算額（その1410）

算額（その1410）

百五十一 群馬県前橋市下大屋町 産泰神社 年代不明
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.

桜沢門人 武州幡羅郡三箇尾村 権田源之助正賢
山口正義：やまぶき2 第37号,2016年6月20日.
https://yamabukiwasan.sakura.ne.jp/ymbk37.pdf

キーワード：円12個，外円，正三角形3個
#Julia, #SymPy, #算額, #和算

外円の中に甲円 1 個，乙円 2 個を容れる。甲円，乙円の中には正三角形を容れ，さらに甲円の中には丙円と等円，乙円の中には 3 個ずつの等円を容れる。外円の直径が 9 寸のとき，等円の直径はいかほどか。

注：本問と関連する算額を「算額（その1411）」に掲示する。違いは甲円の中にある丙円の位置と大きさである。

外円の中の甲円と乙円の位置と大きさについて
外円の半径と中心座標を R, (0, )
甲円の半径と中心座標を r1, (0, R - r1)
乙円の半径と中心座標を r2, (r2, y2)
等円の半径を r
とおき，以下の方程式を解く。

(1) 甲円の中の正三角形と丙円，等円の大きさについては，「算額（その593）」に示したように，甲円の中にある等円の直径は甲円の直径の 1/6 である。r = r1/6

(2) 乙円の中の正三角形と等円の大きさについては，「算額（その918）」に示したように，乙円の中にある等円の直径は乙円の直径の 1/4である。 r = r2/4

よって，r2 = 2r1/3 である。外円の中に甲円と乙円が入っているので，以下の連立方程式を解いて甲円と乙円の半径と中心座標を求める。

include("julia-source.txt");
# julia-source.txt ソース　https://blog.goo.ne.jp/r-de-r/e/ad3a427b84bb416c4f5b73089ae813cf
@syms R, r, r1, r2, y2
eq1 = 3r2 - 2r1
eq2 = r2^2 + y2^2 - (R - r2)^2
eq3 = r2^2 + (R - r1 - y2)^2 - (r1 + r2)^2
res = solve([eq1, eq2, eq3], (r1, r2, y2))[2]  # 2 of 3

    (R*(-4 + sqrt(21)), 2*R*(-4 + sqrt(21))/3, R*(-2 + sqrt(21)/3))

甲円の半径 r1 は外円の半径 R の (√21 - 4) 倍，乙円の半径 r2 は外円の半径 R の (√21 - 4)*2/3 倍である。
甲円の中にある等円の半径は外円の半径 R の (√21 - 4)/6 倍，乙円の中にある等円の半径は外円の半径 R の (√21 - 4)*2/3/4 = (√21 - 4)/6 倍でで等しくなる。

問のように外円の直径が 9 寸のとき，等円の直径は 9*(√21 - 4)/6 = 0.8738635424337597 寸となる。

R = 4.5;  r1 = 2.62159;  r2 = 1.74773;  y2 = -2.12614
甲円の直径 = 5.2431812546025585，丙円の直径 = 1.3107953136506396，甲円の中にある等円の直径 = 0.8738635424337597
乙円の直径 = 3.495454169735039，乙円の中にある等円の直径 = 0.8738635424337597

おかしいですね。
答，術は「外円径を 9 で割れば，等円の直径が得られる。」すなわち，「外円径が 9寸ならば，等円径は 1 寸」のはず。

実は同じような算額が他に 2 件あるのは承知していた（その 2 件の算額の内容は同じ）。（時系列とは逆に）たまたまこちらを先に解いた。
似ている算額について，次の記事「算額（その1411）」を書く。

ここまで書いてきて，だいぶ前に読んだ記事にあった図（山口）を思い出した。再確認した所，「図の写し間違いだろう」という指摘も同じであった。

function draw_sub(sw, x, y, r, color, color2, color3)
    circle(x, y, r, color)
    (x1, y1) = r .* (cosd(30), -sind(30))
    plot!(x .+ [x1, 0, -x1, x1], y .+ [y1, r, y1, y1], color=color2, lw=0.5)
    if sw == 1
        circle(x, y, r/2, color2)
        circle(x, y + (r/2 + r/6), r/6, color3)
        println("甲円の直径 = $(2r)，丙円の直径 = $(r/2)，甲円の中にある等円の直径 = $(2r/6)")
    else
        for deg in (30, 150, 270)
            circle(x + 3r/4*cosd(deg), y + 3r/4*sind(deg), r/4, color3)
        end
        sw == 2 && println("乙円の直径 = $(2r)，乙円の中にある等円の直径 = $(2r/4)")
    end
end

function draw(R, more)
    pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
    (r1, r2, y2) = (R*(-4 + sqrt(21)), 2*R*(-4 + sqrt(21))/3, R*(-2 + sqrt(21)/3))
    @printf("R = %g;  r1 = %g;  r2 = %g;  y2 = %g\n", R, r1, r2, y2)
    plot()
    circle(0, 0, R)
    # circle(0, R - r1, r1, :orange)
    draw_sub(1, 0, R - r1, r1, :green, :chartreuse3, :darkorange)
    # circle2(r2, y2, r2, :blue)
    draw_sub(2, r2, y2, r2, :blue, :darkblue, :darkorange)
    draw_sub(3, -r2, y2, r2, :blue, :darkblue, :darkorange)
    if more
        delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
        hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
        vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
        point(0, R, "R", :red, :center, :bottom, delta=delta)
        point(0, R - r1, "甲円:r1,(0,R-r1)", :green, :center,:bottom, delta=delta/2)
        point(0, R - r1, "丙円:r1/2,(0,R-r1)", :tomato, :center, delta=-delta/2, mark=false)
        point(0, R - r1/3, "等円:r1/6,(0,R-r1/3)", :tomato, :center, delta=-delta/2)
        point(r2, y2, "乙円:r2,(r2,y2)", :blue, :center, delta=-delta/2)
        point(r2, y2 - 3r2/4, "等円:r2/4\n(r2,y2-3r2/4)", :darkorange, :left, delta=-8delta/2, deltax=4delta)
        point(2.1, 0, "r1 = R*(√21 - 4)\nr2 = 2r1/3", :black, :left, :vcenter, deltax=-0.5delta, mark=false)

    end
end;

draw(9/2, true)