微分法について その2

2.微分係数と導関数

前回はある場所、ある瞬間の変化の度合いを調べる手法が微分法と呼ばれることを説明しました。

ではそれは実際の算術的にはどうやって調べることが出来るのかという話をしましょう。

対象とする関数はシンプルにｙ＝ｘ＾2にしておきましょう。

ｘが3から5に変化する間にｙはどれだけ変化するか？

まずはｘ＝3のときｙ＝9

次にｘ＝5のときｙ＝25

ですのでｙの変化は25－9＝16ですね。

当然ｘの変化は5-3＝2となります。

ではこの区間の変化の度合いはというと16÷2＝4

これは2点を結ぶ直線の傾きです。

ではこの区間を際限なくｘ＝3に近づけるとどうなるか？

傾きは接線の傾きと同じになっていくのはイメージできますか？

ｘ＝3の時の接線の傾きを算術的に求めてみましょう。

ｘ＝3からとっても小さい区間⊿ｘだけ進めたときのｙはと言いますと

ｙ＝（3+⊿ｘ）＾2＝9+6⊿ｘ+⊿ｘ＾2となります。ではｙの変化⊿ｙはｘ＝3のときのｙ＝9を引いて

⊿ｙ＝6⊿ｘ+⊿ｘ＾2これを⊿ｘで割ったのが3から⊿ｘ変化させたときの変化の割合ということになります。ですので⊿ｙ/⊿ｘ＝6+⊿ｘこれが平均の変化なんですが、⊿ｘを際限なく0に近づけると⊿ｙ/⊿ｘ＝6になるわけです。実際にｙ＝ｘ＾2のｘ＝3における接線の傾きは6です。

こうやってある関数のある点での接線の傾きを微分係数と言います。ここで、ｘを特定の数値に限定せずにｘ+⊿ｘでのｙの変化を求めて⊿ｘを際限なく0に近づけると接線の傾きの法則が出てきます。これを導関数と言って、導関数を求めることが微分するということなのです。

先ほどのｙ＝ｘ＾2ですとｙ+⊿ｙ＝ｘ＾2+2ｘ・⊿ｘ+⊿ｘ＾2ここからｙ＝ｘ＾2を引いて、⊿ｘを際限なく0に近づけた関数をｙ’とするとｙ’＝2ｘこれがｙ＝ｘ＾2の導関数です。

色々な関数の導関数の求め方は数学の本に載ってることでしょうから省きまして、次は導関数の性質から分かることを述べることにしましょう。