（01）
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
①＝② であることを「証明」したい。
従って、
（01）により、
（02）
① （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
② （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ
に於いて、
①＝② であることを「証明」したい。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１） □→ ◇ Ａ
２ （２） □＆～◇ Ａ
２ （３） □ ２＆Ｅ
１２ （４） ◇ １３ＭＰＰ
２ （５） ～◇ ２＆Ｅ
１２ （６） ◇＆～◇ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（□＆～◇） ２６□ＡＡ
８ （８） ～（～□∨ ◇） Ａ
９ （９） ～□ Ａ
９ （ア） ～□∨ ◇ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（～□∨ ◇）＆
（～□∨ ◇） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～□ ９イ□ＡＡ
８ （エ） □ ウＤＮ
オ（オ） ◇ Ａ
オ（カ） ～□∨ ◇ オ∨Ｉ
８ オ（キ） ～（～□∨ ◇）＆
（～□∨ ◇） ８カ＆Ｉ
８ （ク） ～◇ オキ□ＡＡ
８ （ケ） □＆～◇ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（□＆～◇）＆
（□＆～◇） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（～□∨ ◇） ８コ□ＡＡ
１ （シ） ～□∨ ◇ サＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～□∨ ◇ Ａ
２ （２） □＆～◇ Ａ
３ （３） ～□ Ａ
２ （４） □ ２＆Ｅ
２３ （５） ～□＆□ ３４＆Ｉ
３ （６）～（□＆～◇） ２５□ＡＡ
７ （７） ◇ Ａ
２ （８） ～◇ ２＆Ｅ
２ ７ （９） ◇＆～◇ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（□＆～◇） ２９□ＡＡ
１ （イ）～（□＆～◇） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） □ Ａ
エ（エ） ～◇ Ａ
ウエ（オ） □＆～◇ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（オ）～（□＆～◇）＆
（□＆～◇） イオ＆Ｉ
１ ウ （カ） ～～◇ エオ□ＡＡ
１ ウ （キ） ◇ カＤＮ
１ （ク） □→ ◇ ウクＣＰ
従って、
（03）により、
（04）
① ～□∨◇
② □→◇
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
② ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ
に於いて、
①＝② であることを「証明」したい。
従って、
（05）により、
（06）
① （Ｐ＆～Ｑ）
② ～（Ｐ→ Ｑ）
に於いて、
①＝② であることを「証明」したい。
然るに、
（07）
（ⅰ）
１ （１） ～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
４（４） ～Ｑ Ａ
３４（５） Ｐ＆～Ｑ ３４＆Ｉ
２３４（６） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ２５＆Ｉ
２３ （７） ～～Ｑ ４６ＲＡＡ
２３ （８） Ｑ
２ （９） Ｐ→ Ｑ
３８ＣＰ
１２ （ア） ～（Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｐ→ Ｑ） １９＆Ｉ
１ （イ）～～（Ｐ＆～Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） Ｐ＆～Ｑ イＤＮ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ→ Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
１２ （４） Ｑ ２３ＣＰ
１ （５） ～Ｑ １＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ→ Ｑ） ２６ＲＡＡ
従って、
（07）により、
（08）
① （Ｐ＆～Ｑ）
② ～（Ｐ→ Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）～（08）により、
（09）
（Ⅰ）
① （Ｐ＆～Ｑ）
② ～（Ｐ→ Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（Ⅰ）により、
（Ⅱ）
① （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
② ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（Ⅱ）により、
（Ⅲ）
① （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
② （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（Ⅲ）により、
（Ⅳ）
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（09）により、
（10）
Ｐ＝奇数である。
Ｑ＝素数である。
として、
（Ⅰ）
①（奇数であるが、素数ではない）。
②（奇数であるならば素数である）といふわけではない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（Ⅰ）により、
（Ⅱ）
①（奇数であるが、素数ではない）か、または（奇数である）。
②（奇数であるならば素数である）といふわけではないか、または（奇数である）。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（Ⅱ）により、
（Ⅲ）
①（奇数であるが、素数ではない）か、または（奇数である）。
②（奇数であるならば素数である）ならば（奇数である）。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（Ⅲ）により、
（Ⅳ）
①（（奇数であるが、素数ではない）か、または（奇数である））ならば（奇数である）。
②（（奇数であるならば素数である）ならば（奇数である））ならば（奇数である）。
然るに、
（10）により、
（11）
①（奇数であるが、素数ではない）。
②（奇数であるならば素数である）といふわけではない。
に於いて、
①＝② である。
といふことは、「当然」であるが、
①（（奇数であるが、素数ではない）か、または（奇数である））ならば（奇数である）。
②（（奇数であるならば素数である）ならば（奇数である））ならば（奇数である）。
に於いて、
①＝② である。
といふことは、「分かり難い」。
従って、
（09）～（11）により、
（12）
（Ⅰ）
① （Ｐ＆～Ｑ）
② ～（Ｐ→ Ｑ）
（Ⅱ）
① （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
② ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ
（Ⅲ）
① （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
② （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ
（Ⅳ）
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ『同値変形』を「繰り返した結果」として、
①（（奇数であるが、素数ではない）か、または（奇数である））ならば（奇数である）。
②（（奇数であるならば素数である）ならば（奇数である））ならば（奇数である）。
に於いて、
①＝② である。
といふ「意味不明の等式（パースの法則）」が「成立」する。
（01）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→ Ｐ Ａ
２ （２） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ Ａ
２ （３） （Ｐ→Ｑ） Ａ
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｐ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｐ＆～Ｐ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） Ａ
９ （９） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
９ （ア） ～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ）＆
（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） ８ア＆I
８ （ウ） ～～（Ｐ→Ｑ） ９イＲＡＡ
８ （エ） （Ｐ→Ｑ） ウＤＮ
オ（オ） Ｐ Ａ
オ（カ） （～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） オ∨Ｉ
８ オ（キ） ～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ）＆
（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） ８カ＆Ｉ
８ （ク） ～Ｐ オキＲＡＡ
８ （ケ） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ）＆
（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） ８コＲＡＡ
１ （シ） （～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） サＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ Ａ
２ （２） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ Ａ
３ （３） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
２ （４） （Ｐ→Ｑ） ２＆Ｅ
２３ （５） ～（Ｐ→Ｑ）＆
（Ｐ→Ｑ） ３４＆Ｉ
３ （６）～（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｐ Ａ
２ （８） ～Ｐ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｐ＆～Ｐ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ） １３６７ア
ウ （ウ） （Ｐ→Ｑ） Ａ
エ（エ） ～Ｐ Ａ
ウエ（オ） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ）＆
（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｐ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｐ キＤＮ
１ （ケ） （Ｐ→Ｑ）→ Ｐ ウクＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① （Ｐ→～Ｑ）→Ｐ
② ～（Ｐ→～Ｑ）∨Ｐ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） ～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
３ （３） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
４ （４） Ｐ Ａ
５ （５） ～Ｑ Ａ
４５ （６） Ｐ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
３４５ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ３６＆Ｉ
３４ （８） ～～Ｑ ５ＲＡＡ
３４ （９） Ｑ ８ＤＮ
３ （ア） Ｐ→ Ｑ ４９ＣＰ
２３ （イ） ～（Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｐ→ Ｑ） ２ア＆Ｉ
２ （ウ）～～（Ｐ＆～Ｑ） ３イＲＡＡ
２ （エ） （Ｐ＆～Ｑ） ウＤＮ
２ （オ） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ エ∨Ｉ
カ（カ） Ｐ Ａ
カ（キ） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ カ∨Ｉ
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｑ ３４ＭＰＰ
２ （６） ～Ｑ ２＆Ｅ
２３ （７） Ｑ＆Ｑ ５６＆Ｅ
２ （８）～（Ｐ→ Ｑ） ３７ＲＡＡ
２ （９）～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ２∨Ｉ
ア（ア） Ｐ Ａ
ア（イ）～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ア∨Ｉ
１ （ウ）～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ １２９アイ∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
② ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ
③ （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ
② ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ
③ （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
に於いて、
①＝② であって、
②＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
「番号」を「付け直す」と、
①（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）により、
（07）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（08）
命題計算では、パースの法則は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる。
（ウィキペディア）
従って、
（07）（08）により、
（09）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
に於いて、
① は「パースの法則」であって、
② も「パースの法則」である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
例へば、
Ｐ＝４は偶数である。
Ｑ＝４は素数である。
として、
①（（４が偶数であるならば４が素数である）ならば４は偶数である）ならば４は偶数である。
②（（４が偶数であって４が素数でない）か、または４が偶数である）ならば４は偶数である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（11）
①（（４が偶数であるならば４が素数である）ならば４は偶数である）ならば４は偶数である。
②（（４が偶数であって４が素数でない）か、または４が偶数である）ならば４は偶数である。
に於いて、
① は、「奇異」であるが、
② は、「普通」である。
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨ Ｑ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨ Ｑ オ∨Ｉ
８ オ（キ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８カ＆Ｉ
８ （ク） ～Ｑ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｐ＆～Ｑ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ８コＲＡＡ
１ （シ） ～Ｐ∨ Ｑ サＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（オ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （カ） ～～Ｑ エオＲＡＡ
１ ウ （キ） Ｑ カＤＮ
１ （ク） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２）～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ １含意の定義
３ （３）～（Ｐ→Ｑ） Ａ
４ （４） ～Ｐ Ａ
４ （５） ～Ｐ∨Ｑ ４∨Ｉ
４ （６） Ｐ→Ｑ ５含意の定義
３４ （７）～（Ｐ→Ｑ）＆
（Ｐ→Ｑ） ３４＆Ｉ
３ （８）～～Ｐ ４ＤＮ
３ （９） Ｐ ８ＤＮ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ １３９アア∨Ｅ
（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ→～Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２）～（Ｐ→～Ｑ）∨Ｐ １含意の定義
３ （３）～（Ｐ→～Ｑ） Ａ
４ （４） ～Ｐ Ａ
４ （５） ～Ｐ∨～Ｑ ４∨Ｉ
４ （６） Ｐ→～Ｑ ５含意の定義
３４ （７）～（Ｐ→～Ｑ）＆
（Ｐ→～Ｑ） ３４＆Ｉ
３ （８）～～Ｐ ４ＤＮ
３ （９） Ｐ ８ＤＮ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ １３９アア∨Ｅ
（ウ）（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
従って、
（03）により、
（04）
『含意の定義』により、
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、すなはち、
①（（Ｐであるならば、Ｑである）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
②（（Ｐであるならば、Ｑでない）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
に於いて、
① は「パースの法則（トートロジー）」であって、
② も「パースの法則（トートロジー）」である。
然るに、
（05）
（ⅱ）
１ （１） （（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ Ａ
１ （２） （（～Ｐ∨～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １含意の定義
１ （３） （～（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ ２含意の定義
１ （４）～（～（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ）∨Ｐ ３含意の定義
５ （５）～（～（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ） Ａ
５ （６） （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｐ ５ド・モルガンの法則
５ （７） ～Ｐ ６＆Ｅ
５ （８） ～Ｐ∨Ｐ ７∨Ｉ
９（９） Ｐ Ａ
９（ア） ～Ｐ∨Ｐ ９∨Ｉ
１ （イ） ～Ｐ∨Ｐ １５８９ア∨Ｅ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ∨Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｐ ２３＆Ｉ
２ （５）～（～（～Ｐ∨～Ｑ）∨ Ｐ） ４ド・モルガンの法則
２ （６）～（～（～Ｐ∨～Ｑ）∨ Ｐ）∨Ｐ ５∨Ｉ
７（７） Ｐ Ａ
７（８）～（～（～Ｐ∨～Ｑ）∨ Ｐ）∨Ｐ ７∨Ｉ
１ （９）～（～（～Ｐ∨～Ｑ）∨ Ｐ）∨Ｐ １２６７８∨Ｅ
１ （ア） ～（～（Ｐ→～Ｑ）∨ Ｐ）∨Ｐ ９含意の定義
１ （イ） ～（（Ｐ→～Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ア含意の定義
１ （ウ） （（Ｐ→～Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ イ含意の定義
従って、
（05）により、
（06）
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③ ～Ｐ∨Ｐ
に於いて、すなはち、
②「パースの法則（トートロジー）」
③「排中律（トートロジー）」
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③ ～Ｐ∨Ｐ
に於いて、すなはち、
①（（Ｐであるならば、Ｑである）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
②（（Ｐであるならば、Ｑでない）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
③ Ｐでないか、または、Ｐである。
に於いて、すなはち、
①「パースの法則」
②「パースの法則」
③「排中律」
に於いて、
①＝②＝③ である。
（01）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（～象ｙ＆鼻ａｙ）→～長ａ｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（～象ｂ＆鼻ａｂ）→～長ａ Ａ
３ （４） （～象ｂ＆鼻ａｂ）→～長ａ ３＆Ｅ
５ （５） ∀ｙ｛兎ｙ→～象ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝ Ａ
５ （６） 兎ｂ→～象ｂ＆∃ｘ（鼻ｘｂ） ＵＥ
７ （７） 兎ｂ Ａ
５７ （８） ～象ｂ＆∃ｘ（鼻ｘｂ） ６７ＭＰＰ
５７ （９） ～象ｂ ８＆Ｅ
５７ （ア） ∃ｘ（鼻ｘｂ） ８＆Ｅ
イ（イ） 鼻ａｂ Ａ
５７イ（ウ） ～象ｂ＆鼻ａｂ ９イ＆Ｉ
３５７イ（エ） ～長ａ ４ウＭＰＰ
３５７イ（オ） 鼻ａｂ＆～長ａ イエ＆Ｉ
３５７イ（カ） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） オＥＩ
３５７ （キ） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） アイカＥＥ
３５ （ク） 兎ｂ→∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） ７キＣＰ
１ ５ （ケ） 兎ｂ→∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） ２３クＥＥ
１ ５ （コ） ∀ｙ｛兎ｙ→∃ｘ（鼻ｘｙ＆～長ｘ）｝ ケＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。然るに、
（ⅱ） ∀ｙ｛ 兎ｙ→～象ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝。従って、
（ⅲ） ∀ｙ｛ 兎ｙ→∃ｘ（鼻ｘｙ＆～長ｘ）｝。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛（ｘがｙの鼻であって、ｙが象である）ならば、ｘは長く、（ｙが象でなくて、ｘがｙの鼻である）ならば、ｘは長くない｝。然るに、
（ⅱ） すべてのｙについて｛ ｙが兎であるならば、ｙは象ではなく、あるｘは（ｙの鼻である）｝。従って、
（ⅲ） すべてのｙについて｛ ｙが兎であるならば、あるｘは（ｙの鼻であって、長くない）｝。
といふ『推論』は「妥当」である。
然るに、
（03）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（～象ｙ＆鼻ａｙ）→～長ａ｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（～象ｂ＆鼻ａｂ）→～長ａ Ａ
３ （４） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ ３＆Ｅ
５ （５） ∀ｙ｛兎ｙ→∃ｘ（鼻ｘｙ＆～長ｘ）｝ Ａ
５ （６） 兎ｂ→∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） ５ＵＥ
７ （７） 兎ｂ Ａ
５７ （８） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） ６７ＭＰＰ
９（９） 鼻ａｂ＆～長ａ Ａ
９（ア） 鼻ａｂ ９＆Ｅ
９（イ） ∃ｘ（鼻ｘｂ） ９ＥＩ
５７ （ウ） ∃ｘ（鼻ｘｂ） ８９イＥＥ
９（エ） ～長ａ ９＆Ｅ
３ ９（オ） ～（鼻ａｂ＆象ｂ） ４エＭＴＴ
３ ９（カ） ～鼻ａｂ∨～象ｂ オ、ド・モルガンの法則
３ ９（キ） 鼻ａｂ→～象ｂ カ、含意の定義
３ ９（ク） ～象ｂ アキＭＰＰ
３５７９（ケ） ～象ｂ＆∃ｘ（鼻ｘｂ） ウク＆Ｉ
３５７ （コ） ～象ｂ＆∃ｘ（鼻ｘｂ） ８９ケＥＥ
３５ （サ） 兎ｂ→～象ｂ＆∃ｘ（鼻ｘｂ） ７コＣＰ
３５ （シ） ∀ｙ｛兎ｙ→～象ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝ サＵＩ
１ ５ （ス） ∀ｙ｛兎ｙ→～象ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝ ２３シＥＥ
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。然るに、
（ⅱ） ∀ｙ｛ 兎ｙ→∃ｘ（鼻ｘｙ＆～長ｘ）｝。従って、
（ⅲ） ∀ｙ｛ 兎ｙ→～象ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛（ｘがｙの鼻であって、ｙが象である）ならば、ｘは長く、（ｙが象でなくて、ｘがｙの鼻である）ならば、ｘは長くない｝。然るに、
（ⅱ） すべてのｙについて｛ ｙが兎であるならば、あるｘは（ｙの鼻であって、長くない）｝。従って、
（ⅲ） すべてのｙについて｛ ｙが兎であるならば、ｙは象ではなく、あるｘは（ｙの鼻である）｝。
といふ『推論』は「妥当」である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
（ⅰ）鼻は象が長く、象以外の鼻は長くない。然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。 従って、
（ⅲ）兎の鼻は長くない。
といふ『推論』は「妥当」であって、
（ⅰ）鼻は象が長く、象以外の鼻は長くない。然るに、
（ⅱ）兎の鼻は長くない。従って、
（ⅲ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。
といふ『推論』も「妥当」である。
然るに、
（06）
①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
②｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝
③｛象の顔、兎の顔、馬の顔｝
であるならば、
① 鼻は象が長い。
② 耳は兎が長い。
③ 顔は馬が長い。
然るに、
（07）
①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
②｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝
③｛象の顔、兎の顔、馬の顔｝
であるならば、
① 鼻は象が長く、象以外の鼻は長くない。
② 耳は兎が長く、兎以外の耳は長くない。
③ 顔は馬が長く、馬以外の顔は長くない。
従って、
（07）により、
（08）
①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
②｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝
③｛象の顔、兎の顔、馬の顔｝
であるならば、
① すべてのｘとあるｙについて｛（ｘがｙの鼻であって、ｙが象である）ならば、ｘは長く、（ｙが象でなくて、ｘがｙの鼻である）ならば、ｘは長くない｝。
② すべてのｘとあるｙについて｛（ｘがｙの耳であって、ｙが兎である）ならば、ｘは長く、（ｙが兎でなくて、ｘがｙの耳である）ならば、ｘは長くない｝。
③ すべてのｘとあるｙについて｛（ｘがｙの顏であって、ｙが馬である）ならば、ｘは長く、（ｙが馬でなくて、ｘがｙの顏である）ならば、ｘは長くない｝。
従って、
（02）（04）（08）により、
（09）
①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
②｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝
③｛象の顔、兎の顔、馬の顔｝
であるならば、
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
② ∀ｘ∃ｙ｛（耳ｘｙ＆兎ｙ）→長ｘ＆（～兎ｙ＆耳ｘｙ）→～長ｘ｝。
③ ∀ｘ∃ｙ｛（顏ｘｙ＆馬ｙ）→長ｘ＆（～馬ｙ＆顏ｘｙ）→～長ｘ｝。
従って、
（06）～（09）により、
（10）
① 鼻は象が長い。
② 耳は兎が長い。
③ 顔は馬が長い。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
② ∀ｘ∃ｙ｛（耳ｘｙ＆兎ｙ）→長ｘ＆（～兎ｙ＆耳ｘｙ）→～長ｘ｝。
③ ∀ｘ∃ｙ｛（顏ｘｙ＆馬ｙ）→長ｘ＆（～馬ｙ＆顏ｘｙ）→～長ｘ｝。
といふ「構造（シンタックス）」をしてゐる。
然るに、
（01）（03）により、
（11）
１（１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝ Ａ
１（２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（～象ｙ＆鼻ａｙ）→～長ａ｝ １ＵＥ
１（３）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝ １ＵＩ
従って、
（02）（04）（10）（11）により、
（12）
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。⇔
① すべてのｘとあるｙについて｛（ｘがｙの鼻であって、ｙが象である）ならば、ｘは長く、（ｙが象でなくて、ｘがｙの鼻である）ならば、ｘは長くない｝。
に於いて、
① ∀ｘ の「作用範囲（Scope）」は、
① ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。⇔
① あるｙについて｛（ｘがｙの鼻であって、ｙが象である）ならば、ｘは長く、（ｙが象でなくて、ｘがｙの鼻である）ならば、ｘは長くない｝。
である。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
① 鼻は象が長い。
② 耳は兎が長い。
③ 顔は馬が長い。
に於いて、
① 鼻は
② 耳は
③ 顔は
といふ「語」は、それぞれ、
① 鼻は象が長い。
② 耳は兎が長い。
③ 顔は馬が長い。
といふ「文の全体」に、「掛かってゐる（作用を及ぼしてゐる）」。
従って、
（13）により、
（14）
① 鼻は
② 耳は
③ 顔は
といふ「語」は、
① 鼻は象が長い。
② 耳は兎が長い。
③ 顔は馬が長い。
といふ「文」の、「主語（Subject）」ではなく、「主語（main word）」である。
（01）
（ⅰ）
１ （１） （Ｆａ→～Ｇａ）＆ （Ｆｂ→～Ｇｂ）＆（Ｆｃ→～Ｇｃ） Ａ
２ （２） （Ｆａ＆ Ｇａ）∨ （Ｆｂ＆ Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆ Ｇｃ） Ａ
２ （３） （Ｆａ＆ Ｇａ｝∨｛（Ｆｂ＆ Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆ Ｇｃ）｝ ２分配法則
４ （４） Ｆａ＆ Ｇａ Ａ
１ （５） Ｆａ→～Ｇａ １＆Ｅ
４ （６） Ｆａ ４＆Ｅ
１ ４ （７） ～Ｇａ ５６ＭＰＰ
４ （８） Ｇａ ４＆Ｅ
１ ４ （９） ～Ｇａ＆Ｇａ ７８＆Ｉ
４ （ア）～｛（Ｆａ→～Ｇａ）＆ （Ｆｂ→～Ｇｂ）＆（Ｆｃ→～Ｇｃ）｝ １９ＲＡＡ
イ （イ） （Ｆｂ＆ Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆ Ｇｃ） Ａ
ウ （ウ） Ｆｂ＆ Ｇｂ） Ａ
１ （エ） Ｆｂ→～Ｇｂ １＆Ｅ
ウ （オ） Ｆｂ ウ＆Ｅ
１ ウ （カ） ～Ｇｂ エオＭＰＰ
ウ （キ） Ｇｂ ウ＆Ｅ
１ ウ （ケ） ～Ｇｂ＆Ｇｂ カキ＆Ｉ
ウ （コ）～｛（Ｆａ→～Ｇａ）＆ （Ｆｂ→～Ｇｂ）＆（Ｆｃ→～Ｇｃ）｝ １ケＲＡＡ
サ（サ） Ｆｃ＆ Ｇｃ Ａ
１ （シ） Ｆｃ→～Ｇｃ １＆Ｅ
サ（ス） Ｆｃ サ＆Ｅ
１ サ（セ） ～Ｇｃ シスＭＰＰ
サ（ソ） Ｇｃ サ＆Ｅ
１ サ（タ） ～Ｇｃ＆Ｇｃ セソ＆Ｉ
サ（チ）～｛（Ｆａ→～Ｇａ）＆ （Ｆｂ→～Ｇｂ）＆（Ｆｃ→～Ｇｃ）｝ １タＲＡＡ
イ （ツ）～｛（Ｆａ→～Ｇａ）＆ （Ｆｂ→～Ｇｂ）＆（Ｆｃ→～Ｇｃ）｝ イウコサチ∨Ｅ
２ （テ）～｛（Ｆａ→～Ｇａ）＆ （Ｆｂ→～Ｇｂ）＆（Ｆｃ→～Ｇｃ）｝ ２４アイツ∨Ｅ
１２ （ト） ｛（Ｆａ→～Ｇａ）＆ （Ｆｂ→～Ｇｂ）＆（Ｆｃ→～Ｇｃ）｝＆
１２ （ナ）～｛（Ｆａ→～Ｇａ）＆ （Ｆｂ→～Ｇｂ）＆（Ｆｃ→～Ｇｃ）｝ １ト＆Ｉ
１ （ニ）～｛（Ｆａ＆ Ｇａ）∨ （Ｆｂ＆ Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆ Ｇｃ）｝ ２ナＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～｛（Ｆａ＆ Ｇａ）∨ （Ｆｂ＆ Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆ Ｇｃ）｝ Ａ
２ （２） （Ｆａ＆ Ｇａ） Ａ
２ （３） （Ｆａ＆ Ｇａ）∨ （Ｆｂ＆ Ｇｂ） ２∨Ｉ
２ （４） （Ｆａ＆ Ｇａ）∨ （Ｆｂ＆ Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆ Ｇｃ） ３∨Ｉ
１２ （５）～｛（Ｆａ＆ Ｇａ）∨ （Ｆｂ＆ Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆ Ｇｃ）｝＆
｛（Ｆａ＆ Ｇａ）∨ （Ｆｂ＆ Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆ Ｇｃ）｝ １４＆Ｉ
１ （６） ～（Ｆａ＆ Ｇａ） ２ＲＡＡ
７ （７） Ｆａ Ａ
８ （８） Ｇａ Ａ
７８ （９） Ｆａ＆ Ｇａ ７８＆Ｉ
１ ７８ （ア） ～（Ｆａ＆ Ｇａ）＆（Ｆａ＆ Ｇａ）
６９＆Ｉ
１ ７ （イ） ～Ｇａ ８アＲＡＡ
１ （ウ） Ｆａ→～Ｇａ ７ＣＰ
エ （エ） （Ｆｂ＆ Ｇｂ） Ａ
エ （オ） （Ｆａ＆ Ｇａ）∨ （Ｆｂ＆ Ｇｂ） エ∨Ｉ
エ （カ） （Ｆａ＆ Ｇａ）∨ （Ｆｂ＆ Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆ Ｇｃ） オ∨Ｉ
１ エ （キ）～｛（Ｆａ＆ Ｇａ）∨ （Ｆｂ＆ Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆ Ｇｃ）｝＆
｛（Ｆａ＆ Ｇａ）∨ （Ｆｂ＆ Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆ Ｇｃ）｝ １カ＆Ｉ
１ （ク） ～（Ｆｂ＆ Ｇｂ） エキＲＡＡ
ケ （ケ） Ｆｂ Ａ
コ （コ） Ｇｂ Ａ
ケコ （サ） Ｆｂ＆ Ｇｂ ケコ＆Ｉ
１ ケコ （シ） ～（Ｆｂ＆ Ｇｂ）＆（Ｆｂ＆ Ｇｂ） クサ＆Ｉ
１ ケ （ス） ～Ｇｂ コシＲＡＡ
１ （セ） Ｆｂ→～Ｇｂ ケスＣＰ
ソ （ソ） Ｆｃ＆ Ｇｃ Ａ
ソ （タ） （Ｆｂ＆ Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆ Ｇｃ） ソ∨Ｉ
ソ （チ） （Ｆａ＆ Ｇａ）∨ （Ｆｂ＆ Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆ Ｇｃ） タ∨Ｉ
１ ソ （ツ）～｛（Ｆａ＆ Ｇａ）∨ （Ｆｂ＆ Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆ Ｇｃ）｝＆
｛（Ｆａ＆ Ｇａ）∨ （Ｆｂ＆ Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆ Ｇｃ）｝ １チ＆Ｉ
１ （テ） ～（Ｆｃ＆ Ｇｃ） ソツＲＡＡ
ト （ト） Ｆｃ Ａ
ナ（ナ） Ｇｃ Ａ
トナ（ニ） Ｆｃ＆ Ｇｃ トナ＆Ｉ
１ トナ（ヌ） ～（Ｆｃ＆ Ｇｃ）＆（Ｆｃ＆ Ｇｃ） テニ＆Ｉ
１ ト （ネ） ～Ｇｃ ナヌＲＡＡ
１ （ノ） Ｆｃ→～Ｇｃ トネＣＰ
１ （ハ） （Ｆａ→～Ｇａ）＆ （Ｆｂ→～Ｇｂ） ウセ＆Ｉ
１ （ヒ） （Ｆａ→～Ｇａ）＆ （Ｆｂ→～Ｇｂ）＆（Ｆｃ→～Ｇｃ） ノハ＆Ｉ
従って、
（01）により、
（02）
① （Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ）＆（Ｆｃ→～Ｇｃ）
②～｛（Ｆａ＆ Ｇａ）∨（Ｆｂ＆ Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆ Ｇｃ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
例へば、
① （ａさんがフランス人ならば、ａさんはドイツ人ではなく）、その上（ｂさんがフランス人ならば、ｂさんはドイツ人ではなく）、その上（ｃさんがフランス人ならば、ｃさんはドイツ人ではない）。
②｛（フランス人のａさんがドイツ人である）か、または（フランス人のｂさんがドイツ人である）か、または（フランス人のｃさんがドイツ人である）｝といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
｛ｘの変域｝＝｛ａさん、ｂさん、ｃさん｝
Ｆ＝フランス人である。
Ｇ＝ドイツ人である。
であるとして、
① （ａさんがフランス人ならば、ａさんはドイツ人ではなく）、その上（ｂさんがフランス人ならば、ｂさんはドイツ人ではなく）、その上（ｃさんがフランス人ならば、ｃさんはドイツ人ではない）。
②｛（フランス人のａさんがドイツ人である）か、または（フランス人のｂさんがドイツ人である）か、または（フランス人のｃさんがドイツ人である）｝といふことはない。
といふ「日本語」は、
① すべてのｘについて（ｘがＦであるならば、ｘはＧでない）。
②（Ｆであって、Ｇであるｘ）は存在しない。
といふ「日本語」に「相当」する。
然るに、
（05）
① すべてのｘについて（ｘがＦであるならば、ｘはＧでない）。
②（Ｆであって、Ｇであるｘ）は存在しない。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）
② ～∃ｘ（Ｆｘ＆ Ｇｘ）
といふ「述語論理式」に「相当」する。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ） Ａ
２ （２） ∃ｘ（Ｆｘ＆ Ｇｘ） Ａ
１ （３） Ｆａ→～Ｇａ １ＵＥ
４（４） Ｆａ＆ Ｇａ Ａ
４（５） Ｆａ ４＆Ｅ
１ ４（６） ～Ｇａ ３５ＭＰＰ
４（７） Ｇａ ４＆Ｅ
１ ４（８） ～Ｇａ＆Ｇａ ６７＆Ｉ
４（９）～∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ） １８ＲＡＡ
２ （ア）～∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ） ２４９ＥＥ
１２ （イ） ∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）＆
～∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ） １ア＆Ｉ
１ （ウ）～∃ｘ（Ｆｘ＆ Ｇｘ） ２イＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～∃ｘ（Ｆｘ＆ Ｇｘ） Ａ
１ （２）∀ｘ～（Ｆｘ＆ Ｇｘ） １量化子の関係
１ （３） ～（Ｆａ＆ Ｇａ） ２ＵＥ
４ （４） Ｆａ Ａ
５（５） Ｇａ Ａ
４５（６） Ｆａ＆ Ｇａ ４５＆Ｉ
１４５（７） ～（Ｆａ＆ Ｇａ）＆
（Ｆａ＆ Ｇａ） ３６＆Ｉ
１４ （８） ～Ｇａ ５７ＲＡＡ
１ （９） Ｆａ→～Ｇａ ４８ＣＰ
１ （ア） ∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ） ９ＵＩ
従って、
（06）により、
（07）
① ∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）
② ～∃ｘ（Ｆｘ＆ Ｇｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
｛ｘの変域｝＝｛ａさん、ｂさん、ｃさん｝
であるとして、
① ∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）
② ～∃ｘ（Ｆｘ＆ Ｇｘ）
といふ「述語論理式」は、
① （Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ）＆（Ｆｃ→～Ｇｃ）
② ～｛（Ｆａ＆ Ｇａ）∨（Ｆｂ＆ Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆ Ｇｃ）｝
といふ「論理式」に「等しい」。
然るに、
（09）
「量化子の関係」により、
① ∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）
② ～∃ｘ（Ｆｘ＆ Ｇｘ）
③ ∀ｘ～（Ｆｘ＆ Ｇｘ）
に於いて、
②＝③ である。
（10）
「ド・モルガンの法則」により、
① （Ｆａ→～Ｇａ）＆ （Ｆｂ→～Ｇｂ）＆ （Ｆｃ→～Ｇｃ）
② ～｛（Ｆａ＆ Ｇａ）∨ （Ｆｂ＆ Ｇｂ）∨ （Ｆｃ＆ Ｇｃ）｝
③ ～（Ｆａ＆ Ｇａ）＆～（Ｆｂ＆ Ｇｂ）＆～（Ｆｃ＆ Ｇｃ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（07）～（10）により、
（11）
｛ｘの変域｝＝｛ａさん、ｂさん、ｃさん｝
であるとして、
① ∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）
② ～∃ｘ（Ｆｘ＆ Ｇｘ）
③ ∀ｘ～（Ｆｘ＆ Ｇｘ）
といふ「述語論理式」は、それぞれ、
① （Ｆａ→～Ｇａ）＆ （Ｆｂ→～Ｇｂ）＆ （Ｆｃ→～Ｇｃ）
② ～｛（Ｆａ＆ Ｇａ）∨ （Ｆｂ＆ Ｇｂ）∨ （Ｆｃ＆ Ｇｃ）｝
③ ～（Ｆａ＆ Ｇａ）＆～（Ｆｂ＆ Ｇｂ）＆～（Ｆｃ＆ Ｇｃ）
といふ「論理式」と、『同じ意味』であって、尚且つ、「真理値」として、
①＝②＝③ である。
（01）
例へば、
①（Ｇａ）≡（ａさんは群馬県民である）。
②（Ｆａ）≡（ａさんは福岡県民である）。
に於いて、
①＝② でない。
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｇａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）＝（ａは群馬であって、ｂは福岡であって、ｃは福岡である）。
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）＝（ａは福岡であって、ｂは福岡であって、ｃは福岡である）。
に於いて、
①＝② ではない。
従って、
（02）により、
（03）
①（Ｇａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
に於いて、
①＝② ではない。
といふ「理由」により、
①（Ｇａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
に於いて、すなはち、
①（Ｇａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）か、または（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
に於いて、
①⇒② ではない。
然るに、
（04）
１ （１）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） Ａ
２ （２）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
２ （３） Ｆａ ２＆Ｅ
２ （４） Ｆａ∨Ｇａ ３∨Ｉ
２ （５） Ｆｂ ２＆Ｅ
２ （６） Ｆｂ∨Ｇｂ ５∨Ｉ
２ （７） Ｆｃ ２＆Ｅ
２ （８） Ｆｃ∨Ｇｃ ７∨Ｉ
２ （９）（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ） ４６＆Ｉ
２ （ア）（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｆｃ∨Ｇｃ） ８９＆Ｉ
イ（イ） （Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） ア
イ（ウ） Ｇａ イ＆Ｅ
イ（エ） Ｆａ∨Ｇａ ウ∨Ｉ
イ（カ） Ｇｂ イ＆Ｅ
イ（キ） Ｆｂ∨Ｇｂ カ∨Ｉ
イ（ク） Ｇｃ イ＆Ｅ
イ（ケ） Ｆｃ∨Ｇｃ ク∨Ｉ
イ（コ）（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ） エキ＆Ｉ
イ（サ）（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｆｃ∨Ｇｃ） ケコ＆Ｉ
１ （シ）（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｆｃ∨Ｇｃ） １２Ａイサ∨Ｅ
従って、
（04）により、
（05）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
③（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｆｃ∨Ｇｃ）
に於いて、
②⇒③ である。
然るに、
（06）
１（１） Ｇａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ Ａ
１（２） Ｇａ １＆Ｅ
１（３） Ｆｂ １＆Ｅ
１（４） Ｆｃ １＆Ｅ
１（５） Ｆａ∨Ｇａ ２∨Ｉ
１（６） Ｆｂ∨Ｇｂ ３∨Ｉ
１（７） Ｇｃ∨Ｇｃ ４∨Ｉ
１（８）（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ） ５６＆Ｉ
１（９）（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｇｃ∨Ｇｃ） ７８＆Ｉ
従って、
（06）により、
（07）
①（Ｇａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
③（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｆｃ∨Ｇｃ）
に於いて、
①⇒③ である。
従って、
（03）（05）（07）により、
（08）
①（Ｇａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
③（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｆｃ∨Ｇｃ）
に於いて、
①⇒② ではない。
②⇒③ である。
①⇒③ である。
従って、
（09）
①（Ｇａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
③（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｆｃ∨Ｇｃ）
に於いて、
②⇒③ であるが、
① であるならば、
③ ではあるが、② ではない。
従って、
（09）により、
（10）
①（Ｇａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
③（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｆｃ∨Ｇｃ）
に於いて、
②⇒③ であるが、
③⇒② であるとは、「限らない」。
従って、
（10）により、
（11）
「番号」を「付け替へる」として、
①（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｆｃ∨Ｇｃ）
に於いて、
①⇒② であるが、
②⇒① であるとは「限らない」が、
このことは、「実際には」、
①（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｆｃ∨Ｇｃ）
を見れば、「それだけで、明白である」。
然るに、
（12）
｛ｘの変域｝＝｛ａさん、ｂさん、ｃさん｝
であるとして、
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
といふ「述語論理式」は、それぞれ、
①（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｇａ）＆（Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（Ｆｃ∨Ｇｃ）
といふ「（命題）論理式」に「等しい」。
然るに、
（13）
１１２ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （２）∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
２ （３） Ｆａ ２ＵＥ
２ （４） Ｆａ∨Ｇａ ３∨Ｉ
２ （５）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ４ＵＩ
６（６） ∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
６（７） Ｇａ ５ＵＥ
６（８） Ｆａ∨Ｇａ ７∨Ｉ
６（９） ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ８ＵＩ
１ （ア）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） １２５６９∨Ｅ
― 中略 ―
逆の連式、∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） は妥当ではない。
（論理学初歩、E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１５５頁）
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
に於いて、
① であるならば、 ② であるが、
② であるとしても、① であるとは、限らない。
然るに、
（15）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） Ａ
１ （２） Ｆａ∨Ｇｂ １ＵＥ
３（３） Ｆａ Ａ
Ｆａ∨Ｇｂ を（１）から結論し、そして第１の選言項 Ｆａ を（３）の行に仮定する。
しかし（３）はａを含むが故、ここで ∀ｘ（Ｆｘ）を結論することは出来ない。
（論理学初歩、E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１５６頁）
といふ「説明」は、「（今でこそ）私には、分かり易い」が、「初学者には、分かり難い」。
従って、
（12）～（15）により、
（16）
「述語論理」は「命題論理」よりも「難解」である。
（01）
１ （１）（Ｆａ＆Ｇａ）∨ （Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ） Ａ
１ （２）（Ｆａ＆Ｇａ）∨｛（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）｝ １結合法則
３ （３）（Ｆａ＆Ｇａ） Ａ
３ （４） Ｆａ ３＆Ｅ
３ （５） Ｆａ∨Ｆｂ ４∨Ｉ
３ （６） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ５∨Ｉ
３ （７） Ｇａ ３＆Ｅ
３ （８） Ｇａ∨Ｇｂ ７∨Ｉ
３ （９） Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ ８∨Ｉ
３ （Ａ）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） ６９＆Ｉ
イ （イ） （Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ） Ａ
ウ （ウ） Ｆｂ＆Ｇｂ Ａ
ウ （エ） Ｆｂ ウ＆Ｅ
ウ （オ） Ｆａ∨Ｆｂ エ∨Ｉ
ウ （カ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ オ∨Ｉ
ウ （キ） Ｇｂ ウ＆Ｅ
ウ （ク） Ｇａ∨Ｇｂ キ∨Ｉ
ウ （ケ） Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ ク∨Ｉ
ウ （コ）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） カケ＆Ｉ
サ（サ） （Ｆｃ＆Ｇｃ） Ａ
サ（シ） Ｆｃ サ＆Ｅ
サ（ス） Ｆｂ∨Ｆｃ シ∨Ｉ
サ（セ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ス∨Ｉ
サ（ソ） Ｇｃ コ＆Ｅ
サ（タ） Ｇｂ∨Ｇｃ ソ∨Ｉ
サ（チ） Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ タ∨Ｉ
サ（ツ）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） セチ＆Ｉ
イ （テ）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） イウコサツ∨Ｅ
１ （ト）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） ２３Ａイテ∨Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（03）
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
③（Ｆａ＆Ｇｂ）
に於いて、
③ ならば、② であるが、
③ ならば、① ではない。
従って、
（03）により、
（04）
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
に於いて、
② ならば、① であるとは、「限らない」。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（06）
（ⅲ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） Ａ
２（２） Ｆａ＆Ｇａ Ａ
２（３） Ｆａ ２＆Ｅ
２（４）∃ｘ（Ｆｘ） ３ＥＩ
２（５） Ｇａ ２＆Ｅ
２（６） ∃ｘ（Ｇｘ） ５ＥＩ
２（７）∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ） ４６＆Ｉ
１ （８）∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ） １２７ＥＥ
（ⅳ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
１ （２）∃ｘ（Ｆｘ） １＆Ｅ
３ （３） Ｆａ Ａ
１ （４） ∃ｘ（Ｇｘ） １＆Ｅ
５（５） Ｇａ Ａ
３５（６） Ｆａ＆Ｇａ ３５＆Ｉ
３５（７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ６ＥＩ
１ ５（８）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） １３７ＥＥ
従って、
（06）により、
（07）
③ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）
④ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ），Ｇａ├ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
といふ「連式」は、両方とも「妥当」である。
従って、
（07）により、
（08）
③ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
④ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
③ ならば、④ であるが、
④ ならば、③ ではない。
ｃｆ.
「E.J.レモン 著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１５４頁」
然るに、
（09）
｛ｘの変域｝＝｛ａさん、ｂさん、ｃさん｝
であるとして、
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
③ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
④ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）
①＝③ であって、
②＝④ である。
従って、
（05）（08）（09）により、
（10）
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） は、（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）であって、
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）は、（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） であるが、
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（11）
Ｆ＝フランス人である。
Ｇ＝学生である。
として、
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）
は、それぞれ、
① ある人は（フランス人の学生である）。
② ある人は（フランス人であって）、ある人は（学生である）。
といふ「日本語」に「等しい」。
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
（12）
① ａさんは（フランス人の学生である）。
② ａさんは（フランス人であって）、ａさんは（学生である）。
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（13）
① ａさんは（フランス人の学生である）。
② ａさんは（フランス人であって）、ｂさんは（学生である）。
に於いて、
② ならば、① ではない。
従って、
（01）～（13）により、
（14）
｛ｘの変域｝＝｛ａさん、ｂさん、ｃさん｝
であるとして、
Ｆ＝フランス人である。
Ｇ＝学生である。
として、
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
③ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
④ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）
⑤ ある人は（フランス人の学生である）。
⑥ ある人は（フランス人であって）、ある人は（学生である）。
に於いて、
①＝③＝⑤ であって、
②＝④＝⑥ であるが、
①＝② ではない。
（01）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
３ （３） ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
１ ６ （ア） ～鼻ｂａ→～長ｂ ９ＵＩ
２ ６ （イ） ∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ５８ＭＰＰ
ウ （ウ） 耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
ウ （エ） ～鼻ｂａ ウ＆Ｅ
ウ （オ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１ ６ウ （カ） ～長ｂ アエＭＰＰ
１ ６ウ （キ） 長ｂ＆～長ｂ オカ＆Ｉ
１２ ６ （ク） 長ｂ＆～長ｂ イウキＥＥ
１２３ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ ３６クＥＥ
１２ （コ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ケＲＡＡ
１２ （サ）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ） コ量化子の関係
１２ （シ） ～（象ａ＆兎ａ） サＵＥ
ス （ス） 象ａ Ａ
セ （セ） 兎ａ Ａ
スセ （ソ） 象ａ＆兎ａ スセ＆Ｉ
１２ スセ （タ） ～（象ａ＆兎ａ）＆（象ａ＆兎ａ） シソ＆Ｉ
１２ ス （チ） ～兎ａ セタＲＡＡ
１２ （ツ） 象ａ→～兎ａ スチＣＰ
テ（テ） 兎ａ Ａ
テ（ト） ～～兎ａ テＤＮ
１２ テ（ナ） ～象ａ ツトＭＴＴ
１２ （ニ） 兎ａ→～象ａ テナＣＰ
１２ （ヌ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ニＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）｝。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの鼻ではないが、ｚは長い）｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない）。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎の耳は鼻ではないが、長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ『推論』は「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
① 象は鼻が長い。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）｝。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（03）により、
（04）
① 象は鼻が長い。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）｝。
に於いて、「象」と「鼻」を「交換」すると、
④ 鼻は象が長い。
⑤ ∀ｘ｛鼻ｘ→∃ｙ（象ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～象ｚｘ→～長ｚ）｝。
⑥ すべてのｘについて｛ｘが鼻であるならば、あるｙは（ｘの象であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの象ではないならば、ｚは長くない）｝。
然るに、
（04）により、
（05）
③｛（ｘの鼻）＆（ｘ＝象）｝⇔｛（ｘの鼻）＝（象の鼻）｝
⑥｛（ｘの象）＆（ｘ＝鼻）｝⇔｛（ｘの象）＝（鼻の象）｝
然るに、
（05）により、
（06）
③（象の鼻）といふ「日本語」に対して、
⑥（鼻の象）といふ「日本語」は、「意味不明」である。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
① 象は鼻が長い。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
④ 鼻は象が長い。
⑤ ∀ｘ｛鼻ｘ→∃ｙ（象ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～象ｚｘ→～長ｚ）｝。
に於いて、
①＝② であるが、
④＝⑤ ではない。
然るに、
（08）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（～象ｙ＆鼻ａｙ）→～長ａ｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（～象ｂ＆鼻ａｂ）→～長ａ Ａ
３ （４） （～象ｂ＆鼻ａｂ）→～長ａ ３＆Ｅ
５ （５） ∀ｙ｛（兎ｙ→～象ｙ）＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝ Ａ
５ （６） （兎ｂ→～象ｂ）＆∃ｘ（鼻ｘｂ） ＵＥ
５ （７） 兎ｂ→～象ｂ ６＆Ｅ
８ （８） 兎ｂ Ａ
５８ （９） ～象ｂ ７８ＭＰＰ
５ （ア） ∃ｘ（鼻ｘｂ） ６＆Ｅ
イ（イ） 鼻ａｂ Ａ
５８イ（ウ） ～象ｂ＆鼻ａｂ ９イ＆Ｉ
３５８イ（エ） ～長ａ ４ウＭＰＰ
３５８イ（オ） 鼻ａｂ＆～長ａ イエ＆Ｉ
３５８イ（カ） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） オＥＩ
３５８ （キ） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） アイカＥＥ
３５ （ク） 兎ｂ→∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） ８キＣＰ
３５ （ケ） ∀ｙ｛兎ｙ→∃ｘ（鼻ｘｙ＆～長ｘ）｝ クＵＩ
１ ５ （コ） ∀ｙ｛兎ｙ→∃ｘ（鼻ｘｙ＆～長ｘ）｝ ２３ケＥＥ
従って、
（08）により、
（09）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。然るに、
（ⅱ） ∀ｙ｛（兎ｙ→～象ｙ）＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝。従って、
（ⅲ） ∀ｙ｛ 兎ｙ→∃ｘ（鼻ｘｙ＆～長ｘ）｝。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛（ｘがｙの鼻であって、ｙが象である）ならば、ｘは長く、（ｙが象でなくて、ｘがｙの鼻である）ならば、ｘは長くない｝。然るに、
（ⅱ） すべてのｙについて｛（ｙが兎であるならば、ｙは象ではなく）、あるｘは（ｙの鼻である）｝。従って、
（ⅲ） すべてのｙについて｛ ｙが兎であるならば、あるｘは（ｙの鼻であって、長くない）｝。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）鼻は象が長く、象以外の鼻は長くない。然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。 従って、
（ⅲ）兎の鼻は長くない。
といふ『推論』は「妥当」である。
然るに、
（10）
｛（象の鼻、兎の鼻、馬の鼻）、（象の耳、兎の耳、馬の耳）、（象の顔、兎の顔、馬の顔）｝
であるならば、
（ⅰ）鼻は象が長い（象以外の鼻は長くない）。
（ⅱ）耳は兎が長い（兎以外の耳は長くない）。
（ⅲ）顔は馬が長い（馬以外の顔は長くない）。
従って、
（01）～（10）により、
（11）
① 象は鼻が長い。
② 鼻は象が長い。
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
④ ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
に於いて、
①＝③ であって、
②＝④ である。
（01）
｛ｘの変域｝＝｛ａさん、ｂさん、ｃさん｝
であるとして、
Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ＝∃ｘ（Ｆｘ）
然るに、
（02）
（ⅰ）
１（１）Ｆａ Ａ
１（２）Ｆａ∨Ｆｂ １∨Ｉ
１（３）Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ２∨Ｉ
（４）Ｆａ→（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） １３ＣＰ
（ⅱ）
１（１）Ｆｂ Ａ
１（２）Ｆａ∨Ｆｂ １∨Ｉ
１（３）Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ２∨Ｉ
（４）Ｆｂ→（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） １３ＣＰ
（ⅲ）
１（１）Ｆｃ Ａ
１（２）Ｆｂ∨Ｆｃ １∨Ｉ
１（３）Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ２∨Ｉ
（４）Ｆｃ→（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） １３ＣＰ
従って、
（02）により、
（03）
① Ｆａ→（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）
② Ｆｂ→（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）
③ Ｆｃ→（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① Ｆａ→ ∃ｘ（Ｆｘ）
② Ｆｂ→ ∃ｘ（Ｆｘ）
③ Ｆｃ→ ∃ｘ（Ｆｘ）
従って、
（04）により、 （05）
（ⅰ）Ｆａ であるならば、∃ｘ（Ｆｘ）であるが、
（ⅱ）∃ｘ（Ｆｘ）であるとしても、Ｆａ であるとは、限らない。
従って、
（05)により、
（06）
連式 Ｆａ├ ∃ｘ（Ｆｘ）は妥当であるとして受け入れるが、連式 ∃ｘ（Ｆｘ）├ Ｆａ は妥当とは考えず、
ａは任意に選ばれているが、与えられたＦもつ対象の１つではないかも知れないから、この連式は受け入れないのである。
（E.J.レモン 著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１４９頁）
然るに、
（07）
｛ｘの変域｝＝｛ａさん、ｂさん、ｃさん｝
であるとして、
Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ＝∀ｘ（Ｆｘ）
然るに、
（08）
（ⅰ）
１（１） Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ Ａ
１（２） Ｇａ １＆Ｅ
（３）（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）→Ｇａ １２ＣＰ
（ⅱ）
１（１） Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ Ａ
１（２） Ｇａ １＆Ｅ
（３）（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）→Ｇｂ １２ＣＰ
（ⅲ）
１（１） Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ Ａ
１（２） Ｇａ １＆Ｅ
（３）（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）→Ｇｂ １２ＣＰ
従って、
（08）により、 （09）
（ⅰ）∀ｘ（Ｇｘ）であるならば、Ｇａ であるが、
（ⅱ）Ｇａ であるとしても、∀ｘ（Ｇｘ）であるとは、限らない。
従って、
（05）（09）により、
（10）
（ⅰ）Ｆａ であるならば∃ｘ（Ｆｘ）であるが、逆に、∃ｘ（Ｆｘ）であるとしても、Ｆａ であるとは限らない。
（ⅱ）∀ｘ（Ｇｘ）であるならばＧａ であるが、逆に、Ｇａ であるとしても、∀ｘ（Ｇｘ）であるとは限らない。
然るに、
（11）
１ （１） Ｆａ∨ Ｆｂ∨Ｆｃ Ａ
２ （２） Ｇａ＆ Ｇｂ＆Ｇｃ Ａ
１ （３） Ｆａ∨（Ｆｂ∨Ｆｃ） １結合法則
４ （４） Ｆａ Ａ
２ （５） Ｇａ ２＆Ｅ
２４ （６） Ｆａ＆Ｇａ ４５＆Ｉ
２４ （７）（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ） ６∨Ｉ
２４ （８）（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ） ７∨Ｉ
９ （９） （Ｆｂ∨Ｆｃ） Ａ
ア （ア） Ｆｂ Ａ
２ （イ） Ｇｂ ２＆Ｅ
２ ア （ウ） Ｆｂ＆Ｇｂ アイ＆Ｉ
２ ア （エ）（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ） ウ∨Ｉ
２ ア （オ）（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ） エ∨Ｉ
カ （カ） Ｆｃ Ａ
２ （キ） Ｇｃ ２＆Ｅ
２ カ （ク） Ｆｃ＆Ｇｃ カキ＆Ｉ
２ カ （ケ） （Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ） ク∨Ｉ
２ カ （コ）（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ） ケ∨Ｉ
２ ９ （サ）（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ） ９アオカコ∨Ｅ
１２ （シ）（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ） １４８９サ∨Ｅ
従って、
（11）により、
（12）
（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ），（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）├（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（01）（07）（12）により、
（13）
｛ｘの変域｝＝｛ａさん、ｂさん、ｃさん｝
であるとして、
∃ｘ（Ｆｘ），∀ｘ（Ｇｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（13）により、
（14）
例へば、
Ｆ＝フランス人である。
Ｇ＝学生である。
として、
（ⅰ）ある人はフランス人である。然るに、
（ⅱ）すべての人は学生である。 従って、
（ⅲ）ある人はフランス人の学生である。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（15）
（ⅰ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２ （２）∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
３（３） Ｆａ Ａ
２ （４） Ｇａ ２ＵＥ
２３（５） Ｆａ＆Ｇａ ３４＆Ｉ
２３（６）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ５ＥＩ
１２ （７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） １３６ＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２ （２）∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
３（３） Ｆｂ Ａ
２ （４） Ｇｂ ２ＵＥ
２３（５） Ｆｂ＆Ｇｂ ３４＆Ｉ
２３（６）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ５ＥＩ
１２ （７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） １３６ＥＥ
（ⅲ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２ （２）∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
３（３） Ｆｃ Ａ
２ （４） Ｇｃ ２ＵＥ
２３（５） Ｆｃ＆Ｇｃ ３４＆Ｉ
２３（６）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ５ＥＩ
１２ （７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） １３６ＥＥ
従って、 （11）～（15）により、
（16）
｛ｘの変域｝＝｛ａさん、ｂさん、ｃさん｝
であるとして、
（ⅰ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２ （２）∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
３（３） Ｆａ Ａ
２ （４） Ｇａ ２ＵＥ
２３（５） Ｆａ＆Ｇａ ３４＆Ｉ
２３（６）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ５ＥＩ
１２ （７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） １３６ＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２ （２）∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
３（３） Ｆｂ Ａ
２ （４） Ｇｂ ２ＵＥ
２３（５） Ｆｂ＆Ｇｂ ３４＆Ｉ
２３（６）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ５ＥＩ
１２ （７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） １３６ＥＥ
（ⅲ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２ （２）∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
３（３） Ｆｃ Ａ
２ （４） Ｇｃ ２ＵＥ
２３（５） Ｆｃ＆Ｇｃ ３４＆Ｉ
２３（６）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ５ＥＩ
１２ （７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） １３６ＥＥ
といふ「３つの計算の意味」は、「３つ」とも、
（ⅳ）
１ （１） Ｆａ∨ Ｆｂ∨Ｆｃ Ａ
２ （２） Ｇａ＆ Ｇｂ＆Ｇｃ Ａ
１ （３） Ｆａ∨（Ｆｂ∨Ｆｃ） １結合法則
４ （４） Ｆａ Ａ
２ （５） Ｇａ ２＆Ｅ
２４ （６） Ｆａ＆Ｇａ ４５＆Ｉ
２４ （７）（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ） ６∨Ｉ
２４ （８）（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ） ７∨Ｉ
９ （９） （Ｆｂ∨Ｆｃ） Ａ
ア （ア） Ｆｂ Ａ
２ （イ） Ｇｂ ２＆Ｅ
２ ア （ウ） Ｆｂ＆Ｇｂ アイ＆Ｉ
２ ア （エ）（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ） ウ∨Ｉ
２ ア （オ）（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ） エ∨Ｉ
カ （カ） Ｆｃ Ａ
２ （キ） Ｇｃ ２＆Ｅ
２ カ （ク） Ｆｃ＆Ｇｃ カキ＆Ｉ
２ カ （ケ） （Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ） ク∨Ｉ
２ カ （コ）（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ） ケ∨Ｉ
２ ９ （サ）（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ） ９アオカコ∨Ｅ
１２ （シ）（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ） １４８９サ∨Ｅ
といふ「意味」になる。
従って、
（16）により、
（17）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２ （２）∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
３（３） Ｆａ Ａ
２ （４） Ｇａ ２ＵＥ
２３（５） Ｆａ＆Ｇａ ３４＆Ｉ
２３（６）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ５ＥＩ
１２ （７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） １３６ＥＥ
に於ける、
３（３）Ｆａ Ａ
といふ「行」は、
３（３）Ｆｂ Ａ
であっても、
３（３）Ｆｃ Ａ
であっても、「どれでも良い」。
従って、
（17）により、
（18）
３（３）Ｆａ Ａ
に於ける、
｛Ｆａ｝は、
｛Ｆａ、Ｆｂ、Ｆｃ｝を、「代表」してゐる。
従って、
（17）（18）により、
（19）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２ （２）∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
３（３） Ｆａ Ａ
２ （４） Ｇａ ２ＵＥ
２３（５） Ｆａ＆Ｇａ ３４＆Ｉ
２３（６）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ５ＥＩ
１２ （７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） １３６ＥＥ
に於ける、
３（３）Ｆａ Ａ
を、「代表的選言項（typical disjunct）」と言ふ。
従って、
（19）により、
（20）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２ （２）∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
３（３） Ｆａ Ａ
に於ける、
｛Ｆａ｝の「ａさん」は、敢へて言ふと「代理人（agent）のやうな立場」であって、
いづれにせよ、「ａさん自身」ではないのであるが、「述語論理」は、「この点が、分かり難い」。