算額（その1411）

算額（その1411）

九十二 群馬県富岡市一ノ宮 貫前神社 安政5年(1858)
九十七 群馬県高崎市石原町 清水寺 安政5年(1858)
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.
キーワード：円12個，外円，正三角形3個
#Julia, #SymPy, #算額, #和算

外円の中に甲円 1 個，乙円 2 個を容れる。甲円，乙円の中には正三角形を容れ，さらに甲円の中には丙円と等円，乙円の中には 3 個ずつの等円を容れる。外円の直径が 9 寸のとき，等円の直径はいかほどか。

注：本問と関連する算額を「算額（その1410）」に掲示した。違いは甲円の中にある丙円の位置と大きさである。

外円の中の甲円と乙円の位置と大きさについて
外円の半径と中心座標を R, (0, )
甲円の半径と中心座標を r1, (0, R - r1)
乙円の半径と中心座標を r2, (r2, y2)
等円の半径を r
とおき，以下の方程式を解く。

(1) 甲円の中の正三角形と丙円 r3，等円 r について以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");
# julia-source.txt ソース　https://blog.goo.ne.jp/r-de-r/e/ad3a427b84bb416c4f5b73089ae813cf

@syms r1, r3, r

eq1 = r/(2r1 - 2r3 - r) - 1//2
eq2 = r3/(2r1 - r3) - 1//2
res = solve([eq1, eq2], (r3, r))
res[r3] |> println
res[r] |> println

    2*r1/3
    2*r1/9

等円の半径は r = 2r1/9 である。

(2) 乙円の中の正三角形と等円の大きさについては，「算額（その918）」に示したように，乙円の中にある等円の半径は乙円の半径の 1/4 である。 r = r2/4

よって，2r1/9 = r2/4 である。外円の中に甲円と乙円が入っているので，以下の連立方程式を解いて甲円と乙円の半径と中心座標を求める。

@syms R, r1, r2, y2
eq1 = 2r1/9 - r2/4
eq2 = r2^2 + y2^2 - (R - r2)^2
eq3 = r2^2 + (R - r1 - y2)^2 - (r1 + r2)^2
res = solve([eq1, eq2, eq3], (r1, r2, y2))[3]  # 3 of 3

    (R/2, 4*R/9, -R/3)

甲円の半径 r1 は外円の半径 R の 1/2 倍，乙円の半径 r2 は外円の半径 R の 4/9 倍である。
甲円の中にある等円の半径は外円の半径 R の (1/2)*(2/9) = 1/9 倍，乙円の中にある等円の半径は外円の半径 R の (1/4)*(4/9) = 1/9 倍で等しくなる。

「問」のように外円の直径が 9 寸のとき，等円の直径は 9*(1/9) = 1 寸となり，「答」，「術」と一致する。

R = 4.5;  r1 = 2.25;  r2 = 2;  y2 = -1.5
甲円の直径 = 4.5，丙円の直径 = 3.0，甲円の中にある等円の直径 = 1.0
乙円の直径 = 4.0，乙円の中にある等円の直径 = 1.0

考察

「九十二 貫前神社」の算額は安政5年戊午3月，「九十七 清水寺」の算額は安政戊午11月に奉納されている。
「百五十一 産泰神社」の算額は年代不明とされている。
多数決ではないが，貫前神社，清水寺のほうが正しいのであろう。
産泰神社のものは，うっかりと図を写し間違えたと思われる。
産泰神社の方が正しいとしても，甲円の中の等円は正三角形の 3 つの隅に 3 個ある方が自然なので，一隅にしかないのはやはり不自然である。貫前神社・清水寺のような場合は甲円の中に等円は 1 個しかないのはもっともである。

function draw_sub(sw, x, y, r, color, color2, color3, color4)
    circle(x, y, r, color)
    (x1, y1) = r .* (cosd(30), -sind(30))
    plot!(x .+ [x1, 0, -x1, x1], y .+ [y1, r, y1, y1], color=color2, lw=0.5)
    if sw == 1
        r1 = 2r/3
        r2 = 2r/9
        circle(x, y - r + r1, r1, color4)
        circle(x, y - r + 2r1 + r2, r2, color3)
        println("甲円の直径 = $(2r)，丙円の直径 = $(2r1)，甲円の中にある等円の直径 = $(2r2)")
    else
        for deg in (30, 150, 270)
            circle(x + 3r/4*cosd(deg), y + 3r/4*sind(deg), r/4, color3)
        end
        sw == 2 && println("乙円の直径 = $(2r)，乙円の中にある等円の直径 = $(2r/4)")
    end
end

function draw(more)
    pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
    R = 9/2  # 1/2
    (r1, r2, y2) = (R/2, 4*R/9, -R/3)
    @printf("R = %g;  r1 = %g;  r2 = %g;  y2 = %g\n", R, r1, r2, y2)
    plot()
    circle(0, 0, R)
    # circle(0, R - r1, r1, :orange)
    draw_sub(1, 0, R - r1, r1, :green, :chartreuse3, :darkorange, :tomato)
    # circle2(r2, y2, r2, :blue)
    draw_sub(2, r2, y2, r2, :blue, :darkblue, :darkorange, :none)
    draw_sub(3, -r2, y2, r2, :blue, :darkblue, :darkorange, :none)
    if more
        delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
        hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
        vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
        point(0, R, "R", :red, :center, :bottom, delta=delta)
        point(0, R - r1, "甲円:R/2,(0,R-r1)", :green, :center, delta=-delta/2)
        point(0, R/3, "丙円:R/3,(0,R/3)", :tomato, :center, delta=-delta/2)
        point(0, 7R/9, "等円:R/9,(0,7R/9)", :tomato, :center, delta=-delta/2)
        point(r2, y2, "乙円:4R/9,(r2,y2)", :blue, :center, delta=-delta/2)
        point(r2, -2R/3, "等円:R/9,(r2,y2)", :darkorange, :center, delta=-delta/2)
    end
end;

draw(true)