算額（その168）
岐阜県大垣市西外側町 大垣八幡神社 天保年間
http://ryugen3.sakura.ne.jp/toukou3/wasankibousya.PDF
第20問: 正三角形内に等しい 3 円弧を描き，その中に青円，萌黄円を 3 個ずつ入れる。青円の直径を知って萌黄円の直径を求めよ。
正三角形の頂点を通る円の半径を 1 とし，萌黄円，青円の半径を r1，r2とおく。r1 は簡単に求めることができる。r2 を求め，r1/r2 の比を求める。
using SymPy
@syms r2::positive;
sine = sin(PI/6)
cosine = cos(PI/6)
r0 = 1
xy = r0*sine - r2
x2 = xy*cosine
y2 = xy*sine
eq1 = x2^2 + (y2 + r0)^2 - (1 + r2)^2 |> simplify
eq1 |> println
3/4 - 4*r2
res = solve(eq1)[1] |> println # r2
3/16
x2 |> simplify |> println
y2 |> simplify |> println
sqrt(3)*(1 - 2*r2)/4
1/4 - r2/2
r1 = r0 - r0*cosine
r2 = 3//16
r1/r2 |> simplify |> println
16/3 - 8*sqrt(3)/3
萌黄径 = (16/3 - 8*sqrt(3)/3) × 青径 = 0.714531179816327 × 青径 である。
using Plots
function circle(ox, oy, r, color=:red; beginangle=0, endangle=360, fill=false)
θ = beginangle:0.1:endangle
x = r.*cosd.(θ)
y = r.*sind.(θ)
if fill
plot!(ox .+ x, oy .+ y, linecolor=color, linewidth=0.5, seriestype=:shape, fillcolor=color)
else
plot!(ox .+ x, oy .+ y, color=color, linewidth=0.5)
end
end;
function point(x, y, string="", color=:green, position=:left, vertical=:top; mark=true)
mark && scatter!([x], [y], color=color, markerstrokewidth=0)
annotate!(x, y, text(string, 10, position, color, vertical))
end;
function draw(R, more)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
sine = sin(PI/6)
cosine = cos(PI/6)
r0 = 1
r1 = r0 - r0*cosine
r2 = 3//16
(x2, y2) = (sqrt(Sym(3))*(1 - 2*r2)/4, 1//4 - r2/2)
println("萌黄径/青径 = $(r1/r2) = $((r1/r2).evalf())")
plot()
circle(0, r0/2, r1, :olivedrab1, fill=true)
circle(r0/2*cosine, -r0/2*sine, r1, :olivedrab1, fill=true)
circle(-r0/2*cosine, -r0/2*sine, r1, :olivedrab1, fill=true)
circle(x2, y2, r2, :steelblue1, fill=true)
circle(-x2, y2, r2, :steelblue1, fill=true)
circle(0, -sqrt(x2^2 + y2^2), r2, :steelblue1, fill=true)
circle(r0*cosine, r0*sine, r0, beginangle=150, endangle=270)
circle(-r0*cosine, r0*sine, r0, beginangle=270, endangle=390)
circle(0, -r0, r0, beginangle=30, endangle=150)
plot!([r0*cosine, 0, -r0*cosine, r0*cosine], [-r0*sine, r0, -r0*sine, -r0*sine], color=:black, lw=0.5)
if more == true
point(x2, y2, "(x2,y2,r2)", :black, :top)
point(0, r0/2, " r0/2", :black)
point(r0*cosine, r0*sine, "", :red)
point(-r0*cosine, r0*sine, "", :red)
point(0, -r0, "", :red)
circle(0, 0, 1, :black)
hline!([0], color=:black, lw=0.5)
vline!([0], color=:black, lw=0.5)
else
plot!(showaxis=false)
end
end;
draw(123, true)
萌黄径/青径 = 16/3 - 8*sqrt(3)/3 = 0.714531179816327
