算額（その74）
大阪府茨木市 井於神社 弘化3年(1846)
http://www.wasan.jp/osaka/iyo.html
鉤3寸，股4寸，弦5寸に甲円，乙円が入っている。それぞれの径を求めよ。
径は SymPy を使うまでもなく筆算（暗算）でも答えを出せる。
using SymPy
@syms AD::positive, DC::positive, BD::positive;
(AB, BC, CA) = (3, 4, 5)
eq1 = BD - AB * 4//5;
eq2 = AD - AB * 3//5;
eq3 = DC - (CA - AD);
result = solve([eq1, eq2, eq3], (BD, AD, DC))
Dict{Any, Any} with 3 entries:
BD => 12/5
AD => 9/5
DC => 16/5
r(鉤, 股, 弦) = 鉤 + 股 - 弦; # 鉤股弦に内接する円の径（直径）
r(result[BD], result[DC], BC).evalf() |> println # 甲円： 1.6 = 1寸6分
1.60000000000000
r(result[AD], result[BD], AB).evalf() |> println # 乙円： 1.2 = 1寸2分
1.20000000000000
円の中心座標を求めて図を描く。
using Plots
function circle(ox, oy, r, color=:red; beginangle=0, endangle=360)
θ = beginangle:0.1:endangle
x = r.*cosd.(θ)
y = r.*sind.(θ)
plot!(ox .+ x, oy .+ y, color=color, linewidth=0.5)
end;
function point(x, y, string="", color=:green, position=:left, vertical=:top; fontsize=10, mark=true)
mark && scatter!([x], [y], color=color, markerstrokewidth=0)
annotate!(x, y, text(string, fontsize, position, color, vertical))
end;
function segment(x1, y1, x2, y2, color=:black; linestyle=:solid, linewidth=0.5)
plot!([x1, x2], [y1, y2], color=color, linestyle=linestyle, linewidth=linewidth)
end;
function distance(x1, y1, x2, y2, x0, y0)
p1, p2 = sympy.Point(x1, y1), sympy.Point(x2, y2)
l = sympy.Line(p1, p2)
l.distance(sympy.Point(x0, y0))
end;
function centerofcircle(x1, y1, x2, y2, x3, y3)
""" 鉤股弦に内接する円の中心座標を求める"""
a = (x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2
b = (x1 - x3)^2 + (y1 - y3)^2
c = (x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2
if isapprox(a + b, c) || isapprox(b + c, a) || isapprox(c + a, b)
@syms Ox::positive, Oy::positive
(a, b, c) = sqrt.((a, b, c))
r = (a + b + c)/2 - max(a, b, c)
eq1 = distance(x1, y1, x2, y2, Ox, Oy) - r
eq2 = distance(x1, y1, x3, y3, Ox, Oy) - r
res = solve([eq1, eq2])
if typeof(res) == Dict{Any, Any}
return (res[Ox], res[Oy], r)
else
for i in 1:length(res)
x, y = res[i][Ox], res[i][Oy]
if min(x1, x2, x3) <= x <= max(x1, x2, x3) &&
min(y1, y2, y3) <= y <= max(y1, y2, y3)
return (x, y, r)
end
end
end
else
println("鉤股弦ではない")
return
end
end;
function draw(more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
(AB, BC, CA) = (3, 4, 5)
(BD, AD, DC) = (12/5, 9/5, 16/5)
(Ax, Ay) = (0, AB)
(Bx, By) = (0, 0)
(Cx, Cy) = (BC, 0)
gap = 0.15
(sine, cosine) = (3, 4) ./ 5
plot([Ax, Bx, Cx, Ax], [Ay, By, Cy, Ay], color=:black, lw=0.5,
xlims=(-gap, Cx+gap), ylims=(-1.5gap, Ay+gap))
(Dx, Dy) = (AD*cosine, Ay-AD*sine)
segment(Bx, By, Dx, Dy, :black)
(r1, r2) = (1.6, 1.2) ./ 2
println("甲円の半径 = $r1; 乙円の半径 = $r2")
O1x, O1y, r = centerofcircle(Bx, By, Dx, Dy, Cx, Cy)
circle(O1x, O1y, r)
O2x, O2y, r = centerofcircle(Ax, Ay, Bx, By, Dx, Dy)
circle(O2x, O2y, r)
if more
point(Ax, Ay, "A ", :black, :right)
point(Bx, By, "B ", :black, :right)
point(Cx, Cy, " C", :black)
point(Dx, Dy, " D", :black)
point(O2x, O2y, "乙円\n(O2x,O2y)", :red, :center)
point(O1x, O1y, "甲円\n(O1x,O1y)", :red, :center)
end
end;
甲円の半径 = 0.8; 乙円の半径 = 0.6
算額（その73）
三九 加須市不動岡 総願寺不動堂 弘化5年(1848)
埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.
埼玉県加須市不動岡 総願寺不動堂 弘化5年
http://www.wasan.jp/saitama/hudou.html
キーワード：円3個，直角三角形，正方形
鉤股弦の中に，1 個の正方形と大きさの異なる 3 個の円が互いに接して入っている。円の径を求めよ。
座標の割当の都合で，算額を左右反転させて記号を割り振り，方程式を解く。
円の径だけならば「径 = 鉤 + 股 - 弦」でよいが，図を描くためには円の中心座標を求めなければならない。
また，鉤股弦のいずれかが定数として与えられているのだろうが，写真では不鮮明なので，任意の定数を設定する。
鉤:AB, 股:BC, 弦:CA を 3, 4, 5 として各線分の長さを求めると 「長さ/37」 になるので，鉤股弦を 37 倍しておけば整数解が得られる。
using SymPy
@syms AD::positive, DE::positive, EA::positive,
EB::positive, BF::positive,
GC::positive, CF::positive;
(AB, BC, CA) = (3, 4, 5) .* 37
EF = DE
FG = DE
eq1 = AD - DE*(AB//BC);
eq2 = EB - DE*(AB//CA);
eq3 = FG - GC*(AB//BC);
eq4 = EA + EB - AB;
eq5 = BF + CF - BC;
eq6 = AD + EF + GC - CA;
eq7 = FG - GC * EB / BF
results = solve([eq1, eq2, eq3, eq4, eq5, eq6, eq7],
(AD, EA, EB, BF, CF, DE, GC))
(45, 75, 36, 48, 100, 60, 80)
小円，中円，大円の径は 12, 15, 20 である。
(AD, EA, EB, BF, CF, DE, GC) = (45, 75, 36, 48, 100, 60, 80)
EF = DE
FG = DE
(EB + BF - EF)/2 |> println
(AD + DE - EA)/2 |> println
(FG + GC - CF)/2 |> println
12.0
15.0
20.0
function centerofcircle(x1, y1, x2, y2, x3, y3)
""" 鉤股弦に内接する円の中心座標を求める"""
a = (x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2
b = (x1 - x3)^2 + (y1 - y3)^2
c = (x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2
if isapprox(a + b, c) || isapprox(b + c, a) || isapprox(c + a, b)
@syms Ox::positive, Oy::positive
(a, b, c) = sqrt.((a, b, c))
r = (a + b + c)/2 - max(a, b, c)
eq1 = dist2(x1, y1, x2, y2, Ox, Oy, r)
eq2 = dist2(x1, y1, x3, y3, Ox, Oy, r)
res = solve([eq1, eq2])
for i = 1:length(res)
(Ox1, Oy1) = (res[i][Ox], res[i][Oy])
((minimum([x1, x2, x3]) <= Ox1 <= maximum([x1, x2, x3])) &&
(minimum([y1, y2, y3]) <= Oy1 <= maximum([y1, y2, y3]))) && return (float(Ox1), float(Oy1), r)
end
else
println("鉤股弦ではない")
return
end
end;
function draw(more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
gap = 10
(sine, cosine) = (3, 4) ./ 5
(AD, EA, EB, BF, CF, DE, GC)= (45, 75, 36, 48, 100, 60, 80)
(AB, BC, CA) = (3, 4, 5) .* 37
EF = DE
FG = DE
(Ax, Ay) = (0, AB)
(Bx, By) = (0, 0)
(Cx, Cy) = (BC, 0)
plot([Ax, Bx, Cx, Ax], [Ay, By, Cy, Ay], color=:black, lw=0.5,
xlims=(-gap, Cx+gap), ylims=(-1.5gap, Ay+gap))
(Dx, Dy) = (AD*cosine, Ay-AD*sine)
(Ex, Ey) = (0, EB)
(Fx, Fy) = (BF, 0)
segment(Dx, Dy, Ex, Ey, :black)
segment(Ex, Ey, Fx, Fy, :black)
(Gx, Gy) = (Dx + BF, Dy - EB)
segment(Fx, Fy, Gx, Gy)
r3 = (EB + BF - EF)/2
r2 = (AD + DE - EA)/2
r1 = (FG + GC - CF)/2
println("小円の半径 = $r3; 中円の半径 = $r2; 大円の半径 = $r1")
O3x, O3y, r = centerofcircle(Bx, By, Ex, Ey, Fx, Fy)
circle(O3x, O3y, r)
O2x, O2y, r = centerofcircle(Ax, Ay, Ex, Ey, Dx, Dy)
circle(O2x, O2y, r)
O1x, O1y, r = centerofcircle(Fx, Fy, Cx, Cy, Gx, Gy)
println((Fx, Fy, Cx, Cy, Gx, Gy))
circle(O1x, O1y, r)
if more
point(Ax, Ay, "A ", :black, :right)
point(Bx, By, "B ", :black, :right)
point(Cx, Cy, " C", :black)
point(Dx, Dy, " D", :black)
point(Ex, Ey, " E", :black)
point(Fx, Fy, "\nF", :black)
point(Gx, Gy, " G", :black)
point(O3x, O3y, "小円\n(O3x,O3y)", :red, :center)
point(O2x, O2y, "中円\n(O2x,O2y)", :red, :center)
point(O1x, O1y, "大円\n(O1x,O1y)", :red, :center)
end
end;
小円の半径 = 12.0; 中円の半径 = 15.0; 大円の半径 = 20.0
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