（01）
ルカジェヴィッツによる公理（１・２）
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｑ∨ Ｐ １∨Ｉ
３ （３） Ｑ＆～Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３ （５） Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（Ｑ＆～Ｐ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｐ＆～Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（Ｑ＆～Ｐ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（Ｑ＆～Ｐ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） Ｑ Ａ
オ（オ） ～Ｐ Ａ
エオ（カ） Ｑ＆～Ｐ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（Ｑ＆～Ｐ）＆
（Ｑ＆～Ｐ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｐ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｐ クＤＮ
１ （コ） Ｑ→Ｐ エケＣＰ
（サ）Ｐ→（Ｑ→Ｒ） １コＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ→（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ→ Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ→Ｒ １３ＭＰＰ
２３（５） Ｑ ２３ＭＰＰ
１２３（６） Ｒ ４５ＭＰＰ
１２ （７） Ｐ→Ｒ ３６ＣＰ
１ （８）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ） ２７ＣＰ
（９）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］ １８ＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
である所の、「ルカジェヴィッツによる公理（１・２）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことは、「自然演繹」によって、「証明」出来る。
従って、
（03）により、
（04）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
（〃）［Ｐ→（Ｑ→Ｐ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｐ）］
は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（03）（04）により、
（05）
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｐ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｐ）］
は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（06）
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ） Ａ
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｐ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｐ）］ Ａ
（３） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｐ） １２ＭＰＰ
（４） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）→（Ｐ→Ｐ） ３ Ｑに、（Ｑ→Ｐ）を代入。
（５） Ｐ→Ｐ １４ＭＰＰ
従って、
（03）～（06）により、
（07）
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
といふ「公理」に於いて、
（ⅰ）Ｒ＝Ｐ といふ「代入」を行った上で、
（ⅱ）ＭＰＰ を行ひ、次に、
（ⅲ）Ｑ＝Ｑ→Ｐ といふ「代入」を行ひ、その上で、
（ⅳ）ＭＰＰ を行ふと、
（ⅴ）Ｐ→Ｐ（同一律） を、得ることになる。
ｃｆ.
「沢田允茂、現代論理学入門、1962年、１７４・１７５頁」
従って、
（03）～（07）により、
（08）
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
である所の、「ルカジェヴィッツによる公理（１・２）」から、
（３） Ｐ→Ｐ（同一律）
といふ「定理」を、「演繹」することが出来る。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ） Ａ
１ （２） ～Ｐ∨（Ｑ→Ｐ） １含意の定義
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｐ ３∨Ｉ
５ （５） Ｑ→Ｐ Ａ
５ （６） ～Ｑ∨Ｐ ５含意の定義
５ （７） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｐ ２３４５７∨Ｅ
１ （９） ～Ｐ∨Ｐ∨～Ｑ ８交換法則
１ （ア）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ ９結合法則
１ （イ）～Ｑ∨（～Ｐ∨Ｐ） ア交換法則
１ （ウ） Ｑ→（～Ｐ∨Ｐ） イ含意の定義
エ（エ） Ｑ Ａ
１ エ（オ） ～Ｐ∨Ｐ ウエＭＰＰ
１ エ（カ） Ｐ→Ｐ オ含意の定義
１ （キ） Ｑ→ （Ｐ→Ｐ） エカＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｑ→（Ｐ→Ｐ） Ａ
１ （２）～Ｑ∨（Ｐ→Ｐ） １含意の定義
３ （３）～Ｑ Ａ
３ （４）～Ｑ∨～Ｐ∨Ｐ ３∨Ｉ
５ （５） Ｐ→Ｐ Ａ
５ （６） ～Ｐ∨Ｐ ５含意の定義
５ （７）～Ｑ∨～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８）～Ｑ∨～Ｐ∨Ｐ ２３４５７∨Ｅ
１ （９）～Ｐ∨～Ｑ∨Ｐ ８交換法則
１ （ア）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｐ） ９結合法則
１ （イ） Ｐ→（～Ｑ∨Ｐ） ア含意の定義
ウ（ウ） Ｐ Ａ
１ ウ（エ） ～Ｑ∨Ｐ イウＭＰＰ
１ ウ（オ） Ｑ→Ｐ エ含意の定義
１ （カ） Ｐ→（ Ｑ→Ｐ） ウオＣＰ
従って、
（09）により、
（10）
① Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
② Ｑ→（Ｐ→Ｐ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
である所の、「ルカジェヴィッツによる公理（１・２）」だけでなく、
（１） Ｑ→（Ｐ→Ｐ）
（２）［Ｑ→（Ｐ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
からも、
（３） Ｐ→Ｐ（同一律）
といふ「定理」を、「演繹」することが出来る、はずある（？）。
（01）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ（象ｘ⇔動ｘ） Ａ
１ （２） 象ａ⇔動ａ １ＵＥ
１ （３） 象ａ→動ａ＆ 動ａ→象ａ ２Ｄｆ.⇔
１ （４） 象ａ→動ａ ３＆Ｅ
１ （５） 動ａ→象ａ ３＆Ｅ
６ （６） ～象ａ Ａ
７（７） 動ａ Ａ
１ ７（８） 象ａ ５７ＭＰＰ
１６７（９） ～象ａ＆象ａ ６８＆Ｉ
１６ （ア） ～動ａ ７９ＲＡＡ
１ （イ） ～象ａ→～動ａ ６アＣＰ
１ （ウ） 象ａ→動ａ＆～象ａ→～動ａ ４イ＆Ｉ
１ （エ）∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ） ウＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ） Ａ
１ （２） 象ａ→動ａ＆～象ａ→～動ａ １ＵＥ
１ （３） 象ａ→動ａ ２＆Ｅ
１ （４） ～象ａ→～動ａ ２＆Ｅ
５ （５） 動ａ Ａ
６（６） ～象ａ Ａ
１ ６（７） ～動ａ ４６ＭＰＰ
１５６（８） 動ａ＆～動ａ ５７＆Ｉ
１５ （９） ～～象ａ ６８ＲＡＡ
１５ （ア） 象ａ ９ＤＮ
１ （イ） 動ａ→象ａ ５アＣＰ
１ （ウ） 象ａ→動ａ＆ 動ａ→象ａ ３イ＆Ｉ
１ （エ） 象ａ⇔動ａ ウＤｆ.⇔
１ （オ）∀ｘ（象ｘ⇔動ｘ） エＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（象ｘ⇔動ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、そのときに限って、ｘは動物である）。
② すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
に於いて、
①＝② である。
（03）
（ⅱ）
１（１）∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ） Ａ
１（２） 象ａ→動ａ＆～象ａ→～動ａ １ＵＥ
１（３） 象ａ→動ａ ２＆Ｅ
１（４）∀ｘ（象ｘ→動ｘ） ３ＵＩ
１（５） ～象ａ→～動ａ ２＆Ｅ
１（６） ∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ） ５ＵＩ
１（７）∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ） ４６＆Ｉ
（ⅲ）
１（１）∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ） Ａ
１（２）∀ｘ（象ｘ→動ｘ） １＆Ｅ
１（３） 象ａ→動ａ ２ＵＥ
１（４） ∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ） １＆Ｅ
１（５） ～象ａ→～動ａ ４ＵＥ
１（６） 象ａ→動ａ＆～象ａ→～動ａ ３５＆Ｉ
１（７）∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ） ６ＵＩ
従って、
（03）により、
（04）
② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）
③ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）
に於いて、すなはち、
② すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、すべてのｘについて（ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
に於いて、
②＝③ である。
（05）
（ⅲ）
１ （１） ∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ） Ａ
１ （２） ～象ａ→～動ａ １ＵＥ
３（３） ～象ａ＆ 動ａ Ａ
３（４） ～象ａ ３＆Ｅ
１３（５） ～動ａ ２４ＭＰＰ
３（６） 動ａ ３＆Ｅ
１３（７） ～動ａ＆動ａ ５６＆Ｉ
１ （８） ～（～象ａ＆ 動ａ） ３ＲＡＡ
１ （９）∀ｘ～（～象ｘ＆ 動ｘ） ８ＵＩ
１ （ア）～∃ｘ（～象ｘ＆ 動ｘ） ９量化子の関係
（ⅳ）
１ （１）～∃ｘ（～象ｘ＆ 動ｘ） Ａ
１ （２）∀ｘ～（～象ｘ＆ 動ｘ） １量化子の関係
１ （３） ～（～象ａ＆ 動ａ） ２ＵＥ
４ （４） ～象ａ Ａ
５（５） 動ａ Ａ
４５（６） ～象ａ＆ 動ａ ４５＆Ｉ
１４５（７） ～（～象ａ＆ 動ａ）＆
（～象ａ＆ 動ａ） ３６＆Ｉ
１４ （８） ～動ａ ５７ＲＡＡ
１ （９） ～象ａ→～動ａ ４８ＣＰ
１ （ア） ∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ） ９ＵＩ
従って、
（05）により、
（06）
③ ∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）
④ ～∃ｘ（～象ｘ＆ 動ｘ）
に於いて、すなはち、
③ すべてのｘについて（ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
④ （象ではなくて、動物であるｘ）は、存在しない。
に於いて、
③＝④ である。
（04）（05）（06）により、
（07）
③ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆ ∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）
④ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆ 動ｘ）
に於いて、すなはち、
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、すべてのｘについて（ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
④ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、（象ではなくて、動物であるｘ）は、存在しない。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
① ∀ｘ（象ｘ⇔動ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）
③ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆ ∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）
④ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆ 動ｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、そのときに限って、ｘは動物である）。
② すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、すべてのｘについて（ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
④ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、（象ではなくて、動物であるｘ）は、存在しない。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（09）
（α）｛象、机、椅子｝
（β）｛象、兎、河馬｝
に於いて、
（α）⇔「象が動物である。」
（β）⇔「象が動物である。」とは、言へない。
然るに、
（10）
（α）｛象、机、椅子｝
（β）｛象、兎、河馬｝
に於いて、
（α）⇔「象以外（机、椅子）は動物ではない。」
（β）⇔「象以外（兎、河馬）は動物ではない。」とは、言へない。
従って、
（09）（10）により、
（11）
① 象が動物である。
② 象は動物であり、象以外は動物ではない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（08）（11）により、
（12）
① 象が動物である。
② 象は動物であり、象以外は動物ではない。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（象ｘ⇔動ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）
③ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆ ∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）
④ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆ 動ｘ）
といふ「述語論理式」、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、そのときに限って、ｘは動物である）。
② すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、すべてのｘについて（ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
④ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、（象ではなくて、動物であるｘ）は、存在しない。
に、「等しい」。
然るに、
（13）
「現実」には、
④ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、（象ではなくて、動物であるｘ）は、存在しない。
といふことはなく、
⑤ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、（象ではなくて、動物であるｘ）は、存在する。
従って、
（13）により、
（14）
「現実」には、
⑤ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆∃ｘ（～象ｘ＆動ｘ）⇔
⑤ 象は動物であるが、象以外にも、動物は存在する。
従って、
（14）により、
（15）
① 何が動物か。
② 動物は何か。
といふ「質問」に対しては、「答へよう」が無い。
然るに、
（16）
ある動物が、最大の動物である。ならば、
その動物以外に、最大の動物は、存在しない。
従って、
（16）により、
（17）
（ⅰ）象が最大の動物である。然るに、
（ⅱ）馬は象ではないが、動物である。従って、
（ⅲ）象と馬は動物であって、象は馬よりも大きい。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（17）により、
（18）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∀ｙ（～象ｙ＆動物ｙ→大ｘｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｙ（馬ｙ→～象ｙ＆動物ｙ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ∀ｙ（象ｘ＆馬ｙ→動物ｘ＆動物ｙ＆大ｘｙ）。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ） すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、ｘは動物であって馬であり、尚且つ、すべてのｙについて、ｙが象以外の動物であるならば、ｘはｙよりも大きい）｝。然るに、
（ⅱ） すべてのｙについて（ｙが馬ならば、ｙは象以外の動物である）。従って、
（ⅲ）すべてのｘとｙについて（ｘが象であってｙが馬ならば、ｘは動物であって、ｙも動物であって、ｘはｙよりも大きい）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（19）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∀ｙ（～象ｙ＆動物ｙ→大ｘｙ）｝ Ａ
２ （２）∀ｙ（馬ｙ→～象ｙ＆動物ｙ） Ａ
２ （〃）すべてのｙについて｛ｙが馬ならば、ｙは象ではないが、動物である）。Ａ
１ （３） 象ａ→動物ａ＆∀ｙ（～象ｙ＆動物ｙ→大ａｙ） １ＵＥ
１ （４） 象ａ→動物ａ ３＆Ｅ
１ （５） ∀ｙ（～象ｙ＆動物ｙ→大ａｙ） ３＆Ｅ
１ （６） ～象ｂ＆動物ｂ→大ａｂ ５ＵＥ
１２ （７） 馬ｂ→～象ｂ＆動物ｂ ２ＵＥ
８（８） 象ａ＆馬ｂ Ａ
８（９） 馬ｂ ８＆Ｅ
１２８（ア） ～象ｂ＆動物ｂ ７９ＭＰＰ
１２８（イ） 大ａｂ ６アＭＰＰ
１２８（ウ） 動物ｂ ア＆Ｅ
１２８（エ） 動物ｂ＆大ａｂ イウ＆Ｉ
８（オ） 象ａ ８＆Ｅ
１ ８（カ） 動物ａ ４オＭＰＰ
１２８（キ） 動物ａ＆動物ｂ＆大ａｂ エカ＆Ｉ
１２ （ク） 象ａ＆馬ｂ→動物ａ＆動物ｂ＆大ａｂ ８キＣＰ
１２ （ケ） ∀ｙ（象ａ＆馬ｙ→動物ａ＆動物ｙ＆大ａｙ） クＵＩ
１２ （コ）∀ｘ∀ｙ（象ｘ＆馬ｙ→動物ｘ＆動物ｙ＆大ｘｙ） ケＵＩ
１２ （〃）すべてのｘとｙについて（ｘが象であってｙが馬ならば、ｘは動物であり、ｙも動物であり、ｘはｙよりも大きい）。ケＵＩ
従って、
（17）（18）（19）により、
（20）
果たして、
（ⅰ）象が最大の動物である。然るに、
（ⅱ）馬は象ではないが、動物である。従って、
（ⅲ）象と馬は動物であって、象は馬よりも大きい。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（14）～（20）により、
（21）
「現実の世界」では、
① 象が動物である。
② 動物は象である。
といふ「命題」は、「偽」であるものの、
「現実の世界」であっても、
① 象が最大の陸上動物である。
② 最大の陸上動物は象である。
といふ「命題」は、「真」であって、「偽」ではない。
従って、
（20）（21）により、
（22）
① ＡがＢである。
といふ「日本語」は、
① ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。
といふ、「意味」である。
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ→～Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
１２（４） ～Ｑ ２３ＭＰＰ
１ （５） Ｑ １＆Ｅ
１２（６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ→～Ｑ） ２ＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ→～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
４（４） Ｑ Ａ
３４（５） Ｐ＆ Ｑ ３４＆Ｉ
２３４（６） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆
（Ｐ＆ Ｑ） ２５＆Ｉ
２３ （７） ～Ｑ ４６ＲＡＡ
２ （８） Ｐ→～Ｑ ３７ＣＰ
１２ （９） ～（Ｐ→～Ｑ）＆
（Ｐ→～Ｑ） １８＆Ｉ
１ （ア）～～（Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） Ｐ＆ Ｑ アＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ＆ Ｑ
② ～（Ｐ→～Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
（03）
（ⅲ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） ～Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） ～Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） ～Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） Ｐ Ａ
３（４） Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～Ｐ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ １６ＭＰＰ
１２ （８） Ｐ∨Ｑ ７∨Ｉ
１２ （９） ～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） ２８＆Ｉ
１ （ア）～～（Ｐ∨Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） Ｐ∨Ｑ アＤＮ
従って、
（03）により、
（04）
③ Ｐ∨Ｑ
④ ～Ｐ→Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① Ｐ＆ Ｑ
② ～（Ｐ→～Ｑ）
③ Ｐ∨ Ｑ
④ ～Ｐ→ Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（05）により、
（06）
① Ｐ＆Ｑ＝～（Ｐ→～Ｑ）
② Ｐ∨Ｑ＝ ～Ｐ→ Ｑ
である。
従って、
（06）により、
（07）
①「＆」は、「～、→、（ ）」によって、「置き換へ」ることが、出来、
②「∨」は、「～、→、 」によって、「置き換へ」ることが、出来る。
従って、
（07）により、
（08）
「＆、∨」は「～、→、（ ）」によって、「置き換へ」ることが、出来、
「～、→、（ ）」は「＆、∨」によって、「置き換へ」ることが、出来る。
従って、
（08）により、
（09）
「＆、∨、～、→、（ ）」は、「～、→、（ ）」によって、「置き換へ」ることが、出来、
「～、→、（ ）」は、「＆、∨、～、→、（ ）」によって、「置き換へ」ることが、出来る。
（01）
（ａ）「含意の定義」の証明は、 （17）を参照せよ。
（ｂ）「ド・モルガンの法則」の証明は、（18）を参照せよ。
（02）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→ Ｐ）∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ→ Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨ Ｐ ２含意の定義
２ （４）～（Ｐ＆～Ｐ） ３ド・モルガンの法則
２ （５）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ ４∨Ｉ
６（６） Ｑ Ａ
６（７）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ ６∨Ｉ
１ （８）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ １２５６７∨Ｅ
１ （９） （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ ８含意の定義
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ １含意の定義
３ （３）～（Ｐ＆～Ｐ） Ａ
３ （４） ～Ｐ∨ Ｐ ３ド・モルガンの法則
３ （５） Ｐ→ Ｐ ４含意の定義
３ （６） （Ｐ→ Ｐ）∨Ｑ ５∨I
７（７） Ｑ Ａ
７（８） （Ｐ→ Ｐ）∨Ｑ ７∨Ｉ
１ （９） （Ｐ→ Ｐ）∨Ｑ ２３６７８∨Ｉ
従って、
（02）により、
（03）
①（Ｐ→ Ｐ）∨Ｑ
②（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１（１） Ｐ Ａ
（２） Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（３）（Ｐ→Ｐ）∨Ｑ ２∨Ｉ
従って、
（04）により、
（05）
①（Ｐ→Ｐ）∨Ｑ
すなはち、
①（同一律）∨Ｑ
は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
①（Ｐ→ Ｐ）∨Ｑ
②（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
① は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（06）により、
（07）
①（Ｐ→ Ｐ）∨Ｑ
②（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② も、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（07）により、
（08）
②（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
すなはち、
②（ 矛盾 ）→Ｑ
は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（08）により、
（09）
②（矛盾）→Ｑ
すなはち、
②（ 偽 ）→Ｑ
は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（09）により、
（10）
①（偽）→真
②（偽）→偽
に於いて、
① は「真」であって、
② も「真」である。
従って、
（10）により、
（11）
③ Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである。）
に於いて、
③「Ｐである」が「偽」であるならば、
③「Ｑである」は「偽」であるか、
③「Ｑである」は「真」であるかの、どちらかである。
従って、
（11）により、
（12）
③ Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである。）
に於いて、
③「Ｐである」が「偽」であるならば、従って、
③「Ｐでない」が「真」であるならば、
③「Ｑである」は「偽」であるか、
③「Ｑである」は「真」であるかの、どちらかである。
従って、
（12）により、
（13）
③ Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである。）
に於いて、
③「Ｐでない」が「真」であるならば、
③「Ｑである」が「偽」であるか、
③「Ｑである」が「真」であるかは、「不明」である。
従って、
（13）により、
（14）
（ⅰ） Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである。）然るに、
（ⅱ）～Ｐ （Ｐでない。） 従って、
（ⅲ） ～Ｑ（Ｑでない。）
といふ「推論」は、「妥当」ではなく、
このことを称して、「前件否定の誤謬（the fallacy of denying the antecedent）」と謂ふ。
従って、
（13）（14）により、
（15）
逆に言へば、「前件否定の誤謬（the fallacy of denying the antecedent）」を「誤謬」である。
と、認めるのであれば、そのときに限って、
③ Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである。）
に於いて、
③「Ｐでない」が「真」であるならば、
③「Ｑである」が「偽」であるか、
③「Ｑである」が「真」であるかは、「不明」である。
といふことを、認めなければ、ならない。
従って、
（15）により、
（16）
③ 象は動物である。然るに、兎は象ではない。故に、兎は動物ではない。
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ），∀（兎ｘ→～象ｘ）├ ∀（兎ｘ→～動物ｘ）
といふ「推論（連式）」を、「妥当」ではない。 とするのであれば、
③ Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである。）
に於いて、
③「Ｐでない」が「真」であるならば、
③「Ｑである」が「偽」であるか、
③「Ｑである」が「真」であるかは、「不明」である。
といふことを、認めなければ、ならない。
（17）
―「含意の定義」の証明。―
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
（18）
―「ド・モルガンの法則」の証明。―
（ⅰ）
１ （１） ～（ Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） ～Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
～Ｐ∨～Ｑ ２９＆Ｉ
２ （イ） ～～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｑ イＤＮ
２ （エ） Ｐ＆ Ｑ ７ウ＆Ｉ
１２ （オ） ～（ Ｐ＆ Ｑ）＆
（ Ｐ＆ Ｑ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２オＲＡＡ
１ （キ） ～Ｐ∨～Ｑ カＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（ Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア） ～（ Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（ Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
―「昨日の記事（令和０３年０２月２３日）」を書き直します。―
（01）
「動物の種類」は、「膨大」であるため、
① 何が動物か。
② 動物は何か。
といふ「質問」に対しては、「答へよう」がない。
然るに、
（02）
①｛象、机、椅子｝
②｛象、兎、馬｝
に於いて、
① ⇔「象が動物である。」といふ「命題」は「真」である。
② ⇔「象が動物である。」といふ「命題」は「偽」である。
（03）
①｛象、机、椅子｝
②｛象、兎、馬｝
に於いて、
① ⇔「動物は象である。」といふ「命題」は「真」である。
② ⇔「動物は象である。」といふ「命題」は「偽」である。
（04）
①｛象、机、椅子｝
②｛象、兎、馬｝
に於いて、
① ⇔「象以外（机、椅子）は動物ではない。」といふ「命題」は「真」である。
② ⇔「象以外（兎、 馬 ）は動物ではない。」といふ「命題」は「偽」である。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
① 象が動物である。
② 動物は象である。
③ 象以外は動物ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（06）
① 象が動物である。
② 動物は象である。
③ 象以外は動物ではない。
といふのであれば、必然的に、
④ 象は動物である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
① 象が動物である。
② 象は動物であり、動物は象である。
③ 象は動物であり、象以外は動物ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（08）
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ（動物ｘ→ 象ｘ） Ａ
１ （２） 動物ａ→ 象ａ １ＵＥ
３ （３） ～象ａ Ａ
４（４） 動物ａ Ａ
１ ４（５） 象ａ ２４ＭＰＰ
１３４（６） ～象ａ＆象ａ ３５＆Ｉ
１３ （７） ～動物ａ ４６ＲＡＡ
１ （８） ～象ａ→～動物ａ ３７ＣＰ
１ （９）∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ） ８ＵＩ
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ） Ａ
１ （２） ～象ａ→～動物ａ １ＵＥ
３ （３） 動物ａ Ａ
３ （４） ～～動物ａ ３ＤＮ
１３ （５） ～～象ａ ２４ＭＴＴ
１３ （６） 象ａ ５ＤＮ
１ （７） 動物ａ→ 象ａ ３６ＣＰ
１ （８） ∀ｘ（動物ｘ→ 象ｘ） ７ＵＩ
従って、
（08）により、
（09）
② ∀ｘ（ 動物ｘ→ 象ｘ）
③ ∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）
に於いて、すなはち、
② すべてのｘについて（ｘが動物ならば、ｘは象である）。
③ すべてのｘについて（ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
に於いて、すなはち、
② 動物は象である。
③ 象以外は動物ではない。
に於いて、
②＝③ は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
① 象が動物である。
② 象は動物であり、動物は象である。
③ 象は動物であり、象以外は動物ではない。
に於いて、すなはち、
① 象が動物である。
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆ 動物ｘ→ 象ｘ）
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（10）により、
（11）
「番号」を付け直すと、
① 象は動物である。
② 象が動物である。
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
④ ∀ｘ（象ｘ→動物＆～象ｘ→～動物ｘ）
に於いて、
①＝③ であって、
②＝④ である。
然るに、
（12）
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ） Ａ
２ （２）∀ｘ（＃ｘ→～象ｘ） Ａ
１ （３） 象ａ→動物ａ＆～象ａ→～動物ａ １ＵＥ
２ （４） ＃ａ→～象ａ ２ＵＥ
５（５） ＃ａ Ａ
２５（６） ～象ａ ４５ＭＰＰ
１ （７） ～象ａ→～動物ａ ３＆Ｅ
１２５（８） ～動物ａ ６７ＭＰＰ
１２ （９） ＃ａ→～動物ａ ５８ＣＰ
１２ （ア）∀ｘ（＃ｘ→～動物ｘ） ９ＵＩ
従って、
（12）により、
（13）
（ⅰ）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ）。然るに、
（ⅱ）∀ｘ（＃ｘ→～象ｘ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ（＃ｘ→～動物ｘ）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
（ⅰ）象が動物である。然るに、
（ⅱ）＃は象ではない。従って、
（ⅲ）＃は動物ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（15）
１ （１） ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） Ａ
２ （２） ∀ｘ（＃ｘ→～象ｘ） Ａ
１ （３） 象ａ→動物ａ １ＵＥ
２ （４） ＃ａ→～象ａ ２ＵＥ
５（５） ＃ａ Ａ
２５（６） ～象ａ ４５ＭＰＰ
１２５（７） ～動物ａ ３６？
１２ （８） ＃ａ→～動物ａ ５７ＣＰ
１２ （９）∀ｘ（＃ｘ→～動物ｘ） ８ＵＩ
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
ｃｆ.
「前件否定の誤謬（the fallacy of denying the antecedent）」。
従って、
（15）により、
（16）
（ⅰ）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）。然るに、
（ⅱ）∀ｘ（＃ｘ→～象ｘ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ（＃ｘ→～動物ｘ）。
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
従って、
（11）（15）（16）により、
（17）
（ⅰ）象は動物である。然るに、
（ⅱ）＃は象ではない。従って、
（ⅲ）＃は動物ではない。
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
従って、
（14）（17）により、
（18）
① 象が動物である。然るに、＃は象ではない。従って、＃は動物ではない。
② 象は動物である。然るに、＃は象ではない。従って、＃は動物ではない。
に於いて、
① は、「妥当」であるが、
② は、「妥当」ではない。
従って、
（18）により、
（19）
① 象が動物である。然るに、机は象ではない。従って、机は動物ではない。
② 象は動物である。然るに、兎は象ではない。従って、兎は動物ではない。
に於いて、
① は、「妥当」であるが、
② は、「妥当」ではない。
従って、
（19）により、
（20）
① 象が動物である。然るに、兎は象ではない。従って、兎は動物ではない。
② 象は動物である。然るに、兎は象ではない。従って、兎は動物ではない。
に於いて、
① は、「妥当」であるが、
② は、「妥当」ではない。
然るに、
（21）
①（飽くまでも、現実には、）兎は動物である。
②（飽くまでも、現実には、）兎は動物である。
従って、
（20）（21）により、
（22）
「当然」ではあるものの、
「推論の妥当性」と、「命題の真偽」とは、「別もの」である。
（01）
① 何が最大の陸上動物か。
② 最大の陸上動物は何か。
といふ「問ひ」であれば、「答へ」は、「（唯一）象」である。
然るに、
（02）
「動物の種類」は、「膨大」であるため、
① 何が動物か。
② 動物は何か。
といふ「質問」に対しては、「答へよう」がない。
然るに、
（03）
①｛象、机、椅子、パソコン、エアコン｝
といふ風に、「限定」をした上で、
① 何が動物か。
② 動物は何か。
といふのであれば、
① 象が動物である。
② 動物は象である。
然るに、
（04）
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ（動物ｘ→ 象ｘ） Ａ
１ （２） 動物ａ→ 象ａ １ＵＥ
３ （３） ～象ａ Ａ
４（４） 動物ａ Ａ
１ ４（５） 象ａ ２４ＭＰＰ
１３４（６） ～象ａ＆象ａ ３５＆Ｉ
１３ （７） ～動物ａ ４６ＲＡＡ
１ （８） ～象ａ→～動物ａ ３７ＣＰ
１ （９）∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ） ８ＵＩ
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ） Ａ
１ （２） ～象ａ→～動物ａ １ＵＥ
３ （３） 動物ａ Ａ
３ （４） ～～動物ａ ３ＤＮ
１３ （５） ～～象ａ ２４ＭＴＴ
１３ （６） 象ａ ５ＤＮ
１ （７） 動物ａ→ 象ａ ３６ＣＰ
１ （８） ∀ｘ（動物ｘ→ 象ｘ） ７ＵＩ
従って、
（04）により、
（05）
② ∀ｘ（ 動物ｘ→ 象ｘ）
③ ∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）
に於いて、すなはち、
② すべてのｘについて（ｘが動物ならば、ｘは象である）。
③ すべてのｘについて（ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
に於いて、すなはち、
② 動物は象である。
③ 象以外は動物ではない。
に於いて、
②＝③ は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
① 象が動物である。
② 動物は象である。
③ 象以外は動物ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（07）
① 象が動物である。
といふのであれば、
① 象は動物でない。
といふことは、有り得ない。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① 象が動物である。
② 象は動物であり、動物は象である。
③ 象は動物であり、象以外は動物ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（01）（08）により、
（09）
① 象が最大の陸上動物である。
② 象は最大の陸上動物であり、最大の陸上動物は象である。
③ 象は最大の陸上動物であり、象以外は最大の陸上動物ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（10）
三上章先生は、
①「象が」は「主語」ではなく、「主格」であって、
②「象は」は「主語」ではなく、「主題」である。
と、されてゐて、
④ Elephants are the largest terrestrial animals.
に於ける、
④「Elephants」に関しては、「主語」である。
と、されてゐる。
ｃｆ.
その主張（主語廃止論）の骨子は、「主語」という語を用いず、「主格」と「主題」で分けてとらえなければならないというものであった。
三上章は、文の構造をコトとムードに分けて考えることを主張しており、「主格」については、コトの次元で述語と関係を持つものであるとしている。それに対し、「主題」についてはコトの次元を超えたムードの次元でやりとりされるとしており、「～ハ」と「～ガ」の問には文の構成上の問には文の構成上の役割として大きな差があることを指摘している（山室和也）。
然るに、
（11）
実際、文法学者が「主語」という「語」を使わなければならないことは、不幸なことだ。この語は、普通のことばでは、とりわけ「話題」（主題）という意味でも使われているからである（イェスペルセン著、安藤貞雄 訳、文法の原理（中）、2006年、４５頁）。
従って、
（11）により、
（12）
「主語」であることと、
「主題」であることとは、「矛盾」しない。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
④ Elephants are the largest terrestrial animals.
に於ける、
④「Elephants」が、
④「主語」であって、尚且つ、
④「主題」であったとしても、「矛盾」しない。
然るに、
（14）
① 父愛息子（The father loves his son）。
② 息子愛父（The son loves his father）。
に於いて、
① であれば、「愛する」のは「 父 」であって、
② であれば、「愛する」のは「息子」である。
然るに、
（15）
③ Pater（主格） amat（３人称単数現在） filium（対格）.
④ Filium（対格） amat（３人称単数現在） pater（主格）.
に於いて、
③ であっても、「愛する」のは「父（Pater）」であって、
④ であっても、「愛する」のは「父（pater）」である。
従って、
（15）により、
（16）
③ Pater（主格） amat（３人称単数現在） filium（対格）.
④ Filium（対格） amat（３人称単数現在） pater（主格）.
といふ「ラテン語」の場合は、
単 数 複 数
主格 pater patres
呼格 pater patres
属格 patris patrum
与格 patri patribus
対格 patrem patres
奪格 patre patribus
に於ける、
主格 pater patres
といふ「語の形」が、「主語」を、担ってゐる。
従って、
（14）（15）（16）により、
（17）
（ⅰ）「漢文や英語」であれば、「語順」が、「主語（といふ役割）」を担ってゐて、その一方で、
（ⅱ）「ラテン語」等であれば、「主格」といふ「語形」が、「主語（といふ役割）」を担ってゐる。
従って、
（17）により、
（18）
③ Pater（主格） amat（３人称単数現在） filium（対格）.
④ Filium（対格） amat（３人称単数現在） pater（主格）.
に於いて、
③ Pater（主格）
④ pater（主格）
である。といふことは、
③ Pater（主語）
④ pater（主語）
といふことと、「同じ」である。
要するに、
（19）
ラテン語やギリシャ語でいふ「主格形」といふのは、「その語が、主語」であることを、示すための「語形」である。
従って、
（20）
① 象が最大の陸上動物である。
② 象は最大の陸上動物であり、最大の陸上動物は象である。
③ 象は最大の陸上動物であり、象以外は最大の陸上動物ではない。
に於ける、
① 象が
といふ「語」が、「主格（主語）」である。
といふのであれば、
① 象が
といふ「語」は、「主語（主格）」である。
といふ、ことになる。
然るに、
（21）
１５．格の使い方
格のつかい方は複雑である。次に説明のために、ごく簡単なつかいかただけを挙げておく。
１．主格 これは動詞の主語としてつかわれ、日本語の「は」、「が」（従属節では「の」まではいる）に当る。
（松村正俊、ラテン語四週間、1961年、１８頁）
従って、
（20）（21）により、
（22）
① 象が最大の陸上動物である。
② 象は最大の陸上動物であり、最大の陸上動物は象である。
③ 象は最大の陸上動物であり、象以外は最大の陸上動物ではない。
に於ける、
① 象が
② 象は
③ 象は
は、３つとも、「主語（主格）」である。
従って、
（13）（22）により、
（23）
私が思ふに、
① 象が最大の陸上動物である。
② 象は最大の陸上動物であり、最大の陸上動物は象である。
③ 象は最大の陸上動物であり、象以外は最大の陸上動物ではない。
に於ける、
① 象が
② 象は
③ 象は
は、３つとも、「主語」である。
（24）
三上章先生は、
「話題」は「主語」ではないとし、
「主格」も「主語」ではない。とする。
（25）
私自身は、
「象＿」を「話題」にする際には、
「象は」を「主語とする」か、
「象が」で「主語とする」かの、どちらかであって、
「象は」は、敢へて言へば、「ラテン語文法」等でいふ「主格形」であって、
「象が」も、敢へて言へば、「ラテン語文法」等でいふ「主格形」である。
といふ風に、考へてゐる。
（26）
「象は」と、
「象が」の「違ひ」については、例へば、
① 象は最大の陸上動物である＝象は最大の陸上動物である。
② 象が最大の陸上動物である＝象は最大の陸上動物であり、象以外は最大の陸上動物ではない。
の「違ひ」であると、確信してゐる。
（01）
ある動物が、最大の動物である。ならば、
その動物以外に、最大の動物は、ゐない。
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）象が最大の動物である。然るに、
（ⅱ）馬は象ではないが、動物である。従って、
（ⅲ）象と馬は動物であって、象は馬よりも大きい。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（03）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∀ｙ（～象ｙ＆動物ｙ→大ｘｙ）｝ Ａ
２ （２）∀ｙ（馬ｙ→～象ｙ＆動物ｙ） Ａ
２ （〃）すべてのｙについて｛ｙが馬ならば、ｙは象ではないが、動物である）。Ａ
１ （３） 象ａ→動物ａ＆∀ｙ（～象ｙ＆動物ｙ→大ａｙ） １ＵＥ
１ （４） 象ａ→動物ａ ３＆Ｅ
１ （５） ∀ｙ（～象ｙ＆動物ｙ→大ａｙ） ３＆Ｅ
１ （６） ～象ｂ＆動物ｂ→大ａｂ ５ＵＥ
１２ （７） 馬ｂ→～象ｂ＆動物ｂ ２ＵＥ
８（８） 象ａ＆馬ｂ Ａ
８（９） 馬ｂ ８＆Ｅ
１２８（ア） ～象ｂ＆動物ｂ ７９ＭＰＰ
１２８（イ） 大ａｂ ６アＭＰＰ
１２８（ウ） 動物ｂ ア＆Ｅ
１２８（エ） 動物ｂ＆大ａｂ イウ＆Ｉ
８（オ） 象ａ ８＆Ｅ
１ ８（カ） 動物ａ ４オＭＰＰ
１２８（キ） 動物ａ＆動物ｂ＆大ａｂ エカ＆Ｉ
１２ （ク） 象ａ＆馬ｂ→動物ａ＆動物ｂ＆大ａｂ ８キＣＰ
１２ （ケ） ∀ｙ（象ａ＆馬ｙ→動物ａ＆動物ｙ＆大ａｙ） クＵＩ
１２ （コ）∀ｘ∀ｙ（象ｘ＆馬ｙ→動物ｘ＆動物ｙ＆大ｘｙ） ケＵＩ
１２ （〃）すべてのｘとｙについて（ｘが象であってｙが馬ならば、ｘは動物であり、ｙも動物であり、ｘはｙよりも大きい）。ケＵＩ
従って、
（03）により、
（04）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∀ｙ（～象ｙ＆動物ｙ→大ｘｙ）｝ Ａ
２ （２）∀ｙ（馬ｙ→～象ｙ＆動物ｙ） Ａ
１２ （コ）∀ｘ∀ｙ（象ｘ＆馬ｙ→動物ｘ＆動物ｙ＆大ｘｙ） ケＵＩ
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
象が最大の動物である。⇔
象は動物であって、象以外の動物よりも、象は大きい。⇔
∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∀ｙ（～象ｙ＆動物ｙ→大ｘｙ）｝⇔
すべてのｘについて｛ｘが象ならば、ｘは動物であり、すべてのｙについて（ｙが象でなくて、ｙが動物であるならば、ｘはｙよりも大きい）｝。
といふ「等式」が、成立する。
（01）
練習問題
１ つぎの連式の妥当性を証明せよ。
（ａ）Ｆｍ ┤├ ∀ｘ（ｘ＝ｍ→Ｆｘ）
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、２１５頁改）
（02）
（ⅰ）
１ （１）Ｆｍ
２ （２）～∀ｘ（ｘ＝ｍ→ Ｆｘ） Ａ
２ （３）∃ｘ～（ｘ＝ｍ→ Ｆｘ） ２量化子の関係
４ （４） ～（ｍ＝ｍ→ Ｆｍ） Ａ
５（５） ｍ≠ｍ∨ Ｆｍ Ａ
５（６） ｍ＝ｍ→ Ｆｍ ５含意の定義
４５（７） ～（ｍ＝ｍ→ Ｆｍ）＆
（ｍ＝ｍ→ Ｆｍ） ４６＆Ｉ
４ （８） ～（ｍ≠ｍ∨ Ｆｍ） ５７ＲＡＡ
４ （９） ｍ＝ｍ＆～Ｆｍ ８ド・モルガンの法則
４ （ア） ～Ｆｍ ９＆Ｅ
２ （イ） ～Ｆｍ ２４アＥＥ
１２ （ウ） Ｆｍ＆～Ｆｍ １イ＆Ｉ
１ （エ）～～∀ｘ（ｘ＝ｍ→Ｆｘ） ２ウＲＡＡ
１ （オ） ∀ｘ（ｘ＝ｍ→Ｆｘ） エＤＮ
（ⅱ）
１（１）∀ｘ（ｘ＝ｍ→Ｆｘ） Ａ
１（２） ｍ＝ｍ→Ｆｍ １ＵＥ
（３） ｍ＝ｍ ＝Ｉ
１（４） Ｆｍ ２３ＭＰＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
（ａ）Ｆｍ ┤├ ∀ｘ（ｘ＝ｍ→Ｆｘ）
（〃）ｍはＦである。┤├ すべてのｘについて（ｘがｍであるならば、ｘはＦである）。
といふ「連式」は、「妥当」である。
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）ミッシェルは、フランス人である。従って、
（ⅱ）誰であらうと、その人がミッシェルであるならば、その人はフランス人である。
といふ「推論」は、「妥当」である。
（05）
練習問題
１ つぎの連式の妥当性を証明せよ。
（ｂ）├ ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆ｘ＝ｙ→Ｆｙ）
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、２１５頁）
（06）
１（１） Ｆａ＆ａ＝ｂ Ａ
１（２） Ｆａ １＆Ｅ
１（３） ａ＝ｂ １＆Ｅ
１（４） Ｆｂ ２３＝Ｅ
（５） Ｆａ＆ａ＝ｂ→Ｆｂ １４ＣＰ
（６）∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆ｘ＝ｙ→Ｆｙ） ５ＵＩ
従って、
（06）により、
（07）
（ｂ）├ ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆ｘ＝ｙ→Ｆｙ）
（〃）├ すべてのｘとすべてのｙについて（ｘがＦであって、ｘ＝ｙであるならば、ｙはＦである）。
といふ「連式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
（08）
練習問題
１ つぎの連式の妥当性を証明せよ。
（ｆ）├ ∃ｘ（ｘ＝ａ）
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、２１５頁）
（09）
（１） ａ＝ａ ＝Ｉ
（２）∃ｘ（ｘ＝ａ） １ＥＩ
従って、
（09）により、
（10）
（ｆ）├ ∃ｘ（ｘ＝ａ）
（〃）├ あるｘは（ｘ＝ａ）である。
といふ「連式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（07）（10）により、
（11）
（ｂ）├ すべてのｘとすべてのｙについて（ｘがＦであって、ｘ＝ｙであるならば、ｙはＦである）。
（ｆ）├ あるｘは（ｘ＝ａ）である。
に於いて、
（ｂ）が「恒真式（トートロジー）」である。
といふことは、「当然」であるが、
（ｆ）が「恒真式（トートロジー）」である。
といふことは、「難解」である。
（12）
（ａ）
１（１） Ｆａ Ａ
１（２） ∃ｘ（Ｆｘ） １ＥＩ
（３）Ｆａ→∃ｘ（Ｆｘ） １２ＣＰ
（ｂ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
従って、
（12）により、
（13）
（ａ）任意のａがＦならば、Ｆであるｘが存在するが、
（ｂ）Ｆであるｘが存在するとしても、任意のａがＦである。とは、限らない。
といふことは、「当然」である。
然るに、
（14）
（ｆ）├ ∃ｘ（ｘ＝ａ）
（〃）任意のａは、ａである。故に、あるｘはａである。
といふことは、「当然」である。
といふことが、私には、「何となく」にしか、分からない。
（01）
１４２ ∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３） Ｆａ＆Ｆａ ２２＆Ｉ
２（４） ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ） ３ＥＩ
２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） １２５ＥＥ
（この結果は事実上、強化して相互導出することができる。）この連式の妥当性から、ひとつだけの対象がＦをもっているならば、
∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
ということを帰結する。言い換えると、異なった変数「ｘ」と「ｙ」を用いる場合に、そのことから、
それに対応する相異なった対象が存在するということは帰結しないのである。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、２１０頁）
従って、
（01）により、
（02）
「相互導出することができる。」といふことからも、
１ （１）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） Ａ
２ （２） ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ） Ａ
３（３） Ｆａ＆Ｆａ Ａ
３（４） Ｆａ ３冪等律
３（５） ∃ｘ（Ｆｘ） ４ＥＩ
２ （６） ∃ｘ（Ｆｘ） ２３５ＥＥ
１ （７） ∃ｘ（Ｆｘ） １２６ＥＥ
といふ「計算」は、「正しい」。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ∃ｘ（Ｆｘ）
② ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
｛ａ、ｂ、ｃ｝が「変域」であるならば、
① ∃ｘ（Ｆｘ）
② Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
① ∃ｘ（Ｆｘ）
といふ「命題」、すなはち、
① Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ
といふ「命題」、すなはち、
① ａはＦであるか、または、ｂはＦであるか、または、ｃはＦである。
といふ「命題」が「真」である。といふことは、
① Ｆａ
② Ｆｂ
③ Ｆｃ
④ Ｆａ＆Ｆｂ
⑤ Ｆａ＆Ｆｃ
⑥ Ｆｂ＆Ｆｃ
⑦ Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ
といふ「７通り」が、「真」である。
といふことに、他ならない
然るに、
（06）
「冪等律」により、
① Ｆａ
② Ｆｂ
③ Ｆｃ
は、それぞれ、
① Ｆａ＆Ｆａ
② Ｆｂ＆Ｆｂ
③ Ｆｃ＆Ｆｃ
に「等しい」。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
① ∃ｘ（Ｆｘ）
が「真」である。といふこと、すなはち、
① Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ
が「真」である。といふことは、
① Ｆａ＆Ｆａ
② Ｆｂ＆Ｆｂ
③ Ｆｃ＆Ｆｃ
④ Ｆａ＆Ｆｂ
⑤ Ｆａ＆Ｆｃ
⑥ Ｆｂ＆Ｆｃ
⑦ Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ
といふ「７通り」が、「真」である。
といふことに、他ならない
然るに、
（08）
② Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ
が「真」である。といふこと、すなはち、
②｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝
が「真」である。といふことも、
① Ｆａ＆Ｆａ
② Ｆｂ＆Ｆｂ
③ Ｆｃ＆Ｆｃ
④ Ｆａ＆Ｆｂ
⑤ Ｆａ＆Ｆｃ
⑥ Ｆｂ＆Ｆｃ
⑦ Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ
といふ「７通り」が、「真」である。
といふことを、「意味」してゐる。
然るに、
（09）
｛ａ、ｂ、ｃ｝が「変域」であるならば、
② ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
といふ「命題」は、
②｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝
といふ「命題」に、「等しい」。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
① ∃ｘ（Ｆｘ）
といふ「命題」が「真」である。といふことは、
① Ｆａ＆Ｆａ
② Ｆｂ＆Ｆｂ
③ Ｆｃ＆Ｆｃ
④ Ｆａ＆Ｆｂ
⑤ Ｆａ＆Ｆｃ
⑥ Ｆｂ＆Ｆｃ
⑦ Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ
といふ「７通り」が、「真」である。
といふことを、「意味」してゐて、
② ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
といふ「命題」が「真」である。といふことも、
① Ｆａ＆Ｆａ
② Ｆｂ＆Ｆｂ
③ Ｆｃ＆Ｆｃ
④ Ｆａ＆Ｆｂ
⑤ Ｆａ＆Ｆｃ
⑥ Ｆｂ＆Ｆｃ
⑦ Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ
といふ「７通り」が、「真」である。
といふことを、「意味」してゐる。
従って、
（10）により、
（11）
① ∃ｘ（Ｆｘ）
② ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）（02）（11）により、
（12）
（ａ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３） Ｆａ＆Ｆａ ２２＆Ｉ
２（４） ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ） ３ＥＩ
２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） １２５ＥＥ
（ｂ）
１ （１）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） Ａ
２ （２） ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ） Ａ
３（３） Ｆａ＆Ｆａ Ａ
３（４） Ｆａ ３冪等律
３（５） ∃ｘ（Ｆｘ） ４ＥＩ
２ （６） ∃ｘ（Ｆｘ） ２３５ＥＥ
１ （７） ∃ｘ（Ｆｘ） １２６ＥＥ
といふ「計算」が示してゐる通り、
＞異なった変数「ｘ」と「ｙ」を用いる場合に、そのことから、それに対応する相異なった対象（distinct objects）が存在するということは帰結しないのである。
（01）
「幾らかのフランス人は寛大である」を、正しく、
∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）と記号化するかわりに、むしろ、
∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）とするのは、よくある間違いである。しかし、
∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）は、
それがフランス人であるならば、寛大であるようなものが存在することを主張するのであって、
これは、かりにフランス人が存在しないとしても真であろう。しかるに、
「幾らかのフランス人は寛大である」は決してそうではない。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１２４頁）
然るに、
（02）
『定理』を用いて、次の連式を証明せよ（Using theorems, prove the following sequent）。
∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）┤├ ∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２ （２） Ｆａ→Ｇａ Ａ
２ （３） ～Ｆａ∨Ｇａ ２含意の定義
４ （４） ～Ｆａ Ａ
４ （５）∃ｘ（～Ｆｘ） ４ＥＩ
４ （６）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ５∨Ｉ
７（７） Ｇａ Ａ
７（８） ∃ｘ（Ｇｘ） ７ＥＩ
７（９）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ８∨I
２ （ア）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ２４６７９∨Ｅ
１ （イ）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） １２アＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （２）∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
３ （３） ～Ｆａ Ａ
３ （４） ～Ｆａ∨Ｇａ ３∨Ｉ
３ （５） Ｆａ→Ｇａ ４含意の定義
３ （６） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ６ＥＩ
２ （７） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ２３６ＥＥ
８ （８） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
９（９） Ｇａ Ａ
９（ア） ～Ｆａ∨Ｇａ ９∨Ｉ
９（イ） Ｆａ→Ｇａ ア含意の定義
９（ウ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） イＥＩ
８ （エ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ８９ＥＥ
１ （オ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） １２７８エ∨Ｅ
（03）
『定理』を用いずに、次の連式を証明せよ（Not using theorems, prove the following sequent）。
∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）┤├ ∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２ （２） Ｆａ→Ｇａ Ａ
３ （３） ～（～Ｆａ∨Ｇａ） Ａ
４ （４） ～Ｆａ Ａ
４ （５） ～Ｆａ∨Ｇａ ４∨Ｉ
３４ （６） ～（～Ｆａ∨Ｇａ）＆
（～Ｆａ∨Ｇａ） ３５＆Ｉ
３ （７） ～～Ｆａ ４６ＲＡＡ
３ （８） Ｆａ ７ＤＮ
２３ （９） Ｇａ ２８ＭＰＰ
２３ （ア） ～Ｆａ∨Ｇａ ９∨Ｉ
２３ （イ） ～（～Ｆａ∨Ｇａ）＆
（～Ｆａ∨Ｇａ） ２ア＆Ｉ
２ （ウ）～～（～Ｆａ∨Ｇａ） ３イＲＡＡ
２ （エ） ～Ｆａ∨Ｇａ ウＤＮ
オ （オ） ～Ｆａ Ａ
オ （カ）∃ｘ（～Ｆｘ） オＥＩ
オ （キ）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） カ∨Ｉ
ク（ク） Ｇａ Ａ
ク（ケ） ∃ｘ（Ｇｘ） クＥＩ
ク（コ）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ケ∨Ｉ
２ （サ）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ２オキクコ∨Ｅ
１ （シ）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） １２サＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （２）∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
３ （３） ～Ｆａ Ａ
３ （４） ～Ｆａ∨Ｇａ ３∨Ｉ
３ （５）∃ｘ（～Ｆａ∨Ｇａ） ４ＥＩ
２ （６）∃ｘ（～Ｆａ∨Ｇａ） ２３５ＥＥ
７ （７） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
８ （８） Ｇａ Ａ
８ （９） ～Ｆａ∨Ｇａ ６∨Ｉ
８ （ア） ∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ） ９ＥＩ
７ （イ） ∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ） ７８アＥＥ
１ （ウ） ∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ） １２６７イ∨Ｅ
エ （オ） ～Ｆａ∨Ｇａ Ａ
カ （カ） Ｆａ＆～Ｇａ Ａ
キ （キ） ～Ｆａ Ａ
カ （ク） Ｆａ カ＆Ｅ
カキ （ケ） ～Ｆａ＆Ｆａ キク
キ （コ） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） カケＲＡＡ
サ （サ） Ｇａ Ａ
カ （シ） ～Ｇａ カ＆Ｅ
カ サ （ス） Ｇａ＆～Ｇａ サシ＆Ｉ
サ （セ） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） カスＲＡＡ
エ （ソ） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） エキコサセ∨Ｅ
タ （タ） Ｆａ Ａ
チ（チ） ～Ｇａ Ａ
タチ（ツ） Ｆａ＆～Ｇａ タチ＆Ｉ
エ タチ（テ） ～（Ｆａ＆～Ｇａ）＆
（Ｆａ＆～Ｇａ） ソツ＆Ｉ
エ タ （ト） ～～Ｇａ チテＲＡＡ
エ タ （ナ） Ｇａ トＤＮ
エ （ニ） Ｆａ→Ｇａ タナＣＰ
エ （ヌ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ニＥＩ
１ （ネ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ウエヌＥＥ
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）（04）により、
（05）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、すなはち、
① ある人について（その人がフランス人であるならば、その人は寛大である）。
② ある人は（フランス人でない）か、または、ある人は（寛大である）。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）
② ある人は（フランス人でない）。
といふ「命題」が「真」であるならば、それだけで、
② ある人は（フランス人でない）か、または、ある人は（寛大である）。
といふ「命題」は「真」である。
従って、
（07）
② ある人が（ドイツ人であって）、その人が寛大である。
とすれば、
② ある人は（フランス人でない）か、または、ある人は（寛大である）。
といふ「命題」は「真」である。
然るに、
（08）
② ある人はドイツ人であって、その人は寛大である。
といふ「命題」は、
② フランス人が存在しないとしても真である。
従って、
（01）～（08）により、
（09）
E.J.レモン が言ふやうに、
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）⇔
② ∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
といふ「論理式」は、かりにフランス人が存在しない（even if there are no French）としても真である。
（01）
「幾らかのフランス人は寛大でない」を、正しく、
∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）と記号化するかわりに、むしろ、
∃ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）とするのは、「よくある間違い（common mistake）である。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１２４頁改）
然るに、
（02）
① すべてのフランス人は寛大である（All French are generous）。
② 幾らかのフランス人は寛大でない（Some French are not generous）。
に於いて、
①と② は「矛盾」する。
従って、
（02）により、
（03）
① すべてのフランス人は寛大である。
② 幾らかのフランス人が寛大でない。といことはない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）（03）により、
（04）
E.J.レモン の言ふ通りであるとすると、
① すべてのフランス人は寛大である（All French are generous）。
② ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）
③ ～∃ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）
に於いて、
①＝② であって、
①＝③ ではない。
然るに、
（05）
（ⅱ）
１（１）～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ） Ａ
１（２）∀ｘ～（Ｆｘ＆～Ｇｘ） １量化子の関係
１（３） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） ２ＵＥ
１（４） ～Ｆａ∨ Ｇａ ３ド・モルガンの法則
１（５） Ｆａ→ Ｇａ ４含意の定義
１（６） ∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ） ５ＵＩ
（ⅲ）
１（１）～∃ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ） Ａ
１（２）∀ｘ～（Ｆｘ→～Ｇｘ） １量化子の関係
１（３） ～（Ｆａ→～Ｇａ） １ＵＥ
１（４） ～（～Ｆａ∨～Ｇａ） ３含意の定義
１（５） Ｆａ＆ Ｇａ ４ド・モルガンの法則
１（６） ∀ｘ（Ｆｘ＆ Ｇｘ） ５ＵＩ
従って、
（04）（05）により、
（06）
E.J.レモン の言ふ通りであるとすると、
① すべてのフランス人は寛大である（All French are generous）。
② ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
③ ∀ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
に於いて、
①＝② であって、
①＝③ ではない。
従って、
（06）により、
（07）
E.J.レモン の言ふ通りであるとすると、
① すべてのフランス人は寛大である（All French are generous）。
② すべてのｘについて（ｘがフランス人であるならば、ｘは寛大である）。
③ すべてのｘについて（ｘはフランス人であって、尚且つ、寛大である）。
に於いて、
①＝② であるが、
①＝③ ではない。
従って、
（07）により、
（08）
E.J.レモン の言ふ通りであるとすると、
① すべてのフランス人は寛大である（All French are generous）。
②「フランス人」は、「寛大な人々」といふ「集合」の「部分集合」である。
③「すべての人」は、「寛大なフランス人」である。
に於いて、
①＝② であって、
①＝③ ではない。
然るに、
（09）
① すべてのフランス人は寛大である（All French are generous）。
といふ「命題」は、
②「フランス人」は、「寛大な人々」といふ「集合」の「部分集合」である。
といふ「意味」であって、
③「すべての人」は、「寛大なフランス人」である。
といふ「意味」ではない。
従って、
（01）～（09）により、
（10）
「幾らかのフランス人は寛大でない」を、正しく、
∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）と記号化するかわりに、むしろ、
∃ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）とするのは、よくある間違いである。
といふことは、「E.J.レモン の言ふ通り」である。
（01）
｛象、兎、馬｝に於いて、
（ⅰ）耳ではなく、顔でもなく、鼻であれば、『象の鼻が長い。』
（ⅱ）鼻ではなく、顔でもなく、耳であれば、『兎の耳が長い。』
（ⅲ）鼻ではなく、耳でもなく、顔であれば、『馬の顔が長い。』
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）鼻は象が長く、
（ⅱ）耳は兎が長く、
（ⅲ）顔は馬が長い。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）鼻は象が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻は、長くない。
といふ「論証（三段論法）」、すなはち、
（04）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｙ｛兎ｙ→～象ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｙ｛兎ｙ→∃ｘ（鼻ｘｙ＆～長ｘ）｝。
といふ「論証（三段論法）」、すなはち、
（05）
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｙが象でなくて、ｘが長いならば、ｘはｙの鼻ではない｝。然るに、
（ⅲ） すべてのｙについて｛ｙが兎であるならば、ｙは象ではなく、あるｘについて（ｘはｙの鼻であって、ｘは長くない）｝。従って、
（ⅲ） すべてのｙについて｛ｙが兎であるならば、あるｘは（ｙの鼻であって、長くない）｝。
といふ「論証（三段論法）」は、「妥当」である。
然るに、
（06）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆長ａ→～鼻ａｙ）｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ） Ａ
３ （４） ～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ ３＆Ｅ
５ （５）∀ｙ｛兎ｙ→～象ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝ Ａ
５ （６） 兎ｂ→～象ｂ＆∃ｘ（鼻ｘｂ） １ＵＥ
７ （７） 兎ｂ Ａ
５７ （８） ～象ｂ＆∃ｘ（鼻ｘｂ） ６７ＭＰＰ
５７ （９） ～象ｂ ８＆Ｅ
５７ （ア） ∃ｘ（鼻ｘｂ） ８＆Ｅ
イ（イ） 鼻ａｂ Ａ
イ（ウ） ～～鼻ａｂ イＤＮ
３ ７ （エ） ～（～象ｂ＆ 長ａ） ４ウＭＴＴ
３ ７ （オ） ～～象ｂ∨～長ａ エ、ド・モルガンの法則
３ ７ （カ） ～象ｂ→～長ａ オ含意の定義
３ ７ （キ） ～長ａ ９カＭＰＰ
３ ７イ（ク） 鼻ａｂ＆～長ａ イキ＆Ｉ
３ ７イ（ケ） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） クＥＩ
３５７ （コ） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） アイケＥＥ
１ ５７ （サ） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） ２３コＥＥ
１ ５ （シ） 兎ｂ→∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） ７サＣＰ
１ ５ （ス）∀ｙ｛兎ｙ→∃ｘ（鼻ｘｙ＆～長ｘ）｝ シＵＩ
従って、
（06）により、
（07）
果たして、
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｙ｛兎ｙ→～象ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｙ｛兎ｙ→∃ｘ（鼻ｘｙ＆～長ｘ）｝。
といふ「三段論法」、すなはち、
（ⅰ）鼻は象が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻は、長くない。
といふ「論証（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
① 鼻は象が長い。⇔
① 鼻は、象が長く、象以外は長くない。⇔
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝⇔
① 鼻に関して言へば、象のそれ（鼻）は長く、象以外（兎や馬）で、ある部分が長いのであれば、鼻以外（耳や顔）が長い。⇔
① すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｙが象でなくて、ｘが長いならば、ｘはｙの鼻ではない｝。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（08）により、
（09）
② 鼻は象が長い。といふわけではない。⇔
② 鼻は、象が長く、象以外は長くない。といふわけではない。⇔
② ～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（10）
（ⅱ）
１ （１）～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝ １量化子の関係
１ （３）∃ｘ∀ｙ～｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝ ２量化子の関係
４ （４） ∀ｙ～｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆長ａ→～鼻ａｙ）｝ Ａ
４ （５） ～｛（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ）｝ ４ＵＥ
４ （６） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）∨～（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ） ５ド・モルガンの法則
７ （７） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ） Ａ
７ （８） ～｛～（鼻ａｂ＆象ｂ）∨長ａ） ７含意の定義
７ （９） （鼻ａｂ＆象ｂ）＆～長ａ ８ド・モルガンの法則
７ （ア） 鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ａ ９結合法則
７ （イ） 象ｂ＆鼻ａｂ＆～長ａ ア交換法則
７ （ウ） （象ｂ＆鼻ａｂ＆～長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ｂ） イ∨Ｉ
エ（エ） ～（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ） Ａ
エ（オ） ～｛～（～象ｂ＆長ａ）∨～鼻ａｂ）｝ エ含意の定義
エ（カ） （～象ｂ＆長ｂ）＆ 鼻ａｂ オ、ド・モルガンの法則
エ（キ） ～象ｂ＆長ｂ＆鼻ａｂ カ結合法則
エ（ク） ～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ｂ キ交換法則
エ（ケ） （象ｂ＆鼻ａｂ＆～長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ｂ） ク∨Ｉ
４ （コ） （象ｂ＆鼻ａｂ＆～長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ｂ） ６７ウエケ∨Ｅ
４ （サ） ∀ｙ｛（象ｙ＆鼻ａｙ＆～長ａ）∨（～象ｙ＆鼻ａｙ＆長ｙ）｝ コＵＩ
４ （シ）∃ｘ∀ｙ｛（象ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｙ）｝ サＥＩ
１ （ス）∃ｘ∀ｙ｛（象ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｙ）｝ １４シＥＥ
（ⅲ）
１ （１）∃ｘ∀ｙ｛（象ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｙ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｙ｛（象ｙ＆鼻ａｙ＆～長ａ）∨（～象ｙ＆鼻ａｙ＆長ｙ）｝ Ａ
２ （３） （象ｂ＆鼻ａｂ＆～長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ｂ） ２ＵＥ
４ （４） （象ｂ＆鼻ａｂ＆～長ａ） Ａ
４ （５） 鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ａ ４交換法則
４ （６） （鼻ａｂ＆象ｂ）＆～長ａ ５結合法則
４ （７） ～｛～（鼻ａｂ＆象ｂ）∨長ａ） ６ド・モルガンの法則
４ （８） ～（鼻ａｂ＆象ｂ →長ａ） ７含意の定義
４ （９） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）∨～（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ） ８∨Ｉ
ア（ア） （～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ｂ） Ａ
ア（イ） ～象ｂ＆長ｂ＆鼻ａｂ ア交換法則
ア（ウ） （～象ｂ＆長ｂ）＆鼻ａｂ イ結合法則
ア（エ） ～｛～（～象ｂ＆長ａ）∨～鼻ａｂ）｝ ウ、ド・モルガンの法則
ア（オ） ～（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ） エ、含意の定義
ア（カ） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）∨～（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ） オ、∨Ｉ
２ （キ） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）∨～（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ） ３４９アカ∨Ｅ
２ （ク） ～｛（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ）｝ キ、ド・モルガンの法則
２ （ケ） ∀ｙ～｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆長ａ→～鼻ａｙ）｝ クＵＩ
２ （コ）∃ｘ∀ｙ～｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝ ケＥＩ
１ （サ）∃ｘ∀ｙ～｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝ １２コＥＥ
１ （シ）∃ｘ～∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝ サ量化子の関係
１ （ス）～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝ シ量化子の関係
従って、
（10）により、
（11）
② ～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
③ ∃ｘ∀ｙ｛（象ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｙ）｝
に於いて、すなはち、
② すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｙが象でなくて、ｘが長いならば、ｘはｙの鼻ではない｝といふわけではない。
③ あるｘとすべてのｙについて｛ｙは象であって、ｘはｙの鼻であって、ｘは長くない。か、または、ｙは象ではなく、ｘはｙの鼻であって、ｘは長い｝。
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（11）により、
（12）
② ～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
③ ∃ｘ∀ｙ｛（象ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｙ）｝
といふ「論理式」は、
② 鼻は象が長い。といふわけではない。
③ ある象の鼻は長くないか、または、ある象以外の（動物の）鼻が長い。
といふ「日本語」に、相当し、尚且つ、
②＝③ である。
従って、
（12）により、
（13）
② ～～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
③ ～∃ｘ∀ｙ｛（象ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｙ）｝
に於いても、
②＝③ である。
従って、
（13）により、
（14）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
③ ～∃ｘ∀ｙ｛（象ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｙ）｝
に於いても、
②＝③ である。
従って、
（08）～（14）により、
（15）
① 鼻は象が長い。
② ある象の鼻は長くないか、または、ある象以外の（動物の）鼻が長い。といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（16）
② ある象の鼻は長くないか、または、ある象以外の（動物の）鼻が長い。といふことはない。
といふことは、
② 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
といふことに、他ならない。
従って、
（15）（16）により、
（17）
① 鼻は象が長い。
② 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（01）により、
（18）
最初に、確認した通り、
｛象、兎、馬｝に於いて、
（ⅰ）耳ではなく、顔でもなく、鼻であれば、『象の鼻が長い。』
（ⅱ）鼻ではなく、顔でもなく、耳であれば、『兎の耳が長い。』
（ⅲ）鼻ではなく、耳でもなく、顔であれば、『馬の顔が長い。』
従って、
（08）（17）（18）により、
（19）
① 鼻は象が長い。⇔
① 鼻は、象が長く、象以外は長くない。⇔
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝⇔
① 鼻に関して言へば、象のそれ（鼻）は長く、象以外（兎や馬）で、ある部分が長いのであれば、鼻以外（耳や顔）が長い。⇔
① すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｙが象でなくて、ｘが長いならば、ｘはｙの鼻ではない｝。
といふ「等式」は、確かに、「正しい」。
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
１ （４） Ｐ １＆Ｅ
１ ３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆ Ｑ） １３ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
１ （８） Ｑ １＆Ｅ
１ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア） ～（Ｐ＆ Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２３６７ア∨Ｅ
１２ （ウ） （Ｐ＆ Ｑ）＆
～（Ｐ＆ Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～（～Ｐ∨～Ｑ） ２ウＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
１ ２ （４） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
７（７） ～Ｑ Ａ
７（８） ～Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
１ ７（９） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） １８＆Ｉ
１ （ア） ～～Ｑ ７９ＲＡＡ
１ （イ） Ｑ アＤＮ
１ （ウ） Ｐ＆ Ｑ ６イ＆Ｉ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ＆ Ｑ
② ～（～Ｐ∨～Ｑ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
（03）
（ⅲ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨ ～Ｑ∨～Ｒ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨（～Ｑ∨～Ｒ） ２結合法則
４ （４） ～Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １＆Ｅ
１ ４ （６） ～Ｐ＆Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １６ＲＡＡ
８ （８） （～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
９ （９） ～Ｑ Ａ
１ （ア） Ｑ １＆Ｅ
１ ９ （イ） ～Ｑ＆Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（ Ｐ＆ Ｑ ＆Ｒ） １９ＲＡＡ
エ（エ） ～Ｒ Ａ
１ （オ） Ｒ １＆Ｅ
１ エ（カ） ～Ｒ＆Ｒ エオ＆Ｉ
エ（キ）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １カＲＡＡ
８ （ク）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ８９ウエキ∨Ｅ
２ （ケ）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ２４７８ク∨Ｅ
１２ （コ） （ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）＆
～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １コ＆Ｉ
１ （サ）～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２コＲＡＡ
（ⅳ）
１ （１） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ３∨Ｉ
１ ２ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １４＆Ｉ
１ （６） ～～Ｐ ２５ＲＡＡ
１ （７） Ｐ ６ＤＮ
８ （８） ～Ｑ Ａ
８ （９） ～Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
８ （ア） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ８∨Ｉ
１ ８ （イ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １ア＆I
１ （ウ） ～～Ｑ ８ＲＡＡ
１ （エ） Ｑ ウＤＮ
オ（オ） ～Ｒ Ａ
オ（カ） ～Ｑ∨～Ｒ オ∨Ｉ
オ（キ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ カ∨Ｉ
１ オ（ク） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １オ＆Ｉ
１ （ケ） ～～Ｒ オケＲＡＡ
１ （コ） Ｒ ケＤＮ
１ （サ） Ｐ＆ Ｑ ７エ＆Ｉ
１ （シ） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ コサ＆Ｉ
従って、
（03）により、
（04）
③ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
（05）
（ⅴ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨ ～Ｑ∨ ～Ｒ∨～Ｓ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨ ～Ｑ∨（～Ｒ∨～Ｓ） ２結合法則
２ （４） ～Ｐ∨［～Ｑ∨（～Ｒ∨～Ｓ）］ ３結合法則
５ （５） ～Ｐ Ａ
１ （６） Ｐ １＆Ｅ
１ ５ （７） ～Ｐ＆Ｐ ５６＆Ｉ
５ （８） ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ） １７ＲＡＡ
９ （９） ［～Ｑ∨（～Ｒ∨～Ｓ）］ Ａ
ア （ア） ～Ｑ Ａ
１ （イ） Ｑ １＆Ｅ
１ ア （ウ） ～Ｑ＆Ｑ アイ＆Ｉ
ア （エ） ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ） １ウＲＡＡ
オ （オ） （～Ｒ∨～Ｓ） Ａ
カ （カ） ～Ｒ Ａ
１ （キ） Ｒ １＆Ｅ
１ カ （ク） ～Ｒ＆Ｒ カキ＆Ｉ
カ （ケ） ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ） １９ＲＡＡ
コ（コ） ～Ｓ Ａ
１ （サ） Ｓ １＆Ｅ
１ コ（シ） ～Ｓ＆Ｓ コサ＆Ｉ
コ（ス） ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ） １シＲＡＡ
オ （セ） ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ） オカケコス∨Ｅ
９ （ソ） ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ） ９アエオセ∨Ｅ
２ （タ） ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ） ４５８９ソ∨Ｅ
１２ （チ） （Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ）＆
～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ） １タ＆Ｉ
１ （ツ）～（～Ｐ∨ ～Ｑ∨ ～Ｒ∨～Ｓ） ２チＲＡＡ
（ⅵ）
１ （１） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ３∨Ｉ
２ （５） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ ４∨Ｉ
１ ２ （６） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ） １５＆Ｉ
１ （７） ～～Ｐ ２６ＲＡＡ
１ （８） Ｐ ７ＤＮ
９ （９） ～Ｑ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨～Ｑ ９∨Ｉ
９ （イ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ア∨Ｉ
９ （ウ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ イ∨Ｉ
１ ９ （エ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ） １ウ＆Ｉ
１ （オ） ～～Ｑ ９エＲＡＡ
１ （カ） Ｑ オＤＮ
キ （キ） ～Ｒ Ａ
キ （ク） ～Ｒ∨～Ｓ キ∨Ｉ
キ （ケ） ～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ ク∨Ｉ
キ （コ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ ケ∨Ｉ
１ キ （サ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ） １コ＆Ｉ
１ （シ） ～～Ｒ キサＲＡＡ
１ （ス） Ｒ シＤＮ
エ（セ） ～Ｓ Ａ
エ（ソ） ～Ｒ∨～Ｓ セ∨Ｉ
エ（タ） ～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ ソ∨Ｉ
エ（チ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ タ∨Ｉ
１ エ（ツ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ） １チ＆Ｉ
１ （テ） ～～Ｓ エツＲＡＡ
１ （ト） Ｓ テＤＮ
１ （ナ） Ｐ＆ Ｑ ８カ＆Ｉ
１ （ニ） Ｐ＆ Ｑ ＆Ｒ スナ＆Ｉ
１ （ヌ） Ｐ＆ Ｑ ＆Ｒ＆ Ｓ トニ＆Ｉ
従って、
（05）により、
（06）
⑤ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ
⑥ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）
に於いて、
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（02）（04）（06）により、
（07）
① Ｐ＆ Ｑ
② ～（～Ｐ∨～Ｑ）
③ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑤ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ
⑥ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（01）（03）（05）により、
（08）
このやうな「計算（propositional calculus）」は、「数を数へる」やうに、「無限に続ける」ことが、出来る。
従って、
（01）～（08）により、
（09）
「数学的帰納法」により、「ド・モルガンの法則」は、
「無限個の命題」に対して、成立する。
然るに、
（10）
（ⅰ）
１ （１） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ Ａ
２ （３） Ｐ∨（～Ｑ∨ Ｒ） ２結合法則
４ （４） Ｐ Ａ
１ （５） ～Ｐ １＆Ｅ
１ ４ （６） Ｐ＆～Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １６ＲＡＡ
８ （８） （～Ｑ∨ Ｒ） Ａ
９ （９） ～Ｑ Ａ
１ （ア） Ｑ １＆Ｅ
１ ９ （イ） ～Ｑ＆Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １イＲＡＡ
エ（エ） Ｒ Ａ
１ （オ） ～Ｒ １＆Ｅ
１ エ（カ） Ｒ＆～Ｒ エオ＆Ｉ
エ（キ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １カＲＡＡ
８ （ク）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） ８９ウエキ∨Ｅ
２ （ケ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） ２４７８ク∨Ｅ
１２ （コ） （～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）＆
～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １コ＆Ｉ
１ （サ）～（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ） ２コＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１） ～（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨ ～Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ ３∨Ｉ
１ ２ （５） ～（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ） ２４＆Ｉ
１ （６） ～Ｐ ２５ＲＡＡ
７ （７） ～Ｑ Ａ
７ （８） Ｐ∨ ～Ｑ ７∨Ｉ
７ （９） Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ ８∨Ｉ
１ ７ （ア） ～（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ） ２９＆I
１ （イ） ～～Ｑ ７アＲＡＡ
１ （ウ） Ｑ イＤＮ
エ（エ） Ｒ Ａ
エ（オ） ～Ｑ∨ Ｒ エ∨Ｉ
エ（カ） Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ オ∨Ｉ
１ エ（キ） ～（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ） ２カ＆Ｉ
１ （ク） ～Ｒ エキＲＡＡ
１ （ケ） ～Ｐ＆ Ｑ ６ウ＆Ｉ
１ （コ） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ クケ＆Ｉ
従って、
（10）により、
（11）
① ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
② ～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（11）により、
（12）
「否定命題」と「肯定命題」が「混在」してゐる場合であっても、
「ド・モルガンの法則」は、成立する。
然るに、
（11）により、
（13）
① ～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）
② ～～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（13）により、
（14）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① ～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）
② （ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（14）により、
（15）
② ～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）
① ～～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
②＝① である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（15）により、
（16）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
② ～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）
① （～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
②＝① である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（14）（16）により、
（17）
「番号」を付け直すと、
③ ～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）
④ （～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（14）（17）により、
（18）
① ～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）
② （ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）
③ ～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）
④ （～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝② は、「ド・モルガンの法則」であって、
③＝④ も、「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（08）（17）により、
（18）
例へば、
① ～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ＆ Ｓ）
② （ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ∨～Ｓ）
③ ～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ∨～Ｓ）
④ （～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ＆ Ｓ）
に於いて、
①＝② は、「ド・モルガンの法則」であって、
③＝④ も、「ド・モルガンの法則」である。
（01）
（ⅰ）
１ （１） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ Ａ
２ （３） Ｐ∨（～Ｑ∨ Ｒ） ２結合法則
４ （４） Ｐ Ａ
１ （５） ～Ｐ １＆Ｅ
１ ４ （６） Ｐ＆～Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １６ＲＡＡ
８ （８） （～Ｑ∨ Ｒ） Ａ
９ （９） ～Ｑ Ａ
１ （ア） Ｑ １＆Ｅ
１ ９ （イ） ～Ｑ＆Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １イＲＡＡ
エ（エ） Ｒ Ａ
１ （オ） ～Ｒ １＆Ｅ
１ エ（カ） Ｒ＆～Ｒ エオ＆Ｉ
エ（キ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １カＲＡＡ
８ （ク）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） ８９ウエキ∨Ｅ
２ （ケ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） ２４７８ク∨Ｅ
１２ （コ） （～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）＆
～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １コ＆Ｉ
１ （サ）～（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ） ２コＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１） ～（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨ ～Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ ３∨Ｉ
１ ２ （５） ～（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ） ２４＆Ｉ
１ （６） ～Ｐ ２５ＲＡＡ
７ （７） ～Ｑ Ａ
７ （８） Ｐ∨ ～Ｑ ７∨Ｉ
７ （９） Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ ８∨Ｉ
１ ７ （ア） ～（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ） ２９＆I
１ （イ） ～～Ｑ ７アＲＡＡ
１ （ウ） Ｑ イＤＮ
エ（エ） Ｒ Ａ
エ（オ） ～Ｑ∨ Ｒ エ∨Ｉ
エ（カ） Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ オ∨Ｉ
１ エ（キ） ～（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ） ２カ＆Ｉ
１ （ク） ～Ｒ エキＲＡＡ
１ （ケ） ～Ｐ＆ Ｑ ６ウ＆Ｉ
１ （コ） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ クケ＆Ｉ
従って、
（01）により、
（02）
① ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
② ～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
① ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
② ～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝～Ｆａ
Ｑ＝ Ｆｂ
Ｒ＝～Ｆｃ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① ～～Ｆａ＆ Ｆａ＆～～Ｆｃ
② ～（～Ｆａ∨～Ｆａ∨ ～Ｆｃ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① Ｆａ＆ Ｆａ＆ Ｆｃ
② ～（～Ｆａ∨～Ｆａ∨～Ｆｃ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
｛ａ、ｂ、ｃ｝を「変域（ドメイン）」とすると、
① ∀ｘ Ｆｘ≡ （ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）
② ～∃ｘ～Ｆｘ≡～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
に於いて、
①＝② である（左辺：量化子の関係）。
①＝② である（右辺：ド・モルガンの法則）。
従って、
（05）により、
（06）
③ ～∀ｘ Ｆｘ≡ ～（ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）
④ ～～∃ｘ～Ｆｘ≡～～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
に於いて、
③＝④ である（量化子の関係）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（06）により、
（07）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
③ ～∀ｘ Ｆｘ≡～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）
④ ∃ｘ～Ｆｘ≡（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
に於いて、
③＝④ である（量化子の関係）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
① ∀ｘ Ｆｘ≡ （ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）
② ～∃ｘ～Ｆｘ≡～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
③ ～∀ｘ Ｆｘ≡ ～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）
④ ∃ｘ～Ｆｘ≡ （～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
に於いて、
①＝② である（量化子の関係・ド・モルガンの法則）。
③＝④ である（量化子の関係・ド・モルガンの法則）。
従って、
（08）により、
（09）
「述語論理」に於ける「量化子の関係」といふのは、
「命題論理」に於ける「ド・モルガンの法則」に、他ならない。
然るに、
（10）
① ∀ｘ Ｆｘ≡すべてのｘは、Ｆである。
② ～∃ｘ～Ｆｘ≡Ｆでないｘは、存在しない。
③ ～∀ｘ Ｆｘ≡すべてのｘは、Ｆである。といふわけではない。
④ ∃ｘ～Ｆｘ≡Ｆでないｘが、存在する（あるｘは、Ｆでない）。
従って、
（10）により、
（11）
① すべてのｘは、Ｆである。
② Ｆでないｘは、存在しない。
③ すべてのｘは、Ｆである。といふわけではない。
④ Ｆでないｘが、存在する（あるｘは、Ｆでない）。
に於いて、
①＝② である（量化子の関係・ド・モルガンの法則）。
③＝④ である（量化子の関係・ド・モルガンの法則）。
（01）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に於いて、
② は、① の、「後半」の「否定」であって、
③ は、① の、「全体」の「否定」である。
然るに、
（02）
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２３ＭＰＰ
１３ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４＆Ｅ
１３ （６） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４＆Ｅ
１３ （７） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ６量化子の関係
８（８） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
８（９） ～（ 鼻ｂａ∨～長ｂ） ８含意の定義
８（ア） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ ９ド・モルガンの法則
８（イ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） アＥＩ
１３ （ウ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ７８ＥＥ
１３ （エ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ５ウ＆Ｉ
１ （オ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ３エＣＰ
１ （カ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） オＵＩ
（ⅳ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ２３ＭＰＰ
１３ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４＆Ｅ
１３ （６） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ４＆Ｅ
７（７） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
７（８） ～（ 鼻ｂａ∨～長ｂ） ７ド・モルガンの法則
７（９） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） ８含意の定義
７（ア） ∃ｚ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） ７ＥＩ
１３ （イ） ∃ｚ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） ６７アＥＥ
１３ （ウ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） イ量化子の関係
１３ （エ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ５ウ＆Ｉ
１ （オ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ３エＣＰ
１ （カ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ オＵＩ
（03）
（ⅲ）
１ （１）～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ １量化子の関係
３ （３） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ Ａ
３ （４） ～｛～象ａ∨∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ３含意の定義
３ （５） 象ａ＆～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ４ド・モルガンの法則
３ （６） 象ａ ５＆Ｅ
３ （７） ～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ５＆Ｅ
３ （８） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７ド・モルガンの法則
９ （９） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
９ （ア） ∀ｙ～（鼻ｙａ＆長ｙ） ９量化子の関係
９ （イ） ～（鼻ｂａ＆長ｂ） アＵＥ
９ （ウ） ～鼻ｂａ∨～長ｂ イ、ド・モルガンの法則
９ （エ） 鼻ｂａ→～長ｂ ウ含意の定義
９ （オ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） エＵＩ
９ （カ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） オ∨Ｉ
キ （キ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
キ （ク） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） キ量化子の関係
ケ（ケ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
ケ（コ） ～（ 鼻ｂａ∨～長ｂ） ケ含意の定義
ケ（サ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ コ、ド・モルガンの法則
ケ（シ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） サＥＩ
キ （ス） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） クケシＥＥ
キ （セ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ス∨Ｉ
３ （ソ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ８９カキセ∨Ｅ
３ （タ） 象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ６ソ＆Ｉ
３ （チ）∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ タＥＩ
１ （ツ）∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ ２３チＥＥ
（ⅴ）
１ （１）∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ Ａ
２ （２） 象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） Ａ
２ （３） 象ａ ２＆Ｅ
２ （４） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ２＆Ｅ
５ （５） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） Ａ
５ （６） 鼻ｂａ→～長ｂ ５ＵＥ
５ （７） ～鼻ｂａ∨～長ｂ ６含意の定義
５ （８） ～（鼻ｂａ＆長ｂ） ７ド・モルガンの法則
５ （９） ∀ｙ～（鼻ｂａ＆長ｂ） ８ＵＩ
５ （ア） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９量化子の関係
５ （イ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア∨I
ウ （ウ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） Ａ
エ（エ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
エ（オ） ～（ 鼻ｂａ∨～長ｂ） エ、ド・モルガンの法則
エ（カ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） オ含意の定義
エ（キ） ∃ｚ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） カＥＩ
ウ （ク） ∃ｚ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） ウエキＥＥ
ウ （ケ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ク量化子の関係
ウ （コ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ケ∨Ｉ
２ （サ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２５イウコ∨Ｅ
２ （シ） ～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ サ、ド・モルガンの法則
２ （ス） 象ａ＆～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ３シ＆Ｉ
２ （セ） ～｛～象ａ∨∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ス、ド・モルガンの法則
２ （ソ） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ セ含意の定義
２ （タ）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ソＥＩ
１ （チ）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ １２タＥＥ
１ （ツ）～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ チ含意の定義
従って、
（02）（03）により、
（04）
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
⑤ ∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
に於いて、
②＝④ であって、
④＝⑤ である。
（01）（04）により、
（05）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
⑤ ∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
に於いて、
②と④ は、① の、「後半」の「否定」であって、
③と⑤ は、① の、「全体」の「否定」である。
従って、
（05）により、
（06）
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば（あるｙはｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば（あるｙはｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）といふわけではない｝。
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば（あるｙはｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝といふわけではない。
④ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば（あるｙはｘの鼻であって、長く）、 あるｚについて（ｚはｘの鼻ではないが、ｚは長い）。｝
⑤ あるｘについて｛ｘは象であって、すべてのｙについて（ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない）か、あるｚについて（ｚはｘの鼻ではないが、ｚは長い）。｝
に於いて、
②と④ は、① の、「後半」の「否定」であって、
③と⑤ は、① の、「全体」の「否定」である。
従って、
（06）により、
（07）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば（あるｙはｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
であるとして、
④ 象は鼻は長く、鼻以外も長い。
⑤ ある象は、鼻は長くないか、または、鼻以外も長い。
に於いて、
④ は、① の、「後半」の「否定」であって、
⑤ は、① の、「全体」の「否定」である。