算額(その1173)
『算法用学精 巻之二』 文久2年(1862)
http://www.wasan.jp/terasima/terasima3.pdf
キーワード:円4個,外円,弦
外円の中に,水平な弦,大円 1 個,小円 2 個を容れる。外円の直径が 1 寸,大円の直径が 0.81 寸のとき,小円の直径を求めよ。
外円の半径と中心座標を R, (0, 0)
大円の半径と中心座標を r1, (x1, 2r2 - R + r1)
小円の半径と中心座標を r2, (x2, 3r2 - R), (0, (r2 - R)
とおき,以下の連立方程式を解く。
図形的には,算額(その750)と同等である。
include("julia-source.txt");
using SymPy
@syms R::positive, r1::positive, x1::positive,
r2::positive, x2::negative;
eq1 = x1^2 + (2r2 - R + r1)^2 - (R - r1)^2
eq2 = x2^2 + (3r2 - R)^2 - (R - r2)^2
eq3 = (x1 - x2)^2 + (r1 - r2)^2 - (r1 + r2)^2
res = solve([eq1, eq2, eq3], (r2, x2, x1))[1];
SymPy では十分な簡約化ができないので,手動で簡約化する。
@syms tR, tr1
res[1](√R => tR, √r1 => tr1) |> simplify |> (x -> x(tR => √R, tr1 => √r1)) |> println
2*sqrt(r1)*(sqrt(R) - sqrt(r1))
res[2](√R => tR, √r1 => tr1) |> simplify |> (x -> x(tR => √R, tr1 => √r1)) |> println
2*sqrt(2)*r1^(1/4)*(R^(3/2) + 5*sqrt(R)*r1 - 4*R*sqrt(r1) - 2*r1^(3/2))/sqrt(R^(3/2) + 3*sqrt(R)*r1 - 3*R*sqrt(r1) - r1^(3/2))
res[3](√R => tR, √r1 => tr1) |> simplify |> (x -> x(tR => √R, tr1 => √r1)) |> println
2*sqrt(2)*r1^(1/4)*sqrt(R^(3/2) + 3*sqrt(R)*r1 - 3*R*sqrt(r1) - r1^(3/2))
r2 = 2*sqrt(r1)*(sqrt(R) - sqrt(r1))
t = sqrt(R^(3/2) + 3*sqrt(R)*r1 - 3*R*sqrt(r1) - r1^(3/2))
x2 = 2*sqrt(2)*r1^(1/4)*(R^(3/2) + 5*sqrt(R)*r1 - 4*R*sqrt(r1) - 2*r1^(3/2))/t
x1 = 2*sqrt(2)*r1^(1/4)*t
小円の半径 r2 は 2√r1*(√R - √r1) で求めることができる。
外円,大円の直径をそれぞれ 1 寸,0.81 寸のとき,小円の直径は 0.18 寸である。
R = 1/2
r1 = 0.81/2
r2 = 2√r1*(√R - √r1)
0.0900000000000001
function draw(R, r1, more, plot_flag)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
r2 = 2*sqrt(r1)*(sqrt(R) - sqrt(r1))
t = sqrt(R^(3/2) + 3*sqrt(R)*r1 - 3*R*sqrt(r1) - r1^(3/2))
u = 2*sqrt(2)*r1^(1/4)
x1 = u*t
x2 = u*(R^(3/2) + 5*sqrt(R)*r1 - 4*R*sqrt(r1) - 2*r1^(3/2))/t
@printf("外円の直径が %g,大円の直径が %g のとき,小円の直径は %g である。\n", 2R, 2r1, 2r2)
y = 2r2 - R
x = sqrt(R^2 - y^2)
plot()
circle(0, 0, R, :magenta)
circle(x1, y + r1, r1)
circle(x2, y + r2, r2, :blue)
circle(0, r2 - R, r2, :blue)
segment(-x, y, x, y, :green)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(R, 0, " R", :magenta, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(0, R, " R", :magenta, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(x1, y + r1, "大円:r1,(x1,2r2-R+r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
point(x2, y + r2, " 小円:r2,(x2,3r2-R)", :blue, :left, :vcenter)
point(0, r2 - R, " 小円:0,(0,r2-R)", :blue, :left, :vcenter)
end
end;