉ
２３ （７） ～Ｒ ４ＲＡＡ
２ （８） （Ｐ∨ Ｑ）→～Ｒ ３７ＣＰ
９ （９） Ｒ Ａ
９ （ア） ～～Ｒ ９ＤＮ
２ ９ （イ） ～（Ｐ∨ Ｑ） ８アＭＴＴ
ウ （ウ） ～（～Ｐ＆～Ｑ） Ａ
エ （エ） Ｐ Ａ
エ （オ） Ｐ∨ Ｑ エ∨Ｉ
２ ９ エ （カ） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） イオ＆Ｉ
２ ９ （キ） ～Ｐ エカＲＡＡ
ク （ク） Ｑ Ａ
ク （ケ） Ｐ∨ Ｑ クカ∨Ｉ
２ ９ ク （コ） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） イケ＆Ｉ
２ ９ （サ） ～Ｑ クコＲＡＡ
２ ９ （シ） ～Ｐ＆～Ｑ キサ＆Ｉ
２ ９ウ （セ） ～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） ウシ＆Ｉ
２ ９ （ソ）～～（～Ｐ＆～Ｑ） ウセＲＡＡ
２ ９ （タ） ～Ｐ＆～Ｑ ソＤＮ
２ （チ） Ｒ→（～Ｐ＆～Ｑ） ９タＣＰ
ツ（ツ） ～Ｒ Ａ
ツ（テ） （～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ ツ∨Ｉ
１ ツ（ト）～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝＆
｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝ １テ＆Ｉ
１ （ナ） ～～Ｒ ツトＲＡＡ
１ （ニ） Ｒ ナＤＮ
１２ （ヌ） （～Ｐ＆～Ｑ） チニＭＰＰ
１２ （ネ） （～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ ヌ∨Ｉ
１２ （ノ）～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝＆
｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝ １ネ＆Ｉ（矛盾）
１ （ハ）～～｛（Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ｝ ２ノＲＡＡ（背理法）
１ （ヒ） （Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ ハＤＮ
∴ （Ｐ∨Ｑ）＆Ｒ ┤├ ～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝
（08）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ） Ａ
２ （２） ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝ ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ＆ Ｒ Ａ
２ （８） ～Ｑ∨～Ｒ ２＆Ｅ
７ （９） Ｑ ７＆Ｅ
ア （ア） ～Ｑ Ａ
７ア （イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
ア （ウ） ～（Ｑ＆ Ｒ） ７イＲＡＡ
７ （エ） Ｒ ２＆Ｅ
オ（オ） ～Ｒ Ａ
７ オ（カ） Ｒ＆～Ｒ エオ＆Ｉ
オ（キ） ～（Ｑ＆ Ｒ） ７カＲＡＡ
２ （ク） ～（Ｑ＆ Ｒ） ８アウオキ∨Ｅ
２ ７ （ケ）（Ｑ＆Ｒ）＆～（Ｑ＆ Ｒ） ７ク＆Ｉ（矛盾）
７ （コ） ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝ ２ケＲＡＡ（背理法）
１ （サ） ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝ １３６７コ∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝ １３６７コ∨Ｅ
２ （２） ～｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ） ３∨Ｉ
２３ （５） ～｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝＆
｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝ ２４＆Ｉ
２ （６） ～Ｐ ３ＲＡＡ
７ （７） （～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
２ ７ （８） ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ） ６７＆Ｉ
１２ ７ （９） ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝＆
｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝ １８＆Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｑ∨～Ｒ） ７９ＲＡＡ
イ （イ） ～Ｑ Ａ
イ （ウ） ～Ｑ∨～Ｒ イ∨Ｉ
１２ イ （エ） ～（～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｑ∨～Ｒ） アウ＆Ｉ
１２ （オ） ～～Ｑ イエＲＡＡ
１２ （カ） Ｑ オＤＮ
キ（キ） ～Ｒ Ａ
キ（ク） ～Ｑ∨～Ｒ キ∨Ｉ
１２ キ（ケ） ～（～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｑ∨～Ｒ） アク＆Ｉ
１２ （コ） ～～Ｒ キケＲＡＡ
１２ （サ） Ｒ コＤＮ
１２ （シ） Ｑ＆ Ｒ カサ＆Ｉ
１２ （ス） Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ） シ∨Ｉ
１２ （セ） ～｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝＆
｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝ ２ス＆Ｉ（矛盾）
１ （ソ） ～～｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝ ２ＲＡＡ（背理法）
１ （タ） Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ） ソＤＮ
∴ Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）┤├ ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝
従って、
（01）～（08）により、
（09）
① Ｐ
② ～（～Ｐ）
③ Ｐ→Ｑ
④ ～Ｐ∨ Ｑ
⑤ ～（Ｐ＆～Ｑ）
⑥ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
⑦ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑧ （Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ
⑨～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝
⑩ Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）
⑪ ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝
に於いて、
①＝②
③＝⑤
④＝⑤
⑥＝⑦
⑧＝⑨
⑩＝⑪
は、「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（10）
④ ～Ｐ∨ Ｑ
⑤ ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於ける、
④＝⑤ に関しては、「（普通の、）ド・モルガンの法則」である。
従って、
（01）（09）（10）により、
（11）
（ⅰ）αとβが「矛盾」するならば、
（ⅱ） βの「否定」は、αに「等しい」。
といふことを以て、
α＝～β
といふ「等式」が、成立するならば、そのときに限って、
α＝～β
といふ「等式」を、 「（定義による）ド・モルガンの法則」と呼ぶならば、
「（普通の、） ド・モルガンの法則」は、
「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
（01）
① Ｐ ≡ Ｐである。
② （～Ｐ）≡（Ｐでない）。
に於いて、
①＆② は、「矛盾」である。
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ ≡ Ｐである。
② ～（～Ｐ）≡（Ｐでない）ではない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
③ Ｐ＆ Ｑ ≡ Ｐであって、その上、Ｑである。
④ （～Ｐ∨～Ｑ）≡（Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、その両方である）。
に於いて、
③＆④ は、「矛盾」である。
従って、
（03）により、
（04）
③ Ｐ＆ Ｑ ≡ Ｐであって、その上、Ｑである。
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）≡（Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、その両方である）ではない。
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（05）
（ⅴ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨ ～Ｑ∨～Ｒ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨（～Ｑ∨～Ｒ） ２結合法則
４ （４） ～Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １＆Ｅ
１ ４ （６） ～Ｐ＆Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １６ＲＡＡ
８ （８） （～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
９ （９） ～Ｑ Ａ
１ （ア） Ｑ １＆Ｅ
１ ９ （イ） ～Ｑ＆Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（ Ｐ＆ Ｑ ＆Ｒ） １９ＲＡＡ
エ（エ） ～Ｒ Ａ
１ （オ） Ｒ １＆Ｅ
１ エ（カ） ～Ｒ＆Ｒ エオ＆Ｉ
エ（キ）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １カＲＡＡ
８ （ク）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ８９ウエキ∨Ｅ
２ （ケ）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ３４７８ク∨Ｅ
１２ （コ） （ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）＆
～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １ケ＆Ｉ
１ （サ）～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２コＲＡＡ
（ⅵ）
１ （１） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ３∨Ｉ
１ ２ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １４＆Ｉ
１ （６） ～～Ｐ ２５ＲＡＡ
１ （７） Ｐ ６ＤＮ
８ （８） ～Ｑ Ａ
８ （９） ～Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
８ （ア） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ８∨Ｉ
１ ８ （イ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １ア＆Ｉ
１ （ウ） ～～Ｑ ８ＲＡＡ
１ （エ） Ｑ ウＤＮ
オ（オ） ～Ｒ Ａ
オ（カ） ～Ｑ∨～Ｒ オ∨Ｉ
オ（キ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ カ∨Ｉ
１ オ（ク） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １オ＆Ｉ
１ （ケ） ～～Ｒ オケＲＡＡ
１ （コ） Ｒ ケＤＮ
１ （サ） Ｐ＆ Ｑ ７エ＆Ｉ
１ （シ） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ コサ＆Ｉ
従って、
（05）により、
（06）
⑤ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
⑥ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
⑤＝⑥ である。
然るに、
（07）
（ⅶ）
１ （１） Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ） Ａ
２ （２） ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ（代表的選言項）
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝ ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ＆ Ｒ Ａ（代表的選言項）
２ （８） ～Ｑ∨～Ｒ ２＆Ｅ
７ （９） Ｑ ７＆Ｅ
ア （ア） ～Ｑ Ａ（代表的選言項）
７ア （イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
ア （ウ） ～（Ｑ＆ Ｒ） ７イＲＡＡ
７ （エ） Ｒ ２＆Ｅ
オ（オ） ～Ｒ Ａ（代表的選言項）
７ オ（カ） Ｒ＆～Ｒ エオ＆Ｉ
オ（キ） ～（Ｑ＆ Ｒ） ７カＲＡＡ
２ （ク） ～（Ｑ＆ Ｒ） ８アウオキ∨Ｅ
２ ７ （ケ）（Ｑ＆Ｒ）＆～（Ｑ＆ Ｒ） ７ク＆Ｉ
７ （コ） ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝ ２ケＲＡＡ
１ （サ） ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝ １３６７コ∨Ｅ
（ⅷ）
１ （１） ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝ １３６７コ∨Ｅ
２ （２） ～｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ） ３∨Ｉ
２３ （５） ～｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝＆
｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝ ２４＆Ｉ
２ （６） ～Ｐ ３ＲＡＡ
７ （７） （～Ｑ∨～Ｒ） Ａ（for背理法）
２ ７ （８） ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ） ６７＆Ｉ
１２ ７ （９） ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝＆
｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝ １８＆Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｑ∨～Ｒ） ７９ＲＡＡ
イ （イ） ～Ｑ Ａ（for背理法）
イ （ウ） ～Ｑ∨～Ｒ イ∨Ｉ
１２ イ （エ） ～（～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｑ∨～Ｒ） アウ＆Ｉ
１２ （オ） ～～Ｑ イエＲＡＡ
１２ （カ） Ｑ オＤＮ
キ（キ） ～Ｒ Ａ（for背理法）
キ（ク） ～Ｑ∨～Ｒ キ∨Ｉ
１２ キ（ケ） ～（～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｑ∨～Ｒ） アク＆Ｉ
１２ （コ） ～～Ｒ キケＲＡＡ
１２ （サ） Ｒ コＤＮ
１２ （シ） Ｑ＆ Ｒ カサ＆Ｉ
１２ （ス） Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ） シ∨Ｉ
１２ （セ） ～｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝＆
｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝ ２ス＆Ｉ
１ （ソ） ～～｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝ ２ＲＡＡ
１ （タ） Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ） ソＤＮ
従って、
（07）により、
（08）
⑦ Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）
⑧ ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝
に於いて、
⑦＝⑧ である。
従って、
（02）（04）（06）（08）により、
（09）
① Ｐ
② ～（～Ｐ）
③ Ｐ＆ Ｑ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
⑤ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
⑥ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑦ Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）
⑧ ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、
⑤＝⑥ であって、
⑦＝⑧ である。
然るに、
（10）
（ⅰ）αとβが「矛盾」するならば、
（ⅱ）βの「否定」は、αに「等しい」。
といふことを以て、
α＝～β
といふ「等式」が、成立するならば、そのときに限って、
α＝～β
といふ「等式」を、「（定義による）ド・モルガンの法則」と呼ぶことにする。
従って、
（09）（10）により、
（11）
① Ｐ
② ～（～Ｐ）
③ Ｐ＆ Ｑ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
⑤ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
⑥ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑦ Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）
⑧ ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝
に於ける、
①＝② である。
③＝④ である。
⑤＝⑥ である。
⑦＝⑧ である。
といふ「等式」は、４つとも、「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（12）
⑦ Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）
⑧ ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝
に加へて、（ ）の位置が、
⑦ （Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ
⑧ ～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝
であったとしも、
⑦＆⑧ は、「矛盾」する。
従って、
（12）により、
（13）
⑦ Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）
⑧ ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝
であれば、「矛盾」し、
⑦ （Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ
⑧ ～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝
であったとしも、「矛盾」するため、
⑦ Ｐ∨ Ｑ＆ Ｒ
⑧ ～（～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ）
は、いづれにせよ、「矛盾」する。
従って、
（10）（11）（12）（13）により、
（14）
① Ｐ
② ～（～Ｐ）
③ Ｐ＆ Ｑ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
⑤ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
⑥ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑦ Ｐ∨ Ｑ＆ Ｒ
⑧ ～（～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
③＝④ である。
⑤＝⑥ である。
⑦＝⑧ である。
といふ「等式」は、４つとも、「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（14）により、
（15）
① Ｐ
② ～（～Ｐ）
③ Ｐ＆ Ｑ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
⑤ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
⑥ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑦ Ｐ∨ Ｑ＆ Ｒ
⑧ ～（～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
③＝④ である。
⑤＝⑥ である。
⑦＝⑧ である。
が故に、
① ～Ｐ
② ～～（～Ｐ）
③ ～（Ｐ＆ Ｑ）
④ ～～（～Ｐ∨～Ｑ）
⑤ ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）
⑥ ～～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑦ ～（Ｐ∨ Ｑ＆ Ｒ）
⑧ ～～（～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
③＝④ である。
⑤＝⑥ である。
⑦＝⑧ である。
従って、
（15）により、
（16）
「二重否定律」により、
① ～Ｐ
② （～Ｐ）
③ ～（Ｐ＆ Ｑ）
④ （～Ｐ∨～Ｑ）
⑤ ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）
⑥ （～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑦ ～（Ｐ∨ Ｑ＆ Ｒ）
⑧ （～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
③＝④ である。
⑤＝⑥ である。
⑦＝⑧ である。
従って、
（14）（15）（16）により、
（17）
① ～Ｐ
② ～Ｐ
③ ～（Ｐ＆ Ｑ）
④ ～Ｐ∨～Ｑ
⑤ ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）
⑥ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
⑦ ～（Ｐ∨ Ｑ＆ Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ
に於ける、
①＝② である。
③＝④ である。
⑤＝⑥ である。
⑦＝⑧ である。
といふ「等式」は、４つとも、「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（18）
① ～Ｐ
② ～Ｐ
③ ～（Ｐ＆ Ｑ）
④ ～Ｐ∨～Ｑ
⑤ ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）
⑥ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
⑦ ～（Ｐ∨ Ｑ＆ Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ
に於いて、例へば、
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① ～Ｐ
② ～Ｐ
③ ～（Ｐ＆ ～Ｑ）
④ ～Ｐ∨～～Ｑ
⑤ ～（Ｐ＆ ～Ｑ＆ Ｒ）
⑥ ～Ｐ∨～～Ｑ∨～Ｒ
⑦ ～（Ｐ∨ ～Ｑ＆ Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆～～Ｑ∨～Ｒ
に於ける、
①＝②
③＝④
⑤＝⑥
⑦＝⑧
といふ「等式」は、４つとも、「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
従って、
（18）により、
（19）
「二重否定律」により、
① ～Ｐ
② ～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ ～Ｐ∨ Ｑ
⑤ ～（Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ）
⑥ ～Ｐ∨ Ｑ∨～Ｒ
⑦ ～（Ｐ∨～Ｑ＆ Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆ Ｑ∨～Ｒ
に於ける、
①＝②
③＝④
⑤＝⑥
⑦＝⑧
といふ「等式」は、４つとも、「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
従って、
（19）により、
（20）
⑦ ～（Ｐ∨～Ｑ＆ Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆ Ｑ∨～Ｒ
がそうであるやうに、
⑦ Ｐ∨～Ｑ＆ Ｒ
を「否定」すると、「（定義による）ド・モルガンの法則」により、
⑧ Ｐ は、～Ｐ となり、
⑧ ∨ は、 ＆ となり、
⑧ ～Ｑ は、 Ｑ となり、
⑧ ＆ は、 ∨ となり、
⑧ Ｒ は、～Ｒ となる。
（01）
①（Ｐであって、その上、Ｑである）。
②（Ｐでないか、Ｑでないか、または、その両方である）といふことはない。
といふ「日本語」に於いて、明らかに、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
４ （４） ～Ｐ Ａ
１ ４ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６） ～（Ｐ＆ Ｑ） １５ＲＡＡ
１ （７） Ｑ １＆Ｅ
８（８） ～Ｑ Ａ
１ ８（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
８（ア） ～（Ｐ＆ Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２４６８ア∨Ｅ
１２ （ウ） （Ｐ＆ Ｑ）＆
～（Ｐ＆ Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～（～Ｐ∨～Ｑ） ２ウＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４）～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
７ （７） ～Ｑ Ａ
７ （８） ～Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
１ ７ （９）～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） １８＆Ｉ
１ （ア） ～～Ｑ ７９ＲＡＡ
１ （イ） Ｑ アＤＮ
１ （ウ） Ｐ＆ Ｑ ６イ＆Ｉ
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ｐ＆ Ｑ ≡（Ｐであって、その上、Ｑである）。
② ～（～Ｐ∨～Ｑ）≡（Ｐでないか、Ｑでないか、または、その両方である）といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）≡（Ｐであって、その上、Ｑである）といふことはない。
② （～Ｐ∨～Ｑ）≡（Ｐでないか、Ｑでないか、または、その両方である）。
といふ「論理式・日本語」に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）≡（Ｐであって、その上、Ｑである）といふことはない。
② （～Ｐ∨～Ｑ）≡（Ｐでないか、Ｑでないか、または、その両方である）。
に於いて、
Ｑ＝Ｑ＆Ｒ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① ～（Ｐ＆ Ｑ＆Ｒ））≡（Ｐであって、その上、Ｑ＆Ｒである）といふことはない。
② （～Ｐ∨～（Ｑ＆Ｒ））≡（Ｐでないか、Ｑ＆Ｒでないか、または、その両方である）。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）により、
（06）
① ～（Ｑ＆ Ｒ）≡（Ｑであって、その上、Ｒである）といふことはない。
② （～Ｑ∨～Ｒ）≡（Ｑでないか、Ｒでないか、または、その両方である）。
といふ「論理式・日本語」に於いて、
①＝② である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
① ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）
② （～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）～（07）により、
（08）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）
② （～Ｐ∨～Ｑ）
に於いて、
Ｑ＝Ｑ＆Ｒ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）
② （～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨ ～Ｑ∨～Ｒ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨（～Ｑ∨～Ｒ） ２結合法則
４ （４） ～Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １＆Ｅ
１ ４ （６） ～Ｐ＆Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １６ＲＡＡ
８ （８） （～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
９ （９） ～Ｑ Ａ
１ （ア） Ｑ １＆Ｅ
１ ９ （イ） ～Ｑ＆Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（ Ｐ＆ Ｑ ＆Ｒ） １９ＲＡＡ
エ（エ） ～Ｒ Ａ
１ （オ） Ｒ １＆Ｅ
１ エ（カ） ～Ｒ＆Ｒ エオ＆Ｉ
エ（キ）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １カＲＡＡ
８ （ク）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ８９ウエキ∨Ｅ
２ （ケ）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ３４７８ク∨Ｅ
１２ （コ） （ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）＆
～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １ケ＆Ｉ
１ （サ）～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２コＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ３∨Ｉ
１ ２ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １４＆Ｉ
１ （６） ～～Ｐ ２５ＲＡＡ
１ （７） Ｐ ６ＤＮ
８ （８） ～Ｑ Ａ
８ （９） ～Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
８ （ア） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ８∨Ｉ
１ ８ （イ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １ア＆Ｉ
１ （ウ） ～～Ｑ ８ＲＡＡ
１ （エ） Ｑ ウＤＮ
オ（オ） ～Ｒ Ａ
オ（カ） ～Ｑ∨～Ｒ オ∨Ｉ
オ（キ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ カ∨Ｉ
１ オ（ク） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １オ＆Ｉ
１ （ケ） ～～Ｒ オケＲＡＡ
１ （コ） Ｒ ケＤＮ
１ （サ） Ｐ＆ Ｑ ７エ＆Ｉ
１ （シ） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ コサ＆Ｉ
従って、
（09）により、
（10）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
② ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（10）により、
（11）
① ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）
② ～～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（11）により、
（12）
「二重否定律」により、
① ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）
② （～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（08）（12）により、
（13）
「代入（Substitution）」の「結果」も、
「命題計算（propositional calsulus）」の「結果」も、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
② ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（08）により、 （14）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
② ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
Ｒ＝Ｒ＆Ｓ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ
② ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（01）～（14）により、
（15）
「代入」を「繰り返す」ことによって、
「ド・モルガンの法則」は、「無限個の、要素命題」に於いて、成立する。
（01）
―「含意の定義」の証明。―
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７肯定肯定式
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウク条件去
―「ド・モルガンの法則」の証明。―
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
１２ （ウ） （Ｐ＆～Ｑ）＆
～（Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～（Ｐ＆～Ｑ） ２ウＲＡＡ
（ⅳ）
１ （１） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨ Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ２９＆Ｉ
２ （イ） ～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｐ＆～Ｑ ７イ＆Ｉ
１２ （エ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １ウ＆Ｉ
１ （オ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ２エＲＡＡ
１ （カ） ～Ｐ∨ Ｑ オＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→ Ｑ ≡ Ｐであるならば、Ｑである。
② ～Ｐ∨ Ｑ ≡ Ｐでないか、または、Ｑである。
③ ～Ｐ∨ Ｑ ≡ Ｐでないか、または、Ｑである。
④ ～（Ｐ＆～Ｑ）≡（Ｐであって、Ｑでない。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（02）により、
（03）
「二重否定律」により、
① Ｐ→～Ｑ ≡ Ｐであるならば、Ｑでない。
② ～Ｐ∨～Ｑ ≡ Ｐでないか、または、Ｑでない。
③ ～Ｐ∨～Ｑ ≡ Ｐでないか、または、Ｑでない。
④ ～（Ｐ＆ Ｑ）≡（Ｐであって、Ｑである。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（04）
―「ド・モルガンの法則」の証明。―
（ⅴ）
１ （１） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ３∨Ｉ
１ ２ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １４＆Ｉ
１ （６） ～～Ｐ ２５ＲＡＡ
１ （７） Ｐ ６ＤＮ
８ （８） ～Ｑ Ａ
８ （９） ～Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
８ （ア） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ８∨Ｉ
１ ８ （イ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １ア＆Ｉ
１ （ウ） ～～Ｑ ８ＲＡＡ
１ （エ） Ｑ ウＤＮ
オ（オ） ～Ｒ Ａ
オ（カ） ～Ｑ∨～Ｒ オ∨Ｉ
オ（キ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ カ∨Ｉ
１ オ（ク） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １オ＆Ｉ
１ （ケ） ～～Ｒ オケＲＡＡ
１ （コ） Ｒ ケＤＮ
１ （サ） Ｐ＆ Ｑ ７エ＆Ｉ
１ （シ） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ コサ＆Ｉ
（ⅵ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨ ～Ｑ∨～Ｒ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨（～Ｑ∨～Ｒ） ２結合法則
４ （４） ～Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １＆Ｅ
１ ４ （６） ～Ｐ＆Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １６ＲＡＡ
８ （８） （～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
９ （９） ～Ｑ Ａ
１ （ア） Ｑ １＆Ｅ
１ ９ （イ） ～Ｑ＆Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（ Ｐ＆ Ｑ ＆Ｒ） １９ＲＡＡ
エ（エ） ～Ｒ Ａ
１ （オ） Ｒ １＆Ｅ
１ エ（カ） ～Ｒ＆Ｒ エオ＆Ｉ
エ（キ）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １カＲＡＡ
８ （ク）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ８９ウエキ∨Ｅ
２ （ケ）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ３４７８ク∨Ｅ
１２ （コ） （ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）＆
～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １ケ＆Ｉ
１ （サ）～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２コＲＡＡ
従って、
（04）により、
（05）
⑤ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑥ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
に於いて、
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（05）により、
（06）
「二重否定律」により、
⑤ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
⑥ ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）
に於いて、
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（02）（03）（06）により、
（07）
① Ｐ→ Ｑ ≡ Ｐであるならば、Ｑである。
② ～Ｐ∨ Ｑ ≡ Ｐでないか、または、Ｑである。
③ ～Ｐ∨～Ｑ ≡ Ｐでないか、または、Ｑでない。
④ ～（Ｐ＆ Ｑ） ≡（Ｐであって、Ｑである。）といふことはない。
⑤ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ≡ Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、Ｒでない。
⑥ ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）≡（Ｐであって、Ｑであって、Ｒである。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（08）
｛ａ、ｂ、ｃ｝が｛変域（すべてのｘ）｝であるとして、
① 象は動物である。
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
③（象ａ→動物ａ）＆（象ｂ→動物ｂ）＆（象ｃ→動物ｃ）
④ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（08）により、
（09）
｛ａ、ｂ、ｃ｝が｛変域（すべてのｘ）｝であるとして、
① 象は動物である。ではない。
② ～∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
③ ～｛（象ａ→動物ａ）＆（象ｂ→動物ｂ）＆（象ｃ→動物ｃ）｝
④｛すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。｝といふわけではない。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（10）
１（１）～｛（象ａ→動物ａ）＆ （象ｂ→動物ｂ）＆ （象ｃ→動物ｃ）｝ Ａ
１（２） ～（象ａ→動物ａ）∨ ～（象ｂ→動物ｂ）∨ ～（象ｃ→動物ｃ） １ド・モルガンの法則
１（３）～（～象ａ∨動物ａ）∨～（～象ｂ∨動物ｂ）∨～（～象ｃ∨動物ｃ） ２含意の定義
１（４） （象ａ＆～動物ａ）∨ （象ｂ＆～動物ｂ）∨ （象ｃ＆～動物ｃ） ３ド・モルガンの法則
（10）により、
（11）
③ ～｛（象ａ→ 動物ａ）＆（象ｂ→ 動物ｂ）＆（象ｃ→ 動物ｃ）｝
⑤ （象ａ＆～動物ａ）∨（象ｂ＆～動物ｂ）∨（象ｃ＆～動物ｃ）
に於いて、
③＝⑤ である。
然るに、
（12）
⑤（象ａ＆～動物ａ）∨（象ｂ＆～動物ｂ）∨（象ｃ＆～動物ｃ）
といふことは、
（ⅰ）（象ａ＆～動物ａ）
（ⅱ）（象ｂ＆～動物ｂ）
（ⅲ）（象ｃ＆～動物ｃ）
（ⅳ）（象ａ＆～動物ａ）＆（象ｂ＆～動物ｂ）
（ⅴ）（象ａ＆～動物ａ）＆（象ｃ＆～動物ｃ）
（ⅵ）（象ｂ＆～動物ｂ）＆（象ｃ＆～動物ｃ）
（ⅶ）（象ａ＆～動物ａ）＆（象ｂ＆～動物ｂ）＆（象ｃ＆～動物ｃ）
といふ「７通りの、どれか１つが、真である」といふことに、「等しい」。
然るに、
（13）
｛ａ、ｂ、ｃ｝が｛変域（すべてのｘ）｝であるとして、
（ⅰ）（象ａ＆～動物ａ）
（ⅱ）（象ｂ＆～動物ｂ）
（ⅲ）（象ｃ＆～動物ｃ）
（ⅳ）（象ａ＆～動物ａ）＆（象ｂ＆～動物ｂ）
（ⅴ）（象ａ＆～動物ａ）＆（象ｃ＆～動物ｃ）
（ⅵ）（象ｂ＆～動物ｂ）＆（象ｃ＆～動物ｃ）
（ⅶ）（象ａ＆～動物ａ）＆（象ｂ＆～動物ｂ）＆（象ｃ＆～動物ｃ）
といふ「７通りの、どれか１つが、真である」といふことに、「等しい」。
といふことは、
｛ａ、ｂ、ｃ｝の中に、
⑥ 動物ではない、象がゐる。
といふことに、「等しい」。
然るに、
（14）
⑥ 動物ではない、象がゐる。
⑦ ∃ｘ（象ｘ＆～動物）
⑧ ある（ｘは象であるが、動物ではない）。
に於いて、
⑥＝⑦＝⑧ である。
従って、
（09）（11）（14）により、
（15）
「番号」を付け直すと、
｛ａ、ｂ、ｃ｝が｛変域（すべてのｘ）｝であるとして、
① 象は動物である。ではない。
② 動物ではない、象がゐる。
③ ～∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ）
④ ∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
⑤ ～｛（象ａ→ 動物ａ）＆（象ｂ→ 動物ｂ）＆（象ｃ→ 動物ｃ）｝
⑥ （象ａ＆～動物ａ）∨（象ｂ＆～動物ｂ）∨（象ｃ＆～動物ｃ）
⑦｛すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。｝といふわけではない。
⑧ ある（ｘは象であるが、動物ではない）。
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤＝⑥＝⑦＝⑧ である。
従って、
（15）により、
（16）
「番号」を付け替へると、
① ～∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ）
② ∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（16）により、
（17）
「二重否定律」により、
① ∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ）≡すべての象は、動物である。
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）≡動物でない象は、存在しない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（18）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ） Ａ
２ （２） ∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ） Ａ
１ （３） 象ａ→ 動物ａ １ＵＥ
４（４） 象ａ＆～動物ａ Ａ
４（５） 象ａ ４＆Ｅ
１ ４（６） 動物ａ ３５ＭＰＰ
４（７） ～動物ａ ４＆Ｅ
１ ４（８） 動物ａ＆～動物ａ ６７＆Ｉ
４（９）～∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ） １８ＲＡＡ
２ （ア）～∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ） ２４９ＥＥ
１２ （イ） ∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ）＆
～∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ） １ア＆Ｉ
１ （ウ）～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ） ２イＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ） Ａ
１ （２）∀ｘ～（象ｘ＆～動物ｘ） １量化子の関係
１ （３） ～（象ａ＆～動物ａ） ２ＵＥ
４ （４） 象ａ Ａ
５（５） ～動物ａ Ａ
４５（６） 象ａ＆～動部ａ ４５＆Ｉ
１４５（７） ～（象ａ＆～動物ａ）＆
（象ａ＆～動物ａ） ３６＆Ｉ
１４ （８） ～～動物ａ ５７ＲＡＡ
１４ （９） 動物ａ ８ＤＮ
１ （ア） 象ａ→ 動物ａ ４９ＣＰ
１ （イ） ∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ） アＵＩ
従って、
（18）により、
（19）
「述語計算（Predicate calculus）」自体として、
① ∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ）≡すべての象は、動物である。
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）≡動物でない象は、存在しない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）～（19）により、
（20）
① Ｐ→ Ｑ ≡ Ｐであるならば、Ｑである。
② ～Ｐ∨ Ｑ ≡ Ｐでないか、または、Ｑである。
③ ～Ｐ∨～Ｑ ≡ Ｐでないか、または、Ｑでない。
④ ～（Ｐ＆ Ｑ） ≡（Ｐであって、Ｑである。）といふことはない。
⑤ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ≡ Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、Ｒでない。
⑥ ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）≡（Ｐであって、Ｑであって、Ｒでる。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
といふ「等式(命題論理）」が、成り立つが故に、
① ∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ）≡すべての象は、動物である。
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）≡動物でない象は、存在しない。
に於いて、
①＝② である。
といふ「等式（述語論理）」が、成立する。
（01）
｛ａ、ｂ、ｃ｝が｛変域（すべてのｘ）｝であるならば、
① ∃ｙ（Ｆｘ）
② Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）
② Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ
といふことは、
（ⅰ）Ｆａ
（ⅱ）Ｆｂ
（ⅲ）Ｆｃ
（ⅳ）Ｆａ＆Ｆｂ
（ⅴ）Ｆａ＆Ｆｃ
（ⅵ）Ｆｂ＆Ｆｃ
（ⅶ）Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ
といふ「７通りが、真である」といふことに、「等しい」。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ∃ｙ（Ｆｘ）
といふことは、
① １つ以上のｘが、性質Ｆを持つ。
といふことを、意味してゐる。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３） Ｆａ＆Ｆａ ２＆Ｉ
２（４） ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ） ３ＥＩ
２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） １２５ＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２ （２） ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆（ａ＝ｙ） Ａ
３（３） Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ＝ｂ） Ａ
３（４） Ｆａ＆Ｆｂ ３＆Ｅ
３（５） ａ＝ｂ ３＆Ｅ
３（６） Ｆａ＆Ｆａ ４５＝Ｅ
３（７） Ｆａ ６＆Ｅ
３（８） ∃ｘ（Ｆｘ） ７ＥＩ
２ （９） ∃ｘ（Ｆｘ） ２３８ＥＥ
１ （ア） ∃ｘ（Ｆｘ） １２９ＥＥ
従って、
（04）により、
（05）
① ∃ｘ（Ｆｘ）
② ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） に於いて、
①＝② であることは、「可能」である。
然るに、
（06）
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝
に於いて、
① ではなく、
② であるならば、
② 少なくとも、「相異なる、２つの個体（individuals）が、性質Ｆを、持ってゐる。」
然るに、
（07）
② 少なくとも、「相異なる、２つの個体（individuals）が、性質Ｆを、持ってゐる。」
といふことは、
②「２つ以上の個体（indivisual）が、性質Ｆを、持ってゐる。」
といふことに、他ならない。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝
② ～∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝
といふ「論理式」は、
①「２つ以上の個体（indivisuals）が、性質Ｆを、持ってゐる。」
②「２つ以上の個体（indivisuals）が、性質Ｆを、持ってゐる。」といふことはない。
といふ「意味」になる。
然るに、
（09）
① ～∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝⇔
①「２つ以上の個体（indivisuals）が、性質Ｆを、持ってゐる。」といふことはない。
といふことは、
①「１個未満（１個か０個）の個体が、性質Ｆを、持ってゐる。」
といふ「意味」になる。
然るに、
（10）
（ⅰ）
１（１）～∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝ Ａ
１（２）∀ｘ～∃ｘ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝ １量化子の関係
１（３）∀ｘ∀ｙ～｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝ ２量化子の関係
１（４） ∀ｙ～｛Ｆａ＆Ｆｙ＆（ａ≠ｙ）｝ ３ＵＩ
１（５） ～｛Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）｝ ４ＵＩ
１（６） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ ５ド・モルガンの法則
１（７） Ｆａ＆Ｆｂ→（ａ＝ｂ） ６含意の定義
１（８） ∀ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ→（ａ＝ｙ）｝ ７ＵＩ
１（９） ∀ｘ∀ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ→（ｘ＝ｙ）｝ ８ＵＩ
（ⅱ）
１（１） ∀ｘ∀ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ→（ｘ＝ｙ）｝ Ａ
１（２） ∀ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ→（ａ＝ｙ）｝ １ＵＥ
１（３） Ｆａ＆Ｆｂ→（ａ＝ｂ） ２ＵＥ
１（４） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ ３含意の定義
１（５） ～｛Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）｝ ４ド・モルガンの法則
１（６） ∀ｙ～｛Ｆａ＆Ｆｙ＆（ａ≠ｙ）｝ ５ＵＩ
１（７）∀ｘ∀ｙ～｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝ ６ＵＩ
１（８）∀ｘ～∃ｘ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝ ７量化子の関係
１（９）～∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝ ８量化子の関係
従って、
（10）により、
（11）
① ～∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝
② ∀ｘ∀ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ→（ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
① ～∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝
② ∀ｘ∀ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ→（ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」、すなはち、
① あるｘとあるｙについて｛ｘがＦであって、ｙもＦである際に、ｘとｙが異なる｝といふことはない。
② すべてのｘとｙについて｛ｘがＦであって、ｙもＦであるならば、ｘとｙは「同一」である｝。
といふ「それ」は、
①「１個未満（１個か０個）の個体が、性質Ｆを、持ってゐる。」
②「１個未満（１個か０個）の個体が、性質Ｆを、持ってゐる。」
といふ「意味」になる。
従って、
（03）（12）により、
（13）
① ∃ｙ（Ｆｘ）
② ∀ｘ∀ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ｝
に於いて、
①＆② である、といふことは、
① １個以上のｘが、性質Ｆを持ち、尚且つ、
② １個未満のｘが、性質Ｆを持つ。
といふことに、他ならない。
然るに、
（14）
① １個以上のｘが、性質Ｆを持ち、尚且つ、
② １個未満のｘが、性質Ｆを持つ。
といふことは、
② 唯一のｘが、性質Ｆを持つ。
といふことに、他ならない。
従って、
（13）（14）により、
（15）
① ∃ｙ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ｝
② 唯一のｘが、性質Ｆを持つ。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（16）
（ⅰ）
１ （１）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２）∃ｘＦｘ １＆Ｅ
３ （３） Ｆａ Ａ
１ （４） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １＆Ｅ
１ （５） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ４ＵＥ
１ （６） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５ＵＥ
７（７） Ｆｂ Ａ
３７（８） Ｆａ＆Ｆｂ ３７＆Ｉ
１３７（９） ａ＝ｂ ６８ＭＰＰ
１３ （ア） Ｆｂ→ａ＝ｂ ７９ＣＰ
１３ （イ） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） アＵＩ
１３ （ウ） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３イ＆Ｉ
１３ （エ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ウＥＩ
１ （オ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ２３エＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２ （２） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２ （３） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２ （４） Ｆｂ→ａ＝ｂ ３ＵＥ
５（５） Ｆａ＆Ｆｂ Ａ
５（６） Ｆｂ ５＆Ｅ
２５（７） ａ＝ｂ ４６ＭＰＰ
２ （８） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５７ＣＰ
２ （９） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ８ＵＩ
２ （ア） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） ９ＵＩ
２ （イ）Ｆａ ２＆Ｅ
２ （ウ）∃ｘＦｘ イＥＩ
２ （エ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） アウ＆Ｉ
１ （ウ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １２エＥＥ
従って、
（16）により、
（17）
① ∃ｙ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ｝
② ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（18）
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２（２） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２（３） Ｆａ ２＆Ｅ
２（４） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２（５） Ｆｂ→ａ＝ｂ ４ＵＥ
２（６） ～Ｆｂ∨ａ＝ｂ ５含意の定義
２（７） ａ＝ｂ＆～Ｆｂ ６交換法則
２（８） ～（ａ≠ｂ＆Ｆｂ） ７ド・モルガンの法則
２（９） ∀ｙ～（ａ≠ｙ＆Ｆｙ） ８ＵＩ
２（ア） ～∃ｙ（ａ≠ｙ＆Ｆｙ） ９量化子の関係
２（イ） Ｆａ＆～∃ｙ（ａ≠ｙ＆Ｆｙ） ３ア＆Ｉ
２（ウ）∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝ イＥＩ
１ （エ）∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝ １２ウＥＥ
（ⅲ）
１ （１）∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝ Ａ
２（２） Ｆａ＆～∃ｙ（ａ≠ｙ＆Ｆｙ） Ａ
２（３） Ｆａ ２＆Ｅ
２（４） ～∃ｙ（ａ≠ｙ＆Ｆｙ） ２＆Ｅ
２（５） ∀ｙ～（ａ≠ｙ＆Ｆｙ） ４量化子の関係
２（６） ～（ａ≠ｂ＆Ｆｂ） ５ＵＥ
２（７） ａ＝ｂ∨～Ｆｂ ６ド・モルガンの法則
２（８） ～Ｆｂ∨ａ＝ｂ ７交換法則
２（９） Ｆｂ→ａ＝ｂ ８含意の定義
２（ア） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ９ＵＩ
２（イ） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３ア＆Ｉ
２（ウ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ イＥＩ
１ （エ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ １２ウＥＥ
従って、
（18）により、
（19）
② ∃ｘ｛Ｆｘ＆ ∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
③ ∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（15）～（19）により、
（20）
① ∃ｙ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ｝
② ∃ｘ｛Ｆｘ＆ ∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
③ ∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝
④ 唯一のｘが、性質Ｆを持つ。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（21）
それ故、正確に１つものがＦをもつと言うことは、次のように言うことである。
① ∃ｙ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ｝
さて、
① は実はより短くすっきりとしたつぎの式と相互に導出可能なのである。
② ∃ｘ｛Ｆｘ＆ ∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
②は、あるものがＦをもち、そして任意のＦをもつものはまさにそのものにほかならない、ということを主張する。
正確に１つのものがＦをもつということの、いまひとつの言いかたである。しかるに、まだもっと明瞭であるかも知れない、第３の同値の式がある。すなわち、
③ ∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝
― Ｆをもつものが存在し、そして他のいかなるものもＦをもつということはない。
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２１１・２１２頁改）
従って、
（20）（21）により、
（22）
① ∃ｙ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ｝
② ∃ｘ｛Ｆｘ＆ ∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
③ ∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝
④ 唯一のｘが、性質Ｆを持つ。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
といふ風に、Ｅ.Ｊ.レモンも、言ってゐる。
従って、
（20）（21）（22）により、
（23）
① ∃ｙ（Ｉｘ＆Ｏｘ）＆∀ｘ∀ｙ｛Ｉｘ＆Ｏｘ＆Ｉｙ＆Ｏｙ→ｘ＝ｙ｝
② ∃ｘ｛Ｉｘ＆Ｏｘ＆ ∀ｙ（Ｉｙ→ｘ＝ｙ）｝
③ ∃ｘ｛Ｉｘ＆Ｏｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｉｙ）｝
④ 唯一のｘだけが、性質Ｉと性質Ｏとを、併せ持つ
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（24）
（α）イリアスの著者はオデュッセイアを書いた。故にある人はイリアスとオデュッセイアの両方を書いた。
（α）The author of the Iliad wrote the odyssey; therefore someone wrote both Iliad and the odyssey.
「イリアスの著者」を固有名詞として扱い、それをたとえば、ｍによって表わすならば、論証の健全性がでてくることはない。
If we treat "the author of Iliad" as a proper name, and present it by "m", say, the soundness of the argument does not emerge.
― 中略 ―、
（β）∃ｘ｛Iｘ＆Ｏｘ＆∀ｙ（Ｉｙ→ｘ＝ｙ）｝
（β）ある人はイリアスを書いた。そしてオデュッセイアを書いた、そしてさらにその人はイリアスを書いた唯一の人である。
（β）someone wrote Iliad, and wrote the odyssey, and further that person is unique in having written the Iliad;
― 中略 ―、
The treatment of definite description in（β）is of considerable importance in logical analysis; due to Russell, it has come to be known as Russell's theory of definite description.
（β）における確定記述の取り扱いは、論理分析において無視できぬ重要さをもつ。それはラッセルに由来するものなので、ラッセルの確定記述の理論として知られるに到っている。
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２１３・２１４頁改）
従って、
（23）（24）により、
（25）
② ∃ｘ｛Ｉｘ＆Ｏｘ＆∀ｙ（Ｉｙ→ｘ＝ｙ）｝⇔
② ある人はイリアスを書いた。そしてオデュッセイアを書いた、そしてさらにその人はイリアスを書いた唯一の人である。⇔
② あるｘについて｛ｘは、イリアスの著者であって、オデュッセイアであって、すべてのｙについて（ｙがイリアスの著者であるならば、ｘとｙは「同一」である｝。
における確定記述の取り扱いは、論理分析において無視できぬ重要さをもつ。それはラッセルに由来するものなので、ラッセルの確定記述の理論として知られるに到っている。
従って、
（01）～（25）により、
（26）
論理分析において無視できぬ重要さをもつ所の「ラッセルの確定記述の理論（Russell's theory of definite description）」を、「真に理解する」ためには、例へば、
（ⅰ）
１ （１）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２）∃ｘＦｘ １＆Ｅ
３ （３） Ｆａ Ａ
１ （４） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １＆Ｅ
１ （５） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ４ＵＥ
１ （６） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５ＵＥ
７（７） Ｆｂ Ａ
３７（８） Ｆａ＆Ｆｂ ３７＆Ｉ
１３７（９） ａ＝ｂ ６８ＭＰＰ
１３ （ア） Ｆｂ→ａ＝ｂ ７９ＣＰ
１３ （イ） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） アＵＩ
１３ （ウ） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３イ＆Ｉ
１３ （エ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ウＥＩ
１ （オ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ２３エＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２ （２） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２ （３） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２ （４） Ｆｂ→ａ＝ｂ ３ＵＥ
５（５） Ｆａ＆Ｆｂ Ａ
５（６） Ｆｂ ５＆Ｅ
２５（７） ａ＝ｂ ４６ＭＰＰ
２ （８） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５７ＣＰ
２ （９） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ８ＵＩ
２ （ア） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） ９ＵＩ
２ （イ）Ｆａ ２＆Ｅ
２ （ウ）∃ｘＦｘ イＥＩ
２ （エ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） アウ＆Ｉ
１ （ウ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １２エＥＥ
といふ「計算（Predicate calculus）」を、自分で、出来るように、ならなければ、ならないものの、「以上の計算の仕組み」を「理解」することは、おそらくは、それなりに、難しい。
然るに、
（27）
1919年、ウィトゲンシュタインは収容所からラッセルに書き送った手紙で『論考』の概略を伝える[注 12]。ラッセルはその重要性に気づき、収容所へ面会に行かなければならないと思ったが、そもそもラッセル自身が反戦運動により刑務所に投獄されていた。しかし、当時パリ講和会議のイギリス代表で各国政府機関に顔の利いたケインズの尽力で得た特権により、原稿はラッセルやフレーゲの元へ届けられた。そして8月21日、ウィトゲンシュタインはようやく釈放される（ウィキペディア）。
然るに、
（28）
（ウィトゲンシュタインの哲学の）前期というのは、濃厚に、「当時の記号論理学の成果」を前提にしていて、それをもとに、展開されといるので、それ自体がこう「非常に、参入障壁」というか、「その最初の、高すぎる壁」になってしまうわけですね（ユーチューブ：はじめてのウィトゲンシュタイン - 一生役立つ哲学入門）。
との、ことであるが、『述語論理』を理解しなければ、『ウィトゲンシュタイン』を理解できないか、どうかは、私は、知らない。
（01）
｛ａ、ｂ、ｃ｝は、「個体（individuals）」であるとして、
ａ≠ｂ
ａ≠ｃ
ｂ≠ｃ
であるならば、
｛ａ、ｂ、ｃ｝は、「３個の個体からなる、集合」である。
然るに、
（02）
｛ａ、ｂ、ｃ｝は、「個体（individuals）」であるとして、
ａ＝ａ
ｂ＝ａ
ｃ＝ａ
であるならば、
｛ａ、ｂ、ｃ｝は、
｛ａ、ａ、ａ｝に、「等しい」。
然るに、
（03）
「冪等律（Idempotent）」により、
｛ａ、ａ、ａ｝は、
｛ａ｝ に、「等しい」。
従って、
（02）（03）により、
（04）
｛ａ、ｂ、ｃ｝は、「個体（individuals）」であるとして、
ａ＝ａ
ｂ＝ａ
ｃ＝ａ
であるならば、
｛ａ、ｂ、ｃ｝は、すなはち、
｛ａ｝ といふ「１個の個体からなる、集合」である。
従って、
（04）により、
（05）
① ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝⇔
① あるｘについて｛ｘはＦであり、すべてのｙについて（ｙがＦであるならば、ｘ＝ｙである）｝。
といふのであれば、この場合は、
①「１個の個体だけが、性質Ｆを持ってゐる。」
然るに、
（06）
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２（２） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２（３） Ｆａ ２＆Ｅ
２（４） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２（５） Ｆｂ→ａ＝ｂ ４ＵＥ
２（６） ～Ｆｂ∨ａ＝ｂ ５含意の定義
２（７） ａ＝ｂ＆～Ｆｂ ６交換法則
２（８） ～（ａ≠ｂ＆Ｆｂ） ７ド・モルガンの法則
２（９） ∀ｙ～（ａ≠ｙ＆Ｆｙ） ８ＵＩ
２（ア） ～∃ｙ（ａ≠ｙ＆Ｆｙ） ９量化子の関係
２（イ） Ｆａ＆～∃ｙ（ａ≠ｙ＆Ｆｙ） ３ア＆Ｉ
２（ウ）∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝ イＥＩ
１ （エ）∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝ １２ウＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝ Ａ
２（２） Ｆａ＆～∃ｙ（ａ≠ｙ＆Ｆｙ） Ａ
２（３） Ｆａ ２＆Ｅ
２（４） ～∃ｙ（ａ≠ｙ＆Ｆｙ） ２＆Ｅ
２（５） ∀ｙ～（ａ≠ｙ＆Ｆｙ） ４量化子の関係
２（６） ～（ａ≠ｂ＆Ｆｂ） ５ＵＥ
２（７） ａ＝ｂ∨～Ｆｂ ６ド・モルガンの法則
２（８） ～Ｆｂ∨ａ＝ｂ ７交換法則
２（９） Ｆｂ→ａ＝ｂ ８含意の定義
２（ア） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ９ＵＩ
２（イ） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３ア＆Ｉ
２（ウ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ イＥＩ
１ （エ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ １２ウＥＥ
従って、
（06）により、
（07）
① ∃ｘ｛Ｆｘ＆ ∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
② ∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝⇔
② あるｘは｛Ｆであり、（ｘ以外に、Ｆであるｙ）は存在しない｝。
といふのであれば、この場合も、
②「１個の個体だけが、性質Ｆを持ってゐる。」
従って、
（05）（08）により、
（09）
① ∃ｘ｛Ｆｘ＆ ∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝
といふ「述語論理式」は、
①「１個の個体だけが、性質Ｆを持ってゐる。」
②「１個の個体だけが、性質Ｆを持ってゐる。」
といふ「意味」である。
従って、
（10）
① ∃ｘ｛ヒトラーｘ＆我が闘争ｘ＆ ∀ｙ（我が闘争ｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘ｛ヒトラーｘ＆我が闘争ｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆我が闘争ｙ）｝
といふ「述語論理式」は、
①「性質（ヒトラーといふ名である）を持ってゐる１個の個体だけが、性質（我が闘争の著者である）を持ってゐる。」
①「性質（ヒトラーといふ名である）を持ってゐる１個の個体だけが、性質（我が闘争の著者である）を持ってゐる。」
といふ「意味」である。
然るに、
（11）
問題５.
「ラッセルの確定記述の理論」を用いて、つぎの論証の健全性を確立せよ。
（ａ）マイン・カンプの著者は１９４５年に死んだ。ヒトラーはマイン・カンプを書いた。故にヒトラーは１９４５年に死んだ。
（ａ）The author of Mine Kamp died in 1945. Hitler wrote Mine Kamp. Hitler therefore died in 1945.
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２１５頁改）
〔私による解答〕
１ （１）∃ｘ（我が闘争ｘ＆４５年死ｘ） Ａ
２ （２） 我が闘争ａ＆４５年死ａ Ａ
３ （３）∃ｙ｛ヒトラーｙ＆我が闘争ｙ＆∀ｘ（我が闘争ｘ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
４（４） ヒトラーｂ＆我が闘争ｂ＆∀ｘ（我が闘争ｘ→ｘ＝ｂ） Ａ
４（５） ∀ｘ（我が闘争ｘ→ｘ＝ｂ） ４＆Ｅ
４（６） 我が闘争ａ→ａ＝ｂ ５ＵＥ
２ （７） 我が闘争ａ ２＆Ｅ
２ ４（８） ａ＝ｂ ６７ＭＰＰ
４（９） ヒトラーｂ ４＆Ｅ
２ ４（ア） ヒトラーａ ８９＝Ｅ
２ （イ） ４５年死ａ ２＆Ｅ
２ ４（ウ） ヒトラーａ＆４５年死ａ アイ＆Ｉ
２ ４（エ）∃ｘ（ヒトラーｘ＆４５年死ｘ） ウＥＩ
２３ （オ）∃ｘ（ヒトラーｘ＆４５年死ｘ） ３４エＥＥ
１ ３ （カ）∃ｘ（ヒトラーｘ＆４５年死ｘ） １２オＥＥ
１ ３ （〃）あるｘはヒトラーであって１９４５年に死んだ。 １２オＥＥ
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
①「性質（ヒトラーといふ名である）を持ってゐる１個の個体だけが、性質（我が闘争の著者である）を持ってゐる。」
①「性質（ヒトラーといふ名である）を持ってゐる１個の個体だけが、性質（我が闘争の著者である）を持ってゐる。」
といふ「意味」であるところ、
① ∃ｘ｛ヒトラーｘ＆我が闘争ｘ＆ ∀ｙ（我が闘争ｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘ｛ヒトラーｘ＆我が闘争ｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆我が闘争ｙ）｝
といふ「論理式」は、「ラッセルの確定記述の理論」に基づくところの、「論理式」である。
然るに、
（13）
仮に、「我が闘争（Mine Kamp）」が、「ヒトラーと、他の誰かによる、共著」であったとしたら、
（ａ）The author of Mine Kamp ではなく、
（ａ）The authors of Mine Kamp となると「同時」に、
① ∃ｘ｛ヒトラーｘ＆我が闘争ｘ＆ ∀ｙ（我が闘争ｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘ｛ヒトラーｘ＆我が闘争ｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆我が闘争ｙ）｝
でなければ、ならない。
然るに、
（14）
定冠詞（the）は、それが厳密に用いられるときには、一意性を内含している。確かに、しかじかのひと（So-and-so）がいく人かの息子をもっている場合でさえ、the son of So-and-so という表現を使用するが、本当はその場合には、a son of So-and-so という方がより正しいといえよう。それゆえわれわれの目的のためには、the は一意性を内含しているものと考えていく（頸草書房、現代哲学基本論文集Ⅰ、バートランド・ラッセル、指示について、1986年、５３頁）。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
（ａ）The author of Mine Kamp
がそうであるやうに、
（ａ）The（定冠詞）＋名詞（単数）
でなければ、
① ∃ｘ｛ヒトラーｘ＆我が闘争ｘ＆ ∀ｙ（我が闘争ｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘ｛ヒトラーｘ＆我が闘争ｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆我が闘争ｙ）｝
といふ「論理式」、すなはち、「ラッセルの確定記述の理論」に基づくところの、「論理式」は、成立しない。
然るに、
（01）
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２（２） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２（３） Ｆａ ２＆Ｅ
２（４） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２（５） Ｆｂ→ａ＝ｂ ４ＵＥ
２（６） ～Ｆｂ∨ａ＝ｂ ５含意の定義
２（７） ａ＝ｂ＆～Ｆｂ ６交換法則
２（８） ～（ａ≠ｂ＆Ｆｂ） ７ド・モルガンの法則
２（９） ∀ｙ～（ａ≠ｙ＆Ｆｙ） ８ＵＩ
２（ア） ～∃ｙ（ａ≠ｙ＆Ｆｙ） ９量化子の関係
２（イ） Ｆａ＆～∃ｙ（ａ≠ｙ＆Ｆｙ） ３ア＆Ｉ
２（ウ）∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝ イＥＩ
１ （エ）∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝ １２ウＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝ Ａ
２（２） Ｆａ＆～∃ｙ（ａ≠ｙ＆Ｆｙ） Ａ
２（３） Ｆａ ２＆Ｅ
２（４） ～∃ｙ（ａ≠ｙ＆Ｆｙ） ２＆Ｅ
２（５） ∀ｙ～（ａ≠ｙ＆Ｆｙ） ４量化子の関係
２（６） ～（ａ≠ｂ＆Ｆｂ） ５ＵＥ
２（７） ａ＝ｂ∨～Ｆｂ ６ド・モルガンの法則
２（８） ～Ｆｂ∨ａ＝ｂ ７交換法則
２（９） Ｆｂ→ａ＝ｂ ８含意の定義
２（ア） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ９ＵＩ
２（イ） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３ア＆Ｉ
２（ウ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ イＥＩ
１ （エ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ １２ウＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
① ∃ｘ｛Ｆｘ＆ ∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
① あるｘについて｛ｘはＦであり、すべてのｙについて（ｙがＦならば、ｘはｙに等しい）｝。
② あるｘについて｛ｘはＦであり、（ｘ以外に、Ｆであるｙ）は存在しない｝。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
Ｆ＝偶数の素数である。
とするならば、
① あるｘについて｛ｘは偶素数であり、すべてのｙについて（ｙが偶素数ならば、ｘはｙに等しい）｝。
② あるｘについて｛ｘは偶素数であり、（ｘ以外に、偶素数であるｙ）は存在しない｝。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
① ある数２について｛２は偶素数であり、すべてのｙについて（ｙが偶素数ならば、２はｙに等しい）｝。
② ある数２について｛２は偶素数であり、（２以外に、偶素数であるｙ）は存在しない｝。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① ∃ｘ｛Ｆｘ＆ ∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝
といふ「述語論理式」は、両方とも、
① ある、唯一のｘは、Ｆであり、ｘ以外にＦは、存在しない。
② ある、唯一のｘは、Ｆであり、ｘ以外にＦは、存在しない。
といふ「意味」になる。
従って、
（06）により、
（07）
① ∃ｘ｛Iｘ＆Ｏｘ＆ ∀ｙ（Ｉｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘ｛Iｘ＆Ｏｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｉｙ）｝
といふ「述語論理式」は、両方とも、
① ある、唯一のｘは、Ｉであり、Ｏであり、ｘ以外にＩは、存在しない。
② ある、唯一のｘは、Ｉであり、Ｏであり、ｘ以外にＩは、存在しない。
といふ「意味」になる。
然るに、
（08）
（21）イリアスの著者はオデュッセイアを書いた。故にある人はイリアスとオデュッセイアの両方を書いた。
（21）The author of the Iliad wrote the odyssey; therefore someone wrote both Iliad and the odyssey.
― 中略 ―、
（22）∃ｘ｛Iｘ＆Ｏｘ＆∀ｙ（Ｉｙ→ｘ＝ｙ）｝
ある人はイリアスを書いた。そしてオデュッセイアを書いた、そしてさらにその人はイリアスを書いた唯一の人である。
someone wrote the Iliad, and wrote the odyssey, and further that person is unique in having written the Iliad;
― 中略 ―、
The treatment of definite description in（22）is of considerable importance in logical analysis; due to Russell, it has come to be known as Russell's theory of definite description.
（22）における確定記述の取り扱いは、論理分析において無視できぬ重要さをもつ。それはラッセルに由来するものなので、ラッセルの確定記述の理論として知られるに到っている。
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２１３・２１４頁改）
従って、
（07）（08）
（09）
① ∃ｘ｛Iｘ＆Ｏｘ＆ ∀ｙ（Ｉｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘ｛Iｘ＆Ｏｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｉｙ）｝
における確定記述の取り扱いは、論理分析において無視できぬ重要さをもつ。それはラッセルに由来するものなので、ラッセルの確定記述の理論として知られるに到っている。
然るに、
（10）
問題５.
ラッセルの確定記述の理論を用いて、つぎの論証の健全性を確立せよ。
（ａ）マイン・カンプの著者は１９４５年に死んだ。ヒトラーがマイン・カンプを書いた。故にヒトラーは１９４５年に死んだ。
（ａ）The author of Mine Kamp died in 1945. Hitler wrote Mine Kamp. Hitler therefore died in 1945.
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２１５頁改）
〔私による解答〕
１ （１）∃ｘ（我が闘争ｘ＆４５年死ｘ） Ａ
２ （２） 我が闘争ａ＆４５年死ａ Ａ
３ （３）∃ｙ｛ヒトラーｙ＆我が闘争ｙ＆∀ｘ（我が闘争ｘ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
４（４） ヒトラーｂ＆我が闘争ｂ＆∀ｘ（我が闘争ｘ→ｘ＝ｂ） Ａ
４（５） ∀ｘ（我が闘争ｘ→ｘ＝ｂ） ４＆Ｅ
４（６） 我が闘争ａ→ａ＝ｂ ５ＵＥ
２ （７） 我が闘争ａ ２＆Ｅ
２ ４（８） ａ＝ｂ ６７ＭＰＰ
４（９） ヒトラーｂ ４＆Ｅ
２ ４（ア） ヒトラーａ ８９＝Ｅ
２ （イ） ４５年死ａ ２＆Ｅ
２ ４（ウ） ヒトラーａ＆４５年死ａ アイ＆Ｉ
２ ４（エ）∃ｘ（ヒトラーｘ＆４５年死ｘ） ウＥＩ
２３ （オ）∃ｘ（ヒトラーｘ＆４５年死ｘ） ３４エＥＥ
１ ３ （カ）∃ｘ（ヒトラーｘ＆４５年死ｘ） １２オＥＥ
１ ３ （〃）あるｘはヒトラーであって１９４５年に死んだ。 １２オＥＥ
然るに、
（11）
定冠詞（the）は、それが厳密に用いられるときには、一意性を内含している。確かに、しかじかのひと（So-and-so）がいく人かの息子をもっている場合でさえ、the son of So-and-so という表現を使用するが、本当はその場合には、a son of So-and-so という方がより正しいといえよう。それゆえわれわれの目的のためには、the は一意性を内含しているものと考えていく（頸草書房、現代哲学基本論文集Ⅰ、バートランド・ラッセル、指示について、1986年、５３頁）。
従って、
（10）（11）により、
（12）
（ａ）The author of Mine Kamp died in 1945. Hitler wrote Mine Kamp.
といふことは、
（ａ）マイン・カンプの唯一の著者が、マイン・カンプを書いたことになる。
（01）
（21）イリアスの著者はオデュッセイアを書いた。故にある人はイリアスとオデュッセイアの両方を書いた。
（21）The author of the Iliad wrote the odyssey; therefore someone wrote both Iliad and the odyssey.
― 中略 ―、
（22）∃ｙ［Iｙ＆Ｏｙ＆∀ｚ（Ｉｚ→ｙ＝ｚ）］
ある人はイリアスを書いた。そしてオデュッセイアを書いた、そしてさらにその人はイリアスを書いた唯一の人である。
someone wrote the Iliad, and wrote the odyssey, and further that person is unique in having written the Iliad;
― 中略 ―、
The treatment of definite description in（22）is of considerable importance in logical analysis; due to Russell, it has come to be known as Russell's theory of definite description.
（22）における確定記述の取り扱いは、論理分析において無視できぬ重要さをもつ。それはラッセルに由来するものなので、ラッセルの確定記述の理論として知られるに到っている。
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２１３・２１４頁改）
従って、
（01）により、
（02）
① ∃ｙ［Iｙ＆Ｏｙ＆∀ｚ（Ｉｚ→ｙ＝ｚ）］
といふ「論理式」は、
① イリアスの著者以外に、オデュッセイアの著者はゐない。
といふ「意味」である。
然るに、
（03）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されるのである。
従って、
（04）
① 私が理事長です。
② 理事長は私です。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
（ⅱ）
１ （１）理事長であるならば、私である。 仮定
２ （２） 私でない。 仮定
３（３）理事長である。 仮定
１ ３（４） 私である。 １３肯定肯定式
１２３（５）私でないが、私である。 ２４連言導入
１２ （６）理事長でない。 ３５背理法
１ （７）私でないならば、理事長ではない。 ２６条件法
（ⅲ）
１ （１）私でないならば、理事長ではない。 仮定
２ （２） 理事長である。 仮定
３（３）私でない。 仮定
１ ３（４） 理事長でない。 １３肯定肯定式
１２３（５）理事長であるが、理事長でない。 ２４連言導入
１２ （６）私でない、ではない。 ３５背理法
１２ （７）私である。 ６二重否定
１ （８）理事長であるならば、私である。 ２７条件法
従って、
（05）により、
（06）
② 理事長であるならば、私である。
③ 私でないならば、理事長ではない。
に於いて、
②＝③ は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（06）により、
（07）
② 理事長は私である。
③ 私以外は理事長ではない。
に於いて、
②＝③ は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（04）（07）により、
（08）
① 私が理事長です。
② 理事長は私です。
③ 私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（08）により、
（09）
① イリアスの著者がオデュッセイアの著者です。
② オデュッセイアの著者はイリアスの著者です。
③ イリアスの著者以外はオデュッセイアの著者ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（02）（09）により、
（10）
「番号」を付け直すと、
① ∃ｙ［Iｙ＆Ｏｙ＆∀ｚ（Ｉｚ→ｙ＝ｚ）］
② イリアスの著者がオデュッセイアの著者です。
③ オデュッセイアの著者はイリアスの著者です。
④イリアスの著者以外はオデュッセイアの著者ではない。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（08）（10）により、
（11）
① ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙ＆∀ｚ（理事長ｚ→ｙ＝ｚ）］
② 私が理事長です。
③ 理事長は私です。
④ 私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（01）（10）（11）により、
（12）
① ∃ｙ［Iｙ＆Ｏｙ＆∀ｚ（Ｉｚ→ｙ＝ｚ）］≡イリアスの著者がオデュッセイアの著者です。
① ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙ＆∀ｚ（理事長ｚ→ｙ＝ｚ）］≡私が理事長です。
といふ「述語論理式（と日本語）」は、
論理分析において無視できぬ重要さをもつ。それはラッセルに由来するものなので、ラッセルの確定記述の理論として知られるに到っている。
are of considerable importance in logical analysis; due to Russell, it has come to be known as Russell's theory of definite description.
然るに、
（13）
然るに、
（11）
（ⅰ）私はタゴール記念会の理事長であって、私以外に、タゴール記念会の理事長はゐない。然るに、
（ⅱ）小倉氏は、私ではない。従って、
（ⅲ）タゴール記念会は、小倉氏は、理事長ではない。
といふ「推論」は、明らかに、「妥当」である。
然るに、
（14）
１ （１）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝ Ａ
１ （２） Ｔ会の会員ａ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） Ｔ会の会員ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］ ２３ＭＰＰ
５ （５） 私ｂ＆理事長ｂａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ） Ａ
５ （６） 私ｂ＆理事長ｂａ ５＆Ｅ
５ （７） ∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ） ５＆Ｅ
５ （８） 理事長ｃａ→ｂ＝ｃ ７ＵＥ
９ （９） ∃ｚ（小倉ｚ＆～私ｚ） Ａ
ア （ア） 小倉ｃ＆～私ｃ Ａ
ア （イ） 小倉ｃ ア＆Ｅ
ア （ウ） ～私ｃ ア＆Ｅ
エ（エ） ｂ＝ｃ Ａ
アエ（オ） ～私ｂ ウエ＝Ｅ
５ （カ） 私ｂ ６＆Ｅ
５ アエ（キ） ～私ｂ＆私ｂ オカ＆Ｉ
５ ア （ク） ｂ≠ｃ エキＲＡＡ
５ ア （ケ） ～理事長ｃａ ８クＭＴＴ
５ ア （コ） 小倉ｃ＆～理事長ｃａ イケ＆Ｉ
５ ア （サ） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） コＥＩ
５９ （シ） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ９アサＥＥ
１３ ９ （ス） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ４５シＥＥ
１ ９ （セ） Ｔ会の会員ａ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ３スＣＰ
１ ９ （ソ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚｘ）｝ セＵＩ
１ ９ （〃）タゴール記念会は、小倉氏は、理事長ではない。 セＵＩ
従って、
（14）により、
（15）
（ⅰ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝。然るに、
（ⅱ）∃ｚ（小倉ｚ＆～私ｚ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚｘ）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（15）により、
（16）
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは［私であって、理事長であって、すべてのｚについて（ｚがｘの理事長であるならば、ｙとｚは「同一人物」である）］｝。
（ⅱ）あるｚは（小倉氏であって、ｚは私ではない）。
（ⅲ）すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｚは（小倉氏であって、ｚはｘの理事長ではない）｝。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（12）～（16）により、
（17）
① タゴール記念会は、私が理事長です。⇔
① タゴール記念会は、私は理事長であり、私以外は理事長ではない。⇔
① ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは［私であって、理事長であって、すべてのｚについて（ｚがｘの理事長であるならば、ｙとｚは「同一人物」である）］｝。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（12）（17）により、
（18）
① タゴール記念会は、私が理事長です。⇔
① ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝。
に於ける、
① 私が理事長です。⇔
① ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］。
といふ「日本語（命題関数）」は、「ラッセルの確定記述（Russell's theory of definite description）」に、相当する。
（19）
簡単に言うと、「論理式（well-formed formula）」かそのはじめにある量記号を除去した結果えられる式は「命題関数（Propositional function）」である。
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１８２頁改）
従って、
（19）により、
（20）
① ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］
② ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙ ＆∀ｚ（理事長ｚ →ｙ＝ｚ）］
③ ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
に於いて、
① は、「（ｘに関する）命題関数」であって、
② は、「論理式」であって、
③ も、「論理式」である。
（01）
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（02）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されるのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（02）により、
（03）
三上章先生自身が、指摘してゐる通り、
① 私が理事長です。
② 理事長は私です。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
（ⅱ）
１ （１）理事長であるならば、私である。 仮定
２ （２） 私でない。 仮定
３（３）理事長である。 仮定
１ ３（４） 私である。 １３肯定肯定式
１２３（５）私でないが、私である。 ２４連言導入
１２ （６）理事長でない。 ３５背理法
１ （７）私でないならば、理事長ではない。 ２６条件法
（ⅲ）
１ （１）私でないならば、理事長ではない。 仮定
２ （２） 理事長である。 仮定
３（３）私でない。 仮定
１ ３（４） 理事長でない。 １３肯定肯定式
１２３（５）理事長であるが、理事長でない。 ２４連言導入
１２ （６）私でない、ではない。 ３５背理法
１２ （７）私である。 ６二重否定
１ （８）理事長であるならば、私である。 ２７条件法
従って、
（04）により、
（05）
② 理事長であるならば、私である。
③ 私でないならば、理事長ではない。
に於いて、
②＝③ は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（05）により、
（06）
② 理事長は私である。
③ 私以外は理事長ではない。
に於いて、
②＝③ は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（03）（06）により、
（07）
① 私が理事長です。
② 理事長は私です。
③ 私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（08）
② 理事長は私です。
③ 私以外は理事長ではない。
といふのであれば、
④ 私は理事長である。
である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① 私が理事長です。
② 私は理事長であり、理事長は私です。
③ 私は理事長であり、私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（09）により、
（10）
① タゴール記念会は、私が理事長です。
② タゴール記念会は、私は理事長であり、理事長は私です。
③ タゴール記念会は、私は理事長であり、私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（11）
（ⅰ）私はタゴール記念会の理事長であって、私以外に、タゴール記念会の理事長はゐない。然るに、
（ⅱ）小倉氏は、私ではない。従って、
（ⅲ）タゴール記念会は、小倉氏は、理事長ではない。
といふ「推論」は、明らかに、「妥当」である。
然るに、
（12）
１ （１）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝ Ａ
１ （２） Ｔ会の会員ａ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） Ｔ会の会員ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］ ２３ＭＰＰ
５ （５） 私ｂ＆理事長ｂａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ） Ａ
５ （６） 私ｂ＆理事長ｂａ ５＆Ｅ
５ （７） ∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ） ５＆Ｅ
５ （８） 理事長ｃａ→ｂ＝ｃ ７ＵＥ
９ （９） ∃ｚ（小倉ｚ＆～私ｚ） Ａ
ア （ア） 小倉ｃ＆～私ｃ Ａ
ア （イ） 小倉ｃ ア＆Ｅ
ア （ウ） ～私ｃ ア＆Ｅ
エ（エ） ｂ＝ｃ Ａ
アエ（オ） ～私ｂ ウエ＝Ｅ
５ （カ） 私ｂ ６＆Ｅ
５ アエ（キ） ～私ｂ＆私ｂ オカ＆Ｉ
５ ア （ク） ｂ≠ｃ エキＲＡＡ
５ ア （ケ） ～理事長ｃａ ８クＭＴＴ
５ ア （コ） 小倉ｃ＆～理事長ｃａ イケ＆Ｉ
５ ア （サ） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） コＥＩ
５９ （シ） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ９アサＥＥ
１３ ９ （ス） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ４５シＥＥ
１ ９ （セ） Ｔ会の会員ａ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ３スＣＰ
１ ９ （ソ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚｘ）｝ セＵＩ
１ ９ （〃）タゴール記念会は、小倉氏は、理事長ではない。 セＵＩ
従って、
（12）により、
（13）
（ⅰ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝。然るに、
（ⅱ）∃ｚ（小倉ｚ＆～私ｚ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚｘ）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（13）により、
（14）
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは［私であって、ｘの理事長であって、すべてのｚについて（ｚがｘの理事長であるならば、ｙとｚは「同一人物」である）］｝。
（ⅱ）あるｚは（小倉氏であって、ｚは私ではない）。
（ⅲ）すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｚは（小倉氏であって、ｚはｘの理事長ではない）｝。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（10）～（14）により、
（15）
① タゴール記念会は、私が理事長です。⇔
① タゴール記念会は、私は理事長であり、私以外は理事長ではない。⇔
① ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは［私であって、ｘの理事長であって、すべてのｚについて（ｚがｘの理事長であるならば、ｙとｚは「同一人物」である）］｝。
といふ「等式」が、成立する。
ｃｆ.
① ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］は、「（ｘに関する）命題関数」。
② ∃ｙ［イリアスの著者ｙ＆オデュッセイアの著者ｙ＆∀ｚ（イリアスの著者ｚ→ｙ＝ｚ）］は、「述語論理式」。
The treatment of definite description in ② is of considerable importance in logical analysis; due to Russell, it has come to be known as Russell's theory of definite description.
② における確定記述の取り扱いは、論理分析において無視できぬ重要さをもつ。それはラッセルに由来するものなので、ラッセルの確定記述の理論として知られるに到っている （Ｅ.Ｊ.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２１４頁改）。
然るに、
（16）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに
（ⅱ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（17）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （エ） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ） ア＆Ｅ
オ（オ） 長ｂ＆耳ｂａ Ａ
オ（カ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６ （キ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ク） 耳ｂａ→～鼻ｂａ キＵＥ
２ ６ オ（ケ） ～鼻ｂａ カクＭＰＰ
１ ６ （コ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア＆Ｅ
１ ６ （サ） ～鼻ｂａ→～長ｂ コＵＥ
１２ ６ オ（シ） ～長ｂ ケサＭＰＰ
オ（ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６ オ（セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ エオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
従って、
（17）により、
（18）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（18）により、
（19）
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。 然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙは長くて、ｘの耳であり、すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻
ではない｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。）
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（16）～（19）により、
（20）
② 象は鼻が長い。⇔
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（21）
（ⅰ）鼻は象が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻は、長くない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（22）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆長ａ→～鼻ａｙ）｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ） Ａ（代表的選言項）
３ （４） ～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ ３＆Ｅ
５ （５）∀ｙ｛兎ｙ→～象ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝ Ａ
５ （６） 兎ｂ→～象ｂ＆∃ｘ（鼻ｘｂ） １ＵＥ
７ （７） 兎ｂ Ａ
５７ （８） ～象ｂ＆∃ｘ（鼻ｘｂ） ６７ＭＰＰ
５７ （９） ～象ｂ ８＆Ｅ
５７ （ア） ∃ｘ（鼻ｘｂ） ８＆Ｅ
イ（イ） 鼻ａｂ Ａ（代表的選言項）
イ（ウ） ～～鼻ａｂ イＤＮ
３ イ（エ） ～（～象ｂ＆ 長ａ） ４ウＭＴＴ
３ イ（オ） ～～象ｂ∨～長ａ エ、ド・モルガンの法則
３ イ（カ） ～象ｂ→～長ａ オ含意の定義
３５７イ（キ） ～長ａ ９カＭＰＰ
３５７イ（ク） 鼻ａｂ＆～長ａ イキ＆Ｉ
３５７イ（ケ） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） クＥＩ
３５７ （コ） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） アイケＥＥ
１ ５７ （サ） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） ２３コＥＥ
１ ５ （シ） 兎ｂ→∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） ７サＣＰ
１ ５ （ス）∀ｙ｛兎ｙ→∃ｘ（鼻ｘｙ＆～長ｘ）｝ シＵＩ
従って、
（22）により、
（23）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｙ｛兎ｙ→～象ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｙ｛兎ｙ→∃ｘ（鼻ｘｙ＆～長ｘ）｝。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（23）により、
（24）
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならばｘは長く、ｙが象でなくて、ｘが長ければｘはｙの鼻ではない｝。
然るに、
（ⅱ） すべてのｙについて｛ｙが兎であるならば、ｙは象ではなく、あるｘはｙの鼻である｝。従って、
（ⅲ） すべてのｙについて｛ｙが兎であるならば、あるｘはｙの鼻であって、ｘは長くない｝。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（21）～（24）により、
（25）
③ 鼻は象が長い。⇔
③ 鼻は象の鼻は長く、象以外で長いとすれば、鼻ではない。⇔
③ ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝⇔
③ すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならばｘは長く、ｙが象でなくて、ｘが長ければｘはｙの鼻ではない｝。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（15）（20）（25）により、
（26）
① タゴール記念会は、私が理事長です。⇔ タゴール記念会は、私は理事長であり、私以外は理事長ではない。
② 象は鼻が長い。⇔ 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
③ 鼻は象が長い。⇔ 鼻は象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（26）により、
（27）
一般に、
① ＡはＢがＣである＝Ａは、ＢはＣであり、Ｂ以外はＣでない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（28）
① ＢがＣである＝ＢはＣであり、Ｂ以外はＣでない。
といふ「意味上の複合命題（propositions composées dans le sens）」を、「排他的命題（Exclusive proposition）」といふ。
然るに、
（29）
「結論」として、
「強調形」は、「排他的命題」を、「主張」する。
然るに、
（30）
「～が（濁音）」は、「～は（清音）」に対する、「心理的な音量差」による「強調形」である。
従って、
（30）により、
（31）
① 私が理事長です。
に於ける、
①「私が（濁音）」は、
①「私は（清音）」に対する、「強調形」である。
然るに、
（32）
ⅹハ（ⅹガ兼務の場合）は題目である主格、ⅹガは題目でないただの主格、と言えばハとガの大切な区別は一応ついたことになるが、なお一つ、どうしてもつけ加えなければならないことがある。それは、
私が理事長です（理事長は私です）。
のように、ガの文がいわばハを内蔵していることがあるから、その説明が必要である。このような「私が」を強声的になっていると言うことにする。そこに発音上のストレスを与えたのと似た効果を持っているからである（三上章、日本語の論理、1963年、１０６頁）。
従って、
（31）（32）により、
（33）
① 私が理事長です。
に於ける、
① 私が（濁音） が「強調形（強声的）」である。
といふことに関しては、三上章 先生自身が、認めてゐる。
然るに、
（06）により、
（34）
いづれにせよ、もう一度、確認すると、
② 理事長は私である。
③ 私以外は理事長ではない。
に於いて、
②＝③ は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（33）（34）により、
（35）
① 私が理事長です。
② 理事長は私である。
③ 私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝② であると、するならば、
①＝③ であると、せざるを得ない。
然るに、
（02）により、
（36）
もう一度、確認すると、
よく知られているように、
①「私が理事長です。」は語順を変え、
②「理事長は、私です。」
と直して初めて主辞賓辞が適用されるのである。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０頁）
従って、
（35）（36）により、
（37）
三上章 先生は、少なくとも、
① 私が理事長です。
② 私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝② であることを、「否定」出来ない。
従って、
（37）により、
（38）
三上章 先生は、
① 鼻が長い。
② 鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝② であることも、「否定」出来ない。
従って、
（38）により、
（39）
三上章 先生は、
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝② であることを、「否定」出来ない。
然るに、
（40）
私が知る限り、三上章 先生は、
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝② であるといふ、『最も基本的な事実』に対して、言及することが無い。
（41）
私が理事長です（理事長は私です）。
このような「私が」を強声的になっていると言うことにする。そこに発音上のストレスを与えたのと似た効果を持っている。
といふことは、私自身も、そう思ふものの、
ⅹハ（ⅹガ兼務の場合）は題目である主格、ⅹガは題目でないただの主格、と言えばハとガの大切な区別は一応ついたことになる。
といふことは、私には、「理解」出来ない。
（42）
・1枚以上画像の掲載されているご自身のgoo blogの記事のみご応募が可能です。
私のブログは、「画像」は、掲載されないのが、「普通」です。
そのため、「応募の条件」を満たすべく、次の「画像」を掲載します。
写真は、１９７０年代、京都、筆者１７才。
令和０３年０６月１５日（onomameus3037）。
―「今日（令和０３年０６月１４日）の記事」を書き直します。―
（01）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ Ａ
１ （２）｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）｝ １Ｄｆ.⇔
１ （３）｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝ ２＆Ｅ
１ （４） Ｒ→（Ｐ＆Ｑ） ２＆Ｅ
５（５） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
５（６） ～（Ｐ＆Ｑ） ５ド・モルガンの法則
１５（７） ～Ｒ ４６ＭＴＴ
１ （８） （～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ ５７ＣＰ
１ （９）｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝ ３８＆Ｉ
（ⅱ）
１ （１）｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝ Ａ
１ （２）｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝ １＆Ｅ
１ （３） （～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ １＆Ｅ
４（４） Ｒ Ａ
４（５） ～～Ｒ ４ＤＮ
１４（６） ～（～Ｐ∨～Ｑ） ３５ＭＴＴ
１４（７） （Ｐ＆Ｑ） ６ド・モルガンの法則
１ （８） Ｒ→（Ｐ＆Ｑ） ４７ＣＰ
１ （９）｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）｝ ２８＆Ｉ
１ （ア） （Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ ９Ｄｆ.⇔
従って、
（01）により、
（02）
① （Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
②｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
① （Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
といふ「論理式」、すなはち、
①｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝
といふ「論理式」は、
①｛（Ｐであって、Ｑである）ならば、Ｒである｝が、｛（Ｐでないか、Ｑでないか、ＰでもＱでもない）ならば、Ｒではない｝。
といふ、「意味」である。
従って、
（03）により、
（04）
① （Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
といふ「論理式」、すなはち、
①｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝
といふ「論理式」は、
① Ｒであるためには、Ｐだけ、あるいは、Ｑだけでは、「不十分」である。
といふ、「意味」になる。
然るに、
（05）
② 焼酎割＝焼酎＆お湯
であるとすると、
② 焼酎割を飲むと気分が良くなる。
といふ「命題」は、
②（焼酎を飲み＆お湯を飲む）ならば（気分が良くなる）。
といふ「命題」に、「等しい」。
従って、
（05）により、
（06）
Ｐ＝焼酎を飲む。
Ｑ＝お湯を飲む。
Ｒ＝気分が良くなる。
とするならば、
② 焼酎割を飲むと気分が良くなる。
といふ「命題」は、
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「命題」に、「等しい」。
然るに、
（07）
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ １含意の定義
３ （３）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （４）～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
３ （５）～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
６ （６） Ｒ Ａ
６ （７） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ６∨Ｉ
１ （８） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ １３５６７∨Ｅ
１ （９）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ） ３結合法則
ア （ア）～Ｐ Ａ
ア （イ）～Ｐ∨Ｒ ア∨Ｉ
ア （ウ） Ｐ→Ｒ イ含意の定義
ア （エ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ウ∨Ｉ
オ（オ） （～Ｑ∨Ｒ） Ａ
オ（カ） Ｑ→Ｒ オ含意の定義
オ（キ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） カ∨Ｉ
１ （ク）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ２アエオキ∨Ｉ
（ⅲ）
１ （１）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２）（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ→Ｒ Ａ
（４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｒ ３４ＭＰＰ
６（６） Ｑ→Ｒ Ａ
２ （７） Ｑ ２＆Ｅ
２ ６（８） Ｒ ６７ＭＰＰ
１２ （９） Ｒ １３５６８∨Ｅ
１ （ア）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ２９ＣＰ
従って、
（07）により、
（08）
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ├（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
③（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）├（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「連式」は、「妥当」である。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ├（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
といふ「連式」、すなはち、
②（焼酎を飲み＆お湯を飲む）ならば（気分が良くなる）。従って、
②（焼酎を飲む） ならば（気分が良くなる）か、または、
②（お湯を飲む） ならば（気分が良くなる）か、または、
②（焼酎とお湯を飲む） ならば（気分がよくなる）。
といふ「演繹推理」は、「妥当」である。
然るに、
（10）
②（焼酎を飲み＆お湯を飲む）ならば（気分が良くなる）。従って、
②（焼酎を飲む） ならば（気分が良くなる）か、または、
②（お湯を飲む） ならば（気分が良くなる）か、または、
②（焼酎とお湯を飲む） ならば（気分がよくなる）。
といふ「演繹推理」が、「妥当」である。ならば、
（11）
②（焼酎を飲み＆お湯を飲む）ならば（気分が良くなる）。従って、あるいは、
②（焼酎を飲む） ならば（気分が良くなる）と「推定」できる。
といふ「蓋然的推理」は、「可能」である。
従って、
（05）～（11）により、
（12）
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ├（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
といふ「連式」は、「妥当」であり、それ故、
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
であるならば、
②（Ｐ→Ｒ）
であることは、「可能」である。
従って、
（04）（12）により、
（13）
①（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
に於いて、
① ならば、
②（Ｐ→Ｒ）≡焼酎を飲むと、気分が気分が良くなる。
といふことは、「不可能」であるが、
② ならば、
②（Ｐ→Ｒ）≡焼酎を飲むと、気分が気分が良くなる。
といふことは、「可能」である。
然るに、
（14）
①（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
ではなく、
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」に関して、
大西拓郎先生（京都大学）曰く、
ＰかつＱ、２つの前提からＲが導かれるんだったら実はそれ、１つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。まぁこれ、をかしい。
実質含意にはこういう変な推論がどうしてもつきまとうんですが、厳密含意になると、それがちゃんと妥当ではなくなってくれるという、ことです［2020年度後期哲学演習I 厳密含意の論理(1) [修正版]（ユーチューブ：９分１０秒頃）］。
従って、
（14）により、
（15）
①（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
に於いて、
① ではなく、
② であれば、
②（Ｐ→Ｒ）≡焼酎を飲むと、気分が気分が良くなる。
といふことが「可能」であることは、「まぁこれ、をかしい。」
といふ風に、述べてゐる。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
大西拓郎先生は、
①（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
に於いて、
①と② を、「混同」してゐると、言はざるを、得ない。
然るに、
（02）により、
（17）
① （Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
といふ「命題」、すなはち、
②｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝
といふ「命題」が「真」である。
といふことは、
（ⅰ）Ｐでなくて、Ｑである。ならば、Ｒではない。
（ⅱ）Ｐであって、Ｑでない。ならば、Ｒではない。
（ⅲ）Ｐでなくて、Ｑでない。ならば、Ｒではない。
が、ただし、
（ⅳ）Ｐであって、Ｑである。ならば、Ｒである。
といふことに、他ならない。
従って、
（17）により、
（18）
Ｐ＝直角三角形である。
Ｑ＝二等辺三角形である。
Ｒ＝斜辺の長さは底辺の長さの√２倍である。
として、
①（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
であるならば、すなはち、
①｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝
であるならば、
（ⅰ）「直角三角形」でなくて、「二等辺三角形」である。ならば、「斜辺の長さは、底辺の長さの√２倍」ではない。
（ⅱ）「直角三角形」であって、「二等辺三角形」でない。ならば、「斜辺の長さは、底辺の長さの√２倍」ではない。
（ⅲ）「直角三角形」でなくて、「二等辺三角形」でない。ならば、「斜辺の長さは、底辺の長さの√２倍」ではない。
が、ただし、
（ⅳ）「直角三角形」であって、「二等辺三角形」である。ならば、「斜辺の長さは、底辺の長さの√２倍」である。
従って、
（18）により、
（19）
①（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
に於いて、
② ではなく、
① に関して、
Ｐ＝直角三角形である。
Ｑ＝二等辺三角形である。
Ｒ＝斜辺の長さは底辺の長さの√２倍である。
として、
大西拓郎先生（京都大学）曰く、
ＰかつＱ、２つの前提からＲが導かれるんだったら実はそれ、１つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。まぁこれ、をかしい。
実質含意にはこういう変な推論がどうしてもつきまとうんですが、厳密含意になると、それがちゃんと妥当ではなくなってくれるという、ことです［2020年度後期哲学演習I 厳密含意の論理(1) [修正版]（ユーチューブ：９分１０秒頃）］。
といふのであれば、確かに、「実質含意（古典論理）は、まぁこれ、をかしい。」
といふ、ことになる。
―「昨日（令和０３年０６月１３日）の記事」を書き直します。―
（01）
古典論理の含意（質料的含意）は次の２つを満たす。
（１） ～Ｐ├ Ｐ→Ｑ 偽なる命題は任意の命題を含意する。
（２） Ｑ├ Ｐ→Ｑ 真なる命題は任意の命題から含意される。
ルイスは、これは「含意」という言葉の日常的な意味に反しているとして、「質料的含意」とは異なる「厳密含意」という含意をもつ理論を提案した（2020年度後期哲学演習I 厳密含意の論理(1) [修正版]、京都大学、大西拓郎：ユーチューブ、３分５０秒頃）。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１） ～Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｐ∨ Ｑ １∨Ｉ
３ （３） Ｐ＆～Ｑ Ａ
４ （４） ～Ｐ Ａ
３ （５） Ｐ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｐ＆Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｑ Ａ
３ （９） ～Ｑ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｑ＆～Ｑ ８９＆Ｉ
８ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） ３アＲＡＡ
１ （ウ） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） Ｐ Ａ
オ （オ） ～Ｑ Ａ
エオ （カ） Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ エオ （キ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ２カ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｑ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｑ クＲＡＡ
１ （コ） Ｐ→Ｑ エケＣＰ
（サ）～Ｐ→（Ｐ→Ｑ） １コＣＰ
シ（シ）～Ｐ＆ Ｐ Ａ
シ（ス）～Ｐ シ＆Ｅ
シ（セ） Ｐ→Ｑ サスＭＰＰ
（ソ）～Ｐ＆Ｐ→ Ｑ シセＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ～Ｐ├ Ｐ→Ｑ
② ├ ～Ｐ＆Ｐ→Ｑ
といふ「連式（Sequents）」は「妥当（Valid）」である。
従って、
（03）により、
（04）
例へば、
① バカボンのパパは天才ではない。 が故に、バカボンのパパが天才であるならば、太陽は西から昇る。
②（バカボンのパパは天才ではないが、その上）バカボンのパパが天才であるならば、太陽は西から昇る。
といふ「連式（Sequents）」は「妥当（Valid）」である。
然るに、
（05）
②（バカボンのパパは天才ではないが）その上、バカボンのパパが天才である。
といふことは、「矛盾」であるため、「偽」である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
②（バカボンのパパは天才ではないが、その上）バカボンのパパが天才であるならば、太陽は西から昇る。
といふ「仮言命題」からは、
② 太陽は西から昇る。
といふ「命題」は、「導出」されない。
然るに、
（07）
１ （１）バカボンのパパが天才であるならば、太陽は西から昇る。 Ａ
２（２） 太陽は東から昇る。 Ａ
１２（３）バカボンのパパは天才ではない。 １２ＭＴＴ
従って、
（06）（07）により、
（08）
②（バカボンのパパは天才ではないが、その上）バカボンのパパが天才であるならば、太陽は西から昇る。
といふ「仮言命題」は、
② バカボンのパパは天才ではない。
といふことを、言っているに、過ぎない。
従って、
（01）～（08）により、
（09）
古典論理の含意（実質含意）が、
（１） ～Ｐ├ Ｐ→Ｑ 偽なる命題は任意の命題を含意する。
としても、「問題は生じない（No problem）」。
然るに、
（10）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｑ∨ Ｐ １∨Ｉ
３ （３） Ｑ＆～Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３ （５） Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（Ｑ＆～Ｐ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｐ＆～Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（Ｑ＆～Ｐ） ８アＲＡＡ
１ （ウ）～（Ｑ＆～Ｐ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） Ｑ Ａ
オ（オ） ～Ｐ Ａ
エオ（カ） Ｑ＆～Ｐ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（Ｑ＆～Ｐ）＆
（Ｑ＆～Ｐ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｐ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｐ クＤＮ
１ （コ） Ｑ→ Ｐ エケＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） Ｑ∨ Ｐ １∨Ｉ
３ （３） ～Ｑ＆～Ｐ Ａ
４ （４） Ｑ Ａ
３ （５） ～Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～Ｑ＆～Ｐ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｐ＆～Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（～Ｑ＆～Ｐ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（～Ｑ＆～Ｐ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～Ｑ Ａ
オ（オ） ～Ｐ Ａ
エオ（カ） ～Ｑ＆～Ｐ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（～Ｑ＆～Ｐ）＆
（～Ｑ＆～Ｐ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｐ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｐ クＤＮ
１ （コ） ～Ｑ→ Ｐ エケＣＰ
従って、
（10）により、
（11）
① Ｐ├ Ｑ→Ｐ
② Ｐ├ ～Ｑ→Ｐ
といふ「連式（Sequents）」は、両方とも、「妥当（Valid）」である。
従って、
（10）（11）により、
（12）
Ｐ＝ナポレオンである。
Ｑ＝フランス人である。
として、
① ナポレオンはフランス人である。故に、月が青いならば、 ナポレオンはフランス人である。
② ナポレオンはフランス人である。故に、月が青くないならば、ナポレオンはフランス人である。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（13）
① 月が青いならば、 ナポレオンはフランス人である。
② 月が青くないならば、ナポレオンはフランス人である。
といふことは、
① 月が青かろうが、青くなかろうが、ナポレオンはフランス人である。
② 月が青かろうが、青くなかろうが、ナポレオンはフランス人である。
といふ、ことである。
従って、
（12）（13）により、
（14）
① Ｐ├ Ｑ→Ｐ
② Ｐ├ ～Ｑ→Ｐ
といふ「連式」は、両方とも、
① ナポレオンはフランス人である。故に、月が青かろうが、青くなかろうが、ナポレオンはフランス人である。
② ナポレオンはフランス人である。故に、月が青かろうが、青くなかろうが、ナポレオンはフランス人である。
といふ、「意味」になる。
然るに、
（15）
② Ｐ├ Ｑ→Ｐ
② ナポレオンはフランス人である。故に、月が青かろうが、青くなかろうが、ナポレオンはフランス人である。
といふ「推論」は、当然、「妥当」である。
従って、
（11）～（15）により、
（16）
② ナポレオンはフランス人である。故に、月が青かろうが、青くなかろうが、ナポレオンはフランス人である。
といふ「意味」に解する限り、
② Ｐ├ Ｑ→Ｐ
といふ「質料的含意のパラドックス」は、実際には、「パラドックス」であるとは、言へないことになる。
従って、
（01）（16）により、
（17）
古典論理の含意（実質含意）が、
（２） Ｑ├ Ｐ→Ｑ 真なる命題は任意の命題から含意される。
としても、「問題は生じない（No problem）」。
従って、
（01）（09）（17）により、
（18）
古典論理の含意（実質含意）が、
（１） ～Ｐ├ Ｐ→Ｑ 偽なる命題は任意の命題を含意する。
（２） Ｑ├ Ｐ→Ｑ 真なる命題は任意の命題から含意される。
としても、「問題は生じない（No problem）」。