（01）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ Ａ
２ ７ （９） ～Ｑ＆ Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２３６７ア∨Ｉ
ウ （ウ） ～Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） ～Ｐ Ａ
ウエ（カ） ～Ｐ＆～Ｑ ウエ
１ ウエ（キ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
～Ｐ＆～Ｑ イカ＆Ｉ
１ ウ （ク） ～～Ｑ エキＲＡＡ
１ ウ （ケ） Ｑ ウＤＮ
１ （コ） ～Ｐ→ Ｑ オケＣＰ
（02）
１ （１）～Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２）～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３）～Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １３ＭＰＰ
１２（６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～～Ｑ ２６ＲＡＡ
１ （８） Ｑ ７ＤＮ
１ （９） Ｐ∨ Ｑ ８∨Ｉ
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ｐ∨Ｑ＝ＰかＱである。
② ～Ｐ→Ｑ＝ＰでないならばＱである。
に於いて、
①＝② である。
（04）
１ （１）～Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２）～Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
１２ （４） Ｑ １２ＭＰＰ
１２３（５）～Ｑ＆ Ｑ ３４＆Ｉ
１ ３（６）～～Ｐ ２５ＲＡＡ
１ ３（７） Ｐ ６ＤＮ
１ （８）～Ｑ→ Ｐ ３７ＣＰ
（05）
１ （１）～Ｑ→ Ｐ Ａ
２ （２）～Ｑ Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｐ １２ＭＰＰ
１２３（５）～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
１ ３（６）～～Ｑ ２５ＲＡＡ
１ ３（７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８）～Ｐ→ Ｑ ３７ＣＰ
従って、
（04）（05）により、
（06）
② ～Ｐ→Ｑ＝ＰでないならばＱである。
③ ～Ｑ→Ｐ＝ＱでないならばＰである。
に於いて、
②＝③ である。
ｃｆ.
対偶（Contraposition）。
従って、
（03）（06）により、
（07）
① Ｐ∨Ｑ＝ＰかＱである。
② ～Ｐ→Ｑ＝ＰでないならばＱである。
③ ～Ｑ→Ｐ＝ＱでないならばＰである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（08）
① ＰかＱである（ＰでないならばＱである）が、Ｐでない。従って、Ｑである。
② ＰかＱである（ＱでないならばＰである）が、Ｑでない。従って、Ｐである。
に於いて、
① は、「推論」として「正しく」、
② も、「推論」として「正しい」。
従って、
（08）により、
（09）
① ＡかＢが犯人である。Ａは犯人ではない。従って、Ｂが犯人である。
② ＡかＢが犯人である。Ｂは犯人ではない。従って、Ａが犯人である。
に於いて、
① は、「推論」として「正しく」、
② も、「推論」として「正しい」。
然るに、
（10）
② ＡかＢが犯人である。Ｂは犯人ではない。従って、Ａが犯人である。
といふことは、
② 犯人は一人だけしかゐなくて、Ａがその犯人である。
といふことに、他ならない。
従って、
（10）により、
（11）
② ＡかＢが犯人である。Ｂは犯人ではない。従って、Ａが犯人である。
といふことは、
② Ａ is a 犯人．
ではなく、
② Ａ is the 犯人.
である。といふことに、他ならない。
然るに、
（12）
In non-mathematical contexts, identity is expressed usually by 'is' ; but since the verb 'to be' has many sense, we must indicate first in which sense 'is' expresses identity.
Consider the six English sentences below.
（１）Socrates is a philosopher.
（２）Paris is a city.
（３）Courage is a virtue.
（４）Socrates is the philosopher who taught Plato.
（５）Paris is the capital of France.
（６）Courage is the virtue I admire most.
(E.J.Lemmonn, Begining Logic, 1971, p160）
然るに、
（13）
（１）Socrates is a philosopher.
（２）Paris is a city.
（３）Courage is a virtue.
に於ける、
（１）Socrates is
（２）Paris is
（３）Courage is
を、「is of predication（述語の is）」と言ふ。
（14）
（４）Socrates is the philosopher who taught Plato.
（５）Paris is the capital of France.
（６）Courage is the virtue I admire most.
に於ける、
（４）Socrates is
（５）Paris is
（６）Courage is
を、「is of identity（同一性の is）」と言ふ。
従って、
（11）～（14）により、
（15）
② ＡかＢが犯人である。Ｂは犯人ではない。従って、Ａが犯人である。
といふことは、
② Ａ is a 犯人．
ではなく、
② Ａ is the 犯人.
であって、
② Ａ is the 犯人.
に於ける、
② is
は、「is of identity（同一性の is）」である。
然るに、
（16）
② Ａ is the 犯人.
に於ける、
② is
が、「is of identity（同一性の is）」である。
といふことは、
② Ａ ＝ the 犯人．
といふことに、他ならない。
然るに、
（17）
② Ａ ＝ the 犯人．
といふことは、
② The 犯人 ＝ Ａ.
といふことに、他ならない。
従って、
（16）（17）により、
（18）
② Ａ is the 犯人.
② Ａ ＝ the 犯人．
といふことは、
② The 犯人 is Ａ.
② The 犯人 ＝ Ａ.
といふことに、他ならない。
従って、
（15）～（18）により、
（19）
② ＡかＢが犯人である。Ｂは犯人ではない。従って、Ａが犯人である。
といふことは、
② The 犯人 is Ａ.
といふこと、すなはち、
② 犯人はＡである。
といふことに、他ならない。
従って、
（19）により、
（20）
② ＡかＢが犯人である。Ｂは犯人ではない。従って、Ａが犯人である。
といふことは、
② Ａが犯人である。
② 犯人はＡである（The 犯人 is Ａ）。
といふことに、他ならない。
然るに、
（21）
② ＡかＢが犯人である。Ｂは犯人ではない。従って、Ａが犯人である。
といふことは、
② Ａ以外は犯人でない。
といふことに、他ならない。
従って、
（20）（21）により、
（22）
② Ａが犯人である。
③ 犯人はＡである。
④ Ａ以外は犯人でない。
に於いて、
②＝③＝④
でなければ、ならない。
従って、
（23）
② ＡがＢである。
③ ＢはＡである。
④ Ａ以外はＢでない。
に於いて、
②＝③＝④
でなければ、ならない。
然るに、
（24）
「逆」には、
（１）真でないときと、
（２）真であるときがあります。
そこで（１）と（２）をひっくるめて、「逆は必ずしも真ならず」といいます（山下正男、論理的に考えること、1985年、１３・１４頁）。
従って、
（24）により、
（25）
① ＡはＢである。
③ ＢはＡである。
に於いて、必ずしも、
①＝③ であるとは、限らない。
従って、
（23）（25）により、
（26）
① ＡはＢである。
② ＡがＢである。
③ ＢはＡである。
④ Ａ以外はＢでない。
に於いて、必ずしも、
①＝② ではないが、必ず、
②＝③＝④ である。
従って、
（26）により、
（27）
① ＡはＢである。
② ＡがＢである。
③ ＢはＡである。
④ Ａ以外はＢでない。
の場合は、
（Ⅰ）①、②、③、④ の、「四つとも、ウソ」であるか、
（Ⅱ）①、②、③、④ の、「①だけが、本当」であるか、
（Ⅲ）①、②、③、④ の、「四つとも、本当」であるか。
の「いづれか」で、なければならない。
然るに、
（28）
① パリは日本である。
② パリが日本である。
③ 日本はパリである。
④ パリ以外は日本ではない。
に於いて、
① は、「ウソ」である。
② も、「ウソ」である。
③ も、「ウソ」である。
④ も、「ウソ」である。
然るに、
（29）
① 中野は日本である。
② 中野が日本である。
③ 日本は中野である。
④ 中野以外は日本ではない。
に於いて、
① は、「本当」である。
② は、「ウソ」である。
③ も、「ウソ」である。
④ も、「ウソ」である。
（30）
① パリはフランスの首都である。
② パリがフランスの首都である。
③ フランスの首都はパリである。
④ パリ以外はフランスの首都ではない。
に於いて、
① は、「本当」である。
② も、「本当」である。
③ も、「本当」である。
④ も、「本当」である。
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ Ａ
２ ７ （９） ～Ｑ＆ Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２３６７ア∨Ｉ
ウ （ウ） ～Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） ～Ｐ Ａ
ウエ（カ） ～Ｐ＆～Ｑ ウエ
１ ウエ（キ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
～Ｐ＆～Ｑ イカ＆Ｉ
１ ウ （ク） ～～Ｑ エキＲＡＡ
１ ウ （ケ） Ｑ ウＤＮ
１ （コ） ～Ｐ→ Ｑ オケＣＰ
（02）
１ （１）～Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２）～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３）～Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １３ＭＰＰ
１２（６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～～Ｑ ２６ＲＡＡ
１ （８） Ｑ ７ＤＮ
１ （９） Ｐ∨ Ｑ ８∨Ｉ
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ｐ∨Ｑ＝ＰかＱである。
② ～Ｐ→Ｑ＝ＰでないならばＱである。
に於いて、
①＝② である。
（04）
１ （１）～Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２）～Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
１２ （４） Ｑ １２ＭＰＰ
１２３（５）～Ｑ＆ Ｑ ３４＆Ｉ
１ ３（６）～～Ｐ ２５ＲＡＡ
１ ３（７） Ｐ ６ＤＮ
１ （８）～Ｑ→ Ｐ ３７ＣＰ
（05）
１ （１）～Ｑ→ Ｐ Ａ
２ （２）～Ｑ Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｐ １２ＭＰＰ
１２３（５）～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
１ ３（６）～～Ｑ ２５ＲＡＡ
１ ３（７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８）～Ｐ→ Ｑ ３７ＣＰ
従って、
（04）（05）により、
（06）
② ～Ｐ→Ｑ＝ＰでないならばＱである。
③ ～Ｑ→Ｐ＝ＱでないならばＰである。
に於いて、
②＝③ である。
ｃｆ.
対偶（Contraposition）。
従って、
（03）（06）により、
（07）
① Ｐ∨Ｑ＝ＰかＱである。
② ～Ｐ→Ｑ＝ＰでないならばＱである。
③ ～Ｑ→Ｐ＝ＱでないならばＰである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（08）
① ＰかＱである（ＰでないならばＱである）が、Ｐでない。従って、Ｑである。
② ＰかＱである（ＱでないならばＰである）が、Ｑでない。従って、Ｐである。
に於いて、
① は、「推論」として「正しく」、
② も、「推論」として「正しい」。
従って、
（08）により、
（09）
① ＡかＢが犯人である。Ａは犯人ではない。従って、Ｂが犯人である。
② ＡかＢが犯人である。Ｂは犯人ではない。従って、Ａが犯人である。
に於いて、
① は、「推論」として「正しく」、
② も、「推論」として「正しい」。
然るに、
（10）
② ＡかＢが犯人である。Ｂは犯人ではない。従って、Ａが犯人である。
といふことは、
② 犯人は一人だけしかゐなくて、Ａがその犯人である。
といふことに、他ならない。
従って、
（10）により、
（11）
② ＡかＢが犯人である。Ｂは犯人ではない。従って、Ａが犯人である。
といふことは、
② Ａ is a 犯人．
ではなく、
② Ａ is the 犯人.
である。といふことに、他ならない。
然るに、
（12）
In non-mathematical contexts, identity is expressed usually by 'is' ; but since the verb 'to be' has many sense, we must indicate first in which sense 'is' expresses identity.
Consider the six English sentences below.
（１）Socrates is a philosopher.
（２）Paris is a city.
（３）Courage is a virtue.
（４）Socrates is the philosopher who taught Plato.
（５）Paris is the capital of France.
（６）Courage is the virtue I admire most.
(E.J.Lemmonn, Begining Logic, 1971, p160）
然るに、
（13）
（１）Socrates is a philosopher.
（２）Paris is a city.
（３）Courage is a virtue.
に於ける、
（１）Socrates is
（２）Paris is
（３）Courage is
を、「is of predication（述語の is）」と言ふ。
（14）
（４）Socrates is the philosopher who taught Plato.
（５）Paris is the capital of France.
（６）Courage is the virtue I admire most.
に於ける、
（４）Socrates is
（５）Paris is
（６）Courage is
を、「is of identity（同一性の is）」と言ふ。
従って、
（11）～（14）により、
（15）
② ＡかＢが犯人である。Ｂは犯人ではない。従って、Ａが犯人である。
といふことは、
② Ａ is a 犯人．
ではなく、
② Ａ is the 犯人.
であって、
② Ａ is the 犯人.
に於ける、
② is
は、「is of identity（同一性の is）」である。
然るに、
（16）
② Ａ is the 犯人.
に於ける、
② is
が、「is of identity（同一性の is）」である。
といふことは、
② Ａ ＝ the 犯人．
といふことに、他ならない。
然るに、
（17）
② Ａ ＝ the 犯人．
といふことは、
② The 犯人 ＝ Ａ.
といふことに、他ならない。
従って、
（16）（17）により、
（18）
② Ａ is the 犯人.
② Ａ ＝ the 犯人．
といふことは、
② The 犯人 is Ａ.
② The 犯人 ＝ Ａ.
といふことに、他ならない。
従って、
（15）～（18）により、
（19）
② ＡかＢが犯人である。Ｂは犯人ではない。従って、Ａが犯人である。
といふことは、
② The 犯人 is Ａ.
といふこと、すなはち、
② 犯人はＡである。
といふことに、他ならない。
従って、
（19）により、
（20）
② ＡかＢが犯人である。Ｂは犯人ではない。従って、Ａが犯人である。
といふことは、
② Ａが犯人である。
② 犯人はＡである（The 犯人 is Ａ）。
といふことに、他ならない。
然るに、
（21）
② ＡかＢが犯人である。Ｂは犯人ではない。従って、Ａが犯人である。
といふことは、
② Ａ以外は犯人でない。
といふことに、他ならない。
従って、
（20）（21）により、
（22）
② Ａが犯人である。
③ 犯人はＡである。
④ Ａ以外は犯人でない。
に於いて、
②＝③＝④
でなければ、ならない。
従って、
（23）
② ＡがＢである。
③ ＢはＡである。
④ Ａ以外はＢでない。
に於いて、
②＝③＝④
でなければ、ならない。
然るに、
（24）
「逆」には、
（１）真でないときと、
（２）真であるときがあります。
そこで（１）と（２）をひっくるめて、「逆は必ずしも真ならず」といいます（山下正男、論理的に考えること、1985年、１３・１４頁）。
従って、
（24）により、
（25）
① ＡはＢである。
③ ＢはＡである。
に於いて、必ずしも、
①＝③ であるとは、限らない。
従って、
（23）（25）により、
（26）
① ＡはＢである。
② ＡがＢである。
③ ＢはＡである。
④ Ａ以外はＢでない。
に於いて、必ずしも、
①＝② ではないが、必ず、
②＝③＝④ である。
従って、
（26）により、
（27）
① ＡはＢである。
② ＡがＢである。
③ ＢはＡである。
④ Ａ以外はＢでない。
の場合は、
（Ⅰ）①、②、③、④ の、「四つとも、ウソ」であるか、
（Ⅱ）①、②、③、④ の、「①だけが、本当」であるか、
（Ⅲ）①、②、③、④ の、「四つとも、本当」であるか。
の「いづれか」で、なければならない。
然るに、
（28）
① パリは日本である。
② パリが日本である。
③ 日本はパリである。
④ パリ以外は日本ではない。
に於いて、
① は、「ウソ」である。
② も、「ウソ」である。
③ も、「ウソ」である。
④ も、「ウソ」である。
然るに、
（29）
① 中野は日本である。
② 中野が日本である。
③ 日本は中野である。
④ 中野以外は日本ではない。
に於いて、
① は、「本当」である。
② は、「ウソ」である。
③ も、「ウソ」である。
④ も、「ウソ」である。
（30）
① パリはフランスの首都である。
② パリがフランスの首都である。
③ フランスの首都はパリである。
④ パリ以外はフランスの首都ではない。
に於いて、
① は、「本当」である。
② も、「本当」である。
③ も、「本当」である。
④ も、「本当」である。