算額（その1273）

算額（その1273）

百四十 群馬県甘楽郡妙義町下高田 高太神社 明治22年(1888)
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.
キーワード：円8個，四分円4個，正方形

正方形の中に，甲円 4 個，乙円 4 個，四分円 4 個を容れる。正方形の一辺の長さが与えられたとき，乙円の直径はいかほどか。

正方形の一辺の長さを 2a
甲円の半径と中心座標を r1, (x1, x1); x1 = r1 - r2
乙円の半径と中心座標を r2, (x1, 0)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms a::positive, r1::positive, x1::positive, r2::positive;
x1 = r1 - r2
eq1 = 2x1^2 - r1^2
eq2 = 2(x1 + a)^2 - (2a - r1)^2
res = solve([eq1, eq2], (r1, r2))[2]

   (a*(3/2 - sqrt(2))/2 + a/4, a*(3/2 - sqrt(2)))

乙円の直径は正方形の一辺の長さの (3/2 - √2) 倍である。
たとえば，正方形の一辺の長さが 10 寸のとき，乙円の直径は 10(3/2 - √2) = 0.8578643762690485 である。

10(3/2 - √2)

   0.8578643762690485

すべてのパラメータは以下のとおりである。

   a = 5;  r1 = 1.46447;  x1 = 1.03553;  r2 = 0.428932

function draw(a, more)
    pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (r1, r2) = (a*(3/2 - sqrt(2))/2 + a/4, a*(3/2 - sqrt(2)))
   x1 = r1 - r2
   @printf("正方形の一辺の長さが %g のとき，乙円の直径は %g である。\n", 2a, 2r2)
   @printf("a = %g;  r1 = %g;  x1 = %g;  r2 = %g\n", a, r1, x1, r2)
   plot([a, a, -a, -a, a], [-a, a, a, -a, -a], color=:blue, lw=0.5)
   circle(a, a, 2a, beginangle= 180, endangle=270)
   circle(-a, a, 2a, beginangle= 270, endangle=360)
   circle(a, -a, 2a, beginangle= 90, endangle=180)
   circle(-a, -a, 2a, beginangle= 0, endangle=90)
   circle4(x1, x1, r1, :green)
   circle42(0, x1, r2, :magenta)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(a, a, "(a,a)", :blue, :right, :bottom, delta=delta/2)
       point(x1, x1, "甲円:r1\n(x1,x1)", :green, :center, :bottom, delta=delta/2)
       point(x1, 0, "乙円:r2,(x1,0)", :magenta, :left, delta=-3delta, deltax=-5delta)
   end
end;

draw(10/2, true)