（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ （４） Ｐ １２２３３∨Ｅ
（５）（Ｐ∨Ｐ）→Ｐ １４ＣＰ
（ⅱ）
１（１）Ｐ Ａ
１（２）Ｐ∨Ｐ １∨Ｉ
（３）Ｐ→（Ｐ∨Ｐ） １２ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｐ∨Ｐ）⇔Ｐ
といふ「論理式」、すなはち、「冪等律」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
４（４） Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １２３４４∨Ｅ
（６）（（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ １５ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
４（４） Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １２３４４∨Ｅ
（６）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ １５ＣＰ
従って、
（03）により、
（04）
②（（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
といふ「２つの論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（05）
（ⅲ）
１ （１）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ Ａ
２ （２） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （３）～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ２含意の定義
４ （４）～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
４ （５）～（～Ｐ∨Ｑ） ４含意の定義
４ （６） Ｐ＆～Ｑ ５ド・モルガンの法則
４ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ６∨Ｉ
８（８） Ｐ Ａ
８（９） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ８∨Ｉ
２ （ア） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ３４７８９∨Ｅ
１２ （イ） Ｐ １アＭＰＰ
１ （ウ）（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ２イＣＰ
（ⅳ）
１ （１）（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
３ （３） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （４）～（～Ｐ∨Ｑ） ３ド・モルガンの法則
３ （５）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ４∨Ｉ
６（６） Ｐ Ａ
６（７）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ６∨Ｉ
２ （８）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ２３５６７∨Ｅ
２ （９）～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ８含意の定義
２ （ア） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ ９含意の定義
１２ （イ） Ｐ １アＭＰＰ
１ （ウ）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ ２イＣＰ
従って、
（05）により、
（06）
③（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
④（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
②（（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
④（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
② は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ も、「恒真式（トートロジー）」であって、
③＝④ である。
従って、
（07）により、
（08）
②（（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
④（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
⑤（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
② は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ も、「恒真式（トートロジー）」であって、
③＝④ であって、
②＝⑤ である。
従って、
（02）（08）により、
（09）
① （Ｐ∨ Ｐ）⇔Ｐ
②（（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
④（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
⑤（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ も、「恒真式（トートロジー）」であって、
③＝④ であって、
②＝⑤ である。
従って、
（09）により、
（10）
Ｐ＝奇数である。
Ｑ＝素数である。
として、
① （奇数であるか、 または、奇数である）ならば、奇数である。
②（（奇数であって、素数であるか）、または、奇数である）ならば、奇数である。
③（（奇数であって、素数でないか）、または、奇数である）ならば、奇数である。
④（（奇数であるならば、素数である）ならば、奇数である）ならば、奇数である。
⑤（（奇数であるならば、素数でない）ならば、奇数である）ならば、奇数である。
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ も、「恒真式（トートロジー）」であって、
③＝④ であって、
②＝⑤ である。
然るに、
（11）
パースの法則（パースのほうそく）は哲学者であり論理学者であるチャールズ・サンダース・パースにちなむ論理学における法則である。彼の最初の命題論理の公理化において、この法則を公理に採用した。この公理は、含意と呼ばれるただひとつの結合子を持つ体系における排中律であると考えることもできる。
命題計算では、パースの法則は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる。
（ウィキペディア）
従って、
（10）（11）により、
（12）
① （奇数であるか、 または、奇数である）ならば、奇数である。
②（（奇数であって、素数であるか）、または、奇数である）ならば、奇数である。
③（（奇数であって、素数でないか）、または、奇数である）ならば、奇数である。
④（（奇数であるならば、素数である）ならば、奇数である）ならば、奇数である。
⑤（（奇数であるならば、素数でない）ならば、奇数である）ならば、奇数である。
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ も、「恒真式（トートロジー）」であって、
③＝④ であって、
②＝⑤ であって、
④ は、「パースの法則」であって、
⑤ も、「パースの法則」である。
従って、
（12）により、
（13）
④（（奇数であるならば、素数である）ならば、奇数である）ならば、奇数である。
⑤（（奇数であるならば、素数でない）ならば、奇数である）ならば、奇数である。
といふ「パースの法則」は、
②（（奇数であって、素数であるか）、または、奇数である）ならば、奇数である。
③（（奇数であって、素数でないか）、または、奇数である）ならば、奇数である。
といふ「恒真式（トートロジー）」に、「等しい」。
然るに、
（14）
②（（奇数であって、素数であるか）、または、奇数である）ならば、奇数である。
③（（奇数であって、素数でないか）、または、奇数である）ならば、奇数である。
といふことは、
① （奇数であるか、 または、奇数である）ならば、奇数である。
といふことに、他ならない。
従って、
（01）～（14）により、
（15）
④（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
⑤（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「パースの法則」は、
①（Ｐ∨Ｐ）⇔Ｐ
といふ「冪等律」に、由来する。
（01）
（ⅰ）
１ （１）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ Ａ
２ （２） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （３）～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ２含意の定義
４ （４）～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
４ （５）～（～Ｐ∨Ｑ） ４含意の定義
４ （６） Ｐ＆～Ｑ ５ド・モルガンの法則
４ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ６∨Ｉ
８（８） Ｐ Ａ
８（９） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ８∨Ｉ
２ （ア） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ３４７８９∨Ｅ
１２ （イ） Ｐ １アＭＰＰ
１ （ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ２イＣＰ
（ⅱ）
１ （１）（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
３ （３） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （４）～（～Ｐ∨Ｑ） ３ド・モルガンの法則
３ （５）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ４∨Ｉ
６（６） Ｐ Ａ
６（７）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ６∨Ｉ
２ （８）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ２３５６７∨Ｅ
２ （９）～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ８含意の定義
２ （ア） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ ９含意の定義
１２ （イ） Ｐ １アＭＰＰ
１ （ウ）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ ２イＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
４（４） Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １２３４４∨Ｅ
（６）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ １５ＣＰ
従って、
（03）により、
（04）
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
①＝② であって、
① は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（05）により、
（06）
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
①＝② であって、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② も、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（06）により、
（07）
Ｐ＝奇数である。
Ｑ＝素数である。
として、
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「命題」、すなはち、
①（（奇数であって、素数でない）か、または、奇数である）ならば、奇数である。
②（（奇数であるならば、素数である）ならば、奇数である）ならば、素数である。
という「命題」は、両方とも、「恒真（トートロジー）」であって、尚且つ、
①＝② である。
然るに、
（08）
例へば、
①（（９である）か、または、３である）ならば、奇数である。
といふ「命題」は、明らかに、「真（本当）」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
①（（奇数であって、素数でない）か、または、奇数である）ならば、奇数である。
②（（奇数であるならば、素数である）ならば、奇数である）ならば、素数である。
という「命題」は、両方とも、「恒真（トートロジー）」であって、尚且つ、
①＝② であって、尚且つ、
①（（奇数であって、素数でない）か、または、奇数である）ならば、奇数である。
といふ「命題」は、明らかに、「真（本当）」である。
従って、
（09）により、
（10）
②（（奇数であるならば、素数である）ならば、奇数である）ならば、素数である。
といふ「命題」は、「偽（ウソ）」では、有り得ない。
然るに、
（11）
パースの法則
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね
（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）
（07）～（11）により、
（12）
Ｐ＝奇数である。
Ｑ＝素数である。
として、
②（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（奇数であるならば、素数である）ならば、奇数である）ならば、素数である。
といふ「命題（パースの法則）」は、「偽（ウソ）」では、有り得ない。
（01）
５ 原始的規則あるいは導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理をでも用いて、証明せよ。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、８０頁）
（ａ）├ Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
（ｂ）├（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
（ｃ）├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
（02）
〔解答例〕
（ａ）
（１）～Ｐ∨Ｐ Ａ（排中律）
２ （２）～Ｐ Ａ
２ （３）～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
２ （５）Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） ４∨Ｉ
６（６）Ｐ Ａ
６（７）Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） ６∨Ｉ
（８）Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） １２５６７∨Ｅ
（ｂ）
１ （１）Ｑ∨～Ｑ Ａ（排中律）
２ （２）Ｑ Ａ
２ （３）～Ｐ∨Ｑ ２∨I
２ （４） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
２ （５）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） ４∨Ｉ
６（６） ～Ｑ Ａ
６（７） ～Ｑ∨Ｒ ６∨Ｉ
６（８） Ｑ→Ｒ ７含意の定義
６（９）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） ８∨Ｉ
１ （ア）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） １２５６９∨Ｅ
（ｃ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ １含意の定義
３ （３） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
３ （４）～（～Ｐ∨Ｑ） ３含意の定義
３ （５） Ｐ＆～Ｑ ４ド・モルガンの法則
３ （６） Ｐ ５＆Ｅ
７（７） Ｐ Ａ
１ （８） Ｐ １３６７７∨Ｅ
（９）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １８ＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
（ａ）├ Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
（ｂ）├（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
（ｃ）├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「３つの連式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（04）
（ｃ）
１ （１）（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
３ （３） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （４）～（～Ｐ∨Ｑ） ３ド・モルガンの法則
３ （５）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ４∨Ｉ
６（６） Ｐ Ａ
６（７）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ６∨Ｉ
２ （８）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ２３５６７∨Ｅ
２ （９）～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ８含意の定義
２ （ア） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ ９含意の定義
１２ （イ） Ｐ １アＭＰＰ
１ （ウ）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ ２イＣＰ
（ｄ）
１ （１）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ Ａ
２ （２） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （３）～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ２含意の定義
４ （４）～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
４ （５）～（～Ｐ∨Ｑ） ４含意の定義
４ （６） Ｐ＆～Ｑ ５ド・モルガンの法則
４ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ６∨Ｉ
８（８） Ｐ Ａ
８（９） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ８∨Ｉ
２ （ア） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ３４７８９∨Ｅ
１２ （イ） Ｐ １アＭＰＰ
１ （ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ２イＣＰ
従って、
（04）により、
（05）
① Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
② （Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
③（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
④（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
といふ「４つの連式」は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③＝④ である。
然るに、
（06）
パースの法則
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
従って、
（05）（06）により、
（07）
③（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
④（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
に於いて、
③＝④ であって、
③ は、「パースの法則」といふ、「変な命題」である。
従って、
（07）により、
（08）
Ｐ＝日本人である。
Ｑ＝男性である。
として、
③（（日本人であるならば、男性である）ならば、日本人である）ならば、日本人である。
④（（日本人であって、男性でない）か、または、日本人である）ならば、日本人である。
に於いて、
③＝④ であって、
③ は、「パースの法則」といふ、「変な命題」である。
然るに、
（09）
④（（日本人であって、男性でない）か、または、日本人である）ならば、いづれにせよ、日本人である。
といふことは、「当然」である。
従って、
（06）～（09）により、
（10）
③（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
④（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
に於いて、
③ は、「パースの法則」といふ、「変な命題」であるとしても、
④ は、「普通の命題」であって、尚且つ、
④ は、③ に、「等しい」。
従って、
（05）（10）により、
（11）
③（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
④（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
といふことからすれば、「パースの法則」は、「普通の、恒真式（トートロジー）」である。
（01）
①（ＰとＲが、同時に、本当である）といふことはない。
といふことは、
② ＰとＲの、少なくとも一方は、ウソである。
といふことである。
従って、
（01）により、
（02）
①（ＰとＲが、同時に、真である）といふことはない。
② ＰとＲの、少なくとも一方は、偽である。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
「記号」で書くと、
① ～（Ｐ＆ Ｒ）
② ～Ｐ∨～Ｒ
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（04）
① ～（Ｐ＆ Ｒ）
② ～Ｐ∨～Ｒ
に於いて、
① の Ｐに、
② を「代入（Substitution）」をすると、
③ ～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆Ｒ｝
然るに、
（05）
（ⅲ）
１ （１）～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆ Ｒ｝ Ａ
１ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｒ １ド・モルガンの法則
３ （３） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （４） Ｐ＆ Ｑ ３ド・モルガンの法則
３ （５） （Ｐ＆ Ｑ）∨～Ｒ ４∨Ｉ
６（６） ～Ｒ Ａ
６（７） （Ｐ＆ Ｑ）∨～Ｒ ６∨Ｉ
１ （８） （Ｐ＆ Ｑ）∨～Ｒ ２３５６７∨Ｅ
（ⅳ）
１ （１） （Ｐ＆ Ｑ）∨～Ｒ Ａ
２ （２） （Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （３） ～（～Ｐ∨～Ｑ） ２ド・モルガンの法則
２ （４） ～（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｒ ３∨Ｉ
５（５） ～Ｒ Ａ
５（６） ～（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｒ ５∨Ｉ
１ （７） ～（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｒ １２４５６∨Ｅ
１ （８）～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆ Ｒ｝ ７ド・モルガンの法則
従って、
（05）により、
（06）
「ド・モルガンの法則」により、
③ ～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆ Ｒ｝
④ （Ｐ＆ Ｑ）∨～Ｒ
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（07）
（ⅲ）
１ （１）～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆ Ｒ｝ Ａ
２ （２）～｛（ Ｐ＆ Ｑ）∨～Ｒ｝ Ａ
３ （３） （ Ｐ＆ Ｑ） Ａ
３ （４） （ Ｐ＆ Ｑ）∨～Ｒ ３∨Ｉ
２３ （５）～｛（ Ｐ＆ Ｑ）∨～Ｒ｝＆
｛（ Ｐ＆ Ｑ）∨～Ｒ｝ ２４＆Ｉ
２ （６） ～（ Ｐ＆ Ｑ） ３５ＲＡＡ
７ （７） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
８ （８） ～Ｐ Ａ
８ （９） ～Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
７８ （ア） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ７９＆Ｉ
７ （イ） ～～Ｐ ８アＲＡＡ
７ （ウ） Ｐ イＤＮ
エ （エ） ～Ｑ Ａ
エ （オ） ～Ｐ∨～Ｑ エ∨Ｉ
７ エ （カ） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ７オ＆Ｉ
７ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
７ （ク） Ｑ キＤＮ
７ （ケ） Ｐ＆ Ｑ ウク＆Ｉ
２ ７ （コ） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆
（Ｐ＆ Ｑ） ６ケ＆Ｉ
２ （サ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ７コＲＡＡ
２ （シ） ～Ｐ∨～Ｑ サＤＮ
ス （ス） ～Ｒ Ａ
ス （セ） （ Ｐ＆ Ｑ）∨～Ｒ ス∨Ｉ
２ ス （ソ）～｛（ Ｐ＆ Ｑ）∨～Ｒ｝＆
｛（ Ｐ＆ Ｑ）∨～Ｒ｝ ２ス＆Ｉ
２ （タ） ～～Ｒ スソＲＡＡ
２ （チ） Ｒ タＤＮ
２ （ツ） （～Ｐ∨～Ｑ）＆ Ｒ シチ＆Ｉ
１２ （テ）～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆ Ｒ｝＆
｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆ Ｒ｝ １ツ＆Ｉ
１ （ト）～～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨～Ｒ｝ ２テＲＡＡ
１ （ナ） （Ｐ＆ Ｑ）∨～Ｒ トＤＮ
（ⅳ）
１ （１） （Ｐ＆ Ｑ）∨～Ｒ Ａ
２ （２） （～Ｐ∨～Ｑ）＆ Ｒ Ａ
３ （３） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ２＆Ｅ
３ （５） Ｐ ３＆Ｅ
６ （６） ～Ｐ Ａ
３６ （７） Ｐ＆～Ｐ ５６＆Ｉ
６ （８） ～（Ｐ＆ Ｑ） ３７ＲＡＡ
３ （９） Ｑ ３＆Ｅ
ア （ア） ～Ｑ Ａ
３ ア （イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
ア （ウ） ～（Ｐ＆ Ｑ） ３イＲＡＡ
２ （エ） ～（Ｐ＆ Ｑ） ４６８アウ∨Ｅ
オ （オ） ～Ｒ Ａ
２ （カ） Ｒ ２＆Ｅ
２ オ （キ） ～Ｒ＆Ｒ オカ＆Ｉ
２ （ク） ～～Ｒ オＲＡＡ
２ （ケ） Ｒ クＤＮ
２ （コ） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆ Ｒ エケ＆Ｉ
サ （サ） （Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （シ） ～（Ｐ＆ Ｑ） コ＆Ｅ
２ サ （ス） （Ｐ＆Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ） サシ＆Ｉ
サ （セ）～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆ Ｒ｝ ２スＲＡＡ
ソ（ソ） ～Ｒ Ａ
２ （タ） Ｒ コ＆Ｅ
２ ソ（チ） ～Ｒ＆Ｒ ソタ＆Ｉ
ソ（ツ）～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆ Ｒ｝ ２チＲＡＡ
１ （テ）～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆ Ｒ｝ １サセソツ∨Ｅ
従って、
（07）により、
（08）
「ド・モルガンの法則」を用ひずとも、
③ ～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆ Ｒ｝
④ （Ｐ＆ Ｑ）∨～Ｒ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（05）～（08）により、
（09）
「ド・モルガンの法則（定理）」を用ひても、
「ド・モルガンの法則（定理）」を用ひなくとも、
③ ～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆ Ｒ｝
④ （Ｐ＆ Ｑ）∨～Ｒ
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（10）
「交換法則」により、
④ （Ｐ＆Ｑ）∨～Ｒ
⑤ ～Ｒ∨（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
④＝⑤ である。
然るに、
（11）
「含意の定義」により、
④ （Ｐ＆Ｑ）∨～Ｒ
⑤ Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
③ ～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆Ｒ｝
④ Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
③＝④ である。
（12）により。
（13）
いづれにせよ、
③｛（Ｐでないか、または、Ｑでなくて）、その上、Ｒである｝といふことはない。
④ Ｒであるならば、（Ｐであって、その上、Ｑである）。
といふ「日本語」に於いても、
③＝④ でなければ、ならない。
（01）
① Ｐ（Ｐである）
② ～Ｐ（Ｐでない）
に於いて、
（ⅰ）①と② は、「同時に、真」にはならないし、
（ⅱ）①と② は、「同時に、偽」にもならない。
然るに、
（02）
③ Ｐ＆Ｑ
④ ～Ｐ＆Ｑ
に於いて、
（ⅰ）③と④ は、「同時に、真」にはならないにしても、
（ⅱ）③と④ は、「同時に、偽」にはなる。
然るに、
（03）
⑤ Ｐ＆ Ｑ
⑥ ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
（ⅰ）③と④ は、「同時に、真」にはならないにしても、
（ⅱ）③と④ は、「同時に、偽」にはなる。
然るに、
（04）
（ⅶ）
１ （１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
４ （４） ～Ｐ Ａ
１ ４ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ） １５ＲＡＡ
１ （７） ～Ｑ １＆Ｅ
８（８） Ｑ Ａ
１ ８（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
８（ア） ～（Ｐ＆～Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２４６８ア∨Ｅ
１２ （ウ） （Ｐ＆～Ｑ）＆
～（Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～（～Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
（ⅷ）
１ （１）～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
１ ３ （５）～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） １４＆Ｉ
１ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
１ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨ Ｑ ８∨Ｉ
１ ８（ア）～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） １９＆Ｉ
１ （イ） ～Ｑ ８アＲＡＡ
１ （ウ） Ｐ＆～Ｑ ７イ＆Ｉ
１２ （エ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ２ウ＆Ｉ
１ （オ）～～（Ｐ＆～Ｑ） ２エＲＡＡ
１ （カ） Ｐ＆～Ｑ オＤＮ
従って、
（04）により、
（05）
⑦ Ｐ＆～Ｑ
⑧ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
（ⅰ）⑦と⑧ は、「同時に、真」にはならないし、
（ⅱ）⑦と⑧ は、「同時に、偽」にもならない。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① Ｐ
② ～Ｐ
③ Ｐ＆Ｑ
④ ～Ｐ＆Ｑ
⑤ Ｐ＆ Ｑ
⑥ ～Ｐ＆～Ｑ
⑦ Ｐ＆～Ｑ
⑧ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
①と② は、「矛盾」する。
③と④ は、「矛盾」しない。
⑤と⑥ は、「矛盾」しない。
⑦と⑧ は、「矛盾」する。
従って、
（06）により、
（07）
「番号」を付け直すと、
① Ｐ
② ～Ｐ
③ Ｐ＆～Ｑ
④ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
①と② は、「矛盾」する。
③と④ は、「矛盾」する。
従って、
（07）により、
（08）
① Ｐ
② ～（～Ｐ）
③ Ｐ＆～Ｑ
④ ～（～Ｐ∨ Ｑ）
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であるが、
①＝② は、「二重否定律」であって、
③＝④ は、「ド・モルガンの法則」である。
（09）
「ド・モルガンの法則」とは、
「二つの式」が「矛盾」するならば、「一方の式の否定」は、「もう一方の式の肯定」に「等しい」。
といふことを、言ふ。
といふ風に、「定義」する。
従って、
（08）（09）により、
（10）
① Ｐ
② ～（～Ｐ）
③ Ｐ＆～Ｑ
④ ～（～Ｐ∨ Ｑ）
に於いて、
①＝② は、「ド・モルガンの法則」であって、
③＝④ も、「ド・モルガンの法則」である。
（01）
１ （１） Ｐ＆～Ｐ Ａ
（２） ～（Ｐ＆～Ｐ） １ＲＡＡ
（３） ～（Ｐ＆～Ｐ）∨ Ｑ ３∨Ｉ
４ （４） （Ｐ＆～Ｐ）＆～Ｑ Ａ
５ （５） ～（Ｐ＆～Ｐ） Ａ
４ （６） （Ｐ＆～Ｐ） ４＆Ｅ
４５ （７） ～（Ｐ＆～Ｐ）＆
（Ｐ＆～Ｐ） ５６＆Ｉ
５ （８）～｛（Ｐ＆～Ｐ）＆～Ｑ｝ ４７ＲＡＡ
９ （９） Ｑ Ａ
４ （ア） ～Ｑ ４＆Ｅ
４ ９ （イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～｛（Ｐ＆～Ｐ）＆～Ｑ｝ ４イＲＡＡ
（エ）～｛（Ｐ＆～Ｐ）＆～Ｑ｝ ３５８９ウ∨Ｅ
オ （オ） （Ｐ＆～Ｐ） Ａ
カ（カ） ～Ｑ Ａ
オカ（キ） （Ｐ＆～Ｐ）＆～Ｑ オカ＆Ｉ
オ （ク） ～～Ｑ カキＲＡＡ
オ （ケ） Ｑ クＤＮ
（コ） （Ｐ＆～Ｐ）→ Ｑ オケＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（03）
（ⅰ）
（１） （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ ＴＩ
（２）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ １含意の定義
３ （３）～（Ｐ＆～Ｐ） Ａ
３ （４） ～Ｐ∨ Ｐ ３ド・モルガンの法則
３ （５）（～Ｐ∨ Ｐ）∨Ｑ ４∨Ｉ
６（６） Ｑ Ａ
６（７）（～Ｐ∨ Ｐ）∨Ｑ ６∨Ｉ
（８）（～Ｐ∨ Ｐ）∨Ｑ ２３５６７∨Ｉ
（ⅱ）
（１）（～Ｐ∨ Ｐ）∨Ｑ Ａ
２ （２）（～Ｐ∨ Ｐ） Ａ
２ （３）～（Ｐ＆～Ｐ） ２ド・モルガンの法則
２ （４）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ ３∨Ｉ
５（５） Ｑ Ａ
５（６）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ ５∨Ｉ
（７）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ １２４５６∨Ｅ
（８） （Ｐ＆～Ｑ）→Ｑ ７含意の定義
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
①（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
②（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
①（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
②（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
に於いて、すなはち、
①（ 矛盾 ）→Ｑ
②（排中律）∨Ｑ
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② も、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（05）により、
（06）
①（偽）→Ｑ
②（真）∨Ｑ
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② も、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
Ｐ＝バカボンのパパは天才である。
Ｑ＝太陽は西から昇る。
として、
①（バカボンのパパが天才であって、バカボンのパパが天才でないならば）太陽は西から昇る。
②（バカボンのパパが天才でないか、または、バカボンのパパが天才である）ならば太陽は西から昇る。
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② も、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（04）（07）により、
（08）
①（バカボンのパパが天才であって、バカボンのパパが天才でないならば）太陽は西から昇る。
②（バカボンのパパが天才でないか、または、バカボンのパパが天才であるか、）または、太陽は西から昇る。
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
③ 太陽が、西から昇っても、①と② は「真」であり、
④ 太陽が、東から昇っても、②と① は「真」である。
（01）
５ 原始的な規則（Primitive rules）あるいは導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでも用いて、証明せよ。
とはせずに、
５ 原始的な規則（Primitive rules）のみを用いて、次の連式を証明せよ。
（ａ）├ Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、８０頁改）
〔解答〕
１ （１） ～（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨～Ｐ ２∨Ｉ
１２ （４） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ Ａ
１ （６） Ｐ∨～Ｐ ５∨Ｉ
１ （７） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １６＆Ｉ
（８）～～（Ｐ∨～Ｐ） １７ＲＡＡ
（９） Ｐ∨～Ｐ ８ＤＮ
ア （ア） Ｐ Ａ
ア （イ） Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） ア∨Ｉ
ウ （ウ） ～Ｐ Ａ
ウ （エ） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
オ （オ） Ｐ＆～Ｑ Ａ
カ （カ） ～Ｐ Ａ
オ （キ） Ｐ カ＆Ｅ
オカ （ク） ～Ｐ＆Ｐ カキ＆Ｉ
カ （ケ） ～（Ｐ＆～Ｑ） オクＲＡＡ
コ （コ） Ｑ Ａ
オ （サ） ～Ｑ オ＆Ｅ
オ コ （シ） Ｑ＆～Ｑ コサ＆Ｉ
コ （ス） ～（Ｐ＆～Ｑ） オシＲＡＡ
ウ （セ） ～（Ｐ＆～Ｑ） エカケコス∨Ｅ
ソ （ソ） Ｐ Ａ
タ（タ） ～Ｑ Ａ
ソタ（チ） Ｐ＆～Ｑ ソタ＆Ｉ
ウ ソタ（ツ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） カチ＆Ｉ
ウ ソ （テ） ～～Ｑ タツＲＡＡ
ウ ソ （ト） Ｑ テＤＮ
ウ （ナ） Ｐ→Ｑ ソトＣＰ
ウ （ヌ） Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） ナ∨Ｉ
（ネ） Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） ９アイウヌ∨Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
といふ「連式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨（ Ｐ→Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ） ２∨Ｉ
４ （４） Ｐ→Ｑ Ａ
５ （５） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
６（６） ～Ｐ Ａ
６（７） ～Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
５６（８） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ５７＆Ｉ
５ （９） ～～Ｐ ６８ＲＡＡ
５ （ア） Ｐ ９ＤＮ
４５ （イ） Ｑ ４アＭＰＰ
４５ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イ∨Ｉ
４５ （エ） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ５ウ＆Ｉ
４ （オ） ～～（～Ｐ∨Ｑ） ５エＲＡＡ
４ （カ） （～Ｐ∨Ｑ） オＤＮ
４ （キ） Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ） ∨Ｉ
１ （ク） Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ） １２４３キ∨Ｅ
１ （ケ）（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ ク結合法則
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ Ａ
１ （２） Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ） １結合法則
２ （３） Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ∨（ Ｐ→Ｑ） ３∨Ｉ
５ （５） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
６ （６） Ｐ＆～Ｑ Ａ
７ （７） ～Ｐ Ａ
６ （８） Ｐ ６＆Ｅ
６７ （９） ～Ｐ＆Ｐ ７８＆Ｉ
７ （ア） ～（Ｐ＆～Ｑ） ６９ＲＡＡ
イ （イ） Ｑ Ａ
６ （ウ） ～Ｑ ６＆Ｅ
６ イ （エ） Ｑ＆～Ｑ イウ＆Ｉ
イ （オ） ～（Ｐ＆～Ｑ） ６エＲＡＡ
５ （カ） ～（Ｐ＆～Ｑ） ５７アイオ∨Ｅ
キ （キ） Ｐ Ａ
ク（ク） ～Ｑ Ａ
キク（ケ） Ｐ＆～Ｑ キク＆Ｉ
５ キク（コ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） カケ＆Ｉ
５ キ （サ） ～～Ｑ クコＲＡＡ
５ キ （シ） Ｑ サＤＮ
５ （ス） Ｐ→Ｑ キシＣＰ
５ （セ） Ｐ∨（ Ｐ→Ｑ） ス∨Ｉ
１ （ソ） Ｐ∨（ Ｐ→Ｑ） １２４５セ∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
① Ｐ∨（Ｐ→ Ｑ）
②（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
① Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
②（排中律）∨Ｑ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）（05）により、
（06）
① Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
②（排中律）∨Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② も、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（06）により、
（07）
① Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
②（排中律）∨Ｑ
に於いて、
Ｑの「真偽」に拘はらず、
①と② は、「恒に、真」である。
従って、
（07）により、
（08）
Ｐ＝バカボンのパパは天才である。
Ｑ＝太陽は西から昇る。
として、
① バカボンのパパは天才であるか、または（バカボンのパパが天才であるならば、太陽は西から昇る）。
②（バカボンのパパは天才であるか、または、バカボンのパパは天才でないか）、または、太陽は西から昇る。
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
③ 太陽が、西から昇っても、①と② は「真」であり、
④ 太陽が、東から昇っても、②と① は「真」である。
（01）
（ⅰ）
１（１）Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２） ～Ｑ １ＵＥ
１（３）Ｐ １ＵＥ
１（４）～Ｑ＆Ｐ ２３＆Ｉ
（ⅱ）
１（１）～Ｑ＆Ｐ Ａ
１（２）～Ｑ １ＵＥ
１（３） Ｐ １ＵＥ
１（４）Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ＆～Ｑ≡ＰであってＱでない。
② ～Ｑ＆Ｐ≡ＱでなくてＰである。
に於いて、
①＝② は、「交換の法則」である。
従って、
（02）により、
（03）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）≡（ＰであってＱでない）といふことはない。
② ～（～Ｑ＆Ｐ）≡（ＱでなくてＰである）といふことはない。
に於いて、
①＝② は、「交換の法則」である。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｉ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｉ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
従って、
（04）により、
（05）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）≡（ＰであってＱでない）といふことはない。
③ Ｐ→ Ｑ ≡ Ｐであるならば、Ｑである。
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）≡（ＰであってＱでない）といふことはない。
② ～（～Ｑ＆Ｐ）≡（ＱでなくてＰである）といふことはない。
③ Ｐ→ Ｑ ≡ Ｐであるならば、Ｑである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（07）
（ⅲ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ １３ＭＰＰ
１２３（５） ～Ｑ＆Ｑ ２４＆Ｉ
１２ （６） ～Ｐ ３５ＲＡＡ
１ （７）～Ｑ→～Ｐ ２６ＣＰ
（ⅳ）
１ （１）～Ｑ→～Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３）～Ｑ Ａ
１ ３（４） ～Ｐ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｐ＆～Ｐ ２４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
従って、
（07）により、
（08）
③ Ｐ→ Ｑ≡Ｐであるならば、Ｑである。
④ ～Ｑ→～Ｐ≡Ｑでないならば、Ｐでない。
に於いて、
③＝④ は、「対偶」である。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）≡（ＰであってＱでない）といふことはない。
② ～（～Ｑ＆Ｐ）≡（ＱでなくてＰである）といふことはない。
③ Ｐ→ Ｑ ≡ Ｐであるならば、Ｑである。
④ ～Ｑ→～Ｐ ≡ Ｑでないならば、Ｐでない。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（02）（08）（09）により、
（10）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）≡（ＰであってＱでない）といふことはない。
② ～（～Ｑ＆Ｐ）≡（ＱでなくてＰである）といふことはない。
③ Ｐ→ Ｑ ≡ Ｐであるならば、Ｑである。
④ ～Ｑ→～Ｐ ≡ Ｑでないならば、Ｐでない。
に於いて、
①＝②＝③＝④ であって、尚且つ、
①＝② は、「交換の法則」であって、
③＝④ は、「対偶」である。
従って、
（10）により、
（11）
「交換の法則」が「当然」である以上、「対偶」も「当然」である。
といふ、ことになる。
（01）
① 無象非動物＝
① 無三象非二動物一＝
① 無〔象非（動物）〕⇒
① 〔象（動物）非〕無＝
① 〔象にして（動物に）非ざる〕無し＝
① いかなる象であっても、動物でない象は、存在しない。
然るに、
（02）
① 動物でない象は、存在しない。
といふことは、
② 存在し得る象は、すべて動物である。
といふことであって、
② 存在し得る象は、すべて動物である。
といふことは、
② すべての象は、動物である。
といふ、ことである。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１（１）～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ） Ａ
１（２）∀ｘ～（象ｘ＆～動物ｘ） １量化子の関係
１（３） ～（象ａ＆～動物ａ） ２ＵＥ
１（４） ～象ａ∨ 動物ａ ３ド・モルガンの法則
１（５） 象ａ→ 動物ａ 含意の定義
１（６） ∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ） ５ＵＩ
（ⅱ）
１（１） ∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ） Ａ
１（２） 象ａ→ 動物ａ １ＵＥ
１（３） ～象ａ∨ 動物ａ ２含意の定義
１（４） ～（象ａ＆～動物ａ） ３ド・モルガンの法則
１（５）∀ｘ～（象ａ＆～動物ａ） ４ＵＩ
１（６）～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ） ５量化子の関係
従って、
（03）により、
（04）
① ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ）
に於いて、すなはち、
①（ｘが象であって、ｘが動物ではないといふ）そのやうなｘは存在しない。
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
①（ｘが象であって、ｘが動物ではないといふ）そのやうなｘは存在しない。
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物である。
といふことは、
① 動物でない象は、存在しない。
② すべての象は、動物である。
といふ、ことである。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① 無象非動物。
といふ「漢文」は、
① ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
といふ「述語論理式」に、「等しい」。
（07）
｛すべてのｘ｝が、
｛ａ、ｂ、ｃ｝であるとして、
① ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ）
といふ「述語論理式」は、
①～｛（象ａ＆～動物ａ）∨（象ｂ＆～動物ｂ）∨（象ｃ＆～動物ｃ）｝
② （象ａ→ 動物ａ）＆（象ｂ→ 動物ｂ）＆（象ｃ→ 動物ｃ）｝
といふ「論理式」に、「相当」する。
然るに、
（08）
（ⅰ）
１（１）～｛（象ａ＆～動物ａ）∨ （象ｂ＆～動物ｂ）∨ （象ｃ＆～動物ｃ）｝ Ａ
１（２） ～（象ａ＆～動物ａ）＆～（象ｂ＆～動物ｂ）＆～（象ｃ＆～動物ｃ） １ド・モルガンの法則
（ⅲ）
１（１） ～（象ａ＆～動物ａ）＆～（象ｂ＆～動物ｂ）＆～（象ｃ＆～動物ｃ） Ａ
１（２）～｛（象ａ＆～動物ａ）∨ （象ｂ＆～動物ｂ）∨ （象ｃ＆～動物ｃ）｝ １ド・モルガンの法則
従って、
（08）により、
（09）
① ～｛（象ａ＆～動物ａ）∨ （象ｂ＆～動物ｂ）∨ （象ｃ＆～動物ｃ）｝
③ ～（象ａ＆～動物ａ）＆～（象ｂ＆～動物ｂ）＆～（象ｃ＆～動物ｃ）
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（09）により、
（10）
③ ～（象ａ＆～動物ａ）＆～（象ｂ＆～動物ｂ）＆～（象ｃ＆～動物ｃ）
といふことは、
③（ａが象であって、そのａが動物でない）といふことはないし、
③（ｂが象であって、そのｂが動物でない）といふことはないし、
③（ｃが象であって、そのｃが動物でない）といふことはない。
といふことであって、そのため、
｛すべてのｘ｝が、
｛ａ、ｂ、ｃ｝であるとして、
③｛（象が動物でない）といふことはない。｝といふことに、例外は無い。
といふ「意味」になる。
然るに、
（11）
③｛（象が動物でない）といふことはない。｝といふことに、例外は無い。
といふことは、
③ ∀ｘ～（象ｘ＆～動物ｘ）
といふことに、他ならない。
従って、
（07）～（11）により、
（12）
① ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ）
③ ∀ｘ～（象ｘ＆～動物ｘ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（13）
① ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
③ ∀ｘ～（象ｘ＆～動物ｘ）
に於いて、
①＝③ は、「量化子の関係」である。
従って、
（01）～（13）により、
（14）
① 無象非動物＝
① 無三象非二動物一＝
① 無〔象非（動物）〕⇒
① 〔象（動物）非〕無＝
① 〔象にして（動物に）非ざる〕無し＝
① いかなる象であっても、動物でない象は、存在しない。
といふ「漢文訓読」は、
① ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ）
③ ∀ｘ～（象ｘ＆～動物ｘ）
といふ「述語論理式」に、「等しい」。
（01）
① （Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
②｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）｝
に於いて、
①＝② である（相互条件法の定義）。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１） Ｒ→（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （３） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２ド・モルガンの法則
１２ （４） ～Ｒ １３ＭＴＴ
１ （５） （～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ ２４ＣＰ
６ （６） ～Ｐ Ａ
６ （７） ～Ｐ∨～Ｑ ６∨Ｉ
１ ６ （８） ～Ｒ ５７ＭＰＰ
１ （９） ～Ｐ→～Ｒ ６８ＣＰ
ア（ア） ～Ｑ Ａ
ア（イ） ～Ｐ∨～Ｑ ア∨Ｉ
１ ア（ウ） ～Ｒ ５イＭＰＰ
１ （エ） ～Ｑ→～Ｒ アウＣＰ
１ （オ）（～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ） ９エ＆Ｉ
（ⅱ）
１ （１）（～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ） Ａ
１ （２） ～Ｐ→～Ｒ １＆Ｅ
１ （３） ～Ｑ→～Ｒ １＆Ｅ
４ （４） Ｒ Ａ
４ （５） ～～Ｒ ４ＤＮ
１４ （６）～～Ｐ １５ＭＴＴ
１４ （７） Ｐ ６ＤＮ
１４ （８） ～～Ｑ ３５ＭＴＴ
１４ （９） Ｑ ８ＤＮ
１４ （ア） Ｐ＆Ｑ ７９＆Ｉ
１ （イ）Ｒ→（Ｐ＆Ｑ） ４アＣＰ
従って、
（02）により、
（03）
② Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）
③（～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① （Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
②｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）｝
③｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ）｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（04）により、
（05）
①（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
であるならば、
③（～Ｐ→～Ｒ）＆（～Ｑ→～Ｒ）
であるため、
③ Ｐでないならば、Ｒではないし、
③ Ｑでないならば、Ｒでない。
従って、
（05）により、
（06）
①（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
であるならば、
③ Ｐであることは、Ｒであるための、「必要条件」であって、
③ Ｑであることも、Ｒであるための、「必要条件」である。
然るに、
（07）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ １含意の定義
３ （３）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （４）～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
３ （５）～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
６ （６） Ｒ Ａ
６ （７） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ６∨Ｉ
１ （８） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ １３５６７∨Ｅ
１ （９）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ） ３結合法則
ア （ア）～Ｐ Ａ
ア （イ）～Ｐ∨Ｒ ア∨Ｉ
ア （ウ） Ｐ→Ｒ イ含意の定義
ア （エ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ウ∨Ｉ
オ（オ） （～Ｑ∨Ｒ） Ａ
オ（カ） Ｑ→Ｒ オ含意の定義
オ（キ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） カ∨Ｉ
１ （ク）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） ２アエオキ∨Ｉ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ→Ｒ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｒ ３４ＭＰＰ
６（６） Ｑ→Ｒ Ａ
２ （７） Ｑ ２＆Ｅ
２ ６（８） Ｒ ６７ＭＰＰ
１２ （９） Ｒ １３５６８∨Ｅ
１ （ア）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ２９ＣＰ
従って、
（07）により、
（08）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（08）により、
（09）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
といふことは、
（ⅰ）Ｐが、Ｒの原因であるか、または、
（ⅱ）Ｑが、Ｒの原因であるか、または、
（ⅲ）ＰとＱの「連言」が、Ｒの原因である。
といふ、ことである。
然るに、
（10）
（ⅰ）Ｐが、Ｒの原因である。
とするならば、
（ⅱ）Ｑでなくとも、Ｒである。
といふことになり、
（ⅱ）Ｑでなくとも、Ｒである。
といふことは、
③ Ｑであることは、Ｒであるための、「必要条件」でない。
といふことに、他ならないし、同様に、
③ Ｐであることも、Ｒであるための、「必要条件」でない。
従って、
（06）～（10）により、
（11）
①（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
に於いて、
① ではなく、
② であるならば、
② ＰかつＱ、２つの前提からＲが導かれるんだったら実はそれ、１つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。
といふことであっても、「不都合」は無い。
然るに、
（12）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」に関して、
大西拓郎先生（京都大学）は、
［厳密含意の論理(1) [修正版]（ユーチューブ：９分１０秒頃）］に於いて、
ＰかつＱ、２つの前提からＲが導かれるんだったら実はそれ、１つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。まぁこれ、をかしい。実質含意にはこういう変な推論がどうしてもつきまとうんですが、厳密含意になると、それがちゃんと妥当ではなくなってくれるという、ことです。
といふ風に、述べてゐる。
従って、
（11）（12）により、
（13）
大西拓郎先生は、
①（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
といふ「論理式」と、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」とを、「混同」してゐる。