（01）
｛象、兎、キリン｝であるならば、
① 鼻は、象が長く、
② 耳は、兎が長く、
③ 首は、キリンが長い。
従って、
（01）により、
（02）
｛象、兎、キリン｝であるならば、
① すべてのｘとｙについて、ｙがｘの鼻であって、ｙが長いならば、ｘは象であり、
② すべてのｘとｙについて、ｙがｘの耳であって、ｙが長いならば、ｘは兎であり、
③ すべてのｘとｙについて、ｙがｘの首であって、ｙが長いならば、ｘはキリンである。
然るに、
（03）
（ａ）
１ （１） ∀ｘ∀ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ→象ｘ） Ａ
１ （２） ∀ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ→象ａ） １ＵＥ
１ （３） 鼻ｂａ＆長ｂ→象ａ ２ＵＥ
４ （４） ～象ａ Ａ
５ （５） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
１ ５ （６） 象ａ ３５ＭＰＰ
１４５ （７） ～象ａ＆象ａ ４６＆Ｉ
１４ （８） ～（鼻ｂａ＆長ｂ） ５７ＲＡＡ
１４ （９） ～鼻ｂａ∨～長ｂ ８ド・モルガンの法則
１４ （ア） ～長ｂ∨～鼻ｂａ ９交換法則
１４ （イ） 長ｂ→～鼻ｂａ ア含意の定義
１ （ウ） ～象ａ→（長ｂ→～鼻ｂａ） ４イＣＰ
エ（エ） ～象ａ＆ 長ｂ Ａ
エ（オ） ～象ａ エ＆Ｅ
１ エ（カ） 長ｂ→～鼻ｂａ ウオＣＰ
エ（キ） 長ｂ エ＆Ｅ
１ エ（ク） ～鼻ｂａ カキＭＰＰ
１ （ケ） ～象ａ＆長ｂ→～鼻ｂａ エクＣＰ
１ （コ） ∀ｙ（～象ａ＆長ｙ→～鼻ｙａ） ケＵＩ
１ （サ）∀ｘ∀ｙ（～象ｘ＆長ｙ→～鼻ｙｘ） コＵＩ
（ｂ）
１ （１）∀ｘ∀ｙ（～象ｘ＆長ｙ→～鼻ｙｘ） Ａ
１ （２） ∀ｙ（～象ａ＆長ｙ→～鼻ｙａ） １ＵＥ
１ （３） ～象ａ＆長ｂ→～鼻ｂａ ２ＵＥ
４ （４） 鼻ｂａ Ａ
５ （５） ～象ａ＆長ｂ Ａ
１ ５ （６） ～鼻ｂａ ３６ＭＰＰ
１４５ （７） 鼻ｂａ＆～鼻ｂａ ４６＆Ｉ
１４ （８） ～（～象ａ＆長ｂ） ５７ＲＡＡ
１４ （９） 象ａ∨～長ｂ ８ド・モルガンの法則
１４ （ア） ～長ｂ∨象ａ ９交換法則
１４ （イ） 長ｂ→象ａ ア含意の定義
１ （ウ） 鼻ｂａ→（長ｂ→象ａ） ４イＣＰ
エ（エ） 鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
エ（オ） 鼻ｂａ エ＆Ｅ
１ エ（カ） 長ｂ→象ａ ウオＣＰ
エ（キ） 長ｂ エ＆Ｅ
１ エ（ク） 象ａ カキＭＰＰ
１ （ケ） 鼻ｂａ＆長ｂ→ 象ａ エクＣＰ
１ （コ） ∀ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ→象ａ） ケＵＩ
１ （サ） ∀ｘ∀ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ→象ｘ） コＵＩ
（04）
（ｂ）
１ （１）∀ｘ∀ｙ（～象ｘ＆長ｙ→～鼻ｙｘ） Ａ
１ （２） ∀ｙ（～象ａ＆長ｙ→～鼻ｙａ） １ＵＥ
１ （３） ～象ａ＆長ｂ→～鼻ｂａ ２ＵＥ
４ （４） ～象ａ＆鼻ｂａ Ａ
５（５） 長ｂ Ａ
４ （６） ～象ａ ４＆Ｅ
４５（７） ～象ａ＆長ｂ ５６＆Ｉ
１４５（８） ～鼻ｂａ ３７ＭＰＰ
４ （９） 鼻ｂａ ４＆Ｅ
１４５（ア） 鼻ｂａ＆～鼻ｂａ ８９＆Ｉ
１４ （イ） ～長ｂ ５アＲＡＡ
１ （ウ） ～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ ４イＣＰ
１ （エ） ∀ｙ（～象ａ＆鼻ｙａ→～長ｙ） ウＵＩ
１ （オ）∀ｘ∀ｙ（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ） エＵＩ
（ｃ）
１ （１）∀ｘ∀ｙ（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ） Ａ
１ （２） ∀ｙ（～象ａ＆鼻ｙａ→～長ｙ） １ＵＥ
１ （３） ～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ ２ＵＥ
４ （４） ～象ａ＆長ｂ Ａ
５（５） 鼻ｂａ Ａ
４ （６） ～象ａ ４＆Ｅ
４５（７） ～象ａ＆鼻ｂａ ５６＆Ｉ
１４５（８） ～長ｂ ３７ＭＰＰ
４ （９） 長ｂ ４＆Ｅ
１４５（ア） 長ｂ＆～長ｂ ８９＆Ｉ
１４ （イ） ～鼻ｂａ ５アＲＡＡ
１ （ウ） ～象ａ＆長ｂ→～鼻ｂａ ４イＣＰ
１ （エ） ∀ｙ（～象ａ＆長ｙ→～鼻ｙａ） ウＵＩ
１ （オ）∀ｘ∀ｙ（～象ｘ＆長ｙ→～鼻ｙｘ） エＵＩ
従って、
（03）（04）により、
（05）
（ａ）∀ｘ∀ｙ（ 鼻ｙｘ＆長ｙ → 象ｘ ）
（ｂ）∀ｘ∀ｙ（～象ｘ ＆長ｙ →～鼻ｙｘ）
（ｃ）∀ｘ∀ｙ（～象ｘ ＆鼻ｙｘ→～長ｙ ）
に於いて、
（ａ）＝（ｂ）＝（ｃ） である。
従って、
（02）（05）により、
（06）
① すべてのｘとｙについて、ｙがｘの鼻であって、ｙが長いならば、 ｘは象である。
② すべてのｘとｙについて、ｙがｘの耳であって、ｙが長いならば、 ｘは兎である。
③ すべてのｘとｙについて、ｙがｘの首であって、ｙが長いならば、 ｘはキリンである。
④ すべてのｘとｙについて、 ｘが象ではなく、ｙが長いならば、 ｙはｘの鼻ではない。
⑤ すべてのｘとｙについて、 ｘが兎ではなく、ｙが長いならば、 ｙはｘの耳ではない。
⑥ すべてのｘとｙについて、ｘがキリンではなく、ｙが長いならば、 ｙはｘの首ではない。
⑦ すべてのｘとｙについて、 ｘが象ではなく、ｙがｘの鼻ならば、ｙは長くない。
⑧ すべてのｘとｙについて、 ｘが兎ではなく、ｙがｘの耳ならば、ｙは長くない。
⑨ すべてのｘとｙについて、ｘがキリンではなく、ｙがｘの首ならば、ｙは長くない。
に於いて、
①＝④＝⑦ であって、
②＝⑤＝⑧ であって、
③＝⑥＝⑨ である。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
｛象、兎、キリン｝であるとして、
① 鼻は、象が長い。
② 耳は、兎が長い。
③ 首は、キリンが長い。
④ 象以外（兎かキリン）で、長いとすれば、鼻ではない。
⑤ 兎以外（象かキリン）で、長いとすれば、耳ではない。
⑥ キリン以外（象か兎）で、長いとすれば、首ではない。
⑦ 象以外（兎かキリン）の鼻は長くない。
⑧ 兎以外（象かキリン）の耳は長くない。
⑨ キリン以外（象か兎）の首は長くない。
に於いて、
①＝④＝⑦
②＝⑤＝⑧
③＝⑥＝⑨
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（07）により、
（08）
④ 象以外（兎かキリン）で、長いとすれば、鼻ではない。
といふのであれば、
⑦ 象以外（兎かキリン）の鼻は長くない。
いといふことになり、
⑦ 象以外（兎かキリン）の鼻は長くない。
といふのであれば、
① 鼻は、象が長い。
といふ、ことになる。
然るに、
（09）
｛象、兎、キリン｝
に於いて、
① 鼻は、象が長い。
といふことは、
① 象の鼻が長い。
といふことである。
然るに、
（10）
｛象、象、キリン｝
に於いて、
① 象の鼻が長い。
といふことは、
① 象の鼻は長く、象の鼻以外は長くない。
といふ、ことである。
従って、
（10）により、
（11）
① 象の鼻が長い。
といふ「日本語」がさうであるやうに、
① ＡがＢである。
といふ「日本語」は、
② ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。
といふ「意味」である。
然るに、
（12）
「対偶（Contraposition）」により、
② ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。
③ ＡはＢであり、ＢはＡである。
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（11）（12）により、
（13）
① ＡがＢである。
② ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。
③ ＡはＢであり、ＢはＡである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（13）により、
（14）
③ 理事長は私です。
といふのであれば、必然的に、
① 私が理事長です。
といふ、ことになる。
然るに、
（15）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
① 私がタゴール記念会の理事長です。
② 私はタゴール記念会の理事長であり、私以外は記念会の理事長ではない。
③ 私はタゴール記念会の理事長であり、タゴール記念会の理事長は私です。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（15）（16）により、
（17）
④ タゴール記念会は、私が理事です。
といふ「日本語」は、
④ ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝。
④ すべてのｘについて、ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは私であって、ｙはｘの理事長であって、すべてのｚについて、ｚがｘの理事長であるならば、ｙはｚと「同一」である。
といふ「述語論理（Predicate logic）」に、対応する。
（01）
｛変域（ドメイン）｝を｛人間｝とすると、
① ある人はすべての人を愛してゐる。
② すべての人はある人を愛してゐる。
といふ「命題」は、
① ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
といふ風に、書くことが出来る。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１）∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ） Ａ
２（２） ∀ｙ（愛ａｙ） Ａ
２（３） 愛ａｂ ２ＵＥ
２（４） ∃ｙ（愛ａｙ） ３ＥＩ
２（５）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） ４ＵＩ
１ （６）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） １２５ＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） Ａ
１ （２） ∃ｙ（愛ａｙ） １ＵＥ
３（３） 愛ａｂ Ａ
３（４） ∀ｙ（愛ａｙ） ３ＵＩ
３（５）∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ） １３５ＥＥ
然るに、
（02）により、
（03）
（ⅰ）は「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」に「違反」してゐるし、
（ⅱ）も「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」に「違反」してゐる。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① ある人はすべての人を愛してゐる。
② すべての人はある人を愛してゐる。
に於いて、
① ならば、② であるとは、限らないし、
② ならば、① であるとは、限らない。
（05）
｛変域（ドメイン）｝を｛人間｝とすると、
① ある人はすべての人を愛してゐる。
③ すべての人はある人に愛されてゐる。
といふ「命題」は、
① ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
③ ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
といふ風に、書くことが出来る。
ｃｆ.
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）と
③ ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）の「違ひ」に注意せよ。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１ （１）∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ） Ａ
２（２） ∀ｙ（愛ａｙ） Ａ
２（３） 愛ａｂ ２ＵＥ
２（４） ∃ｘ（愛ｘｂ） ３ＥＩ
２（５）∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ） ４ＵＩ
１ （６）∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ） １２５ＥＥ
（ⅲ）
１ （１）∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ） Ａ
１ （２） ∃ｘ（愛ｘｂ） １ＵＥ
３（３） 愛ａｂ Ａ
３（４） ∀ｙ（愛ａｙ） ３ＵＩ
３（５）∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ） ２３５ＥＥ
然るに、
（06）により、
（07）
（ⅰ）は「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」に「違反」してゐないが、
（ⅲ）は「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」に「違反」してゐる。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
① ある人はすべての人を愛してゐる。
③ すべての人はある人に愛されてゐる。
に於いて、
① ならば、③ であるが、その一方で、
③ ならば、① であるとは、限らない。
然るに、
（09）
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） Ａ
１ （２） ∃ｙ（愛ａｙ） １ＵＥ
３（３） 愛ａｂ Ａ
３（４） ∃ｘ（愛ｘｂ） ３ＥＩ
３（５）∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ） ４ＵＩ
１ （６）∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ） ２３５ＥＥ
（ⅲ）
１ （１）∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ） Ａ
１ （２） ∃ｘ（愛ｘｂ） １ＵＥ
３（３） 愛ａｂ Ａ
３（４） ∃ｙ（愛ａｙ） ３ＥＩ
３（５）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） ４ＵＩ
１ （６）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） ２３５ＥＥ
然るに、
（09）により、
（10）
（ⅱ）は「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」に「違反」してゐるし、
（ⅲ）も「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」に「違反」してゐる。
従って、
（01）（05）（09）（10）により、
（11）
② すべての人はある人を愛してゐる。
③ すべての人はある人に愛されてゐる。
に於いて、
② ならば、③ であるとは、限らないし、
③ ならば、② であるとは、限らない。
従って、
（04）（08）（11）により、
（12）
① ある人はすべての人を愛してゐる。
② すべての人はある人を愛してゐる。
③ すべての人はある人に愛されてゐる。
に於いて、いづれにせよ、
① ならば、③ であるが、
③ ならば、① であるとは、限らない。
といふ、ことになる。
然るに、
（13）
｛変域（ドメイン）｝を｛人間｝として、
｛人間｝＝｛ａさん、ｂさん、ｃさん｝
であるとする。
（14）
（α）ａはａ（ａ自身）を愛してゐて、
（β）ａはｂを愛してゐて、
（γ）ａはｃを愛してゐる。
ならば、
（δ）ａは｛ａさん、ｂさん、ｃさん｝を、すなはち、｛すべての人｝を愛してゐる。
然るに、
（15）
（δ）ａは｛ａさん、ｂさん、ｃさん｝を、すなはち、｛すべての人｝を愛してゐる。のであれば、
（ε）ある人（ａ）は｛すべての人｝を愛してゐて、尚且つ、
（〃）｛すべての人｝は、ある人（ａ）に愛されてゐる。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
① ある人はすべての人を愛してゐる。
③ すべての人はある人に愛されてゐる。
に於いて、
① ならば、③ である。
といふことは、「真（本当）」である。
然るに、
（17）
（α）ａはｂを愛してゐて、
（β）ｂはｃを愛してゐて、
（γ）ｃはａを愛してゐる。
のであれば、
（δ）｛ｂさん、ｃさん、ａさん｝＝｛すべての人｝は｛ある人｝によって、愛されてゐる。
然るに、
（18）
（α）ａはｂを愛してゐて、
（β）ｂはｃを愛してゐて、
（γ）ｃはａを愛してゐる。
としても、例へば、
（ε）ある人（ａ）は｛すべての人｝を愛してゐて、尚且つ、
（〃）｛すべての人｝は、ある人（ａ）に愛されてゐる。
といふことには、ならない。
従って、
（16）（17）（18）により、
（19）
① ある人はすべての人を愛してゐる。
③ すべての人はある人に愛されてゐる。
に於いて、
③ ならば、① である。とは限らない。
といふことは、「真（本当）」である。
従って、
（16）（19）により、
（20）
③ すべての人はある人に愛されてゐる。
に於いて、
① ならば、③ であるが、
③ ならば、① である。とは限らない。
といふことは、「真（本当）」である。
従って、
（12）（20）により、
（21）
① ある人はすべての人を愛してゐる。
② すべての人はある人を愛してゐる。
③ すべての人はある人に愛されてゐる。
に於いて、少なくとも、
① ならば、③ であるが、
③ ならば、① であるとは、限らない。
といふことは、「真（本当）」である。
（01）
Ａさん曰く「ある人はすべての人を愛してゐる。」
Ｂさん曰く「すべての人はある人を愛してゐる。」
Ｃさん曰く「ＡさんとＢさんは矛盾してゐる。」
（02）
この場合、
Ｃさん曰く「ＡさんとＢさんは矛盾してゐる。」
といふ「発言」は「正しい」のだろうか。
（03）
｛変域（ドメイン）｝を｛人間｝とすると、
① ある人はすべての人を愛してゐる。
② すべての人はある人を愛してゐる。
といふ「命題」は、
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｙｘ）
② ∀ｙ∃ｘ（愛ｙｘ）
といふ風に、書くことが出来る。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１）∃ｙ∀ｘ（愛ｙｘ） Ａ
２（２） ∀ｘ（愛ｂｘ） Ａ
２（３） 愛ｂａ ３ＵＥ
２（４） ∃ｘ（愛ｂｘ） ３ＥＩ
２（５）∀ｙ∃ｘ（愛ｙｘ） ４ＵＩ
１ （６）∀ｙ∃ｘ（愛ｙｘ） １２５ＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∀ｙ∃ｘ（愛ｙｘ） Ａ
１ （２） ∃ｘ（愛ｂｘ） １ＵＥ
３（３） 愛ｂａ Ａ
３（４） ∀ｘ（愛ｂｘ） ３ＵＩ
３（５）∃ｙ∀ｘ（愛ｙｘ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｙ∀ｘ（愛ｙｘ） １３５ＥＥ
然るに、
（05）
（04）により、
（ⅰ）は「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」に「違反」してゐて、
（ⅱ）も「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」に「違反」してゐる。
従って、
（03）（04）により、
（05）
「述語計算（Predicate calculation）」の「結果」からすると、
① ある人はすべての人を愛してゐる。
② すべての人はある人を愛してゐる。
に於いて、
① が「真（本当）」であるからと言って、② が「真（本当）」であるとは限らないし、
② が「真（本当）」であるからと言って、① が「真（本当）」であるとは限らない。
といふ、ことになる。
然るに、
（06）
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｙｘ）の「否定」。
② ∀ｙ∃ｘ（愛ｙｘ）の「否定」。
は、「量化子の関係」により、それぞれ、
③ ～∃ｙ∀ｘ（愛ｙｘ）≡∀ｙ～∀ｘ（愛ｙｘ）≡∀ｙ∃ｘ～（愛ｙｘ）≡すべての人はある人を愛してゐない（誰からも愛されない人がゐる）。
④ ～∀ｙ∃ｘ（愛ｙｘ）≡∃ｙ～∃ｘ（愛ｙｘ）≡∃ｙ∀ｘ～（愛ｙｘ）≡ある人はすべての人を愛してゐない（誰をも、愛さない人がゐる）。
である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
①「ある人がすべての人を愛してゐる」からと言って「すべての人はある人を愛してゐる」とは限らない。
②「すべての人がある人を愛してゐる」からと言って「ある人がすべての人を愛してゐる」とは限らない。
といふことは、「矛盾」ではなく、
①「ある人がすべての人を愛してゐる」ならば「すべての人はある人を愛してゐない」。
②「すべての人がある人を愛してゐる」ならば「ある人はすべての人を愛してゐない」。
といふことが、「矛盾」である。
然るに、
（08）
①「すべての人はある人を愛してゐる」とは限らないのであれば、「すべての人はある人を愛してゐない」のかも知れないし、
②「ある人がすべての人を愛してゐる」とは限らないのであれば、「ある人はすべての人を愛してゐない」のかも知れない。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
この場合、
Ｃさん曰く「ＡさんとＢさんは矛盾してゐる。」
といふ「発言」は「正しく」はない。
（01）
① ∃ｘＦｘ
② ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝
といふ「論理式」は、
① 少なくとも、１つ以上のｘがＦである。
② 少なくとも、２つ以上のｘがＦである。
といふ「意味」である。
従って、
（01）により、
（02）
① ∃ｘＦｘ
② ～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝
といふ「論理式」は、
① 少なくとも、１つ以上のｘがＦである。
② 少なくとも、２つ以上のｘがＦである。といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（03）
② 少なくとも、２つ以上のｘがＦである。といふことはない。
といふことは、
② ２つ未満のｘがＦである。
といふことである。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ∃ｘＦｘ
② ～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝
といふ「論理式」は、
① 少なくとも、１つ以上のｘがＦである。
② ２つ未満のｘがＦである。
といふ「意味」である。
然るに、
（05）
（ⅱ）
１（１）～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝ Ａ
１（２）∀ｘ～∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝ １量化子の関係
１（３）∀ｘ∀ｙ～｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝ ２量化子の関係
１（４） ∀ｙ～｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆ａ≠ｙ｝ ３ＵＥ
１（５） ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）＆ａ≠ｂ｝ ４ＵＥ
１（６） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ ５ド・モルガンの法則
１（７） （Ｆａ＆Ｆｂ）→ａ＝ｂ ６含意の定義
１（８） ∀ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）→ａ＝ｙ｝ ７ＵＩ
１（９） ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝ ８ＵＩ
（ⅲ）
１（１） ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝ Ａ
１（２） ∀ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）→ａ＝ｙ｝ １ＵＥ
１（３） Ｆａ＆Ｆｂ →ａ＝ｂ ２ＵＥ
１（４） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ ３含意の定義
１（５） ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）＆ａ≠ｂ｝ ４ド・モルガンの法則
１（６） ∀ｙ～｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆ａ≠ｙ｝ ５ＵＩ
１（７） ～∃ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆ａ≠ｙ｝ ６量化子の関係
１（８）∀ｘ～∃ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝ ７ＵＩ
１（９）～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝ ８量化子の関係
従って、
（05）により、
（06）
② ～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝
③ ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
① ∃ｘＦｘ
② ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝
といふ「論理式」は、
① 少なくとも、１つ以上のｘがＦである。
② ２つ未満のｘがＦである。
といふ「意味」である。
然るに、
（08）
① 少なくとも、１つ以上のｘがＦであって、
② 尚且つ、２つ未満（１個か０個）のｘがＦである。
といふことは、
③ 正確に、１つ（１個以上、１個以下）のモノがＦである。
といふことである。
従って、
（07）（08）により、
（09）
①＆② ⇔
③ ∃ｘＦｘ＆ ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝⇔
③ あるｘはＦであって、すべてのｘとｙについて、ｘがＦであり、ｙもＦであるならば、ｘとｙは「同一」である。
といふことは、
③ 正確に、１つのモノがＦである。
といふことである。
然るに、
（10）
（ⅲ）
１ （１）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２）∃ｘＦｘ １＆Ｅ
３ （３） Ｆａ Ａ
１ （４） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １＆Ｅ
１ （５） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ４ＵＥ
１ （６） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５ＵＥ
７（７） Ｆｂ Ａ
３７（８） Ｆａ＆Ｆｂ ３７＆Ｉ
１３７（９） ａ＝ｂ ６８ＭＰＰ
１３ （ア） Ｆｂ→ａ＝ｂ ７９ＣＰ
１３ （イ） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） アＵＩ
１３ （ウ） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３イ＆Ｉ
１３ （エ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ウＵＩ
１ （オ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ １３エＥＥ
（ⅳ）
１ （１） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２ （２） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２ （３） Ｆａ ２＆Ｅ
２ （４） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２ （５） Ｆｂ→ａ＝ｂ ４ＵＥ
６（６） Ｆｂ＆Ｆｂ Ａ
６（７） Ｆｂ ６＆Ｅ
２６（８） ａ＝ｂ ５７ＭＰＰ
２６（９） ａ＝ｂ＆ａ＝ｂ ８８＆Ｉ
２６（ア） ａ＝ｂ ９＆Ｅ
２６（イ） ｂ＝ｂ ８ア＝Ｅ
２ （ウ） Ｆｂ＆Ｆｂ→ｂ＝ｂ ５イＣＰ
２ （エ） ∀ｙ（Ｆｂ＆Ｆｙ→ｂ＝ｙ） ウＵＩ
２ （オ） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） エＵＩ
２ （キ） ∃ｘＦｘ ３ＥＩ
２ （ク）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） オキ＆Ｉ
１ （ケ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １２クＥＥ
従って、
（10）により、
（11）
③ ∃ｘＦｘ＆ ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝
④ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ →ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
③ ∃ｘＦｘ＆ ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝
④ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ →ｘ＝ｙ）｝
といふことは、すなはち、
③ あるｘはＦであって、すべてのｘとｙについて、ｘがＦであり、ｙもＦであるならば、ｘとｙは「同一」である。
④ あるｘはＦであり、 すべてのｘについて、 ｘがＦであるならば、 ｘとｙは「同一」である。
といふことは、両方とも、
③ 正確に、１つのモノがＦである。
④ 正確に、１つのモノがＦである。
といふ、「意味」である。
然るに、
（13）
④ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝⇔
④ あるｘはＦであり、すべてのｘについて、ｘがＦであるならば、ｘとｙは「同一」である。
といふことは、
④ あるｘはＦであるが、２つ目のＦは、仮に有るとして、ｘ以外には無い。
といふ、ことである。
然るに、
（14）
④ あるｘはＦであるが、２つ目のＦは、仮に有るとして、ｘ以外には無い。
といふことは、
④ 正確に、１つのモノがＦである（Exactly one thing is Ｆ）。
といふ、ことである。
従って、
（13）（14）により、
（15）
⑤ 正確に、２つのｘがＦである（Exactly two things are Ｆs）。
と言ひたいのであれば、
⑤ あるｘとｙはＦであるが、３つ目のＦは、仮に有るとして、ｘとｙ以外には無い。
といふ風に、言へばよい。
然るに、
（16）
⑤ ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ＆∀ｚ（Ｆｚ→ｚ＝ｘ∨ｚ＝ｙ）｝⇔
⑤ あるｘはＦであり、あるｙもＦであり、ｘとｙは「同一」ではなく、すべてのｘについて、ｚがＦであるならば、ｚは、ｘとｙの、どちらか一方と「同一」である。
といふことは、
⑤ あるｘとｙはＦであるが、３つ目のＦは、仮に有るとして、ｘとｙ以外には無い。
といふ、ことである。
従って、
（15）（16）により、
（17）
⑤ ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ＆∀ｚ（Ｆｚ→ｚ＝ｘ∨ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」は、
⑤ 正確に、２つのｘがＦである（Exactly two things are Ｆs）。
といふ「意味」である。
従って、
（12）（17）により、
（18）
④ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
⑤ ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ＆∀ｚ（Ｆｚ→ｚ＝ｘ∨ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」は、
④ 正確に、１つのモノがＦである。
⑤ 正確に、２つのモノがＦである。
といふ「意味」である。
従って、
（18）により、
（19）
④ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
⑤ ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ＆∀ｚ（Ｆｚ→ｚ＝ｘ∨ｘ＝ｙ）｝
⑥ ∃ｘ∃ｙ∃ｚ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ＆（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）＆∀ｗ（Ｆｗ→ｗ＝ｘ∨ｗ＝ｙ∨ｗ＝ｚ）｝
といふ「論理式」は、
④ 正確に、１つのモノがＦである。
⑤ 正確に、２つのモノがＦである。
⑥ 正確に、３つのモノがＦである。
といふ「意味」である。
（01）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
然るに、
（02）
タゴール記念会は、私が理事です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
といふ「情緒的な言ひ方」をしても、『三上章、日本語の論理、1963年』に於いて、
タゴール記念会は、私が理事です。
といふ「日本語」の「論理的な構造」を説明したことには、ならない。
然るに、
（03）
（１）タゴール記念会は私が理事長です。 然るに、
（イ）倉田氏は私ではない。 従って、
（タ）タゴール記念会は、倉田氏は理事長ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（03）により、
（04）
（１）すべてのｘについて、ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは私であって、ｙはｘの理事長であって、すべてのｚについて、ｚがｘの理事長であるならば、ｙはｚと「同一」である。 然るに、
（イ）あるｚは倉田であって、ｚは私ではない。 従って、
（タ）すべてのｘについて、ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｚは倉田であって、ｚはｘの理事長ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（04）により、
（05）
１ （１）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝ Ａ
イ （イ）∃ｚ（倉田ｚ＆～私ｚ） Ａ
１ イ （タ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（倉田ｚ＆～理事長ｚｘ）｝ ソＵＩ
といふ「推論」、すなはち、
１ （１）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝ Ａ
１ （２） Ｔ会の会員ａ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） Ｔ会の会員ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］ ２３ＭＰＰ
５ （５） 私ｂ＆理事長ｂａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ） Ａ
５ （６） 私ｂ＆理事長ｂａ ５＆Ｅ
５ （７） 私ｂ ５＆Ｅ
５ （８） 理事長ｂａ ５＆Ｅ
５ （９） ∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ） ５＆Ｅ
５ （ア） 理事長ｃａ→ｂ＝ｃ ９ＵＥ
イ （イ） ∃ｚ（倉田ｚ＆～私ｚ） Ａ
ウ （ウ） 倉田ｃ＆～私ｃ Ａ
ウ （エ） 倉田ｃ ウ＆Ｅ
ウ （オ） ～私ｃ ウ＆Ｅ
カ（カ） ｂ＝ｃ Ａ
ウカ（キ） ～私ｂ オカ＝Ｅ
５ ウカ（ク） ～私ｂ＆私ｂ ７キ＆Ｉ
５ ウ （ケ） ｂ≠ｃ カクＲＡＡ
５ ウ （コ） ～理事長ｃａ アケＭＴＴ
５ ウ （サ） 倉田ｃ＆～理事長ｃａ エコ＆Ｉ
５ ウ （シ） ∃ｚ（倉田ｚ＆～理事長ｚａ） サＥＩ
５イ （ス） ∃ｚ（倉田ｚ＆～理事長ｚａ） イウシＥＥ
１３ イ （セ） ∃ｚ（倉田ｚ＆～理事長ｚａ） ４５スＥＥ
１ イ （ソ） Ｔ会の会員ａ→∃ｚ（倉田ｚ＆～理事長ｚａ） ３セＣＰ
１ イ （タ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（倉田ｚ＆～理事長ｚｘ）｝ ソＵＩ
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
（ａ）タゴール記念会は私が理事長です。 然るに、
（ｂ）倉田氏は私ではない。 従って、
（ｃ）タゴール記念会は、倉田氏は理事長ではない。
といふ「推論」は、「妥当」であり、それ故、
（α）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝。然るに、
（β）∃ｚ（倉田ｚ＆～私ｚ）。従って、
（γ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（倉田ｚ＆～理事長ｚｘ）｝。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（07）
（α）すべてのｚについて、ｚがｘ（タゴール記念会）の理事長であるならば、ｙ（私）はｚと「同一」である。
といふことは、
（ａ）（タゴール記念会の）理事長は、私以外にはゐない。
といふことである。
然るに、
（08）
（ａ）（タゴール記念会の）理事長は、私以外にはゐない。
といふことは、
（ａ）（タゴール記念会の）理事長は、私である。
といふ、ことである。
従って、
（01）～（08）により、
（09）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
といふことは、
（ａ）タゴール記念会は、私が理事です。
（α）タゴール記念会は、私は理事長であり、私以外は理事長ではない。
に於いて、
（ａ）＝（α） である。
といふことに、他ならない。
従って、
（09）により、
（10）
（ａ）私が理事長です。
といふ「日本語」、すなはち、
（ａ）ＡがＢである。
といふ「日本語」は、
（ａ）ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない（ＡはＢであり、ＢはＡである）。
といふ、「意味」になる。
然るに、
（11）
伝統的論理学を清水滉『論理学』（1916年）で代表させよう。わたしのもっているのが四十三年の第十九冊の一冊で、なお引き続き刊行だろうから、前後かなり多くの読者をもつ論理学書と考えられる。新興の記号論理学は、沢田允茂『現代論理学入門』（1962年）を参照することにする（三上章、日本語の論理、1963年、４頁）。
然るに、
（12）
少なくとも、『三上章、日本語の論理、1963年』等、並びに『竹林一志、主語・題目語をめぐる三上章の論：総合文化研究第18巻第１号（2012.8）』を読む限り、三上章先生は、
（ａ）ＡがＢである。
といふ「日本語」は、
（ａ）ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない（ＡはＢであり、ＢはＡである）。
といふ、「意味」である。
といふことに、気付いてゐないし、仮に気付いてゐたとしも、そのことを「無視」してゐたと、言はざるを得ない。
（01）
①｛象、象、机、パソコン｝
②｛象、象、兎、パソコン｝
に於いて、
① ⇒「象は動物である。」は「正しい」。
② ⇒「象は動物である。」は「正しい」。
然るに、
（02）
①｛象、象、机、パソコン｝
②｛象、象、兎、パソコン｝
に於いて、
① ⇒「象が動物である。」は「正しい」。
② ⇒「象が動物である。」は「正しくない」。
然るに、
（03）
①｛象、象、机、パソコン｝
②｛象、象、兎、パソコン｝
に於いて、
① 象以外（机、パソコン）は動物ではない。
② 象以外（兎）も動物である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① 象以外は動物でない。
ならば、そのときに限って、
① 象が動物である。
といふ「命題」は、「真（本当）」である。
然るに、
（05）
① 象が動物である。
ならば、
① 象は動物である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① 象が動物である。⇔
① 象は動物であり、象以外は動物ではない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（07）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ）⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① 象が動物である。⇔
① 象は動物であり、象以外は動物ではない。⇔
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ）⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（09）
① （ Ａ＆ Ｂ）
といふ「連言」は、
② ～（ Ａ＆ Ｂ）≡～Ａ∨～Ｂ：ド・モルガンの法則
③ （ Ａ＆～Ｂ）≡ Ａ＆～Ｂ
④ （～Ａ＆ Ｂ）≡～Ａ＆ Ｂ
⑤ （～Ａ＆～Ｂ）≡～Ａ＆～Ｂ
といふ「４通り：②～⑤」と、「矛盾」する。
従って、
（09）により、
（10）
① ∀ｘ（ 象ｘ→動物ｘ ＆ ～象ｘ→～動物ｘ）
といふ「連言命題」は、
② ～∀ｘ｛ 象ｘ→動物ｘ ＆ ～象ｘ→～動物ｘ｝
③ ∀ｘ｛ 象ｘ→動物ｘ ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
④ ∀ｘ｛～（象ｘ→動物ｘ）＆ ～象ｘ→～動物ｘ｝
⑤ ∀ｘ｛～（象ｘ→動物ｘ）＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
といふ「４通りの命題：②～⑤」と、「矛盾」する。
然るに、
（11）
（ⅱ）
１ （１）～∀ｘ（象ｘ→動物ｘ ＆ ～象ｘ→～動物ｘ） Ａ
１ （２）∃ｘ～（象ｘ→動物ｘ ＆ ～象ｘ→～動物ｘ） １量化子の関係
３ （３） ～（象ａ→動物ａ ＆ ～象ａ→～動物ａ） Ａ
３ （４） ～（象ａ→動物ａ）∨～（～象ａ→～動物ａ） ３ド・モルガンの法則
３ （５） （象ａ→動物ａ）→～（～象ａ→～動物ａ） ４含意の定義
６ （６） （象ａ→動物ａ） Ａ
３６ （７） ～（～象ａ→～動物ａ） ５６ＭＰＰ
８ （８） 象ａ∨～動物ａ Ａ
８ （９） ～象ａ→～動物ａ ８含意の定義
３６８ （ア） ～（～象ａ→～動物ａ）＆
（～象ａ→～動物ａ） ７９＆Ｉ
３６ （イ） ～（象ａ∨～動物ａ） ８アＲＡＡ
３６ （ウ） ～象ａ＆ 動物ａ イ、ド・モルガンの法則
３ （エ） （象ａ→動物ａ）→（～象ａ＆ 動物ａ） ６ウＣＰ
３ （オ） ～（象ａ→動物ａ）∨（～象ａ＆ 動物ａ） エ、含意の定義
カ （カ） ～（象ａ→動物ａ） Ａ
キ （キ） ～象ａ∨動物ａ Ａ
キ （ク） 象ａ→動物ａ キ含意の定義
カキ （ケ） ～（象ａ→動物ａ）＆
（象ａ→動物ａ） カク＆Ｉ
カ （コ） ～（～象ａ∨動物ａ） キケＲＡＡ
カ （サ） 象ａ＆～動物ａ コ、ド・モルガンの法則
カ （シ） （象ａ＆～動物ａ）∨（～象ａ＆ 動物ａ） サ∨Ｉ
ス（ス） （～象ａ＆ 動物ａ） Ａ
ス（セ） （象ａ＆～動物ａ）∨（～象ａ＆ 動物ａ） ス∨Ｉ
３ （ソ） （象ａ＆～動物ａ）∨（～象ａ＆ 動物ａ） オカシスセ∨Ｅ
３ （タ）∃ｘ｛（象ｘ＆～動物ｘ）∨（～象ｘ＆ 動物ｘ）｝ ソＥＩ
１ （チ）∃ｘ｛（象ｘ＆～動物ｘ）∨（～象ｘ＆ 動物ｘ）｝ ２３タＥＥ
（ⅲ）
１ （１）∃ｘ｛（象ｘ＆～動物ｘ）∨（～象ｘ＆ 動物ｘ）｝ Ａ
２ （２） （象ａ＆～動物ａ）∨（～象ａ＆ 動物ａ） Ａ
３ （３） ∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ ＆ ～象ｘ→～動物ｘ） Ａ
３ （４） 象ａ→ 動物ａ ＆ ～象ａ→～動物ａ ３ＵＥ
３ （５） 象ａ→ 動物ａ ４＆Ｅ
６ （６） 象ａ＆～動物ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
３６ （８） 動物ａ ５７ＭＰＰ
６ （９） ～動物ａ ６＆Ｅ
３６ （ア） 動物ａ＆～動物ａ ８９＆Ｉ
６ （イ）～∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ ＆ ～象ｘ→～動物ｘ） ３アＲＡＡ
３ （ウ） ～象ａ→～動物ａ ４＆Ｅ
エ （エ） ～象ａ＆ 動物ａ Ａ
エ （オ） ～象ａ エ＆Ｅ
３ エ （カ） ～動物ａ ウオＭＰＰ
エ （キ） 動物ａ オ＆Ｅ
３ エ （ク） ～動物ａ＆動物ａ カキ＆Ｉ
エ （ケ）～∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ ＆ ～象ｘ→～動物ｘ） ３７ＲＡＡ
２ （コ）～∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ ＆ ～象ｘ→～動物ｘ） ２６イエケＥＥ
１ （サ）～∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ ＆ ～象ｘ→～動物ｘ） １２コＥＥ
従って、
（11）により、
（12）
② ～∀ｘ｛象ｘ→ 動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ｝
⑫ ∃ｘ｛象ｘ＆～動物ｘ∨～象ｘ＆ 動物ｘ｝
に於いて、
②＝⑫ である。
然るに、
（13）
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→動物ａ＆～（～象ａ→～動物ａ） １ＵＥ
１ （３） 象ａ→動物ａ ２＆Ｅ
１ （４） ～（～象ａ→～動物ａ） ２＆Ｅ
５（５） 象ａ∨～動物ａ Ａ
５（６） ～象ａ→～動物ａ ５含意の定義
１５（７） ～（～象ａ→～動物ａ）＆
（～象ａ→～動物ａ） ４６＆Ｉ
１ （８） ～（象ａ∨～動物ａ） ５７ＲＡＡ
１ （９） ～象ａ＆ 動物ａ ８ド・モルガンの法則
１ （ア） 象ａ→動物ａ＆ ～象ａ＆ 動物ａ ３９＆Ｉ
１ （イ）∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆ ～象ｘ＆ 動物ｘ｝ アＵＩ
（ⅳ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆ ～象ｘ＆ 動物ｘ｝ Ａ
１ （２） 象ａ→動物ａ＆ ～象ａ＆ 動物ａ １ＵＥ
１ （３） 象ａ→動物ａ ２＆Ｅ
１ （４） ～象ａ＆ 動物ａ ２＆Ｅ
５（５） ～象ａ→～動物ａ Ａ
１ （６） ～象ａ ４＆Ｅ
１５（７） ～動物ａ ５６ＭＰＰ
１ （８） 動物ａ ４＆Ｅ
１５（９） ～動物ａ＆動物ａ ７８＆Ｉ
１ （ア） ～（～象ａ→～動物ａ） ５ＲＡＡ
１ （イ） 象ａ→動物ａ＆～（～象ａ→～動物ａ） ３ア＆Ｉ
１ （ウ）∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝ イＵＩ
従って、
（13）により、
（14）
③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
⑬ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆ ～象ｘ＆ 動物ｘ｝
に於いて、
③＝⑬ である。
従って、
（10）（12）（14）により、
（15）
① ∀ｘ（ 象ｘ→ 動物ｘ ＆ ～象ｘ→～動物ｘ）といふ「命題」は、
⑫ ∃ｘ｛ 象ｘ＆～動物ｘ ∨ ～象ｘ＆ 動物ｘ｝
⑬ ∀ｘ｛ 象ｘ→ 動物ｘ ＆ ～象ｘ＆ 動物ｘ｝
⑭ ∀ｘ｛～（象ｘ→ 動物ｘ）＆ ～象ｘ→～動物ｘ｝
⑮ ∀ｘ｛～（象ｘ→ 動物ｘ）＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
といふ「４通りの命題：⑫～⑮」と、「矛盾」する。
然るに、
（16）
⑫ （象ｘ＆～動物ｘ）≡ｘは象であるが、動物ではない。
⑭ ～（象ｘ→ 動物ｘ）≡（象ｘ＆～動物ｘ）≡ｘは象であるが、動物ではない。
⑮ ～（象ｘ→ 動物ｘ）≡（象ｘ＆～動物ｘ）≡ｘは象であるが、動物ではない。
従って、
（15）（16）により、
（17）
⑬ ∀ｘ｛ 象ｘ→ 動物ｘ ＆ ～象ｘ＆ 動物ｘ｝
を除く、
⑫ ∃ｘ｛ 象ｘ＆～動物ｘ ∨ ～象ｘ＆ 動物ｘ｝
⑭ ∀ｘ｛～（象ｘ→ 動物ｘ）＆ ～象ｘ→～動物ｘ｝
⑮ ∀ｘ｛～（象ｘ→ 動物ｘ）＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
といふ「３通りの命題：⑫⑭⑮」は、「動物でない象の存在」を「肯定」する。
従って、
（15）（16）（17）により、
（18）
⑫ ∃ｘ｛ 象ｘ＆～動物ｘ ∨ ～象ｘ＆ 動物ｘ｝
⑬ ∀ｘ｛ 象ｘ→ 動物ｘ ＆ ～象ｘ＆ 動物ｘ｝
⑭ ∀ｘ｛～（象ｘ→ 動物ｘ）＆ ～象ｘ→～動物ｘ｝
⑮ ∀ｘ｛～（象ｘ→ 動物ｘ）＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
に於いて、
⑬ だけが、
⑬「動物でない象の存在」を「肯定」せずに、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ）
といふ「命題」を、「否定」する。
従って、
（07）（18）により、
（19）
⑬ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆（～象ｘ＆動物ｘ）｝⇔
⑬ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であるが、象でないｘも動物である。
といふ「命題」は、
① 象が動物である。⇔
① 象は動物であり、象以外は動物ではない。⇔
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ）⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない。
といふ「命題」に対する、「否定」であって、尚且つ、「動物でない象の存在」を「肯定」しない。
然るに、
（20）
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない。
⑬ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であるが、象でないｘも動物である。
といふことは、例へば、
①｛象、机、パソコン｝⇔ 象が動物である。⇔ 象は動物であり、象以外（机、パソコン）は動物ではない。
③｛象、兎、パソコン｝⇔ 兎も動物である。⇔ 象は動物であり、象以外（兎）も動物である。
といふ、ことである。
従って、
（19）（20）により、
（21）
①「象は動物である。」といふ「命題」を「否定」せずに、
②「象が動物である。」といふ「命題」を「否定」するのであれば、その場合は、
③「象も動物である。」といふ「命題」が「それ」である。といふ、ことになる。
（01）
「算用数字」も、「漢数字」も、「ローマ数字」も、すべて「数字」としては「同じである」とする。
従って、
（02）
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛一、二、三、四｝
であれば、両方とも、
Ａ＝｛Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ｝
Ｂ＝｛Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ｝
であって、それ故、
Ａ＝Ｂ である。
然るに、
（03）
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛五、六、七、八｝
であれば、
Ａ＝｛Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ｝
Ｂ＝｛Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ｝
であって、それ故、
Ａ＝Ｂ ではない。
然るに、
（04）
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛五、六、七、八｝
であれば、
Ａの中に、Ｂの要素はないし、
Ｂの中に、Ａの要素はないため、
ＡとＢは、「完全に、別である。」
然るに、
（05）
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛三、四、五、六｝
であれば、
Ａは｛Ⅲ，Ⅳ｝を含んでゐて、
Ｂも｛Ⅲ，Ⅳ｝を含んでゐる。
従って、
（05）により、
（06）
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛三、四、五、六｝
であれば、
ＡとＢは、「完全に、別である。」といふわけでない。
然るに、
（07）
集合Ａと集合Ｂは等しい。⇔
∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ＆Ｂｘ→Ａｘ）⇔
すべてのｘについて、ｘがＡの要素であるならば、ｘはＢの要素であり、ｘがＢの要素であるならば、ｘはＡの要素である。
といふ風に、「定義」する。
従って、
（07）により、
（08）
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛一、二、三、四｝
であれば、
Ａ＝Ｂ であるが、その一方で、
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛五、六、七、八｝
であれば、
Ａ＝Ｂ でないことは固より、
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛三、四、五、六｝
であっても、
Ａ＝Ｂ ではないし、更には、例へば、
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛一、二、三｝
であっても、
Ａ＝｛１，２｝
Ｂ＝｛一、二、三｝
であっても、
Ａ＝Ｂ ではない。
従って、
（07）（08）により、
（09）
集合Ａと集合Ｂは等しい。⇔
∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ＆Ｂｘ→Ａｘ）⇔
すべてのｘについて、ｘがＡの要素であるならば、ｘはＢの要素であり、ｘがＢの要素であるならば、ｘはＡの要素である。
といふ風に、「定義」する限り、
① Ａ＝Ｂ（ＡとＢは等しい。）
② Ａ≠Ｂ（ＡとＢは等しくない。）
に於いて、
① は、「唯一無二である」のに対して、
② は、「幾通りも有る」といふことになる。
然るに、
（10）
（ⅰ）
１ （１）～∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） Ａ
１ （２）∃ｘ～（Ａｘ→Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） １量化子の関係
３ （３） ～（Ａａ→Ｂａ ＆ ～Ａａ→～Ｂａ） Ａ
３ （４） ～（Ａａ→Ｂａ）∨～（～Ａａ→～Ｂａ） ３ド・モルガンの法則
３ （５） （Ａａ→Ｂａ）→～（～Ａａ→～Ｂａ） ４含意の定義
６ （６） （Ａａ→Ｂａ） Ａ
３６ （７） ～（～Ａａ→～Ｂａ） ５６ＭＰＰ
８ （８） Ａａ∨～Ｂａ Ａ
８ （９） ～Ａａ→～Ｂａ ８含意の定義
３６８ （ア） ～（～Ａａ→～Ｂａ）＆
（～Ａａ→～Ｂａ） ７９＆Ｉ
３６ （イ） ～（Ａａ∨～Ｂａ） ８アＲＡＡ
３６ （ウ） ～Ａａ＆ Ｂａ イ、ド・モルガンの法則
３ （エ） （Ａａ→Ｂａ）→（～Ａａ＆ Ｂａ） ６ウＣＰ
３ （オ） ～（Ａａ→Ｂａ）∨（～Ａａ＆ Ｂａ） エ、含意の定義
カ （カ） ～（Ａａ→Ｂａ） Ａ
キ （キ） ～Ａａ∨Ｂａ Ａ
キ （ク） Ａａ→Ｂａ キ含意の定義
カキ （ケ） ～（Ａａ→Ｂａ）＆
（Ａａ→Ｂａ） カク＆Ｉ
カ （コ） ～（～Ａａ∨Ｂａ） キケＲＡＡ
カ （サ） Ａａ＆～Ｂａ コ、ド・モルガンの法則
カ （シ） （Ａａ＆～Ｂａ）∨（～Ａａ＆ Ｂａ） サ∨Ｉ
ス（ス） （～Ａａ＆ Ｂａ） Ａ
ス（セ） （Ａａ＆～Ｂａ）∨（～Ａａ＆ Ｂａ） ス∨Ｉ
３ （ソ） （Ａａ＆～Ｂａ）∨（～Ａａ＆ Ｂａ） オカシスセ∨Ｅ
３ （タ）∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝ ソＥＩ
１ （チ）∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝ ２３タＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝ Ａ
２ （２） （Ａａ＆～Ｂａ）∨（～Ａａ＆ Ｂａ） Ａ
３ （３） ∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） Ａ
３ （４） Ａａ→ Ｂａ ＆ ～Ａａ→～Ｂａ ３ＵＥ
３ （５） Ａａ→ Ｂａ ４＆Ｅ
６ （６） Ａａ＆～Ｂａ Ａ
６ （７） Ａａ ６＆Ｅ
３６ （８） Ｂａ ５７ＭＰＰ
６ （９） ～Ｂａ ６＆Ｅ
３６ （ア） Ｂａ＆～Ｂａ ８９＆Ｉ
６ （イ）～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） ３アＲＡＡ
３ （ウ） ～Ａａ→～Ｂａ ４＆Ｅ
エ （エ） ～Ａａ＆ Ｂａ Ａ
エ （オ） ～Ａａ エ＆Ｅ
３ エ （カ） ～Ｂａ ウオＭＰＰ
エ （キ） Ｂａ オ＆Ｅ
３ エ （ク） ～Ｂａ＆Ｂａ カキ＆Ｉ
エ （ケ）～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） ３７ＲＡＡ
２ （コ）～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） ２６イエケＥＥ
１ （サ）～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） １２コＥＥ
従って、
（10）により、
（11）
① ～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
② ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（12）
「十分に説明する」のは難しい（ややこしい）ものの、
① ～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
② ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
に於いて、
①＝② である。
といふことは、
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛五、六、七、八｝
といふ場合には、確かに、「当てはまる」が、例へば、
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛三、四、五、六｝
といふ場合には「当てはまらない」。
例へば、
（13）
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛五、六、七、八｝
に於いて、
ｘ＝４＝四 であるならば、
ｘは、Ａ＝｛１，２，３，４｝の中にあって、
ｘは、Ｂ＝｛五、六、七、八｝の中にないものの、
② ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆Ｂｘ）｝
は、さういふ「意味」である。
然るに、
（14）
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛三、四、五、六｝
に於いて、
ｘ＝４＝四 であるならば、
ｘは、Ａ＝｛１，２，３，４｝の中にも、
ｘは、Ｂ＝｛三、四、五、六｝の中にもあるため、この場合は、
② ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆Ｂｘ）｝
といふことには、ならない。
従って、
（01）～（14）により、
（15）
① ～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
② ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
③「集合Ａと集合Ｂは等しくない。」
に於いて、
①＝②＝③ である。
とするならば、
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛五、六、七、八｝
といふ場合であれば、
③「集合Ａと集合Ｂは等しくない。」と言へるものの、
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛三、四、五、六｝
といふ場合であれば、
③「集合Ａと集合Ｂは等しくない。」とは言へない。
従って、
（09）（15）により、
（16）
集合Ａと集合Ｂは等しい。⇔
∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ＆Ｂｘ→Ａｘ）⇔
すべてのｘについて、ｘがＡの要素であるならば、ｘはＢの要素であり、ｘがＢの要素であるならば、ｘはＡの要素である。
といふ風に、「定義」する限り、
① Ａ＝Ｂ（ＡとＢは等しい。）
② Ａ≠Ｂ（ＡとＢは等しくない。）
に於いて、
① は、「唯一無二である」のに対して、
② は、「幾通りも有る」ものの、
その一方で、
① ～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
② ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
といふ「定義」は、「幾通りも」の「それ」には、対応してゐない。
といふ、ことになる。
（17）
といふわけで、うまくは「説明」できなかったものの、
① ～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
② ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
③「集合Ａと集合Ｂは等しくない。」
に於いて、
①＝②＝③ である。
とは言へない。といふのが、「結論」である。
（01）
① Ａ→ Ｂ ＆ ～Ａ→～Ｂ
② Ａ→ Ｂ ＆ Ｂ→ Ａ ：対偶
③ ～（Ａ＆～Ｂ）＆～（Ｂ＆～Ａ）：条件法の法則
④ （～Ａ∨ Ｂ）＆（～Ｂ∨ Ａ）：ド・モルガンの法則
に於いて、すなはち、
① ＡであるならばＢであって、ＡでないならばＢでない。
② ＡであるならばＢであって、ＢであるならばＡである。
③ Ａであって、 Ｂでない。といふことはなく、Ｂであって、Ａでない。といふことはない。
④ Ａでないか Ｂであり、 Ｂでないか、Ａである。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（02）
② Ａ→Ｂ＆Ｂ→Ａ
② ＡであるならばＢであって、ＢであるならばＡである。
として、「ＡとＢが集合」であるならば、
② 集合Ａと集合Ｂは等しい。
従って、
（01）（02）により、
（03）
④（～Ａ∨ Ｂ）＆（～Ｂ∨Ａ）
④ ＡでないかＢであり、ＢでないかＡである。
として、「ＡとＢが集合」であるならば、
④ 集合Ａと集合Ｂは等しい。
従って、
（02）（03）により、
（04）
「番号」を付け直すと、
① Ａ→Ｂ ＆ Ｂ→Ａ ⇔ 集合Ａと集合Ｂは等しい。
②（～Ａ∨Ｂ）＆（～Ｂ∨Ａ）⇔ 集合Ａと集合Ｂは等しい。
従って、
（04）により、
（05）
① ～（Ａ→Ｂ＆Ｂ→Ａ） ⇔（集合Ａと集合Ｂは等しく）ない。
② ～｛（～Ａ∨Ｂ）＆（～Ｂ∨Ａ）｝⇔（集合Ａと集合Ｂは等しく）ない。
然るに、
（06）
（ⅱ）
１ （１）～｛（～Ａ∨Ｂ）＆ （～Ｂ∨Ａ）｝ Ａ
１ （２） ～（～Ａ∨Ｂ）∨～（～Ｂ∨Ａ） １ド・モルガンの法則
３ （３） ～（～Ａ∨Ｂ） Ａ
３ （４） Ａ＆～Ｂ ３ド・モルガンの法則
３ （５） （Ａ＆～Ｂ）∨ （Ｂ＆～Ａ） ４∨Ｉ
６ （６） ～（～Ｂ∨Ａ） Ａ
６ （７） Ｂ＆～Ａ ６ド・モルガンの法則
６ （８） （Ａ＆～Ｂ）∨ （Ｂ＆～Ａ） ７∨Ｉ
１ （９） （Ａ＆～Ｂ）∨ （Ｂ＆～Ａ） ２３５６８∨Ｉ
（ⅲ）
１ （１） （Ａ＆～Ｂ）∨ （Ｂ＆～Ａ） Ａ
２ （２） （～Ａ∨Ｂ）＆ （～Ｂ∨Ａ） Ａ
３ （３） Ａ＆～Ｂ Ａ
２ （４） ～Ａ∨Ｂ ２＆Ｅ
２ （５） Ａ→Ｂ ４含意の定義
３ （６） Ａ ３＆Ｅ
２３ （７） Ｂ ５６ＭＰＰ
３ （８） ～Ｂ ３＆Ｅ
２３ （９） Ｂ＆～Ｂ ７８＆Ｉ
ア（ア） Ｂ＆～Ａ Ａ
２ （イ） ～Ｂ∨Ａ ２＆Ｅ
２ （ウ） Ｂ→Ａ イ含意の定義
ア（エ） ～Ａ ア＆Ｅ
２ ア（オ） ～Ｂ ウエＭＴＴ
ア（カ） Ｂ ア＆Ｅ
２ ア（キ） Ｂ＆～Ｂ オカ＆Ｉ
１２ （ク） Ｂ＆～Ｂ １３９アキ∨Ｅ
１ （ケ）～｛（～Ａ∨Ｂ）＆ （～Ｂ∨Ａ）｝ ２クＲＡＡ
従って、
（06）により、
（07）
② ～｛（～Ａ∨ Ｂ）＆（～Ｂ∨ Ａ）｝
③ （ Ａ＆～Ｂ）∨（ Ｂ＆～Ａ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
① ～（Ａ→ Ｂ ＆ Ｂ→ Ａ） ⇔（集合Ａと集合Ｂは等しく）ない。
② ～｛（～Ａ∨ Ｂ）＆（～Ｂ∨ Ａ）｝⇔（集合Ａと集合Ｂは等しく）ない。
③ （ Ａ＆～Ｂ）∨（ Ｂ＆～Ａ） ⇔（集合Ａと集合Ｂは等しく）ない。
然るに、
（09）
「集合Ａと集合Ｂの和集合」＝
「Ａの要素であってＢの要素でない要素からなる集合（Ａ＆～Ｂ）」＋
「Ａの要素であってＢの要素である要素からなる集合（Ａ＆ Ｂ）」＋
「Ｂの要素であってＡの要素でない要素からなる集合（Ｂ＆～Ａ）」。
従って、
（09）により、
（10）
「集合Ａと集合Ｂの和集合」＝
「Ａの要素であってＢの要素でない要素からなる集合（Ａ＆～Ｂ）」∨
「Ａの要素であってＢの要素である要素からなる集合（Ａ＆ Ｂ）」∨
「Ｂの要素であってＡの要素でない要素からなる集合（Ｂ＆～Ａ）」。
に於いて、
「Ａの要素であってＢの要素である要素からなる集合（Ａ＆ Ｂ）」が、
「空集合（φ）」であるならば、
「集合Ａと集合Ｂの和集合」＝
「Ａの要素であってＢの要素でない要素からなる集合（Ａ＆～Ｂ）」∨
「Ｂの要素であってＡの要素でない要素からなる集合（Ｂ＆～Ａ）」。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
① ～（Ａ→ Ｂ ＆ Ｂ→ Ａ） ⇔（集合Ａと集合Ｂは等しく）ない。
② ～｛（～Ａ∨ Ｂ）＆（～Ｂ∨ Ａ）｝ ⇔（集合Ａと集合Ｂは等しく）ない。
③ （ Ａ＆～Ｂ）∨（ Ｂ＆～Ａ） ⇔（集合Ａと集合Ｂは等しく）ない。
④「集合Ａと集合Ｂの積集合が、空集合。」⇔（集合Ａと集合Ｂは等しく）ない。
従って、
（11）により、
（12）
「集合Ａと集合Ｂが等しくない。」といふことと、
「集合Ａと集合Ｂの積集合が、空集合である。」といふことは、「同じ」である。
然るに、
（13）
（高等学校数学A/集合と論理）
に於いて、
「ｘが、Ａの要素であって、Ｂの要素である。」ならば、
「集合Ａと集合Ｂの積集合は、空集合ではなく」、尚且つ、「集合Ａと集合Ｂは、同じではない。」
従って、
（12）（13）により、
（14）
「集合Ａと集合Ｂが等しくない。」といふことと、
「集合Ａと集合Ｂの積集合が、空集合である。」といふことは、「同じ」であって、尚且つ、「同じ」ではない。
従って、
（15）
（01）～（12）と（13）は、「矛盾」するものの、私には、どうしてさうなるのかが、分からない。
（01）
（ⅰ）
１ （１）∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝ Ａ
２ （２） （Ａａ＆～Ｂａ）∨（～Ａａ＆ Ｂａ） Ａ
３ （３） ∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） Ａ
３ （４） Ａａ→ Ｂａ ＆ ～Ａａ→～Ｂａ ３ＵＥ
３ （５） Ａａ→ Ｂａ ４＆Ｅ
６ （６） Ａａ＆～Ｂａ Ａ
６ （７） Ａａ ６＆Ｅ
３６ （８） Ｂａ ５７ＭＰＰ
６ （９） ～Ｂａ ６＆Ｅ
３６ （ア） Ｂａ＆～Ｂａ ８９＆Ｉ
６ （イ）～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） ３アＲＡＡ
３ （ウ） ～Ａａ→～Ｂａ ４＆Ｅ
エ （エ） ～Ａａ＆ Ｂａ Ａ
エ （オ） ～Ａａ エ＆Ｅ
３ エ （カ） ～Ｂａ ウオＭＰＰ
エ （キ） Ｂａ オ＆Ｅ
３ エ （ク） ～Ｂａ＆Ｂａ カキ＆Ｉ
エ （ケ）～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） ３７ＲＡＡ
２ （コ）～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） ２６イエケＥＥ
１ （サ）～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） １２コＥＥ
（ⅱ）
１ （１）～∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） Ａ
１ （２）∃ｘ～（Ａｘ→Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） １量化子の関係
３ （３） ～（Ａａ→Ｂａ ＆ ～Ａａ→～Ｂａ） Ａ
３ （４） ～（Ａａ→Ｂａ）∨～（～Ａａ→～Ｂａ） ３ド・モルガンの法則
３ （５） （Ａａ→Ｂａ）→～（～Ａａ→～Ｂａ） ４含意の定義
６ （６） （Ａａ→Ｂａ） Ａ
３６ （７） ～（～Ａａ→～Ｂａ） ５６ＭＰＰ
８ （８） Ａａ∨～Ｂａ Ａ
８ （９） ～Ａａ→～Ｂａ ８含意の定義
３６８ （ア） ～（～Ａａ→～Ｂａ）＆
（～Ａａ→～Ｂａ） ７９＆Ｉ
３６ （イ） ～（Ａａ∨～Ｂａ） ８アＲＡＡ
３６ （ウ） ～Ａａ＆ Ｂａ イ、ド・モルガンの法則
３ （エ） （Ａａ→Ｂａ）→（～Ａａ＆ Ｂａ） ６ウＣＰ
３ （オ） ～（Ａａ→Ｂａ）∨（～Ａａ＆ Ｂａ） エ、含意の定義
カ （カ） ～（Ａａ→Ｂａ） Ａ
キ （キ） ～Ａａ∨Ｂａ Ａ
キ （ク） Ａａ→Ｂａ キ含意の定義
カキ （ケ） ～（Ａａ→Ｂａ）＆
（Ａａ→Ｂａ） カク＆Ｉ
カ （コ） ～（～Ａａ∨Ｂａ） キケＲＡＡ
カ （サ） Ａａ＆～Ｂａ コ、ド・モルガンの法則
カ （シ） （Ａａ＆～Ｂａ）∨（～Ａａ＆ Ｂａ） サ∨Ｉ
ス（ス） （～Ａａ＆ Ｂａ） Ａ
ス（セ） （Ａａ＆～Ｂａ）∨（～Ａａ＆ Ｂａ） ス∨Ｉ
３ （ソ） （Ａａ＆～Ｂａ）∨（～Ａａ＆ Ｂａ） オカシスセ∨Ｅ
３ （タ）∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝ ソＥＩ
１ （チ）∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝ ２３タＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
① ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
② ～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
① あるｘは、ＡであってＢでないか、Ａでなくて、Ｂであるかの、いづれかである。
② ～∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ＆～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
① あるｘは、ＡであってＢでないか、Ａでなくて、Ｂであるかの、いづれかである。
といふことは、
① あるｘが、Ａであって、尚且つ、Ｂである。といふことはない。
といふことである。
然るに、
（05）
① あるｘが、Ａであって、尚且つ、Ｂである。といふことはない。
といふことは、
①「集合Ａと、集合Ｂの積集合」が「空集合」である。
といふ、ことである。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
①「集合Ａと、集合Ｂの積集合」が「空集合」である。
② ～∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ＆～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
①＝② である。
といふことになるものの、「本当に、さうなのだらうか？」
（07）
「対偶」により、
② ～Ａｘ→～Ｂｘ
③ Ｂｘ→ Ａｘ
従って、
（06）（07）に於いて、
（08）
② ～∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ＆～Ａｘ→～Ｂｘ）
③ ～∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ＆ Ｂｘ→ Ａｘ）
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（09）
③ ∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ＆ Ｂｘ→ Ａｘ）
といふことは、
③「集合Ａと集合Ｂは、等しい。」
といふことである。
従って、
（08）（09）により、
（10）
② ～∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ＆～Ａｘ→～Ｂｘ）
といふことは、
③「集合Ａと集合Ｂは、等しくない。」
といふことである。
従って、
（06）（10）により、
（11）
①「集合Ａと、集合Ｂの積集合」が「空集合」である。
②「集合Ａと、集合Ｂは、等しくない。」
に於いて、
①＝② である。
といふことになる。
然るに、
（12）
③「集合Ａが、集合Ｂの、真部分集合」であっても、
②「集合Ａと、集合Ｂは、等しくない。」
然るに、
（13）
③「集合Ａが、集合Ｂの、真部分集合である」ならば、
①「集合Ａと、集合Ｂの積集合」は「空集合」ではない。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
①「集合Ａと、集合Ｂの積集合」が「空集合」ない。としても、
②「集合Ａと、集合Ｂは、等しくない。」
といふことに、なるものの、「その辺のところが、数学が苦手な私には、ナゾである。」
然るに、
（15）
① ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
② ∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
① と ② が「矛盾」することは、「明白」である。
従って、
（16）
① ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
② ～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
①＝② であることは、「明白」である。
従って、
（16）により、
（17）
① ～∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
② ～～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（17）により、
（18）
「二重否定（～～）」により、
① ～∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
② ∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（19）
（ⅰ）
１ （１）～∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨ （～Ａｘ＆Ｂｘ）｝ Ａ
１ （２）∀ｘ～｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨ （～Ａｘ＆Ｂｘ）｝ １量化子の関係
１ （３） ～｛（Ａａ＆～Ｂａ）∨ （～Ａａ＆Ｂａ）｝ １ＵＥ
１ （４） ～（Ａａ＆～Ｂａ）＆～（～Ａａ＆Ｂａ） ３ド・モルガンの法則
１ （５） ～（Ａａ＆～Ｂａ） ４＆Ｅ
６ （６） Ａａ Ａ
７ （７） ～Ｂａ Ａ
６７ （８） Ａａ＆～Ｂａ ６７＆Ｉ
１６７ （９） ～（Ａａ＆～Ｂａ）＆
（Ａａ＆～Ｂａ） ５８＆Ｉ
１６ （ア） ～～Ｂａ ７９ＲＡＡ
１６ （イ） Ｂａ アＤＮ
１ （ウ） Ａａ→ Ｂａ ６イＣＰ
１ （エ） ～（～Ａａ＆Ｂａ） ４＆Ｅ
オ （オ） ～Ａ Ａ
カ（カ） Ｂａ Ａ
オカ（キ） ～Ａａ＆Ｂａ オカ＆Ｉ
１ オカ（ク） ～（～Ａａ＆Ｂａ）＆
（～Ａａ＆Ｂａ） エキ＆Ｉ
１ オ （ケ） ～Ｂａ カクＲＡＡ
１ （コ） ～Ａａ→～Ｂａ エケＣＰ
１ （サ） Ａａ→Ｂａ＆～Ａａ→～Ｂａ ウコ＆Ｉ
１ （シ） ∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ＆～Ａｘ→～Ｂｘ） サＵＩ
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） Ａ
２ （２） ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝ Ａ
１ （３） Ａａ→ Ｂａ ＆ ～Ａａ→～Ｂａ １ＵＥ
４ （４） Ａａ＆～Ｂａ ∨ ～Ａａ＆ Ｂａ Ａ
１ （５） Ａａ→ Ｂａ ３＆Ｅ
６ （６） Ａａ＆～Ｂａ Ａ
６ （７） Ａａ ６＆Ｅ
１ ６ （８） Ｂａ ５７ＭＰＰ
６ （９） ～Ｂａ ６＆Ｅ
１ ６ （ア） Ｂａ＆～Ｂａ ８９＆Ｉ
１ （イ） ～Ａａ→～Ｂａ ３＆Ｅ
ウ（ウ） ～Ａａ＆ Ｂａ Ａ
ウ（エ） ～Ａａ ウ＆Ｅ
１ ウ（オ） ～Ｂａ イエＭＰＰ
ウ（カ） Ｂａ ウ＆Ｅ
１ ウ（キ） Ｂａ＆～Ｂａ カオ＆Ｅ
１ ４ （ク） Ｂａ＆～Ｂａ ４６アウキ∨Ｅ
１２ （ケ） Ｂａ＆～Ｂａ ２４クＥＥ
１ （コ）～∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝ ２ケＲＡＡ
従って、
（19）により、
（20）
① ～∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
② ∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（20）により、
（21）
① ～～∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
② ～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（21）により、
（22）
「二重否定（～～）」により、
① ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
② ～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）（22）により、
（23）
① ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
② ～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
に於いて、
①＝② である。
（01）
① ∀ｘ（Ｓｘ→Ｐ）
② ∃ｘ（Ｓｘ＆Ｐ）
に於いて、例へば、
① ∀ｘ（犬ｘ→動物ｘ）
② ∃ｘ（動物ｘ＆犬ｘ）
である。
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（犬ｘ→動物ｘ）
② ∃ｘ（動物ｘ＆犬ｘ）
① ∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝
② ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
といふ「論理式（Well-formed formula）」は、
① ∀ｘ（Ｓｘ→Ｐ）
② ∃ｘ（Ｓｘ＆Ｐ）
といふ「論理式」の、「Ｓ（Predicate letter）」と「Ｐ（Propositional function）」に対する「代入例（Substitution instances）」である。
然るに、
（03）
① ∀ｘ（犬ｘ→動物ｘ）
② ∃ｘ（動物ｘ＆犬ｘ）
① ∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝
② ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
といふ「論理式」は、それぞれ、
① すべてのｘについて、ｘが犬であるならば、ｘは動物である。
② あるｘは動物であって、犬である。
① すべてのｘについて、ｘが少年であるならば、あるｙは少女であって、ｘはｙを愛す。
② あるｘは少女であって、すべてのｙについて、ｙが少年であるならば、ｙはｘを愛す。
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
② あるｘは象であって、あるｙがｘの鼻であって長いならば、あるｚはｘの鼻ではなくて、長い。
といふ、「意味」である。
従って、
（03）により、
（04）
① ∀ｘ（犬ｘ→動物ｘ）
② ∃ｘ（動物ｘ＆犬ｘ）
① ∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝
② ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
といふ「論理式」は、
① 犬は動物である。
② ある動物は犬である。
① 少年、みな、その愛する所の少女有り。
② ある少女、すべての少年の愛する所となる。
① 象は鼻が長い。
② ある象は鼻も長い。
といふ「意味」である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
① 犬は動物である。
② ある動物は犬である。
① 少年、みな、その愛する所の少女有り。
② ある少女、すべての少年の愛する所となる。
① 象は鼻が長い。
② ある象は鼻も長い。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（犬ｘ→動物ｘ）
② ∃ｘ（動物ｘ＆犬ｘ）
① ∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝
② ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
といふ「意味」であって、これらの「論理式」は、
① ∀ｘ（Ｓｘ→Ｐ）
② ∃ｘ（Ｓｘ＆Ｐ）
といふ「論理式」の、「Ｓ（述語文字）」と「Ｐ（命題関数）」に対する「代入例」である。
然るに、
（06）
男女に分けて「柳は緑さ（男言葉）」とか「花は紅よ（女言葉）」とかいうふうに。そして、ハはむろん主辞の方に入れなければならない。
主辞 賓辞
The dog │ is an animal.
犬は │ 動物である。（動物さ、動物よ）
主辞どうしを比べると、定冠詞 the と助詞ハとに共通性がありそうに見える。これは全称（または周布）ということに関連する共通性であるが、ここでは深入りしない。
（三上章、日本語の論理、1963年、６頁）
（07）
かりに既成専門語をご破算にして、文法（英文法、日本文法）と論理学とが今新たにそれぞれの専門語をきめるものと仮定しよう。問題は subject という俗語を採用すべきか否かである。
別掲は、かなり権威のある英和辞典の訳語表である。〔俗語〕というのは、下の専門語と区別するためわたしが入れたものであり、そこのアンダラインもわたしが引いた。これで、俗語としては題という意味をもっていることがわかる。
ＳＵＢＪＥＣＴ―ｎ.
１〔俗語〕主題，題目，題（theme）；教授科目，学科；演題，題目，議題，話題（topic）；画題：
・・・・・・中略・・・・・・
７〔文法〕主題，主部（Cf.object）
８〔論理学〕主辞，主語（opp.attribute）
９〔哲学〕主体，主観，我，自我，実体；物体（thing in itself）
（三上章、日本語の論理、1963年、６２・６３頁）
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
① 犬は動物である。
② ある動物は犬である。
① 少年、みな、その愛する所の少女有り。
② ある少女、すべての少年の愛する所となる。
① 象は鼻が長い。
② ある象は鼻も長い。
といふ「日本語（命題）」は、
① ∀ｘ（Ｓｘ→Ｐ）
② ∃ｘ（Ｓｘ＆Ｐ）
といふ「論理式」の、「Ｓ（述語文字）」と「Ｐ（命題関数）」に対する「代入例」であって、
Ｓ（述語文字）＝主辞・主語（Subject）
Ｐ（命題関数）＝述部・賓辞（Predicate）
といふ、ことになる。
従って、
（08）により、
（09）
「述語論理（Predicate logic）」といふ「観点」からすれば
「伝統的論理学（traditional logic）」でいふ「主辞・賓辞」とは、「述語文字・命題関数」である。
といふ、ことになる。
（01）
① ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ｝
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ｝
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
といふ「論理式」は、順番に、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物である。
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、 ｘが象でなければ、ｘは動物ではない。
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であるが、ｘが象でなければ、ｘは動物ではない。といふわけではない。
といふ「意味」である。
然るに、
（02）
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物である。
といふことは、
① 象は動物である。
といふ、ことである。
（03）
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でなければ、ｘは動物ではない。
といふことは、
② 象は動物であり、象以外は動物ではない。
といふことであり、
② 象は動物であり、象以外は動物ではない。
といふことは、例へば、
②（机と、パソコンと、象であれば、）象が動物である。
といふ、ことである。
然るに、
（04）
（ⅲ）
１（１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆ ～（～象ｘ→～動物ｘ）｝ Ａ
１（２） 象ａ→動物ａ＆ ～（～象ａ→～動物ａ） １ＵＥ
１（３） 象ａ→動物ａ １＆Ｅ
１（４） ～（～象ａ→～動物ａ） １＆Ｅ
１（５） ～（～象ａ＆ 動物ａ） Ａ
１（６） ～～象ａ∨～動物ａ ５ド・モルガンの法則
１（７） ～象ａ→～動物ａ ６含意の定義
１（８） ～（～象ａ→～動物ａ）＆
（～象ａ→～動物ａ） ４７＆Ｉ
１（９） ～～（～象ａ＆ 動物ａ） ５ＲＡＡ
１（ア） （～象ａ＆ 動物ａ） ９ＤＮ
１（イ） ∃ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ） アＥＩ
１（ウ）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） ３ＵＩ
１（エ）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∃ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ） イウ＆Ｉ
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ） Ａ
１ （２）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） １＆Ｅ
１ （３） 象ａ→動物ａ １ＵＥ
１ （４） ∃ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ） １＆Ｅ
５ （５） ～象ａ＆ 動物ａ Ａ
６（６） ～象ａ→～動物ａ Ａ
５ （７） ～象ａ ５＆Ｅ
５６（８） ～動物ａ ６７ＭＰＰ
５ （９） 動物ａ ５＆Ｅ
５６（ア） ～動物ａ＆動物ａ ８９＆Ｉ
５ （イ） ～（～象ａ→～動物ａ） ６アＲＡＡ
１ （ウ） ～（～象ａ→～動物ａ） ４５イＥＥ
１ （エ） 象ａ→動物ａ＆ ～（～象ａ→～動物ａ） ３ウ＆Ｉ
１ （オ）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆ ～（～象ｘ→～動物ｘ）｝ エＵＩ
従って、
（04）により、
（05）
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
④ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（01）（05）により、
（06）
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であるが、ｘが象でなければ、ｘは動物ではない。といふわけではない。
④ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であるが、あるｘは象ではないが、動物である。
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（07）
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であるが、ｘが象でなければ、ｘは動物ではない。といふわけではない。
④ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であるが、あるｘは象ではないが、動物である。
といふことは、「象以外にも動物はゐる。」といふことであり、「象以外にも動物はゐる。」といふことは、「象も動物である。」といふことである。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
① ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ｝
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ｝
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
といふ「論理式」は、
① 象は動物である。
② 象が動物である。
③ 象も動物である。
といふ、「意味」である。
―「昨日（令和元年１１月１８日）の記事」の「続き」なので、（15）番から始めます。―
従って、
（14）により、
（15）
① ∀ｘ（男性ｘ） ≡すべての人は男性である。
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
に於いて、
① ならば、② である。
としても、「逆に」、
② ならば、① である。
とは限らない。
といふことは、「理屈」の上でも、「述語論理」としても、「正しい」。
従って、
（15）により、
（16）
① ∀ｘ（男性ｘ）
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）
に於いて、
男性＝中野区民
中野区民＝男性
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
③ ∀ｘ（中野区民ｘ） ≡すべての人は中野区民である。
④ ∀ｘ（中野区民ｘ∨男性ｘ）≡すべての人は、中野区民であるか、男性である。
に於いて、
③ ならば、④ である。
としても、
④ ならば、③ である。
とは限らない。
然るに、
（17）
「交換法則（commutative law）」により、
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
④ ∀ｘ（中野区民ｘ∨男性ｘ）≡すべての人は、中野区民であるか、男性である。
に於いて、
②＝④ である。
従って、
（17）により、
（18）
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
④ ∀ｘ（中野区民ｘ∨男性ｘ）≡すべての人は、中野区民であるか、男性である。
に於いて、
④ に関しては、「それ」を用ひず、
② だけを、用ひることにする。
従って、
（14）～（18）により、
（19）
① ∀ｘ（男性ｘ） ≡すべての人は男性である。
③ ∀ｘ（中野区民ｘ） ≡すべての人は中野区民である。
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
に於いて、
（Ⅰ）① ならば、② である。としても、② ならば、① である。とは限らない。
（Ⅱ）③ ならば、② である。としても、② ならば、③ である。とは限らない。
従って、
（19）により、
（20）
（Ⅲ）「① か ③」ならば、② である。としても、② ならば、「① か ③」である。とは限らない。
然るに、
（19）（20）により、
（21）
（Ⅲ）「① か ③」ならば、② である。としても、② ならば、「① か ③」である。とは限らない。
といふことは、
（Ⅲ）∀ｘ（男性ｘ）∨∀ｘ（中野区民ｘ）├ ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）
といふ、ことである。
従って、
（19）（21）により、
（22）
Ｆ＝男性
Ｇ＝中野区民
とするならば、
（Ⅲ）「① か ③」ならば、② である。としても、② ならば、「① か ③」である。とは限らない。
といふことは、
（Ⅲ） ∀ｘＦｘ∨∀ｘＧｘ├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
といふ、ことである。
然るに、
（23）
１１２ ∀ｘＦｘ∨∀ｘＧｘ├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
（E.J.レモン著、竹尾 治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１５５頁）
従って、
（01）～（23）により、
（24）
∀ｘＦｘ∨∀ｘＧｘ であるならば、 ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） であるが、
∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） であるとしても、 ∀ｘＦｘ∨∀ｘＧｘ であるとは、限らない。
といふことは、「日本語で考へた理屈」としても、「述語論理」としても、「正しい」。
（01）
｛ａさん、ｂさん、ｃさん｝の｛３人｝が｛変域（ドメイン）｝であるとする。
従って、
（01）により、
（02）
ａさんは男性であり、
ｂさんも男性であり、
ｃさんも男性である。
とすると、
∀ｘ（男性ｘ）≡すべての人は男性である。
然るに、
（03）
ａさんは男性であり、
ｂさんも男性であり、
ｃさんも男性である。
とすると、
ａさんは男性であるか、中野区民である。
ｂさんも男性であるか、中野区民である。
ｃさんも男性であるか、中野区民である。
といふことは、「本当（真）」である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
ａさんは男性であるか、中野区民である。
ｂさんも男性であるか、中野区民である。
ｃさんも男性であるか、中野区民である。
といふことは、
① ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
といふ、ことである。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
① ∀ｘ（男性ｘ） ≡すべての人は男性である。
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（06）
１（１） ∀ｘ男性ｘ Ａ
１（２） 男性ａ Ａ
１（３） 男性ａ∨中野ａ ２∨Ｉ
１（４）∀ｘ（男性ｘ∨中野ｘ） ３ＵＩ
従って、
（05）（06）により、
（07）
① ∀ｘ（男性ｘ） ≡すべての人は男性である。
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
に於いて、
① ならば、② である。
といふことは、「述語論理」としても、「妥当」である。
然るに、
（08）
例へば、
ａさんは女性であるが、中野区民である。
ｂさんは男性であって、練馬区民である。
ｃさんは女性であるが、中野区民である。
としても、
ａさんは男性であるか、中野区民である。
ｂさんも男性であるか、中野区民である。
ｃさんも男性であるか、中野区民である。
といふこと、すなはち、
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
といふことは、「本当（真）」である。
然るに、
（09）
ａさんは女性であるが、中野区民である。
ｂさんは男性であって、練馬区民である。
ｃさんは女性であるが、中野区民である。
といふのであれば、
ａさんは女性であり、
ｃさんも女性であるため、
① ∀ｘ（男性ｘ）≡すべての人は男性である。
といふことは、「ウソ（偽）」になる。
従って、
（05）（08）（09）により、
（10）
① ∀ｘ（男性ｘ） ≡すべての人は男性である。
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
に於いて、
① ならば、② である。
としても、その「逆」である、
② ならば、① である。
といふことには、ならない。
といふことは、「理屈」として、「正しい」。
然るに、
（11）
１ （１）∀ｘ（男性ｘ∨中野ｘ） Ａ
１ （２） 男性ｂ∨中野ｂ １ＵＥ
３ （３） 男性ｂ Ａ
３ （４） ∀ｘ男性ｘ ３ＵＩ
とするならば、
３ （３） 男性ｂ Ａ
は、 男性ｂ の、
ｂ が、「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」に「違反」する。
従って、
（12）
５（５） 中野ｂ Ａ
５（６） ∀ｘ中野ｘ ５ＵＩ
とする場合も、
５（５） 中野ｂ Ａ
ｂ が、「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」に「違反」する。
従って、
（11）（12）により、
（13）
① ∀ｘ（男性ｘ） ≡すべての人は男性である。
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
に於いて、
② ならば、① である。
といふことは、「述語論理」としても、「妥当」でない。
従って、
（10）（13）により、
（14）
① ∀ｘ（男性ｘ） ≡すべての人は男性である。
② ∀ｘ（男性ｘ∨中野区民ｘ）≡すべての人は、男性であるか、中野区民である。
に於いて、
① ならば、② である。
としても、
② ならば、① である。
といふことには、ならない。
といふことは、「理屈」の上でも、「述語論理」としても、「正しい」。
（01）
① ∀ｘ（Ｓｘ→Ｐ）
② ∃ｘ（Ｓｘ＆Ｐ）
に於いて、
Ｓは「述語文字（Predicate letter）」であるが、
Ｐは「命題関数（Propositional function）」であるとする。
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（Ｓｘ→Ｐ）
② ∃ｘ（Ｓｘ＆Ｐ）
は、例へば、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∃ｘ（動物ｘ＆象ｘ）
① ∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝
② ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＝象は動物である。
② ∃ｘ（動物ｘ＆象ｘ）＝ある動物は象である。
① ∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝＝少年、みな、その愛する所の少女有り。
② ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝＝ある少女、すべての少年の愛する所となる。
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝＝象は鼻が長い。
② ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝＝ある象は鼻も長い。
は、それぞれ、
① ∀ｘ（Ｓｘ→Ｐ）
② ∃ｘ（Ｓｘ＆Ｐ）
に於ける、「ＳとＰに対する、代入例（Substitution instances）」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
「述語論理（Predicate logic）」といふ「観点」からすると、
① 象は動物である。
② ある動物は象である。
① 少年、みな、その愛する所の少女有り。
② ある少女、すべての少年の愛する所となる。
① 象は鼻が長い。
② ある象は鼻も長い。
等に於ける「主語（Subject）」と「述語（Predicate）」は、
① ∀ｘ（Ｓｘ→Ｐ）
② ∃ｘ（Ｓｘ＆Ｐ）
に於ける、「Ｓ（述語文字）」と「Ｐ（命題関数）」である。
といふ、ことになる。
（01）
（ⅰ）
１ （１）～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ １量化子の関係
３ （３） ～｛象ａ→［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］｝ Ａ
３ （４） ～｛～象ａ∨［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］｝ ３含意の定義
３ （５） 象ａ＆～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ４ド・モルガンの法則
３ （６） 象ａ ５＆Ｅ
３ （７） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ５＆Ｅ
３ （８） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７ド・モルガンの法則
３ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ８含意の定義
ア （ア） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
３ア （イ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９アＭＰＰ
３ア （ウ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） イ量化子の関係
エ（エ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
エ（オ） ～（ 鼻ｂａ∨～長ｂ） エ含意の定義
エ（カ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ オ、ド・モルガンの法則
エ（キ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） カＥＩ
３ア （ク） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ウエキＥＥ
３ （ケ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） アクＣＰ
３ （コ） 象ａ＆［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ６ケ＆Ｉ
３ （サ） ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ コＥＩ
１ （シ） ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ １３サＥＥ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ Ａ
２ （２） 象ａ＆［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ Ａ
２ （３） 象ａ ２＆Ｅ
２ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ２＆Ｅ
５ （５） ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ Ａ<br>
５ （６） 象ａ→［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ５ＵＥ<br>
２５ （７） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ３６ＭＰＰ
２５ （８） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ７＆Ｅ
２５ （９） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ４８ＭＰＰ
２５ （ア） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７＆Ｅ
イ（イ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
２５ （ウ） ～鼻ｂａ→～長ｂ アＵＥ
イ（エ） ～鼻ｂａ イ＆Ｅ
２５イ（オ） ～長ｂ ウエＭＰＰ
イ（カ） 長ｂ イ＆Ｅ
２５イ（キ） ～長ｂ＆長ｂ オカ＆Ｉ
２５ （ク） ～長ｂ＆長ｂ ９イキＥＥ
２ （ケ）～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ ５クＲＡＡ
１ （コ）～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ １２ケＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
① ～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
② ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。といふことはない。
② あるｘが象であって、 あるｙがｘの鼻であって長いならば、 あるｚはｘの鼻でなくて、長い。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
「ある命題Ａ」 と「ある命題Ｂ 」 が「等しい」のであれば、
「命題Ａの否定」と「命題Ｂの否定」も「等しい」。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
② ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
に於いて、
①＝② であるが故に、
③ ～～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
④ ～∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
に於いても、
③＝④ でなければ、ならない。
然るに、
（05）
「二重否定（ＤＮ）」により、
③ ～～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
⑤ ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
に於いて、
③＝⑤ である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
③ ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
④ ～∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
に於いても、
③＝④ でなければ、ならない。
然るに、
（07）
（ⅲ）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ Ａ
１ （２） 象ａ→［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） 象ａ＆［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ Ａ
３ （４） 象ａ ３＆Ｅ
３ （５） ［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ３＆Ｅ
６ （６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
３６ （７） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ５６ＭＰＰ
８（８） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
８（９） ～～（～鼻ｂａ＆ 長ｂ） ８ＤＮ
８（ア） ～（～～鼻ｂａ∨～長ｂ） ９ド・モルガンの法則
８（イ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） ア含意の定義
８（ウ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） イＥＩ
３６ （エ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７８ウＥＥ
３６ （オ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） エ量化子の関係
１３ （カ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２４ＭＰＰ
１３ （キ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） カ＆Ｅ
１３６ （ク） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） オキ＆Ｉ
１３ （ケ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ６クＲＡＡ
１３ （コ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） カ＆Ｅ
１３ （サ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ケコ＆Ｉ
１ （シ） ～｛象ａ＆［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］｝ ３サＲＡＡ
１ （ス）∀ｘ～｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ シＵＩ
１ （セ）～∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ ス量化子の関係
（ⅳ）
１ （１）～∃ｘ｛象ｘ＆［ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ Ａ
１ （２）∀ｘ～｛象ｘ＆［ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ １量化子の関係
１ （３） ～｛象ａ＆［ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］｝ ２ＵＥ
１ （４） ～｛象ａ＆［～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］｝ ３含意の定義
１ （５） ～象ａ∨～［～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ４ド・モルガンの法則
１ （６） 象ａ→～［～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ５含意の定義
７ （７） 象ａ Ａ
１７ （８） ～［～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ６７ＭＰＰ
１７ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ８ド・モルガンの法則
１７ （ア） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ９＆Ｅ
１７ （イ） ∀ｚ～（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ア量化子の関係
１７ （ウ） ～（～鼻ｂａ＆ 長ｂ） イＵＥ
１７ （エ） ～～鼻ｂａ∨～長ｂ ウ、ド・モルガンの法則
１７ （オ） ～鼻ｂａ→～長ｂ エ含意の定義
１７ （カ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） オＵＩ
１７ （キ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
１７ （ク） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） カキ＆Ｉ
１ （ケ） 象ａ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ ７クＣＰ
１ （コ） ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ ケＵＩ
従って、
（07）により、
（08）
果たして、
③ ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
④ ～∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
に於いて、
③＝④ である。
（09）
例へば、
（ⅰ）
１ （１）～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ １量化子の関係
（ⅳ）
１ （１）～∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ Ａ
１ （２）∀ｘ～｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ １量化子の関係
で用ひた、「量化子の関係」の「証明」は、次（10、11）の通りである。
（10）
（ａ）～∀ｘＦｘ├ ∃ｘ～Ｆｘ
１ （１） ～∀ｘＦｘ Ａ
２ （２） ～∃ｘ～Ｆｘ Ａ
３（３） ～Ｆａ Ａ
３（４） ∃ｘ～Ｆｘ ３ＥＩ
２３（５） ～∃ｘ～Ｆｘ＆
∃ｘ～Ｆｘ ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｆａ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｆａ ６ＤＮ
２ （８） ∀ｘＦｘ ７ＵＩ
１２ （９） ～∀ｘＦｘ＆
∀ｘＦｘ ２８＆Ｉ
１ （ア）～～∃ｘ～Ｆｘ ２９ＲＡＡ
１ （イ） ∃ｘ～Ｆｘ アＤＮ
（ｂ）∃ｘ～Ｆｘ├ ～∀ｘＦｘ
１ （１） ∃ｘ～Ｆｘ Ａ
２ （２） ～Ｆａ Ａ
３（３） ∀ｘＦｘ Ａ
３（４） Ｆａ ３ＵＥ
２３（５）～Ｆａ＆Ｆａ ２４＆Ｉ
２ （６） ～∀ｘＦｘ ３５ＲＡＡ
１ （７） ～∀ｘＦｘ １２６ＥＥ
（11）
（ｃ）～∃ｘＦｘ├ ∀ｘ～Ｆｘ
１ （１）～∃ｘＦｘ Ａ
２（２） ∀ｘＦｘ Ａ
２（３） Ｆａ ２ＵＥ
２（４） ∃ｘＦｘ ３ＥＩ
１２（５）～∃ｘＦｘ＆
∃ｘＦｘ １４＆Ｉ
１ （６） ～Ｆａ ３５ＲＡＡ
１ （７）∀ｘ～Ｆｘ ６ＵＩ
（ｄ）∀ｘ～Ｆｘ├ ～∃ｘＦｘ
１ （１） ∀ｘ～Ｆｘ Ａ
１ （２） ～Ｆａ Ａ
３ （３） ∃ｘＦｘ Ａ
４（４） Ｆａ Ａ
１ ４（５）～Ｆａ＆Ｆａ ２４＆Ｉ
１３ （６）～Ｆａ＆Ｆａ ３４５ＥＥ
１ （７） ～∃ｘＦｘ ２６ＲＡＡ
従って、
（10）（11）により、
（12）
「日本語（自然言語）」で言ふと、
① すべてのｘがＦである。といふわけではない。
② あるｘは、 Ｆでない。
③ あるｘが、 Ｆである。といふことはない。
④ すべてのｘはＦでない。
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
（13）
述語計算の方が（、アリストテレスの三段論法よりも、）習い覚えるのに骨が折れるということは確かにその通りである（unquestionably hard to learn)。
（E.J.レモン著、竹尾 治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２１６頁改）
しかしながら、
（14）
（ｄ）∀ｘ～Ｆｘ├ ～∃ｘＦｘ
１ （１） ∀ｘ～Ｆｘ Ａ
１ （２） ～Ｆａ Ａ
３ （３） ∃ｘＦｘ Ａ
４（４） Ｆａ Ａ
１ ４（５）～Ｆａ＆Ｆａ ２４＆Ｉ
１３ （６）～Ｆａ＆Ｆａ ３４５ＥＥ
１ （７） ～∃ｘＦｘ ２６ＲＡＡ
に於ける「それ」は、「自然演繹（Natural deduction：自然な演繹法）」と言ふくらひなので、これとは別の、「公理的展開（axiomatic development）」の方が、「自然演繹」よりも「難しい」ものと、思はれる。
（15）
「漢文の文法」 と「述語論理の文法」を比べると、「難しさ」は「同じくらひ」であるが、
「ラテン語の文法」と「述語論理の文法」を比べると、「ラテン語の文法（を覚える）」の方が、遥かに、極端に、難しい。