算額(その1121)
二十八 一関市萩荘 赤萩観音寺 天保2年(1831)
山村善夫:現存 岩手の算額,昭和52年1月30日,熊谷印刷,盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html
キーワード:円1個,四分円(半円),斜線3本
正方形の中に斜線3本と,円弧,小円を容れる。円弧の直径が 1 寸のとき,小円の直径はいかほどか。
注:「問」では「大半円」といっているが,明らかに半円ではなく,四分円である。
正方形の一辺の長さを a
大円の半径と中心座標を R, (a/2, a + a/√2); a = √2R
小円の半径と中心座標を r, (x, r)
とおき,以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt")
using SymPy
@syms a::positive, R::positive, r::positive, x::positive
a = √Sym(2)R
eq1 = dist2(0, a, a, 0, x, r, r)
eq2 = dist2(0, a, a/2, 0, x, r, r)
res = solve([eq1, eq2], (r, x))[2]
(-9*sqrt(2)*R*(-1 + sqrt(13 - 4*sqrt(10))/3)^2/8 + sqrt(2)*R*(-1 + sqrt(13 - 4*sqrt(10))/3)/2 - 9*sqrt(2)*R*(-1 + sqrt(13 - 4*sqrt(10))/3)^3/16 + sqrt(2)*R, -3*sqrt(2)*R*(-1 + sqrt(13 - 4*sqrt(10))/3)/4)
ans_r = res[1] |> sympy.sqrtdenest |> simplify
ans_r |> println
R*(-2*sqrt(5) - 2 + sqrt(10) + 3*sqrt(2))/4
小円の半径 r は,大円の半径 R の (√10 + 3√2 - 2√5 - 2)/4 = 0.2331955980720215 倍である。
大円の直径が 1 寸のとき,小円の直径は 0.2331955980720215 である。
「術」(山村も)では 1 - √(1 - √0.5) = 0.4588038998538031 倍としているが,根拠も不明である。そもそも,図を描いてみても,大円のほぼ半分の大きさというのは理解できない。
function draw(R, more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
a = √2R
(r, x) = (-9*sqrt(2)*R*(-1 + sqrt(13 - 4*sqrt(10))/3)^2/8 + sqrt(2)*R*(-1 + sqrt(13 - 4*sqrt(10))/3)/2 - 9*sqrt(2)*R*(-1 + sqrt(13 - 4*sqrt(10))/3)^3/16 + sqrt(2)*R, -3*sqrt(2)*R*(-1 + sqrt(13 - 4*sqrt(10))/3)/4)
@printf("大円の直径が %g のとき,小円の直径は %g である。\n", 2R, 2r)
#@printf("r2 = %g; a = %g; b = %g; c = %g; r1 = %g; x1 = %g; y2 = %g\n", r2, a, b, c, r1, x1, y2)
plot([0, a, a, 0, 0], [0, 0, a, a, 0], color=:magenta, lw=0.5)
circle(a/2, a + R/√2, R)
circle(x, r, r, :green)
segment(0, a, a, 0, :blue)
segment(0, 0, a, a, :blue)
segment(0, a, a/2, 0, :blue)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(a, 0, " a", :magenta, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(x, r, "小円:r\n(x,r)", :green, :center, delta=-delta/2)
point(a/2, a + R/√2, "大円:R,(a/2,a+R/√2)", :red, :center, delta=-delta/2)
end
end;
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