（01）
Ｄ＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるならば、
① ∀ｘ（Ｆｘ）
②（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）により、
（02）
Ｄ＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるならば、
① ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）は、
ｙに関して、
①（Ｆｘ＆Ｆａ）＆（Ｆｘ＆Ｆｂ）＆（Ｆｘ＆Ｆｃ）
という「３通り」が有る。
従って、
（02）により、
（03）
Ｄ＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるならば、
① ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）は、
ｘに関しても、
①（Ｆａ＆Ｆａ）＆（Ｆａ＆Ｆｂ）＆（Ｆａ＆Ｆｃ）
②（Ｆｂ＆Ｆａ）＆（Ｆｂ＆Ｆｂ）＆（Ｆｂ＆Ｆｃ）
③（Ｆｃ＆Ｆａ）＆（Ｆｃ＆Ｆｂ）＆（Ｆｃ＆Ｆｃ）
という「３通り」が有る。
然るに、
（04）
「冪等律」により、
①（Ｆａ＆Ｆａ）＝Ｆａ
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）＝Ｆｂ
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）＝Ｆｃ
従って、
（03）（04）により、
（05）
①（Ｆａ）＆（Ｆａ＆Ｆｂ）＆（Ｆａ＆Ｆｃ）
②（Ｆｂ＆Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｂ＆Ｆｃ）
③（Ｆｃ＆Ｆａ）＆（Ｆｃ＆Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
従って、
（04）により、
（06）
「交換法則」により、
①（Ｆａ）＆（Ｆａ＆Ｆｂ）＆（Ｆａ＆Ｆｃ）
②（Ｆｂ）＆（Ｆｂ＆Ｆａ）＆（Ｆｂ＆Ｆｃ）
③（Ｆｃ）＆（Ｆｃ＆Ｆａ）＆（Ｆｃ＆Ｆｂ）
従って、
（06）により、
（07）
「交換法則・結合法則」により、
①（Ｆａ＆Ｆａ＆Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ＆Ｆｂ）＆（Ｆａ）＆（Ｆｃ）
③（Ｆｃ＆Ｆｃ＆Ｆｃ）＆（Ｆａ）＆（Ｆｂ）
従って、
（07）により、
（08）
「冪等律」により、
①（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
②（Ｆｂ）＆（Ｆａ）＆（Ｆｃ）
③（Ｆｃ）＆（Ｆａ）＆（Ｆｂ）
従って、
（08）により、
（09）
「交換法則」により、
①（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
②（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
③（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
従って、
（09）により、
（10）
「冪等律」により、
③（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
従って、
（01）～（10）により、
（11）
② ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
③（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（01）（11）により、
（12）
Ｄ＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
① ∀ｙ（Ｆｙ）
② ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
③（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（13）
Ｄ＝｛ａ、ｂ、ｃ、ｄ｝
であるならば、
① ∀ｘ（Ｆｘ）
②（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）＆（Ｆｄ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）～（12）（13）により、
（14）
「数学的帰納法」により、
Ｄ＝｛ａ、ｂ、ｃ、ｄ、・・・・・｝
に於いて、
① ∀ｙ（Ｆｙ）
② ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（14）により、
（15）
① ∀ｙ（Ｆｙ→ｙ＝ｙ）
② ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（15）により、
（16）
Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、練習問題３（Ｐ２１５）
つぎの相互に導出可能な結果を確立せよ。
（ａ）：正確に１のものがＦをもつ。
∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝├ ∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
１ （１）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２ （２） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２ （３） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２ （４） Ｆｂ→ａ＝ｂ ３ＵＥ
５（５） Ｆａ＆Ｆｂ Ａ
５（６） Ｆｂ ５＆Ｅ
２５（７） ａ＝ｂ ４６ＭＰＰ
２ （８） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５７ＣＰ
２ （９） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ８ＵＩ
２ （ア） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） ９ＵＩ（２には、ａがあるが、ａ＝ｂである）。
２ （イ） Ｆａ ２＆Ｅ
２ （ウ）∃ｘＦｘ イＥＩ
２ （エ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） アウ＆Ｉ
１ （ウ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １２エＥＥ
という「計算」は、「妥当」であり、
（ｂ）：正確に１のものがＦをもつ。
∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）├ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
１ （１）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２）∃ｘＦｘ １＆Ｅ
３ （３） Ｆａ Ａ
１ （４） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １＆Ｅ
１ （５） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ４ＵＥ
１ （６） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５ＵＥ
７（７） Ｆｂ Ａ
３７（８） Ｆａ＆Ｆｂ ３７＆Ｉ
１３７（９） ａ＝ｂ ６８ＭＰＰ
１３ （ア） Ｆｂ→ａ＝ｂ ７９ＣＰ
１３ （イ） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） アＵＩ
１３ （ウ） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３イ＆Ｉ
１３ （エ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ウＥＩ
１ （オ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ２３エＥＥ
という「計算」は、「妥当」である。
従って、
（16）により、
（17）
① ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
に於いて、すなはち、
① あるｘは｛Ｆであって、すべてのｙについて、 （ｙがＦであるならば、ｘとｙは同一である）｝。
② あるｘは、Ｆであって、すべてのｘとｙについて（ｘがＦであって、ｙもＦであるあるならば、ｘとｙは同一である）。
に於いて、
①＝② である。
（01）
１ （１） ∃ｘ（紫式部ｘ＆源氏物語の著者ｘ） Ａ
２ （２） 紫式部ａ＆源氏物語の著者ａ Ａ
３ （３） ～∀ｘ（紫式部ｘ→源氏物語の著者ｘ） Ａ
３ （５） ∃ｘ～（紫式部ｘ→源氏物語の著者ｘ） ３量化子の関係
６ （６） ～（紫式部ａ→源氏物語の著者ａ） Ａ
６ （７） ～（～紫式部ａ∨源氏物語の著者ａ） ６含意の定義
６ （８） 紫式部ａ＆～源氏物語の著者ａ ６ド・モルガンの法則
２ （９） 源氏物語の著者ａ ２＆Ｅ
６ （ア） ～源氏物語の著者ａ ８＆Ｅ
２ ６ （イ） 源氏物語の著者＆～源氏物語の著者ａ ９ア＆Ｉ
２３ （ウ） 源氏物語の著者＆～源氏物語の著者ａ ３６イＥＥ
１ ３ （エ） 源氏物語の著者＆～源氏物語の著者ａ １２ウＥＥ
１ （オ）～～∀ｘ（紫式部ｘ→源氏物語の著者ｘ） ３エＲＡＡ
１ （カ） ∀ｘ（紫式部ｘ→源氏物語の著者ｘ） オＤＮ
キ （キ） ∃ｘ（清少納言ｘ＆紫式部ｘ） Ａ
１ （ク） 紫式部ａ→源氏物語の著者ａ カＵＥ
ケ （ケ） 清少納言ａ＆紫式部ａ Ａ
コ （コ）∃ｘ（清少納言ｘ＆～源氏物語の著者ｘ） Ａ
サ（サ） 清少納言ａ＆～源氏物語の著者ａ Ａ
ケ （シ） 紫式部ａ ケ＆Ｅ
１ ケ （ス） 源氏物語の著者ａ クシＭＰＰ
サ（セ） ～源氏物語の著者ａ サ＆Ｅ
１ ケ サ（ソ） 源氏物語ａ＆～源氏物語の著者ａ スセ＆Ｉ
１ キ サ（タ） 源氏物語ａ＆～源氏物語の著者ａ キケソＥＥ
１ キ コ （チ） 源氏物語ａ＆～源氏物語の著者ａ コサタＥＥ
１ コ （ツ） ～∃ｘ（清少納言ｘ＆紫式部ｘ） キチＲＡＡ
１ コ （テ） ∀ｘ～（清少納言ｘ＆紫式部ｘ） ツ量化子の関係
１ コ （ト） ～（清少納言ａ＆紫式部ａ） テＵＥ
１ コ （ナ） ～清少納言ａ∨～紫式部ａ ト、ド・モルガンの法則
１ コ （ニ） 清少納言ａ→～紫式部ａ ナ含意の定義
１ コ （ヌ） ∀ｘ（清少納言ｘ→～紫式部ｘ） ニＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）∃ｘ（ 紫式部ｘ＆ 源氏物語の著者ｘ）。然るに、
（ⅱ）∃ｘ（清少納言ｘ＆～源氏物語の著者ｘ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ（清少納言ｘ→～紫式部ｘ）。
という「推論」は「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）あるｘは、 紫式部であって、源氏物語の著者である。 然るに、
（ⅱ）あるｘは、清少納言であるが、源氏物語の著者ではない。従って、
（ⅲ）いかなるｘであっても（ｘが清少納言であれば、紫式部ではない）。
という「推論」は「妥当」である。
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）紫式部は、源氏物語の著者である。 然るに、
（ⅱ）清少納言は源氏物語の著者ではない。従って、
（ⅲ）誰であれ、清少納言であるならば、紫式部ではない。
という「推論」は、「述語論理」としても、「妥当」である。
然るに、
（05）
然るに、
（06）
現在の情報検索や自然言語処理は、基本的に論理で処理させることは当面諦めて、統計と確率の手法でＡＩに言語を学習させようとしています。つまり、文章の意味はわからなくても、その文章に出てくる既知の単語とその組合せから統計的に推測して、正しそうな回答を導き出そうとしているのです（新井紀子、ＡＩｖｓ.教科書が読めない子供たち、2018年、１２２頁）。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
ＡＩは、
（ⅰ）紫式部は、源氏物語の著者である。 然るに、
（ⅱ）清少納言は源氏物語の著者ではない。従って、
（ⅲ）誰であれ、清少納言であるならば、紫式部ではない。
という「推論」を行う際に、
① ∃ｘ（ 紫式部ｘ＆ 源氏物語の著者ｘ）
② ∀ｘ（ 紫式部ｘ→ 源氏物語の著者ｘ）
③ ∃ｘ（清少納言ｘ＆～源氏物語の著者ｘ）
④ ∀ｘ（清少納言ｘ→～紫式部ｘ）。
に於ける、
①から②を「演繹」して、その上で、
② と ③ によって、
④を「演繹」している。
といふ、わけではない。
従って、
（06）（07）により、
（08）
ＡＩは、「論理的な機械」ではなく、
ＡＩは、「確率的・統計的な機械」である。
（01）
１ （１） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｚ（鼻ｚｘ＆～耳ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
３ （３） ∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 象ａ→∃ｚ（鼻ｚａ＆～耳ｚａ＆長ｚ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
１ ６ （ア） ∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （イ） ～耳ｂａ→～長ｂ アＵＥ
２ ６ （ウ） ∃ｚ（鼻ｚａ＆～耳ｚａ＆長ｚ） ５８ＭＰＰ
エ （エ） 鼻ｂａ＆～耳ｂａ＆長ｂ Ａ
エ （オ） ～耳ｂａ エ＆Ｅ
エ （カ） 長ｂ エ＆Ｅ
１ ６エ （キ） ～長ｂ イオＭＰＰ
１ ６エ （ク） 長ｂ＆～長ｂ カキ＆Ｉ
１２ ６ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ ウエクＥＥ
１２３ （コ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ケＥＥ
１２ （サ）～∃ｘ（兎ｘ＆ 象ｘ） ３コＲＡＡ
シ （シ） ～（兎ａ→～象ａ） Ａ
シ （ス） ～（～兎ａ∨～象ａ） シ含意の定義
シ （セ） 兎ａ＆ 象ａ ス、ド・モルガンの法則
シ （ソ） ∃ｘ（兎ｘ＆ 象ｘ） セＥＩ
１２ シ （タ）～∃ｘ（兎ｘ＆ 象ｘ）＆∃ｘ（兎ｘ＆ 象ｘ） サソ＆Ｉ
１２ （チ） ～～（兎ａ→～象ａ） シタＲＡＡ
１２ （ツ） （兎ａ→～象ａ） チＤＮ
テ（テ） 象ａ Ａ
テ（ト） ～～象ａ テＤＮ
１２ テ（ナ） ～兎ａ ツトＭＴＴ
１２ （ニ） 象ａ→～兎ａ テナＣＰ
１２ （ヌ） ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） ニＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｚ（鼻ｚｘ＆～耳ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙは（ｘの耳であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの耳ではないならば、ｚは長くない）｝。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｚは（ｘの鼻であって、ｘの耳ではないが、ｚは長い）｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
といふ『推論』は、「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
兎＝象
耳＝鼻
象＝兎
鼻＝耳
といふ「代入（置き換へ）」により、
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）｝。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの耳であって、ｘの鼻ではないが、ｚは長い）｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない）。
といふ『推論』は、「妥当」である。
従って、
（04）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
ではなく、
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
であるならば、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）｝。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの耳であって、ｘの鼻ではないが、ｚは長い）｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない）。
であるならば、この場合、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）｝。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの耳であって、ｘの鼻ではないが、ｚは長い）｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない）。
といふ『推論』は、「妥当」ではない。
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎の耳は鼻ではないが、長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ『推論』が、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）｝。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの耳であって、ｘの鼻ではないが、ｚは長い）｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない）。
ではなく、
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「意味」であるならば、
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎の耳は鼻ではないが、長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ『推論』は、「妥当」ではない。
従って、
（03）～（05）により、
（06）
① 兎は耳が長い。
② 象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、それぞれ、
① ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ）｝。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「意味」でなければ、ならない。
従って、
（06）により、
（07）
③ ＡはＢがＣである。
といふ「日本語」は、
③ ∀ｘ｛Ａｘ→∃ｙ（Ｂｙｘ＆Ｃｙ）＆∀ｚ（～Ｂｚｘ→～Ｃｚ）｝。
といふ「意味」でなければ、ならない。
従って、
（07）により、
（08）
例へば、
③ 私は膝が痛い。
といふ「日本語」は、
③ ∀ｘ｛私ｘ→∃ｙ（膝ｙｘ＆痛ｙ）＆∀ｚ（～膝ｚｘ→～痛ｚ）｝。
といふ「意味」でなければ、ならない。
（01）
１４２ ∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３） Ｆａ＆Ｆａ ２２＆Ｉ
２（４） ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ） ３ＥＩ
２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） １２５ＥＥ
（この結果は事実上、強化して相互導出可能にすることができる。）この連式の妥当性から、
ひとつだけの対象がＦを持っているならば、∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）ということが帰結する。
言い換えると、相異なる変数「ｘ」と「ｙ」を用いる場合に、そのことから、それに対応する異なった対象が存在する、
ということは、帰結しないのである（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英、1973年、２１０頁）。
然るに、
（02）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
とする。
従って、
（02）により、
（03）
① ∃ｘ（Ｆｘ）
② ∃ｙ（Ｆｙ）
③ Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ
に於いて、
①＝② であって、
①＝③ である。
従って、
（03）により、
（04）
① ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝
②｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
「冪等律」により、
①（Ｆａ＆Ｆａ）＝Ｆａ
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）＝Ｆｂ
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）＝Ｆｃ
従って、
（04）（05）により、
（06）
① ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝
②｛Ｆａ∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨Ｆｂ∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨Ｆｃ｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（07）
「交換法則」により、
①（Ｆａ＆Ｆｂ）＝（Ｆｂ＆Ｆａ）
②（Ｆａ＆Ｆｃ）＝（Ｆｃ＆Ｆａ）
③（Ｆｂ＆Ｆｃ）＝（Ｆｃ＆Ｆｂ）
従って、
（06）（07）により、
（08）
① ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝
②｛Ｆａ∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛Ｆｂ∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛Ｆｃ｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（09）
「交換法則・結合法則」により、
②｛Ｆａ∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛Ｆｂ∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛Ｆｃ｝
③｛（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）｝∨｛（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（10）
１ （１）｛（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）｝∨｛（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝ Ａ
２ （２）｛（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）｝ Ａ
３ （３） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） Ａ
４ （４） （Ｆａ＆Ｆｂ） Ａ
４ （５） Ｆａ ４＆Ｅ
４ （６） Ｆａ∨Ｆｂ ５∨Ｉ
４ （７） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） ６∨Ｉ
２ （８） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） ２３３４７∨Ｅ
９ （９） ｛（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝ Ａ
ア （ア） （Ｆａ＆Ｆｃ） Ａ
ア （イ） Ｆａ ア＆Ｅ
ア （ウ） Ｆａ∨Ｆｂ イ∨Ｉ
ア （エ） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） ウ∨Ｉ
オ （オ） （Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
オ （カ） Ｆｂ オ＆Ｅ
オ （キ） Ｆａ∨Ｆｂ カ∨Ｉ
オ （ク） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） キ∨Ｉ
９ （ケ） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） ９アエオク∨Ｅ
１ （コ） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） １２８９ケ∨Ｅ
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
① ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝
② （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）
に於いて、
①⇒② である。
従って、
（03）（11）により、
（12）
① ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝
② ∃ｘ（Ｆｘ）
に於いて、
①⇒② である。
従って、
（01）（12）により、
（13）
１４２ ∃ｘ（Ｆｘ）┤├ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
は、相互導出可能にすることができる。