（01）
論理学の「・・・あるいは・・・」は両立的選言に取り決められている。
それは論理学の体系がよりシンプルなものになるからである。とりわけ、
∨を両立的選言に決めておけば、排他的選言の方は∨と＆と～によって 簡単に表現できる―（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）―。
（昭和堂刊、論理学の基礎、1994年、１１頁）
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
といふ「選言」、すなはち、
①（Ｐか、または、Ｑである）が、（Ｐであって、尚且つ、Ｑである）といふことはない。
といふ場合の「選言」を、「排他的選言」といふ。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１）（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
１ （２） ～（Ｐ＆Ｑ） １＆Ｅ
３ （３） Ｐ Ａ
４ （４） Ｑ Ａ
３４ （５） Ｐ＆Ｑ ３４＆Ｉ
１３４ （６）～（Ｐ＆Ｑ）＆（Ｐ＆Ｑ） ２５＆Ｉ
１３ （７） ～Ｑ ４６ＲＡＡ
１ （８） Ｐ→～Ｑ ３７ＣＰ
１ （９）（Ｐ∨Ｑ） １＆Ｅ
ア （ア） Ｐ Ａ
１ ア （イ） ～Ｑ ８アＭＰＰ
１ ア （ウ） Ｐ＆～Ｑ アイ＆Ｉ
１ ア （エ）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） ウ∨Ｉ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～～Ｑ オＤＮ
１ オ（キ） ～Ｐ ８カＭＴＴ
１ オ（ク） Ｑ＆～Ｐ オキ＆Ｉ
１ オ（ケ）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） ク∨Ｉ
１ （コ）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） １アエオケ∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） Ａ
２ （２）（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
２ （４） Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
５ （５） Ｑ＆～Ｐ Ａ
５ （６） Ｑ ５＆Ｅ
５ （７） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
１ （８） Ｐ∨Ｑ １２４５７∨Ｅ
９（９） Ｐ＆ Ｑ Ａ
９（ア） Ｑ ９＆Ｅ
２ （イ） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ９（ウ） ～Ｑ＆Ｑ アイ＆Ｉ
２ （エ） ～（Ｐ＆ Ｑ） ９ウＲＡＡ
９（オ） Ｐ ９＆Ｅ
５ （カ） ～Ｐ ５＆Ｅ
５９（キ） Ｐ＆～Ｐ オカ＆Ｉ
５ （ク） ～（Ｐ＆ Ｑ） ９キＲＡＡ
１ （ケ） ～（Ｐ＆ Ｑ） １２エ５ク∨Ｅ
１ （コ）（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆ Ｑ） ８ケ＆Ｉ
従って、
（03）により、
（04）
①（Ｐ∨ Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３）～（～Ｐ∨Ｑ） ２ド・モルガンの法則
２ （４） ～（Ｐ→Ｑ） ３含意の定義
２ （５） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ４∨Ｉ
６（６） （Ｑ＆～Ｐ） Ａ
６（７） ～（～Ｑ∨Ｐ） ６ド・モルガンの法則
６（８） ～（Ｑ→Ｐ） ７含意の定義
６（９） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ８∨Ｉ
１ （ア） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） １２５６９∨Ｅ
１ （イ）～｛（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ）｝ ア、ド・モルガンの法則
１ （ウ） ～（Ｐ⇔Ｑ） イＤｆ.⇔
（ⅲ）
１ （１） ～（Ｐ⇔Ｑ） Ａ
１ （２）～｛（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ）｝ １Ｄｆ.
１ （３） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ２ド・モルガンの法則
４ （４） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
４ （５）～（～Ｐ∨Ｑ） ４含意の定義
４ （６） （Ｐ＆～Ｑ） ５ド・モルガンの法則
４ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） ６∨Ｉ
８（８） ～（Ｑ→Ｐ） Ａ
８（９） ～（～Ｑ∨Ｐ） ８含意の定義
８（ア） （Ｑ＆～Ｐ） ９ド・モルガンの法則
８（イ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） ア∨Ｉ
１ （ウ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） １４７８イ∨Ｅ
従って、
（05）により、
（06）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
③ ～（Ｐ⇔Ｑ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（04）（06）により、
（07）
①（Ｐ∨ Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
③ ～（Ｐ⇔Ｑ）
に於いて、すなはち、
①（Ｐか、または、Ｑである）が、（Ｐであって、尚且つ、Ｑである）といふことはない。
②（Ｐであって、Ｑでない）か、または、（Ｑであって、Ｐではない）。
③（ＰとＱが同時に真になること、並びに、ＰとＱが同時に偽になること）はない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（01）（07）により、
（08）
④ ＰとＱの内の、どちらか一方だけが、真である。
といふ場合の、
④ ＰかＱ。
を、「排他的選言」といふ。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨Ｑ Ａ
１ （２）～～Ｐ∨Ｑ １ＤＮ
１ （３） ～Ｐ→Ｑ ２含意の定義
４（４） ～Ｐ Ａ
１４（５） Ｑ ３４ＭＰＰ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
１ （２） Ｐ∨Ｑ １＆Ｅ
１ （３）～～Ｐ∨Ｑ ２ＤＮ
１ （４） ～Ｐ→Ｑ ３含意の定義
５（５） ～Ｐ Ａ
１５（６） Ｑ ４５ＭＰＰ
従って、
（09）により、
（10）
①（Ｐ∨Ｑ）， ～Ｐ├ Ｑ
②（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ），～Ｐ├ Ｑ
といふ「連式」は、「両方」とも、「妥当」である。
従って、
（01）（07）～（10）により、
（11）
「Ｐか、または、Ｑであるが、Ｐではない。故に、Ｑである。」
といふ「推論（選言三段論法・消去法）」は、「両立的選言」に於いても、「排他的選言」に於いても、「両方」とも、「妥当」である。
（01）
１ （１） ～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｐ Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
１２（３）～～（Ｐ＆～Ｑ） １２ＭＴＴ
１２（４） Ｐ＆～Ｑ ３ＤＮ
１２（５） Ｐ ４＆Ｅ
１２（６） Ｐ＆～Ｐ ２５＆Ｉ
１ （７） ～～Ｐ ２６ＲＡＡ
１ （８） Ｐ ７ＤＮ
（９）（～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １８ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｐ
② ～Ｐ
に於いて、
①＆② は「矛盾」であるため、「背理法（ＲＡＡ）」により、
① ならば、② ではない。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
従って、
（03）により、
（04）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
② Ｐ→ Ｑ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）（03）（04）により、
（05）
①（～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
② （（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）（05）により、
（06）
②（Ｐ→Ｑ）→Ｐ
③ ～Ｐ
に於いて、
②＆③ は「矛盾」であるため、「背理法（ＲＡＡ）」により、
② ならば、③ ではない。
然るに、
（07）
命題計算では、パースの法則は（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。
（ウィキペディア）
従って、
（05）（07）により、
（08）
①（～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
② （（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③「パースの法則」
に於いて、
①＝②＝③ である。
（01）
① 父母之年、不可不知也＝
① 父母之年、不レ可レ不レ知也＝
① 父母之年、不［可〔不（知）〕］也⇒
① 父母之年、［〔（知）不〕可］不也＝
① 父母の年は［〔（知ら）不る〕可から］不る也＝
① 父母の年を［〔（知ら）ないといふことは〕あってはなら］ない（論語 里仁第四の二十一）。
然るに、
（02）
「管到」とは、ある語句がそのあとのどの漢字までかかっているか、という範囲のことである。白文の訓読では、それぞれの漢字の意味や品詞を自分で考え、その漢字が後ろのどこまでかかっているか、考えねばならない。
然るに、
（03）
括弧は、論理演算子のスコープ（ｓｃｏｐｅ）を明示する働きを持つ。スコープは、論理演算子の働きが及ぶ範囲のことをいう。
（産業図書、数理言語学辞典、2013年、四七頁：命題論理、今仁生美）
然るに、
（04）
漢語における語順は、国語と大きく違っているところがある。すなわち、その補足構造における語順は、国語とは全く反対である。しかし、訓読は、国語の語順に置きかえて読むことが、その大きな原則となっている。それでその補足構造によっている文も、返り点によって、国語としての語順が示されている（鈴木直治、中国語と漢文、1975年、２９６頁）。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
① 父母之年、不レ可レ不レ知也。
といふ「返り点」は、
① 父母之年、不可不知也。
といふ「漢文」の、
① 父母之年、不［可〔不（知）〕］也。
といふ「管到（補足構造）」を示してゐる。
然るに、
（06）
数学嫌いであろうと、子供であろうと、だれでも「父と母の年齢」というと、
「父の年齢と母の年齢」と同じ意味だとわかっている。当たり前のこととして、
気にもかけないかも知れない。実はこれは
（父と母）の年齢＝（父の年齢）と（母の年齢）
というように分配法則そのものなのだ。
（ａ＋ｂ）×ｃ＝ａｃ＋ｂｃ
という式を理解できない人でも、「父と母の年齢？」と聞かれたら数を二つ言うに違いない。
（小谷善行、ことばの数理千夜一夜、2021年、８頁）
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
① 父母之年、不可不知也。
といふ「漢文」には、
②（父母）之年、不［可〔不（知）〕］也。
といふ「管到（スコープ）」が有るものの、
②（父母）之年
に関しては、「補足構造」でなく、「並列構造＋被修飾構造」であって、
「並列構造＋被修飾構造」の「語順」は、「日本語の語順」と「同じ」であるが故に、
②（父母）之年＝（父母）の年
といふ「管到（スコープ）」に対しては、「返り点」が付かない。
然るに、
（08）
① （ａ＋ｂ）×ｃ＝ａｃ＋ｂｃ
だけでなく、
② ｃ×（ａ＋ｂ）＝ａｃ＋ｂｃ
であっても、「分配法則」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① 父母之年、不可不知也。
といふ「語順」だけなく、
② 年之父母、不可不知也。
といふ「語順」が有っても、良いはずであって、その場合は、
② 年レ之二父母一、不レ可レ不レ知也。
といふ「返り点」が付く。
といふ、ことになる。
（01） 例２.１
０１ 自然数は偶数であるかまたは奇数である。
０２ 奇数の自乗は奇数である。
０３ 奇数は偶数ではない。
これらをもとにして
「自乗すると偶数になる自然数は偶数である。」
を証明する。この証明の文章構造がどのようになっているか眺められたい。
［証明］
０４ ａを任意の自然数を表す変数とし、
０５ ａの自乗が偶数であると仮定する。
《ａが偶数であることを示せばよい。そのためには、ａが偶数でないと仮定して矛盾を示せばよい。》
― 途中省略。―
１５ したがって、ａの自乗が偶数であるならば、ａは偶数である。
《ａは任意の自然数を表す変数である。》
（上江中洲忠弘、述語論理入門、2007年、１７頁）
然るに、
（01）により、
（02）
① 奇数の自乗は奇数である。
② ある自然数の１乗が奇数である（偶数でない）ならば、その自然数の２乗も奇数である（偶数でない）。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（01）（02）により、
（03）
② ある自然数の１乗が奇数である（偶数でない）ならば、その自然数の２乗も奇数である（偶数でない）。
③ ある自然数の２乗が奇数でない（偶数である）ならば、その自然数の１乗も奇数でない（偶数である）。
に於いて、
②＝③ は『対偶』である。
然るに、
（04）
③ ある自然数の２乗が偶数である（奇数でない）ならば、その自然数の１乗も偶数である（奇数でない）。
④ 自乗すると偶数になる自然数は偶数である。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
① 奇数の自乗は奇数である。
② ある自然数の１乗が奇数である（偶数でない）ならば、その自然数の２乗も奇数である（偶数でない）。
③ ある自然数の２乗が偶数である（奇数でない）ならば、その自然数の１乗も偶数である（奇数でない）。
④ 自乗すると偶数になる自然数は偶数である。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（05）により、
（06）
① 奇数の自乗は奇数である。
といふ「日本語」を、
② ある自然数の１乗が奇数である（偶数でない）ならば、その自然数の２乗も奇数である（偶数でない）。
といふ「意味」であるとして、
③ ある自然数の２乗が偶数である（奇数でない）ならば、その自然数の１乗も偶数である（奇数でない）。
といふ『対偶』を考へれば、そのまま、
④ 自乗すると偶数になる自然数は偶数である。
といふ「命題」になる。
従って、
（01）（06）により、
（07）
④ 自乗すると偶数になる自然数は偶数である。
といふことを「証明」する際に、わざわざ、
［証明］
０４ ａを任意の自然数を表す変数とし、
０５ ａの自乗が偶数であると仮定する。
《ａが偶数であることを示せばよい。そのためには、ａが偶数でないと仮定して矛盾を示せばよい。》
― 途中省略。―
１５ したがって、ａの自乗が偶数であるならば、ａは偶数である。
《ａは任意の自然数を表す変数である。》
といふ「証明（背理法）」を行ふ「必要」はない。
然るに、
（08）
因みに、
（フェルマーの最終定理。アンドリュー・ワイルズはこうして証明した。楕円曲線と谷山・志村予想。超入門。）
といふのは、「（謎の数学者の）話」を聞く限り、
（１）「フェルマーの最終定理」が「マチガイ」ならば、「谷山・志村予想」も「マチガイ」である。然るに、
（２）「谷山・志村予想」も「マチガイ」ではない。従って、
（３）「フェルマーの最終定理」も「マチガイ」ではない。
といふ、『対偶による証明』のやうである。
（01）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
ＦａかＦｂかＦｃ＝∃ｘ（Ｆｘ）
従って、
（01）により、
（02）
① Ｆａ ならば、それだけで、∃ｘ（Ｆｘ）であり、
② Ｆｂ ならば、それだけで、∃ｘ（Ｆｘ）であり、
③ Ｆｃ ならば、それだけで、∃ｘ（Ｆｘ）である。
従って、
（02）により、
（03）
連式 Ｆａ├ ∃ｘ（Ｆｘ）は妥当であるとして受け入れるが、連式 ∃ｘ（Ｆｘ）├ Ｆａ は妥当とは考えず、
ａは任意に選ばれているが、与えられたＦもつ対象の１つではないかも知れないから、この連式は受け入れないのである。
（E.J.レモン 著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１４９頁）
然るに、
（04）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
ＦａでＦｂでＦｃ＝∀ｘ（Ｆｘ）
従って、
（04）により、
（05）
① ∀ｘ（Ｇｘ）ならば、それだけで、Ｇａ であり、
② ∀ｘ（Ｇｘ）ならば、それだけで、Ｇｂ であり、
③ ∀ｘ（Ｇｘ）ならば、それだけで、Ｇｃ である。
従って、
（02）（05）により、
（06）
（ⅰ）
① Ｆａ ならば、∃ｘ（Ｆｘ）であり、
① ∃ｘ（Ｆｘ）であるからといって、Ｆａ であるとは、限らないが、
① ∀ｘ（Ｇｘ）ならば、Ｇａ である。
（ⅱ）
② Ｆｂ ならば、∃ｘ（Ｆｘ）であり、
② ∃ｘ（Ｆｘ）であるからといって、Ｆｂ であるとは、限らないが、
② ∀ｘ（Ｇｘ）ならば、Ｇｂ である。
（ⅲ）
③ Ｆｃ ならば、∃ｘ（Ｆｘ）であり、
③ ∃ｘ（Ｆｘ）であるからといって、Ｆｃ であるとは、限らないが、
③ ∀ｘ（Ｇｘ）ならば、Ｇｃ である。
従って、
（06）により、
（07）
∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ（Ｇｘ）
であるならば、
① Ｆａ＆Ｇａ
② Ｆｂ＆Ｇｂ
③ Ｆｃ＆Ｇｃ
といふ「３つ」の内の、「少なくとも１つ」が「真（本当）」である。
従って、
（07）により、
（08）
∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ（Ｇｘ）
であるならば、
① Ｆａ＆Ｇａ
② Ｆｂ＆Ｇｂ
③ Ｆｃ＆Ｇｃ
に於いて、
①か②か③ である。
然るに、、
（01）（08）により、
（09）
① Ｆａ＆Ｇａ
② Ｆｂ＆Ｇｂ
③ Ｆｃ＆Ｇｃ
に於いて、
①か②か③ である。
といふことは、
∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
といふことに、他ならない。
従って、
（08）（09）により、
（10）
∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ（Ｇｘ）
であるならば、
∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
である。
然るに、
（11）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
（ⅰ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
１ （２）∃ｘ（Ｆｘ） １＆Ｅ
２（３） Ｆａ Ａ
１ （４） ∀ｘ（Ｇｘ） １＆Ｅ
１ （５） Ｇａ ４ＵＥ
１２（６） Ｆａ＆Ｇａ ３５＆Ｉ
１２（７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ６ＥＩ
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
１ （２）∃ｘ（Ｆｘ） １＆Ｅ
２（３） Ｆｂ Ａ
１ （４） ∀ｘ（Ｇｘ） １＆Ｅ
１ （５） Ｇｂ ４ＵＥ
１２（６） Ｆａ＆Ｇａ ３５＆Ｉ
１２（７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ６ＥＩ
（ⅲ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
１ （２）∃ｘ（Ｆｘ） １＆Ｅ
２（３） Ｆｃ Ａ
１ （４） ∀ｘ（Ｇｘ） １＆Ｅ
１ （５） Ｇｃ ４ＵＥ
１２（６） Ｆｃ＆Ｇｃ ３５＆Ｉ
１２（７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ６ＥＩ
従って、
（11）により、
（12）
（ⅰ）
１ （２）∃ｘ（Ｆｘ） １＆Ｅ
２（３） Ｆａ Ａ
（ⅱ）
１ （２）∃ｘ（Ｆｘ） １＆Ｅ
２（３） Ｆｂ Ａ
（ⅲ）
１ （２）∃ｘ（Ｆｘ） １＆Ｅ
２（３） Ｆｃ Ａ
従って、
（11）（12）により、
（13）
（ⅰ） １ （２）∃ｘ（Ｆｘ） １＆Ｅ
２（３） Ｆａ Ａ
に於ける、
２（３） Ｆａ Ａ
の「ａ」は、「ａ、ｂ、ｃ」の「代表」であると、見做すことが出来る。
従って、
（13）により、
（14）
１ （２）∃ｘ（Ｆｘ） １＆Ｅ
２（３） Ｆａ Ａ
に於ける、
２（３） Ｆａ Ａ
の「ａ」を、「代表的選言項（typical disjunction）」と呼ぶ。
ｃｆ.
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１４４頁）
（01）
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） Ａ
１ （〃）すべての象は動物である。 Ａ
１ （２） 象ａ→動物ａ １ＵＥ
３ （３）∃ｘ（象ｘ） Ａ
３ （〃）あるｘは象である。 Ａ
４（４） 象ａ Ａ
１ ４（５） 動物ａ ２４ＭＰＰ
１ ４（６） 象ａ＆動物ａ ４５＆Ｉ
１ ４（７）∃ｘ（象ｘ＆動物ｘ） ６ＥＩ
１３ （８）∃ｘ（象ｘ＆動物ｘ） ３４７ＥＥ
１３ （〃）あるｘは、象といふ動物である。３４７ＥＥ
然るに、
（01）により、
（02）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
１ （１）（象ａ→動物ａ）＆（象ｂ→動物ｂ）＆（象ｃ→動物ｃ） Ａ
１ （２）（象ａ→動物ａ） １ＵＥ
１ （３）（象ｂ→動物ｂ） １ＵＥ
１ （４）（象ｃ→動物ｃ） １ＵＥ
５ （５） 象ａ∨象ｂ∨象ｃ Ａ
５ （６）（象ａ∨象ｂ）∨象ｃ ５結合法則
７ （７）（象ａ∨象ｂ） Ａ
８ （８） 象ａ Ａ
１ ８ （９） 動物ａ ２８ＭＰＰ
１ ８ （ア） 象ａ＆動物ａ ８９＆Ｉ
１ ８ （イ）（象ａ＆動物ａ）∨（象ｂ＆動物ｂ） ア∨Ｉ
１ ８ （ウ）（象ａ＆動物ａ）∨（象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｃ＆動物ｃ） イ∨Ｉ
エ （エ） 象ｂ Ａ
１ エ （オ） 動物ｂ ３エＭＰＰ
１ エ （カ） 象ｂ＆動物ｂ エオ＆Ｉ
１ エ （キ）（象ａ＆動物ａ）∨（象ｂ＆動物ｂ） カＥＩ
１ エ （ク）（象ａ＆動物ａ）∨（象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｃ＆動物ｃ） キＥＩ
１ ７ （ケ）（象ａ＆動物ａ）∨（象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｃ＆動物ｃ） ５８ウエク∨Ｅ
コ（コ） 象ｃ Ａ
１ コ（サ） 動物ｃ ４コＭＰＰ
１ コ（シ） 象ｃ＆動物ｃ コサ＆Ｉ
１ コ（ス） （象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｃ＆動物ｃ） シ∨Ｉ
１ コ（セ）（象ａ＆動物ａ）∨（象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｃ＆動物ｃ） ス∨Ｉ
１５ （ソ）（象ａ＆動物ａ）∨（象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｃ＆動物ｃ） ５７ケコセ∨Ｅ
従って、
（01）（02）により、
（03）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ），∃ｘ（象ｘ）├ ∃ｘ（象ｘ＆動物ｘ）
②（象ａ→動物ａ）＆（象ｂ→動物ｂ）＆（象ｃ→動物ｃ），（象ａ∨象ｂ∨象ｃ）├（象ａ＆動物ａ）∨（象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｃ＆動物ｃ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ），∃ｘ（象ｘ）├ ∃ｘ（象ｘ＆動物ｘ）
②（象ａ→動物ａ）＆（象ｂ→動物ｂ）＆（象ｃ→動物ｃ），（象ａ∨象ｂ∨象ｃ）├（象ａ＆動物ａ）∨（象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｃ＆動物ｃ）
といふ「連式」は、「妥当」であるが、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ），∃ｘ（象ｘ）├ ∀ｘ（象ｘ＆動物ｘ）
②（象ａ→動物ａ）＆（象ｂ→動物ｂ）＆（象ｃ→動物ｃ），（象ａ∨象ｂ∨象ｃ）├（象ａ＆動物ａ）＆（象ｂ＆動物ｂ）＆（象ｃ＆動物ｃ）
といふ「連式」は、「妥当」ではない。
従って、
（01）（04）により、
（05）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） Ａ
１ （２） 象ａ→動物ａ １ＵＥ
３ （３）∃ｘ（象ｘ） Ａ
４（４） 象ａ Ａ
１ ４（５） 動物ａ ２４ＭＰＰ
１ ４（６） 象ａ＆動物ａ ４５＆Ｉ
１ ４（７）∃ｘ（象ｘ＆動物ｘ） ６ＥＩ
１３ （８）∃ｘ（象ｘ＆動物ｘ） ３４７ＥＥ
１３ （〃）あるｘは、象といふ動物である。３４７ＥＥ
といふ「計算」は「妥当」であるが、
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） Ａ
１ （２） 象ａ→動物ａ １ＵＥ
３ （３）∃ｘ（象ｘ） Ａ
４（４） 象ａ Ａ
１ ４（５） 動物ａ ２４ＭＰＰ
１ ４（６） 象ａ＆動物ａ ４５＆Ｉ
１ ４（７）∀ｘ（象ｘ＆動物ｘ） ６ＵＩ
１ ４（〃）全てのｘは象といふ動物である。 ６ＵＩ
といふ「計算」は「妥当」ではない。
（01）
（ⅰ）
１（１） ∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆（～象ｘ→～動物ｘ）｝ Ａ
１（２） （象ａ→動物ａ）＆（～象ａ→～動物ａ） １ＵＥ
１（３） （象ａ→動物ａ） ２＆Ｅ
１（４） ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） ３ＵＩ
１（５） （～象ａ→～動物ａ） ２＆Ｅ
１（６） ∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ） ５ＵＩ
１（７）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ） ４６＆Ｉ
（ⅱ）
１（１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ） Ａ
１（２）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） １＆Ｅ
１（３） （象ａ→動物ａ） ２ＵＥ
１（４） ∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ） １＆Ｅ
１（５） （～象ａ→～動物ａ） ４ＵＥ
１（６） （象ａ→動物ａ）＆（～象ａ→～動物ａ） ３５＆Ｉ
１（７） ∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆（～象ｘ→～動物ｘ）｝ ６ＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
「普遍量記号（∀ｘ）は連言の仲間である（E.J.レモン ）」といふ「理由」により、
① ∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆ （～象ｘ→～動物ｘ）｝
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１（１） ∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ） Ａ
１（２） ～象ａ→～動物ａ １ＵＥ
１（３） ～～象ａ∨～動物ａ ２含意の定義
１（４） ～（～象ａ＆ 動物ａ） ３ド・モルガンの法則
１（５）∀ｘ～（～象ａ＆ 動物ａ） ４ＵＩ
１（６）～∃ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ） ５量化子の関係
（ⅲ）
１（１）～∃ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ） Ａ
１（２）∀ｘ～（～象ｘ＆ 動物ｘ） １量化子の関係
１（３） ～（～象ａ＆ 動物ａ） ２ＵＥ
１（４） ～～象ａ∨～動物ａ ３ド・モルガンの法則
１（５） ～象ａ→～動物ａ ４含意の定義
１（６） ∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ） ５ＵＩ
従って、
（03）により、
（04）
② ∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）
③ ～∃ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
① ∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆ （～象ｘ→～動物ｘ）｝
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆ ∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１（１） ∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝ Ａ
１（２） （象ａ→動物ａ）＆～（～象ａ→～動物ａ） １ＵＥ
１（３） （象ａ→動物ａ） ２＆Ｅ
１（４） ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） ３ＵＩ
１（５） ～（～象ａ→～動物ａ） ２＆Ｅ
１（６） ∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ） ５ＵＩ
１（７）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ） ４６＆Ｉ
（ⅱ）
１（１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ） Ａ
１（２）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） １＆Ｅ
１（３） （象ａ→動物ａ） ２ＵＥ
１（４） ∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ） １＆Ｅ
１（５） ～（～象ａ→～動物ａ） ４ＵＥ
１（６） （象ａ→動物ａ）＆～（～象ａ→～動物ａ） ３５＆Ｉ
１（７） ∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝ ６ＵＩ
従って、
（02）（06）により、
（07）
① ∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆ ～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（08）
（ⅱ）
１（１）∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ） Ａ
１（２） ～（～象ａ→～動物ａ） １ＵＥ
１（３） ～（象ａ∨～動物ａ） ２含意の定義
１（４） ～象ａ＆ 動物ａ ３ド・モルガンの法則
１（５） ∃ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ） ４ＥＩ
（ⅲ）
１ （１） ∃ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ） Ａ
２（２） ～象ａ＆ 動物ａ Ａ
２（３） ～（象ａ∨～動物ａ） ２ド・モルガンの法則
２（４） ～（～象ａ→～動物ａ） ３含意の定義
２（５）∃ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ） １２５ＥＥ（であるため）、
１ （〃）∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ） ４ＵＩ（はマチガイである）。
従って、
（08）により、
（09）
② ∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）
③ ∃ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ）
に於いて、
②＝③ ではないが、
②⇒③ である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
① ∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆ ～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆ ∃ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ）
に於いて、
①＝② であるが、
②＝③ ではなくて、
②⇒③ である。
然るに、
（11）
（ⅱ）
１ （１）～∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ） Ａ
１ （２）∃ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ） １量化子の関係
３（３） ～（～象ａ→～動物ａ） Ａ
３（４） ～（象ａ∨～動物ａ） ３含意の定義
３（５） ～象ａ＆ 動物ａ ４ド・モルガンの法則
３（６） ∃ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ） ５ＥＩ
１ （７） ∃ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ） ２３６ＥＥ
（ⅲ）
１ （１） ∃ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ） Ａ
２（２） ～象ａ＆ 動物ａ Ａ
２（３） ～（象ａ∨～動物ａ） ２ド・モルガンの法則
２（４） ～（～象ａ→～動物ａ） ３含意の定義
２（５）∃ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ） １２５ＥＥ
１ （７）～∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ） ６量化子の関係
従って、
（11）により、
（12）
② ～∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）
③ ∃ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
① ∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆ ～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆～∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆ ∃ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ）
に於いて、
①≠② であるが、
②＝③ である。
従って、
（05）（10）（13）により、
（14）
いづれにせよ、
① ∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆ （～象ｘ→～動物ｘ）｝
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ）
③ ∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆ ～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
④ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆ ∃ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて｛（ｘが象であるならば、ｘは動物であって）、（ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）｝。
② すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。あるｘが（象ではなくて、動物である）といふことはない。
③ すべてのｘについて｛（ｘが象であるならば、ｘは動物である）が、（ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）といふことない｝。
④ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。あるｘは（象ではなくて、動物である）。
に於いて、
① ならば、② であり、
③ ならば、④ である。
然るに、
（15）
①｛象、机、車、花｝
③｛象、兎、犬、馬｝
であれば、
① 象が動物である。
③ 象も動物である。
然るに、
（16）
②｛象、机、車、花｝
④｛象、兎、犬、馬｝
であれば、
② すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。あるｘが（象ではなくて、動物である）といふことはない。
④ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。あるｘは（象ではなくて、動物である）。
従って、
（14）（15）（16）により、
（17）
① 象が動物である。
③ 象も動物である。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆ （～象ｘ→～動物ｘ）｝
③ ∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
といふ「述語論理式」に、「相当」する。
従って、
（14）（17）により、
（18）
② 象が動物である。
④ 象も動物である。
といふ「日本語」の「主語」は、「象と、象以外」である。
（01）
① 食（馬）者不〔知（其能千里）〕而食也。
② 食（馬）者不〔知（其能千里）而食〕也。
③ 食（馬）者不〔知（其能千里而食）〕也。
といふ「３通リの管到（スコープ）」が考へられる。
然るに、
（02）
① 食馬者不知其能千里而食也＝
① 食レ馬者不レ知二其能千里一而食也＝
① 食（馬）者不〔知（其能千里）〕而食也⇒
① （馬）食者〔（其能千里）知〕不而食也＝
① （馬を）食ふ者は〔（其の能の千里なるを）知ら〕ずして食ふなり＝
① 馬の飼い主は、自分の馬が千里も走る能力があることを知らないで飼うのである。
然るに、
（03）
② 食馬者不知其能千里而食也＝
② 食レ馬者不下知二其能千里一而食上也＝
② 食（馬）者不〔知（其能千里）而食〕也⇒
② （馬）食者〔（其能千里）知而食〕不也＝
② （馬を）食ふ者は〔（其の能の千里なるを）知りて食は〕ざるなり＝
② 馬の飼い主は、自分の馬が千里も走る能力があることを知って飼うことをしない。
ｃｆ.
（旺文社、漢文の基礎、1973年、１５４頁）
然るに、
（04）
（ⅰ）
１（１）馬は飼ふが（その馬の能力を知ら）ずに、馬を飼ふ。 Ａ
１（２） その馬の能力を知らない。 １＆Ｅ
（ⅱ）
１ （１）馬は飼ふが（その馬の能力を知って、馬を飼ふ）といふことは無い。 Ａ
１ （２）馬を飼ふ。 １＆Ｅ
１ （３） （その馬の能力を知って、馬を飼ふ）といふことは無い。 １＆Ｅ
４ （４） 馬を飼ふ。 Ａ
５（５） その馬の能力を知る。 Ａ
４５（６） （その馬の能力を知って、馬を飼ふ） ４５＆I
１４５（７） （その馬の能力を知って、馬を飼ふ）といふことは無く、
（その馬の能力を知って、馬を飼ふ）。 ３６＆I
１４ （８） その馬の能力を知らない。 ５７ＲＡＡ
１ （９）馬を飼ふならば、その馬の能力を知らない。 ４９ＣＰ
１ （ア） その馬の能力を知らない。 ２９ＭＰＰ
ｃｆ.
① Ｐ＆ ～Ｑ＆Ｐ ├ ～Ｑ
② Ｐ＆～（Ｑ＆Ｐ）├ ～Ｑ
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
① 食レ馬者不レ知二其能千里一而食也。
② 食レ馬者不下知二其能千里一而食上也。
であるならば、すなはち、
① 食（馬）者不〔知（其能千里）〕而食也。
② 食（馬）者不〔知（其能千里）而食〕也。
であるならば、すなはち、
① 馬の飼い主は、自分の馬が千里も走る能力があることを知らないで、飼うのである。
② 馬の飼い主は、自分の馬が千里も走る能力があることを知って、飼うことをしない。
であるならば、いづれにせよ、
① 自分の馬が千里も走る能力があることを知らない。
② 自分の馬が千里も走る能力があることを知らない。
然るに、
（06）
③ 食馬者不知其能千里而食也＝
③ 食レ馬者不レ知二其能千里而食也一＝
③ 食（馬）者不〔知（其能千里而食）〕也⇒
③ （馬）食者〔（其能千里而食）知〕不也＝
③ （馬を）食ふ者は〔（其の能く千里にして食ふを）知ら〕ざるなり＝
③ 馬を飼う者は、その馬が千里を走ることができて、（一食に、５.９リットルも）食べるのだということを知らない。
ｃｆ.
（日栄社、１日１題３０日完成 漢文〔高校上級用〕、解答、1980年、１１頁）
従って、
（06）により、
（07）
③ 食レ馬者不レ知二其能千里而食也一。
であるならば、すなはち、
③ 食（馬）者不〔知（其能千里而食）〕也。
であるならば、
③ 自分の馬が千里も走る能力があって、（一食に、５.９リットルも）食べるのだということを知らない。
従って、
（05）（07）により、
（08）
① 食（馬）者不〔知（其能千里）〕而食也。
② 食（馬）者不〔知（其能千里）而食〕也。
③ 食（馬）者不〔知（其能千里而食）〕也。
といふ「管到（スコープ）」であれば、
① 自分の馬が千里も走る能力があることを知らない。
② 自分の馬が千里も走る能力があることを知らない。
③ 自分の馬が千里も走る能力があって、一石を食べるということを知らない。
といふ「意味」になる。
従って、
（08）により、
（09）
① 食（馬）者不〔知（其能千里）〕而食也。
② 食（馬）者不〔知（其能千里）而食〕也。
③ 食（馬）者不〔知（其能千里而食）〕也。
といふ「管到（スコープ）」であれば、「命題」として、
①＝② であるが、
②＝③ ではない。
（01）
１ （１） Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ Ａ
２（２） Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ Ａ
１ （３） Ｆａ １＆Ｅ
２（４） Ｇａ ２＆Ｅ
１２（５） Ｆａ＆Ｇａ ３４＆Ｉ
１ （６） Ｆｂ １＆Ｅ
２（７） Ｇｂ ２＆Ｅ
１２（８） Ｆｂ＆Ｇｂ ３４＆Ｉ
１ （９） Ｆｃ １＆Ｅ
２（ア） Ｇｃ ２＆Ｅ
１２（イ） Ｆｃ＆Ｇｃ ３４＆Ｉ
１２（ウ）（Ｆａ＆Ｇａ）＆（Ｆｂ＆Ｇｂ） ５８＆Ｉ
１２（エ）（Ｆａ＆Ｇａ）＆（Ｆｂ＆Ｇｂ）＆（Ｆｃ＆Ｇｃ） イウ＆Ｉ
といふ「推論」は、『妥当』である。
従って、
（01）により、
（02）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２）∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
１ （３） Ｆａ １ＵＥ
２（４） Ｇａ ２ＵＥ
１２（５） Ｆａ＆Ｇａ ３４＆Ｉ
１２（６）∀ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ５ＵＩ
といふ「推論」は、『妥当』である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① 三人（ａ、ｂ、ｃ）ともフランス人である。然るに、
② 三人（ａ、ｂ、ｃ）とも学生である。従って、
③ フランス人の学生（ａ、ｂ、ｃ）がゐる。
といふ「推論」は、『妥当』である。
然るに、
（04）
１ （１） Ｆａ＆Ｆｂ＆ Ｆｃ Ａ
２ （２） Ｇａ∨Ｇｂ∨ Ｇｃ Ａ
２ （３）（Ｇａ∨Ｇｂ）∨Ｇｃ ２結合法則
４ （４）（Ｇａ∨Ｇｂ） Ａ
５ （５） Ｇａ Ａ
１ （６） Ｆａ １＆Ｅ
１ ５ （７） Ｆａ＆Ｇａ ５６＆Ｉ
１ ５ （８）（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ） ７∨Ｉ
１ ５ （９）（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ） ８∨Ｉ
ア （ア） Ｇｂ Ａ
１ （イ） Ｆｂ １＆Ｅ
１ ア （ウ） Ｆｂ＆Ｇｂ アイ＆Ｉ
１ ア （エ）（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ） ウ∨Ｉ
１ ア （オ）（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ） エ∨Ｉ
１ ４ （カ）（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ） ４５９アオ∨Ｉ
キ（キ） Ｇｃ Ａ
１ （ク） Ｆｃ １＆Ｅ
１ キ（ケ） Ｆｃ＆Ｇｃ キク＆Ｉ
１ キ（コ） （Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ） ケ∨Ｉ
１ キ（サ）（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ） コ∨Ｉ
１２ （サ）（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ） ３４カキサ∨Ｅ
といふ「推論」は、『妥当』である。
従って、
（04）により、
（05）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
２ （２）∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
１ （３） Ｆａ １ＵＥ
４（４） Ｇａ ２ＵＥ
１ ４（５） Ｆａ＆Ｇａ ３４＆Ｉ
１ ４（６）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ５ＥＩ
１２ （７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ２４６ＥＥ
といふ「推論」は、『妥当』である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① 三人（ａ、ｂ、ｃ）ともフランス人である。然るに、
② 三人（ａ、ｂ、ｃ）の中の、少なくとも一人は学生である。従って、
③ フランス人の学生がゐる。
といふ「推論」は、『妥当』である。
然るに、
（07）
１ （１） Ｆａ∨Ｆｂ∨ Ｆｃ Ａ
２ （２） Ｇａ∨Ｇｂ∨ Ｇｃ Ａ
１ （３）（Ｆａ∨Ｆｂ）∨Ｆｃ １結合法則
２ （４）（Ｇａ∨Ｇｂ）∨Ｇｃ ２結合法則
５ （５）（Ｆａ∨Ｆｂ） Ａ
６ （６） Ｆａ Ａ
７ （７）（Ｇａ∨Ｇｂ） Ａ
８ （８） Ｇａ Ａ
６ ８ （９） Ｆａ＆Ｇａ ６８＆Ｉ
６ ８ （ア）（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ） ９∨Ｉ
６ ８ （イ）（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ） ア∨Ｉ
ウ（エ） Ｆｂ Ａ
８ウ（オ） Ｆｂ＆Ｇｂ ８エ＆Ｉ（は、マチガイである。）
従って、
（07）により、
（08）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２ （２）∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
３ （３） Ｆａ Ａ
４（４） Ｇａ Ａ
３４（５） Ｆａ＆Ｇａ ３４＆Ｉ
３４（６）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ５ＥＩ
１ ４（７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） １３６ＥＥ
といふ「推論」は、『妥当』ではない。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① 少なくとも、一人（ａ）はフランス人である。然るに、
② 少なくとも、一人（ｂ）は学生である。従って、
③ フランス人の学生（ａ）がゐる。
といふ「推論」も、『妥当』ではない。
然るに、 （10）
１ （１） （Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨ （Ｆｃ＆Ｇｃ） Ａ
１ （２）｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝∨（Ｆｃ＆Ｇｃ） １結合法則
３ （３） （Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ） Ａ
４ （４） （Ｆａ＆Ｇａ） Ａ
４ （５） Ｆａ ４＆Ｅ
４ （６） Ｆａ∨Ｆｂ ５∨Ｉ
４ （７） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ６∨Ｉ
４ （８） Ｇａ ４＆Ｅ
４ （９） Ｇａ∨Ｇｂ ８∨Ｉ
４ （ア） Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ ９∨Ｉ
４ （イ）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） ７ア＆Ｉ
ウ （ウ） （Ｆｂ＆Ｇｂ） Ａ
ウ （エ） Ｆｂ ウ＆Ｅ
ウ （オ） Ｆａ∨Ｆｂ エ∨Ｉ
ウ （カ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ オ∨Ｉ
ウ （キ） Ｇｂ ウ＆Ｅ
ウ （ク） Ｇａ∨Ｇｂ キ∨Ｉ
ウ （ケ） Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ ク∨Ｉ
ウ （コ）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） カケ＆Ｉ
３ （サ）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） ３４イウコ∨Ｅ
シ（シ） （Ｆｃ＆Ｇｃ） Ａ
シ（ス） Ｆｃ シ＆Ｅ
シ（セ） Ｆｂ∨Ｆｃ ス∨Ｉ
シ（ソ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ セ∨Ｉ
シ（タ） Ｇｃ シ＆Ｅ
シ（チ） Ｇｂ∨Ｇｃ タ∨Ｉ
シ（ツ） Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ チ∨Ｉ
シ（テ） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） ソツ＆Ｉ
１ （ト） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） １３サシテ∨Ｅ
といふ「推論」は、『妥当』である。
従って、
（10）により、
（11）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） Ａ
２（２） Ｆａ＆Ｇａ Ａ
２（３） Ｆａ ２＆Ｅ
２（４）∃ｘ（Ｆｘ） ３ＥＩ
２（５） Ｇａ ２＆Ｅ
２（６） ∃ｘ（Ｇｘ） ５ＥＩ
２（７）∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ） ４６＆Ｉ
１ （８）∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ） １２７ＥＥ
といふ「推論」は、『妥当』である。
従って、
（10）（11）により、
（12）
① 少なくとも一人は、フランス人の学生である。従って、
② フランス人はゐるし、学生もゐる。
といふ「推論」は、『妥当』である。
（01）
（３） 数表現の記号化
「＝」の導入によってこれまで表現できなかった命題が記号化できるようになる。
すでに明らかなように、「少なくとも一つのＦがある」は、「∃ｘＦｘ」であるが、
「少なくとも二つのＦがある」は、「＝」を使って、
∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝
（飯田賢一・中才敏郎・中谷隆雄 著、論理学の基礎、1994年、１７６頁）
（02）
いま三つのもの ａ、ｂ、ｃ がＦであると思ったとしよう。しかし、
「たかだか二つのものがＦである」が真であるとすれば、同じ対象を二回重複して数えたことになる。
つまり、ａ＝ｂか、または、ａ＝ｃか、または、ｂ＝ｃ である。それゆえ、「たかだか二つのものがＦである」は、
次のように形式かできる。
∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ→（ｘ＝ｙ）∨（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）｝
（飯田賢一・中才敏郎・中谷隆雄 著、論理学の基礎、1994年、１７７頁）
然るに、
（03）
「少なくとも二つのモノＦがある」として、その上、
「たかだか、二つのモノがＦである」とするならば、
「ちょうど、二つのモノがＦである」。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝であって、その上、
∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ→（ｘ＝ｙ）∨（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）｝であるならば、
「ちょうど、二つのモノがＦである」。
従って、
（04）により、
（05）
① ちょうど、二つのモノがＦである。
② ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ→（ｘ＝ｙ）∨（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）｝。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）
「ちょうど、二つのモノがＦである」は次のようになる。
∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）］｝
（飯田賢一・中才敏郎・中谷隆雄 著、論理学の基礎、1994年、１７７頁）
従って、
（05）（06）により、
（07）
① ちょうど、二つのモノがＦである。
② ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ→（ｘ＝ｙ）∨（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）｝。
③ ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）］｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（08）
「述語計算（Predicate calculus）」をしてみると、
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ→（ｘ＝ｙ）∨（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）｝ Ａ
１ （２）∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝ １＆Ｅ
３ （３） ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆（ａ≠ｙ）｝ Ａ
４ （４） Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ） Ａ
４ （５） Ｆａ＆Ｆｂ ４＆Ｅ
４ （６） （ａ≠ｂ） ４＆Ｅ
１ （７） ∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ→（ｘ＝ｙ）∨（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）｝ １＆Ｅ
１ （８） ∀ｙ∀ｚ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆Ｆｚ→（ａ＝ｙ）∨（ａ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）｝ ７ＵＥ
１ （９） ∀ｚ｛Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｚ→（ａ＝ｂ）∨（ａ＝ｚ）∨（ｂ＝ｚ）｝ ８ＵＥ
１ （ア） Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ→（ａ＝ｂ）∨（ａ＝ｃ）∨（ｂ＝ｃ） ９ＵＥ
イ（イ） Ｆｃ Ａ
４イ（ウ） Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ ５ウ＆Ｉ
１ ４イ（エ） （ａ＝ｂ）∨ （ａ＝ｃ）∨（ｂ＝ｃ） アウＭＰＰ
１ ４イ（オ） （ａ＝ｂ）∨｛（ａ＝ｃ）∨（ｂ＝ｃ）｝ エ結合法則
１ ４イ（カ） ～（ａ≠ｂ）∨｛（ａ＝ｃ）∨（ｂ＝ｃ）｝ オＤＮ
１ ４イ（キ） （ａ≠ｂ）→｛（ａ＝ｃ）∨（ｂ＝ｃ）｝ カ含意の定義
１ ４イ（ク） （ａ＝ｃ）∨（ｂ＝ｃ） ６キＭＰＰ
１ ４ （ケ） Ｆｃ→（ａ＝ｃ）∨（ｂ＝ｃ） イクＣＰ
１ ４ （コ） ∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ）∨（ｂ＝ｚ）］ ケＵＩ
１ ４ （サ） Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ）∨（ｂ＝ｚ）］ ４コ＆Ｉ
１ ４ （シ） ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆（ａ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）］｝ サＥＩ
１３ （ス） ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆（ａ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）］｝ ３４シＥＥ
１３ （セ）∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）］｝ スＥＩ
１ （ソ）∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）］｝ １３セＥＥ
（ⅲ）
１ （１）∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）］｝ Ａ
２ （２） ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆（ａ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）］｝ Ａ
３ （３） Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ）∨（ｂ＝ｚ）］ Ａ
３ （４） Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ） ３＆Ｅ
３ （５） ∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ）∨（ｂ＝ｚ）］ ４＆Ｅ
３ （６） Ｆｃ→（ａ＝ｃ）∨（ｂ＝ｃ） ５ＵＥ
７（７） Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ Ａ
７（８） Ｆｃ ７＆Ｅ
３７（９） （ａ＝ｃ）∨（ｂ＝ｃ） ６８ＭＰＰ
３７（ア） （ａ＝ｂ）∨（ａ＝ｃ）∨（ｂ＝ｃ） ９∨Ｉ
３ （イ） Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ→（ａ＝ｂ）∨（ａ＝ｃ）∨（ｂ＝ｃ） ７ア
３ （ウ） ∀ｚ｛Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｚ→（ａ＝ｂ）∨（ａ＝ｚ）∨（ｂ＝ｚ）｝ イＵＩ
３ （エ） ∀ｙ∀ｚ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆Ｆｚ→（ａ＝ｙ）∨（ａ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）｝ ウＵＩ
３ （オ） ∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ→（ｘ＝ｙ）∨（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）｝ エＵＩ
３ （カ） ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆（ａ≠ｙ）｝ オＥＩ
２ （キ） ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆（ａ≠ｙ）｝ ２３カＥＥ
２ （ク）∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝ キＥＩ
１ （ケ）∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝ １２クＥＥ
１ （コ）∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ→（ｘ＝ｙ）∨（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）｝ オケ＆Ｉ
従って、
（07）（08）により、
（09）
果たして、
② ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ→（ｘ＝ｙ）∨（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）｝。
③ ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）］｝。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（10）
藤子 不二雄（ふじこ ふじお）は、日本の漫画家。藤本弘（ふじもと ひろし）と安孫子素雄（あびこ もとお）の共同ペンネーム。1951年コンビ結成。コンビ解消後の1988年以降はそれぞれ藤子・F・不二雄、藤子 不二雄Ⓐと名乗った。代表作は『オバケのQ太郎』（合作）、『ドラえもん』（藤本）、『パーマン』（藤本、コンビ解消後はF名義となったが旧作は合作）、『忍者ハットリくん』（安孫子）、『怪物くん』（安孫子）など多数。
1976年に執筆された『オバケのQ太郎』の読切作品（合作）を最後に、1987年にコンビ解消を表明するまでの約12年間は、ほぼ全作品をそれぞれ単独で描き、藤子不二雄名義で発表していた。 （ウィキペディア）
従って、
（10）
（11）
『オバＱ』は、「藤本弘と安孫子素雄」による「二人の合作」であり、そのため、
『オバＱ』の「作者」は、「二人いて、二人しかゐない」。
従って、
（07）（09）（11）により、
（12）
③ ∃ｘ∃ｙ｛オバＱの作者ｘ＆オバＱの作者ｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［オバＱの作者ｚ→（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）］｝。
といふ「命題」、すなはち、
③ あるｘとあるｙについて｛ｘはオバＱの作者であって、ｙもオバＱの作者であって、（ｘとｙは別人であり）、すべてのｚについて［ｚがオバＱの作者であるならば、ｘがｚであるか、または、ｙがｚである）］｝。
といふ「命題」は「真」である。
（01）
性質Ｆをもつ「すくなくとも２つの相異なる対象が存在する」ということを表現するするためには、われわれは符号を必要とする。
すなわち、
∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
― どちらもＦをもつ同一でないｘとｙが存在する。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、２１０頁）
従って、
（01）により、
（02）
① ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
② 性質Ｆを持つモノの個数は「２個以上」である。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
① ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
② 性質Ｆを持つモノの個数が「２個以上」である。 といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
② 性質Ｆを持つモノの個数が「２個以上」である。 といふことはない。
③ 性質Ｆを持つモノの個数は「１個以下」である。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
② 性質Ｆを持つモノの個数は「１個以下」である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）
（ⅱ）
１（１）～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） Ａ
１（２）∀ｘ～∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） １量化子の関係
１（３）∀ｘ∀ｙ～（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） ２量化子の関係
１（４） ∀ｙ～（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ） ３ＵＥ
１（５） ～（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ） ４ＵＥ
１（６） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨ａ＝ｂ ５ド・モルガンの法則
１（７） （～Ｆａ∨～Ｆｂ）∨ａ＝ｂ ６結合法則
１（８） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ ７ド・モルガンの法則
１（９） （Ｆａ＆Ｆｂ）→ａ＝ｂ ８含意の定義
１（ア） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ →ａ＝ｙ） ９ＵＩ
１（イ）∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ →ｘ＝ｙ） アＵＩ
（ⅲ）
１（１）∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ →ｘ＝ｙ） Ａ
１（２） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ →ａ＝ｙ） １ＵＥ
１（３） Ｆａ＆Ｆｂ →ａ＝ｂ ２ＵＥ
１（４） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ ３含意の定義
１（５） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨ａ＝ｂ ４ド・モルガンの法則
１（６） ～（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ≠ｂ） ５ド・モルガンの法則
１（７） ∀ｙ～（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ≠ｙ） ６ＵＩ
１（８）∀ｘ∀ｙ～（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） ７ＵＩ
１（９）∀ｘ～∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） ８量化子の関係
１（ア）～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ） ９量化子の関係
従って、
（06）により、
（07）
① ～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）
② ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
① ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
② 性質Ｆを持つモノの個数は「１個以下」である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（09）
① ∃ｘ（Ｆｘ）
② 性質Ｆを持つモノの個数は「１個以上」である。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
① ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
② 性質Ｆを持つモノの個数は、「１個以上」であって、尚且つ「１個以下」である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（11）
① 性質Ｆを持つモノの個数は、「１個以上」であって、尚且つ「１個以下」である。
② 性質Ｆを持つモノの個数は、「０個でも、２個でもなく、ちょうど１個」である。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（10）（11）により、
（12）
① ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
② 性質Ｆを持つモノの個数は、「ちょうど１個」である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（13）
つぎの相互に導出可能な結果を確立せよ。
（ａ）：正確に１のものがＦをもつ。
∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）┤├ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、２１５頁）
〔私による解答〕
（ⅰ）
１ （１）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２）∃ｘＦｘ １＆Ｅ
３ （３） Ｆａ Ａ
１ （４） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １＆Ｅ
１ （５） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ４ＵＥ
１ （６） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５ＵＥ
７（７） Ｆｂ Ａ
３７（８） Ｆａ＆Ｆｂ ３７＆Ｉ
１３７（９） ａ＝ｂ ６８ＭＰＰ
１３ （ア） Ｆｂ→ａ＝ｂ ７９ＣＰ
１３ （イ） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） アＵＩ
１３ （ウ） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３イ＆Ｉ
１３ （エ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ウＥＩ
１ （オ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ２３エＥＥ
（ⅱ）
∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝├ ∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
１ （１）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２ （２） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２ （３） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２ （４） Ｆｂ→ａ＝ｂ ３ＵＥ
５（５） Ｆａ＆Ｆｂ Ａ
５（６） Ｆｂ ５＆Ｅ
２５（７） ａ＝ｂ ４６ＭＰＰ
２ （８） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５７ＣＰ
２ （９） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ８ＵＩ
２ （ア） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） ９ＵＩ
２ （イ） Ｆａ ２＆Ｅ
２ （ウ）∃ｘＦｘ イＥＩ
２ （エ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） アウ＆Ｉ
１ （ウ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １２エＥＥ
従って、
（13）により、
（14）
① ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
② ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
① ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
② 性質Ｆを持つモノの個数は、「ちょうど１個」である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（16）
（22）∃ｘ｛（Ｉｘ＆Ｏｘ）＆∀ｙ（Ｉｙ→ｘ＝ｙ）｝
― ある人はイリアスを書いた、そしてオデュッセイアを書いて、そしてその人はイリアスを書いたただ１人の人である。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、２１３頁）
従って、
（15）（16）により、
（17）
① ∃ｘ｛（Ｉｘ＆Ｏｘ）＆∀ｙ（Ｉｙ→ｘ＝ｙ）｝
②「イリアスの作者」であって「オデュッセイアの作者」でもある人物は、一人しかゐない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（17）により、
（18）
① ∃ｘ｛（Ｎｘ＆Ｏｘ）＆∀ｙ（Ｎｙ→ｘ＝ｙ）｝
②「忍者ハットリくん」の作者であって「オバケのＱ太郎」の作者でもある人物は、一人しかゐない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（19）
藤子 不二雄（ふじこ ふじお）は、日本の漫画家。藤本弘（ふじもと ひろし）と安孫子素雄（あびこ もとお）の共同ペンネーム。1951年コンビ結成。コンビ解消後の1988年以降はそれぞれ藤子・F・不二雄、藤子 不二雄Ⓐと名乗った。代表作は『オバケのQ太郎』（合作）、『ドラえもん』（藤本）、『パーマン』（藤本、コンビ解消後はF名義となったが旧作は合作）、『忍者ハットリくん』（安孫子）、『怪物くん』（安孫子）など多数。
1976年に執筆された『オバケのQ太郎』の読切作品（合作）を最後に、1987年にコンビ解消を表明するまでの約12年間は、ほぼ全作品をそれぞれ単独で描き、藤子不二雄名義で発表していた。
（ウィキペディア）
従って、
（17）（18）（19）により、
（20）
②「忍者ハットリくん」の作者であって「オバケのＱ太郎」の作者でもある人物は、一人（藤子 不二雄Ⓐ）しかゐない。
といふ「命題」は「真（本当）」であるが、
②「オバケのＱ太郎」の作者である人物は、一人（藤子 不二雄Ⓐ）しかゐない。
といふ「命題」は「偽（ウソ）」である。
従って、
（17）～（20）により、
（21）
① ∃ｘ｛（Ｎｘ＆Ｏｘ）＆∀ｙ（Ｎｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘ｛（Ｎｘ＆Ｏｘ）＆∀ｙ（Ｎｙ＆Ｏｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
①＝② ではない。
（22）
① ∃ｘ｛（Ｎｘ＆Ｏｘ）＆∀ｙ（Ｎｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘ｛（Ｎｘ＆Ｏｘ）＆∀ｙ（Ｎｙ＆Ｏｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
② であるならば、そのときに限って、
②「忍者ハットリくん」の作者。
③「オバケのＱ太郎」 の作者。
に於いて、
②＝③ であるが、「実際」には、
②＝③ ではない。
（23）
③「オバケのＱ太郎」 の作者（ふじもと ひろし）は、
②「忍者ハットリくん」の作者（あびこ もとお）ではない。
（01）
１４２ ∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３） Ｆａ＆Ｆａ ２＆Ｉ
２（４） ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ） ３ＥＩ
２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） １２５ＥＥ
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年）
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３） Ｆａ＆Ｆａ ２＆Ｉ
２（４） ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ） ３ＥＩ
２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） １２５ＥＥ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆｂ Ａ
２（３） Ｆｂ＆Ｆｂ ２＆Ｉ
２（４） ∃ｙ（Ｆｂ＆Ｆｙ） ３ＥＩ
２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） １２５ＥＥ
（ⅲ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆｃ Ａ
２（３） Ｆｃ＆Ｆｃ ２＆Ｉ
２（４） ∃ｙ（Ｆｃ＆Ｆｙ） ３ＥＩ
２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） １２５ＥＥ
然るに、
（03）
（ⅰ）
① Ｆａ
② （Ｆａ＆Ｆａ）
③ （Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）
④｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝
に於いて、
①⇒②⇒③⇒④ である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
｛変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
として、
① ∃ｘ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ）
②｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
②｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝
から、
②（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
②（Ｆｃ＆Ｆｃ）
を「除く」と、
②｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）｝
従って、
（04）（05）により、
（06）
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
②｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）により、
（07）
｛変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
として、
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
を「否定」すると、すなはち、
②｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）｝
を「否定」すると、「ド・モルガンの法則」により、
②～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝＆～｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝＆～｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）｝
然るに、
（08）
（ⅱ）
１ （１）～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝ Ａ
１ （２）～（Ｆａ＆Ｆｂ）＆～（Ｆａ＆Ｆｃ） １ド・モルガンの法則
１ （３）～（Ｆａ＆Ｆｂ） ２＆Ｅ
１ （４）～Ｆａ∨～Ｆｂ ３ド・モルガンの法則
１ （５） Ｆａ→～Ｆｂ ４含意の定義
１ （６） ～（Ｆａ＆Ｆｃ） ２＆Ｅ
１ （７） ～Ｆａ∨～Ｆｃ ６ド・モルガンの法則
１ （８） Ｆａ→～Ｆｃ ７含意の定義
９（９） Ｆａ Ａ
１９（ア） ～Ｆｂ ５９ＭＰＰ
１９（イ） ～Ｆｃ ８９ＭＰＰ
１９（ウ） ～Ｆｂ＆～Ｆｃ アイ＆Ｉ
１ （エ） Ｆａ→（～Ｆｂ＆～Ｆｃ） ９ウＣＰ
（ⅲ）
１ （１） Ｆａ→（～Ｆｂ＆～Ｆｃ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
１２（３） ～Ｆｂ＆～Ｆｃ １２＆Ｉ
１２（４） ～Ｆｂ ３＆Ｅ
１２（５） ～Ｆｃ ３＆Ｅ
１ （６） Ｆａ→～Ｆｂ ２４ＣＰ
１ （７）～Ｆａ∨～Ｆｂ ６含意の定義
１ （８）～（Ｆａ＆Ｆｂ） ７ド・モルガンの法則
１ （９） Ｆａ→～Ｆｃ ２５ＣＰ
１ （ア） ～Ｆａ∨～Ｆｃ ９含意の定義
１ （イ） ～（Ｆａ＆Ｆｃ） ア、ド・モルガンの法則
１ （ウ） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）＆～（Ｆａ＆Ｆｃ） ８イ＆Ｉ
１ （エ）～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝ ウ、ド・モルガンの法則
従って、
（08）により、
（09）
② ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝
③ Ｆａ→（～Ｆｂ＆～Ｆｃ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（09）により、
（10）
｛変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
として、
① ～∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
② ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝＆～｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝＆～｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）｝
③ ｛Ｆａ→（～Ｆｂ＆～Ｆｃ）｝ ＆ ｛Ｆｂ→（～Ｆａ＆～Ｆｃ）｝ ＆ ｛Ｆｃ→（～Ｆａ＆～Ｆｂ）｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（07）（10）により、
（11）
｛変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
として、
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
の「否定」は、
①｛Ｆａ→（～Ｆｂ＆～Ｆｃ）｝＆｛Ｆｂ→（～Ｆａ＆～Ｆｃ）｝＆｛Ｆｃ→（～Ｆａ＆～Ｆｂ）｝
に「等しい」。
然るに、
（12）
①｛Ｆａ→（～Ｆｂ＆～Ｆｃ）｝＆｛Ｆｂ→（～Ｆａ＆～Ｆｃ）｝＆｛Ｆｃ→（～Ｆａ＆～Ｆｂ）｝
② Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ
③ Ｆａ＆Ｆｂ
④ Ｆａ＆Ｆｃ
⑤ Ｆｂ＆Ｆｃ
⑥ Ｆａ
⑦ Ｆｂ
⑧ Ｆｃ
に於いて、
①＆② は、「矛盾」し、
①＆③ は、「矛盾」し、
①＆④ は、「矛盾」し、
①＆⑤ は、「矛盾」し、
①＆⑥ は、「矛盾」せず、
①＆⑦ は、「矛盾」せず、
①＆⑧ は、「矛盾」しない。
然るに、
（13）
「含意の定義」により、
①｛ Ｆａ→（～Ｆｂ＆～Ｆｃ）｝＆｛ Ｆｂ→（～Ｆａ＆～Ｆｃ）｝＆｛ Ｆｃ→（～Ｆａ＆～Ｆｂ）｝
②｛～Ｆａ∨（～Ｆｂ＆～Ｆｃ）｝＆｛～Ｆｂ∨（～Ｆａ＆～Ｆｃ）｝＆｛～Ｆｃ∨（～Ｆａ＆～Ｆｂ）｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（14）
②｛～Ｆａ∨（～Ｆｂ＆～Ｆｃ）｝＆｛～Ｆｂ∨（～Ｆａ＆～Ｆｃ）｝＆｛～Ｆｃ∨（～Ｆａ＆～Ｆｂ）｝
に於いて、
⑥ Ｆａ＝「偽」
⑦ Ｆｂ＝「偽」
⑧ Ｆｃ＝「偽」
であるならば、
⑥ ～Ｆａ＝「真」
⑦ ～Ｆｂ＝「真」
⑧ ～Ｆｃ＝「真」
であるため、
②｛真∨（真＆真）｝＆｛真∨（真＆真）｝＆｛真∨（真＆真）｝
であるが、
②｛真∨（真＆真）｝＆｛真∨（真＆真）｝＆｛真∨（真＆真）｝
であれば、
②｛真｝＆｛真｝＆｛真｝
であって、
②｛真｝＆｛真｝＆｛真｝
は、「真」である。
従って、
（11）～（14）により、
（15）
｛変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
として、
⑥ Ｆａ＝「偽」
⑦ Ｆｂ＝「偽」
⑧ Ｆｃ＝「偽」
であるならば、
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
の「否定」は、「真」である。
然るに、
（16）
②｛～Ｆａ∨（～Ｆｂ＆～Ｆｃ）｝＆｛～Ｆｂ∨（～Ｆａ＆～Ｆｃ）｝＆｛～Ｆｃ∨（～Ｆａ＆～Ｆｂ）｝
に於いて、
⑥ Ｆａ＝「真」
⑦ Ｆｂ＝「偽」
⑧ Ｆｃ＝「偽」
であるならば、
②｛～真∨（～偽＆～偽）｝＆｛～偽∨（～真＆～偽）｝＆｛～偽∨（～真＆～偽）｝
である。
然るに、
（16）により、
（17）
～真＝偽
～偽＝真
であるため、
②｛～真∨（～偽＆～偽）｝＆｛～偽∨（～真＆～偽）｝＆｛～偽∨（～真＆～偽）｝
であるならば、
②｛偽∨（真＆真）｝＆｛真∨（偽＆真）｝＆｛真∨（偽＆真）｝
である。
然るに、
（18）
（真＆真）＝真
（偽＆真）＝偽
であるため、
②｛偽∨（真＆真）｝＆｛真∨（偽＆真）｝＆｛真∨（偽＆真）｝
であるならば、
②｛偽∨（真）｝＆｛真∨（偽）｝＆｛真∨（偽）｝
であるものの、
②｛偽∨（真）｝＆｛真∨（偽）｝＆｛真∨（偽）｝
であれば、
②｛真｝＆｛真｝＆｛真｝
であって、
②｛真｝＆｛真｝＆｛真｝
は、「真」である。
従って、
（11）（16）（17）（18）により、
（19）
｛変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
⑥ Ｆａ＝「真」
⑦ Ｆｂ＝「偽」
⑧ Ｆｃ＝「偽」
であるならば、
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
の「否定」は、「真」である。
従って、
（12）（15）（19）により、
（20）
｛変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
として、
⑥ Ｆａ
⑦ Ｆｂ
⑧ Ｆｃ
の内の、「０個」が「真」であるか、
⑥ Ｆａ
⑦ Ｆｂ
⑧ Ｆｃ
の内の、「１個」が「真」であるならば、
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
の「否定」は、「真」である。
従って、
（20）により、
（21）
｛変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
として、
⑥ Ｆａ
⑦ Ｆｂ
⑧ Ｆｃ
の内の、「２個か３個」が「真」であるならば、
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
の「否定」ではなく、
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
の「肯定」は、「真」である。
従って、
（21）により、
（22）
｛変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
として、
⑥ Ｆａ
⑦ Ｆｂ
⑧ Ｆｃ
の内の、「少なくとも、２つ」が「真」であるならば、
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
の「肯定」は、「真」である。
従って、
（22）により、
（23）
性質Ｆをもつ「すくなくとも２つの相異なる対象が存在する」ということを表現するするためには、われわれは符号を必要とする。
すなわち、
∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
― どちらもＦをもつ同一でないｘとｙが存在する。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、２１０頁）
といふ『説明』は、「正しい」。