（01）
｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、「３つの対象」から成る「世界」に於いて、
１１２
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （２）∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
２ （３） Ｆａ ２ＵＥ
２ （４） Ｆａ∨Ｇａ ３∨Ｉ
５（５） ∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
５（６） Ｇａ ５ＵＥ
５（７） Ｆａ∨Ｇａ ６∨Ｉ
１ （８） Ｆａ∨Ｇａ １２４５７∨Ｅ
１ （９）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ８ＵＩ
といふ「計算」は、
１ （１）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） Ａ
２ （２）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
２ （３） Ｆａ ２＆Ｅ
２ （４） Ｆａ∨Ｇａ ３∨Ｉ
５（５） （Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） Ａ
５（６） Ｇａ ５＆Ｅ
５（７） Ｆａ∨Ｇａ ６∨Ｉ
１ （８） Ｆａ∨Ｇａ １２４５７∨Ｅ
１ （〃） Ｆｂ∨Ｇｂ （８と同じ。）
１ （〃） Ｆｃ∨Ｇｃ （８と同じ。）
１ （９）（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｆｃ∨Ｇｃ） ８８８＆Ｉ
といふ「計算」に、「等しい」。
然るに、
（02）
①（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） ∨ （Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｆｃ∨Ｇｃ）
③（ Ｇａ ＆ Ｆｂ ＆ Ｆｃ ）
に於いて、
①と③ は、「同時に、真になる」ことが、「不可能」であるが、
②と③ は、「同時に、真になる」ことが、「 可能」である。
然るに、
（03）
｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、「３つの対象」から成る「世界」に於いて、
①（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） ∨ （Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｆｃ∨Ｇｃ）
といふ「式」は、それぞれ、
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
といふ「述語論理式」に、相当する。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （２）∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
２ （３） Ｆａ ２ＵＥ
２ （４） Ｆａ∨Ｇａ ３∨Ｉ
５（５） ∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
５（６） Ｇａ ５ＵＥ
５（７） Ｆａ∨Ｇａ ６∨Ｉ
１ （８） Ｆａ∨Ｇａ １２４５７∨Ｅ
１ （９）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ８ＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） Ａ
１ （２） Ｆａ∨Ｇａ １ＵＥ
３ （３） Ｆａ Ａ
３ （４）∀ｘ（Ｆｘ） ３ＵＩ
３ （５）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） ４∨Ｉ
６（６） Ｇａ Ａ
６（７） ∀ｘ（Ｇｘ） ６ＵＩ
６（８）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） ７∨Ｉ
１ （９）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） １３５６８∨Ｅ
に於いて、
（ⅰ）の「計算」は、「正しい」が、
（ⅱ）の「計算」は、「正しく」ない。
然るに、
（06）
この場合には、連式を証明しようとする自然な試みをさしとめるのは ＵＩ に対する制限である、かくして、
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） Ａ
１ （２） Ｆａ∨Ｇａ １ＵＥ
３ （３） Ｆａ Ａ
Ｆａ∨Ｇａ を（１）から結論し、そして第１の選言項 Ｆａ を（３）の行に仮定する。しかし（３）は「ａ」を含む故、ここで ∀ｘ（Ｆｘ）を結論することをさしとめられる。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１５６頁）
従って、
（01）～（06）により、
（07）
いづれにせよ、
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） Ａ
１ （２） Ｆａ∨Ｇａ １ＵＥ
３ （３） Ｆａ Ａ
といふ「計算」は、「マチガイ」であるものの、何故、さうなのかと言ふと、
①（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） ∨ （Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｆｃ∨Ｇｃ）
③（ Ｇａ ＆ Ｆｂ ＆ Ｆｃ ）
に於いて、
①と③ は、「同時に、真になる」ことが、「不可能」であるが、
②と③ は、「同時に、真になる」ことが、「 可能」であるからである。
といふことになる。
（08）
① ∀ｘ（遇ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ）├ ∀ｘ（遇ｘ∨奇ｘ）
② ∀ｘ（遇ｘ∨奇ｘ）├ ∀ｘ（遇ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ）
に於いて、
② を「逆の連式」とすると、
「逆の連式」は妥当ではない。なぜならば、すべての正の整数は偶数であるか奇数であるが、すべての数が偶数ではなく、すべての数が奇数ではない（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１５５頁改）。
然るに、
（08）により、
（09）
さうであるならば、
① ∀ｘ（遇ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ）├ ∀ｘ（遇ｘ∨奇ｘ）
の場合は、
①（すべての正の整数は偶数である）か、または、（すべての正の整数は奇数である）。故に、（すべての正の整数は偶数か奇数である。）
といふ「意味」になるものの、
①（すべての正の整数は偶数である）か、または、（すべての正の整数は奇数である）。
といふことはない。
従って、
（08）（09）により、
（10）
① ∀ｘ（遇ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ）├ ∀ｘ（遇ｘ∨奇ｘ）
② ∀ｘ（遇ｘ∨奇ｘ）├ ∀ｘ（遇ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ）
といふ「連式」に対する、「E.J.レモンの例」は、「適切」であるとは、言へない。
（01）
「何々の」というのも重視したいものである。
すべての馬が動物であれば、馬の頭は動物の頭である。（ド・モルガンの例）。
というようなものに備えて、「何々の」に対しても敏感であることが望ましい。
（三上章、日本語の論理、1963年、３８頁）
（02）
ド・モルガンが明らかに健全であるにもかかわらず、伝統的論理学のなかでは取り扱うことができなかった論証として挙げた、有名な、また簡単な論証がある。
（１）すべての馬は動物である。故に、すべての馬の頭は動物の頭である。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１６７頁）
（03）
｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、「３人の対象」から成る世界を仮定する。
従って、
（03）により、
（04）
１（01） Ｆａ Ａ
１（02）∀ｘ（Ｆｘ） １ＵＩ
といふ「計算」は、
１（01） Ｆａ Ａ
１（02）Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ １ＵＩ
といふ「計算」に、「等しい」。
従って、、
（04）により、
（05）
１（01） 男ａ Ａ
１（02）∀ｘ（男ｘ） １ＵＩ
といふ「計算」は、
１（01） 男ａ Ａ
１（02）男ａ＆男ｂ＆男ｃ １ＵＩ
といふ「計算」に、「等しい」。
然るに、
（03）により、
（06）
１（01） 男ａ Ａ
１（02）男ａ＆男ｂ＆男ｃ １ＵＩ
といふ「計算」は、
１（01）ａは男である。従って、
１（02）すべての人間は男である。
といふ、「意味」である。
然るに、
（07）
１（01）トランプ大統領が男性である。からと言って、
１（02）すべての人間が、男性である。といふわけではない。
従って、
（03）～（07）により、
（08）
１（01） Ｆａ Ａ
１（02）∀ｘ（Ｆｘ） １ＵＩ
といふ「計算」は、「マチガイ（誤謬）」である。
然るに、
（09）
１（１） 男ａ Ａ
（２） 男ａ→男ａ １１ＣＰ
（３）∀ｘ（男ｘ→男ｘ） ２ＵＩ
然るに、
（10）
―「含意の定義」の証明 ―
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３ （４） ～Ｐ Ａ
３ （５） ～Ｐ∨Ｑ ４∨Ｉ
２３ （６） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２５＆Ｉ
２ （７） ～～Ｐ ３６ＲＡＡ
２ （８） Ｐ ７ＤＮ
１２ （９） Ｑ １８ＭＰＰ
１２ （ア） ～Ｐ∨Ｑ ９∨Ｉ
１２ （イ） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２ア＆Ｉ
１ （ウ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２イＲＡＡ
１ （エ） ～Ｐ∨Ｑ ウＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（10）により、
（11）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
従って、
（11）により、
（12）
① 男ａ→男ａ
② ～男ａ∨男ａ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
従って、
（09）（12）により
（13）
① ∀ｘ（ 男ｘ→男ｘ）
② ∀ｘ（～男ｘ∨男ｘ）
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
然るに、
（03）（13）により、
（14）
① ∀ｘ（ 男ｘ→男ｘ）
② ∀ｘ（～男ｘ∨男ｘ）
といふ「論理式」は、
①（ 男ａ→男ａ）＆（ 男ｂ→男ｂ）＆（ 男ｃ→男ｃ）
②（～男ａ∨男ａ）＆（～男ａ∨男ｂ）＆（～男ｃ∨男ｃ）
といふ「論理式」に「等しい」。
然るに、
（03）（14）により、
（15）
①（ 男ａ→男ａ）＆（ 男ｂ→男ｂ）＆（ 男ｃ→男ｃ）
②（～男ａ∨男ａ）＆（～男ａ∨男ｂ）＆（～男ｃ∨男ｃ）
といふ「論理式」は、
① すべての人は、男であるならば、男である。
② すべての人は、女であるか、または、男である。
といふ、「意味」である。
然るに、
（16）
① すべての人は、男であるならば、男である。
② すべての人は、女であるか、または、男である。
といふ「命題」は、明らかに、「恒に真（トートロジー）」である。
従って、
（09）～（16）により、
（17）
１（１） 男ａ Ａ
（２） 男ａ→男ａ １１ＣＰ
（３）∀ｘ（男ｘ→男ｘ） ２ＵＩ
といふ「計算」は、「妥当」である。
従って、
（17）により、
（18）
１（１） 男ａ Ａ
（２） 男ａ→男ａ １１ＣＰ
（３）∀ｘ（男ｘ→男ｘ） ２ＵＩ
に対する、「代入例（ＳＩ）」として、
１（１） 馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ Ａ
（２） （馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）→（馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ） １１ＣＰ
（３）∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝ ２ＵＩ
といふ「計算」も、「妥当」である。
然るに、
（19）により、
（20）
① ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝
といふ「述語論理式」は、
① すべてのｘについて｛（ｘが馬であって、あるｙがｘの頭である）ならば、（ｘは馬であって、あるｙがｘの頭である）｝。
といふ「意味」である。
然るに、
（21）
① すべてのｘについて｛（ｘが馬であって、あるｙがｘの頭である）ならば、（ｘは馬であって、あるｙがｘの頭である）｝。
といふことは、
① 馬の頭は、馬の頭である。
といふことである。
従って、
（21）により、
（22）
① すべてのｘについて｛（ｘが馬であって、あるｙがｘの頭である）ならば、（ｘは動物であって、あるｙがｘの頭である）｝。
といふのであれば、
① 馬の頭は、動物の頭である。
といふことになる。
従って、
（20）（21）（22）により、
（23）
② 動＝動物
として、
① ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝
② ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝
に於いて、
① 馬の頭は、 馬の頭である。
② 馬の頭は、動物の頭である。
といふ、ことになる。
従って、
（02）（12）（23）により、
（24）
１（１） （馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ） Ａ
（２） （馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）→（馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ） １１ＣＰ
（３）∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝ ２ＵＩ
といふ「計算」と、
１（１）∀ｘ（馬ｘ→動ｘ） Ａ
といふ「連式」から、
② ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝
といふ「述語論理式」が、「導出」できるならば、
（１）すべての馬は動物である。故に、すべての馬の頭は動物の頭である。
（〃）All horses are animals; Therefore all horses's heads are animals' heads.
といふ「論証の妥当性」が、「証明」されたことになる。
然るに、
（25）
□□□ ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝
１ （１） ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ） Ａ
２ （２） （馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ） Ａ
２ （３） ∃ｙ頭ｙａ ２＆Ｅ
２ （４） 馬ａ ２＆Ｅ
１ （５） 馬ａ→動ａ １ＵＥ
１２ （６） 動ａ ４５ＭＰＰ
１２ （７） （動ａ＆∃ｙ頭ｙａ） ３６＆Ｉ
１ （８） 馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）→（動ａ＆∃ｙ頭ｙａ） ２７ＣＰ
１ （９）∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝ ８ＵＩ
然るに、
（26）
１２３ ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝
１ （１） ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ） Ａ
２ （２） ∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ） Ａ
３（３） 馬ｂ＆頭ａｂ Ａ
３（４） 馬ｂ ３＆Ｅ
３（５） 頭ａｂ ３＆Ｅ
１ （６） 馬ｂ→動ｂ １ＵＥ
１ ３（７） 動ｂ ４６ＭＰＰ
１ ３（８） 動ｂ＆頭ａｂ ５７＆Ｉ
１ ３（９） ∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ） ８ＥＩ
１２ （ア） ∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ） ２３９ＥＥ
１ （イ） ∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ） ２アＣＰ
１ （ウ）∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝ イＵＩ
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１６７頁）
従って、
（25）（26）により、
（27）
「E.J.レモンの証明」よりも、「私の証明」の方が、「３行」だけ「短い」し、少なくとも、私自身にとっては、どちらかと言へば、「私の証明」の方が、「E.J.レモンの証明」よりも、「分かり易い」。
（01）
ド・モルガンが明らかに健全であるにもかかわらず、伝統的論理学のなかでは取り扱うことができなかった論証として挙げた、有名な、また簡単な論証がある。
（１）すべての馬は動物である。故に、すべての馬の頭は動物の頭である。
― １０行、中略、―
１２３ ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝
１ （１） ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ） Ａ
２ （２） ∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ） Ａ
３（３） 馬ｂ＆頭ａｂ Ａ
３（４） 馬ｂ ３＆Ｅ
３（５） 頭ａｂ ３＆Ｅ
１ （６） 馬ｂ→動ｂ １ＵＥ
１ ３（７） 動ｂ ４６ＭＰＰ
１ ３（８） 動ｂ＆頭ａｂ ５７＆Ｉ
１ ３（９） ∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ） ８ＥＩ
１２ （ア） ∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ） ２３９ＥＥ
１ （イ） ∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ） ２アＣＰ
１ （ウ）∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝ イＵＩ
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１６７頁改）
然るに、
（02）
２（２） 馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ Ａ
（８）（馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）→（馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ） ２２ＣＰ
といふ「同一律」は、「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
□□□ ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝
１ （１） ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ） Ａ
２ （２） （馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ） Ａ
２ （３） ∃ｙ頭ｙａ ２＆Ｅ
２ （４） 馬ａ ２＆Ｅ
１ （５） 馬ａ→動ａ １ＵＥ
１２ （６） 動ａ ４５ＭＰＰ
１２ （７） （動ａ＆∃ｙ頭ｙａ） ３６＆Ｉ
１ （８） （馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）→（動ａ＆∃ｙ頭ｙａ） ２７ＣＰ
１ （９）∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝ ８ＵＩ
といふ「計算」は、「妥当」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝
② ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝
といふ「推論」、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘが馬ならば、ｘは動物である）。故に、すべてのｘについて｛（あるｙが馬であって、ｘがｙの頭である）ならば、（あるｙは動物であって、ｘはｙの頭である）｝。
② すべてのｘについて（ｘが馬ならば、ｘは動物である）。故に、すべてのｘについて｛（ｘが馬であって、あるｙがｘの頭である）ならば、（ｘは動物であって、あるｙはｘの頭である）｝。
といふ「推論」、すなはち、
① すべての馬は動物である。故に、すべての馬の頭は動物の頭である。
② すべての馬は動物である。故に、すべての馬の頭は動物の頭である。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（05）
（ⅲ）
１ （１） ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝ Ａ
１ （２） （馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）→（動ａ＆∃ｙ頭ｙａ） １ＵＥ
３ （３） 馬ａ→∃ｙ頭ｙａ Ａ
４ （４） 馬ａ Ａ
３４ （５） ∃ｙ頭ｙａ ３４ＭＰＰ
３４ （６） 馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ ４５
１３４ （７） 動ａ＆∃ｙ頭ｙａ ３６ＭＰＰ
１３４ （８） 動ａ ７＆Ｅ
１３ （９） 馬ａ→動ａ ４８ＣＰ
１ （ア） （馬ａ→∃ｙ頭ｙａ）→（馬ａ→動ａ） ３９ＣＰ
１ （イ） ～（馬ａ→∃ｙ頭ｙａ）∨（馬ａ→動ａ） ア含意の定義
ウ （ウ） ～（馬ａ→∃ｙ頭ｙａ） Ａ
ウ （エ） ～（～馬ａ∨∃ｙ頭ｙａ） ウ含意の定義
ウ （オ） （馬ａ＆～∃ｙ頭ｙａ） エ、ド・モルガンの法則
ウ （カ） （馬ａ＆～∃ｙ頭ｙａ）∨（馬ａ→動ａ） オ∨Ｉ
キ（キ） （馬ａ→動ａ） Ａ
キ（ク） （馬ａ＆～∃ｙ頭ｙａ）∨（馬ａ→動ａ） キ∨Ｉ
１ （ケ） （馬ａ＆～∃ｙ頭ｙａ）∨（馬ａ→動ａ） イウカキク∨Ｅ
１ （コ） ～～（馬ａ＆～∃ｙ頭ｙａ）∨（馬ａ→動ａ） ケＤＮ
１ （サ） ～（馬ａ＆～∃ｙ頭ｙａ）→（馬ａ→動ａ） コ含意の定義
１ （シ）∀ｘ｛～（馬ｘ＆～∃ｙ頭ｙｘ）→（馬ｘ→動ｘ）｝ サＵＩ
従って、
（04）（05）により、
（06）
③ ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝├ ∀ｘ｛～（馬ｘ＆～∃ｙ頭ｙｘ）→（馬ｘ→動ｘ）｝
といふ「推論」、すなはち、
③ すべてのｘについて｛（ｘが馬であって、あるｙがｘの頭である）ならば、（ｘは動物であって、あるｙはｘの頭である）｝。故に、すべてのｘについて｛（ｘが馬であって、あるｙがｘの頭ではない）といふことが無いのであれば、（ｘが馬ならば、ｘは動物である）｝。
といふ「推論」、すなはち、
③ すべての馬の頭は動物の頭である。故に、頭が無い馬がゐないのであれば、すべての馬は動物である。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（04）（06）により、
（07）
② すべての馬は動物である。故に、すべての馬の頭は動物の頭である。
③ すべての馬の頭は動物の頭である。故に、頭が無い馬がゐないのであれば、すべて馬は動物である。
といふ「推論」は、両方とも。「妥当」である。
然るに、
（08）
②「生物学的（常識的）」には、「頭が無い馬」は存在しないが故に、
②（文字通りに、）すべての馬の頭は動物の頭である。
といふことになり、その一方で、
③「論理的（非常識的）」には、「頭が無い馬」の存在は「否定できない」が故に、
③（頭の無い馬がゐないのであれば、）すべて馬は動物である。
といふ風にしか、言へないことになる。
然るに、
（09）
∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
の形の文が意味していることはＡのクラスにはどのようなｘも存在しないということであって、ｘがどこか特定のクラスの中に存在しているということをいっているのではない。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１２４頁）
従って、
（06）（09）により、
（10）
④ ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
といふ「述語論理式」が、さうであるやうに、
③ ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝
といふ「述語論理式」も、
③ 馬には頭がある。
とは、言ってはゐない。
従って、
（06）～（10）により、
（11）
③ ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝├ ∀ｘ｛～（馬ｘ＆～∃ｙ頭ｙｘ）→（馬ｘ→動ｘ）｝
といふ「推論」からは、
③（頭の無い馬がゐないのであれば、その限りに於いて、）すべて馬は動物である。
といふ風にしか、言へないことになる。
（01）
ド・モルガンが明らかに健全であるにもかかわらず、伝統的論理学のなかでは取り扱うことができなかった論証として挙げた、有名な、また簡単な論証がある。
（１）すべての馬は動物である。故にすべての馬の頭は動物の頭である。
― １０行、中略、―
１２３ ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝
１ （１） ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ） Ａ
２ （２） ∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ） Ａ
３（３） 馬ｂ＆頭ａｂ Ａ
３（４） 馬ｂ ３＆Ｅ
３（５） 頭ａｂ ３＆Ｅ
１ （６） 馬ｂ→動ｂ １ＵＥ
１ ３（７） 動ｂ ４６ＭＰＰ
１ ３（８） 動ｂ＆頭ａｂ ５７＆Ｉ
１ ３（９） ∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ） ８ＥＩ
１２ （ア） ∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ） ２３９ＥＥ
１ （イ） ∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ） ２アＣＰ
１ （ウ）∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝ イＵＩ
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１６７頁改）
然るに、
（02）
１ （１） ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ） Ａ
２ （２） 馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ Ａ
２ （３） ∃ｙ頭ｙａ ２＆Ｅ
２ （４） 馬ａ ２＆Ｅ
１ （５） 馬ａ→動ａ １ＵＥ
１２ （６） 動ａ ４５ＭＰＰ
１２ （７） 動ａ＆∃ｙ頭ｙａ ３６＆Ｉ
１ （８） 馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ→ 動ａ＆∃ｙ頭ｙａ ２７ＣＰ
９（９） （馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）＆～（動ａ＆∃ｙ頭ｙａ） Ａ
９（ア） （馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ） ９＆Ｅ
１ ９（イ） （動ａ＆∃ｙ頭ｙａ） ８アＭＰＰ
９（ウ） ～（動ａ＆∃ｙ頭ｙａ） ９＆Ｅ
１ ９（エ） （動ａ＆∃ｙ頭ｙａ）＆～（動ａ＆∃ｙ頭ｙａ） イウ＆Ｉ
１ （オ） ～｛（馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）＆～（動ａ＆∃ｙ頭ｙａ）｝ ９エＲＡＡ
１ （カ）∀ｘ～｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）＆～（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝ オＵＩ
１ （キ）～∃ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）＆～（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝ カ量化子の関係
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝
② ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ～∃ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）＆～（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝
といふ「連式（Sequents）」は、両方とも、「妥当」である。
従って、
（03）により、
（04）
② すべてのｘについて（ｘが馬ならば、ｘは動物である）。故に、｛（ｘが馬であって、あるｙがｘの頭であって）、尚且つ、（ｘが動物であって、あるｙがｘの頭）ではない。｝といふ、そのやうなｘは存在しない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（05）
② 馬者動物也。是以、無馬之頭而非動物之頭＝
② 馬者動物也。是以、無〔馬之頭而非（動物之頭）〕⇒
② 馬者動物也。是以、〔馬之頭而（動物之頭）非〕無＝
② 馬は動物なり。是を以て、〔馬の頭にして（動物の頭に）非ざるは〕無し＝
② 馬は動物である。そのため、馬の頭であって、動物の頭でない頭は、存在しない。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
② 馬者動物也。是以、無馬之頭而非動物之頭。
といふ「漢文」は、
② ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ～∃ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）＆～（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝
といふ「述語論理式」に、「等しい」。
（01）
① ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
② ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」は、
① ある人は、すべての人を愛してゐる（能動形）。
② すべての人はある人によって、愛されてゐる（受動形）。
といふ風に、読むことが出来る。
然るに、
（02）
① ある人Ａが、すべての人を愛してゐる。
とするならば、
② すべての人は、ある人Ａによって、愛されてゐる。
然るに、
（03）
② すべての人が、ある人Ａと、ある人Ｂの内の、どちらかによって愛されてゐる。
とするならば、
② すべての人がある人によって、愛されてゐる。
としても、
① ある人Ａが、すべての人を愛してゐる。
とは、限らない。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
② ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」が、さうであるやうに、
① ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）
② ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）
といふ「述語論理式」に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。とは、限らない。
従って、
然るに、
（05）
なるほどつぎのことは証明できる。
１２２ ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）├ ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）
１ （１）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） Ａ
２（２） ∀ｙ（Ｆａｙ） Ａ
２（３） Ｆａｂ ２ＵＥ
２（４） ∃ｘ（Ｆｘｂ） ３ＥＩ
２（５）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ） ４ＵＩ
１ （６）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ） １２５ＥＥ
（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１６５・１６６頁）
然るに、
（06）
たとえば、
１ （１）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ） Ａ
１ （２） ∃ｘ（Ｆｘｂ） １ＵＥ
３（３） Ｆａｂ Ａ
３（４） ∀ｙ（Ｆａｙ） ３ＵＩ
３（５）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） ３ＥＩ
１ （６）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） ２３５ＥＥ
ただ一つび誤った段階は（４）のそれである。（３）は「ｂ」を含み、その結果 ＵＩ の制限が破られている点に誤りがある。
（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１６６頁改）
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
いづれにせよ、
① ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
② ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
が、さうであるやうに、
① ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）
② ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。とは、限らない。
然るに、
（08）
①｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、３つの対象から成る世界を取り扱っていると仮定すると、
① ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） といふ『連言の、選言』は、
（ⅰ） Ｆ（ｘａ）＆Ｆ（ｘｂ）＆Ｆ（ｘｃ）
（ⅱ）｛Ｆ（ｘａ）＆Ｆ（ｘｂ）＆Ｆ（ｘｃ）｝∨｛Ｆ（ｘａ）＆Ｆ（ｘｂ）＆Ｆ（ｘｃ）｝∨｛Ｆ（ｘａ）＆Ｆ（ｘｂ）＆Ｆ（ｘｃ）｝
（ⅲ）｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝∨｛Ｆ（ｂａ）＆Ｆ（ｂｂ）＆Ｆ（ｂｃ）｝∨｛Ｆ（ｃａ）＆Ｆ（ｃｂ）＆Ｆ（ｃｃ）｝
といふ「手順」で、「展開」出来る。
（09）
②｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、３つの対象から成る世界を取り扱っていると仮定すると、
② ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ） といふ『選言の、連言』は、
（ⅰ） Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨Ｆ（ｃｘ）
（ⅱ）｛Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨Ｆ（ｃｘ）｝＆｛Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨Ｆ（ｃｘ）｝＆｛Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨Ｆ（ｃｘ）｝
（ⅲ）｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝＆｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝＆｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝
といふ「手順」で、「展開」出来る。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
① ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）≡｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝∨｛Ｆ（ｂａ）＆Ｆ（ｂｂ）＆Ｆ（ｂｃ）｝∨｛Ｆ（ｃａ）＆Ｆ（ｃｂ）＆Ｆ（ｃｃ）｝
② ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）≡｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝＆｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝＆｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。とは、限らない。
然るに、
（01）（10）により、
（11）
１ （１）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） Ａ
２（２） ∀ｙ（Ｆａｙ） Ａ
２（３） Ｆａｂ ２ＵＥ
２（４） ∃ｘ（Ｆｘｂ） ３ＥＩ
２（５）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ） ４ＵＩ
１ （６）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ） １２５ＥＥ
といふ「計算」は、「（12）～（16）」のやうな、「プロセス」であると、見做すことが、出来る。
（12）
① ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）≡｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝∨｛Ｆ（ｂａ）＆Ｆ（ｂｂ）＆Ｆ（ｂｃ）｝∨｛Ｆ（ｃａ）＆Ｆ（ｃｂ）＆Ｆ（ｃｃ）｝
に於いて、例へば、
①｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝ が「真」であるならば、
① Ｆ（ａａ） は「真」であり、 ① Ｆ（ａｂ） も「真」であり、 ① Ｆ（ａｃ） も「真」である。
然るに、
（13）
① Ｆ（ａａ） は「真」であり、 ① Ｆ（ａｂ） も「真」であり、 ① Ｆ（ａｃ） も「真」である。ならば、
①｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝ は「真」であり、
①｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝ も「真」であり、
①｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝ も「真」である。
然るに、
（14）
①｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝ は「真」であり、
①｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝ も「真」であり、
①｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝ も「真」である。ならば、
②｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝＆｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝＆｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝ は「真」である。
然るに、
（15）
①｛Ｆ（ｂａ）＆Ｆ（ｂｂ）＆Ｆ（ｂｃ）｝ が「真」であるとしても、
①｛Ｆ（ｃａ）＆Ｆ（ｃｂ）＆Ｆ（ｃｃ）｝ が「真」であるとしても、「結論（14）」は、「変はらない」。
従って、
（10）～（15）により、
（16）
① ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）≡｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝∨｛Ｆ（ｂａ）＆Ｆ（ｂｂ）＆Ｆ（ｂｃ）｝∨｛Ｆ（ｃａ）＆Ｆ（ｃｂ）＆Ｆ（ｃｃ）｝
② ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）≡｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝＆｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝＆｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（06）により、
（17）
１ （１）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ） Ａ
１ （２） ∃ｘ（Ｆｘｂ） １ＵＥ
３（３） Ｆａｂ Ａ
３（４） ∀ｙ（Ｆａｙ） ３ＵＩ
３（５）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） ３ＥＩ
１ （６）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） ２３５ＥＥ
といふ「間違った計算」の、
１ （１）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ） Ａ
１ （２） ∃ｘ（Ｆｘｂ） １ＵＥ
３（３） Ｆａｂ Ａ
３（４） ∀ｙ（Ｆａｙ） ３ＵＩ
といふ「４行」は、
（１） Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝＆｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝＆｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝
（２）｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝
（３） Ｆ（ａｂ）
（４）｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝
といふ「４行」に、「相当」する。
従って、
（17）により、
（18）
（２）｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝
（３） Ｆ（ａｂ）
（４）｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝
の場合は、「結果」として、
（２）｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝
といふ「前提（premise）」を、
（４）｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝
といふ風に、「書き換へ」てゐるが、固より、
（２）と（４）は、「同じ」ではない。
従って、
（06）（17）（18）により、
（19）
（２）｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝
（３） Ｆ（ａｂ）
（４）｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝
に「相当」する所の、
１ （２） ∃ｘ（Ｆｘｂ） １ＵＥ
３（３） Ｆａｂ Ａ
３（４） ∀ｙ（Ｆａｙ） ３ＵＩ
といふ「計算」が、「マチガイ」である。といふことは、『明白』である。
従って、
（06）（17）～（19）により、
（20）
１ （１）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ） Ａ
１ （２） ∃ｘ（Ｆｘｂ） １ＵＥ
３（３） Ｆａｂ Ａ
３（４） ∀ｙ（Ｆａｙ） ３ＵＩ
３（５）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） ３ＥＩ
１ （６）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） ２３５ＥＥ
といふ「間違った計算」は、
① ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）≡｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝∨｛Ｆ（ｂａ）＆Ｆ（ｂｂ）＆Ｆ（ｂｃ）｝∨｛Ｆ（ｃａ）＆Ｆ（ｃｂ）＆Ｆ（ｃｃ）｝
② ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）≡｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝＆｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝＆｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝
といふ「等式」の、
①｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝∨｛Ｆ（ｂａ）＆Ｆ（ｂｂ）＆Ｆ（ｂｃ）｝∨｛Ｆ（ｃａ）＆Ｆ（ｃｂ）＆Ｆ（ｃｃ）｝
②｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝＆｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝＆｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝
といふ「右辺」を見ることによって、「それがマチガイである。」といふことが、『明白』になる。
（21）
③｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、３つの対象から成る世界を取り扱っていると仮定すると、
③ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ） といふ『選言の、選言』は、
（ⅰ） Ｆ（ｘａ）∨Ｆ（ｘｂ）∨Ｆ（ｘｃ）
（ⅱ）｛Ｆ（ｘａ）∨Ｆ（ｘｂ）∨Ｆ（ｘｃ）｝∨｛Ｆ（ｘａ）∨Ｆ（ｘｂ）∨Ｆ（ｘｃ）｝∨｛Ｆ（ｘａ）∨Ｆ（ｘｂ）∨Ｆ（ｘｃ）｝（
（ⅲ）｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ａｃ）｝∨｛Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｂｃ）｝∨｛Ｆ（ｃａ）∨Ｆ（ｃｂ）∨Ｆ（ｃｃ）｝（
といふ「手順」で、「展開」出来る。
（22）
④｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、３つの対象から成る世界を取り扱っていると仮定すると、
④ ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ） といふ『選言の、選言』は、
（ⅰ） Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨Ｆ（ｃｘ）
（ⅱ）｛Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨Ｆ（ｃｘ）｝∨｛Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨Ｆ（ｃｘ）｝∨｛Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨Ｆ（ｃｘ）｝
（ⅲ）｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝∨｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝∨｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝
といふ「手順」で、「展開」出来る。
然るに、
（21）（22）により、
（23）
「結合法則」と「交換法則」により、
③｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ａｃ）｝∨｛Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｂｃ）｝∨｛Ｆ（ｃａ）∨Ｆ（ｃｂ）∨Ｆ（ｃｃ）｝
④｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝∨｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝∨｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（24）
③ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）
④ ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）
③ Ｆ＝愛す。
④ Ｆ＝愛す。
であるならば、
③ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）≡ある人は、ある人を愛す。
④ ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）≡ある人は、ある人によって、愛される。
に於いて、
③ と ④ は、「同じこと」である。
従って、
（23）（24）により、
（25）
③ ∃ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
④ ∃ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」がさうであるやうに、
③ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）
④ ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）
といふ「述語論理式」に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。
従って、
（04）（25）により、
（26）
① ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）
② ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）
③ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）
④ ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）
に於いて、
①＝② ではないが、
③＝④ である。
（01）
∨Ｅ とのアナロジーは、特殊な場合として、ｍとｎのみを含む、２つの対象から成る世界を取り扱っていると仮定することによって、明らかにされる。その場合には、この世界に対して、∃ｘ（Ｇｘ）は Ｇｍ∨Ｇｎ に等しい。
（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１４５頁）
従って、
（01）により、
（02）
｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、３つの対象から成る世界を取り扱っていると仮定すると、
① ∃ｘ（Ｆｘ）≡Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ である。
然るに、
（02）により、
（03）
① ∃ｘ（Ｆｘ）≡Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ であるならば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）≡Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ でなければ、ならない。
然るに、
（03）により、
（04）
① ∃ｘ（Ｆｘ）≡Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ であって、
② ∀ｘ（Ｆｘ）≡Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ であるならば、
③ ∀ｘ∃ｙ（Ｆｙｘ） の場合は、「次（05）の手順」で、「展開」出来る。
（05）
（ⅰ） Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨（ｃｘ）
（ⅱ）｛Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨（ｃｘ）｝＆｛Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨（ｃｘ）｝＆｛Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨（ｃｘ）｝
（ⅲ）｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨（ｃａ）｝＆｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨（ｃｂ）｝＆｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨（ｃｃ）｝
従って、
（02）（04）（05）により、
（06）
｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、３つの対象から成る世界を取り扱っていると仮定すると、
③ ∀ｘ∃ｙ（Ｆｙｘ）≡｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨（ｃａ）｝＆｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨（ｃｂ）｝＆｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（04）（05）（06）により、
（07）
｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、３人の対象から成る世界を取り扱っていると仮定すると、
① ∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝
といふ「述語論理式」は、
（ⅰ）
｛少年ｘ→（少女ａ＆愛ｘａ）∨（少女ｂ＆愛ｘｂ）∨（少女ｃ＆愛ｘｃ）｝
（ⅱ）
｛少年ｘ→（少女ａ＆愛ｘａ）∨（少女ｂ＆愛ｘｂ）∨（少女ｃ＆愛ｘｃ）｝＆
｛少年ｘ→（少女ａ＆愛ｘａ）∨（少女ｂ＆愛ｘｂ）∨（少女ｃ＆愛ｘｃ）｝＆
｛少年ｘ→（少女ａ＆愛ｘａ）∨（少女ｂ＆愛ｘｂ）∨（少女ｃ＆愛ｘｃ）｝
（ⅲ）
｛少年ａ→（少女ａ＆愛ａａ）∨（少女ｂ＆愛ａｂ）∨（少女ｃ＆愛ａｃ）｝＆
｛少年ｂ→（少女ａ＆愛ｂａ）∨（少女ｂ＆愛ｂｂ）∨（少女ｃ＆愛ｂｃ）｝＆
｛少年ｃ→（少女ａ＆愛ｃａ）∨（少女ｂ＆愛ｃｂ）∨（少女ｃ＆愛ｃｃ）｝
といふ「手順」で、「展開」出来る。
然るに、
（08）
少年ａ→（少女ａ＆愛ａａ）
少年ｂ→（少女ｂ＆愛ｂｂ）
少年ｃ→（少女ｃ＆愛ｃｃ）
であるならば、「ある少年は、少女である」といふことになり、「矛盾」する。
従って、
（07）（08）により、
（09）
｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、３人の対象から成る世界を取り扱っていると仮定すると、
① ∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝
といふ「述語論理式」は、
②｛少年ａ→（少女ｂ＆愛ａｂ）∨（少女ｃ＆愛ａｃ）｝＆
③｛少年ｂ→（少女ａ＆愛ｂａ）∨（少女ｃ＆愛ｂｃ）｝＆
④｛少年ｃ→（少女ａ＆愛ｃａ）∨（少女ｂ＆愛ｃｂ）｝
といふ「連言」に、「等しい」。
然るに、
（01）～（09）により、
（10）
⑤ ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝
といふ「述語論理式」は、
（ⅰ）
⑤｛少女ｘ＆（少年ａ→愛ａｘ）＆｛少女ｘ＆（少年ｂ→愛ｂｘ）＆｛少女ｘ＆（少年ｃ→愛ｃｘ｝
（ⅱ）
⑥｛少女ｘ＆（少年ａ→愛ａｘ）＆｛少女ｘ＆（少年ｂ→愛ｂｘ）＆｛少女ｘ＆（少年ｃ→愛ｃｘ）｝∨
⑦｛少女ｘ＆（少年ａ→愛ａｘ）＆｛少女ｘ＆（少年ｂ→愛ｂｘ）＆｛少女ｘ＆（少年ｃ→愛ｃｘ）｝∨
⑧｛少女ｘ＆（少年ａ→愛ａｘ）＆｛少女ｘ＆（少年ｂ→愛ｂｘ）＆｛少女ｘ＆（少年ｃ→愛ｃｘ）
（ⅲ）
⑥｛少女ａ＆（少年ｂ→愛ｂａ）＆｛少女ａ＆（少年ｃ→愛ｃａ）｝∨
⑦｛少女ｂ＆（少年ａ→愛ａｂ）＆｛少女ｂ＆（少年ｃ→愛ｃｂ）｝∨
⑧｛少女ｃ＆（少年ａ→愛ａｃ）＆｛少女ｃ＆（少年ｂ→愛ｂｃ）｝
といふ「手順」で、「展開」出来る。
従って、
（09）（10）により、
（11）
｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、３人の対象から成る世界を取り扱っていると仮定すると、
⑤ ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝
といふ「述語論理式」は、
⑥｛少女ａ＆（少年ｂ→愛ｂａ）＆｛少女ａ＆（少年ｃ→愛ｃａ）｝∨
⑦｛少女ｂ＆（少年ａ→愛ａｂ）＆｛少女ｂ＆（少年ｃ→愛ｃｂ）｝∨
⑧｛少女ｃ＆（少年ａ→愛ａｃ）＆｛少女ｃ＆（少年ｂ→愛ｂｃ）｝
といふ「選言」に、「等しい」。
然るに、
（12）
②｛少年ａ→（少女ｂ＆愛ａｂ）∨（少女ｃ＆愛ａｃ）｝＆
③｛少年ｂ→（少女ａ＆愛ｂａ）∨（少女ｃ＆愛ｂｃ）｝＆
④｛少年ｃ→（少女ａ＆愛ｃａ）∨（少女ｂ＆愛ｃｂ）｝
といふ「連言」が、「真である」といふことは、
② は「真」であり、
③ も「真」であり、
④ も「真」である。
といふ、ことである。
然るに、
（13）
②｛少年ａ→（少女ｂ＆愛ａｂ）∨（少女ｃ＆愛ａｃ）｝＆
③｛少年ｂ→（少女ａ＆愛ｂａ）∨（少女ｃ＆愛ｂｃ）｝＆
⑥｛少女ａ＆（少年ｂ→愛ｂａ）＆｛少女ａ＆（少年ｃ→愛ｃａ）｝∨
⑦｛少女ｂ＆（少年ａ→愛ａｂ）＆｛少女ｂ＆（少年ｃ→愛ｃｂ）｝∨
に於いて、
②と⑥ の場合、「ａは少年であり」、
③と⑦ の場合、「ａは少女である」ため、一見すると、「矛盾」する。
然る、
（14）
②｛少年ａ→（少女ｂ＆愛ａｂ）∨（少女ｃ＆愛ａｃ）｝＆
③｛少年ｂ→（少女ａ＆愛ｂａ）∨（少女ｃ＆愛ｂｃ）｝＆
④｛少年ｃ→（少女ａ＆愛ｃａ）∨（少女ｂ＆愛ｃｂ）｝
⑥｛少女ａ＆（少年ｂ→愛ｂａ）＆｛少女ａ＆（少年ｃ→愛ｃａ）｝∨
⑦｛少女ｂ＆（少年ａ→愛ａｂ）＆｛少女ｂ＆（少年ｃ→愛ｃｂ）｝∨
⑧｛少女ｃ＆（少年ａ→愛ａｃ）＆｛少女ｃ＆（少年ｂ→愛ｂｃ）｝
に於いて、「ａ、ｂ、ｃ」は、「任意の名前（arbitrary name）」であって、「固有名（proper name）」ではない。
従って、
（13）（14）により、
（15）
① ∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝≡
②｛少年ａ→（少女ｂ＆愛ａｂ）∨（少女ｃ＆愛ａｃ）｝＆
③｛少年ｂ→（少女ａ＆愛ｂａ）∨（少女ｃ＆愛ｂｃ）｝＆
④｛少年ｃ→（少女ａ＆愛ｃａ）∨（少女ｂ＆愛ｃｂ）｝
といふ「等式」に、「問題」は無いし、
⑤ ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝≡
⑥｛少女ａ＆（少年ｂ→愛ｂａ）＆｛少女ａ＆（少年ｃ→愛ｃａ）｝∨
⑦｛少女ｂ＆（少年ａ→愛ａｂ）＆｛少女ｂ＆（少年ｃ→愛ｃｂ）｝∨
⑧｛少女ｃ＆（少年ａ→愛ａｃ）＆｛少女ｃ＆（少年ｂ→愛ｂｃ）｝
といふ「等式」にも、「問題」は無い。
然るに、
（16）
②｛少年ａ→（少女ｂ＆愛ａｂ）∨（少女ｃ＆愛ａｃ）｝＆
③｛少年ｂ→（少女ａ＆愛ｂａ）∨（少女ｃ＆愛ｂｃ）｝＆
④｛少年ｃ→（少女ａ＆愛ｃａ）∨（少女ｂ＆愛ｃｂ）｝
といふ「命題」、すなはち、
｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、３人の対象から成る世界を取り扱っていると仮定した上での、
②｛少年ａは、少女ｂか、少女ｃを愛す。｝そして、
③｛少年ｂは、少女ａか、少女ｃを愛す。｝そして、
④｛少年ｃは、少女ａか、少女ｂを愛す。｝
といふ「命題」は、結局は、
①｛すべての少年は、ある少女を愛す。｝
といふ「意味」になる。
（17）
⑥｛少女ａ＆（少年ｂ→愛ｂａ）＆｛少女ａ＆（少年ｃ→愛ｃａ）｝∨
⑦｛少女ｂ＆（少年ａ→愛ａｂ）＆｛少女ｂ＆（少年ｃ→愛ｃｂ）｝∨
⑧｛少女ｃ＆（少年ａ→愛ａｃ）＆｛少女ｃ＆（少年ｂ→愛ｂｃ）｝
といふ「命題」、すなはち、
｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、３人の対象から成る世界を取り扱っていると仮定した上での、
⑥｛少女ａは、ｂが少年であるならば、ｂによって愛され、そして、ｃが少年であるならば、ｃによって愛されるか、｝または、
⑦｛少女ｂは、ａが少年であるならば、ａによって愛され、そして、ｃが少年であるならば、ｃによって愛されるか、｝または、
⑧｛少女ｃは、ａが少年であるならば、ａによって愛され、そして、ｂが少年であるならば、ｂによって愛される｝。
といふ「命題」は、結局は、
⑤｛ある少女は、すべての少年によって、愛される。｝
といふ、「意味」になる。
従って、
（15）（16）（17）により、
（18）
① ∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝≡｛すべての少年は、ある少女を愛す。｝
⑤ ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝≡｛ある少女は、すべての少年によって、愛される。｝
であって、尚且つ、これらの「論理式」は、それぞれ、
①｛少年ａ→（少女ｂ＆愛ａｂ）∨（少女ｃ＆愛ａｃ）｝＆｛少年ｂ→（少女ａ＆愛ｂａ）∨（少女ｃ＆愛ｂｃ）｝＆｛少年ｃ→（少女ａ＆愛ｃａ）∨（少女ｂ＆愛ｃｂ）｝
⑤｛少女ａ＆（少年ｂ→愛ｂａ）＆少女ａ＆（少年ｃ→愛ｃａ）｝∨｛少女ｃ＆（少年ａ→愛ａｃ）＆少女ｃ＆（少年ｂ→愛ｂｃ）｝∨｛少女ｃ＆（少年ａ→愛ａｃ）＆少女ｃ＆（少年ｂ→愛ｂｃ）｝
といふ風に、「展開」出来る。
従って、
（18）により、
（19）
例へば、
⑨ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝≡｛象は鼻が長い。｝
⑩ ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝≡｛鼻は象が長い。｝
といふ「述語論理式」であっても、それぞれ、「然るべき型」に、「展開」出来るに、違ひない。
（01）
（ⅰ）
１ （１）（Ａ→Ｂ）＆（Ａ→Ｃ） 仮定
２（２） Ａ 仮定
１ （３） Ａ→Ｂ １＆Ｅ
１２（４） Ｂ ２３ＭＰＰ
２（５） Ａ→Ｃ １＆Ｅ
１２（６） Ｃ ２５ＭＰＰ
１２（７） Ｂ＆Ｃ ４６＆Ｉ
１ （８） Ａ→Ｂ＆Ｃ ２７ＣＰ
（ⅱ）
１ （１）Ａ→～（Ｂ⇔Ｃ） 仮定
２ （２）Ａ 仮定
１２ （３） ～（Ｂ⇔Ｃ） １２ＭＰＰ
１２ （４） ～｛（Ｂ→Ｃ）＆ （Ｃ→Ｂ）｝ ３Ｄｆ.⇔
１２ （５） ～（Ｂ→Ｃ）∨～（Ｃ→Ｂ） ４ド・モルガンの法則
１２ （６） （Ｂ→Ｃ）→～（Ｃ→Ｂ） ５含意の定義
３ （７） （Ｂ→Ｃ） Ａ
１２３ （８） ～（Ｃ→Ｂ） ６７ＭＰＰ
１２３ （９） ～（～Ｃ∨Ｂ） ８含意の定義
１２３ （ア） （Ｃ＆～Ｂ） ９ド・モルガンの法則
１２ （イ） （Ｂ→Ｃ）→（Ｃ＆～Ｂ） ３アＣＰ
１ （ウ）Ａ→｛（Ｂ→Ｃ）→（Ｃ＆～Ｂ）｝ ２イＣＰ
エ （エ）Ａ＆ （Ｂ→Ｃ） 仮定
エ （オ）Ａ エ＆Ｅ
１ エ （カ） （Ｂ→Ｃ）→（Ｃ＆～Ｂ） ウオＭＰＰ
エ （キ） （Ｂ→Ｃ） エ＆Ｅ
１ エ （ク） （Ｃ＆～Ｂ） カキＭＰＰ
１ （ケ）Ａ＆ （Ｂ→Ｃ）→（Ｃ＆～Ｂ） エクＣＰ
コ （コ）Ａ＆（Ｃ∨～Ｂ） 仮定
コ （サ）Ａ コ＆Ｅ
コ （シ） （Ｃ∨～Ｂ） コ＆Ｅ
コ （ス） （～Ｂ∨Ｃ） シ交換法則
コ （セ） （Ｂ→Ｃ） ス含意の定義
コ （ソ）Ａ＆ （Ｂ→Ｃ） サセ＆Ｉ
１ コ （タ） （Ｃ＆～Ｂ） ケソＭＰＰ
１ （チ）Ａ＆（Ｃ∨～Ｂ）→（Ｃ＆～Ｂ） コタＣＰ
ツ（ツ）Ａ＆ Ｃ 仮定
ツ（テ）Ａ ツ＆Ｅ
ツ（ト） Ｃ ツ＆Ｅ
ツ（ナ） Ｃ∨～Ｂ ト∨Ｉ
ツ（ニ）Ａ＆（Ｃ∨～Ｂ） テナ＆Ｉ
１ ツ（ヌ） （Ｃ＆～Ｂ） チニＭＰＰ
１ （ネ） （Ａ＆Ｃ）→（Ｃ＆～Ｂ） ツヌＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
①（Ａ→Ｂ）＆（Ａ→Ｃ）├ Ａ→Ｂ＆Ｃ
② Ａ→～（Ｂ⇔Ｃ）├ Ａ＆Ｃ→Ｃ＆～Ｂ
といふ「連式（Sequents）」は、両方とも、「妥当（valid）」である。
従って、
（02）により、
（03）
①（ＡならばＢであり）、尚且つ、（ＡならばＣである）。従って、Ａならば、ＢであってＣである。
② Ａならば、（ＢとＣが、同時に、真である）ことない。従って、ＡであってＣであるならば、Ｃではあるが、Ｂではない。
といふ「推論」は、「妥当（valid）」である。
従って、
（03）により、
（04）
Ａ＝１００円をもっている。
Ｂ＝缶コーヒーが買える。
Ｃ＝缶ジュースが買える、
とするならば、
①（１００円あれば、缶コーヒーが買え）、尚且つ、（１００円あれば、缶ジュースが買える）。 従って、１００円あれば、缶コーヒーと缶ジュースが買える。
② １００円あれば、（一度に、缶コーヒーと、缶ジュースの両方が買える）というわけではない。１００円で、缶ジュースを買うならば、缶ジュースは買えるが、缶コーヒーは買えない。
といふ「推論」は、「妥当（valid）」である。
然るに、
（05）
1980年代後半に見出されて脚光を浴びた新しい論理体系に 「線形論理」がある。線形論理の大きな特徴は「資源」の概念を扱えるという点にある。このことを説明するために しばしば次のような例え話が引き合いに出される。100円の缶コーヒーと100円の缶ジュースが買える自動販売機があるとする。 「100円をもっている」という命題をＡ、「缶コーヒーが買える」 という命題をＢ、「缶ジュースが買える」という命題をＣとすると、この状況は「Ａ→Ｂ」および「Ａ→Ｃ」となる。古典論理では これから「Ａ→Ｂ＆Ｃ」が導かれるが、これは「100円あれば 缶コーヒーと缶ジュースが両方買える」という意味になり、 明らかに経済概念に合わない。本当は「100円あれば 缶コーヒーと缶ジュースのどちらか一方のみが買える」とか 「100円玉が2枚あれば缶コーヒーと缶ジュースが買える」 という命題が出て来てほしい。線形論理ではこのような状況が 正しく記述できるのである。このような例を敷延すれば、 計算機やネットワーク上で複数のプログラム（プロセス）が 共有資源にアクセスするような状況も同様であり、実際に、 そのような状況を線形論理で扱うような研究も行われている（I. 記号論理学とは何か）。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
『この状況は「Ａ→Ｂ」および「Ａ→Ｃ」となる。古典論理では これから「Ａ→Ｂ＆Ｃ」が導かれるが、これは「100円あれば 缶コーヒーと缶ジュースが両方買える」という意味になり、 明らかに経済概念に合わない。』とは言ふものの、
①（Ａ→Ｂ）＆（Ａ→Ｃ）├ Ａ→Ｂ＆Ｃ
では困る。といふのであれば、ただ単に、
② Ａ→～（Ｂ⇔Ｃ）├ Ａ＆Ｃ→Ｃ＆～Ｂ
といふ風に、書けば良い。といふことに、過ぎない。
従って、
（05）（06）により、
（07）
私としては、「100円の缶コーヒーと100円の缶ジュースが買える自動販売機があるとする。」といふ「以外の例」を、知りたい。
と、思ってゐる。
（01）
① 弟子必不レ如レ師＝
① 弟子必不〔如（師）〕⇒
① 弟子必〔（師）如〕不＝
① 弟子は必ず〔（師に）如か〕不＝
① 弟子は必ず、師に及ばない。
（02）
② 弟子不二必不一レ如レ師＝
② 弟子不［必不〔如（師）〕］⇒
② 弟子［必〔（師）如〕不］不＝
② 弟子は［必ずしも〔（師に）如か〕不んば］あら不＝
② 弟子は必ずしも、師に及ばない。といふわけではない。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① 弟子必不レ如レ師。
② 弟子不二必不一レ如レ師。
に於いて、
②は、「①の否定」である。
然るに、
（04）
① 弟子は必ず、師に及ばない。
であれば、
① ∀ｘ∀ｙ（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ→～及ｘｙ）≡
① すべてのｘとすべてのｙについて（ｘがｙの弟子であって、ｙがｘの師匠であるならば、ｘはｙに及ばない）。
といふ「述語論理式」に、相当する。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
② 弟子は必ずしも、師に及ばない。といふわけではない。
であれば、
② ～∀ｘ∀ｙ（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ→～及ｘｙ）
といふ「述語論理式」に、相当する。
然るに、
（06）
（ⅱ）
１ （１）～∀ｘ∀ｙ（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ→～及ｘｙ） Ａ
１ （２）∃ｘ～∀ｙ（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ→～及ｘｙ） １量化子の関係
１ （３）∃ｘ∃ｙ～（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ→～及ｘｙ） ２量化子の関係
４ （４） ∃ｙ～（弟子ａｙ＆師匠ｙａ→～及ａｙ） Ａ
５（５） ～（弟子ａｂ＆師匠ｂａ→～及ａｂ） Ａ
５（６） ～｛～（弟子ａｂ＆師匠ｂａ）∨～及ａｂ） ５含意の定義
５（７） （弟子ａｂ＆師匠ｂａ）＆ 及ａｂ ６ド・モルガンの法則
５（８） （弟子ａｂ＆師匠ｂａ＆及ａｂ） ７結合法則
５（９） ∃ｙ（弟子ａｙ＆師匠ｙａ＆及ａｙ） ８ＥＩ
４ （ア） ∃ｙ（弟子ａｙ＆師匠ｙａ＆及ａｙ） ４５９ＥＥ
４ （イ） ∃ｘ∃ｙ（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ＆及ｘｙ） アＥＩ
１ （ウ） ∃ｘ∃ｙ（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ＆及ｘｙ） １４イＥＥ
（ⅲ）
１ （１） ∃ｘ∃ｙ（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ＆及ｘｙ） Ａ
２ （２） ∃ｙ（弟子ａｙ＆師匠ｙａ＆及ａｙ） Ａ
３（３） （弟子ａｂ＆師匠ｂａ＆及ａｂ） Ａ
３（４） （弟子ａｂ＆師匠ｂａ）＆ 及ａｂ ３結合法則
３（５） ～｛～（弟子ａｂ＆師匠ｂａ）∨～及ａｂ） ４ド・モルガンの法則
３（６） ～（弟子ａｂ＆師匠ｂａ→～及ａｂ） ５含意の定義
３（７） ∃ｙ～（弟子ａｙ＆師匠ｙａ→～及ａｙ） ６ＥＩ
２ （８） ∃ｙ～（弟子ａｙ＆師匠ｙａ→～及ａｙ） ２３７ＥＥ
２ （９）∃ｘ∃ｙ～（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ→～及ｘｙ） ８ＥＩ
１ （ア）∃ｘ∃ｙ～（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ→～及ｘｙ） １２９ＥＥ
１ （イ）∃ｘ～∀ｙ（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ→～及ｘｙ） ア量化子の関係
１ （ウ）～∀ｘ∀ｙ（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ→～及ｘｙ） イ量化子の関係
従って、
（06）により、
（07）
② ～∀ｘ∀ｙ（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ→～及ｘｙ）
③ ∃ｘ∃ｙ（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ＆ 及ｘｙ）
に於いて、すなはち、
② すべてのｘとすべてのｙについて（ｘがｙの弟子であって、ｙがｘの師匠であるならば、ｘはｙに及ばない）といふわけではない。
③ あるｘとあるｙについて（ｘはｙの弟子であって、ｙはｘの師匠であっ、 ｘはｙに及んでゐる）。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（08）
③ ∃ｘ∃ｙ（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ＆及ｘｙ）≡
③ あるｘとあるｙについて（ｘはｙの弟子であって、ｙはｘの師匠であって、ｘはｙに及んでゐる）。
といふことは、
③ ある弟子は、師匠よりも優れてゐる。⇔
③ ある師匠は、弟子に及ばない。
といふ「意味」である。
ｃｆ.
孔子は郯子・萇弘・師襄・老耼・を師としたが、郯子の仲間は、その徳のすぐれていること、孔子には及ばなかった。
（明治書院、新釈漢文大系 ７０、1926年、８８頁）
従って、
（01）～（08）により、
（09）
① 弟子不二必不一レ如レ師。
② 弟子は必ずしも、師に及ばない。といふわけではない。
③ A disciple is not always inferior to his master.
④ ～∀ｘ∀ｙ（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ→～及ｘｙ）
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（10）
「論理」は、「すべての人類」にとって、「共通」である。
従って、
（09）（10）により、
（11）
「初めに（エン アルケー）」、
④ ～∀ｘ∀ｙ（弟子ｘｙ＆師匠ｙｘ→～及ｘｙ）
といふ「論理（ロゴス）」が有って、その「翻訳」として、
① 弟子不二必不一レ如レ師。
② 弟子は必ずしも、師に及ばない。といふわけではない。
③ A disciple is not always inferior to his master.
といふ「諸言語」が有るのかも知れない。
と、思ったりするのであるが、果たして、「本当に、さうなのだらうか？」。
（01）
３ つぎの定理を証明せよ。
（ａ）├ ∀ｙ（∀ｘＦｘ→Ｆｙ）
（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、２０３頁）
（02）
― 私による「解答」―
１ （１） Ｆα Ａ
（２） Ｆα→Ｆα １１ＣＰ
３（３） ∀ｘＦｘ Ａ
３（４） Ｆα ３ＵＥ
３（５） Ｆα ２４ＭＰＰ
（６） ∀ｘＦｘ→Ｆα ３５ＣＰ
（７）∀ｙ（∀ｘＦｘ→Ｆｙ） ６ＵＩ
従って、
（01）（02）により、
（03）
（ａ）├ ∀ｙ（∀ｘＦｘ→Ｆｙ）
といふ「連式」は、「定理（トートロジー）」である。
然るに、
（04）
｛α、β、γ｝が｛変域（ドメイン）」である場合、
（ａ）├ ∀ｙ（∀ｘＦｘ→Ｆｙ）
といふ「連式」は、
① （Ｆα∨Ｆβ∨Ｆγ）→Ｆｙ
② ～（Ｆα∨Ｆβ∨Ｆγ）∨Ｆｙ
③ （～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆｙ
④｛（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆα｝＆｛（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆβ｝＆｛（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆγ｝
といふ「形」に、「展開」できる。
然るに、
（05）
④｛（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆα｝＆｛（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆβ｝＆｛（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆγ｝
といふ「それ」は、
⑤ ＆Ｅ（連言除去）
⑥ ＆Ｅ（連言除去）
⑦ ∨Ｅ（選言除去）
⑧ 含意の定義（Ｄｆ.→）
⑨ ＆Ｉ（連言導入）
により、
⑩｛Ｆα→Ｆα｝＆｛Ｆβ→Ｆβ｝＆｛Ｆγ→Ｆγ｝
といふ「型」に、「書き換へ」ことが出来る。
然るに、
（06）
⑩｛Ｆα→Ｆα｝＆｛Ｆβ→Ｆβ｝＆｛Ｆγ→Ｆγ｝
といふ「式」は、
⑩｛αがＦであるならば、αはＦであり｝＆｛βがＦであるならば、βはＦであり｝＆｛γがＦであるならば、γはＦである｝。
といふ「意味」である。
然るに、
（07）
｛α、β、γ｝が｛変域（ドメイン）」である場合、
⑩｛Ｆα→Ｆα｝＆｛Ｆβ→Ｆβ｝＆｛Ｆγ→Ｆγ｝≡
⑩｛αがＦであるならば、αはＦであり｝＆｛βがＦであるならば、βはＦであり｝＆｛γがＦであるならば、γはＦである｝。
といふことは、
⑩ ∀ｘ（Ｆｘ→Ｆｘ）≡すべてのｘについて（ｘがＦであるならば、ｘはＦである）。
といふことに、他ならない。
（08）
「Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、２０３頁」でいふ所の『定理（theorem）』とは『恒真式（トートロジー）』に他ならない。
然るに、
（09）
⑩ ∀ｘ（Ｆｘ→Ｆｘ）≡すべてのｘについて（ｘがＦであるならば、ｘはＦである）。
といふ「同一律」は、『恒真式（トートロジー）』である。
従って、
（01）～（09）により、
（10）
１ （１） Ｆα Ａ
（２） Ｆα→Ｆα １１ＣＰ
３（３） ∀ｘＦｘ Ａ
３（４） Ｆα ３ＵＥ
３（５） Ｆα ２４ＭＰＰ
（６） ∀ｘＦｘ→Ｆα ３５ＣＰ
（７）∀ｙ（∀ｘＦｘ→Ｆｙ） ６ＵＩ
といふ「計算」、並びに、
① （Ｆα∨Ｆβ∨Ｆγ）→Ｆｙ
② ～（Ｆα∨Ｆβ∨Ｆγ）∨Ｆｙ
③ （～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆｙ
④｛（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆα｝＆｛（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆβ｝＆｛（～Ｆα＆～Ｆβ＆～Ｆγ）∨Ｆγ｝
といふ「それ」により、
（ａ）├ ∀ｙ（∀ｘＦｘ→Ｆｙ）
といふ「連式」は、『定理（恒真式）』である。
（01）
① ∀ｘ（ Ｆｘ）≡すべてのｘはＦである。
② ∀ｘ（～Ｆｘ）≡すべてのｘはＦでない。
③ ～∀ｘ（ Ｆｘ）≡すべてのｘはＦである。といふわけではない。
④ ～∀ｘ（～Ｆｘ）≡すべてのｘはＦでない。といふわけではない。
⑤ ～∃ｘ（～Ｆｘ）≡ あるｘがＦでない。といふことはない。
⑥ ～∃ｘ（ Ｆｘ）≡ あるｘがＦである。といふことはない。
⑦ ∃ｘ（～Ｆｘ）≡ あるｘはＦでない。
⑧ ∃ｘ（ Ｆｘ）≡ あるｘはＦである。
に於いて、
①＝⑤
②＝⑥
③＝⑦
④＝⑧
であって、
①≠⑤
②≠⑥
③≠⑦
④≠⑧
ではない。
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ） ∀ｘ（ Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（～Ｆｘ）
（ⅱ） ∀ｘ（～Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（ Ｆｘ）
（ⅲ）～∀ｘ（ Ｆｘ）⇔ ∃ｘ（～Ｆｘ）
（ⅳ）～∀ｘ（～Ｆｘ）⇔ ∃ｘ（ Ｆｘ）
といふ「等式」は、すべて、「背理法（ＲＡＡ）」によって、「証明」出来る。
然るに、
（03）
（ａ）ｘは男である（ Ｆｘ）。
（ｂ）ｘは女でない（～Ｆｘ）。
に於いて、
（ａ）＝（ｂ） である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
（ⅰ） ∀ｘ（ Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（～Ｆｘ）
（ⅱ） ∀ｘ（～Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（ Ｆｘ）
の場合は、
（ⅰ） ∀ｘ（ 男ｘ）⇔ ～∃ｘ（～男ｘ）
（ⅱ） ∀ｘ（～女ｘ）⇔ ～∃ｘ（ 女ｘ）
といふ「代入」を行へば、
（ⅰ）＝（ⅱ） であって、
（ⅲ）～∀ｘ（ Ｆｘ）⇔ ∃ｘ（～Ｆｘ）
（ⅳ）～∀ｘ（～Ｆｘ）⇔ ∃ｘ（ Ｆｘ）
の場合も、
（ⅲ）～∀ｘ（ 男ｘ）⇔ ∃ｘ（～男ｘ）
（ⅳ）～∀ｘ（～女ｘ）⇔ ∃ｘ（ 女ｘ）
といふ「代入」を行へば、
（ⅲ）＝（ⅳ） である。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
（ⅰ） ∀ｘ（ Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（～Ｆｘ）
（ⅲ）～∀ｘ（ Ｆｘ）⇔ ∃ｘ（～Ｆｘ）
といふ「２通り」を、「証明」すれば、
（ⅰ） ∀ｘ（ Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（～Ｆｘ）
（ⅱ） ∀ｘ（～Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（ Ｆｘ）
（ⅲ）～∀ｘ（ Ｆｘ）⇔ ∃ｘ（～Ｆｘ）
（ⅳ）～∀ｘ（～Ｆｘ）⇔ ∃ｘ（ Ｆｘ）
といふ「４通り」を、「証明」したことになる。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ（ Ｆｘ） Ａ
１ （２） Ｆａ １ＵＥ
３ （３） ∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
４（４） ～Ｆａ Ａ
１ ４（５） Ｆａ＆～Ｆａ ３４＆Ｉ
４（６）～∀ｘ（ Ｆｘ） １５ＲＡＡ
３ （７）～∀ｘ（ Ｆｘ） ３４６ＥＥ
１３ （８） ∀ｘ（ Ｆｘ）＆
～∀ｘ（ Ｆｘ） １７＆Ｉ
１ （９）～∃ｘ（～Ｆｘ） ３８ＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
２ （２） ～Ｆａ Ａ
２ （３） ∃ｘ（～Ｆｘ） ２ＥＩ
１２ （４）～∃ｘ（～Ｆｘ）＆
∃ｘ（～Ｆｘ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｆａ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｆａ ５ＤＮ
１ （７） ∀ｘ（ Ｆｘ） ６ＵＩ
従って、
（06）により、
（07）
（ⅰ）∀ｘ（Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（～Ｆｘ）
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（08）
（ⅲ）
１ （１） ～∀ｘ（ Ｆｘ） Ａ
２ （２） ～∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
３（３） ～Ｆａ Ａ
３（４） ∃ｘ（～Ｆｘ） ３ＥＩ
２３（５） ～∃ｘ（～Ｆｘ）＆
∃ｘ（～Ｆｘ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｆａ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｆａ ６ＤＮ
２ （８） ∀ｘ（ Ｆｘ） ７ＵＩ
１２ （９） ～∀ｘ（ Ｆｘ）＆
∀ｘ（ Ｆｘ） １８＆Ｉ
１ （ア）～～∃ｘ（～Ｆｘ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ∃ｘ（～Ｆｘ） アＤＮ
（ⅳ）
１ （１） ∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
２ （２） ～Ｆａ Ａ
３（３） ∀ｘ（ Ｆｘ） Ａ
３（４） Ｆａ １ＵＥ
２３（５） ～Ｆａ＆Ｆａ ２４＆Ｉ
１ ３（６） ～Ｆａ＆Ｆａ １２５ＥＥ
１ （７）～∀ｘ（ Ｆｘ） ３６ＲＡＡ
従って、
（08）により、
（09）
（ⅲ）～∀ｘ（Ｆｘ）⇔ ∃ｘ（～Ｆｘ）
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（07）（09）により、
（10）
（ⅰ） ∀ｘ（Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（～Ｆｘ）
（ⅲ）～∀ｘ（Ｆｘ）⇔ ∃ｘ（～Ｆｘ）
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（05）（10）により、
（11）
（ⅰ） ∀ｘ（ Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（～Ｆｘ）
（ⅱ） ∀ｘ（～Ｆｘ）⇔ ～∃ｘ（ Ｆｘ）
（ⅲ）～∀ｘ（ Ｆｘ）⇔ ∃ｘ（～Ｆｘ）
（ⅳ）～∀ｘ（～Ｆｘ）⇔ ∃ｘ（ Ｆｘ）
といふ「等式（量化子の関係）」が、成立する。
然るに、
（12）
（ⅴ）
１ （１）～∀ｘ～（Ｆｘ＆～Ｆｘ） Ａ
１ （２）∃ｘ～～（Ｆｘ＆～Ｆｘ） １量化子の関係
１ （３） ∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｆｘ） ２ＤＮ
４（４） Ｆａ＆～Ｆａ Ａ
１ （５） Ｆａ＆～Ｆａ ３４４ＥＥ
（６） ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｆｘ） ３５ＲＡＡ
（７） ∀ｘ～（Ｆｘ＆～Ｆｘ） ６量化子の関係
（８） ～（Ｆａ＆～Ｆａ） ７ＵＥ
（９） ～Ｆａ∨ Ｆａ ８ド・モルガンの法則
（ア） Ｆａ→ Ｆａ ９含意の定義
（イ） ∀ｘ（Ｆｘ→ Ｆｘ） アＵＩ
従って、
（12）により、
（13）
（ⅴ）∀ｘ（Ｆｘ→Ｆｘ）≡すべてのｘについて（ｘがＦであるならば、ｘはＦである）。
といふ「命題（同一律）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（14）
（ⅵ）
１（１） Ｆａ Ａ
（２） Ｆａ→Ｆａ １１ＣＰ
（３）∀ｘ（Ｆｘ→Ｆｘ） ２ＵＩ
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
（ⅴ）
１ （１）～∀ｘ～（Ｆｘ＆～Ｆｘ） Ａ
１ （２）∃ｘ～～（Ｆｘ＆～Ｆｘ） １量化子の関係
１ （３） ∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｆｘ） ２ＤＮ
４（４） Ｆａ＆～Ｆａ Ａ
１ （５） Ｆａ＆～Ｆａ ３４４ＥＥ
（６） ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｆｘ） ３５ＲＡＡ
（７） ∀ｘ～（Ｆｘ＆～Ｆｘ） ６量化子の関係
（８） ～（Ｆａ＆～Ｆａ） ７ＵＥ
（９） ～Ｆａ∨ Ｆａ ８ド・モルガンの法則
（ア） Ｆａ→ Ｆａ ９含意の定義
（イ） ∀ｘ（Ｆｘ→ Ｆｘ） アＵＩ
といふ「計算」は、
（ⅵ）
１（１） Ｆａ Ａ
（２） Ｆａ→Ｆａ １１ＣＰ
（３）∀ｘ（Ｆｘ→Ｆｘ） ２ＵＩ
といふ「計算」で、「済ませる」ことが、出来る。
（01）
｛象、兎、馬｝を｛変域（ドメイン）｝とすると、
｛鼻は、象が長い。｝
｛耳は、兎が長い。｝
｛顔は、馬が長い。｝
従って、
（01）により、
（02）
① 鼻は象が長い。⇔ 鼻は象は長く、象以外（兎、馬）は長くない。
② 耳は兎が長い。⇔ 耳は兎は長く、兎以外（象、馬）は長くない。
③ 顔は馬が長い。⇔ 顔は馬は長く、馬以外（象、兎）は長くない。
然るに、
（03）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ｙａ＆象ａ→長ｙ）＆（鼻ｙａ＆～象ａ→～長ｙ）｝ Ａ
３ （３） （鼻ｙａ＆象ａ→長ｂ）＆（鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ） Ａ
４ （４）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ） Ａ
５ （５） ∃ｙ（兎ａ＆～象ａ＆鼻ｂａ） Ａ
６（６） 兎ａ＆～象ａ＆鼻ｂａ Ａ
６（７） 兎ａ ６＆Ｅ
６（８） ～象ａ ６＆Ｅ
６（９） 鼻ｂａ ６＆Ｅ
６（ア） 鼻ｂａ＆～象ａ ８９＆Ｉ
３ （イ） 鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ ３＆Ｅ
３ ６（ウ） ～長ｂ アイＭＰＰ
６（エ） 兎ａ＆鼻ｂａ ７９＆Ｉ
３ ６（オ） 兎ａ＆鼻ｂａ＆～長ｂ ウエ＆Ｉ
３ ６（カ） ∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ） オＥＩ
３ ５ （キ） ∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ） ５６カＥＥ
３ ５ （ク）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） キＥＩ
３４ （ケ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） ４５クＥＥ
１ ４ （コ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） ２３ケＥＥ
従って、
（03）
（04）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ）。従って、
（ⅲ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛ｙがｘの鼻であって、ｘが象であるならば、ｙは長く、ｙがｘの鼻であって、ｘが象でないならば、ｙは長くない。｝然るに、
（ⅱ）あるｘとあるｙについて｛ｘは兎であって、象ではなく、ｙはｘの鼻である。｝従って、
（ⅲ）あるｘとあるｙについて｛ｘは兎であって、ｙはｘの鼻であって、ｙは長くない。｝
従って、
（02）（05）により、
（06）
（ⅰ）鼻は象が長い（鼻は象が長く、象以外は長くない）。然るに、
（ⅱ）ある兎は象ではなく、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）鼻が長くない、兎が存在する。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（07）
（ⅱ）
１ （１）～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆ （鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆ （鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝ １量化子の関係
１ （３）∃ｘ∀ｙ～｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆ （鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝ １量化子の関係
４ （４） ∀ｙ～｛（鼻ｙａ＆象ａ→長ｙ）＆ （鼻ｙａ＆～象ａ→～長ｙ）｝ Ａ
４ （５） ～｛（鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）＆ （鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ）｝ ４ＵＥ
４ （６） ～（鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）∨～（鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ） ５ド・モルガンの法則
４ （７） （鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）→～（鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ） ６含意の定義
８（８） （鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ） Ａ
４８（９） ～（鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ） ７８ＭＰＰ
４８（ア） ～（～（鼻ｂａ＆～象ａ）∨～長ｂ） ４８含意の定義
４８（イ） （鼻ｂａ＆～象ａ）＆ 長ｂ ア、ド・モルガンの法則
４８（ウ） （鼻ｂａ＆～象ａ＆長ｂ） イ結語法則
４８（エ） （～象ａ＆鼻ｂａ＆長ｂ） ウ交換法則
４ （オ） （鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）→（～象ａ＆鼻ｂａ＆長ｂ） ８エＣＰ
４ （カ） ∀ｙ｛（鼻ｙａ＆象ａ→長ｙ）→（～象ａ＆鼻ｙａ＆長ｙ）｝ オＵＩ
４ （キ） ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ カＥＩ
１ （ク） ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ キＥＩ
１ （ケ） ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ ３４クＥＥ
（ⅲ）
１ （１） ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｙ｛（鼻ｙａ＆象ａ→長ｙ）→（～象ａ＆鼻ｙａ＆長ｙ）｝ Ａ
２ （３） （鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）→（～象ａ＆鼻ｂａ＆長ｂ） ２ＵＥ
４（４） （鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ） Ａ
２４（５） （～象ａ＆鼻ｂａ＆長ｂ） ３４ＭＰＰ
２４（６） （鼻ｂａ＆～象ａ＆長ｂ） ５交換法則
２４（７） （鼻ｂａ＆～象ａ）＆長ｂ ６結合法則
２４（８） ～（～（鼻ｂａ＆～象ａ）∨～長ｂ） ７ド・モルガンの法則
２ （９） （鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）→～（鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ） ４８ＣＰ
２ （ア） ～（鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）∨～（鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ） ９含意の定義
２ （イ） ～｛（鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）＆ （鼻ｂａ＆～象ａ→～長ｂ）｝ ア、ド・モルガンの法則
２ （ウ） ∀ｙ～｛（鼻ｙａ＆象ａ→長ｙ）＆ （鼻ｙａ＆～象ａ→～長ｙ）｝ イＵＩ
２ （エ）∃ｘ∀ｙ～｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆ （鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝ ウＥＩ
１ （カ）∃ｘ∀ｙ～｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆ （鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝ １２エＥＥ
１ （キ）∃ｘ～∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆ （鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝ カ量化子の関係
１ （ク）～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆ （鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝ キ量化子の関係
従って、
（07）により、
（08）
② ～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝
③ ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆ 長ｙ）｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（05）（07）（08）により、
（09）
② すべてのｘとあるｙについて｛ｙがｘの鼻であって、ｘが象であるならば、ｙは長く、ｙがｘの鼻であって、ｘが象でないならば、ｙは長くない。｝といふわけではない。
③ あるｘとすべてのｙについて｛ｙがｘの鼻であって、ｘが象であるならば、ｙが長いならば、他のｘは象ではなく、ｙはｘの鼻であって、ｙは長い。｝
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（10）
③ あるｘとすべてのｙについて｛ｙがｘの鼻であって、ｘが象であるならば、ｙが長いならば、他のｘは象ではなく、ｙはｘの鼻であって、ｙは長い。｝
といふことは、
③ 鼻が長い象がゐるのであれば、象以外にも、鼻が長い動物はゐる。
といふ、ことである。
従って、
（02）（09）（10）により、
（11）
② 鼻は象が長い（鼻は象が長く、象以外は長くない。）といふわけではない。
③ 鼻が長い象がゐるのであれば、象以外にも、鼻が長い動物はゐる。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（12）
１ （１）∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｙ｛（鼻ｙａ＆象ａ→長ｙ）→（～象ａ＆鼻ｙａ＆長ｙ）｝ Ａ
２ （３） （鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ）→（～象ａ＆鼻ｂａ＆長ｙ） ２ＵＥ
４ （４） ∃ｘ∃ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ） Ａ
５ （５） ∃ｙ（象ａ＆鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
６（６） 象ａ＆鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
６（７） 長ｂ ６＆Ｅ
６（８） ～（鼻ｂａ＆象ａ）∨長ｂ ７∨Ｉ
６（９） （鼻ｂａ＆象ａ→長ｂ） ８含意の定義
２ ６（ア） （～象ａ＆鼻ｂａ＆長ｙ） ３９ＭＰＰ
２ ６（イ） ∃ｙ（～象ａ＆鼻ｙａ＆長ｙ） アＥＩ
２ ５ （ウ） ∃ｙ（～象ａ＆鼻ｙａ＆長ｙ） ５６イＥＥ
２ ５ （エ） ∃ｘ∃ｙ（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ） ウＥＩ
１ ５ （オ） ∃ｘ∃ｙ（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ） １２エＥＥ
従って、
（12）により、
（13）
（ⅰ）∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∃ｘ∃ｙ（ 象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）。従って、
（ⅲ）∃ｘ∃ｙ（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（13）により、
（14）
（ⅰ）あるｘとすべてのｙについて｛ｙがｘの鼻であって、ｘが象であるならば、ｙが長いならば、ｘは象ではなく、ｙはｘの鼻であって、ｙは長い。｝然るに、
（ⅱ）あるｘとあるｙについて｛ｘは象であって、ｙはｘの鼻であって、長い。）従って、
（ⅲ）あるｘとあるｙについて｛ｘは象ではなく、ｙはｘの鼻であって、長い。）
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（14）により、
（15）
（ⅰ）鼻が長い象がゐるのであれば、象以外にも、鼻が長い動物がゐる。然るに、
（ⅱ）鼻が長い象はゐる。従って、
（ⅲ）象以外にも、鼻が長い動物がゐる。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（11）～（15）により、
（16）
（ⅰ）鼻は象が長い（鼻は象が長く、象以外は長くない。）といふわけではない。従って、
（ⅱ）鼻が長い象がゐるのであれば、象以外にも、鼻が長い動物はゐる。然るに、
（ⅲ）鼻が長い象はゐる。従って、
（ⅳ）象以外にも、鼻が長い動物がゐる。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（01）～（16）により、
（17）
① 鼻は象が長い。 ⇔ ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝。
② 鼻は象が長い。といふわけではない。⇔ ～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝。
③ 鼻は象が長い。といふわけではない。⇔ ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆ 長ｙ）｝。
といふ「等式」を、「否定」することは、出来ない。
然るに、
（18）
「現状」に於いて、
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝。
② ～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）＆（鼻ｙｘ＆～象ｘ→～長ｙ）｝。
③ ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆ 長ｙ）｝。
といふ「述語論理（Predicate logic）」に対して、「関心」を持ってゐる、「日本語の文法の、研究者」は、おそらくは、皆無に近い。
（01）
論理式 Ｐ，Ｑ，Ｒ について、Ｐ→Ｒ， Ｑ→Ｒ， Ｐ∨Ｑ がすべて真であるような任意の解釈のもとで Ｒ は必ず真になります。これは「選言除去」と呼ばれる推論規則です。
（選言除去 | 述語論理 | 論理 | 数学 | ワイズ）
然るに、
（02）
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
４ （４）Ｐ 仮定
１ ４ （５） Ｒ １４ＭＰＰ
６（６） Ｑ 仮定
２ ６（７） Ｒ ２６ＭＰＰ
１２３ （８） Ｒ ３４５６７選言除去
に於いて、「仮定の規則」により、
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
といふ「３つの仮定」は、「３つとも、真」である。
然るに、
（03）
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
４ （４）Ｐ 仮定
１ ４ （５） Ｒ １４ＭＰＰ
６（６） Ｑ 仮定
２ ６（７） Ｒ ２６ＭＰＰ
１２３ （８） Ｒ ３４５６７選言除去
に於ける、
１２３ （８） Ｒ ３４５６７選言除去
に於いて、
１２３ （８） 偽 ３４５６７選言除去
である。とする。
然るに、
（04）
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
４ （４）Ｐ 仮定
１ ４ （５） Ｒ １４ＭＰＰ
６（６） Ｑ 仮定
２ ６（７） Ｒ ２６ＭＰＰ
１２３ （８） Ｒ ３４５６７選言除去
に於ける、「５つのＲ」の内、「１つのＲが、偽である。」ならば、「５つのＲは、すべて、偽である。」
従って、
（04）により、
（05）
１ （１）Ｐ→偽 仮定
２ （２）Ｑ→偽 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
４ （４）Ｐ 仮定
１ ４ （５） 偽 １４ＭＰＰ
６（６） Ｑ 仮定
２ ６（７） 偽 ２６ＭＰＰ
１２３ （８） 偽 ３４５６７選言除去
である。
然るに、
（06）
「→」の「マトリックス（真理表）」により、
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
に於いて、
１ （１）真→偽 仮定
２ （２）真→偽 仮定
であるならば、その時に限って、
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
といふ「２つの仮定」は、「２つとも、偽である。」
従って、
（02）（05）（06）により、
（07）
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
といふ「３つの仮定」は、「３つとも、真である。」が故に、
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
といふ「２つの仮言命題」を、
１ （１）真→偽 仮定
２ （２）真→偽 仮定
であることは、無い。
従って、
（04）（07）
（08）
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
といふ「２つの仮言命題」を、
１ （１）真→偽 仮定
２ （２）真→偽 仮定
とすることは、出来ない。といふのであれば、
１ （１）偽→偽 仮定
２ （２）偽→偽 仮定
であると、「せざるを得ない」。
然るに、
（09）
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
に於いて、
１ （１）偽→偽 仮定
２ （２）偽→偽 仮定
であるならば、
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
に於いても、
１ （１）偽→偽 仮定
２ （２）偽→偽 仮定
３ （３）偽∨偽 仮定
であると、「せざるを得ない」。
然るに、
（10）
「∨」の「マトリックス（真理表）」により、
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
に於いて、
３ （３）偽∨偽 仮定
であるならば、
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
は、「偽」である。
従って、
（02）～（10）により、
（11）
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
４ （４）Ｐ 仮定
１ ４ （５） Ｒ １４ＭＰＰ
６（６） Ｑ 仮定
２ ６（７） Ｒ ２６ＭＰＰ
１２３ （８） Ｒ ３４５６７選言除去
に於ける、
１２３ （８） Ｒ ３４５６７選言除去
に於いて、
１２３ （８） 偽 ３４５６７選言除去
である。とすると、
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
といふ「３つの仮定」が、「同時に、３つとも、真である。」といふことは、「有り得ない。」
従って、
（02）（11）により、
（12）
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
４ （４）Ｐ 仮定
１ ４ （５） Ｒ １４ＭＰＰ
６（６） Ｑ 仮定
２ ６（７） Ｒ ２６ＭＰＰ
１２３ （８） Ｒ ３４５６７選言除去
に於いて、
１ （１）Ｐ→Ｒ 仮定
２ （２）Ｑ→Ｒ 仮定
３ （３）Ｐ∨Ｑ 仮定
といふ「３つの仮定」は、「３つとも、真」であると、するのであれば、
１２３ （８） Ｒ ３４５６７選言除去
に於いて、
Ｒ＝偽 である。
とすることは、出来ず、それ故、
必然的に、 Ｒ＝真 である。
従って、
（12）により、
（13）
Ｐ→Ｒ，Ｑ→Ｒ，Ｐ∨Ｑ├ Ｒ
といふ「連式（Sequent）」は、「妥当」である。
従って、
（01）（13）により、
（14）
論理式 Ｐ，Ｑ，Ｒ について、Ｐ→Ｒ， Ｑ→Ｒ， Ｐ∨Ｑ がすべて真であるような任意の解釈のもとで Ｒ は必ず真になります。これは「選言除去」と呼ばれる推論規則です。
（選言除去 | 述語論理 | 論理 | 数学 | ワイズ）
といふ「説明」は、正しい（Ｑ.Ｅ.Ｄ）。
―「先程（令和０２年０９月１４日）の記事」を補足します。―
（01）
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（〃）兎は、鼻以外（耳）も長い。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）象は鼻は長く、鼻以外は長くない。然るに、
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象であるとすると、「矛盾」する。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）象は鼻は長く、鼻以外は長くない。然るに、
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（04）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （エ） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ） ア＆Ｅ
オ（オ） 長ｂ＆耳ｂａ Ａ
オ（カ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６ （キ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ク） 耳ｂａ→～鼻ｂａ キＵＥ
２ ６ オ（ケ） ～鼻ｂａ オクＭＰＰ
１ ６ （コ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア＆Ｅ
１ ６ （サ） ～鼻ｂａ→～長ｂ コＵＥ
１２ ６ オ（シ） ～長ｂ ケサＭＰＰ
オ（ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６ オ（セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ エオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
然るに、
（05）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）
といふ「述語論理式」は、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。｝
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙは長くて、ｘの耳であり、すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない。｝
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。）
といふ「意味」である。
然るに、
（06）
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。｝
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙは長くて、ｘの耳であり、すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない。｝
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。）
といふことは、要するに、
（ⅰ）象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ、ことである。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
（ⅰ）象は鼻は長く、鼻以外は長くない。然るに、
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「日本語」としても、「述語論理」としても、「妥当」である。
然るに、
（08）
（ⅰ）象は鼻は長い（が、鼻以外に、長い部分があるかどうかは、分からない）。 とするならば、
（ⅰ）象は、鼻（と耳）が長い。
としても、「矛盾」しない。
然るに、
（09）
（ⅰ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。
といふのであれば、これだけでは、
（ⅱ）兎の鼻は、長いのか、長くないのか。
といふことに関しては、「不明」である。
従って、
（04）～（09）により、
（10）
（ⅰ）象は鼻は長い（が、鼻以外に、長い部分があるかどうかは、分からない）。
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
然るに、
（11）
１（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
ではなく、
１（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
とするならば、
（ⅰ）象は鼻は長い。
となって、
（ⅰ）象は鼻は長い。
といふことは、
（ⅰ）象は鼻は長い（が、鼻以外に、長い部分があるかどうかは、分からない）。
といふ、ことである。
然るに、
（04）（11）により、
（12）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
２（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
といふ「仮定」からは、
１２（ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
１２（〃）兎は象でない。
といふ「結論」を、得ることは、出来ない。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
（ⅰ）象は鼻は長い（が、鼻以外に、長い部分があるかどうかは、分からない）。
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「日本語」としても、「述語論理」としても、「妥当」ではない。
従って、
（01）～（13）により、
（14）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」が、「日本語」として、「妥当」であると、するならば、
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝② である。
といふことを、「否定」することは、出来ない。
然るに、
（15）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、明らかに、「妥当」である。
従って、
（14）（15）により、
（16）
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝② である。
といふことを、「否定」することは、出来ない。
―「昨日（令和０２年０９月１３日）の記事」を書き直します。―
（01）
①｛象、兎、馬、犬｝
であれば、
象は、動物であり、
兎も、動物であり、
馬も、動物であり、
犬も、動物である。
従って、
（01）により、
（02）
①｛象、兎、馬、犬｝
であれば、
① 象が動物である。
とは、言へない。
然るに、
（03）
①｛象、机、車、家｝
であれば、
象は、動物であり、
机は、動物ではなく
車も、動物ではなく、
家も、動物ではない。
従って、
（03）により、
（04）
①｛象、机、車、家｝
であれば、
① 象が動物である。
然るに、
（05）
①｛象、机、車、家｝
於いて、
象は、動物であり、
机は、動物ではなく、
車も、動物ではなく、
家も、動物ではない。
といふことは、
① 象は動物であり、象以外（机、車、家）は動物ではない。
といふことに、他ならない。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① ＡがＢである。
ならば、そのときに限って、
② ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。
然るに、
（07）
（ⅰ）
１ （１） ～Ａ→～Ｂ 仮定
２ （２） Ｂ 仮定
３（３） ～Ａ 仮定
１ ３（４） ～Ｂ １３前件肯定
１２３（５） Ｂ＆～Ｂ ２４＆導入
１２ （６）～～Ａ ３５背理法
１２ （７） Ａ ６二重否定
１ （８） Ｂ→ Ａ ２７条件法
（ⅱ）
１ （１） Ｂ→ Ａ 仮定
２ （２） ～Ａ 仮定
３（３） Ｂ 仮定
１ ３（４） Ａ １３前件肯定
１２３（５） ～Ａ＆Ａ ２４＆導入
１２ （６） ～Ｂ ３５ＲＡＡ
１ （７） ～Ａ→～Ｂ ２６条件法
従って、
（07）により、
（08）
① ～Ａ→～Ｂ≡Ａでないならば、Ｂでない。
② Ｂ→ Ａ≡Ｂであるならば、Ａである。
に於いて、
①＝② は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（09）
① Ａ以外はＢでない。
② ＢはＡである。
に於いて、
①＝② は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（06）（09）により、
（10）
① ＡがＢである。
② ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。
③ ＡはＢであり、ＢはＡである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（10）により、
（11）
① Ｃは、ＡがＢである。
② Ｃは、ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。
③ Ｃは、ＡはＢであり、ＢはＡである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（11）により、
（12）
① Ｃは、ＡがＢである。
② Ｃは、ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。
③ Ｃは、ＡはＢであり、ＢはＡである。
に於いて、
Ｃ＝タゴール記念会
Ａ＝私
Ｂ＝理事長
といふ「代入（Substitutions）」を行ふと、
① タゴール記念会は、私が理事長である。
② タゴール記念会は、私は理事長であり、私以外は理事長でない。
③ タゴール記念会は、私は理事長であり、理事長は私である。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（13）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（12）（13）により、
（14）
三上章 先生は、
① タゴール記念会は、私が理事長である。
② タゴール記念会は、私は理事長であり、私以外は理事長でない。
③ タゴール記念会は、私は理事長であり、理事長は私である。
に於いて、
①＝③ である。
といふことには、気付いてゐるが、
①＝② である。
といふことには、気付いてゐない。
従って、
（14）により、
（15）
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
③ 象は鼻は長く、長いのは鼻である。
に於いて、
①＝② である。
といふことには、気付いてゐない。
然るに、
（16）
① 君が行く。
⑤ 君が行く道。
に於いて、
① 君（体言）が（ 格助詞 ）行く（終止形）。
⑤ 君（体言）が（準体助詞）行く（連体形）道。
である。
従って、
（15）（16）により、
（17）
① 象の鼻が長い。
⑤ 象の鼻が長いこと。
に於いても、
① 鼻が（ 格助詞 ）
⑤ 鼻が（準体助詞）
である。
従って、
（17）により、
（18）
① 象の鼻が長い。
⑤ 象の鼻が長いこと。
であるならば、
① 鼻が（ 格助詞 ）
⑤ 鼻が（準体助詞）
に於いて、
①＝⑤ ではないため、「注意」が、「必要」である。
然るに、
（10）により、
（19）
① 象の鼻が長い。
② 象の鼻は長く、象の鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（19）により、
（20）
（ⅰ）象の鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではなく、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻は長くない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（20）により、
（21）
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛ｘが象であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象でなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。｝然るに、
（ⅱ）あるｘとあるｙについて（ｘは兎であって、象ではななく、ｙはｘの鼻である。）従って、
（ⅲ）あるｘとあるｙについて（ｘは兎であって、ｙはｘの鼻であって、ｙは長くない。）
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（21）により、
（22）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ）。従って、
（ⅲ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（22）により、
（23）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ）＆（～象ａ＆鼻ｙａ→～長ｙ）｝ １ＵＥ
３ （４） ～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ ３＆Ｅ
５ （５）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ） Ａ
６ （６） ∃ｙ（兎ａ＆～象ａ＆鼻ｙａ） Ａ
７（７） 兎ａ＆～象ａ＆鼻ｂａ Ａ
７（８） 兎ａ ７＆Ｅ
７（９） ～象ａ＆鼻ｂａ ７＆Ｅ
３ ７（ア） ～長ｂ ４９ＭＰＰ
７（イ） 鼻ｂａ ９＆Ｅ
３ ７（ウ） 鼻ｂａ＆～長ｂ アイ＆Ｉ
３ ７（エ） 兎ａ＆鼻ｂａ＆～長ｂ ８ウ＆Ｉ
３ ７（オ） ∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ） エＥＩ
３ ６ （カ） ∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ） ６７オＥＥ
３ ６ （キ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） カＥＩ
３５ （ク）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） ５６キＥＥ
１ ５ （ケ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） ２３クＥＥ
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（19）～（23）により、
（24）
（ⅰ）象の鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではなく、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻は長くない。
といふ「推論」は、「述語論理」としても、「妥当」である。
然るに、
（10）により、
（25）
① 鼻は象が長い。
② 鼻は象は長く、象以外は長くない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（25）により、
（26）
（ⅰ）鼻は象が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではなく、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻は長くない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（26）により、
（27）
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛ｘが象であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象でなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。｝然るに、
（ⅱ）あるｘとあるｙについて（ｘは兎であって、象ではななく、ｙはｘの鼻である。）従って、
（ⅲ）あるｘとあるｙについて（ｘは兎であって、ｙはｘの鼻であって、ｙは長くない。）
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（27）により、
（28）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ）。従って、
（ⅲ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（28）により、
（29）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ）＆（～象ａ＆鼻ｙａ→～長ｙ）｝ １ＵＥ
３ （４） ～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ ３＆Ｅ
５ （５）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ） Ａ
６ （６） ∃ｙ（兎ａ＆～象ａ＆鼻ｙａ） Ａ
７（７） 兎ａ＆～象ａ＆鼻ｂａ Ａ
７（８） 兎ａ ７＆Ｅ
７（９） ～象ａ＆鼻ｂａ ７＆Ｅ
３ ７（ア） ～長ｂ ４９ＭＰＰ
７（イ） 鼻ｂａ ９＆Ｅ
３ ７（ウ） 鼻ｂａ＆～長ｂ アイ＆Ｉ
３ ７（エ） 兎ａ＆鼻ｂａ＆～長ｂ ８ウ＆Ｉ
３ ７（オ） ∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ） エＥＩ
３ ６ （カ） ∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ） ６７オＥＥ
３ ６ （キ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） カＥＩ
３５ （ク）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） ５６キＥＥ
１ ５ （ケ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） ２３クＥＥ
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（25）～（29）により、
（30）
（ⅰ）鼻は象が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではなく、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻は長くない。
といふ「推論」は、「述語論理」としても、「妥当」である。
然るに、
（10）により、
（31）
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（31）により、
（32）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（32）により、
（33）
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。｝然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙはｘの耳であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない。｝従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。｝
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（33）により、
（34）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（34）により、
（35）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （エ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
オ（オ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
オ（カ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６ （キ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ク） 耳ｂａ→～鼻ｂａ キＵＥ
２ ６ オ（ケ） ～鼻ｂａ オクＭＰＰ
１ ６ （コ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア＆Ｅ
１ ６ （サ） ～鼻ｂａ→～長ｂ コＵＥ
１２ ６ オ（シ） ～長ｂ ケサＭＰＰ
オ（ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６ オ（セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ エオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（31）～（35）により、
（36）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「述語論理」としても、「妥当」である。
然るに、
（37）
① 象は鼻が長い。
③ 象は鼻は長い（が、鼻以外に、長い部分があるかどうかは、分からない）。
に於いて、
①＝③ であるならば、
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
といふ「仮定」は、
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
といふ「仮定」と、「交換」することになる。
然るに、
（35）（37）により、
（38）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
といふ「仮定」からは、
１２（ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
１２（〃）すべての兎は、象ではない。 ナＵＩ
といふ「結論」を、得ることが、出来ない。
従って、
（36）（37）（38）により、
（39）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」を、「妥当」であると、する一方で、
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝② ではないと、することは、出来ない。
然るに、
（40）
5つ星のうち5.0 この名著が切れているとは！
2011年11月4日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
この名著が切れているとは嘆かわしい！「は」主題説によって本質的な日本語論を展開し、日本語論争を巻き起こした、こういう古典とも言える本は常に手に入る状態であってほしい。
（「三上章、象は鼻が長い、1960年」の、カスタマーレビュー）
然るに、
（41）
「三上章、象は鼻が長い、1960年」には、
① ＡがＢである。
② ＡはＢであり、ＢはＡである。
③ ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふことに対する、「言及」が無い。
それ故、
（42）
私自身は、「三上章、象は鼻が長い、1960年」といふ「著作」が、「名著」であるとは、少しも、思はない。
然るに、
（43）
2016年12月29日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
「日本文法入門」とあるので、特に中身を確認せず手にとったのが良くありませんでした。
結論から言うと、この本は決してゴロ寝して読むレベルのカジュアルな本ではなく、ある程度の日本語文法知識（たとえそれが西洋から輸入されたものであっても）を得て、そこそこ文法を体系的に捉えられる人が手にとって読む本だろうと感じました。
包摂判断・類概念といった専門用語からはじまり、さまざまな学者の説も交えているので、初学者にとってはちんぷんかんぷんでした。
（「三上章、象は鼻が長い、1960年」の、カスタマーレビュー）
然るに、
（44）
「三上章、象は鼻が長い、1960年」といふ「著作」は、正直にいって、私にとっても、「ちんぷんかんぷん」である。
（01）
―「排中律」の「証明」―
１ （１） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
２（３） ～Ｐ∨Ｐ Ａ
１２（４） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
１ （７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １７＆Ｉ
（９）～～（～Ｐ∨Ｐ） １８ＲＡＡ
（ア） ～Ｐ∨Ｐ ９ＤＮ
然るに、
（02）
～真≡「真ではない」≡「偽である」
～偽≡「偽ではない」≡「真である」
従って、
（02）により、
（03）
① ～Ｐ∨Ｐ
② ～Ｐ∨Ｐ
に於いて、
Ｐ＝真
Ｐ＝偽
といふ「代入（Substitutions）」を行ふと、
① ～Ｐ∨Ｐ≡「Ｐは偽であるか、または、真である。」
② ～Ｐ∨Ｐ≡「Ｐは真であるか、または、偽である。」
然るに、
（04）
①「Ｐは偽であるか、または、真である。」
②「Ｐは真であるか、または、偽である。」
といふことは、「恒に、真である。」
従って、
（03）（04）により、
（05）
① ～Ｐ∨Ｐ
② ～Ｐ∨Ｐ
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（06）
① ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）≡「（Ｐ→Ｑ）は偽であるか、または、真である。」
② ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）≡「（Ｐ→Ｑ）は真であるか、または、偽である。」
然るに、
（07）
①「（Ｐ→Ｑ）は偽であるか、または、真である。」
②「（Ｐ→Ｑ）は真であるか、または、偽である。」
といふことは、「恒に、真である。」
従って、
（06）（07）により、
（08）
① ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
② ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（05）（08）により、
（09）
① ～Ｐ∨Ｐ
② ～Ｐ∨Ｐ
といふ「論理式」が、「恒真式（トートロジー）」であるならば、
Ｐ＝（Ｐ→Ｑ）
Ｐ＝（Ｐ→Ｑ）
といふ「代入（Substitutions）」を行った「結果（Substitution instances）」である所の、
① ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
② ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
といふ「論理式」も、「恒真式（トートロジー）」である。
（10）
① ２×３
② ２×（１＋２）
であれば、「その数値（６）」に於いて、
①＝② である。
従って、
（10）により、
（11）
① Ａ×Ｂ
② Ａ×（Ｃ＋Ｄ）
に於いて、
①＝② であるならば、
Ｂ＝（Ｃ＋Ｄ） である。
従って、
（10）（11）により、
（12）
「四則演算」がそうであるやうに、
「命題計算」に於いても、
① Ｐ＆Ｑ
② Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
に於いて、
①＝② であるならば、「その真理値（真・偽）」に於いて、
Ｑ＝（Ｑ∨Ｒ） である。
然るに、
（13）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
（３）（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ １２ＣＰ
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ） Ａ
１（２） （Ｑ∨Ｒ） １＆Ｅ
（３）（Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ））→（Ｑ∨Ｒ） １２ＣＰ
従って、
（13）により、
（14）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
②（Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ））→（Ｑ∨Ｒ）
といふ「２つの論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
といふ「論理式」が、「恒真式」であるならば、
Ｑ＝（Ｑ∨Ｒ）
といふ「代入（置き換へ）」を行った「結果」である所の、
②（Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ））→（Ｑ∨Ｒ）
といふ「論理式」も、「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、
Ｑ＝（Ｑ∨Ｒ）
に於いて、「左辺の真理値（真・偽）」と、「右辺の真理値（真・偽）」は、「等しい」。
従って、
（15）により、
（16）
「逆」に言へば、
②（Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ））→（Ｑ∨Ｒ）
といふ「論理式」が、「恒真式（トートロジー）」であるならば、
（Ｑ∨Ｒ）＝Ｑ
といふ「Substitution（Replacement）」を行った「結果」である所の、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
といふ「論理式」も、「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、
（Ｑ∨Ｒ）＝Ｑ
に於いて、「左辺の真理値（真・偽）」と、「右辺の真理値（真・偽）」は、「等しい」。