算額（その1527）

算額（その1527）

三十三　岩手県一関市舞川相川 菅原神社 嘉永3年(1850)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html

今有如図 03040
https://w.atwiki.jp/sangaku/pages/193.html

キーワード：円5個，二等辺三角形，圭，弦2本
#Julia, #SymPy, #算額, #和算

全円の中に，二等辺三角形 1 個，大円 2 個，小円 2 個，斜線 2 本（圭）を容れる。小円の直径が 1 寸のとき，大円の直径はいかほどか。

山村の図は不正確である。

全円の半径と中心座標を R, (0, 0)
大円の半径と中心座標を r1, (0, R - r1), (0, r1 - R)
小円の半径と中心座標を r2, (x2, 2r1 - R + r2)
斜線と全円の交点座標を (x, -sqrt(R^2 - x^2))
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms R::positive, r1::positive, r2::positive,
      x2::positive, x::positive
eq1 = x2^2 + (2R - 3r1 - r2)^2 - (r1 + r2)^2
eq2 = dist(0, R, sqrt(R^2 - (2r1- R)^2), 2r1 - R, x2, 2r1 - R + r2) - r2^2
eq3 = dist(0, R, x, -sqrt(R^2 - x^2), x2, 2r1 - R + r2) - r2^2
eq4 = dist(0, R, x, -sqrt(R^2 - x^2), 0, r1 - R) - r1^2;
# res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4], (R, r1, x2, x))

function H(u)
    (R, r1, x2, x) = u
    return [
        x2^2 + (2R - 3r1 - r2)^2 - (r1 + r2)^2,
        dist(0, R, sqrt(R^2 - (2r1- R)^2), 2r1 - R, x2, 2r1 - R + r2) - r2^2,
        dist(0, R, x, -sqrt(R^2 - x^2), x2, 2r1 - R + r2) - r2^2,
        dist(0, R, x, -sqrt(R^2 - x^2), 0, r1 - R) - r1^2
    ]
end;
r2 = 1/2
iniv = BigFloat[4.5, 2.0, 2.23, 2.46] .* r2
res = nls(H, ini=iniv)

    ([2.25, 1.0, 1.118033988749895, 1.2321190896427412], true)

大円の半径は小円の半径の 2 倍である。ちなみに全円の半径は 4.5 倍である。

function draw(r2, more=false)
    pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
    (R, r1, x2, x) = r2.*[4.5, 2.0, 70711162//31622993, 510056828//206983575]
    @printf("小円の直径が %g のとき，大円の直径は %g，全円の直径は %g である。\n", 2r2, 2r1, 2R)
    plot([0, sqrt(R^2 - (2r1 - R)^2), -sqrt(R^2 - (2r1 - R)^2), 0], [R, 2r1 - R, 2r1 - R, R], color=:green, lw=0.5)
    plot!([-x, 0, x], [-sqrt(R^2 - x^2), R, -sqrt(R^2 - x^2)], color=:orange, lw=0.5)
    circle(0, 0, R, :magenta)
    circle22(0, R - r1, r1)
    circle2(x2, 2r1 - R + r2, r2, :blue)
    if more        
        delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
        hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
        vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
        point(0, R, "R", :magenta, :center, :bottom, delta=delta/2)
        point(0, R - r1, "大円:r1,(0,R-r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
        point(0, r1 - R, "大円:r1,(0,r1-R)", :red, :center, delta=-delta/2)
        point(x2, 2r1 - R + r2, "小円:r2\n(x2,2r1-R+r2)", :blue, :center, :bottom, delta=delta/2)
        point(x, -sqrt(R^2 - x^2), "(x,-sqrt(R^2-x^2))", :magenta, :left, delta=-2delta, deltax=-3delta)
        point(0, 2r1 - R, "2r1-R", :green, :center, :bottom, delta=delta)
    end
end;

draw(1/2, true)