◎公務員試験の天秤問題を解いて現実逃避しよう完結編【＃３】

今回も引き続き天秤問題です。

前回はダミーコインが１枚だけ「軽い」と確定している場合の問題。
ちなみに、１枚だけ「重い」場合も「軽い」場合と同じ方法で解ける事は説明するまでもないですよね？

では、重いか軽いか解らない、あくまでも「一枚だけ重さが違う」という事しか解らない場合はどのように解けば良いか。

つまりこうです。


【問題１】
同種のコイン８枚と天秤ばかりが１台ある。
コインのうち１枚はダミーで、他のものより重さが違うことがわかっている。
重さの違うコインを見つけ出すには天秤ばかりを最低何回使用すれば良いか。（予想問題）

もう飽きてきた？後で公式教えてあげるからもう少しだけお付き合い下さい。















前回の「８枚のうち一枚だけ軽い場合」の【別解】を思い出してほしい。
８枚をＡ～Ｈとしていますぞ。

(1)ＡＢＣvsＤＥＦ
(2)ＡＤＧvsＢＥＨ

軽いと解っているなら、この２回だけで軽いコインを特定できてしまう。
実は、重いか軽いか解らない今回の場合でも、２回目までは↑と同じなのだ。
で、繰り返す。

(1)ＡＢＣvsＤＥＦ
(2)ＡＤＧvsＢＥＨ

まず(1)が釣り合った場合が一番簡単。もう小学生でも解るよね？
(2)の結果に関係なくダミーはＧかＨのどちらかに絞られる。
で、３回目は
(3)ＡvsＧの一騎打ち。釣り合わなければＧがダミー、釣り合えばＨがダミー。

あらら、たったの３回で特定できちゃった。これは３回が答えで良いのか？



イヤ、問題は(1)で釣り合わなかった場合である。
まずは「左に傾いた場合」から見ていこう。
(2)がどうなるかで更に分岐されるので、その分岐も一つずつ調べる。



【CASE1】※不等号は重さです。
(1)ＡＢＣ＞ＤＥＦ
(2)ＡＤＧ＝ＢＥＨ　の場合

ＡＤＧＢＥＨは正規確定。残るＣかＦのどちらかがダミー。ならば３回目はこうしよう。
(3)ＣvsＡの一騎打ち。左に傾けばＣがダミー、釣り合えばＦがダミー。



【CASE2】
(1)ＡＢＣ＞ＤＥＦ
(2)ＡＤＧ＞ＢＥＨ　の場合

もし１枚だけ「重い」のであれば、それはＡしか考えられない。
解るかな？　だってそうでしょ？　Ｂが重いんだったら(2)はＢのほうに傾くでしょ？
Ｃが重いんだったら(2)は＝になっているでしょ？

同様に、もし１枚だけ「軽い」のであれば、やはりＥしか考えられない。

つまりダミーはＡかＥに絞られる。
じゃあ３回目はこれでどうだ。
(3)ＡvsＢの一騎打ち。左に傾けばＡがダミー、釣り合えばＥがダミー。


【CASE3】
(1)ＡＢＣ＞ＤＥＦ
(2)ＡＤＧ＜ＢＥＨ　の場合

駄目だ。不等号の向きが違うと解りづらい。
もう書き換えちゃう！

【CASE3】
(1)ＡＢＣ＞ＤＥＦ
(2)ＢＥＨ＞ＡＤＧ　の場合

あらら、CASE2と同じようなもんじゃん。
もし１枚だけ「重い」のであれば、それはＢしか考えられない。
「軽い」のであればＤだ。理由はさっきと一緒。

つまりダミーはＢかＤに絞られる。
そこでこうじゃ。
(3)ＢvsＡの一騎打ち。左に傾けばＢがダミー、釣り合えばＤがダミー。



とどのつまり
どう転んでも、たったの３回で特定できてしまうのです。


正解：３回






さあ、理屈なんてどうでもいいから答えだけ知りたいというアナタ、
お待ち兼ねの「公式」を発表しますよ。
πｒ＾２とか(4/3)πｒ＾３とか覚えやすい簡単なのを期待していたゆとり達よ、
これを丸暗記できるものならしてみなさいよ！！




【天秤問題の公式】
Ｎ枚のコインの中に１枚だけダミーが入っているとき、
そのダミーを特定するための天秤ばかりの計量最少回数をｎとすると、

(1)ダミーが重いか軽いか判明しているときは
　　　３＾(ｎ－１)＜Ｎ≦３＾ｎ

(2) ダミーが重いか軽いか判明しているときは
　　　３＾(ｎ－１)　－１＜２Ｎ≦３＾ｎ　－１

累乗がどこまでを指すかはちゃんと括弧付けて解りやすくしてあげたんだから感謝しなさいよ？（※それが普通です）



最後は天秤ではなくノーマルの計量ばかりを使った超難問でララバイしましょう。



【問題２】
Ａ～Ｄの４つの工場で、ある製品を２００個ずつ作ったところ、
ある工場で２００個とも正規のものより１０ｇだけ軽い不良品を作ってしまった。
それがどこの工場で作られたものかを、
計量ばかりを１回使用するだけで知るにはどうしたらよいか。
ただし正規の製品１個の重量はわかっているものとするが、
不良品を作った工場は１つとは限らないものとする。（予想問題）


うん、ここまで来るともう解く気ないよね？
でも一応↓にヒント書いとくからね。















【ＨＩＮＴ】
Ａ工場から１個、Ｂ工場から１個、ＣからもＤからも１個
この４個で重さを計ったとしよう。
正規より１０ｇ軽かった→不良品工場は１つだけだと解るがどれかは特定できず。
正規より２０ｇ軽かった→不良品工場は２つあると解るがどれかは特定できず。
特定できるのは正規より４０ｇ軽かった場合だけ（不良品工場はＡ～Ｄ全部という死活問題に）
これでは１回計るだけでは特定できない。

じゃあＣ工場が過去に不祥事か何か起こして怪しいとする。
人間心理としてはＣ工場だけ２個取ってきて、Ａ・Ｂ・Ｄからは１個だけ取って、５個で計ってみるだろう。
それで正規より２０ｇ軽ければ案の定不良品工場はＣだけだと特定できるからである。
ちなみに
正規より１０ｇ軽かった→不良品工場はＡ・Ｂ・Ｄのどれか
正規より３０ｇ軽かった→不良品工場はＣとＡ・Ｂ・Ｄのどれかで２つ、もしくはＡ・Ｂ・Ｄの３つである。
さっきよりは特定に一歩近づいている。

だが任務は「１回計るだけで」「何ｇ軽かった場合でも」不良品工場を炙り出す事。
もう少し捻ってほしい。
次はいきなり正解発表だから注意。














正解：Ａ工場から１個、Ｂ工場から２個、Ｃ工場から４個、Ｄ工場から８個とってきて、この１５個の重さを計る

正規より１０ｇ軽かった→不良品工場はＡのみ
２０ｇ→Ｂのみ
３０ｇ→ＡとＢ
４０ｇ→Ｃのみ
５０ｇ→ＡとＣ
６０ｇ→ＢとＣ
７０ｇ→ＡとＢとＣ
８０ｇ→Ｄ
９０ｇ→ＡとＤ
１００ｇ→ＢとＤ
１１０ｇ→ＡとＢとＤ
１２０ｇ→ＣとＤ
１３０ｇ→ＡとＣとＤ
１４０ｇ→ＢとＣとＤ
１５０ｇ→Ａ～Ｄ全部

実に面白い。何ｇ軽かった場合でも特定できてしまった。


ではもう寝るんで今回はここまで。次回は「嘘つきは誰だ」って感じの問題をやる予定。