算額（その1059）

算額（その1059）

九十四 大船渡市立根町 五葉神社 文政5年(1822)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html

外円の中に正方形と小円 2 個ずつを容れる。小円の直径が 1 寸のとき，正方形の一辺の長さはいかほどか。

外円の半径と中心座標を R, (0, 0)
小円の半径と中心座標を r, (0, R - r)
とおき，以下の方程式を解き，外円の半径 R を求める。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms R::positive, r::positive
eq1 = dist2(0, 0, R/2, R/2, 0, R - r, r)
R = solve(eq1, R)[1]
R |> println

   r*(1 + sqrt(2))

外円の半径 R は，小円の半径 r の (1 + √2) 倍である。
正方形の一辺の長さは (R/2)\*√2 = r\*(√2/2 + 1) である。
したがって 小円の半径が 1/2 のとき 0.853553390593274 である。

r = 1/2
r*((1 + √2)/2*√2) |> println
r*(√2/2 + 1) |> println

   0.8535533905932737
   0.8535533905932737

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r = 1/2
   R = (1 + √2)r
   len = r*(√2/2 + 1)
   @printf("小円の直径が %g のとき，正方形の一辺の長さは %g である。\n", 2r, len)
   plot([R, R/2, -R/2, -R, -R/2, R/2, R], [0, R/2, -R/2, 0, R/2, -R/2, 0], color=:blue, lw=0.5)
   circle(0, 0, R, :green)
   circle22(0, R - r, r)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(R, 0, " R", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, R, " R", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(R/2, R/2, "(R/2,R/2)", :blue, :left, :bottom, delta=delta)
       point(R/2, 0, "", :blue)
       point(0, R - r, "小円:r,(0,R-r)", :red, :center, delta=-delta/2)
   end
end;

算額（その1058）

算額（その1058）

九十四 大船渡市立根町 五葉神社 文政5年(1822)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html

正方形の中に正三角形と大円，小円を容れる。小円の直径が 1 寸のとき，大円の直径はいかほどか。

正方形の一辺の長さを a
正方形の辺上にある正三角形の頂点の座標を (0, b), (b, 0)
大円の半径と中心座標を r1, (r1, r1)
小円の半径と中心座標を r2, (a - r2, r2), (r2, a - r2)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms a::positive, b::positive, r1::positive, r2::positive
eq1 = a + (a - b) - sqrt(a^2 + (a - b)^2) - 2r2
eq2 = 2b - sqrt(Sym(2))b - 2r1
eq3 = a^2 + (a - b)^2 - 2b^2;
res = solve([eq1, eq2, eq3], (r1, a, b))[1]

   (2*r2/((-2 + sqrt(6))*sqrt(2*sqrt(2) + 3)), r2*(sqrt(2) + 2 + sqrt(12*sqrt(2) + 18))/((-2 + sqrt(6))*sqrt(2*sqrt(2) + 3)), 2*r2*(sqrt(2) + 2)/((-2 + sqrt(6))*sqrt(2*sqrt(2) + 3)))

@syms d
ans_r2 = res[1]/r2
ans_r2 = apart(ans_r2, d) |> sympy.sqrtdenest |> simplify |> (x -> x*r2)
ans_r2 |> println

   r2*(-sqrt(6) - 2 + 2*sqrt(2) + 2*sqrt(3))

大円の半径 r1 は，小円の半径 r2 の (2(√2 + √3 - 1) - √6) = 1.8430389971007672 倍である。
小円の直径が 1 寸のとき，大円の直径は 1.8430389971007672 寸である。

2(√2 + √3 - 1) - √6

   1.8430389971007672

その他のパラメータは以下のとおりである。
   正三角形の一辺の長さは 4.44949
   r2 = 0.5;  r1 = 0.921519;  a = 4.29788;  b = 3.14626

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r2 = 1/2
   (r1, a, b) = (2*r2/((-2 + sqrt(6))*sqrt(2*sqrt(2) + 3)), r2*(sqrt(2) + 2 + sqrt(12*sqrt(2) + 18))/((-2 + sqrt(6))*sqrt(2*sqrt(2) + 3)), 2*r2*(sqrt(2) + 2)/((-2 + sqrt(6))*sqrt(2*sqrt(2) + 3)))
   @printf("小円の直径が %g のとき，大円の直径は %g である。\n", 2r2, 2r1)
   @printf("正三角形の一辺の長さは %g\n", √2b)
   @printf("r2 = %g;  r1 = %g;  a = %g;  b = %g\n", r2, r1, a, b)
   plot([0, a, a, 0, 0], [0, 0, a, a, 0], color=:blue, lw=0.5)
   plot!([b, a, 0, b], [0, a, b, 0], color=:orange, lw=0.5)
   circle(r1, r1, r1)
   circle(a - r2, r2, r2, :green)
   circle(r2, a - r2, r2, :green)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(a, 0, " a", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, a, " a", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(r1, r1, "大円:r1,(r1,r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(a - r2, r2, "小円:r2\n(a-r2,r2)", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(r2, a - r2, "小円:r2\n(r2,a-r2)", :green, :center, delta=-delta/2)
   end
end;

算額（その1057）

算額（その1057）

九十四 大船渡市立根町 五葉神社 文政5年(1822)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html

直角三角形の中に，大中小の正方形，甲円，乙円，丙円を容れる。甲円，丙円の直径が 9 寸，4 寸のとき，乙円の直径はいかほどか。

三角形内の正方形の一辺の長さについては，算額（その356）に記した。
https://blog.goo.ne.jp/r-de-r/e/21d75d77f3ea4dff26d8a4e76e74659d

本問の図形において，小正方形，中正方形，大正方形の一辺の長さは等比数列をなすということである。また，それぞれの一辺を斜辺とする直角三角形も相似であり，それぞれに内接する甲円，乙円，丙円も相似でその直径も等比数列をなす。甲円径：乙円径：丙円径 = 9寸：x寸：4寸なので，乙円の直径は x = sqrt(9*4) = 6 寸である。

算額（その1056）

算額（その1056）

九十一 陸前高田市小友町只出 小友八幡神社 明治26年(1893)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html

外円の中に甲円，乙円，丙円，丁円が入っている。丙円の直径が 8 分 5 厘のとき，甲円の直径はいかほどか。

後にわかるが，丁円の大きさは丙円の大きさに無関係である。

算額（その938）の類題（発展問題）である（甲円，乙円と大円，中円の位置が逆）。算額（その938）では中央の円は脇の 4 円と同じであったが，本問では中央の円（丁円）は脇の円（丙円）とは別で，任意の大きさになりうる。

外円の半径と中心座標を R, (0, 0)
甲円の半径と中心座標を r1, (0, R - r1)
乙円の半径と中心座標を r2, (0, R - r2)
丙円の半径と中心座標を r3, (x3, r3)
丁円の半径と中心座標を r4, (0, 0)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms R::positive, r2::positive, r1::positive,
     r3::positive, x3::positive, r4::positive
eq1 = x3^2 + r3^2 - (R - r3)^2
eq2 = x3^2 + (R - r2 - r3)^2 - (r2 + r3)^2
eq3 = 2r1 + r3 - R
eq3 = 2r1 + r4 - R
eq4 = 2r2 -r4 - R
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4], (r1, r2, R, x3))[1]

   (2*r3, 2*r3 + r4, 4*r3 + r4, sqrt(2*r3 + r4)*sqrt(4*r3 + r4))

甲円の半径 r1 は，丙円 r3 の 2 倍である。
丙円の直径が 0.85 寸のとき，甲円の直径は 1.7 寸である。

丁円の大きさは，甲円の大きさに影響を与えない。
「問」ではこの辺を暗示している。「只云乙丁若干丙径八分五厘甲径幾何」と，丁径は何でもよいといっている。

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r3 = 0.85/2
   r4 = 0.5/2
   (r1, r2, R, x3) = (2*r3, 2*r3 + r4, 4*r3 + r4, sqrt(2*r3 + r4)*sqrt(4*r3 + r4))
   @printf("丙円，丁円の直径が %g, %g 寸のとき，甲円の直径は %g 寸である。\n", 2r3, 2r4, 2r1)
   @printf("r3 = %g;  r4 = %g;  r1 = %g;  r2 = %g;  R = %g;  x3 = %g\n", r3, r4, r1, r2, R, x3)
   plot()
   circle(0, 0, R, :blue)
   circle22(0, R - r2, r2)
   circle22(0, R - r1, r1, :green)
   circle(0, 0, r4, :magenta)
   circle4(x3, r3, r3, :brown)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, R - r2, "乙円:r2,(0,R-r2)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(0, R - r1, "甲円:r1,(0,R-r1)", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(x3, r3, "丙円:r3\n(x3,r3)", :brown, :center, delta=-delta/2)
       point(0, R, " R", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, 0, "丁円:r4,(0,0)", :magenta, :center, delta=-delta/2)
   end
end;

算額（その1055）

算額（その1055）

九十一 陸前高田市小友町只出 小友八幡神社 明治26年(1893)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html

直角三角形内に正方形と大円，甲円，乙円，丙円，丁円を容れる。甲円，乙円の直径がそれぞれ 1.17 寸，1.05 寸のとき，大円の直径はいかほどか。

術では「甲円と乙円の直径を加えて 1 で割れば大円の直径が得られる」などとデタラメを言っている。山村もなんのコメントも付けずオウム返しで解説しているだけ。

直角三角形の直角を挟む二辺の短い方を「鈎」，長い方を「股」とする
直角三角形の斜辺が正方形の頂点で分割されるが，短い方を「短弦」，長い方を「長弦」とする
大円の半径と中心座標を r1, (r1, r1)
甲円の半径と中心座標を r2, (2r1 + r2, r2)
乙円の半径と中心座標を r3, (r3, 2r1 + r3)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms r1::positive, r2::positive, r3::positive,
     短弦::positive, 長弦::positive,
     鈎::positive, 股::positive
eq1 = 2r1 + (股 - 2r1) - 長弦 - 2r2
eq2 = (鈎 - 2r1) + 2r1 - 短弦 - 2r3
eq3 = (鈎 - 2r1)^2 + 4r1^2 - 短弦^2
eq4 = 4r1^2 + (股 - 2r1)^2 - 長弦^2
eq5 = 鈎^2 + 股^2 - (長弦 + 短弦)^2
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4, eq5], (r1, 短弦, 長弦, 鈎, 股))[2]  # 2 0f 2

   (r2/2 + r3/2 + sqrt(r2^2 + r3^2)/2, r2 + sqrt(r2^2 + r3^2) + r3^2/r2 + r3*sqrt(r2^2 + r3^2)/r2, r2^2/r3 + r2*sqrt(r2^2 + r3^2)/r3 + r3 + sqrt(r2^2 + r3^2), r2 + 2*r3 + sqrt(r2^2 + r3^2) + r3^2/r2 + r3*sqrt(r2^2 + r3^2)/r2, (r2^2 + 2*r2*r3 + r2*sqrt(r2^2 + r3^2) + r3^2 + r3*sqrt(r2^2 + r3^2))/r3)

res[1] |> println
res[1](r2 => 1.17, r3 => 1.05) |> println

   r2/2 + r3/2 + sqrt(r2^2 + r3^2)/2
   1.89603435039443

大円の半径は (r2 + r3 + sqrt(r2^2 + r3^2))/2 である。術がいうような単純な和ではない。
甲円，乙円の直径がそれぞれ 1.17 寸，1.05 寸のとき，大円の直径は 1.89603435039443 寸である。

その他のパラメータは以下のとおりである。
r2 = 1.17;  r3 = 1.05;  r1 = 1.89603;  短弦 = 5.09521;  長弦 = 5.67752;  鈎 = 7.19521;  股 = 8.01752

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (r2, r3) = (1.17, 1.05)
   (r1, 短弦, 長弦, 鈎, 股) = (r2/2 + r3/2 + sqrt(r2^2 + r3^2)/2, r2 + sqrt(r2^2 + r3^2) + r3^2/r2 + r3*sqrt(r2^2 + r3^2)/r2, r2^2/r3 + r2*sqrt(r2^2 + r3^2)/r3 + r3 + sqrt(r2^2 + r3^2), r2 + 2*r3 + sqrt(r2^2 + r3^2) + r3^2/r2 + r3*sqrt(r2^2 + r3^2)/r2, (r2^2 + 2*r2*r3 + r2*sqrt(r2^2 + r3^2) + r3^2 + r3*sqrt(r2^2 + r3^2))/r3)
   @printf("甲円，乙円の直径が %g, %g のとき，大円の直径は %g である。\n", 2r2, 2r3, 2r1)
   @printf("r2 = %g;  r3 = %g;  r1 = %g;  短弦 = %g;  長弦 = %g;  鈎 = %g;  股 = %g\n", r2, r3, r1, 短弦, 長弦, 鈎, 股)
   plot([0, 股, 0, 0], [0, 0, 鈎, 0], color=:blue, lw=0.5)
   plot!([0, 2r1, 2r1, 0, 0], [0, 0, 2r1, 2r1, 0], color=:magenta, lw=0.5)
   circle(r1, r1, r1, :green)
   circle(2r1 + r2, r2, r2, :orange)
   circle(r3, 2r1 + r3, r3, :purple)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(股, 0, " 股", :blue, :left, :bottom, delta=delta)
       point(0, 鈎, " 鈎", :blue, :left, :bottom, delta=delta)
       point(r1, r1, "大円:r1,(r1,r1)", :green, :center, :bottom, delta=delta)
       point(2r1 + r2, r2, "甲円:r2\n(2r1+r2,r2)", :orange, :center, :bottom, delta=delta)
       point(r3, 2r1 + r3, "乙円:r3\n(r3,2r1+r3)", :purple, :center, :bottom, delta=delta)
   end
end;

2024/06/13

これは何の花か分かりますか？

答えは、ゴボウの花

算額（その1054）

算額（その1054）

八十九 陸前高田市小友町 常膳寺観音堂 天保13年(1842)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html

全円の中に正三角形と等円 5 個を容れる。全円の直径が 1 寸のとき，等円の直径はいかほどか。

全円の半径と中心座標を R, (0, 0)
等円の半径と中心座標を r, (r, -r - R/2)
とおき，方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms R::positive, r::positive
eq1 = r^2 + (r + R/2)^2 - (R - r)^2
res = solve(eq1, r)[1]
res |> println
2res(R => 1/2).evalf()|> println

   R*(-3 + 2*sqrt(3))/2
   0.232050807568877

等円の半径 r は，全円の半径 R の (2√3 - 3)/2 倍である。
全円の直径が 1 寸のとき，等円の直径は 0.2320508075688772 寸である。

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   R = 1/2
   r = R*(2√3 - 3)/2
   @printf("全円の直径が %g のとき，等円の直径は %g である。\n", 2R, 2r)
   a = √3R/2
   plot([a, 0, -a, a], [-R/2, R, -R/2, -R/2], color=:blue, lw=0.5)
   circle(0, 0, R, :green)
   rotate(0, r - R/2, r)
   circle2(r, -r - R/2, r)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(R, 0, " R", :blue, :left, :bottom, delta=delta)
       point(0, R, " R", :green, :left, :bottom, delta=delta)
       point(r, -r - R/2, "等円:r\n(r,-r-R/2)", :red, :center, :bottom, delta=delta)
       point(0, r - R/2, "等円:r\n(0,r-R/2)", :red, :center, :bottom, delta=delta)
   end
end;