「昨日（令和６年１２月１７日）の記事」を書き直します。
（01）
（ⅰ）｛ｘの変域｝＝｛ａさん、ｂさん、ｃさん｝
（ⅱ） 述語文字Ｆ＝フランス人である。
であるとして、
① ∃ｘ（Ｆｘ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）
③ あるｘはＦである。
④（ａさんはフランス人であるか、または、ｂさんはフランス人であるか、または、ｃさんはフランス人である）。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（02）
（ⅰ）｛ｘの変域｝＝｛ａさん、ｂさん、ｃさん｝
（ⅱ） 述語文字Ｆ＝フランス人である。
であるとして、
⑤ ～∀ｘ（～Ｆ）
⑥ ～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）
⑦ すべてのｘがＦでない、というふわけではない。
⑧（ａさんがフランス人ではなく、その上、ｂさんもフランス人ではなく、その上、ｃさんもフランス人でない）といふことは無い。
に於いて、
⑤＝⑥＝⑦＝⑧ である。
然るに、
（03） （ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
１ （３） （Ｐ∨ Ｑ）∨Ｒ １結合法則
４ （４） （Ｐ∨ Ｑ） Ａ
５ （５） Ｐ Ａ
２ （６） ～Ｐ ２＆Ｅ
２ ５ （７） Ｐ＆～Ｐ ５６＆Ｉ
５ （８）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） ２７ＲＡＡ
９ （９） Ｑ Ａ
２ （ア） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ９ （イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） ２９ＲＡＡ
４ （エ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） ４５８９ウ∨Ｅ
オ（オ） Ｒ Ａ
２ （カ） ～Ｒ ２＆Ｅ
２ オ（キ） Ｒ＆～Ｒ オカ＆Ｉ
オ（ク）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） ２キＲＡＡ
１ （ケ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） ３４エオク∨Ｅ
１２ （コ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） ２ケ＆Ｉ
１ （サ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） ２コＲＡＡ
（ⅴ）
１ （１） ～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
２ （２） ～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
３ （５） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ３４∨Ｉ
２３ （６） ～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２５＆Ｉ
２ （７） ～Ｐ ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ∨ Ｑ ８∨Ｉ
８ （ア） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ９∨Ｉ
２ ８ （イ） ～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２ア＆Ｉ
２ （ウ） ～Ｑ ８イ＆Ｉ
２ （エ） ～Ｐ＆～Ｑ ７ウ＆Ｉ
オ（オ） Ｒ Ａ
オ（カ） Ｑ∨ Ｒ オ∨Ｉ
オ（キ） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ∨Ｉ
２ オ（ク） ～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２キ＆Ｉ
２ （ケ） ～Ｒ オクＲＡＡ
２ （コ） ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ エケ＆Ｉ
１２ （サ） ～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １コ＆Ｉ
１ （シ）～～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２サＲＡＡ
１ （ス） （ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） シＤＮ
従って、
（03）により、
（04）
① Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ
⑤ ～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）
といふ「命題論理式」に於いて、
①＝⑤ は「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（04）により、
（05）
Ｐ＝Ｆａ
Ｑ＝Ｆｂ
Ｒ＝Ｆｃ
といふ「代入」により、
① （ Ｆａ∨ Ｆｂ∨ Ｆｃ）
⑤ ～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）
といふ「命題論理式に於いて、
①＝⑤ は、「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① ∃ｘ（Ｆｘ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）
③ あるｘはＦである。
④（ａさんはフランス人であるか、または、ｂさんはフランス人であるか、または、ｃさんはフランス人である）。
⑤ ～∀ｘ（～Ｆ）
⑥ ～（～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ）
⑦ すべてのｘがＦでない、というふわけではない。
⑧（ａさんがフランス人ではなく、その上、ｂさんもフランス人ではなく、その上、ｃさんもフランス人でない）といふことは無い。
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤＝⑥＝⑦＝⑧ は、「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（07）により、
（08）
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ（ Ｆｘ） Ａ
２ （２） ∀ｘ（～Ｆｘ） Ａ
３（３） Ｆａ Ａ
２ （４） ～Ｆａ １ＵＥ
２３（５） Ｆａ＆～Ｆａ ３４＆Ｉ
３（６）～∀ｘ（～Ｆｘ） ２５ＲＡＡ
１２ （７）～∀ｘ（～Ｆｘ） １３ＥＥ
（ⅴ）
１ （１） ～∀ｘ（～Ｆｘ） Ａ
２ （２） ～∃ｘ（ Ｆｘ） Ａ
３（３） Ｆａ Ａ
３（４） ∃ｘ（ Ｆｘ） １ＥＩ
２３（５） ～∃ｘ（ Ｆｘ）＆
∃ｘ（ Ｆｘ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～Ｆａ ３５ＲＡＡ
２ （７） ∀ｘ（～Ｆｘ） ６ＵＩ
１２ （８） ～∀ｘ（～Ｆｘ）＆
∀ｘ（～Ｆｘ） １７＆Ｉ
１ （９）～～∀ｘ（～Ｆｘ） ２８ＲＡＡ
１ （ア） ∀ｘ（～Ｆｘ） ９ＤＮ
といふ「述語計算」は、「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（08）により、
（09）
① ∃ｘ（ Ｆｘ）＝あるｘはＦである。
⑤ ～∀ｘ（～Ｆｘ）＝すべてのｘがＦでない、といふわけではない。
に於いて、
①＝⑤ といふ「量化子の関係」は、「ド・モルガンの法則」である。
（01）
（ⅰ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） Ａ
２ （２） Ｆａ∨Ｇａ Ａ
３ （３） Ｆａ Ａ
３ （４）∃ｘ（Ｆｘ） ３ＥＩ
３ （５）∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ４∨Ｉ
６（６） Ｇａ Ａ
６（７） ∃ｘ（Ｇｘ） ６ＥＩ
６（８）∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ７∨Ｉ
２ （９）∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ２３５６８∨Ｉ
１ （ア）∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） １２９ＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （２）∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
３ （３） Ｆａ Ａ
３ （４） Ｆａ∨Ｇａ ３∨Ｉ
３ （５）∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ４ＥＩ
２ （６）∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ２３５ＥＥ
７ （７） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
８（８） Ｇａ Ａ
８（９） Ｆａ∨Ｇａ ８∨Ｉ
８（ア） ∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ９ＥＩ
７ （イ） ∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ７８アＥＥ
１ （ウ）∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） １２６７イ∨Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
① ∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
例へば、
① ある人は（フランス人であるか、または、ドイツ人である）。
② ある人は（フランス人である）か、または、ある人は（ドイツ人である）。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（01）により、
（04）
（ⅰ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） Ａ
２ （２） Ｆａ∨Ｇａ Ａ
３ （３） Ｆａ Ａ
３ （４）∃ｘ（Ｆｘ） ３ＥＩ
３ （５）∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ４∨Ｉ
６（６） Ｇａ Ａ
６（７） ∃ｘ（Ｇｘ） ６ＥＩ
６（８）∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ７∨Ｉ
２ （９）∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ２３５６８∨Ｉ
１ （ア）∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） １２９ＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （２）∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
３ （３） Ｆａ Ａ
３ （４） Ｆａ∨Ｇａ ３∨Ｉ
３ （５）∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ４ＥＩ
２ （６）∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ２３５ＥＥ
７ （７） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
８（８） Ｇａ Ａ
８（９） Ｆａ∨Ｇａ ８∨Ｉ
８（ア） ∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ９ＥＩ
７ （イ） ∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ７８アＥＥ
１ （ウ）∃ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） １２６７イ∨Ｅ
といふ「計算」は、
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
（ⅰ）
１ （１） （Ｆａ∨Ｇａ）∨（Ｆｂ∨Ｇｂ） ∨（Ｆｃ∨Ｇｃ） Ａ
１ （２）｛（Ｆａ∨Ｇａ）∨（Ｆｂ∨Ｇｂ）｝∨（Ｆｃ∨Ｇｃ） １結合法則
３ （３）｛（Ｆａ∨Ｇａ）∨（Ｆｂ∨Ｇｂ）｝ Ａ
４ （４） （Ｆａ∨Ｇａ） Ａ
５ （５） Ｆａ Ａ
５ （６） Ｆａ∨Ｆｂ ５∨Ｉ
５ （７） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ６∨Ｉ
５ （８） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）∨（Ｇａ∨ＧＢ∨Ｇｃ） ７∨Ｉ
９ （９） Ｇａ Ａ
９ （ア） Ｇａ∨Ｇｂ ９∨Ｉ
９ （イ） Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ ア∨Ｉ
９ （ウ） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）∨（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） イ∨Ｉ
４ （エ） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）∨（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） ４５８９ウ∨Ｅ
オ （オ） （Ｆｂ∨Ｇｂ） Ａ
カ （カ） Ｆｂ Ａ
カ （キ） Ｆａ∨Ｆｂ カ∨Ｉ
カ （ク） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ キ∨Ｉ
カ （ケ） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）∨（Ｇａ∨ＧＢ∨Ｇｃ） ク∨Ｉ
コ （コ） Ｇｂ Ａ
コ （サ） Ｇａ∨Ｇｂ コ∨Ｉ
コ （シ） Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ サ∨Ｉ
コ （ス） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）∨（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） シ∨I
オ （セ） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）∨（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） オカケコス∨Ｅ
３ （ソ） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）∨（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） ３４エオセ∨Ｅ
タ （タ） （Ｆｃ∨Ｇｃ） Ａ
チ （ツ） Ｆｃ Ａ
チ （テ） Ｆｂ∨Ｆｃ ツ∨Ｉ
チ （ト） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ テ∨Ｉ
チ （ナ） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）∨（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） ト∨Ｉ
ニ（ニ） Ｇｃ Ａ
ニ（ヌ） Ｇｂ∨Ｇｃ ニ∨Ｉ
ニ（ネ） Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ ヌ∨Ｉ
ニ（ノ） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）∨（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） ネ∨Ｉ
タ （ハ） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）∨（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） タチナニノ∨Ｅ
１ （ヒ） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）∨（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） １３ソタハ∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）∨（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） Ａ
２ （２）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） Ａ
２ （３）（Ｆａ∨Ｆｂ）∨Ｆｃ ２結合法則
４ （４）（Ｆａ∨Ｆｂ） Ａ
５ （５） Ｆａ Ａ
５ （６） Ｆａ∨Ｇａ ５∨Ｉ
５ （７）（Ｆａ∨Ｇａ）∨（Ｆｂ∨Ｇｂ） ６∨I
５ （８）（Ｆａ∨Ｇａ）∨（Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（Ｆｃ∨Ｇｃ） ７∨I
９ （９） Ｆｂ Ａ
９ （ア） Ｆｂ∨Ｇｂ ９∨Ｉ
９ （イ）（Ｆａ∨Ｇａ）∨（Ｆｂ∨Ｇｂ） ア∨Ｉ
９ （ウ）（Ｆａ∨Ｇａ）∨（Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（Ｆｃ∨Ｇｃ） イ∨Ｉ
４ （エ）（Ｆａ∨Ｇａ）∨（Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（Ｆｃ∨Ｇｃ） ４５８９ウ∨Ｅ
オ （オ） Ｆｃ Ａ
オ （カ） Ｆｃ∨Ｇｃ オ∨Ｉ
オ （キ） （Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（Ｆｃ∨Ｇｃ） カ∨Ｉ
オ （ケ）（Ｆａ∨Ｇａ）∨（Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（Ｆｃ∨Ｇｃ） キ∨Ｉ
２ （コ）（Ｆａ∨Ｇａ）∨（Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（Ｆｃ∨Ｇｃ） ３４Ｅオケ∨Ｅ
サ （サ） （Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） Ａ
サ （シ） （Ｇａ∨Ｇｂ）∨Ｇｃ Ａ
ス （ス） （Ｇａ∨Ｇｂ） Ａ
セ （セ） Ｇａ Ａ
セ （ソ） Ｆａ∨Ｇａ セ∨Ｉ
セ （タ）（Ｆａ∨Ｇａ）∨（Ｆｂ∨Ｇｂ） ソ∨Ｉ
セ （チ）（Ｆａ∨Ｇａ）∨（Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（Ｆｃ∨Ｇｃ） タ∨Ｉ
ツ （ツ） Ｇｂ Ａ
ツ （テ） Ｆｂ∨Ｇｂ ツ∨Ｉ
ツ （ト）（Ｆａ∨Ｇａ）∨（Ｆｂ∨Ｇｂ） テ∨Ｉ
ツ （ナ）（Ｆａ∨Ｇａ）∨（Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（Ｆｃ∨Ｇｃ） ト∨Ｉ
ス （ニ）（Ｆａ∨Ｇａ）∨（Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（Ｆｃ∨Ｇｃ） スセチツナ∨Ｅ
ヌ（ヌ） Ｇｃ Ａ
ヌ（ネ） （Ｆｃ∨Ｇｃ） ヌ∨Ｉ
ヌ（ノ） （Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（Ｆｃ∨Ｇｃ） ネ∨Ｉ
ヌ（ハ）（Ｆａ∨Ｇａ）∨（Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（Ｆｃ∨Ｇｃ） ノ∨Ｉ
サ （ヒ）（Ｆａ∨Ｇａ）∨（Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（Ｆｃ∨Ｇｃ） サスニヌハ∨Ｅ
１ （フ）（Ｆａ∨Ｇａ）∨（Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（Ｆｃ∨Ｇｃ） １２コサヒ∨Ｅ
といふ「計算（メチャクチャ、大変である）」に、「等しい」。
従って、
（04）により、
（05）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
２（２）∃ｘ（Ｆｘ）Ａ
３（３） Ｆａ Ａ
といふ「計算」は、
２（２）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） Ａ
２（３）（Ｆａ∨Ｆｂ）∨Ｆｃ ２結合法則
４（４）（Ｆａ∨Ｆｂ） Ａ
５（５） Ｆａ Ａ
９（９） Ｆｂ Ａ
オ（オ） Ｆｃ Ａ
といふ「計算」に、「相当」する。
従って、
（06）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
３（３）Ｆａ Ａ
といふ「仮定」は、「実際」には、
５（５）Ｆａ Ａ
９（９）Ｆｂ Ａ
オ（オ）Ｆｃ Ａ
といふ「仮定」に、「相当」し、そのため、
連式 ∃ｘ（Ｆｘ）├ Ｆａ は妥当とは考えず、ａは任意に選ばれているが、与えられたＦをもつ対象の１つではないかもしれないから、
この式を受け入れないのである（E.j.レモン 著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１４９頁）。
といふ、ことになる。
（07）
「簡単」に言ふと、
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
① Ｆａ
② Ｆｂ
③ Ｆｃ
④（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）≡∃ｘ（Ｆｘ）
に於いて、
①├ ④
②├ ④
③├ ④
といふ「３通り」があるため、
④├ ①
といふ「１通り」であるとは「限らず」、そのため、
∃ｘ（Ｆｘ）├ Ｆａ は「妥当」とは考えないものの、「条件」を満たす限り、「計算としては同じ」になるため、「便宜的」に、
∃ｘ（Ｆｘ）├ Ｆａ であると、「見做してゐる」。
（08）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
５（５）Ｆａ Ａ
９（９）Ｆｂ Ａ
オ（オ）Ｆｃ Ａ
といふ「仮定」に、「相当」する所の、
３（３）Ｆａ Ａ
といふ「仮定」に於ける、「Ｆａ」を、「代表的選言項（typical disjunct）」と言ふ。
（01）
この規則（ＣＰ）の扱い方は、これまでの規則のそれよりも会得しにくいものであるが、しかしそれに習熟することはがどうしても必要である。
Its working is harder to grasp than that of the earlier rules, but familiarity with it is indispensable.
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎、浅野楢英 訳、1973年、２０頁）
然るに、
（02）
１ （１） Ｐ Ａ
２（２） Ｑ Ａ
１２（３） Ｐ＆Ｑ １２＆Ｉ
１ （４）Ｑ→Ｐ＆Ｑ ２３ＣＰ
従って、
（02）により、
（03）
① Ｐ├ Ｑ→Ｐ＆Ｑ
といふ「推論」、すなはち、「日本語」で言ふと、
① Ｐなので、Ｑならば、ＰであってＱである。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（03）により、
（04）
① Ｐなので、Ｑならば、ＰであってＱである。
に於いて、
Ｐ＝原さんは日本人である。
Ｑ＝原さんは女性 である。
として、
① 原さんは日本人なので、原さんが女性であるならば、原さんは日本人の女性である。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（05）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ １３ＭＰＰ
１２３（５） ～Ｑ＆Ｑ ２４＆Ｉ
１２ （６）～Ｐ ３５ＲＡＡ
１ （７）～Ｑ→～Ｐ ２６ＣＰ
従って、
（05）により、
（06）
② Ｐ→Ｑ├ ～Ｑ→～Ｐ
といふ「推論」、すなはち、「日本語」で言ふと、
② ＰならばＱなので、ＱでないならばＰでない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（06）により、
（07）
② Ｐ→Ｑ├ ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
Ｐ＝原さんは東京都民である。
Ｑ＝原さんは日本人 である、
として、
② 原さんが東京都民であるならば、原さんは日本人なので、原さんが日本人でないならば、原さんは東京都民ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（03）（07）により、
（08）
① Ｐ├ Ｑ→Ｐ＆Ｑ
② Ｐ→Ｑ├ ～Ｑ→～Ｐ
といふ「推論」の「代入例（substitution instances）」として、
① 原さんは日本人なので、原さんが女性であるならば、原さんは日本人の女性である。
② 原さんが東京都民であるならば、原さんは日本人なので、原さんが日本人でないならば、原さんは東京都民ではない。
といふ「推論」は「妥当」であるが、
① 原さんは日本人なので、原さんが女性であるならば、原さんは日本人の女性である。
② 原さんが東京都民であるならば、原さんは日本人なので、原さんが日本人でないならば、原さんは東京都民ではない。
といふ「推論」が「正しい」ことは、「当然（当り前）」である。
従って、
（08）により、
（09）
① Ｐ├ Ｑ→Ｐ＆Ｑ
② Ｐ→Ｑ├ ～Ｑ→～Ｐ
といふ「論理式」が「正しい」ことは、「当然（常識）」である。
従って、
（02）～（09）により、
（10）
① 原さんは日本人なので、原さんが女性であるならば、原さんは日本人の女性である。
② 原さんが東京都民であるならば、原さんは日本人なので、原さんが日本人でないならば、原さんは東京都民ではない。
といふ「日本語」で考へれば、
（ⅰ）
１ （１） Ｐ Ａ
２（２） Ｑ Ａ
１２（３） Ｐ＆Ｑ １２＆Ｉ
１ （４）Ｑ→Ｐ＆Ｑ ２３ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ １３ＭＰＰ
１２３（５） ～Ｑ＆Ｑ ２４＆Ｉ
１２ （６）～Ｐ ３５ＲＡＡ
１ （７）～Ｑ→～Ｐ ２６ＣＰ
といふ「命題計算（Propsitional Calculus）」が「正しい」ことは、「疑ふ余地が無い」。
従って、
（01）（10）により、
（11）
「E.J.レモン」とは異なり、「ブロガー自身」は、
この規則（ＣＰ）の扱い方は、他の規則のそれよりも会得しにくいものである。
Its working is harder to grasp than that of the other rules.
といふ風には、思ってゐない。
（01）
「すべてのフランス人は寛大である」は一種の条件文として適切に記号化されるので、これと同化（assimilation）してしまって、
「幾らかのフランス人は寛大である」を、正しく、
∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）と記号化するかわりに、むしろ、
∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）とするのは、よくある間違いである。しかし、
∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）は、
それがフランス人であるならば、寛大であるようなものが存在することを主張するのであって、
これは、かりにフランス人が存在しないとしても真であろう。しかるに、
「幾らかのフランス人は寛大である」は決してそうではない。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１２４頁）
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２ （２） Ｆａ→Ｇａ Ａ
２ （３） ～Ｆａ∨Ｇａ ２含意の定義
４ （４） ～Ｆａ Ａ
５ （５） ∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
５ （６） Ｆａ ５ＵＥ
４５ （７） ～Ｆａ＆Ｆａ ４６＆Ｉ
４ （８）～∀ｘ（Ｆｘ） ５７ＲＡＡ
４ （９）～∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ８∨Ｉ
ア（ア） Ｇａ Ａ
ア（イ） ∃ｘ（Ｇｘ） アＥＩ
ア（ウ）～∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） イ∨Ｉ
２ （エ）～∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ２４９アウ∨Ｅ
１ （オ）～∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） １２エＥＥ
１ （エ） ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） オ含意の定義
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
１ （２）～∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） １含意の定義
３ （３）～∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
４ （４） Ｆａ Ａ
４ （５） ∀ｘ（Ｆｘ） ４ＵＩ
３４ （６）～∀ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ（Ｆｘ） ３５＆Ｉ
３ （７） ～Ｆａ ４ＲＡＡ
３ （８） ～Ｆａ∨Ｇａ ７∨Ｉ
９ （９） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
ア（ア） Ｇａ Ａ
ア（イ） ～Ｆａ∨Ｇａ ア∨Ｉ
９ （ウ） ～Ｆａ∨Ｇａ ９アイＥＥ
１ （エ） ～Ｆａ∨Ｇａ ２３８９ウ∨Ｅ
１ （オ） Ｆａ→Ｇａ エ含意の定義
１ （カ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） オＥＩ
然るに、
（03）
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ（ Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
１ （２） ～∀ｘ（ Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） １含意の定義
３ （３） ～∀ｘ（ Ｆｘ） Ａ
４ （４） ～∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
５ （５） ～Ｆａ Ａ
５ （６） ∃ｘ（～Ｆｘ） ５ＥＩ
４５ （７） ～∃ｘ（～Ｆｘ）＆∃ｘ（～Ｆｘ） ４６＆Ｉ
４ （８） ～～Ｆａ ５７ＲＡＡ
４ （９） Ｆａ ８ＤＮ
４ （ア） ∀ｘ（ Ｆｘ） ９ＵＩ
３４ （イ） ～∀ｘ（ Ｆｘ）＆∀ｘ（ Ｆｘ） ３ア＆Ｉ
３ （ウ）～～∃ｘ（～Ｆｘ） ４イＲＡＡ
３ （エ） ∃ｘ（～Ｆｘ） ウＤＮ
３ （オ） ∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） エ∨Ｉ
カ（カ） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
カ（キ） ∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） カ∨Ｉ
１ （ク） ∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ２３オカキ∨Ｅ
（ⅲ）
１ （１） ∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （２） ∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
３ （３） ∀ｘ（ Ｆｘ） Ａ
４ （４） ～Ｆａ Ａ
３ （５） Ｆａ ３ＵＥ
３４ （６） ～Ｆａ＆Ｆａ ４５＆Ｉ
４ （７）～∀ｘ（ Ｆｘ） ３６ＲＡＡ
２ （８）～∀ｘ（ Ｆｘ） ２４７ＥＥ
２ （９）～∀ｘ（ Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ８∨Ｉ
ア（イ） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
ア（ウ）～∀ｘ（ Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） イ∨Ｉ
１ （エ）～∀ｘ（ Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） １２９アウ∨Ｅ
１ （オ） ∀ｘ（ Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） エ含意の定義
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ∃ｘ（ Ｆｘ→Ｇｘ）
② ∀ｘ（ Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）
③ ∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（04）により、
（05）
① それがフランス人であるならば、 寛大であるようなものが存在する。
② それがフランス人であるならば、その中に、 寛大であるようなものが存在する。
③ フランス人でないものが存在するか、または、寛大であるようなものが存在する。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（01）（05）により、
（06）
③ フランス人でないｘが存在するか、または、寛大であるｘがする。
といふのであれば、
③ これは、かりにフランス人が存在しないとしても真であろう。
従って、
（01）（04）（06）により、
（07）
「幾らかのフランス人は寛大である（Some French are generous））。」といふ「日本語（英語）」を、
∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）と記号化するかわりに、むしろ、
∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）とするのは、「よくある間違い（Common mistake）」である。
といふ、「E.J.レモンの説明」は、「正しい」。
然るに、
（08）
１ （１） ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
１ （２）～∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） １含意の定義
３ （３）～∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
４ （４） Ｆａ Ａ
４ （５） ∀ｘ（Ｆｘ） ４ＵＩ
３４ （６）～∀ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ（Ｆｘ） ３５＆Ｉ
３ （７） ～Ｆａ ４ＲＡＡ
３ （８） ～Ｆａ∨Ｇａ ７∨Ｉ
９ （９） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
ア （ア） Ｇａ Ａ
ア （イ） ～Ｆａ∨Ｇａ ア∨Ｉ
９ （ウ） ～Ｆａ∨Ｇａ ９アイＥＥ
１ （エ） ～Ｆａ∨Ｇａ ２３８９ウ∨Ｅ
１ （オ） Ｆａ→Ｇａ エ含意の定義
カ （カ） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
キ（キ） Ｆａ Ａ
１ キ（ク） Ｇａ カキＭＰＰ
１ キ（ク） Ｆａ＆Ｇａ キク＆Ｉ
１ キ（ケ） ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） クＥＩ
１ カ （コ） ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） カキケＥＥ
従って、
（08）により、
（09）
（ⅰ）∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）。然るに、
（ⅱ）∃ｘ（Ｆｘ）。従って、
（ⅲ）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘがフランス人であるならば、あるｘは寛大である。然るに、
（ⅱ）あるｘはフランス人である。従って、
（ⅲ）あるｘはフランス人であって、寛大である。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）それがフランス人であるならば、その中に、寛大であるようなものが存在する。然るに、
（ⅱ）フランス人であるものが、存在する。従って、
（ⅲ）フランス人のあるものは、寛大である。
といふ「推論」は、「妥当」である。
―（20）以下に、「昨日（令和６年１１月１３日）の記事」の「続き」を書きます。―
然るに、
（17）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
（３）（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ １２ＣＰ
（ⅱ）
１（１）Ｐ Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
（３）Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） １２ＣＰ
然るに、
（18）
（ⅰ）
１（１） ～｛ （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ｝ Ａ
１（２） ～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ｝ 含意の定義
１（３） （Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ＆Ｑ ３＆Ｅ
１（５） Ｐ ４＆Ｅ
１（６） ～Ｐ ３＆Ｅ
１（７） Ｐ＆～Ｐ ５６＆Ｉ
（８）～～｛ （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ｝ １７ＲＡＡ
（９） （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ８ＤＮ
（ⅱ）
１（１） ～｛ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝ Ａ
１（２） ～｛～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）｝ １含意の定義
１（３） Ｐ＆～（Ｐ∨Ｑ） ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ ３＆Ｅ
１（５） ～（Ｐ∨Ｑ） ３＆Ｅ
１（６） ～Ｐ＆～Ｑ ５ド・モルガンの法則
１（７） ～Ｐ ６＆Ｅ
１（８） Ｐ＆～Ｐ ４７＆Ｉ
（９）～～｛ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝ １８ＲＡＡ
（ア） Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ９ＤＮ
従って、
（16）（17）（18）により、
（19）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
② Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
である所の、
①「連言除去」
②「選言導入」
を含めて、「恒真式（トートロジー）」とは、
「否定をすると、矛盾が生じるため、背理法（ＲＡＡ）により、仮定の数が０になる」所の「連式の結論」である。
然るに、
（20）
① ～｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ｝
② ～｛Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝
ではなく、
③ ～｛（Ｐ∨Ｑ）→Ｐ｝
④ ～｛Ｐ→（Ｐ＆Ｑ）｝
の場合は、
（ⅲ）
１（１）～｛ （Ｐ∨Ｑ）→ Ｐ｝ Ａ
１（２）～｛～（Ｐ∨Ｑ）∨ Ｐ｝ 含意の定義
１（３） （Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ∨Ｑ ３＆Ｅ
からは、
１（５） Ｐ ４＆Ｅ
１（６） ～Ｐ ３＆Ｅ
１（７） Ｐ＆～Ｐ ５６＆Ｉ
とはならないし、
（ⅳ）
１（１）～｛ Ｐ→ （Ｐ＆Ｑ）｝ Ａ
１（２）～｛～Ｐ∨ （Ｐ＆Ｑ）｝ １含意の定義
１（３） Ｐ＆～（Ｐ＆Ｑ） ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ ３＆Ｅ
１（５） ～（Ｐ＆Ｑ） ３＆Ｅ
１（６） ～Ｐ∨～Ｑ ５ド・モルガンの法則
からは、
１（７） ～Ｐ ６＆Ｅ
１（８） Ｐ＆～Ｐ ４７＆Ｉ
とはならない。
従って、
（19）（20）により、
（21）
① ～｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ｝
② ～｛Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝
の場合、すなわち、
①「連言除去」
②「選言導入」
の場合は、「否定をすると、矛盾が生じる」ため、「背理法（ＲＡＡ）により、仮定の数が０になる」所の「連式の結論」であるが、
③ ～｛（Ｐ∨Ｑ）→Ｐ｝
④ ～｛Ｐ→（Ｐ＆Ｑ）｝
の場合は、「否定しても、矛盾が生じない」ため、「背理法（ＲＡＡ）により、仮定の数が０になる」所の「連式の結論」ではない。
従って、
（21）により、
（22）
③ ～｛（Ｐ∨Ｑ）→Ｐ｝
④ ～｛Ｐ→（Ｐ＆Ｑ）｝
は、「偽（矛盾）」ではないため、
③（Ｐ∨Ｑ）→Ｐ
④ Ｐ→（Ｐ＆Ｑ）
は、「真」ではない。
従って、
（22）により、
（23）
③（Ｐ∨Ｑ）├ Ｐ
④ Ｐ├ （Ｐ＆Ｑ）├ Ｑ
という「推論」、すなわち、
③ Ｐまたは、Ｑである。従って、Ｐである。
④ Ｐである。従って、ＰであってＱである。従って、Ｑである。
という「推論」は、「妥当」ではない。
従って、
（23）により、
（24）
例えば、
Ｐ＝男性である。
Ｑ＝女性である。
として、
③ 男性か、または、女性である。従って、男性である。
④ 男性である。従って、女性である。
という「推論」は、「妥当」ではない。
然るに、
（25）
話は変わるものの、
１９４８年、ゲーデルは、アメリカ市民権を取得する。このとき、保証人に名を連ねたのがアインシュタインである。当時、アメリカ市民権を取得するには、米国憲法に関する面接試験が課せられていた。そのため、ゲーデルは、合衆国憲法を一から勉強しはじめた。面接当日、ゲーデルは「合衆国憲法が独裁国家に合法的に移行する可能性を秘めていることを発見した」とアインシュタインたちに語り、彼らを当惑させた。そして、移民審査をする判事から「あなたは、独裁国家（ナチス・ドイツに併合されたオーストリア）から来られたのですね。我がアメリカ合衆国ではそのようなことは起きませんから、安心してください」と言われた際、ゲーデルは、即座に「それどころか私は、いかにしてそのようなことが起こりうるのかを証明できるのです」と答えた。そのため、その場に付き添っていたアインシュタインたちが慌てて場を取り繕うという一幕があった（ウィキペディア）。
然るに、
（26）
連立方程式を解かせると間違った答えを出したり、定理の証明を求めると奇妙な間違い計算を続けて、最後に「証明ができました」と言ったりする。使い物にならない。数学だけではない。形式論理の適用でも間違えることがある。例えば、逆命題と対偶命題を混同し、誤った結論を出すことがある。こうした問題はＣｈａｔＧＰＴだけでなく、そのもとになって大規模言語モデルＬＬＭに共通する問題だ（野口悠紀雄、生成ＡＩ革命、2024年、２９９頁）。
従って、
（25）（26）により、
（27）
（ⅰ）「（超一流の）論理学者」は、「アメリカ合衆国憲法の瑕疵を、証明出来る」が、
（ⅱ）「（論理が苦手）なＡＩ」は、「アメリカ合衆国憲法の瑕疵を、証明出来ない」。
という風に、思われる。
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
（02）
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
２ （イ） ～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｐ＆～Ｑ ７イ＆Ｉ
１２ （エ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １ウ＆Ｉ
１ （オ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２エＲＡＡ
１ （カ） ～Ｐ∨Ｑ オＤＮ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ｐ→ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
②＝③ であって、それ故、
①＝②＝③ である。
従って、
（03）により、
（04）
Ｑ＝Ｐ であるとして、
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、
①＝② であって、
②＝③ であって、それ故、
①＝②＝③ である。
従って、
（04）により、
（05）
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、すなわち、
①「同一律（トートロジー）」
②「矛盾律（トートロジー）」
③「排中律（トートロジー）」
に於いて、
①＝② であって、
②＝③ であって、それ故、
①＝②＝③ である。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆～Ｐ Ａ
（２）～（Ｐ＆～Ｐ） １１ＲＡＡ
（ⅲ）
１ （１） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
２（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
１ （７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） ６１＆Ｉ
（９）～～（～Ｐ∨Ｐ） １８ＲＡＡ
（ア） ～Ｐ∨Ｐ ９ＤＮ
従って、
（06）により、
（07）
①├ Ｐ→ Ｐ
②├ ～（Ｐ＆～Ｐ）
③├ ～Ｐ∨ Ｐ
という「連式」に対する、
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
という「論理式」に於いて、
① は、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
② も、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
③ も、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」である。
然るに、
（05）により、
（08）
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ であるため、それらの「否定」である所の、
① ～｛ Ｐ→ Ｐ｝
② ～｛～（Ｐ＆～Ｐ）｝
③ ～｛ ～Ｐ∨ Ｐ｝
に於いても、
①＝②＝③ である。
然るに、
（09）
（ⅱ）
１（１） ～｛～（Ｐ＆～Ｐ）｝ Ａ
１（２） Ｐ＆～Ｐ １ＤＮ
（３）～～｛～（Ｐ＆～Ｐ）｝ １２ＲＡＡ（背理法）
（４） ～（Ｐ＆～Ｐ） ３ＤＮ
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ である所の「恒真式（トートロジー）」は、
（ａ）「否定」をすると、
（ｂ）「矛盾」が生じるが故に、
（ｃ）「背理法（ＲＡＡ）」により、
（ｄ）「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」である。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１ （１）Ｐ→Ｑ Ａ
２（２）Ｐ Ａ
１２（３） Ｑ １２ＭＰＰ
（ⅱ）
１ （１）Ｐ→Ｑ Ａ
２（２）Ｐ Ａ
１２（３） Ｑ １２ＭＰＰ
１ （４）Ｐ→Ｑ ２３ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２（２） Ｐ Ａ
１２（３） Ｑ １２ＭＰＰ
１ （４） Ｐ→Ｑ ２３ＣＰ
（５）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） １４ＣＰ
（ⅳ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２（２） Ｐ Ａ
１２（３） Ｑ １２ＭＰＰ
２（４）（Ｐ→Ｑ）→Ｑ １３ＣＰ
（５） Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ） １４ＣＰ
従って、
（11）により、
（12）
① Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
② Ｐ→Ｑ├ Ｐ→Ｑ
③ ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
という「連式（sequents）」は「妥当」である。
従って、
（12）により、
（13）
① Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
② Ｐ→Ｑ├ Ｐ→Ｑ
③ ├（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ ├ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
という「連式」に対する、
① Ｑ
② Ｐ→Ｑ
③（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
という「論理式」に於いて、
① は、「仮定の数が１である所の、連式の結論」であって、
② は、「仮定の数が２である所の、連式の結論」であって、
③ は、「仮定の数が０である所の、連式の結論」であって、
④ は、「仮定の数が０である所の、連式の結論」である。
然るに、
（14）
（ⅲ）
１（１） ～｛ （Ｐ→Ｑ）→（ Ｐ→Ｑ）｝ Ａ
１（２） ～｛～（Ｐ→Ｑ）∨（ Ｐ→Ｑ）｝ １含意の定義
１（３） ～｛～（Ｐ→Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）｝ ２含意の定義
１（４） Ｐ→Ｑ＆～（～Ｐ∨Ｑ） ３ド・モルガンの法則
１（５） Ｐ→Ｑ ４＆Ｅ
１（６） ～（～Ｐ∨Ｑ） ４＆Ｅ
１（７） Ｐ＆～Ｑ ６ド・モルガンの法則
１（８） Ｐ ７＆Ｅ
１（９） Ｑ ５８ＭＰＰ
１（ア） ～Ｑ ７＆Ｅ
１（イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
（ウ）～～｛ （Ｐ→Ｑ）→（ Ｐ→Ｑ）｝ １イＲＡＡ
（エ） （Ｐ→Ｑ）→（ Ｐ→Ｑ） ウＤＮ
（ⅳ）
１（１） ～｛ Ｐ→（ （Ｐ→Ｑ）→ Ｑ）｝ Ａ
１（２） ～｛～Ｐ∨（ （Ｐ→Ｑ）→ Ｑ）｝ １含意の定義
１（３） ～｛～Ｐ∨（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｑ）｝ ２含意の定義
１（４） Ｐ＆～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｑ） ３ド・モルガンの法則
１（５） Ｐ ４＆Ｅ
１（６） ～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｑ） ５＆Ｅ
１（７） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｑ ６ド・モルガンの法則
１（８） Ｐ→Ｑ ７＆Ｅ
１（９） Ｑ ５８ＭＰＰ
１（ア） ～Ｑ ７＆Ｅ
１（イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
（ウ）～～｛ Ｐ→（ （Ｐ→Ｑ）→ Ｑ）｝ １イＲＡＡ
（エ） Ｐ→（ （Ｐ→Ｑ）→ Ｑ） ウＤＮ
従って、
（13）（14）により、
（15）
③（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
に於いて、
③ は、「仮定の数が０である所の、連式の結論」であって、
④ は、「仮定の数が０である所の、連式の結論」である。
ということは、
③ は、「否定をすると、矛盾が生じるため、背理法（ＲＡＡ）により、仮定の数が０になる。」
④ は、「否定をすると、矛盾が生じるため、背理法（ＲＡＡ）により、仮定の数が０になる。」
ということを、「意味」している。
従って、
（10）（15）により、
（16）
「番号」を付け直すと、
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
④ （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
⑤ Ｐ→（（Ｐ→Ｑ）→Ｑ）
という「恒真式（トートロジー）」は、すべて、
②「否定をすると、矛盾が生じるため、背理法（ＲＡＡ）により、仮定の数が０になる」所の「連式の結論」である。
然るに、
（17）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
（３）（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ １２ＣＰ
（ⅱ）
１（１）Ｐ Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
（３）Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） １２ＣＰ
然るに、
（18）
（ⅰ）
１（１） ～｛ （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ｝ Ａ
１（２） ～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ｝ 含意の定義
１（３） （Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ＆Ｑ ３＆Ｅ
１（５） Ｐ ４＆Ｅ
１（６） ～Ｐ ３＆Ｅ
１（７） Ｐ＆～Ｐ ５６＆Ｉ
（８）～～｛ （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ｝ １７ＲＡＡ
（９） （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ８ＤＮ
（ⅱ）
１（１） ～｛ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝ Ａ
１（２） ～｛～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）｝ １含意の定義
１（３） Ｐ＆～（Ｐ∨Ｑ） ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ ３＆Ｅ
１（５） ～（Ｐ∨Ｑ） ３＆Ｅ
１（６） ～Ｐ＆～Ｑ ５ド・モルガンの法則
１（７） ～Ｐ ６＆Ｅ
１（８） Ｐ＆～Ｐ ４７＆Ｉ
（９）～～｛ Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）｝ １８ＲＡＡ
（ア） Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ９ＤＮ
従って、
（16）（17）（18）により、
（19）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
② Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）
である所の、
①「連言除去」
②「選言導入」
を含めて、「恒真式（トートロジー）」とは、
②「否定をすると、矛盾が生じるため、背理法（ＲＡＡ）により、仮定の数が０になる」所の「連式の結論」である。
（01）
命題計算では、パースの法則は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる。パースの法則は直観論理や中間論理では成立せず、演繹定理だけからでは導くことができない（ウィキペディア）。
然るに、
（02）
５ 原始的規則あるいは導出された規則を、既にに証明されたどのような連式あるいは定理とでもともに用いて、証明せよ。
５ Using Primitive or deriverd rulues, together with any sequents or theorems already Proved,Prove.
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、８０頁）
（ｃ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２） （～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ １含意の定義
１ （３）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ２含意の定義
４ （４）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
４ （５） Ｐ＆～Ｑ ４ド・モルガンの法則
４ （６） Ｐ ５＆Ｅ
７（７） Ｐ Ａ
１ （８） Ｐ １４６７７∨Ｅ
（９）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １８ＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
「含意の定義、ド・モルガンの法則」を用いれば、「パースの法則」は、「９行の計算」で、「証明」出来る。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨Ｑ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨Ｑ オ∨Ｉ
８ オ（キ） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ８オ＆Ｉ
８ （ク） ～Ｑ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｐ＆～Ｑ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ８コＲＡＡ
１ （シ） ～Ｐ∨Ｑ サＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ６オ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（01）（04）により、
（05）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② は「含意の定義」であって、「E.J.レモンの原始的規則（Primitive rules）」で「証明」出来る。
然るに、
（04）により、
（06）
（ⅰ）
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨Ｑ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨Ｑ オ∨Ｉ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
従って、
（01）（06）により、
（07）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
② ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
①＝② は「ド・モルガンの法則」であって、「E.J.レモンの原始的規則（Primitive rules）」で「証明」出来る。
然るに、
（08）
自然演繹（しぜんえんえき、英: Natural deduction）は、「自然な」ものとしての論理的推論の形式的モデルを提供する証明理論の手法であり、哲学的論理学の用語である。自然演繹論理のあるバージョンには、公理が存在しない。ジョン・レモンが開発した体系Ｌは、証明の構文規則に関する次のような「１０個の原始的規則（Primitive rules）」だけを持つ。
（ウィキペディア改）
従って、
（03）（05）（07）（08）により、
（09）
「パースの法則」は、「自然演繹（ジョン・レモンが開発した体系Ｌ）」に於ける、「１０個の原始的規則（Primitive rules）」で、「証明」出来る。
従って、
（01）（09）により、
（10）
命題計算では、「パースの法則」は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言うものの、「パースの法則」は 「自然な」ものとしての「論理的推論の形式的モデルを提供する証明理論の手法」によって、「証明」出来る。
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
（03）
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
２ （イ） ～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｐ＆～Ｑ ７イ＆Ｉ
１２ （エ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １ウ＆Ｉ
１ （オ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２エＲＡＡ
１ （カ） ～Ｐ∨Ｑ オＤＮ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
②＝③ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① Ｐ→ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、すなはち、
① Ｐであるならば、Ｑである。
②（Ｐであって、Ｑでない）ということはない。
③ Ｐでないか、または、Ｑである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
① Ｐ→ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
Ｐ＝Ｑ であるとして、
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、すなはち、
①「同一律（恒真式）」
②「矛盾律（恒真式）」
③「排中律（恒真式）」
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（07）
（ⅰ）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆～Ｐ Ａ
（２）～（Ｐ＆～Ｐ） １１ＲＡＡ
（ⅲ）
１ （１） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
２（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
１ （７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） ６１＆Ｉ
（９）～～（～Ｐ∨Ｐ） １８ＲＡＡ
（ア） ～Ｐ∨Ｐ ９ＤＮ
従って、
（06）（07）により、
（08）
①├ Ｐ→ Ｐ
②├ ～（Ｐ＆～Ｐ）
③├ ～Ｐ∨ Ｐ
という「連式」に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（09）
①├ Ｐ→ Ｐ
②├ ～（Ｐ＆～Ｐ）
③├ ～Ｐ∨ Ｐ
という「連式」に対する、
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
という「論理式」に於いて、
① は、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
② も、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
③ も、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」である。
従って、
（06）（09）により、
（10）
①「同一律（恒真式）」
②「矛盾律（恒真式）」
③「排中律（恒真式）」
に於いて、
①＝②＝③ であって、尚且つ、
① は、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
② も、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
③ も、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」である。
従って、
（10）により、
（11）
（ⅰ）「恒真式（トートロジー）」とは、
（ⅱ）「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」である。
然るに、
（12）
① Ｐ→Ｐ（恒真式）
に対して、
① Ｐ＝（Ｐ＆Ｑ）
といふ「代入（置き換え）」を行うと、
①（Ｐ＆Ｑ）→（Ｐ＆Ｑ）
は、「恒真式（同一律）」である。
然るに、
（13）
（ⅰ）
１ （１）（Ｐ＆Ｑ）→（Ｐ＆Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） Ｑ Ａ
２３（４）（Ｐ＆Ｑ） ２３＆Ｉ
１２３（５） （Ｐ＆Ｑ） １４ＭＰＰ
１２ （６） （Ｑ→（Ｐ＆Ｑ）） ３５ＣＰ
１ （７） Ｐ→（Ｑ→（Ｐ＆Ｑ）） ２６ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ→（Ｑ→（Ｐ＆Ｑ）） Ａ
２（２）（Ｐ＆Ｑ） Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
１２（４） Ｑ→（Ｐ＆Ｑ） １３ＭＰＰ
２（５） Ｑ ２＆Ｅ
１２（６） （Ｐ＆Ｑ） ４５ＭＰＰ
１ （７）（Ｐ＆Ｑ）→（Ｐ＆Ｑ） ２６ＣＰ
従って、
（13）により、
（14）
①（Ｐ＆Ｑ）→（Ｐ＆Ｑ）
② Ｐ→（Ｑ→（Ｐ＆Ｑ））
に於いて、
①＝② である。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
①（Ｐ＆Ｑ）→（Ｐ＆Ｑ）
② Ｐ→（Ｑ→（Ｐ＆Ｑ））
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
① が「恒真式（同一律）」であるため、
② も「恒真式（同一律）」である。
然るに、
（16）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ Ａ
２（２） Ｑ Ａ
１２（３） Ｐ＆Ｑ １２＆Ｉ
１ （４）Ｑ→（Ｐ＆Ｑ） ２３ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ Ａ
２（２） Ｑ Ａ
１２（３） Ｐ＆Ｑ １２＆Ｉ
１ （４） Ｑ→（Ｐ＆Ｑ） ２３ＣＰ
（５）Ｐ→（Ｑ→（Ｐ＆Ｑ）） １４ＣＰ
従って、
（16）により、
（17）
① Ｐ├ Ｑ→（Ｐ＆Ｑ）
② ├ Ｐ→（Ｑ→（Ｐ＆Ｑ））
という「連式」は、両方とも、「妥当」である。
従って、
（17）により、
（18）
例へば、
Ｐ＝１０月
Ｑ＝１７日
であるとすると、
① Ｐ├ Ｑ→（Ｐ＆Ｑ）
② ├ Ｐ→（Ｑ→（Ｐ＆Ｑ））
といふ「連式」、すなはち、
① １０月なので、１７日ならば、（１０月１７日である）。
② １０月ならば（１７日ならば、（１０月１７日である））。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（19）
① １１月某日
に於いて、
①（今日は）１０月なので、
と「断定」すれば、「ウソ」になるが、
② １１月某日
に於いて、
②（今日が）１０月ならば、
と「仮定」しても、「ウソ」にはならない。
従って、
（09）（15）（18）（19）により、
（20）
① Ｐ├ Ｑ→（Ｐ＆Ｑ）
② ├ Ｐ→（Ｑ→（Ｐ＆Ｑ））
といふ「連式」に於ける、
② Ｐ→（Ｑ→（Ｐ＆Ｑ））
という「論理式」は、
（ⅰ）「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
（ⅱ）「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、
（ⅲ）「恒に真」である。
（01）
Ｄ＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるならば、
① ∀ｘ（Ｆｘ）
②（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）により、
（02）
Ｄ＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるならば、
① ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）は、
ｙに関して、
①（Ｆｘ＆Ｆａ）＆（Ｆｘ＆Ｆｂ）＆（Ｆｘ＆Ｆｃ）
という「３通り」が有る。
従って、
（02）により、
（03）
Ｄ＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるならば、
① ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）は、
ｘに関しても、
①（Ｆａ＆Ｆａ）＆（Ｆａ＆Ｆｂ）＆（Ｆａ＆Ｆｃ）
②（Ｆｂ＆Ｆａ）＆（Ｆｂ＆Ｆｂ）＆（Ｆｂ＆Ｆｃ）
③（Ｆｃ＆Ｆａ）＆（Ｆｃ＆Ｆｂ）＆（Ｆｃ＆Ｆｃ）
という「３通り」が有る。
然るに、
（04）
「冪等律」により、
①（Ｆａ＆Ｆａ）＝Ｆａ
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）＝Ｆｂ
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）＝Ｆｃ
従って、
（03）（04）により、
（05）
①（Ｆａ）＆（Ｆａ＆Ｆｂ）＆（Ｆａ＆Ｆｃ）
②（Ｆｂ＆Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｂ＆Ｆｃ）
③（Ｆｃ＆Ｆａ）＆（Ｆｃ＆Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
従って、
（04）により、
（06）
「交換法則」により、
①（Ｆａ）＆（Ｆａ＆Ｆｂ）＆（Ｆａ＆Ｆｃ）
②（Ｆｂ）＆（Ｆｂ＆Ｆａ）＆（Ｆｂ＆Ｆｃ）
③（Ｆｃ）＆（Ｆｃ＆Ｆａ）＆（Ｆｃ＆Ｆｂ）
従って、
（06）により、
（07）
「交換法則・結合法則」により、
①（Ｆａ＆Ｆａ＆Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ＆Ｆｂ）＆（Ｆａ）＆（Ｆｃ）
③（Ｆｃ＆Ｆｃ＆Ｆｃ）＆（Ｆａ）＆（Ｆｂ）
従って、
（07）により、
（08）
「冪等律」により、
①（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
②（Ｆｂ）＆（Ｆａ）＆（Ｆｃ）
③（Ｆｃ）＆（Ｆａ）＆（Ｆｂ）
従って、
（08）により、
（09）
「交換法則」により、
①（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
②（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
③（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
従って、
（09）により、
（10）
「冪等律」により、
③（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
従って、
（01）～（10）により、
（11）
② ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
③（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（01）（11）により、
（12）
Ｄ＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
① ∀ｙ（Ｆｙ）
② ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
③（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（13）
Ｄ＝｛ａ、ｂ、ｃ、ｄ｝
であるならば、
① ∀ｘ（Ｆｘ）
②（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）＆（Ｆｄ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）～（12）（13）により、
（14）
「数学的帰納法」により、
Ｄ＝｛ａ、ｂ、ｃ、ｄ、・・・・・｝
に於いて、
① ∀ｙ（Ｆｙ）
② ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（14）により、
（15）
① ∀ｙ（Ｆｙ→ｙ＝ｙ）
② ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（15）により、
（16）
Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、練習問題３（Ｐ２１５）
つぎの相互に導出可能な結果を確立せよ。
（ａ）：正確に１のものがＦをもつ。
∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝├ ∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
１ （１）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２ （２） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２ （３） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２ （４） Ｆｂ→ａ＝ｂ ３ＵＥ
５（５） Ｆａ＆Ｆｂ Ａ
５（６） Ｆｂ ５＆Ｅ
２５（７） ａ＝ｂ ４６ＭＰＰ
２ （８） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５７ＣＰ
２ （９） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ８ＵＩ
２ （ア） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） ９ＵＩ（２には、ａがあるが、ａ＝ｂである）。
２ （イ） Ｆａ ２＆Ｅ
２ （ウ）∃ｘＦｘ イＥＩ
２ （エ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） アウ＆Ｉ
１ （ウ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １２エＥＥ
という「計算」は、「妥当」であり、
（ｂ）：正確に１のものがＦをもつ。
∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）├ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
１ （１）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２）∃ｘＦｘ １＆Ｅ
３ （３） Ｆａ Ａ
１ （４） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １＆Ｅ
１ （５） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ４ＵＥ
１ （６） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５ＵＥ
７（７） Ｆｂ Ａ
３７（８） Ｆａ＆Ｆｂ ３７＆Ｉ
１３７（９） ａ＝ｂ ６８ＭＰＰ
１３ （ア） Ｆｂ→ａ＝ｂ ７９ＣＰ
１３ （イ） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） アＵＩ
１３ （ウ） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３イ＆Ｉ
１３ （エ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ウＥＩ
１ （オ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ２３エＥＥ
という「計算」は、「妥当」である。
従って、
（16）により、
（17）
① ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
に於いて、すなはち、
① あるｘは｛Ｆであって、すべてのｙについて、 （ｙがＦであるならば、ｘとｙは同一である）｝。
② あるｘは、Ｆであって、すべてのｘとｙについて（ｘがＦであって、ｙもＦであるあるならば、ｘとｙは同一である）。
に於いて、
①＝② である。
（01）
１ （１） ∃ｘ（紫式部ｘ＆源氏物語の著者ｘ） Ａ
２ （２） 紫式部ａ＆源氏物語の著者ａ Ａ
３ （３） ～∀ｘ（紫式部ｘ→源氏物語の著者ｘ） Ａ
３ （５） ∃ｘ～（紫式部ｘ→源氏物語の著者ｘ） ３量化子の関係
６ （６） ～（紫式部ａ→源氏物語の著者ａ） Ａ
６ （７） ～（～紫式部ａ∨源氏物語の著者ａ） ６含意の定義
６ （８） 紫式部ａ＆～源氏物語の著者ａ ６ド・モルガンの法則
２ （９） 源氏物語の著者ａ ２＆Ｅ
６ （ア） ～源氏物語の著者ａ ８＆Ｅ
２ ６ （イ） 源氏物語の著者＆～源氏物語の著者ａ ９ア＆Ｉ
２３ （ウ） 源氏物語の著者＆～源氏物語の著者ａ ３６イＥＥ
１ ３ （エ） 源氏物語の著者＆～源氏物語の著者ａ １２ウＥＥ
１ （オ）～～∀ｘ（紫式部ｘ→源氏物語の著者ｘ） ３エＲＡＡ
１ （カ） ∀ｘ（紫式部ｘ→源氏物語の著者ｘ） オＤＮ
キ （キ） ∃ｘ（清少納言ｘ＆紫式部ｘ） Ａ
１ （ク） 紫式部ａ→源氏物語の著者ａ カＵＥ
ケ （ケ） 清少納言ａ＆紫式部ａ Ａ
コ （コ）∃ｘ（清少納言ｘ＆～源氏物語の著者ｘ） Ａ
サ（サ） 清少納言ａ＆～源氏物語の著者ａ Ａ
ケ （シ） 紫式部ａ ケ＆Ｅ
１ ケ （ス） 源氏物語の著者ａ クシＭＰＰ
サ（セ） ～源氏物語の著者ａ サ＆Ｅ
１ ケ サ（ソ） 源氏物語ａ＆～源氏物語の著者ａ スセ＆Ｉ
１ キ サ（タ） 源氏物語ａ＆～源氏物語の著者ａ キケソＥＥ
１ キ コ （チ） 源氏物語ａ＆～源氏物語の著者ａ コサタＥＥ
１ コ （ツ） ～∃ｘ（清少納言ｘ＆紫式部ｘ） キチＲＡＡ
１ コ （テ） ∀ｘ～（清少納言ｘ＆紫式部ｘ） ツ量化子の関係
１ コ （ト） ～（清少納言ａ＆紫式部ａ） テＵＥ
１ コ （ナ） ～清少納言ａ∨～紫式部ａ ト、ド・モルガンの法則
１ コ （ニ） 清少納言ａ→～紫式部ａ ナ含意の定義
１ コ （ヌ） ∀ｘ（清少納言ｘ→～紫式部ｘ） ニＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）∃ｘ（ 紫式部ｘ＆ 源氏物語の著者ｘ）。然るに、
（ⅱ）∃ｘ（清少納言ｘ＆～源氏物語の著者ｘ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ（清少納言ｘ→～紫式部ｘ）。
という「推論」は「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）あるｘは、 紫式部であって、源氏物語の著者である。 然るに、
（ⅱ）あるｘは、清少納言であるが、源氏物語の著者ではない。従って、
（ⅲ）いかなるｘであっても（ｘが清少納言であれば、紫式部ではない）。
という「推論」は「妥当」である。
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）紫式部は、源氏物語の著者である。 然るに、
（ⅱ）清少納言は源氏物語の著者ではない。従って、
（ⅲ）誰であれ、清少納言であるならば、紫式部ではない。
という「推論」は、「述語論理」としても、「妥当」である。
然るに、
（05）
然るに、
（06）
現在の情報検索や自然言語処理は、基本的に論理で処理させることは当面諦めて、統計と確率の手法でＡＩに言語を学習させようとしています。つまり、文章の意味はわからなくても、その文章に出てくる既知の単語とその組合せから統計的に推測して、正しそうな回答を導き出そうとしているのです（新井紀子、ＡＩｖｓ.教科書が読めない子供たち、2018年、１２２頁）。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
ＡＩは、
（ⅰ）紫式部は、源氏物語の著者である。 然るに、
（ⅱ）清少納言は源氏物語の著者ではない。従って、
（ⅲ）誰であれ、清少納言であるならば、紫式部ではない。
という「推論」を行う際に、
① ∃ｘ（ 紫式部ｘ＆ 源氏物語の著者ｘ）
② ∀ｘ（ 紫式部ｘ→ 源氏物語の著者ｘ）
③ ∃ｘ（清少納言ｘ＆～源氏物語の著者ｘ）
④ ∀ｘ（清少納言ｘ→～紫式部ｘ）。
に於ける、
①から②を「演繹」して、その上で、
② と ③ によって、
④を「演繹」している。
といふ、わけではない。
従って、
（06）（07）により、
（08）
ＡＩは、「論理的な機械」ではなく、
ＡＩは、「確率的・統計的な機械」である。
（01）
１４２ ∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３） Ｆａ＆Ｆａ ２２＆Ｉ
２（４） ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ） ３ＥＩ
２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） １２５ＥＥ
（この結果は事実上、強化して相互導出可能にすることができる。）この連式の妥当性から、
ひとつだけの対象がＦを持っているならば、∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）ということが帰結する。
言い換えると、相異なる変数「ｘ」と「ｙ」を用いる場合に、そのことから、それに対応する異なった対象が存在する、
ということは、帰結しないのである（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英、1973年、２１０頁）。
然るに、
（02）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
とする。
従って、
（02）により、
（03）
① ∃ｘ（Ｆｘ）
② ∃ｙ（Ｆｙ）
③ Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ
に於いて、
①＝② であって、
①＝③ である。
従って、
（03）により、
（04）
① ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝
②｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
「冪等律」により、
①（Ｆａ＆Ｆａ）＝Ｆａ
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）＝Ｆｂ
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）＝Ｆｃ
従って、
（04）（05）により、
（06）
① ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝
②｛Ｆａ∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨Ｆｂ∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨Ｆｃ｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（07）
「交換法則」により、
①（Ｆａ＆Ｆｂ）＝（Ｆｂ＆Ｆａ）
②（Ｆａ＆Ｆｃ）＝（Ｆｃ＆Ｆａ）
③（Ｆｂ＆Ｆｃ）＝（Ｆｃ＆Ｆｂ）
従って、
（06）（07）により、
（08）
① ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝
②｛Ｆａ∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛Ｆｂ∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛Ｆｃ｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（09）
「交換法則・結合法則」により、
②｛Ｆａ∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛Ｆｂ∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛Ｆｃ｝
③｛（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）｝∨｛（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（10）
１ （１）｛（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）｝∨｛（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝ Ａ
２ （２）｛（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）｝ Ａ
３ （３） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） Ａ
４ （４） （Ｆａ＆Ｆｂ） Ａ
４ （５） Ｆａ ４＆Ｅ
４ （６） Ｆａ∨Ｆｂ ５∨Ｉ
４ （７） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） ６∨Ｉ
２ （８） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） ２３３４７∨Ｅ
９ （９） ｛（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝ Ａ
ア （ア） （Ｆａ＆Ｆｃ） Ａ
ア （イ） Ｆａ ア＆Ｅ
ア （ウ） Ｆａ∨Ｆｂ イ∨Ｉ
ア （エ） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） ウ∨Ｉ
オ （オ） （Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
オ （カ） Ｆｂ オ＆Ｅ
オ （キ） Ｆａ∨Ｆｂ カ∨Ｉ
オ （ク） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） キ∨Ｉ
９ （ケ） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） ９アエオク∨Ｅ
１ （コ） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） １２８９ケ∨Ｅ
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
① ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝
② （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）
に於いて、
①⇒② である。
従って、
（03）（11）により、
（12）
① ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝
② ∃ｘ（Ｆｘ）
に於いて、
①⇒② である。
従って、
（01）（12）により、
（13）
１４２ ∃ｘ（Ｆｘ）┤├ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
は、相互導出可能にすることができる。
（01）
（ⅰ）「東京都民でない」ならば、「中野区民でない」。
（ⅱ）「東京都民である」ならば、「中野区民である」。
という「命題の真偽」を「判定せよ」。
ｃｆ.
然るに、
（02）
例えば、
（ⅰ）「埼玉県民」であるならば、「東京都民」ではないし、
（〃）「埼玉県民」であるならば、「中野区民」ではない。
従って、
（02）による、
（03）
（ⅰ）「東京都民でない」ならば、「中野区民でない」。
（〃）「東京都民でない・中野区民」は「存在しない」。
という「命題」は「真」である。
然るに、
（04）
（ⅱ）「練馬区民」であるならば、「東京都民」であるが、
（〃）「練馬区民」であるならば、「中野区民」ではない。
従って、
（04）により、
（05）
（ⅱ）「東京都民である」ならば、「中野区民である」。
という「命題」は「偽」である。
然るに、
（06）
「マイクロソフト・コパイロット」の「解答」は、
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
「マイクロソフト・コパイロット」は、
（ⅱ）「練馬区民」であるならば、「東京都民」であるが、
（〃）「練馬区民」であるならば、「中野区民」ではない。
にも拘わらず、
（ⅱ）「東京都民である」ならば、「中野区民である」。
という「命題」が、「偽」であることを「見抜けなかった」。
という、ことになる。
（01）
「一昨日（令和６年３月３０日）の記事」でも示した通り、
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるとして、
⑪ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
であるならば、
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）
④（ Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）
⑥（Ｆａ＆Ｆｂ ）
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「７通り」が、「真」であることが「可能」である。
従って、
（01）により、
（02）
⑫ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝
といふ「論理式」ではなく、
⑪ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」が「真」であるならば、
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）
といふ「３通りの内の、どれか１つが真」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
⑪ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」ではなく、
⑫ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝
といふ「論理式」が「真」であるならば、
④（ Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）
⑥（Ｆａ＆Ｆｂ ）
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「４通りの内の、どれか１つが真」である。
然るに、
（04）
④（ Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）
⑥（Ｆａ＆Ｆｂ ）
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「４通りの内の、どれか１つが真」である。
といふことは、｛ａ，ｂ，ｃ｝の中の、
⑫「２個以上の個体が、Ｆである。」
といふ、ことである。
従って、
（03）（04）により、
（05）
⑫ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝
⑬ ～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝
といふ「論理式」は、それぞれ、
⑫「２個以上の個体が、Ｆである。」
⑬「２個以上の個体が、Ｆである。」といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（06）
（ⅲ）
１（１）～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝ Ａ
１（２）∀ｘ～∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝ １量化子の関係
１（３）∀ｘ∀ｙ～｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝ ２量化子の関係
１（４） ∀ｙ～｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆（ａ≠ｙ）｝ ３ＵＥ
１（５） ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）＆（ａ≠ｂ）｝ ４ＵＥ
１（６） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（ａ＝ｂ） ５ド・モルガンの法則
１（７） （Ｆａ＆Ｆｂ）→（ａ＝ｂ） ６含意の定義
１（８） ∀ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）→（ａ＝ｙ）｝ ７ＵＩ
１（９） ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→（ｘ＝ｙ）｝ ８ＵＩ
（ⅳ）
１（１） ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→（ｘ＝ｙ）｝ Ａ
１（２） ∀ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）→（ａ＝ｙ）｝ １ＵＥ
１（３） （Ｆａ＆Ｆｂ）→（ａ＝ｂ） ２ＵＥ
１（４） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（ａ＝ｂ） ３含意の定義
１（５） ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）＆（ａ≠ｂ）｝ ４ド・モルガンの法則
１（６） ∀ｙ～｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆（ａ≠ｙ）｝ ５ＵＩ
１（７）∀ｘ∀ｙ～｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝ ６ＵＩ
１（８）∀ｘ～∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝ ７量化子の関係
１（９）～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝ ８量化子の関係
従って、
（05）（06）により、
（07）
⑬ ～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝
⑭ ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→（ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
⑬＝⑭ である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
⑬ ～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝
⑭ ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→（ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」、すなはち、
⑬「あるｘとあるｙについて（ｘがＦであって、ｙもＦであって、ｘとｙが「同一」ではない。」といふことはない。
⑭「すべてのｘとｙについて（ｘがＦであって、ｙもＦであるならば、ｘとｙは、「同一」である）。」
といふ「論理式」は、「両方」とも、
⑬「２個以上の個体が、Ｆである。」といふことはない。
⑭「２個以上の個体が、Ｆである。」といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（09）
⑭ ∃ｘ（Ｆｘ）
といふ「論理式」、すなはち、
⑭「（Ｆであるｘ）が存在する。」
といふ「論理式」は、
⑭「１個以上の個体が、Ｆである。」
といふ「意味」である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
⑭ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→（ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」は、
⑭「１個以上の個体が、Ｆである」が、「２個以上の個体が、Ｆである」といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（11）
（ⅳ）
１ （１）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２）∃ｘＦｘ １＆Ｅ
３ （３） Ｆａ Ａ
１ （４） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １＆Ｅ
１ （５） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ４ＵＥ
１ （６） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５ＵＥ
７（７） Ｆｂ Ａ
３７（８） Ｆａ＆Ｆｂ ３７＆Ｉ
１３７（９） ａ＝ｂ ６８ＭＰＰ
１３ （ア） Ｆｂ→ａ＝ｂ ７９ＣＰ
１３ （イ） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） アＵＩ
１３ （ウ） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３イ＆Ｉ
１３ （エ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ウＥＩ
１ （オ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ２３エＥＥ
（ⅴ）
１ （１）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２ （２） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２ （３） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２ （４） Ｆｂ→ａ＝ｂ ３ＵＥ
５（５） Ｆａ＆Ｆｂ Ａ
５（６） Ｆｂ ５＆Ｅ
２５（７） ａ＝ｂ ４６ＭＰＰ
２ （８） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５７ＣＰ
２ （９） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ８ＵＩ
２ （ア） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） ９ＵＩ
２ （イ）Ｆａ ２＆Ｅ
２ （ウ）∃ｘＦｘ イＥＩ
２ （エ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） アウ＆Ｉ
１ （ウ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １２エＥＥ
従って、
（11）により、
（12）
⑭ ∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
⑮ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
⑭＝⑮ である。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
⑭ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→（ｘ＝ｙ）｝
⑮ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」、すなはち、
⑭「あるｘはＦであり、すべてのｘとｙについて（ｘがＦであって、ｙもＦであるならば、ｘとｙは、「同一」である）。」
⑮「あるｘはＦであり、すべてのｙについて（ｙがＦであるならば、ｘとｙは、「同一」である）。」
といふ「論理式」は、「両方」とも、
⑭「１個以上の個体が、Ｆである」が、「２個以上の個体が、Ｆである」といふことはない。
⑮「１個以上の個体が、Ｆである」が、「２個以上の個体が、Ｆである」といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（14）
⑮「１個以上の個体が、Ｆである」が、「２個以上の個体が、Ｆである」といふことはない。
といふことは、
⑮「唯一の個体だけが、Ｆである。」
といふ「意味」である。
従って、
（13）（14）により、
（15）
⑮ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」、すなはち、
⑮「あるｘはＦであり、すべてのｙについて（ｙがＦであるならば、ｘとｙは、「同一」である）。」
といふ「論理式」は、
⑮「唯一の個体だけが、Ｆである。」
といふ「意味」である。
従って、
（15）により、
（16）
⑮ ∃ｘ｛偶素数ｘ＆∀ｙ（偶素数ｙ→ｘ＝ｙ＝２）｝
といふ「論理式」は、
⑮「偶数の素数は、２だけである。」
といふ「意味」である。
然るに、
（15）（16）により、
（17）
「自然数２が、個体である」といふのは「ヲカシイ」ものの、
「述語論理」では、「ｘやｙやｚ」を「個体変数（individual variable）」と言ふ。
（01）
１４２ ∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３） Ｆａ＆Ｆａ ２２＆Ｉ
２（４） ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ） ３ＥＩ
２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） １２５ＥＥ
（この結果は事実上、強化して相互導出可能にすることができる。）この連式の妥当性から、
ひとつだけの対象がＦを持っているならば、∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）ということが帰結する。
言い換えると、相異なる変数「ｘ」と「ｙ」を用いる場合に、そのことから、それに対応する異なった対象が存在する、
ということは、帰結しないのである（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英、1973年、２１０頁）。
然るに、
（02）
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、
（ⅰ） ∃ｙ（Ｆｙ）
（ⅱ）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ）である。
然るに、
（03）
「選言（∨）の真理表」により、
（ⅱ）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）
といふ「論理式」は、
①（Ｆａ ）∨
②（ Ｆｂ ）∨
③（ Ｆｃ）∨
④（Ｆａ＆Ｆｂ ）∨
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）∨
⑥（ Ｆｂ＆Ｆｃ）∨
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「論理式」に「等しい」。
従って、
（02）（03）により、
（04）
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、
∃ｙ（Ｆｙ）は、
といふ「論理式」は、
①（Ｆａ）
② （Ｆｂ）
③ （Ｆｃ）
④（Ｆａ＆Ｆｂ ）
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）
⑥（ Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「７通りの内の、どれか１つ」である。
然るに、
（05）
「冪等律」により、
①（Ｆａ）
②（Ｆｂ）
③（Ｆｃ）
といふ「３つの論理式」は、それぞれ、
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）
といふ「３つの論理式」に「等しい」。
従って、
（04）（05）により、
（06）
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、
∃ｙ（Ｆｙ）は、
といふ「論理式」は、
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）
④（ Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）
⑥（Ｆａ＆Ｆｂ ）
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「７通りの内の、どれか１つ」である。
然るに、
（07）
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、
∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝＝
｛（Ｆｘ＆Ｆａ）∨（Ｆｘ＆Ｆｂ）∨（Ｆｘ＆Ｆｃ）｝∨
｛（Ｆｘ＆Ｆａ）∨（Ｆｘ＆Ｆｂ）∨（Ｆｘ＆Ｆｃ）｝∨
｛（Ｆｘ＆Ｆａ）∨（Ｆｘ＆Ｆｂ）∨（Ｆｘ＆Ｆｃ）｝
であるため、
∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝＝
｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨
｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨
｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝
である。
然るに、
（08）
「交換法則」により、
①（Ｆａ＆Ｆｂ）
②（Ｆｃ＆Ｆａ）
③（Ｆａ＆Ｆｃ）
④（Ｆｃ＆Ｆａ）
⑤（Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑥（Ｆｃ＆Ｆｂ）
に於いて、
①＝④
②＝⑤
③＝⑥
従って、
（07）（08）により、
（09）
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、
∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝＝
｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ） ∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨
｛（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨
｛（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝
である。
従って、
（09）により、
（10）
「交換法則・結合法則」により、
∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝＝
｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝
である。
然るに、
（11）
１ （１）｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ） ∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ） ∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝ Ａ
２ （２）｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ） ∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝ Ａ
２ （３）｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）｝∨（Ｆｃ＆Ｆｃ） ２結合法則
４ （４）｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）｝ Ａ
５ （５） （Ｆａ＆Ｆａ） Ａ
５ （６） Ｆａ ５＆Ｅ
５ （７） Ｆａ∨Ｆｂ ６∨Ｉ
５ （８） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ７∨Ｉ
９ （９） （Ｆｂ＆Ｆｂ） Ａ
９ （ア） Ｆｂ ９＆Ｅ
９ （イ） Ｆａ∨Ｆｂ ア∨Ｉ
９ （ウ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ イ∨Ｉ
４ （エ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ４５８９ウ∨Ｅ
オ （オ） （Ｆｃ＆Ｆｃ） Ａ
オ （カ） Ｆｃ オ＆Ｅ
オ （キ） Ｆｂ∨Ｆｃ カ∨Ｉ
オ （ク） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ キ∨Ｉ
２ （ケ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ２４エオク∨Ｅ
コ （コ） ｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ） ∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝ Ａ
コ （サ） ｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨（Ｆｂ＆Ｆｃ） コ結合法則
シ （シ） ｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝ Ａ
ス （ス） Ｆａ＆Ｆｂ Ａ
ス （セ） Ｆａ ス＆Ｅ
ス （ソ） Ｆａ∨Ｆｂ セ∨Ｉ
ス （タ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ソ∨Ｉ
チ （チ） Ｆａ＆Ｆｃ Ａ
チ （ツ） Ｆａ チ＆Ｅ
チ （テ） Ｆａ∨Ｆｂ ツ∨Ｉ
チ （ト） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ テ∨Ｉ
シ （ナ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ シスタチト∨Ｅ
ニ（ニ） （Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
ニ（ヌ） Ｆｂ ニ＆Ｅ
ニ（ネ） Ｆａ∨Ｆｂ ヌ∨Ｉ
ニ（ノ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ネ∨Ｉ
コ （ハ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ コシナニノ∨Ｅ
１ （ヒ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ １２ケコハ∨Ｅ
従って、
（11）により、
（12）
①｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝
② （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）
に於いて、
①⇒② である。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、
∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝
といふ「論理式」も、
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）
④（ Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）
⑥（Ｆａ＆Ｆｂ ）
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「７通りの内の、どれか１つ」である。
従って、
（06）（13）により、
（14）
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、
∃ｙ（Ｆｙ）
といふ「論理式」と、
∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝
といふ「論理式」は、両方とも、
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）
④（ Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）
⑥（Ｆａ＆Ｆｂ ）
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「７通りの内の、どれか１つ」である。
従って、
（01）（14）により、
（15）
ひとつだけの対象が、性質Ｆを持っているならば、∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝ということが帰結する。
言い換えると、相異なる変数「ｘ」と「ｙ」を用いる場合に、そのことから、それに対応する異なった対象が存在する、
ということは、帰結しないのである（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英、1973年、２１０頁）。
といふ「説明」は、「正しい」。
（01）
男子＝男の子である。
～男子＝男の子でない。
女子＝女の子である。
～女子＝女の子でない。
帽子＝帽子をかぶっている。
～帽子＝帽子をかぶっていない。
スニ＝スニ―カーを履いている。
～スニ＝スニーカーを履いていない。
とする。
従って、
（01）により、
（02）
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（β）～∃ｘ（ スニｘ＆男子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」は、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
といふ「日本語」に「等しい」。
然るに、
（03）
（Γ）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ）
（〃）男の子であるならば、女の子ではなく、女の子でないならば、男の子である。
を「公理」とする。
然るに、
（04）
（α）
１ （１）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ） Ａ
１ （２） ～帽子ａ→女子ａ １ＵＥ
（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ＵＥ
（５） 男子ａ→～女子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６（６） 男子ａ Ａ
６（７） ～女子ａ ５６ＭＰＰ
１６（８） ～～帽子ａ １７ＭＰＰ
１６（９） 帽子ａ ８ＤＮ
１ （ア） 男子ａ→帽子ａ ６９ＣＰ
１ （イ） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ） アＵＩ
（〃）
１ （１）∀ｘ（男子ｘ→ 帽子ｘ） Ａ
１ （２） 男子ａ→ 帽子ａ １ＵＥ
（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ＵＥ
（５） ～女子ａ→男子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６（６） ～帽子ａ Ａ
１６（７） ～男子ａ ２６ＭＴＴ
１６（８） ～～女子ａ ５７ＭＴＴ
１６（９） 女子ａ ８ＤＮ
１ （ア） ～帽子ａ→女子ａ ６９ＣＰ
１ （イ）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ） アＵＩ
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（β）～∃ｘ（ スニｘ＆男子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」は、
（α） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（β）～∃ｘ（ スニｘ＆男子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」に「等しい」。
然るに、
（06）
（β）
１ （１）～∃ｘ（スニｘ＆ 男子ｘ） Ａ
１ （２）∀ｘ～（スニｘ＆ 男子ｘ） １量化子の関係
１ （３） ～（スニａ＆ 男子ａ） ２ＵＥ
１ （４） ～スニａ∨～男子ａ ３ド・モルガンの法則
１ （５） スニａ→～男子ａ ４含意の定義
（６） ∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（７） 男子ａ⇔～女子ａ ６ＵＥ
（８） ～女子ａ→男子ａ ７＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
９ （９） ～男子ａ Ａ
９ （ア） ～～女子ａ ８９ＭＴＴ
９ （イ） 女子ａ アＤＮ
（ウ） ～男子ａ→女子ａ ９イＣＰ
エ（エ） スニａ Ａ
１ エ（オ） ～男子ａ ５エＭＰＰ
１ エ（カ） 女子ａ ウオＭＰＰ
１ （キ） スニａ→ 女子ａ エカＣＰ
１ （ク） ∀ｘ（スニｘ→ 女子ｘ） キＵＩ
（〃）
１ （１） ∀ｘ（スニｘ→ 女子ｘ） Ａ
１ （２） スニａ→ 女子ａ １ＵＥ
（３） ∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ３ＵＥ
（５） 男子ａ→～女子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６ （６） 女子ａ Ａ
６ （７） ～～女子ａ ６ＤＮ
６ （８） ～男子ａ ５７ＭＴＴ
（９） 女子ａ→～男子ａ ６８ＭＰＰ
ア（ア） スニａ Ａ
１ ア（イ） 女子ａ ２アＭＰＰ
１ ア（ウ） ～男子ａ ９イＭＰＰ
１ （エ） スニａ→～男子ａ アウＣＰ
１ （オ） ～スニａ∨～男子ａ エ含意の定義
１ （カ） ～（スニａ＆ 男子ａ） オ、ド・モルガンの法則
１ （キ）∀ｘ～（スニｘ＆ 男子ｘ） カＵＩ
従って、
（05）（06）により、
（07）
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（β）～∃ｘ（ スニｘ＆男子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆ スニｘ）
といふ「述語論理式」は、
（α） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（β） ∀ｘ（ スニｘ→女子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」に「等しい」。
然るに、
（08）
（２）
１ （１）～∃ｘ（帽子ｘ＆ 女子ｘ） Ａ
１ （２）∀ｘ～（帽子ｘ＆ 女子ｘ） １量化子の関係
１ （３） ～（帽子ａ＆ 女子ａ） ２ＵＥ
１ （４） ～帽子ａ∨～女子ａ ３ド・モルガンの法則
１ （５） 帽子ａ→～女子ａ ４含意の定義
（６） ∀ｘ（女子ｘ⇔～男子ｘ） 公理
（７） 女子ａ⇔～男子ａ ６ＵＥ
（８） ～男子ａ→女子ａ ７＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
９ （９） ～女子ａ Ａ
９ （ア） ～～男子ａ ８９ＭＴＴ
９ （イ） 男子ａ アＤＮ
（ウ） ～女子ａ→男子ａ ９イＣＰ
エ（エ） 帽子ａ Ａ
１ エ（オ） ～女子ａ ５エＭＰＰ
１ エ（カ） 男子ａ ウオＭＰＰ
１ （キ） 帽子ａ→ 男子ａ エカＣＰ
１ （ク） ∀ｘ（帽子ｘ→ 男子ｘ） キＵＩ
（〃）
１ （１） ∀ｘ（帽子ｘ→ 男子ｘ） Ａ
１ （２） 帽子ａ→ 男子ａ １ＵＥ
（３） ∀ｘ（女子ｘ⇔～男子ｘ） 公理
（４） 女子ａ⇔～男子ａ ３ＵＥ
（５） 女子ａ→～男子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６ （６） 男子ａ Ａ
６ （７） ～～男子ａ ６ＤＮ
６ （８） ～女子ａ ５７ＭＴＴ
（９） 男子ａ→～女子ａ ６８ＭＰＰ
ア（ア） 帽子ａ Ａ
１ ア（イ） 男子ａ ２アＭＰＰ
１ ア（ウ） ～女子ａ ９イＭＰＰ
１ （エ） 帽子ａ→～女子ａ アウＣＰ
１ （オ） ～帽子ａ∨～女子ａ エ含意の定義
１ （カ） ～（帽子ａ＆ 女子ａ） オ、ド・モルガンの法則
１ （キ）∀ｘ～（帽子ｘ＆ 女子ｘ） カＵＩ
１ （ク）～∃ｘ（帽子ｘ＆ 女子ｘ） キ量化子の関係
従って、
（07）（08）により、
（09）
（α） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（β） ∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
（１） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「論理式」は、
（α） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（β） ∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
（１） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（２） ∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」に「等しい」。
従って、
（05）～（09）により、
（10）
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（β）～∃ｘ（ スニｘ＆男子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」は、
（α） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（β） ∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
（１） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（２） ∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」に「等しい」。
従って、
（10）により、
（11）
（α） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（１） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（２） ∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
に於いて、
（２）は（α）の「逆」であり、
（２）は（１）の「逆」であるが、「逆は、必ずしも、真ではない」。
従って、
（11）により、
（12）
（α）⇔（１）であるが、
（α）→（２）ではない。
然るに、
（13）
１ （１）∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ） Ａ
２ （２）∀ｘ（スニｘ→女子ｘ） Ａ
３ （３）∃ｘ（帽子ｘ＆スニｘ） Ａ
１ （４） 男子ａ→帽子ａ １ＵＥ
２ （５） スニａ→女子ａ ２ＵＥ
６（６） 帽子ａ＆スニａ Ａ
６（７） 帽子ａ ６＆Ｅ
６（８） スニａ ６＆Ｅ
２ ６（９） 女子ａ ５７ＭＰＰ
２ ６（ア） 帽子ａ＆女子ａ ７９＆Ｉ
２ ６（イ）∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ） アＥＩ
２３ （ウ）∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ） ３６イＥＥ
従って、
（01）（02）（10）（13）により、
（14）
（α）∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（β）∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
（３）∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）
といふ「命題」、すなはち、
（α）男の子は、みんな帽子をかぶっています。
（β）スニーカーを履いている子どもは、みんな女の子です。
（γ）帽子をかぶっている女の子もいます。
といふ「命題」は「矛盾」しない。
ｅ．ｇ.
太郎と次郎は、二人とも、野球帽をかぶっているが、スニーカーではなく、スパイクを履いている。
花子は帽子をかぶって、スニーカーを履いているが、桃子は、帽子をかぶらずに、スニーカーを履いている。
従って、
（13）（14）により、
（15）
（α） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（β） ∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
であるからと言って、必ずしも、
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）
（〃）帽子をかぶっている女の子はいません。
といふことには、ならない。
従って、
（02）（10）（11）（15）により、
（16）
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（β）～∃ｘ（ スニｘ＆男子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」は、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
といふ「日本語」に「等しく」、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
といふ「命題」が「真（〇）」であるならば、
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
だけが、必ず、「真（〇）」である。
従って、
（16）により、
（17）
問題 次の報告から確実に正しいと言えることには〇を、そうでないないものには✕を、左側の空欄に記入して下さい。
公園に子どもたちが集まっています。
男の子も女の子もいます。
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。そして、
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
正しいのは（１）のみです。
（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１８２・１８３頁）。
といふ、ことになる。