（204）恒真式（トートロジー）についてⅡ。

―「先ほどの記事（203）」の「続き」を書きます。―
（34）
（ⅶ）
１　　（１）　　Ｐ→　Ｑ　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　Ａ
　　３（３）　　　　～Ｑ　Ａ
１２　（４）　　　　　Ｑ　１２ＭＰＰ
１２３（５）　　～Ｑ＆Ｑ　３４＆Ｉ
１　３（６）　～Ｐ　　　　２５ＲＡＡ
１　　（７）　～Ｑ→～Ｐ　３６ＣＰ
（ⅷ）
１　　（１）　～Ｑ→～Ｐ　Ａ
　２　（２）　～Ｑ　　　　Ａ
　　３（３）　　　　　Ｐ　Ａ
１２　（４）　　　　～Ｐ　１２ＭＰＰ
１２３（５）　　Ｐ＆～Ｐ　３４＆Ｉ
１　３（６）～～Ｑ　　　　２５ＲＡＡ
１　３（７）　　Ｑ　　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　４７ＣＰ
従って、
（34）により、
（35）
（ⅶ）　Ｐ→　Ｑ
（ⅷ）～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
（ⅶ）＝（ⅷ） である。
然るに、
（36）
自然演繹論理のあるバージョンには、公理が存在しない。ジョン・レモンが開発した体系Ｌは、証明の構文規則に関する次のような「１０個の基本的規則」だけを持つ。
１.仮定の規則（Ａ）
２.肯定肯定式（ＭＰＰ）
３.否定否定式（ＭＴＴ）
４.二重否定　（ＤＮ）
５.条件的証明（ＣＰ）
６.＆導入　　（＆Ｉ）
７.＆除去　　（＆Ｅ）　
８.∨導入　　（＆Ｉ）
９.∨除去　　（＆Ｅ）
10.背理法　　（ＲＡＡ）
（ウィキペディア改）
従って、
（35）（36）により、
（37）
「体系Ｌの基本規則の内の、Ａ、ＭＰＰ、ＤＮ、ＣＰ、＆Ｉ、ＲＡＡ」によって、
（ⅶ）　Ｐ→　Ｑ
（ⅷ）～Ｑ→～Ｐ
すなはち、「対偶は、等しい」。
然るに、
（38）
（ⅸ）
１（１）　　Ｐ→　Ｑ　Ａ
１（２）　～Ｐ∨　Ｑ　１含意の定義
１（３）　　Ｑ∨～Ｐ　２交換法則
１（４）～～Ｑ∨～Ｐ　３ＤＮ
１（５）　～Ｑ→～Ｐ　４含意の定義
（ⅹ）
１（１）　～Ｑ→～Ｐ　Ａ
１（２）～～Ｑ∨～Ｐ　１含意の定義α
１（３）　　Ｑ∨～Ｐ　２ＤＮ
１（４）　～Ｐ∨　Ｑ　３交換法則
１（５）　　Ｐ→　Ｑ　４含意の定義α
従って、
（36）（38）により、
（39）
「体系Ｌの基本規則の内の、Ａ、ＤＮ」と「含意の定義α、交換法則」によっても、
（ⅸ）　Ｐ→　Ｑ
（ⅹ）～Ｑ→～Ｐ
すなはち、「対偶は、等しい」。
然るに、
（40）
（ⅺ）
１　　（１）～Ｐ∨Ｑ　Ａ
　２　（２）～Ｐ　　　Ａ
　２　（３）Ｑ∨～Ｐ　２∨Ｉ
　　４（４）　　　Ｑ　Ａ
　　４（５）Ｑ∨～Ｐ　４∨Ｉ
１　　（６）Ｑ∨～Ｐ　１２３４５ＥＥ
（ⅻ）
１　　（１）Ｑ∨～Ｐ　Ａ
　２　（２）Ｑ　　　　Ａ
　２　（３）～Ｐ∨Ｑ　２∨Ｉ
　　４（４）　　～Ｐ　Ａ
　　４（５）～Ｐ∨Ｑ　４∨Ｉ
１　　（６）～Ｐ∨Ｑ　１２３４５ＥＥ
従って、
（41）
（01）（02）（36）（40）により、
（41）
「含意の定義α、交換法則」自体も、「体系Ｌの、１０個の基本規則」で「証明」出来る。
加へて、
（16）により、
（42）
「ド・モルガンの法則」も、「体系Ｌの、１０個の基本規則」で「証明」出来る。
従って、
（36）～（42）により、
（43）
「自然演繹の体系Ｌの、１０個の基本規則」は、「公理」のやうな「働き」をする。
然るに、
（44）
ヒルベルトの演繹システムは、公理が多く、推論規則が少ないものです。そして、公理も、わけのわからない論理式となっています。例えば、
　 Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（Ｐならば（ＱならばＰ））
という論理式が公理として設定されています。つまり、この論理式を出発点として演繹を行って良い。ということです、多くの人は、この論理式の意味が飲み込めないでしょう（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１３６頁）。
然るに、
（45）
（α）
　　１　（１）　　Ｐ→（Ｑ→　Ｐ）　　　Ａ
　　　２（２）　　Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）　　　Ａ
　　　２（３）　　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　　　２（４）　　　　　Ｑ＆～Ｐ　　　　２＆Ｅ
　　　２（５）　　　　　Ｑ　　　　　　　２＆Ｅ
　　　２（６）　　　　　　　～Ｐ　　　　４＆Ｅ
　　１２（７）　　　　　Ｑ→　Ｐ　　　　１３ＭＰＰ
　　１２（８）　　　　　　　　Ｐ　　　　５７ＭＰＰ
　　１２（９）　　　　　～Ｐ＆Ｐ　　　　６８＆Ｉ
　　１　（ア）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝　　２９ＲＡＡ
（β）
１　　　（１）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝　　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　　　　（Ｑ＆～Ｐ）　　　Ａ
　２３　（４）　　Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）　　　３４＆Ｉ
１２３　（５）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝＆　
　　　　　　　　｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝　　１４＆Ｉ
１２　　（６）　　　～（Ｑ＆～Ｐ）　　　３５ＲＡＡ
　　７　（７）　　　　　Ｑ　　　　　　　Ａ
　　　８（８）　　　　　　　～Ｐ　　　　Ａ
　　７８（９）　　　　　Ｑ＆～Ｐ　　　　７８＆Ｉ
１２７８（ア）　　　～（Ｑ＆～Ｐ）＆
　　　　　　　　　　　（Ｑ＆～Ｐ）　　　６９＆Ｉ
１２７　（イ）　　　　　　～～Ｐ　　　　８アＲＡＡ
１２７　（ウ）　　　　　　　　Ｐ　　　　イＤＮ
１２　　（エ）　　　　　Ｑ→　Ｐ　　　　７ウＣＰ
１　　　（オ）　　Ｐ→（Ｑ→　Ｐ）　　　２エＣＰ
従って、
（45）により、
（46）
（α）   　 Ｐ→（Ｑ→  Ｐ）　
（β）～｛（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ｝
に於いて、
（α）＝（β） である。
然るに、
（47）
（β）～｛（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ｝ は、
（β）～｛（　矛盾　）＆Ｑ｝ である。
従って、
（47）により、
（48）
（β）～｛（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ｝ は、
（β）～｛（　偽　　）＆真｝ であっても、
（β）～｛（　偽　　）＆偽｝ であっても、
（β）～｛　　　　　　偽　｝ は、「真」である。
従って、
（47）（48）により、
（49）
（α）   　 Ｐ→（Ｑ→  Ｐ）　
（β）～｛（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ｝
に於いて、
（α）＝（β） であって、尚且つ、
　　　　（β） は、「恒真」である。
従って、
（44）（49）により、
（50）
（α）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（Ｐならば（ＱならばＰ））
といふ、「わけのわからない、ヒルベルトの公理（論理式）」は「恒真」である。
従って、
（36）（44）（50）により、
（51）
（α）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（Ｐならば（ＱならばＰ））
といふ、「わけのわからない、ヒルベルトの公理（論理式）」は、「ジョン・レモンが開発した自然演繹の、一つの体系Ｌ」に於いても、「恒真」である。

（203）恒真式（トートロジー）について。

（01）
（ⅰ）
　　　　１　（１）　　Ｐ→　Ｑ　Ａ
　　　　　２（２）　　Ｐ＆～Ｑ　Ａ
　　　　　２（３）　　Ｐ　　　　２＆Ｅ
　　　　　２（４）　　　　～Ｑ　２＆Ｅ
　　　　１２（５）　　　　　Ｑ　１３ＭＰＰ
　　　　１２（６）　　～Ｑ＆Ｑ　４５＆Ｉ
　　　　１　（７）　　　～～Ｑ　４６ＲＡＡ
　　　　１　（８）　　　　　Ｑ　７ＤＮ
　　　　１　（９）　　～Ｐ∨Ｑ　８∨Ｉ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　エオ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　７カＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）　Ｐ→Ｑ
（ⅱ）～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） であるものの、「この等式」を、「含意の定義α」とする。
（03）
（ⅲ）
　　　　１　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　Ａ
　　　　　２（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　　　　　２（３）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　　　　　２（４）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
　　　　１２（５）　　　　　Ｑ　　１３ＭＰＰ
　　　　１２（６）　　～Ｑ＆Ｑ　　４５＆Ｉ
　　　　１　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　２６ＲＡＡ
（ⅳ）
　　　１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　　　　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　３（３）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　２３（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｉ
　　　１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１４＆Ｉ
　　　１２　（６）　　　～～Ｑ　　　３５ＲＡＡ
　　　１２　（７）　　　　　Ｑ　　　６ＤＮ
　　　１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　　　２７ＣＰ
従って、
（03）により、
（04）
（ⅲ）　　Ｐ→　Ｑ
（ⅳ）～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
（ⅲ）＝（ⅳ） であるものの、「この等式」を、「含意の定義β」とする。
然るに、
（05）
（ａ）
１（１）　　Ｐ　　　　　Ａ
　（２）　　Ｐ→Ｐ　　　１１ＣＰ
（ｂ）
１（１）　　Ｐ　　　　　Ａ
　（２）　　Ｐ→Ｐ　　　１１ＣＰ
　（３）　～Ｐ∨Ｐ　　　２含意の定義α
（ｃ）
１（１）　　Ｐ　　　　　Ａ
　（２）　　Ｐ→Ｐ　　　１１ＣＰ
　（３）～（Ｐ＆～Ｐ）　２含意の定義β
従って、
（05）により、
（06）
「Ｐ→Ｐ」＝「～Ｐ∨Ｐ」＝「～（Ｐ＆～Ｐ）」
である。
従って、
（06）により、
（07）
「Ｐ→Ｐ」＝「～Ｐ∨Ｐ」＝「～（Ｐ＆～Ｐ）」⇔
「ＰならばＰである。」＝「Ｐでないか、または、Ｐである。」＝「ＰであってＰでない。といふことはない。」
である。
然るに、
（08）
「ＰならばＰである。」の「対偶」は、
「ＰでないならばＰでない。」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
「ＰならばＰである。」
「ＰでないならばＰでない。」
「Ｐでないか、または、Ｐである。」
「ＰであってＰでない。といふことはない。」
に於いて、「４つの言ひ方」は、すべて、「同じこと」である。
然るに、
（10）
「Ｐでないか、または、Ｐである。」
といふことと、
「ＰでないならばＰでなく、ＰであるならばＰである。」
といふことは、たしかに、「同じこと」である。
然るに、
（11）
「Ｐでないか、または、Ｐである。」
といふことは、
「Ｐであるのか、Ｐでないのかは、分からない。」
といふことである。
然るに、
（12）
「Ｐであるのか、Ｐでないのかは、分からない。」
と、誰かが言ふならば、その誰かは、
「Ｐであるとは、言ってゐないし、Ｐでないとも、言ってゐない。」
といふことである。
然るに、
（13）
「Ｐであるとは、言ってゐないし、Ｐでないとも、言ってゐない。」
と、誰かが言ったとして、その誰かが「言ったこと」を、「否定」することは、「不可能」である。
従って、
（06）～（13）により、
（14）
「　　Ｐ→　Ｐ　」＝「ＰならばＰである。」⇔
「　～Ｐ→～Ｐ　」＝「ＰでないならばＰでない。」⇔
「　～Ｐ∨　Ｐ　」＝「Ｐでないか、または、Ｐである。」⇔
「～（Ｐ＆～Ｐ）」＝「ＰであってＰでない。といふことはない。」
といふ「４通りの、言ひ方」は、誰にも「否定できず」、それ故、「常に真（トートロジー）」である。
然るに、
（15）
１（１）　～（Ｐ＆～Ｐ）　Ａ
１（２）～～（Ｐ＆～Ｐ）　Ａ
１（３）　　（Ｐ＆～Ｐ）　２ＤＮ
然るに、
（16）
（ⅴ）
１　　　（１）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　Ａ
　２　　（２）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
　２　　（３）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　　２∨Ｉ
１２　　（４）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆（～Ｐ∨Ｑ）　１３＆Ｉ
１　　　（５）　　～～Ｐ　　　　　　　　　　　２４ＲＡＡ
１　　　（６）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　５ＤＮ
　　　７（７）　　　　　　Ｑ　　　　　　　　　Ａ
　　　７（８）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　　７∨Ｉ
１　　７（９）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆（～Ｐ∨Ｑ）　１８＆Ｉ
１　　　（ア）　　　　　～Ｑ　　　　　　　　　７９ＲＡＡ
１　　　（ウ）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　６イ＆Ｉ
（ⅵ）
１　　　（１）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ∨　Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　　～Ｐ　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　（４）　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　３　（５）　　～Ｐ＆　Ｐ　　　　　　　　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　１５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
１　　　（８）　　　　　～Ｑ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　７（９）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　１９ＲＡＡ
　２　　（イ）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　２３６７ア∨Ｅ
１２　　（ウ）　　（Ｐ＆～Ｑ）＆～（Ｐ＆～Ｑ）　１イ＆Ｉ
１　　　（エ）～（～Ｐ∨　Ｑ）　　　　　　　　　２ウＲＡＡ
従って、
（16）により、
（17）
（ⅴ）～（～Ｐ∨　Ｑ）　
（ⅵ）　（　Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
（ⅴ）＝（ⅵ） である。
ものの、「この等式」を、「ド・モルガンの法則」と言ふ。
然るに、
（18）
（ⅴ）～（～Ｐ∨　Ｑ）　
（ⅵ）　（　Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
（ⅴ）Ｑ＝Ｐ
（ⅵ）Ｑ＝Ｐ
といふ「代入」を行ふと、
（ⅴ）～（～Ｐ∨　Ｐ）　
（ⅵ）　（　Ｐ＆～Ｐ）
従って、
（17）（18）により、
（19）
（ⅴ）～（～Ｐ∨　Ｐ）　
（ⅵ）　（　Ｐ＆～Ｐ）
に於いて、
（ⅴ）＝（ⅵ） である。
従って、
（14）（15）（19）により、
（20）
「　～Ｐ∨　Ｐ　」＝「Ｐでないか、または、Ｐである。」⇔
「～（Ｐ＆～Ｐ）」＝「ＰであってＰでない。といふことはない。」⇔
を「否定」すると、「矛盾（Ｐ＆～Ｐ）」が、生じることになる。
従って、
（09）（14）（20）により、
（21）
「　　Ｐ→　Ｐ　」＝「ＰならばＰである。」⇔
「　～Ｐ→～Ｐ　」＝「ＰでないならばＰでない。」⇔
「　～Ｐ∨　Ｐ　」＝「Ｐでないか、または、Ｐである。」⇔
「～（Ｐ＆～Ｐ）」＝「ＰであってＰでない。といふことはない。」
といふ「４通り」を「否定」すると、「矛盾（Ｐ＆～Ｐ）」が、生じることになる。
然るに、
（22）
「矛盾（Ｐ＆～Ｐ）」の「肯定」するわけには、行かない。
従って、
（21）（22）により、
（23）
「　　Ｐ→　Ｐ　」＝「ＰならばＰである。」⇔
「　～Ｐ→～Ｐ　」＝「ＰでないならばＰでない。」⇔
「　～Ｐ∨　Ｐ　」＝「Ｐでないか、または、Ｐである。」⇔
「～（Ｐ＆～Ｐ）」＝「ＰであってＰでない。といふことはない。」
といふ「４通りの、言ひ方」は、誰にも「否定できず」、それ故、「常に真（トートロジー）」である。
従って、
（22）（23）により、
（24）
「　　Ｐ→　Ｐ　」＝「ＰならばＰである。」⇔
「　～Ｐ→～Ｐ　」＝「ＰでないならばＰでない。」⇔
「　～Ｐ∨　Ｐ　」＝「Ｐでないか、または、Ｐである。」⇔
「～（Ｐ＆～Ｐ）」＝「ＰであってＰでない。といふことはない。」
といふ「４通りの、言ひ方」は、「当然のこと」を述べてゐるのと「同時」に、「矛盾（Ｐ＆～Ｐ）」は、「否定」しなければならない。
といふことを、述べてゐる。
（25）
１（１）～Ｐ　　　　Ａ
１（２）～Ｐ∨　Ｑ　１∨Ｉ
１（３）　Ｐ→　Ｑ　３含意の定義α
１（４）　　　～Ｑ　前件否定
然るに、
（26）
　Ｐ＝Ａは外国人である。とすれば、
～Ｐ＝Ａは日本人である。
　Ｑ＝Ａは女性である。　とすれば、
～Ｑ＝Ａは男性である。
従って、
（25）（26）により、
（27）
１（１）～Ｐ　　　　Ａ
１（２）～Ｐ∨　Ｑ　１∨Ｉ
１（３）　Ｐ→　Ｑ　３含意の定義α
１（４）　　　～Ｑ　１３前件否定
といふ「計算」が「正しい」のであれば、
１（１）～Ｐ　　　　Ａ
からは、「どのような結論」をも、得ることが出来る。
然るに、
（28）
前件否定（ぜんけんひてい、英: Denying the antecedent）は、誤謬の一種であり、次のような推論の論証形式に関する誤謬である。
もし Ｐ ならば、Ｑ である。
Ｐ ではない。
従って、Ｑ ではない。
この形式の主張は妥当ではない。この形式の論証はたとえ前提が真であっても、結論を導く推論過程に瑕疵がある（ウィキペディア）。
従って、
（27）（28）により、
（29）
１（１）～Ｐ　　　　Ａ
１（２）～Ｐ∨　Ｑ　１∨Ｉ
１（３）　Ｐ→　Ｑ　３含意の定義α
１（４）　　　～Ｑ　１３前件否定
といふ「計算（前件否定の誤謬）」は「マチガイ」である。
然るに、
（30）
１（１）～Ｐ＆Ｐ　Ａ
１（２）～Ｐ　　　１＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨Ｑ　２∨Ｉ
１（４）　Ｐ→Ｑ　３含意の定義α
１（５）　Ｐ　　　１＆Ｅ
１（６）　　　Ｑ　４５ＭＰＰ
といふ「計算」は、「正しい」。
従って、
（30）により、
（31）
１（１）～Ｐ＆Ｐ　Ａ
といふ「矛盾（～Ｐ＆Ｐ）」を「仮定」すれば、どのやうな「結論（Ｑ）」であって、「否定」出来ない。
然るに、
（32）
１（１）　　～Ｐ＆Ｐ　　Ａ
　（２）～（～Ｐ＆Ｐ）　１１ＲＡＡ
従って、
（33）
「自然演繹（Natural deduction）」では、
１（１）　　～Ｐ＆Ｐ　　Ａ
　（２）～（～Ｐ＆Ｐ）　１１ＲＡＡ
といふ具合に、「矛盾（～Ｐ＆Ｐ）」を「仮定（Ａ）」すると、ただちに、「背理法（ＲＡＡ）」によって、「否定」される。

（202）「象は（が）鼻が（は）長い。」の「述語論理」と「主題」。

（01）
① すべてのｘについて、ｘが僕であるならば、あるｙは君であって、ｘはｙが好きであって、すべてのｚについて、ｚがｙでないならば、ｘはｚを好きではない。
といふことは、
① 僕は君が好きだ。
といふ、ことである。
従って、
（01）により、
（02）
① 僕は君が好きだ。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ｛僕ｘ→∃ｙ（君ｙ＆好ｘｙ）＆∀ｚ（～君ｚ→～好ｘｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが僕であるならば、あるｙは君であって、ｘはｙが好きであって、すべてのｚについて、ｚがｙでないならば、ｘはｚを好きではない。
といふ「述語論理」に、相当する。
ｃｆ.
金谷武洋先生にならって、「僕・私・俺」等は「人称代名詞」ではなく、「単なる名詞」であるとします。そのため、「僕」を「述語」にしても、支障はありません。
然るに、
（03）
① 僕は君が好きだ。
ではなく、
② 僕は君は好きだ。
といふのであれば、
② 君以外は好きではない。
とは、限らない。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① ∀ｘ｛僕ｘ→∃ｙ（君ｙ＆好ｘｙ）＆∀ｚ（～君ｚ→～好ｘｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが僕であるならば、あるｙは君であって、ｘはｙが好きであって、すべてのｚについて、ｚがｙでないならば、ｘはｚを好きではない。
といふ「述語論理」から、
　　　　　　　　　　　　　　　　　① ∀ｚ（～君ｚ→～好ｘｚ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　① すべてのｚについて、ｚがｙでないならば、ｘはｚを好きではない。
といふ「命題関数」を除いた、
② ∀ｘ｛僕ｘ→∃ｙ（君ｙ＆好ｘｙ）｝⇔
② すべてのｘについて、ｘが僕であるならば、あるｙは君であって、ｘはｙが好きである。
といふ「述語論理」が、
② 僕は君は好きだ。
といふ「日本語」に相当する。
従って、
（04）により、
（05）
① 象は鼻が長い。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｘ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であり、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
に対して、
② 象は鼻は長い。⇔
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であり、ｙは長い。
である。
然るに、
（06）
（３）　未知と既知
この組み合わせは次のような場合に現われる。
　私が大野です。
これは、「大野さんはどちらですか」というような問いに対する答えとして使われる。つまり文脈において、「大野」なる人物はすでに登場していて既知である。ところが、それが実際にどの人物なのか、その帰属する先が未知である。その未知の対象を「私」と表現して、それをガで承けた。それゆえこの形は、
　大野は私です。
に置きかえてもほぼ同じ意味を表わすといえる（大野晋、日本語の文法を考える、1978年、３４頁）。
従って、
（06）により、
（07）
いづれにせよ、
① 私が大野です。
② 大野は私です。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（08）
② 大野は私です。
といふことは、
③ 私以外は大野ではない。
といふことに、他ならない。
従って、
（07）（08）により、
（09）
いづれにせよ、
① 私が大野です。
② 大野は私です。
③ 私以外は大野ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（10）
① 私が大野です。
② 大野は私です。
③ 私以外は大野ではない。
に於いて、
① 　私＝象
① 大野＝鼻は長い
といふ「代入」を行ふと、
① 象が鼻は長いです。
② 鼻は長いは象です。
③ 象以外は鼻は長いではない。
従って、
（09）（10）により、
（11）
① 象が鼻は長い。
② 鼻が長いのは象である。
③ 象以外の鼻は長くない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（12）
① 象が鼻は長い。
といふのであれば、
① 象は鼻は長い。
従って、
（11）（12）により、
（13）
③ 象が鼻は長い＝
③ 象は鼻は長く、象以外は鼻は長くない。
である。
然るに、
（14）
③ 　　　　　　　象以外は鼻は長くない。
といふ「日本語」は、
③ ∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔
③ すべてのｘについて、ｘが象でないならば、あるｙがｘの鼻であって、そのｙが長い、といふことはない。
といふ「述語論理」に相当する。
従って、
（05）（13）（14）により、
（15）
③ 象が鼻は長い。
といふ「日本語」は、
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であり、ｙは長く、ｘが象でないならば、あるｙがｘの鼻であって、そのｙが長い、といふことはない。
といふ「述語論理」に相当する。
ｃｆ.
「Ａ⇔Ｂ」＝「Ａならば、そのときに限ってＢである。」
といふ風に「定義」すると、
③ ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ は、
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ に等しい。
然るに、
（16）
③ 兎は象ではない。　　⇔
③ ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）⇔
③ すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。
然るに、
（17）
１　　　（１）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　（２）　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１ＵＥ
　３　　（３）　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１３　　（４）　　　　　　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２３ＭＰＰ
　　５　（５）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝　Ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　５　（６）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　５ＵＥ
　　　７（７）　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　５７（８）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　６７ＭＰＰ
　　５７（９）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　５７（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　８＆Ｅ
１３５７（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　４アＭＰＰ
１３５７（ウ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　９イ＆Ｉ
１３５　（エ）　　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７ウＲＡＡ
１３５　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｙ～（鼻ｙａ＆長ｙ）　　イ量化子の関係
１３５　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ｂａ＆長ｂ）　　オＵＥ
１３５　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ∨～長ｂ　　　カ、ドモルガンの法則
１３５　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ→～長ｂ　　　キ含意の定義
１３５　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　ケＵＩ
１　５　（コ）　　　兎ａ→∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　３ケＣＰ
１　５　（サ）∀ｘ｛兎ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝　　　　　　　　　　　　　　　　コＵＩ
１　５　（〃）すべてのｘについて、ｘが兎ならば、すべてのｙについて、ｙがｘの鼻ならば、ｙは長くない。
１　５　（〃）すべての兎の、すべての鼻は長くない。
１　５　（〃）兎の鼻は長くない。
従って、
（15）（16）（17）により、
（18）
③ 兎は象ではない。　　⇔
③ ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）⇔
③ すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。
と「仮定」した上で、
③ 象が鼻は長い。⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であり、ｙは長く、ｘが象でないならば、あるｙがｘの鼻であって、そのｙが長い、といふことはない。
と「仮定」すると、
③ 兎の鼻は長くない。⇔
③ ∀ｘ｛兎ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝⇔
③ すべてのｘについて、ｘが兎ならば、すべてのｙについて、ｙがｘの鼻ならば、ｙは長くない。
といふ『結論』を、得ることになる。
従って、
（18）により、
（19）
③ 象が鼻は長い。
といふ「日本語」は、
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であり、ｙは長く、ｘが象でないならば、あるｙがｘの鼻であって、そのｙが長い、といふことはない。
といふ「述語論理」に、相当する。
従って、
（05）（19）により、
（20）
④ 象が鼻が長い。
といふ「日本語」は、
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｘ）｝⇔
④ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であり、ｙは長く、ｘが象でないならば、あるｙがｘの鼻であって、そのｙが長い、といふことはなく、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「述語論理」に、相当する。
従って、
（05）（18）（20）により、
（21）
「番号」を付け替へると、
① 象は鼻は長い。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であり、ｙは長い。
② 象は鼻が長い。⇔
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｘ）｝⇔
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であり、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
③ 象が鼻は長い。⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であり、ｙは長く、ｘが象でないならば、あるｙがｘの鼻であって、そのｙが長い、といふことはない。
④ 象が鼻が長い。⇔
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｘ）｝⇔
④ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であり、ｙは長く、ｘが象でないならば、あるｙがｘの鼻であって、そのｙが長い、といふことはなく、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「４通り」が、成立する。
然るに、
（22）
括弧は、論理演算子のスコープ（ｓｃｏｐｅ）を明示する働きを持つ。スコープは、論理演算子の働きが及ぶ範囲のことをいう。
（産業図書、数理言語学辞典、2013年、四七頁：命題論理、今仁生美）
然るに、
（23）
（ⅰ）論理式または命題関数において、量記号が現れる任意の箇所の作用範囲は、問題になっている変数が現れる少なくとも２つの箇所を含むであろう（その１つの箇所は量記号そのもののなかにある）；
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１８３頁）
従って、
（22）（23）により、
（24）
例へば、
⑤ ∀ｘ（Ｆｘ）＝すべてのｘはＦである。
であれば、
⑤ ∀ｘ　といふ「量記号」の「作用範囲」」は、
⑤ ∀ｘ（Ｆｘ）
といふ「論理式の、全体」である。
従って、
（21）～（24）により、
（25）
① 象は鼻は長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
② 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｘ）｝。
③ 象が鼻は長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
④ 象が鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｘ）｝。
であっても、「∀ｘ」といふ「量記号」の「作用範囲」」は、それぞれの「文の、全体」ある。
従って、
（25）により、
（26）
① 象は鼻は長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
② 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｘ）｝。
③ 象が鼻は長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
④ 象が鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｘ）｝。
といふ「等式」の「左辺」である、
① 象は鼻は長い。
② 象は鼻が長い。
③ 象が鼻は長い。
④ 象が鼻が長い。
であっても、「象は・象が」といふ「主語」の「作用範囲」は、それぞれの「文の、全体」ある。
然るに、
（27）
「象は鼻が長い」という文が大正年間から専門家を悩ませていた。「象は」も主語、「鼻が」も主語。ひとつのセンテンスに二つも主語があってはならない。しかし、この表現は誤りではない。どう説明、合理化したらよいか、というのである。うまく解決する方法は見つからなかった。戦後になって三上章という人がおもしろい説を出した。「象は」は主語ではなくて主題である。「鼻が長い」は主語と述語だというので、これなら二重主語でなくなる。主題というのは、〝 についていえば〝 のように範囲を示す、いわば副詞のようなものだと考える。副詞なら主語になれない（外山滋比古、象は鼻が長い - TranNet New Column）。
従って、
（25）（26）（27）により、
（28）
「象は・象が」といふ「主語」の「作用範囲」は、それぞれの「文の、全体」あって、尚且つ、
「主題というのは、〝 についていえば〝 のように範囲を示す」といふことからすれば、
「象は・象が」は、「二つとも、主題」である。といふ、ことになる。
然るに、
（29）
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であり、ｙは長い。
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であり、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
を読めば分かる通り、
① 象は鼻は長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
② 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｘ）｝。
に於いて、
① は、「象」だけに言及してゐて、
② も、「象」だけに言及してゐて、
① は、「象の鼻」だけに言及してゐて、
② は、「象の鼻」と「象の鼻以外」に、言及してゐる。
加へて、
（30）
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であり、ｙは長く、ｘが象でないならば、あるｙがｘの鼻であって、そのｙが長い、といふことはない。
④ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であり、ｙは長く、ｘが象でないならば、あるｙがｘの鼻であって、そのｙが長い、といふことはなく、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
を読めば分かる通り、
③ 象が鼻は長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
④ 象が鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｘ）｝。
に於いて、
③ は、「象」と「象以外」に言及してゐて、
④ も、「象」と「象以外」に言及してゐて、
③ は、「象の鼻」だけに言及してゐて、
④ は、「象の鼻」と「象の鼻以外」に、言及してゐる。
従って、
（26）（29）（30）により、
（31）
① 象は鼻は長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
② 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｘ）｝。
③ 象が鼻は長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
④ 象が鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｘ）｝。
に於いて、
「象は・鼻は」は、「象と鼻」だけに言及してゐて、
「象が・鼻が」は、「象と象以外・鼻と鼻以外」に言及してゐる。
従って、
（31）により、
（32）
① 象は鼻は長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
② 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｘ）｝。
③ 象が鼻は長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
④ 象が鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｘ）｝。
に於いて、
「象は」は、「象だけ」　　を「話題」にしてゐて、
「象が」は、「象と象以外」を「話題」にしてゐる。
従って、
（33）
④｛象、キりン、河馬、ライオン、シマウマ｝を「変域（ドメイン）」とするならば、
④　　｛キりン、河馬、ライオン、シマウマ｝の「鼻は長くない」が故に。
④　象が鼻が長い。
といふ、ことになる。
従って、
（32）（33）により、
（34）
「象」を「主題」にする際に、
「象以外の動物（キリン、河馬、ライオン、シマウマ、他」を「念頭に置いてはならない」。
といふ「ルール」を設けるのであれば、
① 象は鼻は長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
② 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｘ）｝。
に於ける「象は（主語）」は「主題」であり、
③ 象が鼻は長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
④ 象が鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｘ）｝。
に於ける「象が（主語）」は「主題」ではない。

（201）「は」と「が」：「排他的命題」と「強調形」。

（01）
① ゴジラ＝濁音＋濁音＋ラ。
② コシラ＝清音＋清音＋ラ。
然るに、
（02）
清音の方は、小さくきれいで速い感じで、コロコロと言うと、ハスの上を水玉がころがるような時の形容である。ゴロゴロと言うと、大きく荒い感じで、力士が土俵でころがる感じである（金田一春彦、日本語（上）、1988年、１３１頁）。もし濁音を発音するときの物理的・身体的な口腔の膨張によって「濁音＝大きい」とイメージがつくられているのだとしたら、面白いですね。この仮説が正しいとすると、なぜ英語話者や中国語話者も濁音に対して「大きい」というイメージを持っているか説明がつきます（川原繁人、音とことばの不思議な世界、2015年、１３頁）。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ゴジラ＝濁音＋濁音＋ラ。
② コシラ＝清音＋清音＋ラ。
に於いて、
① の方が、② よりも、「大きくて、力強い」。
従って、
（03）により、
（04）
① 私が＝私＋濁音。
② 私は＝私＋清音。
に於いて、
① は、② に対する、「心理的な音量差」による、「強調形」である。
然るに、
（05）
　Ｅｇｏ　ｔｅ　ｌａｕｄｏ，ｔｕ　ｍｅ　ｎｏｎ　ｌａｕｄａｓ.
ここで ｅｇｏ（私が）といい、ｔｕ（お前が）というのは、特に「自分だ、と誉めるのは自分だ」と強調したからであり、また、一方 ｅｇｏ 一方 ｔｕ と対象させたからである。
（村松正俊、ラテン語四週間、1951年、１８２頁）
ｃｆ.
　ｌａｕｄｏ＝Ｉ　ｐｒａｉｓｅ.
　であるため、
　Ｅｇｏ　ｌａｕｄｏ.　と言へば、「Ｉ（私）」を「２回」言ってゐることになり、そのため、
　Ｅｇｏ　ｌａｕｄｏ.　と言へば、「Ｉ（私）」を「強調」してゐることになる。
従って、
（05）により、
（06）
① Ｉ　ｐｒａｉｓｅ（ｔｅ　ｌａｕｄｏ）.
に於いて、
① Ｉ を「強調」すると、
① 私以外は褒めない。
といふ「命題」、すなはち、「排他的命題（Exclusive proposition）」になる。
従って、
（05）（06）により、
（07）
「強調形」は、「排他的命題（Ａ以外はＢでない。）」を、「主張」する。
然るに、
（04）により、
（08）
① 私が（濁音）大野です。
② 私は（清音）大野です。
に於いて、
① の「主語」 は、
② の「主語」 に対する、「心理的な音量差」による、「強調形」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
② 私は（清音）大野です。
に対する、
① 私が（濁音）大野です。
といふ「日本語」は、
① 私以外は大野ではない。
といふ「意味（排他的命題）」になる。
然るに、
（10）
（ａ）
１　　（１）　私→大野　　Ａ
　２　（２）　私　　　　　Ａ
　　３（３）　　～大野　　Ａ
１２　（４）　　　大野　　１２ＭＰＰ
１２３（５）～大野＆大野　３４＆Ｉ
１　３（６）～私　　　　　２５ＲＡＡ
１　　（７）～大野→～私　３７ＣＰ
１　　（〃）大野でないならば、私ではない。
（ｂ）
１　　（１）～大野→～私　Ａ
　２　（２）～大野　　　　Ａ
　　３（３）　　　　　私　Ａ
１２　（４）　　　　～私　１２ＭＰＰ
１２３（５）　私＆　～私　３４＆Ｉ
１　３（６）～～大野　　　２５ＲＡＡ
１　３（７）　　大野　　　６ＤＮ
１　　（８）　私→大野　　３７ＣＰ
１　　（〃）私ならば大野である。
従って、
（10）により、
（11）
① 私以外は大野ではない。
の「対偶」は、
① 大野は私である。
であって、
① 大野は私である。
の「対偶」は。
① 私以外は大野ではない。
である。
然るに、
（12）
デジタル大辞泉の解説
たい‐ぐう【対偶】
３ 論理学で、「pならばqである」に対して、仮定および結論を否定し同時に両者を逆にした「qでなければpでない」という形の命題。原命題が真ならば、その対偶も必ず真となる。
従って、
（11）（12）により、
（13）
① 私以外は大野ではない。
の「対偶」は、
① 大野は私である。
であって、尚且つ、「対偶」は「等しい」。
従って、
（09）～（13）により、
（14）
① 私が大野です。　　　　といふ「命題」　　　は、
① 私以外は大野ではない。といふ「排他的命題」に「等しく」、
① 私以外は大野ではない。といふ「排他的命題」は、
① 大野は私です。　　　　といふ「逆命題」　　に「等しい」。
従って、
（14）により、
（15）
① 私が大野です。
② 大野は私です。
③ 私以外は大野ではありません。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（16）
（３）　未知と既知
この組み合わせは次のような場合に現われる。

　私が大野です。
これは、「大野さんはどちらですか」というような問いに対する答えとして使われる。つまり文脈において、「大野」なる人物はすでに登場していて既知である。ところが、それが実際にどの人物なのか、その帰属する先が未知である。その未知の対象を「私」と表現して、それをガで承けた。それゆえこの形は、
　大野は私です。
に置きかえてもほぼ同じ意味を表わすといえる（大野晋、日本語の文法を考える、1978年、３４頁）。
従って、
（15）（16）により、
（17）
（３）　未知と既知
この組み合わせは次のような場合に現われる。
　大野さんはどちらですか。
　私が大野です。
それゆえ（未知と既知の故に）この形は、
　大野は私です。
に置きかえてもほぼ同じ意味を表わすといえる。
といふ、わけではない。
然るに、
（15）により、
（18）
① 象がゐる。
② ゐるのは象である。
③ 象以外はゐない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（19）
① 地球上には、象以外に、人間もゐるし、犬もゐるし、馬もゐるし、鳥もゐるし、魚もゐるし、・・・・・・。
従って、
（18）（19）により、
（20）
① 象がゐる。
② ゐるのは象である。
③ 象以外はゐない。
といふのであれば、必然的に、
①（今、目の前に）象がゐる。
②（今、目の前に）ゐるのは象である。
③（今、目の前に）象以外はゐない。
といふ、「意味」になる。
然るに、
（15）により、
（21）
① 象が哺乳類である。
② 哺乳類は象である。
③ 象以外は哺乳類ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（22）
① 地球上には、哺乳類として、象以外に、人間もゐるし、犬もゐるし、馬もゐるし、・・・・・・。
従って、
（21）（22）により、
（23）
① ゾウ（象）は、哺乳綱ゾウ目（長鼻目）ゾウ科の総称である[2][3]（ウィキペディア）。
といふことを、言ひたいのであれば、
① 象が哺乳類である。
とは言はずに、
① 象は哺乳類である。
といふ風に、言はなければ、ならない。
然るに、
（24）
その一方で、
①（今、目の前に）象がゐる。象は鼻が長いなァ。
と言ふことも、可能である。
然るに、
（25）
①（今、目の前に）象がゐる。象は鼻が長いなァ。
と言ふ場合は、
①（今、目の前に）ゐる任意の象。
に関する「性質」を、
① すべての象。
に対して、「当て嵌めてゐる」と、すべきである。
然るに、
（26）
「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」に対する根拠でづけは、ある制限をふして、任意に選ばれた対象がある性質をもつことが示されうるならば、すべてのものはその性質をもたねばならないということである。
E.J.レモン、 竹尾治一郎・ 浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１３６頁）
従って、
（24）（25）（26）により、
（27）
①（今、目の前に）ゐる象。
に関する「性質」を、
① すべての象。
に対して、「当て嵌めてゐる」と、するならば、
①（今、目の前に）象がゐる。象は鼻が長いなァ。
といふ「言ひ方」は、
①「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」の具体例。
である。
従って、
（23）（27）により、
（28）
① 象は哺乳類である。
② 象は鼻が長い。
に於ける、
① 象は　は、「百科事典的な意味」での、「象は」であって、
② 象は　も、「百科事典的な意味」での、「象は」である。はずである。
然るに、
（15）により、
（29）
① 鼻が長い。
② 長いのは鼻である。
③ 鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（28）（29）により、
（30）
① 象は鼻が長い。
② 象で、長いのは鼻である。
③ 象は、鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（31）
① 象は鼻が長い。
といふのであれば、
① 象の鼻は長い。
従って、
（30）（31）により、
（32）
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長く、長いのは鼻である。
③ 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（32）により、
（33）
② と ③ を、「述語論理」で書くならば、
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（　長ｚ　→鼻ｚｘ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（34）
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（　長ｚ　→鼻ｚｘ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に於ける、
② ∀ｚ（　長ｚ　→鼻ｚｘ）｝
③ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に関しては、「対偶」である。
従って、
（12）（34）により、
（35）
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（　長ｚ　→鼻ｚｘ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
すなはち、
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であり、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚが長い　　ならば、ｚはｘの鼻である。
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であり、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
に於いて、たしかに、
②＝③ である。
従って、
（32）～（35）により、
（36）
② 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（　長ｚ　→鼻ｚｘ）｝。
③ 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（32）（35）により、
（37）
③ 鼻以外は長くない　　　　　　　　　＝　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
であるため、
④ 鼻以外は長くない。といふことはない＝～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
然るに、
（38）
（ⅰ）
１　（１）～∀ｚ（～鼻ｚｘ→　～長ｚ）　Ａ
１　（２）∃ｘ～（～鼻ｚｘ→　～長ｚ）　１量化子の関係
　３（３）　　～（～鼻ａｘ→　～長ａ）　Ａ
　３（４）　　～（　鼻ａｘ∨　～長ａ）　３含意の定義
　３（５）　　　　～鼻ａｘ＆～～長ａ　　４ド・モルガンの法則
　３（６）　　　　～鼻ａｘ＆　　長ａ　　５ＤＮ
　３（７）　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　　長ｚ）　６ＥＩ
１　（８）　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　　長ｚ）　２３７ＥＥ
（ⅱ）
１　（１）　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　　長ｚ）　Ａ
　２（２）　　　　～鼻ａｘ＆　　長ａ　　Ａ
　２（３）　～～（～鼻ａｘ＆　　長ａ）　２ＤＮ
　２（４）　～（～～鼻ａｘ∨　～長ａ）　３ド・モルガンの法則
　２（５）　　～（～鼻ａｘ→　～長ａ）　４含意の定義
　２（６）∃ｘ～（～鼻ａｘ→　～長ａ）　５ＥＩ
１　（７）∃ｘ～（～鼻ａｘ→　～長ａ）　１２６ＥＥ
１　（８）～∀ｚ（～鼻ｚｘ→　～長ｚ）　７量化子の関係
従って、
（38）により、
（39）
（ⅰ）～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
（ⅱ）　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
従って、
（39）により、
（40）
（ⅰ）すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。といふわけではない。
（ⅱ）あるｚは、ｘの鼻ではないが、ｚは長い。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
然るに、
（41）
④ 鼻以外は長くない。といふことはない。
といふことは、
④ 鼻以外も長い＝鼻も長い。
といふことに、他ならない。
従って、
（36）～（41）により、
（42）
④ 象は鼻も長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
⑤ 象は鼻も長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝。
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（36）（42）により、
（43）
② 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（　長ｚ　→鼻ｚｘ）｝。
③ 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
④ 象は鼻も長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
⑤ 象は鼻も長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝。
に於いて、
②＝③ であって、
④＝⑤ であるが、
②＝④ ではなく、尚且つ、
②と④ は、
② 　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝＆
④ ～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　に於いて、「矛盾」する。
然るに、
（44）
① 私は、あなたは、好きです。
といふのであれば、
① あなた以外は好きではない。のか、
① あなた以外も好きである。　のかが、分からない。
従って、
（44）により、
（45）
① 象は鼻は長い。
といふのであれば、
① 象は、鼻以外は長くない。のか、
① 象は、鼻以外も長い。　　のかが、分からない。
従って、
（43）（44）（45）により、
（46）
① 象は鼻は長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
② 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（　長ｚ　→鼻ｚｘ）｝。
③ 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
④ 象は鼻も長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
⑤ 象は鼻も長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝。
に於いて、
① と「②と③」は、「矛盾」せず、
① と「④と⑤」も、「矛盾」しない。
従って、
（01）～（46）により、
（47）
① 鼻は＝鼻＋は（清音）。
② 鼻が＝鼻＋が（濁音）。
に於いて、
① に対する、② が、「心理的な音量差」による、「強調形」である。が故に、
① 象は鼻は長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
② 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（　長ｚ　→鼻ｚｘ）｝。
③ 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
④ 象は鼻も長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
⑤ 象は鼻も長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（48）
① 象は鼻は長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
② 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（　長ｚ　→鼻ｚｘ）｝。
③ 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
に於ける、「右辺」を見れば分かる通り、
① 象は鼻は長い。　といふ「日本語」は、
② 象は鼻が長い。　といふ「日本語」よりも、「情報量」が「少ない」。
従って、
（48）により、
（49）
実際に、
② 象は、鼻以外は長くない＝∀ｚ（　長ｚ　→鼻ｚｘ）
③ 象は、鼻以外は長くない＝∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
といふのであれば、
② 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（　長ｚ　→鼻ｚｘ）｝。
③ 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ風に、言ふべきであって、
① 象は鼻は長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
といふ風に、言ふべきではない。
然るに、
（50）
　「象は鼻が長い」という例文
三上章は『象は鼻が長い』という本を書いて、日本語には主語がないと主張しました。「象は鼻が長い」という文の「象は」というのは主語ではなく、主題なのだという主張でした。助詞「は」がつく語は主題になります。「は」は文の区切りになるようです。「象は鼻が長い」の「象は」という主題は、「象についていうと」という意味になります。「象は」のあとに主題についての解説が続くというのが、この文の構造のようです。解説ですから、「象は」と関係があるものならよくて、論理性は問題になりません。
（投稿日: 2017年2月8日 作成者: 丸山有彦）
然るに、
（51）
「論理性は問題になりません」といふ場合の、「論理性」といふ「意味」が、私には、分からない。
然るに、
（52）
③ 象は鼻が長い ⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であり、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
然るに、
（53）
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、
といふことは、
③ すべての象について、
といふ、ことである。
従って、
（52）（53）により、
（54）
③ 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
に於いても、
③ 象は　は、「象についていうと」といふ「意味」である。
従って、
（50）（54）により、
（55）
「象についていうと」に於ける、「象」を「主題」と呼ぶならば、「象は」はたしかに、「主題」である。
然るに、
（56）
「象は」を、「主題」と呼ぶのであれば、
① 象は鼻は長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
といふ「日本語」には、
① 象は
① 鼻は
といふ、「二つの主題」が有ることになるのであるが、普通は、「主題」は、「一つの文に、一つしか無い」と思はれる。
然るに、
（57）
「象は鼻が長い」という文が大正年間から専門家を悩ませていた。「象は」も主語、「鼻が」も主語。ひとつのセンテンスに二つも主語があってはならない。しかし、この表現は誤りではない。どう説明、合理化したらよいか、というのである。うまく解決する方法は見つからなかった。戦後になって三上章という人がおもしろい説を出した。「象は」は主語ではなくて主題である。「鼻が長い」は主語と述語だというので、これなら二重主語でなくなる。主題というのは、〝 についていえば〝 のように範囲を示す、いわば副詞のようなものだと考える。副詞なら主語になれない（外山滋比古、象は鼻が長い - TranNet New Column）。
従って、
（47）（56）（57）により、
（58）
① 象は鼻は長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
③ 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
に於ける、
①「二重主題」を「問題」にせずに、
②「二重主語」を「問題」にするのは、ヲカシイ。
然るに、
（59）
括弧は、論理演算子のスコープ（ｓｃｏｐｅ）を明示する働きを持つ。スコープは、論理演算子の働きが及ぶ範囲のことをいう。
（産業図書、数理言語学辞典、2013年、四七頁：命題論理、今仁生美）
然るに、
（60）
（ⅰ）論理式または命題関数において、量記号が現れる任意の箇所の作用範囲は、問題になっている変数が現れる少なくとも２つの箇所を含むであろう（その１つの箇所は量記号そのもののなかにある）；
（ⅱ）論理式または命題関数において、量記号が現れる任意の箇所の作用範囲は、同じ変数を用いたいかなる他の量記号も含まないであろう。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１８３頁）
従って、
（58）（59）（60）により、
（60）
要するに、
（ⅰ）∀ｘのｘが、「すべての括弧の中」に在るため、
③ 象は鼻が長い ⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であり、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
に於いて、
③ 象は
③ ∀ｘ｛象ｘ→
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、
といふ「意味」は、「文末」にまで、「及んでゐる」。
従って、
（50）（61）により、
（62）
「象は」が「主語」であらうと、
「象は」が「主題」であらうと、
「象は」のあとに「象」についての解説が続くというのが、この文の構造のようです。
といふのは、「正しい」。
然るに、
（63）
主語や目的語や補語、これだけは自分で考えるクセを付けて下さい。学校の先生がこれまた、考えなくとも、どんどん入れて訳してくれるんです。古文はよく、省かれているんですね。誰が、誰を、誰に、みたいなものが、日本語はよく省略されているんですけど、先生がどんどん補って下さる。で皆さんは何でその主語になるのかよくわかんないまま、またノートに、訳のところに、一生懸命、書いて覚えて、テストを受けてる。さっきも言いました。自力です。「自力で補足するです。」入試のときそばで誰も助けてくれないからですね。で実は、これが皆さんを古文嫌いにさせている、つまり、せっかく、訳ができた。単語を覚えて、Ａさんがしてることを、Ｂさんがしたと勘違いして、変え～んな、文章にしちゃったことないですかあ。ワタシは模擬試験の時にですねえ、よく、ストーリーは、ある程度わかったのに、「やったひととやられた人を勘違い」して、もう途中で「大混乱」してですね。七行目ぐらいまで頑張って読んだのに、もう「まんなか辺」で、プチッと切れて、もうええいいや、ワケわかんなくなっちゃたといって、「放り出す」ことがよくありますけども、これ（主語・目的語・補語）を自分で意識すると、「こうやって考えながらやるんだな」って意識すると、かなり読みやすくなるんです（東進ハイスクール 荻野文子先生 - YouTube）。
といふことは、「本当」である。
従って、
（50）（57）（63）により。
（64）
三上章先生が、「日本語には、主語は無い。」と言はれようと、言はれまいと、「古文・漢文」を読解するためには、「主語」といふ「用語」を、無くすわけには、いかないはずである。

（200）「選言除去の規則（∨Ｅ）」について（Ⅱ）。

（01）
最初にこれ（「選言除去の規則」についての説明）を読んでも、いったいどんな規則なのか、すぐには飲み込めないことでしょう。この規則がいわゆる「場合分けの原理」を表していることを理解する必要があります。
　証明における場合わけとは？
数学の証明において、「場合分けをして証明する」ということが頻繁にあります。すなわち、証明の途中で、場合Ｐと場合Ｑのどちらかになることを示します。そして、まず、Ｐの場合にＲが成り立つことを証明します。次に、Ｑの場合もＲが成り立つと証明します。これによって。結局Ｒそのものが成り立つと結論する、という議論の仕方です。
具体例を使って解説しましょう。次のような証明問題を考えてみます。
　例６．４　３で割りきれない自然数ｎに対して、「ｎの２乗」を「３で割った余り」は１であることを証明せよ。
先に解答を与えると以下です。
（解答）
３で割り切れない整数ｎは、３で割ると余り１または２となる。
（ⅰ）ｎを３で割ると、余り１の場合は、・・・・・・・。
（ⅱ）ｎを３で割ると、余り２の場合は、・・・・・・・。
（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１５７・８頁改）
しかしながら、
（02）
実を言ふと、
３で割り切れない整数ｎは、３で割ると余り１または２となる。
（ⅰ）ｎを３で割ると、余り１の場合は、・・・・・・・。
（ⅱ）ｎを３で割ると、余り２の場合は、・・・・・・・。
といふ「説明」は、「例」としては、「３分の２」しか、「正しく」はありません。
（03）
（ａ）
１　　（１）Ｐ＆Ｑ→Ｒ　Ａ
　２　（２）Ｐ　　　　　Ａ
　　３（３）　　Ｑ　　　Ａ
　２３（４）Ｐ＆Ｑ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）　　　　Ｒ　１４ＭＰＰ
従って、
（03）により、
（04）
①「Ｐであって、Ｑである」ならば、　　「Ｒである。」といふのであれば、
①「Ｐであって、Ｑである」でなければ、「Ｒである。」とは、言へません。
然るに、
（05）
（ｂ）
１　　（１）Ｐ∨Ｑ→Ｒ　Ａ
　２　（２）Ｐ　　　　　Ａ
　２　（３）Ｐ∨Ｑ　　　２∨Ｉ
１２　（４）　　　　Ｒ　１３ＭＰＰ
（ｃ）
１　　（１）Ｐ∨Ｑ→Ｒ　Ａ
　２　（２）　　Ｑ　　　Ａ
　２　（３）Ｐ∨Ｑ　　　２∨Ｉ
１２　（４）　　　　Ｒ　１３ＭＰＰ
（ｄ）
１　　（１）Ｐ∨Ｑ→Ｒ　Ａ
　２　（２）Ｐ＆Ｑ　　　Ａ
　２　（３）Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２　（４）Ｐ∨Ｑ　　　２∨Ｉ
１２　（５）　　　　Ｒ　１４ＭＰＰ
従って、
（05）により、
（06）
①「Ｐであるか、または、Ｑであるならば、Ｒである。」といふのであれば、
②「Ｐであって、Ｑでないとしても」、　 「Ｒであり」、
③「Ｐでなくて、Ｑであるとしても」、   「Ｒであり」、
④「Ｐであって、Ｑであっても」、       「Ｒである」。
といふことに、なります。
従って、
（07）
「論理学」でいふ、「Ｐであるか、または、Ｑである」が「真」である場合には、「４－１＝３通り」が有ります。
ｃｆ.
数理論理学において論理和（ろんりわ、英語: Logical disjunction）とは、与えられた複数の命題のいずれか少なくとも一つが真であることを示す論理演算である。離接（りせつ）、選言（せんげん）とも呼び、ORとよく表す（ウィキペディア）。
然るに、
（08）
３で割り切れない整数ｎは、３で割ると余り１または２となる。としても、
（ⅰ）ｎを３で割ると余りが、　１　の場合は、・・・・・・・。
（ⅱ）ｎを３で割ると余りが、　２　の場合は、・・・・・・・。
（ⅲ）ｎを３で割ると余りが、１と２の場合は、・・・・・・・。
といふことは、有り得ません。
然るに、
（09）
例へば、
（ｅ）
１　　（１）Ｐ∨Ｑ　Ａ
　２　（２）Ｐ　　　Ａ
　２　（３）Ｑ∨Ｐ　２∨Ｉ
　　４（４）　　Ｑ　Ａ
　　４（５）Ｑ∨Ｐ　４∨Ｉ
であれば、
① Ｐから、 Ｑ∨Ｐ　を「証明」してゐて、その時点では、
② Ｑから　 Ｑ∨Ｐ　は「証明」してはゐません。
しかしながら、
（10）
１　　（１）Ｐ∨Ｑ　Ａ
　２　（２）Ｐ　　　Ａ
　２　（３）Ｑ∨Ｐ　２∨Ｉ
　　４（４）　　Ｑ　Ａ
　　４（５）Ｑ∨Ｐ　４∨Ｉ
であれば、
① 　Ｐから、 　Ｑ∨Ｐ　を「証明」した後で、それに続けて、
②　 Ｑから　　 Ｑ∨Ｐ　を「証明」し終へたならば、その時点では、
③ ＰとＱから、 Ｑ∨Ｐ　を「証明」したことに、なります。
従って、
（09）（10）により、
（11）
（ｅ）
１　　（１）Ｐ∨Ｑ　Ａ
　２　（２）Ｐ　　　Ａ
　２　（３）Ｑ∨Ｐ　２∨Ｉ
　　４（４）　　Ｑ　Ａ
　　４（５）Ｑ∨Ｐ　４∨Ｉ
（ｅ）
１　　（１）Ｐ∨Ｑ　Ａ
　２　（２）　　Ｑ　Ａ
　２　（３）Ｑ∨Ｐ　２∨Ｉ
　　４（４）Ｐ　　　Ａ
　　４（５）Ｑ∨Ｐ　４∨Ｉ
といふ「計算」は、その実、
① 　Ｐから、 　Ｑ∨Ｐ　を「証明」し、
②　 Ｑから　　 Ｑ∨Ｐ　を「証明」し、
③ ＰとＱから、 Ｑ∨Ｐ　を「証明」してゐます。
従って、
（11）により、
（12）
（ｆ）
１　　（１）　Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）　　　　Ａ
　２　（２）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　２　（２）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　２∨Ｉ
　２　（３）　Ｐ∨Ｒ　　　　　　　　２∨Ｉ
　２　（４）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）　２３＆Ｉ
　　５（５）　　　　Ｑ＆Ｒ　　　　　Ａ
　　５（６）　　　　Ｑ　　　　　　　５＆Ｅ
　　５（７）　　　　　　Ｒ　　　　　５＆Ｅ
　　５（８）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　６∨Ｉ
　　５（９）　　　　　　　Ｐ∨Ｒ　　７∨Ｉ
　　５（ア）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）　８９＆I
１　　（イ）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）　１２４５ア∨Ｅ
といふ「計算」も、その実、
① Ｐから、 　         （Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）　を「証明」し、
②       Ｑ＆Ｒ　から、（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）　を「証明」し、
③ Ｐと（Ｑ＆Ｒ）から、（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）　を「証明」してゐます。
然るに、
（13）
ちなみに、
（ｇ）
１　（１）　（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）　Ａ
１　（２）　　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　１＆Ｅ
１　（３）～～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　２ＤＮ
１　（４）　～Ｐ→Ｑ　　　　　　　　３含意の定義
１　（５）　　　　　　　　Ｐ∨Ｒ　　１＆Ｅ
１　（６）　　　　　　～～Ｐ∨Ｒ　　５ＤＮ
１　（７）　　　　　　　～Ｐ→Ｒ　　６含意の定義
　２（８）　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
１２（９）　　　　Ｑ　　　　　　　　４８ＭＰＰ
１２（ア）　　　　　　　　　　Ｒ　　７８ＭＰＰ
１２（イ）　　　　（Ｑ＆Ｒ）　　　　９ア＆Ｉ
１　（ウ）　～Ｐ→（Ｑ＆Ｒ）　　　　８イＣＰ
１　（エ）～～Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）　　　　ウ含意の定義
１　（オ）　　Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）　　　　エＤＮ
従って、
（12）（13）により、
（14）
（ｆ）　Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）
（ｇ）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
に於いて、
（ｆ）＝（ｇ） である。
然るに、
（15）
（ｆ）　Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）
（ｇ）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
に於いて、
（ｆ）＝（ｇ） であることを、「加法の分配法則」と言ひ、「数式」であれば、
（ｆ）　Ｐ＋（Ｑ×Ｒ）
（ｇ）（Ｐ＋Ｑ）×（Ｐ＋Ｒ）
に相当します。
然るに、
（16）
（ｆ）　２＋（３×４）　　　＝１４
（ｇ）（２＋３）×（２＋４）＝３０
従って、
（15）（16）により、
（17）
「加法の分配法則」は、「数学」では、成立しません。

（199）「選言除去の規則（∨Ｅ）」について。

（01）
正確に述べようとすると複雑であるが、「選言除去の規則（∨Ｅ）」は、全く自然の推論の原理に合致している。ＡあるいはＢである、すなわちＡあるいはＢの一方が真であるとし、またＡを仮定すればＣが真であることが示しうる。すなわちＡが成り立てばＣが成り立つとし、またＢという仮定からもやはりＣが成り立つことを示しうる、すなわちＢが成り立てばＣもまた成り立つ、としよう、そうすれば、いずれにせよＣは成り立つ（論理学初歩、E.J.レモン 著、 竹尾治一郎 ・浅野楢英 訳、1973年、３０頁）。
（02）
Ｐ＝今日は晴天である。
Ｑ＝今日は雨天である。
Ｒ＝今日は日曜である。
とする。
然るに、
（03）
（ａ）
１　　　（１）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２　　（２）　　　Ｒ　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　２３　（４）　Ｐ＆Ｒ　　　　　　　　２３＆Ｉ
　２３　（５）（Ｐ＆Ｒ）∨（Ｑ＆Ｒ）　４∨Ｉ
　　　６（６）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２　６（７）　　　　　　　Ｑ＆Ｒ　　２６＆Ｉ
　２　６（８）（Ｐ＆Ｒ）∨（Ｑ＆Ｒ）　７∨Ｉ
１２　　（９）（Ｐ＆Ｒ）∨（Ｑ＆Ｒ）　１３５６８∨Ｅ
（ｂ）
１　　　（１）（Ｐ＆Ｒ）∨（Ｑ＆Ｒ）　Ａ
　２　　（２）　Ｐ＆Ｒ　　　　　　　　Ａ
　２　　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　　（４）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　３∨Ｉ
　　５　（５）　　　　　　　Ｑ＆Ｒ　　Ａ
　　５　（６）　　　　　　　Ｑ　　　　５＆Ｅ
　　５　（７）　　　　　Ｐ∨Ｑ　　　　６∨Ｉ
１　　　（８）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　１２４５７ＥＥ
　２　　（９）　Ｒ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
（１）今日は晴天であるか、または、今日は雨天である＝Ｐ∨Ｑ。
（２）今日は日曜である＝Ｒ
といふ「仮定」から、
（９）今日は晴天の日曜であるか、または、今日は雨天の日曜である＝（Ｐ＆Ｒ）∨（Ｑ＆Ｒ）。
といふ「結論」が、「選言除去の規則（∨Ｅ）」によって、導かれ、尚且つ、「逆もまた、正しい」。
然るに、
（05）
（ｃ）
１　　　（１）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２　　（２）　Ｒ　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　２３　（４）　Ｐ＆Ｒ　　　　　　　　２３＆Ｉ
　　　５（５）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ＊
　２　５（６）　Ｑ＆Ｒ　　　　　　　　３５＆Ｉ
　２３５（７）（Ｐ＆Ｒ）＆（Ｑ＆Ｒ）　４６＆Ｉ
　２３５（８）（Ｐ＆Ｒ）＆（Ｑ＆Ｒ）　４６＆Ｉ
１２　　（９）（Ｐ＆Ｒ）＆（Ｑ＆Ｒ）　１３７５８∨Ｅ
といふ「計算」が、「正しい」とする。
従って、
（05）により、
（06）
（１）今日は晴天であるか、または、今日は雨天である＝Ｐ∨Ｑ。
（２）今日は日曜である＝Ｒ。
といふ「仮定」から、
（９）今日は晴天の日曜であり、尚且つ、今日は雨天の日曜である＝（Ｐ＆Ｒ）＆（Ｑ＆Ｒ）。
といふ「結論」が、「選言除去の規則（∨Ｅ）」によって、導かれる。
然るに、
（07）
（１）今日は晴天であるか、または、今日は雨天である＝Ｐ∨Ｑ。
（２）今日は日曜である＝Ｒ
といふ「仮定」から、
（９）今日は晴天の日曜であり、尚且つ、今日は雨天の日曜である＝（Ｐ＆Ｒ）＆（Ｑ＆Ｒ）。
といふ「結論」は、「導出（deduce）」出来ない。
然るに、
（08）
（ａ）
１　　　（１）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２　　（２）　　　Ｒ　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　２３　（４）　Ｐ＆Ｒ　　　　　　　　２３＆Ｉ
　２３　（５）（Ｐ＆Ｒ）∨（Ｑ＆Ｒ）　４∨Ｉ
　　　６（６）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２　６（７）　　　　　　　Ｑ＆Ｒ　　２６＆Ｉ
　２　６（８）（Ｐ＆Ｒ）∨（Ｑ＆Ｒ）　７∨Ｉ
１２　　（９）（Ｐ＆Ｒ）∨（Ｑ＆Ｒ）　１３５６８∨Ｅ
の場合は、
　　３　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
といふ「仮定α」から、
　２３　（５）（Ｐ＆Ｒ）∨（Ｑ＆Ｒ）　４∨Ｉ
といふ「結論γ」を、得た後の「段階」で、
　　　６（６）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ
といふ「仮定β」を仮定し、その、
　　　６（６）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ
といふ「仮定β」から、
　２　６（８）（Ｐ＆Ｒ）∨（Ｑ＆Ｒ）　７∨Ｉ
といふ「結論γ」を得てゐる。
従って、
（08）により、
（09）
（ａ）の場合は、
「Ｐ（仮定α）」そのものから、「結論γ」を得た後で、
「Ｑ（仮定β）」そのものから、「結論γ」を得てゐる。
然るに、
（10）
（ｃ）
１　　　（１）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２　　（２）　Ｒ　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　２３　（４）　Ｐ＆Ｒ　　　　　　　　２３＆Ｉ
　　　５（５）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ＊
　２　５（６）　Ｑ＆Ｒ　　　　　　　　３５＆Ｉ
　２３５（７）（Ｐ＆Ｒ）＆（Ｑ＆Ｒ）　４６＆Ｉ
　２３５（８）（Ｐ＆Ｒ）＆（Ｑ＆Ｒ）　４６＆Ｉ
１２　　（９）（Ｐ＆Ｒ）＆（Ｑ＆Ｒ）　１３７５８∨Ｅ
の場合は、
　　３　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
といふ「仮定α」から、
　２３５（７）（Ｐ＆Ｒ）＆（Ｑ＆Ｒ）　４６＆Ｉ
といふ「結論γ」を、得る前の「段階」で、
　　　５（５）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ＊
といふ「仮定β」を仮定し、尚且つ、その「仮定β」を、
　２　５（６）　Ｑ＆Ｒ　　　　　　　　３５＆Ｉ
といふ「形」で、用ひてゐる。
従って、
（11）
（ｃ）の場合は、
「Ｐ（仮定α）」そのものから、「結論γ」を得た後で、
「Ｑ（仮定β）」そのものから、「結論γ」を得てゐる。
のではなく、
「Ｐ（仮定α）」と
「Ｑ（仮定β）」の、両方を用ひて、「結論γ」を得てゐる。
従って、
（10）（11）により、
（12）
（ｃ）の場合は、実際には、
（ｄ）
１　　　　（１）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２　　　（２）　Ｒ　　　　　　　　　　Ａ
　　３　　（３）　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　Ａ＊
　　　４　（４）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　２　４　（５）　Ｐ＆Ｒ　　　　　　　　２４＆Ｉ
　　３　　（６）　　　Ｑ　　　　　　　　３＆Ｅ
　２３　　（７）　Ｑ＆Ｒ　　　　　　　　２６＆Ｉ
　２３４　（８）（Ｐ＆Ｒ）＆（Ｑ＆Ｒ）　５７＆Ｉ
　　　　９（９）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ＊
　２　　９（ア）　Ｑ＆Ｒ　　　　　　　　２９＆Ｉ
　２　４９（イ）（Ｐ＆Ｒ）＆（Ｑ＆Ｒ）　５ア＆Ｉ
１２３　　（ウ）（Ｐ＆Ｒ）＆（Ｑ＆Ｒ）　１４８９イＥＥ
といふ「計算」を行ってゐるのに「等しい」。
従って、
（10）（12）により、
（13）
（ｃ）は、
１　　（１）　Ｐ∨Ｑ　Ａ
　２　（２）　Ｒ　　　Ａ
といふ「仮定」を、
１　　（１）　Ｐ∨Ｑ　Ａ
　２　（２）　Ｒ　　　Ａ
　　３（３）　Ｐ＆Ｑ　Ａ
といふ風に、「改ざん」してゐる。
従って、
（03）（05）（13）により、
（14）
（ａ）
１　　　（１）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２　　（２）　　　Ｒ　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　２３　（４）　Ｐ＆Ｒ　　　　　　　　２３＆Ｉ
　２３　（５）（Ｐ＆Ｒ）∨（Ｑ＆Ｒ）　４∨Ｉ
　　　６（６）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２　６（７）　　　　　　　Ｑ＆Ｒ　　２６＆Ｉ
　２　６（８）（Ｐ＆Ｒ）∨（Ｑ＆Ｒ）　７∨Ｉ
１２　　（９）（Ｐ＆Ｒ）∨（Ｑ＆Ｒ）　１３５６８∨Ｅ
といふ「選言除去の規則（∨Ｅ）」の「適用」は、「正しく」、
（ｃ）
１　　　（１）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２　　（２）　Ｒ　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　２３　（４）　Ｐ＆Ｒ　　　　　　　　２３＆Ｉ
　　　５（５）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ＊
　２　５（６）　Ｑ＆Ｒ　　　　　　　　３５＆Ｉ
　２３５（７）（Ｐ＆Ｒ）＆（Ｑ＆Ｒ）　４６＆Ｉ
　２３５（８）（Ｐ＆Ｒ）＆（Ｑ＆Ｒ）　４６＆Ｉ
１２　　（９）（Ｐ＆Ｒ）＆（Ｑ＆Ｒ）　１３７５８∨Ｅ
といふ「選言除去の規則（∨Ｅ）」の「適用」は、「正しくない」。

（198）「選言導入の規則（∨Ｉ）」は「不自然」ではない（ⅴ）。

―「先ほどの記事（197）」の「続き」を書きます。―
（27）
１（１）ソクラテスは人間である。　Ａ
１（２）ソクラテスは人間であるか、または、豚がイギリスの海峡を越えて編隊を組んで飛んでいる。　１∨Ｉ
といふ「推論」を、「不自然」であると、思ふのであれば、
１（２）の左には、
１　しかない。
といふことは、
１の行　は、　「真　」であるが、
１の行　以外の「真偽」は、
１の行　に「依存」する。
といふことを、「意味」してゐる。
といふことを、「教へられてゐない」か、「忘れてゐる」の、どちらかである。
従って、
（27）により、
（28）
１（１）ソクラテスは人間である。　Ａ
１（２）ソクラテスは人間であるか、または、豚がイギリスの海峡を越えて編隊を組んで飛んでいる。　１選言導入の規則
であれば、
１（２）ソクラテスは人間である。
までが、「確実」に「真」であり、
１（２）　　　　　　　　　　　　　　　　　豚がイギリスの海峡を越えて編隊を組んで飛んでいる。
といふ「部分」に関しては、「真」であるかどうか、分からない。
といふ、ことになる。
従って、
（28）により、
（29）
１（１）Ｐ　　　Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ
に於いて、
１（２）の左には、
１　しかない。
といふことは、
１の行　は、　「真　」であるが、
１の行　以外の「真偽」は、
１の行　に「依存」する。
といふことからすれば、
１（１）ソクラテスは人間である。　Ａ
１（２）ソクラテスは人間であるか、または、豚がイギリスの海峡を越えて編隊を組んで飛んでいる。　１選言導入の規則
といふ「推論」は、初めから、
１（１）　　　　ソクラテスは人間である。　Ａ
１（２）従って、ソクラテスは人間であるが、豚がイギリスの海峡を越えて編隊を組んで飛んでいるかどうかは、分からない。　１選言導入の規則
といふ「意味」であった。といふことになる。
従って、
（29）により、
（30）
１（１）Ｐ　Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ　１∨
１（３）Ｐ∨Ｑ∨Ｒ　１∨
１（４）Ｐ∨Ｑ∨Ｒ∨Ｓ　１∨
１（５）Ｐ∨Ｑ∨Ｒ∨Ｓ∨Ｔ　１∨
１（６）Ｐ∨Ｑ∨Ｒ∨Ｓ∨Ｔ∨Ｕ　１∨
といふ具合に、「いくらでも、無限に、選言肢を加へること」が出来、尚且つ、「これらの選言枝」は、「真」であっても、「偽」であっても、かまはない。
然るに、
（31）
１（１）Ｐ　　　Ａ
　（２）Ｐ→Ｐ　１１ＣＰ
　（〃）ＰであるならばＰである。　は、トートロジーである。
ｃｆ.
トートロジー（tautology）
文法的には同じ語の無意味な反復をいうが，論理学では，経験的知識の内容とはかかわりなく，必然的に真として成立する命題，ないしその関数関係をいう。
（ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説）
然るに、
（32）
１（１）　Ｐ　　　　　　　Ａ
１（２）　Ｐ∨～Ｐ　　　　∨Ｉ
１（３）～Ｐ∨　Ｐ　　　　２交換法則
１（４）　Ｐ→　Ｐ　　　　３含意の定義
　（５）　Ｐ→（Ｐ→Ｐ）　１４ＣＰ
　（〃）Ｐであるならば（ＰであるならばＰである）。　は、トートロジーである。
従って、
（31）（32）により、
（33）
① 　　　　　　　　ＰであるならばＰである。
② Ｐであるならば（ＰであるならばＰである）。
に於いて、
① は、トートロジーであり、
② も、トートロジーであるが、
② を「証明」するためには、「選言導入の規則（∨Ｉ）」を、「必要」とする。
然るに、
（34）
（ⅰ）
１　　（１）Ｐ∨Ｑ　Ａ
　２　（２）Ｐ　　　Ａ
　２　（３）Ｑ∨Ｐ　２∨Ｉ
　　４（４）　　Ｑ　Ａ
　　４（５）Ｑ∨Ｐ　２∨Ｉ
１　　（６）Ｑ∨Ｐ　１２３４５∨Ｅ
（ⅱ）
１　　（１）Ｑ∨Ｐ　Ａ
　２　（２）Ｑ　　　Ａ
　２　（３）Ｐ∨Ｑ　２∨Ｉ
　　４（４）　　Ｐ　Ａ
　　４（５）Ｐ∨Ｑ　２∨Ｉ
１　　（６）Ｐ∨Ｑ　１２３４５∨Ｅ
従って、
（34）により、
（35）
③ Ｐ∨Ｑ
④ Ｑ∨Ｐ
に於いて、すなはち、
③ Ｐであるか、Ｑである。
④ Ｑであるか、Ｐである。
に於いて、
③＝④ である。
といふ「交換法則」を「照明」するためにも、「選言導入の規則（∨Ｉ）」を、「必要」とする。
ｃｆ.
③ １＋２＝３
④ ２＋１＝３
然るに、
（36）
（ⅰ）
１　　　　（１）Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）　Ａ
　２　　　（２）Ｐ　　　　　　　Ａ
　２　　　（３）Ｐ∨Ｒ　　　　　２∨Ｉ
　２　　　（４）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）　３∨Ｉ
　　５　　（５）　　　Ｑ∨Ｒ　　Ａ
　　　６　（６）　　　Ｑ　　　　Ａ
　　　６　（７）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）　６∨Ｉ
　　　　８（８）　　　　　Ｒ　　Ａ
　　　　８（９）　　　Ｐ∨Ｒ　　８∨Ｉ
　　　　８（ア）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）　９∨Ｉ
　　５　　（イ）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）　５６７８ア∨Ｅ
１　　　　（ウ）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）　１２４５イ∨Ｅ
（ⅱ）
１　　　　（１）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）　Ａ
　２　　　（２）Ｑ　　　　　　　Ａ
　２　　　（３）Ｑ∨Ｒ　　　　　２∨Ｉ
　２　　　（４）Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）　３∨Ｉ
　　５　　（５）　　　Ｐ∨Ｒ　　Ａ
　　　６　（６）　　　Ｐ　　　　Ａ
　　　６　（７）Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）　６∨Ｉ
　　　　８（８）　　　　　Ｒ　　Ａ
　　　　８（９）　　　Ｑ∨Ｒ　　８∨Ｉ
　　　　８（ア）Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）　９∨Ｉ
　　５　　（イ）Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）　５６７８ア∨Ｅ
１　　　　（ウ）Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）　１２４５イ∨Ｅ
従って、
（36）により、
（37）
⑤ Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）
⑥ Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）
に於いて、すなはち、
⑤ Ｐであるか（Ｑであるか、Ｒである）。
⑥ Ｑであるか（Ｐであるか、Ｒである）。
に於いて、
⑤＝⑥ である。
といふ「交換法則」を「照明」するためにも、「選言導入の規則（∨Ｉ）」を、「必要」とする。
ｃｆ.
⑤ １＋（２＋３）＝６
⑥ ２＋（１＋３）＝６
（38）
（ⅰ）
１　　（１）　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　　　　Ａ
１　　（２）　Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　（３）　Ｑ∨Ｒ　　　　　　　　１＆Ｅ
　４　（４）　Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
１４　（５）　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　２４＆Ｉ
１４　（６）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　５∨Ｉ
　　７（７）　　　Ｒ　　　　　　　　Ａ
１　７（８）　　　　　　　Ｐ＆Ｒ　　２７＆Ｉ
１　７（９）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　８∨Ｉ
１　　（ア）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　３４６７９ＥＥ
（ⅱ）
１　　（１）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　Ａ
　２　（２）（Ｐ＆Ｑ）　　　　　　　Ａ
　２　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（４）　　　Ｑ　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（５）　　　　Ｑ∨Ｒ　　　　　４∨Ｉ
　２　（６）　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　　　　３５＆Ｉ
　　７（７）　　　　　　（Ｐ＆Ｒ）　Ａ
　　７（８）　　　　　　　Ｐ　　　　７＆Ｅ
　　７（９）　　　　　　　　　Ｒ　　７＆Ｅ
　　７（ア）　　　　　　　Ｑ∨Ｒ　　９∨Ｉ
　　７（イ）　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　　　　８ア＆Ｉ
１　　（ウ）　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　　　　１２６７イＥＥ
従って、
（38）により、
（39）
⑦ 　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
⑧ （Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、すなはち、
⑦  Ｐであって（Ｑであるか、Ｒである）。
⑧（ＰであってＱである）か、（ＰであってＲである）。
といふ「分配法則」を「照明」するためにも、「選言導入の規則（∨Ｉ）」を、「必要」とする。
ｃｆ.
⑦　２×（３＋４）　　　＝１４
⑧（２×３）＋（２×４）＝１４
従って、
（33）～（39）により、
（40）
「選言導入の規則（∨Ｉ）」を認めなければ、「自然演繹（Natural deduction）」は、成り立たない。
ｃｆ.
自然演繹
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
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自然演繹（しぜんえんえき、英: Natural deduction）は、「自然な」ものとしての論理的推論の形式的モデルを提供する証明理論の手法であり、哲学的論理学の用語である。
従って、
（29）（40）により、
（41）
例へば、
１（１）　　　　ソクラテスは人間である。　Ａ
１（２）従って、ソクラテスは人間であるが、豚がイギリスの海峡を越えて編隊を組んで飛んでいるかどうかは、分からない。
　１選言導入の規則
といふ、「選言導入の規則（∨Ｉ）」を認めなければ、「自然演繹（Natural deduction）」そのものが、成り立たない。
従って、
（28）（41）により、
（42）
１（１）ソクラテスは人間である。　Ａ
１（２）ソクラテスは人間であるか、または、豚がイギリスの海峡を越えて編隊を組んで飛んでいる。　１選言導入の規則
といふ「選言導入の規則（∨Ｉ）」に対して、「疑念」を持ってゐるのであれば、「自然演繹（Natural deduction）」自体に、
「疑念」を持ったまま、例へば、
１　　　　（１）Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）　Ａ
　２　　　（２）Ｐ　　　　　　　Ａ
　２　　　（３）Ｐ∨Ｒ　　　　　２∨Ｉ
　２　　　（４）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）　３∨Ｉ
　　５　　（５）　　　Ｑ∨Ｒ　　Ａ
　　　６　（６）　　　Ｑ　　　　Ａ
　　　６　（７）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）　６∨Ｉ
　　　　８（８）　　　　　Ｒ　　Ａ
　　　　８（９）　　　Ｐ∨Ｒ　　８∨Ｉ
　　　　８（ア）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）　９∨Ｉ
　　５　　（イ）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）　５６７８ア∨Ｅ
１　　　　（ウ）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）　１２４５イ∨Ｅ
といふ「計算（Proposition calculation）」を、行ってゐることになる。
ｃｆ.
⑤ １０円∨（２百円∨３千円）＝３千２百十円
⑥ ２百円∨（１０円∨３千円）＝３千２百十円
然るに、
（43）
幸いなことに、今や、私自身は、「選言導入の規則（∨Ｉ）」に対して、「何らの、疑念」も、持ってはゐない。
（44）
１（１）　　　　ソクラテスは人間である。　Ａ
１（２）従って、ソクラテスは人間であるが、豚がイギリスの海峡を越えて編隊を組んで飛んでいるかどうかは、分からない。
　１選言導入の規則
といふ「推論（inference）」は、どう考へても、「自然（Natural）」であり、「妥当（valid）」である。

（197）「選言導入の規則（∨Ｉ）」は「不思議」ではない（Ⅳ）。

（01）
１　（１）Ｐ　　　Ａ
　２（２）Ｐ→Ｑ　Ａ
１２（３）　　Ｑ　１２ＭＰＰ
といふ「推論」は、
すなはち、
１　（１）Ｐである。　　　　　と「仮定」する。
　２（２）ＰならばＱである。　と「仮定」する。
１２（３）　　　　Ｑである。　１２ＭＰＰ
といふ「推論」は、
　　（１）が「真」であって、
　　（２）も「真」であれば、必然的に、
　　（３）は「真」である。
といふ、「意味」である。
然るに、
（02）
① Ｐ（真）→Ｑ（真）
② Ｐ（真）→Ｑ（偽）
に於いて、
① は、「真」であるが、
② は、「偽」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
たしかに、
１　（１）Ｐ　　　Ａ
　２（２）Ｐ→Ｑ　Ａ
１２（３）　　Ｑ　１２ＭＰＰ
に於いて、
　　（１）が「真」であって、
　　（２）も「真」であれば、必然的に、
　　（３）は「真」である。
然るに、
（04）
１（１）　Ｐ　　　　　　　　Ａ
１（２）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　１∨Ｉ
　（３）　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）　　１２ＣＰ
　（４）～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）　　３含意の定義
　（５）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ　　結合法則
（05）
１（１）Ｐ　　　　　　　　　Ａ
１（２）Ｐ∨～Ｑ　　　　　　１∨Ｉ
　（３）Ｐ→（Ｐ∨～Ｑ）　　１２ＣＰ
　（４）～Ｐ∨Ｐ∨～Ｑ　　　３含意の定義
　（５）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ　結合法則
従って、
（04）（05）により、
（06）
③ Ｐ→（Ｐ∨　Ｑ）＝Ｐであるならば（Ｐであるか、Ｑである）。
④ Ｐ→（Ｐ∨～Ｑ）＝Ｐであるならば（Ｐであるか、Ｑでない）。
に於いて、
③ は、「常に真（トートロジー）」であって、
④ も、「常に真（トートロジー）」である。
然るに、
（07）
③ Ｐであるならば（Ｐであるか、Ｑである）。
④ Ｐであるならば（Ｐであるか、Ｑでない）。
に於いて、
③ は、「常に真（トートロジー）」であって、それと同時に、
④ も、「常に真（トートロジー）」である。
といふことは、
④ Ｐであるならば（Ｐであるか、Ｑである）が、Ｑであるかどうかは、「不明」である。
といふことに、他ならない。
然るに、
（08）
（ⅰ）
１（１）Ｐ　　　　　　　Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ　　　　　１∨Ｉ
１（３）Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ）　１２＆Ｉ
（ⅱ）
１（１）Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ）　Ａ
１（２）Ｐ　　　　　　　１＆Ｅ
従って、
（09）
（ⅰ）Ｐ
（ⅱ）Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ）
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
従って、
（09）により、
（10）
⑤ Ｐ⇔Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ）
⑤ Ｐならば、そのときに限って、Ｐであって（Ｐであるか、Ｑである）。
然るに、
（11）
⑤ Ｐ⇔Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ）　は、
⑤ 真⇔真＆（真∨真）　だけでなく、
⑤ 真⇔真＆（真∨偽）　であっても、「真」である。
従って、
（10）（11）により、
（12）
⑤ Ｐであるならば、そのときに限って、Ｐであって（Ｐであるか、Ｑである）が、Ｑであるかどうかは、「不明」である。
然るに、
（13）
（ⅰ）
１　　（１）Ｐ　　　　　　　Ａ
１　　（２）Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）　１∨Ｉ
（ⅱ）
１　　（１）Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）　Ａ
　２　（２）Ｐ　　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　Ｐ＆Ｑ　　１＆Ｅ
　　３（４）　　　Ｐ　　　　３＆Ｅ
１　　（５）Ｐ　　　　　　　１２２３４∨Ｅ
従って、
（13）により、
（14）
（ⅰ）Ｐ
（ⅱ）Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
従って、
（14）により、
（15）
⑥ Ｐ⇔Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）
⑥ Ｐであるならば、そのときに限って、Ｐであるか（Ｐであって、Ｑである）。
然るに、
（16）
⑥ Ｐ⇔Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）　は、
⑥ 真⇔真∨（真＆真）　だけでなく、
⑥ 真⇔真∨（真＆偽）　であっても、「真」である。
従って、
（15）（16）により、
（17）
⑥ Ｐであるならば、そのときに限って、Ｐであるか（Ｐであって、Ｑである）が、Ｑであるかどうかは、「不明」である。
従って、
（04）（07）（12）（17）により、
（18）
１（１）Ｐ　　　Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ　１選言導入の規則
であるとして、すなはち、
１（１）Ｐである。　　　　　　　と「仮定」すると、それだけで、
１（２）Ｐであるか、Ｑである。　としても、
④ Ｐであるならば（Ｐであるか、Ｑである）が、Ｑであるかどうかは、「不明」である。
⑤ Ｐであるならば、そのときに限って、Ｐであって（Ｐであるか、Ｑである）が、Ｑであるかどうかは、「不明」である。
⑥ Ｐであるならば、そのときに限って、Ｐであるか（Ｐであって、Ｑである）が、Ｑであるかどうかは、「不明」である。
といふ、ことになる。
従って、
（19）
１（１）Ｐである。　　　　　　　と「仮定」すると、それだけで、
１（２）Ｐであるか、Ｑである。　としても、Ｐではあるが、Ｑであるかどうかは、「不明」である。
とするのが、「選言導入の規則（∨Ｉ）」である。といふ、ことになる。
然るに、
（20）
この規則は、推論の中で意識されることがおおよそないといえます。「彼女は背が高い」という主張をＰとしましょう。すると、このＰから「彼女は背が高い　または　彼女は美人だ」が導けます。この場合、主張Ｑは「彼女は美人だ」に対応しています。しかし、「彼女は背が高い」がわかっているのに、わざわざ、「彼女は背が高い　または　彼女は美人だ」とつなげる場面は普通の会話ではあまりないでしょう。数学の証明でも、これが使われる場面はほとんど見かけないような気がします（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１５６頁）。
然るに、
（21）
「彼女は背が高い　または　彼女は美人だ。」といふ会話は、ともかく、
「彼女は背が高い　が、彼女が美人であるかどうかは分からない。」といふ会話であれば、「普通」である。
従って、
（19）（20）（21）により、
（22）
１（１）Ｐである。　　　　　　　と「仮定」すると、それだけで、
１（２）Ｐであるか、Ｑである。　としても、Ｐではあるが、Ｑであるかどうかは、「不明」である。
とする、「選言導入の規則（∨Ｉ）」は、「少しも、不自然」ではない。
（23）
（ⅰ）
１（１）Ｐ　　　Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ
に於ける。
１（２）Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ
に於いて、
１（２）の左には、
１　しかない。
然るに、
（23）により、
（24）
１（１）Ｐ　　　Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ
に於いて、
１（２）の左には、
１　しかない。
といふことは、
１の行　は、　「真　」であるが、
１の行　以外の「真偽」は、
１の行　に「依存」する。
といふことを、「意味」してゐる。
然るに、
（25）
１（１）Socrates is a man.　Ａ
１（２）Socrates is a man or pigs are flying in formation over the English Channel.　１∨Ｉ
に於ける、
１の行　とは、
１（１）ソクラテスは人間である。　Ａ
である。
従って、
（24）（25）により、
（26）
１（２）ソクラテスは人間であるか、または、豚がイギリスの海峡を越えて編隊を組んで飛んでいる。　１∨Ｉ
といふ「命題」が「真」であったとしても、「豚がイギリスの海峡を越えて編隊を組んで飛んでいるか、どうかは分からない。」
従って、
（24）（25）（26）により、
（27）
１（１）ソクラテスは人間である。　Ａ
１（２）ソクラテスは人間であるか、または、豚がイギリスの海峡を越えて編隊を組んで飛んでいる。　１∨Ｉ
といふ「推論」を、「不自然」であると、思ふのであれば、
１（２）の左には、
１　しかない。
といふことは、
１の行　は、　「真　」であるが、
１の行　以外の「真偽」は、
１の行　に「依存」する。
といふことを、「教へられてゐない」か、「忘れてゐる」の、どちらかである。

（196）昔々、お爺さんとお婆さんがの「が」について。

（01）
① 象がゐる＝象はゐて、象以外はゐない。
② 龍はゐる＝龍はゐる。
である、といふ風に、仮定する。
然るに、
（02）
① 地球上には、象以外に、人間もゐるし、犬もゐるし、馬もゐるし、鳥もゐるし、魚もゐるし、・・・・・・。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① 象がゐる＝象はゐて、象以外はゐない。
といふ「意味」であると、仮定すると、例へば、
① 象がゐる＝今、目の前に、象がゐる。
といふ「意味」であると、せざるを得ない。
従って、
（03）により、
（04）
① 龍がゐる。
とするならば、
① 龍がゐる＝今、目の前に、龍がゐる。
といふ「意味」であると、せざるを得ない。
然るに、
（05）
② 龍は架空の動物ではなく、何処かに、実在する。
といふのであれば、
① 今、目の前に、龍がゐる。
といふ「意味」ではない。
従って、
（01）～（05）により。
（06）
① 龍＿ゐる＝今、目の前に、龍がゐる。
② 龍＿ゐる＝龍は架空の動物ではなく、何処かに、実在する。
といふ「等式」が、成立するために、必然的に、
① 龍がゐる＝今、目の前に、龍がゐる。
② 龍はゐる＝龍は架空の動物ではなく、何処かに、実在する。
でなければ、ならない。
従って、
（01）（06）により、
（07）
① Ａがゐる（た）。
と言へば、
① 時間と場所を限定し、尚且つ、
① Ａ以外はゐない（なかった）。
といふ「意味」になる。
従って、
（08）
① 昔々（といふ特定の時間）の、ある所（という特定の場所）に、お爺さんとお婆さんはゐたけれど、お爺さんとお婆さん以外は、ゐなかった。
といふことを、「確認」したいのであれば、
① 昔々、ある所に、お爺さんとお婆さんが住んでゐました。
と、　言ひ、
② 昔々、ある所に、お爺さんとお婆さんは住んでゐました。
とは、言はない、ことになる。
然るに、
（09）
① お爺さんは山に、薪を集めに行き、お婆さんは川へ、洗濯をしに行きました。
② お婆さんは山に、薪を集めに行き、お爺さんは川へ、洗濯をしに行きました。
に於いて、
① であれば、「桃太郎の話」と「同じ」であるが、
② であれば、「お爺さんの行き先と、お婆さんの行き先」が、「桃太郎の話とは、逆」である。
然るに、
（10）
②（お爺さんではなく）お婆さん＿山に、薪を集めに行き、（お婆さんではなく）お爺さん＿川へ、洗濯をしに行きました。
であるならば、
②（お爺さんではなく）お婆さんが山に、薪を集めに行き、（お婆さんではなく）お爺さんが川へ、洗濯をしに行きました。
といふ風に、言ふのが「普通」である。
従って、
（11）
②（お爺さんではなく）お婆さん＿山に、薪を集めに行き、（お婆さんではなく）お爺さん＿川へ、洗濯をしに行きました。
といふことを、「確認したい」場合は、
① お爺さんは山に、薪を集めに行き、お婆さんは川へ、洗濯をしに行きました。
とは言はずに、
② お婆さんが山に、薪を集めに行き、お爺さんが川へ、洗濯をしに行きました。
といふ風に、言ふことになる。
従って、
（11）により、
（12）
① お爺さんは山へ行きました＝お爺さんは山に行きました。
① お婆さんは川へ行きました＝お婆さんは川へ行きました。
② お爺さんが山へ行きました＝お爺さんは山に行き、お爺さん以外（お婆さん）は、山に行きませんでした。
② お婆さんが川へ行きました＝お婆さんは川へ行き、お婆さん以外（お爺さん）は、川へ行きませんでした。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（11）（12）により、
（13）
① Once upon a time, there lived an old man and an old woman.The old man went to the mountains to gather wood, and the old woman went to the river to do the washing.
② Once upon a time, there lived an old man and an old woman.The old woman went to the mountains to gather wood, and the old man went to the river to do the washing.
に於いて、
① ではなく、
② であるならば、
② 昔々、ある所に、お爺さんとお婆さんが住んでゐましたが、お婆さんが山に、薪を集めに、そして、お爺さんが川へ、洗濯をしに行きました。
といふ風に、言ふことになる。
従って、
（13）により、
（14）
② お爺さんとお婆さんが＝an old man and an old woman。
② お婆さんが＝the old woman。お爺さんが＝the old man。
である。
従って、
（14）により、
（15）
「は・が」の「違ひ」は、「不定冠詞（未知）・定冠詞（既知）」の「違ひ」相当する。
といふことには、ならない。
従って、
（16）
「が」は未知のものを受け、「は」は既知のものを受ける。
例えば、「むか～し昔、あるところに、おじいさんとおばあさんガいました」と言ったとき、このおじいさんとおばあさんは、突然登場した未知の人です。
でも、「おじいさんハ山へ芝刈りに、おばあさんハ川へ洗濯に行きました」と続けた時、このおじいさんとおばあさんは、名前は知らないけど、既に出てきた既知の人です。
（文章の危機管理コンサルタントが日本語について考える）
といふことに、ならない。

（195）私が大野です（大野は私です）：未知と既知？

（01）
標準的な論理で表してみよう。「Ｗ」は述語「・・・は『ウェイヴァリー』を書いた」を表現し、「Ｓ」は述語「・・・はスコットランド人である」を表現んするものとしよう。すると、ラッセルの三つの条件は以下のようになる。
（ａ）∃ｘＷｘ
（ｂ）∀ｘ｛Ｗｘ→∀ｙ（Ｗｙ→ｘ＝ｙ）｝
（ｃ）∀ｘ（Ｗｘ→Ｓｘ）
（ａ）から（ｃ）までを連言で結んだものは、
（ｄ）∃ｘ｛Ｗｘ→∀ｙ（Ｗｙ→ｘ＝ｙ）＆Ｓｘ｝
と同値である。
〔言語哲学―入門から中級まで 単行本 – 2005/12/1 W.G. ライカン （著）, William G. Lycan （原著）, 荒磯 敏文 （翻訳）, 鈴木 生郎 （翻訳）, 川口 由起子 （翻訳）, 峯島 宏次 （翻訳）、２２・２３頁〕
然るに、
（02）
「ソクラテスは人間である。」＝「ソクラテスといふ人間がゐる。」＝「あるｘはソクラテスであり、ｘは人間である。」＝「∃ｘ（ソクラテスｘ＆人間ｘ）」
従って、
（02）により、
（03）
「ソクラテス（人名）」は、「述語」であっても、「不都合」はない。
ｃｆ.
Ｓ＝ソクラテス、人＝人間、動＝動物、とすると、
１　　（１）∃ｘ（Ｓｘ＆人ｘ）　Ａ
１　　（〃）ソクラテスは人間である。
　２　（２）∀ｘ（人ｘ→動ｘ）　Ａ
　２　（〃）すべての人間は動物である。
　　３（３）　　　Ｓａ＆人ａ　　Ａ
　２　（５）　　　人ａ→動ａ　　３ＵＥ
　  ３（６）　　　人ａ　　      ３＆Ｅ
　２３（７）　　　　　　動ａ　　５６ＭＰＰ
　２　（８）　　　Ｓａ　　　　　３＆Ｅ
　２３（９）　　　Ｓａ＆動ａ　　７８＆Ｉ
　２３（ア）∃ｘ（Ｓｘ＆動ｘ）　９ＥＩ
１２　（イ）∃ｘ（Ｓｘ＆動ｘ）　１３アＥＥ
１２　（〃）あるｘはソクラテスと言ひ、ｘは動物である。
１２　（〃）ソクラテスは動物である。
然るに、
（04）
「日本語に即した文法の樹立を」を目指すわれわれは「日本語で人称代名詞と呼ばれているものは、実は名詞だ」と宣言したい。どうしても区別したいなら「人称名詞」で十分だ。日本語の「人称代名詞」はこれからは「人称名詞」と呼ぼう。
（金谷武洋、日本語文法の謎を解く、2003年、４０・４１頁）
従って、
（04）により、
（05）
所謂、「日本語の人称代名詞」は、実は「名詞」に過ぎず、それ故、「私（人称名詞）」は、「述語」とすることが、出来る。
従って、
（01）（03）（05）により、
（06）
（ａ）∃ｘＷｘ
（ｂ）∀ｘ｛Ｗｘ→∀ｙ（Ｗｙ→ｘ＝ｙ）｝
（ｃ）∀ｘ（Ｗｘ→Ｓｘ）
（ａ）から（ｃ）までを連言で結んだものが、
（ｄ）∃ｘ｛Ｗｘ→∀ｙ（Ｗｙ→ｘ＝ｙ）＆Ｓｘ｝
と同値である際に、
（ａ）∃ｘ私ｘ
（ｂ）∀ｘ｛私ｘ→∀ｙ（私ｙ→ｘ＝ｙ）｝
（ｃ）∀ｘ（私ｘ→大野ｘ）
（ａ）から（ｃ）までを連言で結んだものは、
（ｄ）∃ｘ｛私ｘ→∀ｙ（私ｙ→ｘ＝ｙ）＆大野ｘ｝
と同値である。
然るに、
（07）
（ｄ）∃ｘ｛私ｘ→∀ｙ（私ｙ→ｘ＝ｙ）＆大野ｘ｝
（ｅ）∃ｘ｛私ｘ→大野ｘ＆∀ｙ（私ｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
（ｄ）と（ｅ）は「同値」である。
然るに、
（08）
（ｅ）∃ｘ｛私ｘ→大野ｘ＆∀ｙ（私ｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
（ｅ）∀ｙ（私ｙ→ｘ＝ｙ）
といふことは、すなはち、
（ｅ）すべてのｙについて、ｙが私であるならば、ｘとｙは「同一」である。
といふことは、この場合は、
（ｅ）私と言ひ得るのは、一人だけである。
といふことを、「意味」してゐる。
従って、
（08）により、
（09）
（ｅ）∃ｘ｛私ｘ→大野ｘ＆∀ｙ（私ｙ→ｘ＝ｙ）｝
といふ「述語論理」は、
（ｅ）あるｘが私であるならば、ｘは大野であって、私と言ひ得るのは、一人だけである。
といふことを、「意味」してゐる。
従って、
（09）により、
（10）
（ｅ）∃ｘ｛私ｘ→大野ｘ＆∀ｙ（私ｙ→ｘ＝ｙ）｝
といふ「述語論理」は、
（ｅ）私は大野であり、私以外に大野はゐない。
といふことを、「意味」してゐる。
然るに、
（11）
（ｅ）私は大野であり、私以外に大野はゐない。
といふのであれば、必然的に、
（ｅ）私は大野であり、大野は私である。
といふ、ことになる。
然るに、
（12）
（３）　未知と既知
この組み合わせは次のような場合に現われる。
　私が大野です。
これは、「大野さんはどちらですか」というような問いに対する答えとして使われる。つまり文脈において、「大野」なる人物はすでに登場していて既知である。ところが、それが実際にどの人物なのか、その帰属する先が未知である。その未知の対象を「私」と表現して、それをガで承けた。それゆえこの形は、
　大野は私です。
に置きかえてもほぼ同じ意味を表わすといえる（大野晋、日本語の文法を考える、1978年、３４頁）。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
（ｅ）私は大野であり、大野は私である。
（ｆ）私は大野であり、私が大野である。
（ｇ）私は大野であり、私以外に大野はゐない。
に於いて、
（ｅ）＝（ｆ）＝（ｇ） である。
従って、
（13）により、
（14）
（ｅ）大野は私です。
（ｆ）私が大野です。
（ｇ）私以外に大野はゐない。
に於いて、
（ｅ）＝（ｆ）＝（ｇ） である。
然るに、
（15）
　ラッセルの記述の理論
ラッセルによる the の文脈的定義は次のようなものである。典型的なものとし、The F is G. という文の形えおとりあげよう。
 ― 中略 ―
（５）The author of Waverly was Scotch.
『ウェイヴァリー』の著者がスコットランド人であるならば、そのような著者がいることになる。また、著者が二人以上いるとしたら、the が用いられているはずがない。
〔言語哲学―入門から中級まで 単行本 – 2005/12/1 W.G. ライカン （著）, William G. Lycan （原著）, 荒磯 敏文 （翻訳）, 鈴木 生郎 （翻訳）, 川口 由起子 （翻訳）, 峯島 宏次 （翻訳）、２１.２２頁〕
（01）（15）により、
（16）
（５）The author of Waverly was Scotch.
（５）∃ｘ｛Ｗｘ→∀ｙ（Ｗｙ→ｘ＝ｙ）＆Ｓｘ｝
に於ける「the ・・・」は、「既知の存在である。」といふことより、「the ・・・」が、「唯一の存在である。」といふことを、示してゐる。
といふ風にも、「見做す」ことが、出来る。
従って、
（13）（16）により、
（17）
（ｆ）私が大野です。
といふ「日本語」を、
（ｆ）I am the 大野.
といふ風に、「言い換へ」ることが、出来るのであれば、
（ｆ）I am the 大野.
の「the 大野」は、「唯一の大野」であり、その「唯一の大野」が、すでに登場していて「既知である、大野と、一致する。」
といふ風に、「見做す」ことが、出来る。
然るに、
（18）
（１）　既知と未知
　私は大野です。
という文は、檀の上に立って私なるものが聴衆に見えている。それで、私なる存在については相手もこれを見て知っている、すると、それを既知扱いにして「私は大野です」という。この「大野です」という部分は実は未知の部分にあたり、「私は（ダレカトイウト）大野です」の意味である。
（大野晋、日本語の文法を考える、1978年、２４・２５頁）
然るに、
（19）
① 　私は大野です（I am 大野）。
に関しては、「それでも良い（？）」としても、
② 名前は大野です（My name is 大野）。
であれば、
② 名前＝大野
である。
従って、
（19）により、
（20）
① 　私（既知）は大野（未知）です。
であって、
② 名前（未知）は大野（未知）です。
である。
従って、
（12）（20）により、
（21）
③ 　私（未知）が大野（既知）です。
といふことも、「疑はしい」と、言はざるを得ない。

（194）「象は鼻が長い」の「述語論理」。

（01）
（ⅰ）
１　　（１）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ＆　Ｇｘ→　Ｆｘ）　Ａ
１　　（２）　　　Ｆａ→Ｇａ＆　Ｇａ→　Ｆａ　　１ＵＥ
１　　（３）　　　Ｆａ→Ｇａ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１　　（４）　　　　　　　　　　Ｇａ→　Ｆａ　　２＆Ｅ
　５　（５）　　　　　　　　　　Ｇａ　　　　　　Ａ
　　６（６）　　　　　　　　　　　　　～Ｆａ　　Ａ
１５　（７）　　　　　　　　　　　　　　Ｆａ　　４５ＭＰＰ
１５６（８）　　　　　　　　　　～Ｆａ＆Ｆａ　　６７＆Ｉ
１　６（９）　　　　　　　　　～Ｇａ　　　　　　５８ＲＡＡ
１　　（ア）　　　　　　　　　～Ｆａ→～Ｇａ　　６９ＣＰ
１　　（イ）　　　Ｆａ→Ｇａ＆～Ｆａ→～Ｇａ　　３ア＆Ｉ
１　　（ウ）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ＆～Ｆｘ→～Ｇｘ）　イＵＩ
（ⅱ）
１　　（１）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ＆～Ｆｘ→～Ｇｘ）　Ａ
１　　（２）　　　Ｆａ→Ｇａ＆～Ｆａ→～Ｇａ　　１ＵＥ
１　　（３）　　　Ｆａ→Ｇａ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１　　（４）　　　　　　　　　～Ｆａ→～Ｇａ　　２＆Ｅ
　５　（５）　　　　　　　　　～Ｆａ　　　　　　Ａ
　　６（６）　　　　　　　　　　　　　　Ｇａ　　Ａ
１５　（７）　　　　　　　　　　　　　～Ｇａ　　４５ＭＰＰ
１５６（８）　　　　　　　　　　Ｇａ＆～Ｇａ　　６７＆Ｉ
１　６（９）　　　　　　　　～～Ｆａ　　　　　　５８ＲＡＡ
１　６（ア）　　　　　　　　　　Ｆａ　　　　　　９ＤＮ
１　　（イ）　　　　　　　　　　Ｇａ→　Ｆａ　　６アＣＰ
１　　（ウ）　　　Ｆａ→Ｇａ＆　Ｇａ→　Ｆａ　　３イ＆Ｉ
１　　（エ）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ＆　Ｇｘ→　Ｆｘ）　ウＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ＆　Ｇｘ→　Ｆｘ）
（ⅱ）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ＆～Ｆｘ→～Ｇｘ）
に於いて、
（ⅰ）ならば（ⅱ）であり、
（ⅱ）ならば（ⅰ）である。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ＆　Ｇｘ→　Ｆｘ）
（ⅱ）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ＆～Ｆｘ→～Ｇｘ）
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
従って、
（03）におり、
（04）
（ⅰ）すべてのｘについて、ｘがＦならば、ｘはＧであり、ｘがＧであるならば、ｘはＦである。
（ⅱ）すべてのｘについて、ｘがＦならば、ｘはＧであり、ｘがＦでないならば、ｘはＧでない。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）すべてのｘについて、ｘがＦならば、ｘはＧであり、ｘがＧであるならば、ｘはＦである。
（ⅱ）すべてのｘについて、ｘがＦならば、ｘはＧであり、ｘがＦ以外でれあば、ｘはＧでない。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
従って、
（06）
（ⅰ）すべてのｘについて、ｘが私であるならば、ｘは大野であり、ｘが大野であるならば、ｘは私である。
（ⅱ）すべてのｘについて、ｘが私であるならば、ｘは大野であり、ｘが私以外であれば、ｘは大野でない。
然るに、
（07）
（３）　未知と既知
この組み合わせは次のような場合に現われる。
　私が大野です。
これは、「大野さんはどちらですか」というような問いに対する答えとして使われる。つまり文脈において、「大野」なる人物はすでに登場していて既知である。ところが、それが実際にどの人物なのか、その帰属する先が未知である。その未知の対象を「私」と表現して、それをガで承けた。それゆえこの形は、
　大野は私です。
に置きかえてもほぼ同じ意味を表わすといえる（大野晋、日本語の文法を考える、1978年、３４頁）。
従って、
（06）（07）により、
（08）
（３）　既知と未知
といふこととは、無関係に、
（ⅰ）すべてのｘについて、ｘが私であるならば、ｘは大野であり、ｘが大野であるならば、ｘは私である。
（〃）　　　　　　　　　　　　私は　　　　　　　　大野であり、　　大野は　　　　　　　　私です。
（ⅱ）すべてのｘについて、ｘが私であるならば、ｘは大野であり、ｘが私以外であれば、ｘは大野でない。
（〃）　　　　　　　　　　　　私は　　　　　　　　大野であり、　　私が　　　　　　　　大野です。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
従って、
（08）により、
（09）
（ⅰ）すべてのｘについて、ｘが大野であるならば、ｘは私である。
（〃）　　　　　　　　　　　　大野は　　　　　　　　私です。
（ⅱ）すべてのｘについて、ｘが私以外であれば、ｘは大野でない。
（〃）　　　　　　　　　　　　私が　　　　　　　　大野です。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
従って、
（10）
（ⅰ）すべてのｘについて、ｘが「長」であるならば、ｘは「鼻」である。
（〃）　　　　　　　　　　　　「長」は　　　　　　　　「鼻」です。
（ⅱ）すべてのｘについて、ｘが「鼻」以外であれば、ｘは「長」でない。
（〃）　　　　　　　　　　　　「鼻」が　　　　　　　　「長」です。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
従って、
（10）により、
（11）
（ⅰ）∀ｚ（　長ｚ→　鼻ｚ）
（〃）「長」は「鼻」です。
（ⅱ）∀ｚ（～鼻ｚ→～長ｚ）
（〃）「鼻」が「長」です。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
然るに、
（12）
〔①〕
１　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
１　　（２）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ
　３　（３）　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１３　（４）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　２３ＭＰＰ
１３　（５）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　４＆Ｅ
１３　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　４＆Ｅ
１３　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　６量化子の関係
　　８（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｃａ→～長ｃ）　　Ａ
　　８（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～～鼻ｃａ∨～長ｃ）　　８含意の定義
　　８（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ｃａ∨～長ｃ）　　９ＤＮ
　　８（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｃａ＆～～長ｃ　　　ア、ドモルガンの法則
　　８（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｃａ＆　長ｃ　　　イＤＮ
　　８（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　ウＥＩ
１３　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　７８エＥＥ
１３　（カ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆  ∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）    ５オ＆Ｉ
１　　（キ）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆  ∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　３カＣＰ
１　　（ク）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆  ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝　キＵＩ
〔②〕
１　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆  ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝　Ａ
１　　（２）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　１ＵＥ
　３　（３）　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１３　（４）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　２３ＭＰＰ
１３　（５）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　４＆Ｅ
１３　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　４＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｃａ＆　長ｃ　　　Ａ
　　７（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～（～鼻ｃａ＆　長ｃ）　　７ＤＮ
　　７（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～～鼻ｃａ∨～長ｃ）　　８ドモルガンの法則
　　７（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｃａ→～長ｃ）　　９含意の定義
　　７（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　アＥＩ
１３　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　６７イＥＥ
１３　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　ウ量化子の関係
１３　（カ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　５エ＆Ｉ
１　　（キ）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　３カＣＰ
１　　（ク）∀ｘ｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　キＵＩ
従って、
（12）により、
（13）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆  ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
に於いて、
① ならば ② であり、
② ならば ① である。
従って、
（13）により、
（14）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆  ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
に於いて、
① ＝ ② である。
然るに、
（15）
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆  ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、あるｚはｘの鼻でないが、ｚは長い。
といふことは、すなはち、
② 象は鼻は長く、鼻以外も長い。
といふことは、
② 象は鼻も長い。
といふ、ことである。
然るに、
（16）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆  ～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆    ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
に於いて、
① ＝ ② であるため、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆  ～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
に於いて、
① ＝ ② である。
従って、
（16）により、
（17）
「二重否定（ＤＮ）」により、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　  ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆  ～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（18）
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、あるｚがｘの鼻ではなく、尚且つ、ｚが長い。といふことはない。
といふことは、
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ、ことである。
然るに、
（10）（11）により、
（19）
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふことは、
② 象は鼻が長い。
といふ、ことである。
従って、
（17）（18）（19）により、
（20）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　 ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふことは、
② 象は鼻が長い。
といふ、ことである。
従って、
（20）により、
（21）
② 象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「述語論理」に、翻訳される。
然るに、
（22）
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に於いて、すなはち、
② すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、あるｙはｘの耳であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚは鼻ではない。
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻であるならば、ｚは長くない。
に於いて、
②＆③ は、「矛盾」しない。
然るに、
（23）
① ∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）＝ある兎は象である。
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に於いては、
①＆②＆③ のセットは、「矛盾」する。
すなはち、
（24）
① ∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）＝ある兎は象である。
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
であるならば、
④ すべて象は、鼻以外は長くないはずなのに、ある象は、鼻以外に、耳も長い。
といふことになり、「矛盾」する。
従って、
（24）により、
（25）
１　　　　（１）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　　　（２）　　　兎ａ＆象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　　　（３）　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　　　（４）　　　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　　５　　（５）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝　Ａ
　　５　　（６）　　　兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　５ＵＩ
　２５　　（７）　　　　　　∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　３６ＭＰＰ
　２５　　（８）　　　　　　∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ
　　　９　（９）　　　　　　　　　耳ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　　　　　　　　　耳ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　９＆Ｅ
　　　９　（イ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
　２５　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　７＆Ｅ
　２５　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　耳ｂａ→～鼻ｂａ　　　ウＵＥ
　２５９　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　アエＭＰＰ
　　　　カ（カ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
　　　　カ（キ）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　カＵＥ
　２　　カ（ク）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　４キＭＰＰ
　２　　カ（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　ク＆Ｅ
　２　　カ（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　ケＵＥ
　２５９カ（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　オコＭＰＰ
　２５９カ（シ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　イサ＆Ｉ
　２５　カ（ス）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　ハクシＥＥ
１　５　カ（セ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　１２スＥＥ
　　５　カ（ソ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２セＲＡＡ
　　５　カ（タ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ソ量化子の関係
　　５　カ（チ）　　～（兎ａ＆象ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　タＵＥ
　　５　カ（ツ）　　～兎ａ∨～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　チ、ドモルガンの法則
　　５　カ（テ）　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ツ含意の定義
　　５　カ（ト）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　テＵＩ
　　５　カ（〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。　　　テＵＩ
　　５　カ（〃）兎は象ではない。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　テＵＩ
といふ「述語計算（Predicate calculus）」は、「正しい」。
従って、
（21）（25）により、
（26）
② 象は鼻が長い。
といふ「日本語」に対する、
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「述語論理」への「翻訳」は、やはり、「正しい」。
然るに、
（27）
伝統的論理学を清水滉『論理学』（1916年）で代表させよう。わたしのもっているのが四十三年の第十九冊の一冊で、なお引き続き刊行だろうから、前後かなり多くの読者をもつ論理学書と考えられる。新興の記号論理学は、沢田允茂『現代論理学入門』（1962年）を参照することにする（三上章、日本語の論理、1963年、４頁）。
といふ風に、述べてゐる、三上先生は、「象は鼻が長い（1960年）」といふ「有名な著書」の著者であって、尚且つ、ご自分では、
② 象は鼻が長い。
といふ「日本語」を、例へば、
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「述語論理」には、翻訳されてゐない。
従って、
（28）
「象は鼻が長い・日本語の論理」の著者である、三上先生の、
② 象は鼻が長い。
といふ「日本語」に対する、「論理学的な分析」は、「不十分」であると、言はざるを得ない。

（193）「今両虎共闘、其勢不倶生。」の「述語論理」（Ⅲ）。

―「先ほどの記事（192）」の「続き」を書きます。―
従って、
（01）～（22）により、
（23）
① 今両虎共闘、其勢不倶生。
① 今両虎共に闘はば、其の勢ひ俱には生きず。
① いま、二頭の虎（e.g.藺相如と廉頗）が戦ひ合へば、両方とも死なないで済む。といふわけにいかない。
といふ「漢文訓読」は、
（ⅰ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→～（生ｘ＆　生ｙ）｝
（ⅱ）∀ｘ∀ｙ｛闘ｘｙ＆生ｘ＆生ｙ→（～虎ｘ∨～虎ｙ）｝
（ⅲ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→　（生ｘ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ｘ）｝
といふ「三通リの述語論理」に、対応する。
然るに、
（24）
① 今両虎共闘、其勢不倶生。
① 今両虎共に闘はば、其の勢ひ俱には生きず。
ではなく、
② 今両虎共闘、其勢倶不生。
② 今両虎共に闘はば、其の勢ひ俱に生きず。
といふ「漢文訓読」は、
（ⅳ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→（～生ｘ＆～生ｙ）｝
といふ「述語論理」に、対応する。
然るに、
（25）
① 不倶生＝～（生ａ＆　生ｂ）
② 倶不生＝（～生ａ＆～生ｂ）
に於いて、
① を、「部分否定」と言ひ、
② を、「全部否定」と言ふ。
然るに、
（26）
「ド・モルガンの法則」により、
① 不倶生＝～（生ａ＆　生ｂ）
とは、すなはち、
① 不倶生＝（～生ａ∨～生ｂ）
である。
然るに、
（21）により、
（27）
① 不倶生＝（～生ａ∨～生ｂ）＝（ａは生きないか、またはｂは生きない。）
② 倶不生＝（～生ａ＆～生ｂ）＝（ａは生きず、ｂも生きない。）
に於いて、
① と ② は、「矛盾」しない。
従って、
（25）（27）により、
（28）
①「部分否定」と、
②「全部否定」は、「矛盾」しない。
然るに、
（29）
① 　不倶生＝　～（生ａ＆生ｂ）
の「否定」を、
③ ～不倶生＝～～（生ａ＆生ｂ）
と書くならば、「二重否定（ＤＮ）」により、
③     倶生＝　　（生ａ＆生ｂ）
である。
従って、
（27）（29）により、
（30）
① 不倶生＝（～生ａ∨～生ｂ）＝（ａは生きないか、またはｂは生きない。）
③   倶生＝（　生ａ＆　生ｂ）＝（ａは生き、ｂも生きる。）
に於いて、
① と ③ は、「矛盾」する。
然るに、
（31）
（ⅳ）
１　　　（１）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→～（生ｘ＆生ｙ）｝　Ａ
１　　　（２）　　∀ｙ｛虎ａ＆虎ｙ＆闘ａｙ→～（生ａ＆生ｙ）｝　１ＵＥ
１　　　（３）　　　　　虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ→～（生ａ＆生ｂ）　　２ＵＥ
　４　　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　生ａ＆生ｂ　　　Ａ
　４　　（５）　　　　　　　　　　　　　　～～（生ａ＆生ｂ）　　４ＤＮ
１４　　（６）　　　～（虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ）　　　　　　　　　　４５ＭＴＴ
１４　　（７）　　　　～虎ａ∨～虎ｂ∨～闘ａｂ　　　　　　　　　６ド・モルガンの法則
１４　　（８）　　　（～虎ａ∨～虎ｂ）∨～闘ａｂ　　　　　　　　７結合法則
　　９　（９）　　　（～虎ａ∨～虎ｂ）　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　９　（ア）　～～（～虎ａ∨～虎ｂ）　　　　　　　　　　　　　９ＤＮ
　　９　（イ）　～（～～虎ａ＆～～虎ｂ）　　　　　　　　　　　　ア、ド・モルガンの法則
　　９　（ウ）　　　～（虎ａ＆虎ｂ）　　　　　　　　　　　　　　イＤＮ
　　９　（エ）　　　～（虎ａ＆虎ｂ）∨～闘ａｂ　　　　　　　　　ウ∨Ｉ
　　　オ（オ）　　　　　　　　　　　　～闘ａｂ　　　　　　　　　オ
　　　オ（カ）　　　～（虎ａ＆虎ｂ）∨～闘ａｂ　　　　　　　　　オ∨Ｉ　　
１４　　（キ）　　　～（虎ａ＆虎ｂ）∨～闘ａｂ　　　　　　　　　８９エオカ∨Ｅ　
１４　　（ク）　　　　　虎ａ＆虎ｂ　→～闘ａｂ　　　　　　　　　ク含意の定義
１　　　（ケ）　　　　　生ａ＆生ｂ→（虎ａ＆虎ｂ→～闘ａｂ）　　４クＣＰ
１　　　（コ）　　∀ｙ｛生ａ＆生ｙ→（虎ａ＆虎ｙ→～闘ａｙ）｝　ケＵＩ
１　　　（サ）∀ｘ∀ｙ｛生ｘ＆生ｙ→（虎ｘ＆虎ｙ→～闘ｘｙ）｝　コＵＩ
従って、
（31）により、
（32）
（１）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→～（生ｘ＆生ｙ）｝　といふ「仮定」により、
（サ）∀ｘ∀ｙ｛生ｘ＆生ｙ→（虎ｘ＆虎ｙ→～闘ｘｙ）｝　といふ『結論』を得る。
従って、
（32）により、
（33）
（１）すべてのｘとすべてのｙについて、ｘが虎であり、ｙも虎であり、ｘとｙが闘へば、ｘが生き、ｙも生きる。といふことはない。　といふ「仮定」により、
（サ）すべてのｘとすべてのｙについて、ｘが生きて、　ｙも生きて、　ｘが虎であり、ｙも虎であらならば、ｘとｙは、闘はない。　　といふ『結論』を得る。
（〃）すべてのｘとすべてのｙについて、ｘが死なず、　ｙも死なず、　ｘが虎であり、ｙも虎であるならば、ｘとｙは、闘はない。　　といふ『結論』を得る。
然るに、
（34）
（ａ）
今両虎共闘、其勢不俱生。
吾所以為此者、先国家之急而後私讎也。
廉頗聞之、肉袒負荊、至門謝罪、遂為刎頸之交。
（ｂ）
今両虎共闘、其勢不（俱生）。
吾所⁻以〔為（此）〕者、先（国家之急）而後（私讎）也。
廉頗聞（之）、肉袒負（荊）、至（門）謝（罪）、遂為（刎頸之交）。
（ｃ）
今両虎共闘、其の勢ひ（俱には生き）不。
吾の〔（此を）為す〕所⁻以の者は、（国家の急を）先にして（私讎を）後にすればなり。
廉頗（之を）聞き、肉袒して（荊を）負ひ、（門に）至（罪り）謝し、遂に（刎頸の交はりを）為す。
（ｄ）
今、我々（二頭の虎に譬へる）が争ったならば、成り行きとして、二人の内の、少なくとも一人が、死ななければならない。
私がこれ（廉将軍からの逃げ隠れ）をするの理由は、国家を、危難から救ふことを先にして、個人的な恨みを後回しにするからである。
廉将軍はこの話を聞いて、裸の上半身にムチを背負ひ、門に来て謝り、ついに、刎頸の友となった〔十八史略、刎頸之交〕。
従って、
（31）～（34）により、
（35）
（１）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→～（生ｘ＆生ｙ）｝　といふ「仮定」、すなはち、
（〃）すべてのｘとすべてのｙについて、ｘが虎であり、ｙも虎であり、ｘとｙが闘へば、ｘが生き、ｙも生きる。といふことはない。　といふ「仮定」により、
（サ）∀ｘ∀ｙ｛生ｘ＆生ｙ→（虎ｘ＆虎ｙ→～闘ｘｙ）｝　といふ『結論』を、すなはち、
（〃）すべてのｘとすべてのｙについて、ｘが死なず、　ｙも死なず、　ｘが虎であり、ｙも虎であるならば、ｘとｙは、闘はない。　　といふ『結論』を得る。
従って、
（27）（30）（31）（35）により、
（37）
① 不倶生＝（～生ａ∨～生ｂ）＝（ａは生きないか、またはｂは生きない。）
② 倶不生＝（～生ａ＆～生ｂ）＝（ａは生きず、ｂも生きない。）
③   倶生＝（　生ａ＆　生ｂ）＝（ａは生き、ｂも生きる。）
に於いて、たしかに、
① の「否定」は、② ではなく、
① の「否定」は、③ である。

（192）「今両虎共闘、其勢不倶生。」の「述語論理」（Ⅱ）。

―「記事（191）」を書き直します。―
（01）
今両虎共闘、其勢不倶生。
今両虎共に闘はば、其の勢ひ俱には生きず。
いま、二頭の虎（e.g.藺相如と廉頗）が戦ひ合へば、両方とも死なないで済む。といふわけにいかない。
（02）
（ⅰ）
１　　　　　（１）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→～（生ｘ＆生ｙ）｝　　Ａ
１　　　　　（２）　　∀ｙ｛虎ａ＆虎ｙ＆闘ａｙ→～（生ａ＆生ｙ）｝　　１ＵＩ
１　　　　　（３）　　　　　虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ→～（生ａ＆生ｂ）　　　２ＵＩ
　４　　　　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　生ａ＆生ｂ　　　　Ａ
　４　　　　（５）　　　　　　　　　　　　　　～～（生ａ＆生ｂ）　　　４ＤＮ
１４　　　　（６）　　　～（虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ）　　　　　　　　　　　３４ＭＴＴ
１４　　　　（７）　　　～虎ａ∨～虎ｂ∨～闘ａｂ　　　　　　　　　　　７ド・モルガンの法則
１４　　　　（８）　　（～虎ａ∨～虎ｂ）∨～闘ａｂ　　　　　　　　　　８結合法則
　　　９　　（９）　　（～虎ａ∨～虎ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　９　　（ア）　　～闘ａｂ∨（～虎ａ∨～虎ｂ）　　　　　　　　　　９∨Ｉ
　　　　イ　（イ）　　　　　　　　　　　　～闘ａｂ　　　　　　　　　　Ａ
　　　　イ　（ウ）　　～闘ａｂ∨（～虎ａ∨～虎ｂ）　　　　　　　　　　イ∨Ｉ
１４　　　　（エ）　　～闘ａｂ∨（～虎ａ∨～虎ｂ）　　　　　　　　　　８９アイウ∨Ｅ
１４　　　　（オ）　　　闘ａｂ→（～虎ａ∨～虎ｂ）　　　　　　　　　　エ含意の定義
１　　　　　（カ）　　　生ａ＆生ｂ→闘ａｂ→（～虎ａ∨～虎ｂ）　　　　４オＣＰ
　　　　　キ（キ）　　　闘ａｂ＆生ａ＆生ｂ　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　キ（ク）　　　闘ａｂ＆（生ａ＆生ｂ）　　　　　　　　　　　　キ結合法則
　　　　　キ（ケ）　　　　　　　　生ａ＆生ｂ　　　　　　　　　　　　　ク＆Ｅ
１　　　　キ（コ）　　　　　　　　　闘ａｂ→（～虎ａ∨～虎ｂ）　　　　カケＭＰＰ
　　　　　キ（サ）　　　　　闘ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　ク＆Ｅ
１　　　　キ（シ）　　　　　　　　　　　　　　　（～虎ａ∨～虎ｂ）　　コサＭＰＰ
１　　　　　（ス）　　　　　闘ａｂ＆生ａ＆生ｂ→（～虎ａ∨～虎ｂ）　　キシＣＰ
１　　　　　（セ）　　∀ｙ｛闘ａｙ＆生ａ＆生ｙ→（～虎ａ∨～虎ｙ）｝　スＵＩ
１　　　　　（ソ）∀ｘ∀ｙ｛闘ｘｙ＆生ｘ＆生ｙ→（～虎ｘ∨～虎ｙ）｝　セＵＩ
（ⅱ）
１　　　　　（１）∀ｘ∀ｙ｛闘ｘｙ＆生ｘ＆生ｙ→（～虎ｘ∨～虎ｙ）｝　Ａ
１　　　　　（２）　　∀ｙ｛闘ａｙ＆生ａ＆生ｙ→（～虎ａ∨～虎ｙ）｝　１ＵＥ
１　　　　　（３）　　　　　闘ａｂ＆生ａ＆生ｂ→（～虎ａ∨～虎ｂ）　　２ＵＥ
　４　　　　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　虎ａ＆　虎ｂ　　　Ａ
　４　　　　（５）　　　　　　　　　　　　　　～～（虎ａ＆　虎ｂ）　　４ＤＮ
　４　　　　（６）　　　　　　　　　　　　　　～（～虎ａ∨～虎ｂ）　　５ド・モルガンの法則
１４　　　　（７）　　　～（闘ａｂ＆生ａ＆生ｂ）　　　　　　　　　　　３６ＭＴＴ
１４　　　　（８）　　　　～闘ａｂ∨～生ａ∨～生ｂ　　　　　　　　　　５ド・モルガンの法則
１４　　　　（９）　　　　～闘ａｂ∨（～生ａ∨～生ｂ）　　　　　　　　８結合法則
１４　　　　（ア）　　　　　闘ａｂ→（～生ａ∨～生ｂ）　　　　　　　　９含意の定義
１　　　　　（イ）　　　　　虎ａ＆虎ｂ→闘ａｂ→（～生ａ∨～生ｂ）　　４アＣＰ
　　ウ　　　（ウ）　　　　　虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ　　　　　　　　　　　　Ａ
　　ウ　　　（エ）　　　　（虎ａ＆虎ｂ）＆闘ａｂ　　　　　　　　　　　ウ結合法則
　　ウ　　　（オ）　　　　　虎ａ＆虎ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　エ＆Ｅ
１　ウ　　　（カ）　　　　　　　　　　　闘ａｂ→（～生ａ∨～生ｂ）　　イオＭＰＰ
　　ウ　　　（キ）　　　　　　　　　　　闘ａｂ　　　　　　　　　　　　エ＆Ｅ
１　ウ　　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　（～生ａ∨～生ｂ）　　カキＭＰＰ
１　　　　　（ケ）　　　　　虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ→（～生ａ∨～生ｂ）　　ウクＣＰ
１　　　　　（コ）　　∀ｙ｛虎ａ＆虎ｙ＆闘ａｙ→（～生ａ∨～生ｙ）｝　ケＵＩ
１　　　　　（サ）∀ｘ∀ｙ｛虎ａ＆虎ｙ＆闘ａｙ→（～生ａ∨～生ｙ）｝　コＵＩ
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→～（生ｘ＆　生ｙ）｝
（ⅱ）∀ｘ∀ｙ｛闘ｘｙ＆生ｘ＆生ｙ→（～虎ｘ∨～虎ｙ）｝
に於いて、
（ⅰ）ならば（ⅱ）であり、
（ⅱ）ならば（ⅰ）である。
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→～（生ｘ＆　生ｙ）｝
（ⅱ）∀ｘ∀ｙ｛闘ｘｙ＆生ｘ＆生ｙ→（～虎ｘ∨～虎ｙ）｝
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
然るに、
（05）
（ⅰ）
１　　　（１）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→～（生ｘ＆生ｙ）｝　　　　　  　　　　Ａ
１　　　（２）　　∀ｙ｛虎ａ＆虎ｙ＆闘ａｙ→～（生ａ＆生ｙ）　　　　　　　　　　　１ＵＥ
１　　　（３）　　　　　虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ→～（生ａ＆生ｂ）　　　　　　　　　　　２ＵＥ
　４　　（４）　　　　　虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　Ａ
１４　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　～（生ａ＆生ｂ）　　　　　　　　　　　３４ＭＰＰ
１４　　（６）　　　　　　　　　　　　　　　～生ａ∨～生ｂ　　　　　　　　　　　　５ド・モルガンの法則
１４　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　生ａ→～生ｂ　　　　　　　　　　　　６含意の定義
　　８　（８）　　　　　　　　　　　　　　　～生ａ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　８　（９）　　　　　　　　　　　　　　　～生ｂ∨～生ａ　　　　　　　　　　　　８∨Ｉ
　　　ア（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～生ｂ　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　ア（イ）　　　　　　　　　　　　　　　～生ｂ∨～生ａ　　　　　　　　　　　　ア∨Ｉ
１４　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　～生ｂ∨～生ａ　　　　　　　　　　　　６８９アイＥＥ
１４　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　生ｂ→～生ａ　　　　　　　　　　　　ウ含意の定義
１４　　（オ）　　　　　　　　　　（生ａ→～生ｂ）＆（生ｂ→～生ａ）　　　　　　　７エ＆Ｉ
１　　　（カ）　　　　　虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ→（生ａ→～生ｂ）＆（生ｂ→～生ａ）　　４オＣＰ
１　　　（キ）　　∀ｙ｛虎ａ＆虎ｙ＆闘ａｙ→（生ａ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ａ）｝　カＵＩ
１　　　（ク）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→（生ｘ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ｘ）｝　キＵＩ
（ⅲ）
１　　　（１）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→（生ｘ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ｘ）｝　Ａ
１　　　（２）　　∀ｙ｛虎ａ＆虎ｙ＆闘ａｙ→（生ａ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ａ）｝　１ＵＥ
１　　　（３）　　　　　虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ→（生ａ→～生ｂ）＆（生ｂ→～生ａ）　　２ＵＥ
　４　　（４）　　　　　虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　Ａ
１４　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　（生ａ→～生ｂ）＆（生ｂ→～生ａ）　　３４ＭＰＰ
１４　　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　生ａ→～生ｂ　　　　　　　　　　　　５＆Ｅ
１４　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　～生ａ∨～生ｂ　　　　　　　　　　　　６含意の定義
１４　　（８）　　　　　　　　　　　　　　～（生ａ＆～生ｂ）　　　　　　　　　　　７ド・モルガンの法則
１　　　（９）　　　　　虎ａ＆虎ｂ＆闘ａｂ→～（生ａ＆生ｂ）　　　　　　　　　　　４８ＣＰ
１　　　（ア）　　∀ｙ｛虎ａ＆虎ｙ＆闘ａｙ→～（生ａ＆生ｙ）　　　　　　　　　　　９ＵＩ
１　　　（イ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→～（生ｘ＆生ｙ）｝　　　　　  　　　　アＵＩ
従って、
（05）により、
（06）
（ⅰ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→～（生ｘ＆　生ｙ）｝
（ⅲ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→　（生ｘ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ｘ）｝
に於いて、
（ⅰ）ならば（ⅲ）であり、
（ⅲ）ならば（ⅰ）である。
従って、
（06）により、
（07）
（ⅰ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→～（生ｘ＆　生ｙ）｝
（ⅲ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→　（生ｘ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ｘ）｝
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅲ） である。
従って、
（04）（07）により、
（08）
（ⅰ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→～（生ｘ＆　生ｙ）｝
（ⅱ）∀ｘ∀ｙ｛闘ｘｙ＆生ｘ＆生ｙ→（～虎ｘ∨～虎ｙ）｝
（ⅲ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→　（生ｘ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ｘ）｝
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） であって、
（ⅰ）＝（ⅲ） である。
従って、
（08）により、
（09）
（ⅰ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→～（生ｘ＆　生ｙ）｝
（ⅱ）∀ｘ∀ｙ｛闘ｘｙ＆生ｘ＆生ｙ→（～虎ｘ∨～虎ｙ）｝
（ⅲ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→　（生ｘ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ｘ）｝
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ）＝（ⅲ） である。
従って、
（09）により、
（10）
（ⅰ）すべてのｘとすべてのｙについて、ｘが虎であり、ｙも虎であり、ｘとｙが闘へば、ｘが生き、ｙも生きる。といふことはない。
（ⅱ）すべてのｘとすべてのｙについて、ｘとｙが闘ひ、ｘが死なず、ｙも死なないのであれば、ｘは虎でないか、または、ｙは虎でない。
（ⅲ）すべてのｘとすべてのｙについて、ｘが虎であり、ｙも虎であり、ｘとｙが闘へば、ｘが生きるならば、ｙは生きず、ｙが生きるならば、ｘは生きない。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ）＝（ⅲ） である。
然るに、
（11）
「ＰまたはＱ」に対する真理値の割り当てを「排他的または」に対して行うと、二つの命題ＰとＱのどちらか一つだが真のときに限って、「ＰまたはＱ」が真になるに対し、「包含的または」に対して行うと、二つの命題ＰとＱのどちらか一つか、あるいは、二つが真のときに「ＰまたはＱ」が真になる。― 中略 ―、命題論理は、「包含的または」の方を採用しており、「真理表」にもそれが反映されている（早川書房、「不可能、不確定、不完全、」、2011年、２０７頁改）。
従って、
（10）（11）により、
（12）
（ⅱ）∀ｘ∀ｙ｛闘ｘｙ＆生ｘ＆生ｙ→（～虎ｘ∨～虎ｙ）｝
（ⅱ）すべてのｘとすべてのｙについて、ｘとｙが闘ひ、ｘが死なず、ｙも死なないのであれば、ｘは虎でないか、または、ｙは虎でない。
に於いて、
（ⅱ）～虎ｘ∨～虎ｙ
（ⅱ）ｘは虎でないか、または、ｙは虎でない。
である。といふことは、
① 両方とも、虎でない。
② どちらか一方が、虎でない。
といふことを、「意味」してゐる。
然るに、
（13）
① ｘとｙの両方が、非力ではあるが、丈夫であるとすれば、ｘとｙ同士が闘ったとしても、ｘとｙは、両方とも、死なない。
然るに、
（14）
有衆逐虎。虎負嵎。莫之敢攖。望見馮婦、趨而迎之。
有（衆）逐（虎）。虎負（嵎）。莫（之敢攖。望‐見（馮婦）、趨而迎（之）。
（衆）有り（虎を）逐ふ、虎（嵎を）負ふ。（之に敢へて攖る）莫し。（馮婦を）望‐見し、趨りて（之を）迎ふ。
人々が虎を追いかけてゐた。虎は山を背にして構へた。誰にも虎に近づく勇気が無かった。馮婦が遠くに見えたので、人々は走って行き、彼を迎へた（孟子、盡心章句下）。
でいふ、馮婦といふ男は、虎と素手で闘って、虎を生け捕りにすることが、出来る。
従って、
（14）により、
（15）
② ｘが馮婦であり、ｙが虎であるならば、ｘとｙが闘っても、ｘは、虎を生け捕りできるため、ｘとｙは、両方とも生きてゐる。
従って、
（13）（15）により、
（16）
① ｘとｙの両方が、非力ではあるが、丈夫であるとすれば、ｘとｙ同士が闘ったとしても、ｘとｙは、両方とも、死なない。
② ｘが馮婦であり、ｙが虎であるならば、ｘとｙが闘っても、ｘは、虎を生け捕りできるため、ｘとｙは、両方とも生きてゐる。
従って、
（12）（16）により、
（17）
（ⅱ）∀ｘ∀ｙ｛闘ｘｙ＆生ｘ＆生ｙ→（～虎ｘ∨～虎ｙ）｝
（ⅱ）すべてのｘとすべてのｙについて、ｘとｙが闘ひ、ｘが死なず、ｙも死なないのであれば、ｘは虎でないか、または、ｙは虎でない。
に於いて、「不都合」は無い。
然るに、
（18）
（ⅲ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→（生ｘ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ｘ）｝
（ⅲ）すべてのｘとすべてのｙについて、ｘが虎であり、ｙも虎であり、ｘとｙが闘へば、ｘが生きるならば、ｙは生きず、ｙが生きるならば、ｘは生きない。
に於いて、
（ⅲ）（生ｘ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ｘ）
（ⅲ）ｘが生きるならば、ｙは生きず、ｙが生きるならば、ｘは生きない。
といふのであれば、
（ⅲ）ｘとｙの、どちらか一方だけが生きる（どちらか一方だけが死ぬ）。
といふ風に、思はれるかも、知れない。
しかしながら、
（19）
③（生ｘ→～生ｙ）＝ｘが生きるならば、ｙは生きず。
④（生ｙ→～生ｘ）＝が生きるならば、ｘは生きない。
に於いて、
③ の「対偶」が ④ であり、
④ の「対偶」が ③ であるため、
③ とは、④ であって、
④ とは、③ である。
然るに、
（20）
「含意の定義」により、
③（生ｘ→～生ｙ）＝（～生ｘ∨～生ｙ）
である。
然るに、
（11）により、
（21）
③（～生ｘ∨～生ｙ）＝（ｘは生きないか、またはｙは生きない。）
④（～生ｘ＆～生ｙ）＝（ｘは生きず、ｙも生きない。）
に於いて、
③ と ④ は、「矛盾」しない。
従って、
（18）～（21）により、
（22）
（ⅲ）（生ｘ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ｘ）
（ⅲ）ｘが生きるならば、ｙは生きず、ｙが生きるならば、ｘは生きない。
といふのであれば、
（ⅲ）ｘとｙの、どちらか一方だけが生きる（どちらか一方だけが死ぬ）。
といふ風に、思はれるかも、知れないが、「論理学的」には、さうではない。
従って、
（01）～（22）により、
（23）
① 今両虎共闘、其勢不倶生。
① 今両虎共に闘はば、其の勢ひ俱には生きず。
① いま、二頭の虎（e.g.藺相如と廉頗）が戦ひ合へば、両方とも死なないで済む。といふわけにいかない。
といふ「漢文訓読」は、
（ⅰ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→～（生ｘ＆　生ｙ）｝
（ⅱ）∀ｘ∀ｙ｛闘ｘｙ＆生ｘ＆生ｙ→（～虎ｘ∨～虎ｙ）｝
（ⅲ）∀ｘ∀ｙ｛虎ｘ＆虎ｙ＆闘ｘｙ→　（生ｘ→～生ｙ）＆（生ｙ→～生ｘ）｝
といふ「三通リの述語論理」に、対応する。

（190）反論： どうして鏡は左右を逆に映すのに上下はそのままなの？

（01）
解答： どうして鏡は左右を逆に映すのに上下はそのままなの？
2008年04月23日 20時23分52秒 | 学校で教えてくれないコト（ｇｏｏブログ）
大事なことは「実は鏡は左右を逆に映していない。」という点だ。そして「上下も逆に映していない。」のだ。鏡がしていることは「鏡を正面から見たときに手前と奥を逆転させている。」だけなのだ。
然るに、
（02）
「紙に書いた文字」は「２次元（平面）」であって、「３次元（立体）」ではない。
然るに、
（03）
「２次元（平面）」に有るのは「上下左右」だけであって、「前後（手前と奥）」は無い。
従って、
（02）（03）により、
（04）
「紙に書いた文字」には「奥行（手前と奥）」が無い故がに、
「紙に書いた文字」の、「奥行（手前と奥）」を「逆転させる」ことは、出来ない。
従って、
（01）（04）により、
（05）
「紙に書いた文字」に関しては、
『鏡がしていることは「鏡を正面から見たときに手前と奥を逆転させている。」だけなのだ。』
といふことには、ならない。
然るに、
（06）
紙にも表裏があります。
どちらが表か分からなくなった時はまず紙の表面を触ってみると良いでしょう。
一般的に、スベスベしたなめらかな方が表、ちょっとザラザラしたほうが裏です。
（紙の表裏・上下 2017年5月8日、コラム, 紙, 道具の話｜紙）
それ故、
（06）により、
（07）
「紙の表面」を「紙の表面」と呼び、
「紙の裏面」を「紙の背中」と呼ぶことにする。
然るに、
（08）
「ＡＥ」といふ「文字」を、
「コピー用紙の表面」に書いてから、「そのコピー用紙の背中（裏面）」を見ると、
「ＡＥ」といふ「文字」は、「背中（裏面）の側」には無い。
然るに、
（09）
「ＡＥ」と書いた「そのコピー用紙の背中（裏面）」を、自分に向けたまま、「照明にかざす」と、「コピー用紙」は「十分に薄い（0.08㎜）」ため、
「∃Ａ」といふ「文字」が「透けて見える」。
然るに、
（10）
「ＡＥ」と書いた「コピー用紙」を「鏡に向ける」と、「鏡の中」で、
「ＡＥ」といふ「文字」は、
「∃Ａ」といふ「文字」に見える。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
「鏡の中」の
「∃Ａ」といふ「文字」は、
「ＡＥ」と書いた「コピー用紙の表面」を、
「背中（裏面）の側から、透かして見てゐる際の形」に「等しい」。
然るに、
（10）により、
（12）
「ＡＥ」と書いた「Ｔシャツ」を着て、「鏡の前」に立つと、
「鏡の中」で、
「ＡＥ」といふ「Ｔシャツの文字」は、言ふまでもなく、
「∃Ａ」といふ「文字」に見える。
従って、
（11）（12）により、
（13）
「ＡＥ」と書いた「Ｔシャツ」を着て、「鏡の前」に立つと、
「鏡の中の、文字の輪郭」と、
「鏡の中の、自分の輪郭」は、
「鏡の外で、背中（裏面）を向けて立ってゐる際の、輪郭」に「等しい」。
然るに、
（14）
「鏡の前」に立つとき、
「鏡の中の、もう一人の自分は、こちらを向いてゐる。」
従って、
（14）により、
（15）
「鏡の中の、もう一人の自分は、背中を向けてゐない。」
従って、
（13）（15）により、
（16）
「鏡の前」に立つとき、
「鏡の中の、もう一人の自分は、背中（裏面）を向けてゐないのに、背中（裏面）を向けてはゐる。」
然るに、
（17）
「ＡＥ」と書いた「Ｔシャツ」を着た人物が、「回れ右」をして「こちらを向く」ならば、
「ＡＥ」といふ「文字」は、言ふまでもなく、
「ＡＥ」といふ「文字」に「見える」。
然るに、
（18）
「∃Ａ（鏡の中）」と、
「ＡＥ（鏡の外）」は、
「左右（∃Ｅ）が逆で、上下（ＡＡ）が等しい。」
従って、
（17）（18）により、
（19）
「鏡の中の人物」を、
「回れ右」をして「こちらを向いた」後の、「もう一人の自分」である。
と「仮定」すると、
「左右（∃Ｅ）が逆で、上下（ＡＡ）が等しい。」
といふ「矛盾」が生じる。
従って、
（19）により、
（20）
「鏡の中の人物」は、
「回れ右」をして「こちらを向いた」後の、「もう一人の自分」である。
といふ「仮定」は、「否定」しなければ、ならない。
ｃｆ.
背理法（Reductio ad absurdum）。
然るに、
（21）
「ＡＥ」と書いた「Ｔシャツ」を着た人物が、「回れ右」をして「こちらを向く」ならば、
「ＡＥ」といふ「文字」は、
「ＡＥ」に「見える」ものの、
「ＡＥ」と書いた「Ｔシャツ」を着た人物が、「逆立ち」をして「こちらを向く」ならば、
「ＡＥ」といふ「文字」は、
「∃∀」といふ「文字」に「見える」。
然るに、
（22）
「∃Ａ（鏡の中）」と、
「∃∀（鏡の外）」は、
「上下（Ａ∀）が逆で、左右（∃∃）が等しい。」
従って、
（21）（22）により、
（23）
「鏡の中の人物」を、
「逆立ち」をして「こちらを向いた」後の、「もう一人の自分」である。
と「仮定」すると、
「上下（Ａ∀）が逆で、左右（∃∃）が等しい。」
といふ「矛盾」が生じる。
従って、
（23）により、
（24）
「鏡の中の人物」は、
「逆立ち」をして「こちらを向いた」後の、「もう一人の自分」である。
といふ「仮定」は、「否定」しなければ、ならない。
従って、
（20）（24）により、
（25）
（α）「鏡の中の人物」は、「回れ右」をして「こちらを向いた」後の、「もう一人の自分」である。といふ「仮定」は、
「否定」しなければ、ならない。
（β）「鏡の中の人物」は、「逆立ち」をして「こちらを向いた」後の、「もう一人の自分」である。といふ「仮定」は、
「否定」しなければ、ならない。
然るに、
（26）
我々は、「後ろを振り向く」際に、「逆立ちをして、振り向く」といふことを、「普通は、しない。」
従って、
（25）（26）により、
（27）
（α）「鏡の中の人物」は、「回れ右」をして「こちらを向いた」後の、「もう一人の自分」である。といふ「仮定」。
（β）「鏡の中の人物」は、「逆立ち」をして「こちらを向いた」後の、「もう一人の自分」である。といふ「仮定」。
といふ「二つの仮定」の内の、
（β）に関しては、「初めから、否定済み」であるものの、
（α）に関しては、「否定、出来ない」のが、「普通」である。
従って、
（17）～（27）により、
（28）
（β）「鏡の中の人物」は、「逆立ち」をして「こちらを向いた」後の、「もう一人の自分」である。といふ「仮定」だけでなく、
（α）「鏡の中の人物」は、「回れ右」をして「こちらを向いた」後の、「もう一人の自分」である。といふ「仮定」も、
「同時に、否定」しなければ、ならない。
といふことに「気づくことが出来ず」、それ故、「どうして鏡は左右を逆に映すのに上下はそのままなの？」
といふ「疑問」だけが、生じることになる。
然るに、
（29）
このことを、「理解」するためには、
「ＡＥ」と書いた「Ｔシャツ」を着て、「鏡の前」に立つと、
「鏡の中の、文字の輪郭」と、
「鏡の中の、自分の輪郭」は、両方とも、
「鏡の外で、背中（裏面）を向けて立ってゐる際の、輪郭」に「等しい」。
といふことを、「理解」する必要がある。
然るに、
（30）
このことを、「理解」するためには、まず最初に、
「鏡の中」の、例へば、「∃Ａ」といふ「文字」は、「ＡＥ」と書いた「コピー用紙の表面（２次元）」を、『背中（裏面）の側から、透かして見てゐる際の形』に「等しい」。
といふことを、「理解」する必要がある。
従って、
（31）
大事なことは「実は鏡は左右を逆に映していない。」という点だ。そして「上下も逆に映していない。」のだ。
といふことは、その通りだとしても、
鏡がしていることは「鏡を正面から見たときに手前と奥を逆転させている。」だけなのだ。
といふことを、敢へて「強調」する「必要」はない。といふ風に、思はれる。

（189）「英語」は「漢文」よりも「非論理（学）的」である。

——「数時間前の記事（188）」の「続き」を書きます。―
（06）
② 莫民非其臣＝
② 莫〔民非（其臣）〕⇒
② 〔民（其臣）非〕莫＝
② 〔民にして（其の臣に）非ざる〕莫し＝
② 民であって、其の（王の）臣民でないものはゐない＝
② All the people are his retainers.
といふ「漢文・訓読・英訳」は、
② ∀ｘ｛民ｘ→∃ｙ［王ｙｘ＆∀ｚ（王ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝⇔
② すべてのｘについて、ｘが民であるならば、あるｙはｘの王であって、すべてのｚについて、ｚがｘの王であるならば、ｚはｙと同一人物である。
といふ「述語論理」に、相当する。
然るに、
（07）
② 莫民非其臣＝
② 莫〔民非（其臣）〕。
に於いて、
② 莫＝No
② 民＝peaple
② 非＝aren't
② 其＝his
② 臣＝retainers.
とするならば、
③ No people aren't his retainers＝
③ No〔people aren't（his retainers）〕．
といふ「英文」を得ることになる。
然るに、
（08）
③ No people aren't his retainers.
③ Any people aren't his retainers.
④ All the people are his retainers.
といふ「英文」を、「グーグル翻訳」に掛けると、
③ 誰も彼の擁護者ではありません。
③ 誰も彼の擁護者ではありません。
④ すべての人々は彼の家臣です。
といふ「英文」を、出力する。
従って、
（07）（08）により、
（09）
② 莫民非其臣＝
② 莫〔民非（其臣）〕。
に於いて、
② 莫＝No
② 民＝peaple
② 非＝aren't
② 其＝his
② 臣＝retainers.
とするならば、
③ No people aren't his retainers＝
③ No〔people aren't（his retainers）〕．
といふ「英文」を得ることになるものの、その一方で、
② 莫〔民非（其臣）〕。
③ No〔people aren't（his retainers）〕．
に於いて、
②＝③ といふ「等式」が、成立しない。
従って、
（06）～（09）により、
（10）
② 莫民非其臣。
③ No people aren't his retainers.
に於いて、
② といふ「漢文」は、「論理学的」であるが、
③ といふ「英文」は、「論理学的」ではない。
（11）
④ 無不我好者＝
④ 無〔不（我好）者〕⇒
④ 〔（我好）不者〕無＝
④ 〔（我を好ま）不る者〕無し＝
④ 私を好まない者はゐない。
（12）
（ⅰ）
１　（１）∀ｘ｛人ｘ→～∃ｙ（私ｙ＆～好ｘｙ）｝　Ａ
１　（２）　　　人ａ→～∃ｙ（私ｙ＆～好ａｙ）｝　１ＵＥ
　３（３）　　　人ａ　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１３（４）　　　　　　～∃ｙ（私ｙ＆～好ａｙ）　　２３ＣＰ
１３（５）　　　　　　∀ｙ～（私ｙ＆～好ａｙ）　　４量化子の関係
１３（６）　　　　　　　　～（私ｂ＆～好ａｂ）　　５ＵＥ
１３（７）　　　　　　　　～私ｂ∨～～好ａｂ　　　６ド・モルガンの法則
１３（８）　　　　　　　　　～私ｂ∨　好ａｂ　　　７ＤＮ
１３（９）　　　　　　　　　　好ａｂ∨～私ｂ　　　８交換法則
１３（ア）　　　　　　　　～～好ａｂ∨～私ｂ　　　９ＤＮ
１３（イ）　　　　　　　　　～好ａｂ→～私ｂ　　　ア含意の定義
１３（ウ）　　　　　　∀ｙ（～好ａｙ→～私ｙ）　　イＵＩ
１　（エ）　　　人ａ→∀ｙ（～好ａｙ→～私ｙ）　　３ウＣＰ
１　（オ）∀ｘ｛人ｘ→∀ｙ（～好ｘｙ→～私ｙ）　　エＵＩ
（ⅱ）
１　（１）∀ｘ｛人ｘ→∀ｙ（～好ｘｙ→～私ｙ）｝　Ａ
１　（２）　　　人ａ→∀ｙ（～好ａｙ→～私ｙ）　　１ＵＥ
　３（３）　　　人ａ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１３（４）　　　　　　∀ｙ（～好ａｙ→～私ｙ）　　２３ＭＰＰ
１３（５）　　　　　　　　　～好ａｂ→～私ｂ　　　４ＵＥ
１３（６）　　　　　　　　～～好ａｂ∨～私ｂ　　　５含意の定義
１３（７）　　　　　　　　　　好ａｂ∨～私ｂ　　　６ＤＮ
１３（８）　　　　　　　　　　～私ｂ∨好ａｂ　　　７交換法則
１３（９）　　　　　　　～～（～私ｂ∨好ａｂ）　　８ＤＮ
１３（ア）　　　　　　～（～～私ｂ＆～好ａｂ）　　８ド・モルガンの法則
１３（イ）　　　　　　　　～（私ｂ＆～好ａｂ）　　アＤＮ
１３（ウ）　　　　　　∀ｙ～（私ｙ＆～好ａｙ）　　イＵＩ
１３（エ）　　　　　　～∃ｙ（私ｙ＆～好ａｙ）　　ウ量化子の関係
１　（オ）　　　人ａ→～∃ｙ（私ｙ＆～好ａｙ）　　３エＣＰ
１　（カ）∀ｘ｛人ｘ→～∃ｙ（私ｙ＆～好ｘｙ）｝　オＵＩ
従って、
（12）により、
（13）
（ⅰ）∀ｘ｛人ｘ→～∃ｙ（私ｙ＆～好ｘｙ）｝
（ⅱ）∀ｘ｛人ｘ→∀ｙ（～好ｘｙ→～私ｙ）｝
に於いて、
（ⅰ）ならば（ⅱ）であり、
（ⅱ）ならば（ⅰ）である。
従って、
（13）により、
（14）
（ⅰ）∀ｘ｛人ｘ→～∃ｙ（私ｙ＆～好ｘｙ）｝
（ⅱ）∀ｘ｛人ｘ→∀ｙ（～好ｘｙ→～私ｙ）｝
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
従って、
（14）により、
（15）
（ⅰ）すべてのｘについて、　ｘが人であるならば、あるｙが私であって、尚且つ、ｘがｙを好きではない。といふことはない。
（ⅱ）いかなるｘであっても、ｘが人であるならば、すべてのｙについて、ｘがｙを好きではないのであれば、ｙは私ではない。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
従って、
（15）により、
（16）
（ⅰ）すべての人は、私を好きでない。といふことがない。
（ⅱ）すべての人が、すべての人の中の、ある誰かを好きではないのであれば、その誰かは私ではない。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
然るに、
（17）
④ 無不我好者＝
④ 無〔不（我好）者〕⇒
④ 〔（我好）不者〕無＝
④ 〔（我を好ま）不る者〕無し＝
④ 私を好まない者はゐない。
といふことは、
（ⅰ）すべての人が、私を好きでない。といふことはない。
（ⅱ）すべての人が、すべての人の中の、ある誰かを好きではないのであれば、その誰かは私ではない。
といふことに、他ならない。
従って、
（11）～（17）により、
（18）
④ 無不我好者。⇔
④ 我を好ま不る者無し。
といふ「漢文訓読」は、
④ ∀ｘ｛人ｘ→～∃ｙ（私ｙ＆～好ｘｙ）｝
④ ∀ｘ｛人ｘ→∀ｙ（～好ｘｙ→～私ｙ）｝
といふ「述語論理」に、相当する。
然るに、
（19）
④ 無不我好者。⇔
④ 我を好ま不る者無し。⇔
④ ∀ｘ｛人ｘ→～∃ｙ（私ｙ＆～好ｘｙ）｝。
といふ「漢文・訓読・述語論理」は、「単なる否定」ではなく、「二重否定」である。
然るに、
（20）
④ Anybody doesn't like me.
といふ「英語」は、「単なる否定」であって、
⑤ Nobody doesn't like me.
といふ「英語」は、「二重否定」である。
従って、
（19）（20）により、
（21）
④ 無不我好者。⇔
④ 我を好ま不る者無し。⇔
④ ∀ｘ｛人ｘ→～∃ｙ（私ｙ＆～好ｘｙ）｝。
といふ「漢文・訓読・述語論理（二重否定）」は、
⑤ Nobody doesn't like me.
といふ「英語（二重否定）」に相当する。はずである。
然るに、
（22）
このような用法は、特に英語で問題になる。たとえば、Nobody don't like me. （誰も僕を好いてくれない）や I don't know nothing. （僕は何も知らない)などがこれにあたる。このような言い方は２つの否定を意味する語句が対応しあって１つの否定表現を形作るもので、英語は本来はこのように否定文では否定形の語を一貫して使う否定呼応を用いる言語であった。すなわち、否定呼応を用いる言語では、二重に否定語を用いても単純にひとつの否定表現を作るだけであり、論理学的に見た場合は単なる否定である。しかし、否定呼応を用いない言語では、二重に否定語を用いることは論理学的に見るところの「否定」の否定であり、肯定である（ウィキペディア：二重否定）。
従って、
（21）（22）により、
（23）
⑤ Nobody doesn't like me.
といふ「英語」は、「形式」としては、「二重否定」であるにもかかはらず、「意味」としては、「二重否定」ではない。
従って、
（21）（22）（23）により、
（24）
④ 無不我好者。
⑤ Nobody doesn't like me.
に於いて、
④ といふ「漢文」は、「論理（学）的」であるが、
⑤ といふ「英文」は、「論理（学）的」ではない。
従って、
（10）（24）により、
（25）
② 莫民非其臣。
④ 無不我好者。
といふ「漢文」は、「論理（学）的」であるが、
③ No people aren't his retainers.
⑤ Nobody doesn't like me.
といふ「英文」は、「論理（学）的」ではない。