算額（その715）

算額（その715）

八六 加須市多聞寺 愛宕神社 明治13年(1880)
埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.

埼玉の算額ほか
https://gunmawasan.web.fc2.com/files/saitama-sangaku-h24.html
愛宕神社の復元算額　明治13年（部分拡大図）（加須市）
https://gunmawasan.web.fc2.com/files/sangak-corner/atago-3s.jpg

キーワード：円6個，外円，楕円2個

外円内に長径が互いに直行する 2 つの楕円がある。中央に大円，その周りに 4 個の小円が入っている。
外円と大円の直径がそれぞれ 10 寸，3 寸のとき，小円の直径はいかほどか。

計算を簡単にするために図形を45度回転させたものを考える。
外円の半径と中心座標を R, (0, 0 )
大円の半径と中心座標を r1, (0, 0)
小円の半径と中心座標を r2, (r1 + r2, 0)
とおく。
楕円の長半径と短半径は a = R, b = r1 である。
楕円と小円の接点座標を (x0, y0)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms R::positive, a::positive, b::positive,
     r1::positive, r2::positive,
     x0::positive, y0::positive
(a, b) = (R, r1)
eq1 = (x0 - r1 - r2)^2 + y0^2 - r2^2
eq2 = -b^2*x0/(a^2*y0) - (r1 + r2 - x0)/y0
eq3 = x0^2/a^2 + y0^2/b^2 - 1
res = solve([eq1, eq2, eq3], (r2, x0, y0))

   1-element Vector{Tuple{Sym, Sym, Sym}}:
    (r1 - 2*r1^3/R^2, 2*r1, r1*sqrt(R^2 - 4*r1^2)/R)

小円の直径は 2(r1 - 2*r1^3/R^2) である。
外円，大円の半径がそれぞれ 10 寸，3 寸のとき，小円の直径は 2.46 寸である。

(R, r1) = (10, 3) ./ 2
2(r1 - 2*r1^3/R^2)  # r2

   2.46

2*r1, r1*sqrt(R^2 - 4*r1^2)/R  # x0, y0

   (3.0, 1.2)

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (R, r1) = (10, 3) .// 2
   (a, b) = (R, r1)
   (r2, x0, y0) = (r1 - 2*r1^3/R^2, 2*r1, r1*sqrt(R^2 - 4*r1^2)/R)
   @printf("小円の直径 = %g;  r2 = %g;  x0 = %g;  y0 = %g\n", 2r2, r2, x0, y0)
   plot()
   circle(0, 0, R)
   circle(0, 0, r1)
   circle42(0, r1 + r2, r2, :green)
   ellipse(0, 0, R, r1, color=:blue)
   ellipse(0, 0, r1, R, color=:blue)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(x0, y0, "(x0,y0)", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(R, 0, " R", :red, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, r1, " r1", :red, :left, delta=-delta/2)
       point(0, 0, "大円:r1\n(0,0)", :red, :center, :vcenter)
       point(r1 + r2, 0, "小円:r2\n(r1+r2,0)", :green, :center, :vcenter)
   end
end;

 

算額（その714）

算額（その714）

八六 加須市多聞寺 愛宕神社 明治13年(1880)
埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.

埼玉の算額ほか
https://gunmawasan.web.fc2.com/files/saitama-sangaku-h24.html
愛宕神社の復元算額　明治13年（部分拡大図）（加須市）
https://gunmawasan.web.fc2.com/files/sangak-corner/atago-3s.jpg

キーワード：円7個，外円，正三角形，正六角形
#Julia, #SymPy, #算額, #和算

外円に内接する正六角形，正三角形があり，甲円，乙円 3 個ずつを入れる。
ただし，甲円は外円に内接し，正三角形，正六角形に外接する。また，甲円は正三角形に外接し，正六角形に内接する。
乙円の直径が 1.5 寸のとき，外円の直径はいかほどか。

外円の直径を 1 として正三角形，正六角形，甲円，乙円を定め，乙円の直径と外円の直径の比に基づいて乙円の直径が 1.5 寸のときの外円の直径を求める。

外円の半径と中心座標を R, (0, 0)
甲円の半径と中心座標を r1, (x1, y1)
乙円の半径と中心座標を r2, (x2, y2)
として以下の連立方程式を解く。

まず，半径 R = 1/2 の外円と，外円に内接する正六角形に内接し，正三角形に外接する円（甲円）の半径 (r1) と中心座標 (x1, y1) を求める。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms x1::positive, y1::positive, r1::positive, R::positive
s3 = sqrt(Sym(3))
R = 1//2
eq0 = s3*R/2 - r1 - x1
eq1 = x1^2 + y1^2 - (R - r1)^2
eq2 = dist(0, R, s3*R//2, -R//2, x1, y1) - r1^2
res1 = solve([eq0, eq1, eq2], (x1, y1, r1))

   1-element Vector{Tuple{Sym, Sym, Sym}}:
    (-11*sqrt(3)/4 - sqrt(73 - 40*sqrt(3)) + 7, -949*sqrt(219 - 120*sqrt(3))/529 - 520*sqrt(3)*sqrt(219 - 120*sqrt(3))/529 - 5/4 + sqrt(3) + 880*sqrt(3)*sqrt(73 - 40*sqrt(3))/529 + 1606*sqrt(73 - 40*sqrt(3))/529, -7 + sqrt(73 - 40*sqrt(3)) + 3*sqrt(3))

res1[1][1].evalf(), res1[1][2].evalf(), res1[1][3].evalf()

   (0.308657048910078, 0.214101615137755, 0.124355652982141)

半径 R = 1 の外円に内接する正六角形に内接し，正三角形に外接する円（乙円）の半径 (r2) と中心座標 (x2, y2) を求める。

using SymPy
@syms x2, y2, r2, R
s3 = sqrt(Sym(3))
R = 1//2
eq0 = s3*R//2 - r2 - x2
eq1 = (R//2 + r2)*cosd(Sym(30)) - x2
eq2 = (R//2 + r2)*sind(Sym(30)) - y2
res2 = solve([eq0, eq1, eq2], (x2, y2, r2))

   Dict{Any, Any} with 3 entries:
     y2 => -1/4 + sqrt(3)/4
     x2 => 3/4 - sqrt(3)/4
     r2 => -3/4 + sqrt(3)/2

(3/4 - sqrt(3)/4, -1/4 + sqrt(3)/4, -3/4 + sqrt(3)/2)

   (0.3169872981077807, 0.1830127018922193, 0.1160254037844386)

外円の半径が R = 1/2 なら乙円の半径は 0.116025403784439 になる。
乙円の半径が 1.5/2 なら外円の直径は 6.464101615137762 寸である。

「答」では 6.5 寸となっている。
「術」も，「乙円の直径を 13 倍して，3 で割る」ということなので 1.5✕13/3 = 6.5 ということになる。

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   R = 1//2
   plot([√3, 0, -√3, √3].*R/2, [-1, 2, -1, -1].*R/2, color=:green, lw=0.5)
   plot!([√3, √3, 0, -√3, -√3, 0, √3].*R/2, [-1, 1, 2, 1, -1, -2, -1].*R/2, color=:blue, lw=0.5)
   circle(0, 0, R)
   (x1, y1, r1) = (0.308657048910078, 0.214101615137755, 0.124355652982141)
   rotate(x1, y1, r1, :magenta, angle=60)
   (x2, y2, r2) = (0.316987298107781, 0.183012701892219, 0.116025403784439)
   rotate(x2, y2, r2, :brown, angle=60)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(x1, y1, " 甲円:r1,(x1,y1)", :magenta, :left, :vcenter)
       point(x2, y2, " 乙円:r2,(x2,y2)", :brown, :left, :vcenter)
       point(√3R/2, R/2, " (√3R/2,R/2)", :red, :left, :vcenter)
       # plot!(xlims=(0.15, 0.5), ylims=(0.05, 0.35))
   end
end;