算額（その1524）

算額（その1524）

二十七 一関市萩荘 赤萩観音寺 弘化4年(1847)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html

今有如図 03034
https://w.atwiki.jp/sangaku/pages/307.html

キーワード：円3個，正三角形，正方形
#Julia, #SymPy, #算額, #和算

正方形の中に正三角形と大円 2 個，小円 1 個を容れる。正三角形の一辺の長さは正方形の一辺の長さに等しい。大円の直径が与えられたとき，小円の直径を求める術を述べよ。

山村の図は，（またしても）不適切である。その図に従って解を得ても「答」，「術」とは一致しない。
なお，直接の関係はないが，村山の図は「九十四 五葉神社」にある算額と同じである。しかし（当然ながら）それに対する「答」，「術」と本題の「答」，「術」は違う。

いつものごとく，「今有如図」の図は正しい。その図に従って得た解は「答」，「術」と一致する。

正方形，正三角形の一辺の長さを a
大円の半径と中心座標を r1, (a - r1, r1)
小円の半径と中心座標を r2, (a - r2, a - r2)
とおく。
正三角形の右上の頂点の座標は (a - r2 - r2/√2, a - r2 - r2/√2) となる。
以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms a::positive, b::positive, r1::positive, r2::positive
s2 = √Sym(2)
b = a/√Sym(2)
eq1 = dist2(b, 0, a - r2 - r2/s2, a - r2 - r2/s2, a - r1, r1, r1)
eq2 = (a - r2 - r2/s2 - b)^2 + (a - r2 - r2/s2)^2 - a^2;

SymPy では一度に解くことができないが，eq2 は未知数が a だけなのですぐに解くことができる。

res = solve(eq2, r2)[1]  # 1 of 2
res |> println

    a*(-sqrt(3)*(2*sqrt(2) + 3) + (sqrt(2) + 3)*sqrt(2*sqrt(2) + 3))/(2*(2*sqrt(2) + 3)^(3/2))

@syms d
ans_r2 = apart(res, d) |> sympy.sqrtdenest |> simplify |> factor
ans_r2 |> println

    -a*(-5 - sqrt(3) + sqrt(6) + 3*sqrt(2))/2

たとえば，一辺の長さが a = 10 のとき，小円の直径は 0.399203776664140 である。

ans_r2(a => 10).evalf() * 2 |> println

    0.399203776664140

つぎに，eq1 の r2 に ans_r2 を 代入して，新たな方程式 eq11 とする。

eq11 = eq1(r2 => ans_r2) |> simplify
eq11 |> println

    -sqrt(2)*a^2/2 - sqrt(6)*a^2/4 + 3*sqrt(3)*a^2/8 + 3*a^2/4 - 3*a*r1/2 - sqrt(3)*a*r1/2 + sqrt(6)*a*r1/4 + 3*sqrt(2)*a*r1/4 + r1^2/2

eq11 から r1 を求めると以下のようになる。

ans_r1 = solve(eq11, r1)[1] |> sympy.sqrtdenest |> simplify
ans_r1 |> println

    a*(-3*sqrt(6) - 5*sqrt(2) + 4*sqrt(3) + 8)/4

たとえば，一辺の長さが a = 10 のとき，大円の直径は 2.54333095030250 である。

ans_r1(a => 10).evalf() * 2 |> println

    2.54333095030250

問は，「大円径から小円径を得る術」であるから，r2/r1 を求めればよい。

apart(ans_r2/ans_r1, d) |> simplify |> println

    -2*sqrt(3) - 2*sqrt(2) + sqrt(6) + 4

√6 - 2√3 - 2√2 + 4 で，SymPy ではそれ以上簡約化できないが，(2 - √2)*(2 - √3) であり，術と一致する。
なお，村山はここでも誤りを犯しており (2 - √2)*(3 - √3) としてしまっている。

小円の直径は，大円の直径の (2 - √2)*(2 - √3) = 0.15696100289923345 倍である。

(2 - √2)*(2 - √3)

    0.15696100289923345

正方形の一辺の長さが 10 のとき，
大円の直径が 2.54333095030250 である。
そのとき，小円の直径は 2.54333095030250 * 0.15696100289923345 = 0.39920377666414086 となり，直接求めた小円の直径と一致する。

function draw(a, more=false)
    pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
    b = a/√2
    r2 = -a*(-5 - sqrt(3) + sqrt(6) + 3*sqrt(2))/2
    r1 = a*(-3*sqrt(6) - 5*sqrt(2) + 4*sqrt(3) + 8)/4
    @printf("正方形の一辺の長さが %g のとき，大円の直径は %g，小円の直径は %g である。\n", a, 2r1, 2r2)
    @printf("a = %g;  b = %g;  r1 = %g;  r2 = %g\n", a, b, r1, r2)
    plot([0, a, a, 0, 0], [0, 0, a, a, 0], color=:blue, lw=0.5)
    plot!([0, b, a - r2 - r2/√2, 0], [b, 0, a - r2 - r2/√2, b], color=:orange, lw=0.5)
    circle(a - r1, r1, r1, :green)
    circle(r1, a - r1, r1, :green)
    circle(a - r2, a - r2, r2)
    if more        
        delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
        hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
        vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
        point(a - r1, r1, "大円:r1\n(a-r1,r1)", :green, :center, delta=-delta/2)
        point(a - r2, a - r2, "小円:r2,(a-r2,a-r2)  ", :red, :right, :vcenter)
        point(a, 0, "a", :blue, :center, delta=-delta)
        point(0, a, "a ", :blue, :right, :vcenter)
        point(0, b, "b ", :orange, :right, :vcenter)
        point(b, 0, "b", :orange, :center, delta=-delta)
        plot!(xlims=(-5delta, a + 5delta), ylims=(-5delta, a + 5delta))
    end
end;

draw(10, true)