算額（その2087）

算額（その2087）

九十三 群馬県安中市板鼻 鷹巣神社 安政5年(1858)
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.
キーワード：円3個，面積

大中小の 3 円が互いに接している。3 円の直径が与えられたとき，黒積（中央部分の面積）はいかほどか。

大円の半径と中心座標を r1, (0, 0)
中円の半径と中心座標を r2, (x2, y2)
小円の半径と中心座標を r3, (0, r1 + r3)
とおき，以下の連立方程式を解き，中円の中心座標を求める。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms r1::positive, r2::positive, x2::positive,
     y2::positive, r3::positive;
eq1 = x2^2 + y2^2 - (r1 + r2)^2
eq2 = x2^2 + (r1 + r3 - y2)^2 - (r2 + r3)^2

res = solve([eq1, eq2], (x2, y2))[1]

   (2*sqrt(r1)*sqrt(r2)*sqrt(r3)*sqrt(r1 + r2 + r3)/(r1 + r3), (r1^2 + r1*r2 + r1*r3 - r2*r3)/(r1 + r3))

求める面積は 3 円の中心座標が構成する三角形の面積から，中心角が θ1，θ2，θ3 の 3 円の扇形の面積を差し引いたものである。

(x2, y2) = (res[1], res[2])

θ1 = atand(x2, y2)
θ2 = acosd(((r1 + r2)^2 + (r2 + r3)^2 - (r1 + r3)^2)/(2(r1 + r2)*(r2 + r3)))
θ3 = 180 - θ1 - θ2

S = (r1 + r3)*x2/2 - (r1^2*θ1 + r2^2*θ2 + r3^2*θ3)*pi/360;

大円，中円，小円の直径がそれぞれ 10 寸，6 寸，4 寸のとき，黒積は 1.41639227322922 である。

S(r1 => 10/2, r2 => 6/2, r3 => 4/2).evalf() |> println

   1.41639227322922

function draw(r1, r2, r3, more)
    pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (x2, y2) = (2*sqrt(r1)*sqrt(r2)*sqrt(r3)*sqrt(r1 + r2 + r3)/(r1 + r3), (r1^2 + r1*r2 + r1*r3 - r2*r3)/(r1 + r3))
   θ1 = atand(x2, y2)
   θ2 = acosd(((r1 + r2)^2 + (r2 + r3)^2 - (r1 + r3)^2)/(2(r1 + r2)*(r2 + r3)))
   θ3 = 180 - θ1 - θ2
   S = (r1 + r3)*x2/2 - (r1^2*θ1 + r2^2*θ2 + r3^2*θ3)*pi/360
   @printf("大円，中円，小円の直径がそれぞれ %g, %g, %g のとき，黒積は %g である。\n", 2r1, 2r2, 2r3, S)
   @printf("r1 = %g;  r2 = %g;  r3 = %g;  x2 = %g;  y2 = %g\n", r1, r2, r3, x2, y2)
   plot([0, x2, 0, 0], [0, y2, r1 + r3, 0], color=:black, lw=0.5, seriestype=:shape, fillcolor=:gray70)
   circlef(0, 0, r1, :white)
   circle(0, 0, r1)
   circle(0, 0, 0.15r1, beginangle=90 - θ1, endangle=90, lw=2)
   circlef(x2, y2, r2, :white)
   circle(x2, y2, r2, :blue)
   circle(x2, y2, 0.15r1, :blue, beginangle=90 + θ3, endangle=90 + θ3 + θ2, lw=2)
   circlef(0, r1 + r3, r3, :white)
   circle(0, r1 + r3, r3, :green)
   circle(0, r1 + r3, 0.15r1, :green, beginangle=270, endangle=270 + θ3, lw=2)
   plot!([0, x2, 0, 0], [0, y2, r1 + r3, 0], color=:black, lw=0.5)

   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(delta/2, 4delta, "θ1", :red, :left, :bottom, delta=delta, mark=false)
       point(0, 0, "大円:r1,(0, 0)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(x2 - 5delta, y2 - 2delta, "θ2", :blue, :right, :vcenter, mark=false)
       point(x2, y2, "中円:r2,(x2,y2)", :blue, :center, delta=4delta, deltax=delta)
       point(3.5delta, r1 + r3 - 5delta, "θ3", :green, :right, :vcenter, mark=false)
       point(0, r1 + r3, "小円:r3,(0,r1+r3)", :green, :center, :bottom, delta=delta)
   end

end;

draw(10/2, 6/2, 4/2, true)