(01)
① P& Q
② ~(~P∨~Q)
に於いて、
①=② は、「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
(02)
(ⅲ)
1 (1) P& Q & R A
2 (2) ~P∨~Q ∨~R A
1 (3) (P& Q)& R 1結合法則
2 (4) (~P∨~Q)∨~R 2結合法則
1 (5) P& Q 3&E
6 (6) ~P∨~Q A
1 (7) P 5&E
8 (8) ~P A
1 8 (9) P&~P 78&I
8 (ア) ~(P& Q) 19RAA
1 (イ) Q 5&E
ウ (ウ) ~Q A
1 ウ (エ) Q&~Q イウ&I
ウ (オ) ~(P& Q) 1エRAA
6 (カ) ~(P& Q) 68アウオ∨E
1 6 (キ) (P& Q)&
~(P& Q) 5カ&I
6 (ク) ~(P& Q & R) 1キRAA
1 (ケ) R 1&E
コ(コ) ~R A
1 コ(サ) R&~R ケコ&I
コ(シ) ~(P& Q & R) 1サRAA
2 (ス) ~(P& Q & R) 46クコシ∨E
12 (セ) (P& Q & R)&
~(P& Q & R) 1ス&I
1 (ソ)~(~P∨~Q ∨~R) 2セRAA
(ⅳ)
1 (1) P& Q & R A
1 (2) (P& Q)& R 1結合法則
1 (3) P& Q 2&E
4 (4) ~P∨~Q A
1 (5) P 3&E
6 (6) ~P A
1 6 (7) P&~P 56&I
6 (8) ~(P& Q) 37RAA
1 (9) Q 3&E
ア (ア) ~Q A
1 ア (イ) Q&~Q 9ア&I
ア (ウ) ~(P& Q) 1イRAA
4 (エ) ~(P& Q) 468アウ∨E
14 (オ) (P& Q)&
~(P& Q) 3エ&I
1 (カ)~(~P∨~Q) 4オRAA
1 (キ) R 2&E
ク (ク) ~P∨~Q∨ ~R A
ク (ケ) (~P∨~Q)∨~R ク結合法則
コ (コ) (~P∨~Q) A
1 コ (サ) (~P∨~Q)&
~(~P∨~Q) カサ&I
コ (シ) ~(P& Q & R) 1サRAA
ス(ス) ~R A
1 ス(セ) R&~R キス&I
ス(ソ) ~(P& Q & R) 1セRAA
ク (タ) ~(P& Q & R) ケコシスソ∨E
1 ク (チ) (P& Q & R)&
~(P& Q & R) 1タ&I
1 (ツ)~(~P∨~Q∨ ~R) クチRAA
従って、
(02)により、
(03)
③ P& Q& R
④ ~(~P∨~Q∨~R)
に於いて、
③=④ である。
従って、
(01)(02)(03)により、
(04)
① P& Q
② ~(~P∨~Q)
③ P& Q& R
④ ~(~P∨~Q∨~R)
に於いて、
①=② は「ド・モルガンの法則」であるが、
③=④ である。
従って、
(04)により、
(05)
③ P& Q& R
④ ~(~P∨~Q∨~R)
に於いて、
③=④ も「ド・モルガンの法則」とする。
従って、
(05)により、
(06)
③ Fa& Fb& Fc
④ ~(~Fa∨~Fb∨~Fc)
に於いて、
③=④ は「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
(07)
{a、b、c}を{個体領域}とすると、
① ∀x( Fx)
② ~∃x(~Fx)
③ Fa& Fb& Fc
④ ~(~Fa∨~Fb∨~Fc)
に於いて、
①=③ であって、
②=④ である。
従って、
(06)(07)により、
(08)
{a、b、c}を{個体領域}とすると、
① ∀x( Fx)
② ~∃x(~Fx)
に於いて、
①=② は「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
(09)
① ∀x( Fx)
② ~∃x(~Fx)
といふ「述語論理式」は、「日本語」で言ふと、
① すべてのxはFである。
② Fでないxは存在しない。
といふ「意味」である。
従って、
(08)(09)により、
(10)
① 人皆死(人皆、死す)。
② 無人不死(人として死せざるは無し)。
といふ「漢文訓読」に於いて、
①=② は「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
(11)
「ド・モルガンの法則」といふ「言葉」を知らなくとも、
① 人皆死(人皆、死す)。
② 無人不死(人として死せざるは無し)。
に於いて、
①=② である。
といふことは、誰もが「知ってゐる」。
従って、
(01)~(11)により、
(12)
その「意味」では、「ド・モルガンの法則」は、「誰でもが知っている所の、常識である。」
(01)
(ⅰ)
1 (1) ((P→ Q)→P)→P A
2 (2) (P&~Q)∨P A
3 (3) (P&~Q) A
3 (4)~~(P&~Q) 3DN
3 (5)~(~P∨ Q) 4ド・モルガンの法則
3 (6) ~(P→ Q) 5含意の定義
3 (7) ~(P→ Q)∨P 6∨I
8(8) P A
8(9) ~(P→ Q)∨P 8∨I
2 (ア) ~(P→ Q)∨P 2389∨E
2 (イ) (P→ Q)→P 2含意の定義
12 (ウ) P 1イMPP
1 (エ) ((P&~Q)∨P)→P 2ウCP
(ⅱ)
1 (1) ((P&~Q)∨P)→P A
2 (2) (P→ Q)→P A
2 (3) ~(P→ Q)∨P 2含意の定義
4 (4) ~(P→ Q) A
4 (5) ~(~P∨Q) 4含意の定義
4 (6) P&~Q 5ド・モルガンの法則
4 (7) (P&~Q)∨P 6∨I
8(8) P A
8(9) (P&~Q)∨P 8∨I
2 (ア) (P&~Q)∨P 34789∨E
12 (イ) P 1アMPP
1 (ウ) (P→ Q)→P)→P 2イCP
従って、
(01)により、
(02)
①((P→ Q)→P)→P
②((P&~Q)∨P)→P
に於いて、
①=② であって、特に、
① を、「パースの法則」と言ふ。
然るに、
(03)
(ⅱ)
1 (1) ((P&~Q)∨ P)→P A
2(2) ~P A
12(3) ~((P&~Q)∨ P) 12MTT
12(4) ~(P&~Q)&~P 3ド・モルガンの法則
12(5) ~(P&~Q) 4&E
12(6) ~P∨ Q 5ド・モルガンの法則
12(7) P→ Q 6含意の定義
12(8) ~P 4&E
12(9) (P→Q)&~P 78&I
1 (ア)~P→((P→Q)&~P) 29CP
(ⅲ)
1 (1) ~P→((P→ Q)&~P) A
2 (2) (P&~Q)∨ P A
3 (3) (P→ Q)&~P A
4 (4) P&~Q A
3 (5) P→ Q 3&E
4 (6) P 4&E
34 (7) Q 56MPP
4 (8) ~Q 4&E
34 (9) Q&~Q 78&I
4 (ア) ~((P→ Q)&~P) 39RAA
イ(イ) P A
3 (ウ) ~P 3&E
3 イ(エ) P&~P イウ&I
イ(オ) ~((P→ Q)&~P) 3エRAA
2 (カ) ~((P→ Q)&~P) 24アイオ∨E
23 (キ) ((P→ Q)&~P)&
~((P→ Q)&~P) 2カ&I
2 (ク) ~((P→ Q)&~P) 3キRAA
12 (ケ)~~P 1クMTT
12 (コ) P ケDN
1 (サ)((P&~Q)∨ P)→P 2コCP
従って、
(03)により、
(04)
②((P&~Q)∨P)→P
③ ~P→((P→Q)&~P)
に於いて、
②=③ は、「対偶」である。
従って、
(02)(04)により、
(05)
①((P&~Q)∨P)→P
②((P→ Q)→P)→P
③ ~P→((P→Q)&~P)
に於いて、
①=②=③ であって、
① は、「パースの法則」と言ひ、
② は、「名前」が無く、
③ は、②の「対偶」である。
従って、
(05)により、
(06)
P=日本人である。
Q=女性である。
~Q=男性である。
として、
①((日本人であるならば、男性である)ならば、日本人である)ならば、日本人である。
②((日本人女性である)か、日本人である)ならば、いづれにせよ、 日本人である。
③ 日本人でないならば、((日本人であるならば、女性である)が、 日本人ではない)。
に於いて、
①=②=③ である。
然るに、
(07)
②((日本人女性である)か、日本人である)ならば、いづれにせよ、日本人である。
といふ「命題」は、「当然」であるが、
①((日本人であるならば、男性である)ならば、日本人である)ならば、日本人である。
③ 日本人でないならば、((日本人であるならば、女性である)が、 日本人ではない)。
といふ「命題」は、「変な命題」である。
と、言ふべきである。
(01)
(ⅰ)
1 (1) P A
2 (2) ~(~Q∨Q) A
3 (3) ~Q A
3 (4) ~Q∨Q 4∨I
23 (5) ~(~Q∨Q)&
(~Q∨Q) 24&I
2 (6) ~~Q 3RAA
2 (7) Q 6DN
2 (8) ~Q∨Q 7∨I
2 (9) ~(~Q∨Q)&
(~Q∨Q) 27&I
(ア) ~~(~Q∨Q) 29RAA
(イ) (~Q∨Q) アDN
1 (ウ) P&(~Q∨Q) 1イ&I
1 (エ) (P&(~Q∨Q))∨P ウ∨I
オ (オ) P&(~Q∨Q) A
オ (カ) P カ&E
キ(キ) P A
1 (ク) P エオカキキ∨E
(ケ)((P&(~Q∨Q))∨P)→P エクCP
(ⅱ)
1 (1) (P&(~Q&Q))∨P A
2 (2) P&(~Q&Q) A
2 (3) P 2&E
4(4) P A
1 (5) P 12344
(6)((P&(~Q&Q))∨P)→P 15CP
従って、
(01)により、
(02)
①((P&(~Q∨Q))∨P)→P
②((P&(~Q&Q))∨P)→P
に於いて、
① は、「恒真式(トートロジー)」であって、
② も、「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(02)により、
(03)
①((P&(排中律))∨P)→P
②((P&( 矛盾 ))∨P)→P
に於いて、
① は、「恒真式(トートロジー)」であって、
② も、「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(03)により、
(04)
①((P&(真))∨P)→P
②((P&(偽))∨P)→P
に於いて、
① は、「恒真式(トートロジー)」であって、
② も、「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(04)により、
(05)
①((P&Q)∨P)→P
②((P&Q)∨P)→P
に於いて、
① Qが「真」であっても、
② Qが「偽」であっても、
① は、「真」であり、
② も、「真」である。
従って、
(05)により、
(06)
①((P&~Q)∨P)→P
②((P&~Q)∨P)→P
に於いて、
① Qが「偽」であっても、
② Qが「真」であっても、
① は、「真」であり、
② も、「真」である。
然るに、
(07)
(ⅱ)
1 (1) ((P&~Q)∨P)→P A
2 (2) (P→ Q)→P A
2 (3) ~(P→ Q)∨P 2含意の定義
4 (4) ~(P→ Q) A
4 (5) ~(~P∨Q) 4含意の定義
4 (6) P&~Q 5ド・モルガンの法則
4 (7) (P&~Q)∨P 6∨I
8(8) P A
8(9) (P&~Q)∨P 8∨I
2 (ア) (P&~Q)∨P 34789∨E
12 (イ) P 1アMPP
1 (ウ) (P→ Q)→P)→P 2イCP
(ⅲ)
1 (1) ((P→ Q)→P)→P A
2 (2) (P&~Q)∨P A
3 (3) (P&~Q) A
3 (4)~~(P&~Q) 3DN
3 (5)~(~P∨ Q) 4ド・モルガンの法則
3 (6) ~(P→ Q) 5含意の定義
3 (7) ~(P→ Q)∨P 6∨I
8(8) P A
8(9) ~(P→ Q)∨P 8∨I
2 (ア) ~(P→ Q)∨P 2389∨E
2 (イ) (P→ Q)→P 2含意の定義
12 (ウ) P 1イMPP
1 (エ) ((P&~Q)∨P)→P 2ウCP
従って、
(07)により、
(08)
②((P&~Q)∨P)→P
③((P→ Q)→P)→P
において、
②=③ である。
従って、
(01)~(08)により、
(09)
「恒真式(トートロジー)」とは、固より、さういふことであるが、
③((P→Q)→P)→P
といふ「恒真式(トートロジー)」は、すなはち、
③((Pであるならば、Qである)ならば、Pである)ならば、Pである。
といふ「日本語」は、
③ Qが、「真」であっても、「真」であり、
③ Qが、「偽」であっても、「真」である。
といふ、ことになる。
従って、
(10)
③((P→Q)→P)→P
といふ「論理式」は、
③((Pならば、Qであらうと、Qでなからうと)Pである)ならば、Pである。
といふ「日本語」に、「等しい」。
然るに、
(11)
命題計算では、パースの法則は ((P→Q)→P)→P のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Pについて、命題Qが存在して、「PならばQ」からPが真であることが従うときには、Pは真でなければならないとなる。とりわけ、Qとして偽を選んだ場合には、Pから偽が従うときは常にPが真であるならば、Pは真であるとなる(ウィキペディア)。
然るに、
(11)による、
(12)
「PならばQ」からPが真であることが従うときには、Pは真でなければならないとなる。
といふ「言ひ方」は、私には、『理解不能』である。
然るに、
(10)(11)により、
(12)
③((P→Q)→P)→P
といふ「パースの法則」が、
③((Pならば、Qであらうと、Qでなからうと)Pである)ならば、Pである。
といふ「日本語」に、「等しい」。
といふことからしても、
「Qとして偽を選んだ場合には、Pから偽が従うときは常にPが真であるならば、Pは真であるとなる。」
といふ「言ひ方」も、私には、『理解不能』である。
(01)
(1)公理は証明可能である。
(2)証明可能な論理式に推論規則を適用して得られる論理式は証明可能である。
(3)(1)(2)で得られた論理式のみが証明可能である。
(吉永良正、ゲーデル・不完全性定理、1992年、202頁)
従って、
(01)により、
(02)
(4)「公理」に「推論規則」を適用して得られる論理式のみが「証明可能」である。
然るに、
(03)
(3)「公理」に「推論規則」を適用して得られる論理式のみが「証明可能」である。
としても、
(1)「公理」は「証明可能」である。
ということは、どうやって、「証明」するのだらう(??)。
(04)
こう‐り【公理】 の解説
1 一般に通用する道理。
2 数学で、論証がなくても自明の真理として承認され、他の命題の前提となる根本命題。
3 自明であると否とを問わず、ある理論の前提となる仮定。
従って、
(04)により、
(05)
「公理」とは、「証明を必要」としない「自明の理」のことである。
と思はれ、その「意味」で、
(1)公理は証明可能である。
ということは、
(〃)証明・不要
または、
(〃)証明・不可能
なはずである。
然るに、
(06)
公理
① P→(Q→P)
②(P→Q)→((P→(Q→R)→(P→R))
③ P→(Q→P&Q)
④ P&Q→P
⑤ P→P∨Q
⑥(P→R)→((Q→R)→(P∨Q→R))
⑦(P→Q)→((P→~Q)→~P)
⑧ ~~P→P
(吉永良正、ゲーデル・不完全性定理、1992年、204頁改)
然るに、
(07)
(ⅰ)
1 (1) P A
1 (2) ~Q∨ P 1∨I
3 (3) Q&~P A
4 (4) ~Q A
3 (5) Q 3&E
34 (6) ~Q&~Q 45&I
4 (7) ~(Q&~P) 36RAA
8 (8) P A
3 (9) ~P 3&E
3 8 (ア) P&~P 89&I
8 (イ) ~(Q&~P) 3アRAA
1 (ウ) ~(Q&~P) 2478イ∨E
エ (エ) Q A
オ(オ) ~P A
エオ(カ) Q&~P エオ&I
1 エオ(キ) ~(Q&~P)&
(Q&~P) ウカ&I
1 エ (ク) ~~P オRAA
1 エ (ケ) P エDN
1 (コ) Q→P エケCP
(サ) P→(Q→P) 1コCP
(ⅱ)
1 (1) P→ Q A
2 (2) P→(Q→R) A
3(3) P A
1 3(4) Q 13MPP
23(5) Q→R 23MPP
123(6) R 34MPP
12 (7) P→R 36CP
1 (8) P→(Q→R)→(P→R) 27CP
(9)(P→Q)→((P→(Q→R)→(P→R)) 18CP
(ⅲ)
1 (1)P A
2(2)Q A
12(3) P&Q 12&I
1 (4) Q→P&Q 23CP
(5)P→(Q→P&Q) 14CP
(ⅳ)
1(1) P&Q A
1(2) P 1&E
(3)(P&Q)→P 12CP
(ⅴ)
1(1)P A
1(2)P∨Q 1∨I
(3)P→P∨Q 12CP
(ⅵ)
1 (1) P→R A
2 (2) Q→R A
3 (3) P∨Q A
4 (4) P A
1 4 (5) R 14MPP
6(6) Q A
2 6(7) R 26MPP
123 (8) R 34567∨E
12 (9) P∨Q→R 38CP
1 (ア) (Q→R)→(P∨Q→R) 29CP
(イ)(P→R)→((Q→R)→(P∨Q→R)) 1アCP
(ⅶ)
1 (1) P→ Q A
2 (2) P→~Q A
3(3) P A
1 3(4) Q 13MPP
23(5) ~Q 23MPP
123(6) Q&~Q 45&I
12 (7)~P 36RAA
1 (8)(P→Q)→((P→~Q)→~P) 17CP
(ⅷ)
1(1)~~P A
1(2) P 1DN
(3)~~P→P 12CP
従って、
(06)(07)により、
(08)
『(E.j.レモンの、命題計算に関する)自然演繹の規則』からすれば、
① P→(Q→P)
②(P→Q)→((P→(Q→R)→(P→R))
③ P→(Q→P&Q)
④ P&Q→P
⑤ P→P∨Q
⑥(P→R)→((Q→R)→(P∨Q→R))
⑦(P→Q)→((P→~Q)→~P)
⑧ ~~P→P
である所の、『(ヒルベルト・アッカーマンの、命題計算に関する)公理』は、すべて、「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(09)
『(E.j.レモンの)自然演繹の規則』は、私にとっては、「自明の理」である。
従って、
(08)(09)により、
(10)
『(ヒルベルト・アッカーマンの、命題計算に関する)公理』は、私にとっては、「自明の理」である。
然るに、
(11)
『(E.j.レモンの、命題計算に関する)自然演繹の規則』が、今の、私にとっては、「自明の理」である。
といふ、「その理由」は、私が、『(E.j.レモンの)自然演繹の規則』を学んで、尚且つ、それを「理解」してゐるからである。
従って、
(06)~(11)により、
(12)
① P→(Q→P)
②(P→Q)→((P→(Q→R)→(P→R))
③ P→(Q→P&Q)
④ P&Q→P
⑤ P→P∨Q
⑥(P→R)→((Q→R)→(P∨Q→R))
⑦(P→Q)→((P→~Q)→~P)
⑧ ~~P→P
である所の、『(ヒルベルト・アッカーマンの、命題計算に関する)公理』は、
「(少なくとも、私にとっては)自明の理」であるが、
「(万人にとって、)自明の理(公理)」であるとは、思へない。
従って、
(01)~(12)により、
(13)
(3)「公理」に「推論規則」を適用して得られる論理式のみが「証明可能」である。
としても、
(1)「公理」は「証明可能」である。
ということは、どうやって、「証明」するのだらう(??)。
ということは、私には、依然として、『謎』である。
因みに、
(14)
(01)
おかげ様で、「民事」に関しては、弁護士を見付けることが出来ました。
(02)
以前、その弁護士に、相談をしたところ、
医者は頭がいいので、止めておいた方がいい。
と、「門前払い」をされてしまった弁護士と、
同じ弁護士が、「今回は、私の話を納得してくれた。」といふことになります。
然るに、
(03)
当初からの「私の悲願」は、「刑事事件での有罪判決」であるため、
今は、「警察に提出するレポート(告訴状)」を書いています。
然るに、
(04)
脱水によって体内の水分が減少し血液の濃縮が起こり、腎機能が低下します。
そのことに よって、次のような数値が上昇することがわかっています。
・赤血球数(RBC)・ヘモグロビン値(Hb)・ヘマトクリット(Ht)・総たんぱく(TP)
・アルブミン(Alb)・ナトリウム(Na)・尿素窒素(BUN)・クレアチニン(Cr)
(看護のお仕事、ハテナースを参照)
然るに、
(05)
(04)(05)により、
(06)
①「脱水」ならば、「数値が上昇する」。
②「脱水」ならば、「点滴」をすれば、「数値は下降する」。
従って、
(06)により、
(07)
P=脱水である。
Q=点滴をする。
R=数値が下降する。
とすると、
①「脱水」ならば、「数値が上昇する」。
②「脱水」ならば、「点滴」をすれば、「数値は下降する」。
といふ「命題」は、
① P→~R
② P→(Q→R)
といふ風に、書くことが、出来る。
然るに、
(08)
(ⅱ)
1 (1) P→(Q→ R) A
2 (2) Q&~R A
3(3) Q→ R A
2 (4) Q 2&E
23(5) R 34MPP
2 (6) ~R 2&E
23(7) R&~R 56&I
2 (8) ~(Q→ R) 37RAA
12 (9)~P 18MTT
1 (ア)(Q&~R)→~P 29CP
(ⅲ)
1 (1) (Q&~R)→~P A
2 (2) P A
2 (3) ~~P 2DN
12 (4)~(Q&~R) 13MTT
5 (5) Q A
6(6) ~R A
56(7) Q&~R 56&I
1256(8)~(Q&~R)&
(Q&~R) 47&I
125 (9) ~~R 68RAA
125 (ア) R 9DN
12 (イ) Q→R 5アCP
1 (ウ)P→(Q→R) 2イCP
従って、
(08)により、
(09)
② P→(Q→R)
③(Q&~R)→~P
に於いて、
②=③ は、「対偶(Contraposition)」である。
従って、
(07)(08)(09)により、
(10)
②「脱水」ならば、「点滴」をすれば、「数値は下降する」。
③「点滴」をしても、「数値が下降しない」のであれば、「脱水」ではない。
に於いて、
②=③ である。
然るに、
(11)
(01)
(ⅰ)
1(1) P&~Q A
1(2) P 1&E
(3)(P&~Q)→P 12CP
(ⅱ)
1 (1) P∨P A
2 (2) P A
3(3) P A
1 (4) P 12233∨E
(5)(P∨P)→P 14CP
(ⅲ)
1 (1) (P&~Q)∨P A
2 (2) P&~Q A
2 (3) P 2&E
4(4) P A
1 (5) P 12344∨E
(6)((P&~Q)∨P)→P 15CP
従って、
(01)により、
(02)
① (P&~Q)→P
② (P∨ P)→P
③((P&~Q)∨P)→P
といふ「論理式」は、「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(02)により、
(03)
① (Pであって、Qでない)ならば、Pである。
② (Pであるか、または、Pである)ならば、Pである。
③((Pであって、Qでないか)、または、Pである)ならば、Pである。
といふ「日本語」は、「恒真(トートロジー)」である。
従って、
(03)により、
(04)
P=日本人である。
Q= 男性である。
として、
① (日本人であって、女性でない)ならば、日本人である。
② (日本人であるか、または、日本人である)ならば、日本人である。
③((日本人であって、女性でないか)、または、日本人である)ならば、日本人である。
といふ「日本語」は、「恒真(トートロジー)」である。
といふことは、「当然」である。
然るに、
(05)
(ⅲ)
1 (1)~(P&~Q) A
2 (2) P A
3(3) ~Q A
23(4) P&~Q 23&I
123(5)~(P&~Q)&
(P&~Q) 13&I
12 (6) ~~Q 35RAA
12 (7) Q 6DN
1 (8) P→ Q 27CP
(ⅳ)
1 (1) P→ Q A
2 (2) P&~Q A
2 (3) P 2&E
12 (4) Q 13MPP
2 (5) ~Q 2&E
12 (6) Q&~Q 45&I
1 (7)~(P&~Q) 26RAA
従って、
(05)により、
(06)
③ ~(P&~Q)
④ P→ Q
に於いて、
③=④ である(含意の定義Ⅰ)。
然るに、
(07)
(ⅳ)
1 (1) P→ Q A
2 (2) P&~Q A
2 (3) P 2&E
12 (4) Q 13MPP
2 (5) ~Q 2&E
12 (6) Q&~Q 45&I
1 (7) ~(P&~Q) 26RAA
8 (8) ~(~P∨Q) A
9 (9) ~P A
9 (ア) ~P∨Q 9∨I
89 (イ) ~(~P∨Q)&
(~P∨Q) 8ア&I
8 (ウ) ~~P 9イRAA
8 (エ) P ウDN
オ(オ) Q A
カ(カ) ~P∨Q オ∨I
8 カ(キ) ~(~P∨Q)&
(~P∨Q) 8カ&I
8 (ク) ~Q カキRAA
8 (ケ) P&~Q エク&I
1 8 (コ) ~(P&~Q)&
(P&~Q) 7ケ&I
1 (サ)~~(~P∨Q) 8コRAA
1 (シ) ~P∨Q サDN
(ⅴ)
1 (1) ~P∨ Q A
2 (2) P&~Q A
3 (3) ~P A
2 (4) P 2&E
23 (5) ~P&P 34&I
3 (6)~(P&~Q) 25RAA
7 (7) Q A
2 (8) ~Q 2&E
2 7 (9) Q&~Q 78&I
7 (ア)~(P&~Q) 29RAA
1 (イ)~(P&~Q) 1367ア∨E
12 (ウ) (P&~Q)&
~(P&~Q) 2イ&I
1 (エ)~(P&~Q) 2ウRAA
オ (オ) P A
カ(カ) ~Q A
オカ(キ) P&~Q オカ&I
1 オカ(ク)~(P&~Q)&
(P&~Q) 1キ&I
1 オ (ケ) ~~Q カクRAA
1 オ (コ) Q ケDN
1 (サ) P→ Q オコCP
従って、
(07)により、
(08)
④ P→Q
⑤ ~P∨Q
に於いて、
④=⑤ である(含意の定義Ⅱ)。
従って、
(06)(08)により、
(09)
③ ~(P&~Q)
④ P→ Q
⑤ ~P∨ Q
に於いて、すなはち、
③(Pであって、Qでない)といふことはない。
④ Pであるならば、Qである。
⑤ Pでないか、または、Qである。
に於いて、
③=④=⑤ である(含意の定義)。
然るに、
(10)
(ⅲ)
1 (1) (P&~Q)∨P A
2 (2) (P&~Q) A
2 (3)~~(P&~Q) 2DN
2 (4) ~(P→ Q) 3含意の定義Ⅰ
2 (5) ~(P→ Q)∨P 4∨I
6(6) P A
6(7) ~(P→ Q)∨P 6∨I
1 (8) ~(P→ Q)∨P 12567∨E
1 (9) (P→ Q)→P 8含意の定義Ⅱ
(ⅳ)
1 (1) (P→ Q)→P A
1 (2)~(P→ Q)∨P 1含意の定義Ⅱ
3 (3)~(P→ Q) A
3 (4)~(~P∨Q) 3含意の定義Ⅱ
5 (5) ~P A
5 (6) ~P∨Q 5∨I
35 (7)~(~P∨Q)&
(~P∨Q) 46&I
3 (8) ~~P 57RAA
3 (9) P 8DN
ア (ア) Q A
ア (イ) ~P∨Q ア∨I
3 ア (ウ)~(~P∨Q)&
(~P∨Q) 3イ&I
3 (エ) ~Q アウRAA
3 (カ) P&~Q 9エ&I
3 (キ) (P&~Q)∨P カ∨I
従って、
(10)により、
(11)
③(P&~Q)∨P
④(P→ Q)→P
に於いて、
③=④ である。
従って、
(11)により、
(12)
③((P&~Q)∨P)→P
④((P→ Q)→P)→P
に於いて、
③と④は、「前件が等しく、後件も等しい。」
従って、
(12)により、
(13)
③((P&~Q)∨P)→P
④((P→ Q)→P)→P
に於いて、
③=④ である。
従って、
(09)~(13)により、
(14)
③ ~(P&~Q)
④ P→ Q
⑤ ~P∨ Q
に於いて、すなはち、
③(Pであって、Qでない)といふことはない。
④ Pであるならば、Qである。
⑤ Pでないか、または、Qである。
に於いて、
③=④=⑤ である(含意の定義)。
が故に、
③((P&~Q)∨P)→P
④((P→ Q)→P)→P
に於いて、
③=④ である。
従って、
(02)(14)により、
(15)
① (P&~Q)→P
② (P∨ P)→P
③((P&~Q)∨P)→P
④((P→ Q)→P)→P
といふ「論理式」は、「恒真式(トートロジー)」であるものの、特に、
④ を、「パースの法則」といふ。
従って、
(04)(15)により、
(16)
P=日本人である。
Q= 男性である。
として、
① (日本人であって、女性でない)ならば、日本人である。
② (日本人であるか、または、日本人である)ならば、日本人である。
③((日本人であって、女性でないか)、または、日本人である)ならば、日本人である。
④((日本人であるならば、男性である)ならば、日本人である)ならば、日本人である。
といふ「日本語」は、「恒真(トートロジー)」である。
然るに、
(17)
④((日本人であるならば、男性である)ならば、日本人である)ならば、日本人である。
といふ「日本語」が、「恒真(トートロジー)」である以上、「当然」、
⑤((日本人であるならば、女性である)ならば、日本人である)ならば、日本人である。
といふ「日本語」も、「恒真(トートロジー)」である。
然るに、
(18)
④((日本人であるならば、男性である)ならば、日本人である)ならば、日本人である。
⑤((日本人であるならば、女性である)ならば、日本人である)ならば、日本人である。
といふ「日本語」が、「恒真(トートロジー)」であるといふことは、
④((日本人であるならば、男性であらうと、なからうと)、日本人である)ならば、日本人である。
といふ「日本語」が、「恒真(トートロジー)」である。
といふことに、他ならない。
然るに、
(19)
④((日本人であるならば、男性であらうと、なからうと)、日本人ならば、日本人である。
といふ「日本語」が、「恒真(トートロジー)」である。
といふことは、「そんなの、常識」である。
従って、
(01)~(19)により、
(20)
① (P&~Q)→P
② (P∨ P)→P
③((P&~Q)∨P)→P
④((P→ Q)→P)→P
といふ「論理式」は、「恒真式(トートロジー)」であって、それ故、
① (日本人であって、女性でない)ならば、日本人である。
② (日本人であるか、または、日本人である)ならば、日本人である。
③((日本人であって、女性でないか)、または、日本人である)ならば、日本人である。
④((日本人であるならば、男性であらうと、なからうと)、日本人である)ならば、日本人である。
といふ「日本語」が、「恒真(トートロジー)」であるものの、特に、
④((P→ Q)→P)→P
④((日本人であるならば、男性であらうと、なからうと)、日本人である)ならば、日本人である。
を、「パースの法則」といふ。
然るに、
(21)
「普通」は、
④((P→Q)→P)→P
④((日本人であるならば、男性である)ならば、日本人ならば、日本人である。
を、「パースの法則」といふ。
然るに、
(22)
④((日本人であるならば、男性であらうと、なからうと)、日本人である)ならば、日本人である。
というのであれば、「そんなの、常識」であるが、
④((日本人であるならば、男性である)ならば、日本人ならば、日本人である。
という「言ひ方」は、明らかに、「ヲカシイ」。
それ故、
(23)
④((P→Q)→P)→P
④((Pであるならば、Qである)ならばPである)ならばPである。
といふ「パースの法則」といふ「恒真式(トートロジー)」を、初めて知ったときは、「大いに、戸惑った」ものの、
今は、そのやうなことは、全くない。
(01)
(ⅰ)
1 (1) (P&~Q)∨P A
2 (2) (P&~Q) A
2 (3)~~(P&~Q) 2DN
2 (4) ~(~P∨Q) 3ド・モルガンの法則
2 (5) ~(P→Q) 4含意の定義
2 (6) ~(P→Q)∨P 5∨I
7(7) P A
7(8) ~(P→Q)∨P 7∨I
1 (9) ~(P→Q)∨P 12678∨E
1 (ア) (P→Q)→P 9含意の定義
(ⅱ)
1 (1) (P→Q)→P A
1 (2) ~(P→Q)∨P 1含意の定義
2 (3) ~(P→Q) A
2 (4)~(~P∨Q) 3含意の定義
2 (5) P&~Q 4ド・モルガンの法則
2 (6) (P&~Q)∨P 5∨I
7(7) P A
7(8) (P&~Q)∨P 7∨I
1 (9) (P&~Q)∨P 12678∨E
従って、
(01)により、
(02)
①(P&~Q)∨P
②(P→ Q)→P
に於いて、
①=② である。
従って、
(02)により、
(03)
①((P&~Q)∨P)→P
②((P→ Q)→P)→P
に於いて、
①=② であるが、
② は、「パースの法則」である。
然るに、
(04)
(ⅰ)
1 (1) (P&~Q)∨P A
2 (2) P&~Q A
2 (3) P 2&E
4(4) P A
1 (5) P 12344∨E
(6)((P&~Q)∨P)→P 15CP
従って、
(03)(04)により、
(05)
①((P&~Q)∨P)→P
②((P→ Q)→P)→P
に於いて、
①=② であるが、
① は、「恒真式(トートロジー)」であって、
② は、「パースの法則」である。
従って、
(05)により、
(06)
P=日本人である。
Q=男性である。
~Q=男性でない=女性である。
として、
①((日本人であって女性である)か日本人である)ならば、 日本人である。
②((日本人ならば、男性である)ならば日本人である)ならば、日本人である。
に於いて、
①=② であるが、
① は、「恒真式(トートロジー)」であって、
② は、「パースの法則」である。
従って、
(06)により、
(07)
②((日本人ならば、男性である)ならば日本人である)ならば、日本人である。
は、「パースの法則」であって、「恒真式(トートロジー)」であるが、
② は、いくぶん、「変である」。