算額(その794)
藤田貞資:精要算法(下巻),天明元年(1781)
http://www.wasan.jp/seiyou/seiyou.html
福島県郡山市日和田町宮下 天満宮 明治14年(1881)
http://www.wasan.jp/fukusima/miyasitatenma.html
後者の写真が不鮮明で長い間お蔵入りになっていたが,「精要算法」にあった。問題文と答えも同じである。ただし,後者の図では乙円と戊円は接していないが,精要算法にあるように,乙円と戊円も接している。
外円内に 7 個の円が入っている。外円,甲円の直径がそれぞれ 890 寸,267 寸のとき,乙円の直径はいかほどか。
外円の半径と中心座標を R, (0, 0)
甲円の半径と中心座標を r1, (0, R - r1)
乙円の半径と中心座標を r2, (x2, y2)
丙円の半径と中心座標を r3, (x3, y3)
丁円の半径と中心座標を r4, (0, r4 - R)
戊円の半径と中心座標を r5, (0, r5 + 2r4 - R)
とおき,以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt");
# julia-source.txt ソース https://blog.goo.ne.jp/r-de-r/e/ad3a427b84bb416c4f5b73089ae813cf
using SymPy
@syms R::positive, x2::positive, y2::positive, x3::positive, y3::negative, r1::positive, r2::positive, r3::positive, r4::positive, r5::positive;
# (R, r1) = (890,267) .// 2
eq1 = x2^2 + (R - r1 - y2)^2 - (r1 + r2)^2
eq2 = (x2 - x3)^2 + (y2 - y3)^2 - (r2 + r3)^2
eq3 = x3^2 + (r5 + 2r4 - R - y3)^2 - (r3 + r5)^2
eq4 = x3^2 + (y3 - r4 + R)^2 - (r3 + r4)^2
eq5 = x2^2 + y2^2 - (R - r2)^2
eq6 = x3^2 + y3^2 - (R - r3)^2
eq7 = x2^2 + (r5 + 2r4 - R - y2)^2 - (r2 + r5)^2
eq8 = r1 + r4 + r5 - R;
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4, eq5, eq6, eq7, eq8],
(x2, y2, x3, y3, r2, r3, r4, r5));
res[2] |> println
(4*sqrt(3)*R*r1*(R - r1)/(3*R^2 - 2*R*r1 + 3*r1^2), -R*(-3*R^2 + 6*R*r1 + r1^2)/(3*R^2 - 2*R*r1 + 3*r1^2), -4*sqrt(3)*R*r1*(-R + r1)/(R^2 + 2*R*r1 + 9*r1^2), -R*(-R^2 + 2*R*r1 + 11*r1^2)/(R^2 + 2*R*r1 + 9*r1^2), -4*R*r1*(-R + r1)/(3*R^2 - 2*R*r1 + 3*r1^2), -4*R*r1*(-R + r1)/(R^2 + 2*R*r1 + 9*r1^2), -R*(-R + r1)/(R + 3*r1), (3*R*r1 - 3*r1^2)/(R + 3*r1))
2 組の解が得られるが,2 番目のものが適解である。
外円,甲円の直径がそれぞれ 890 寸,267 寸のとき,乙円の直径は 8*R*r1*(R - r1)/(3*R^2 - 2*R*r1 + 3*r1^2) = 280 寸である。
2res[2][5] |> println
2res[2][5](R => 890//2, r1 => 267//2) |> println
-8*R*r1*(-R + r1)/(3*R^2 - 2*R*r1 + 3*r1^2)
280
function draw(more)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
(R, r1) = (890,267) ./ 2
(x2, y2, x3, y3, r2, r3, r4, r5) = (4*sqrt(3)*R*r1*(R - r1)/(3*R^2 - 2*R*r1 + 3*r1^2), -R*(-3*R^2 + 6*R*r1 + r1^2)/(3*R^2 - 2*R*r1 + 3*r1^2), -4*sqrt(3)*R*r1*(-R + r1)/(R^2 + 2*R*r1 + 9*r1^2), -R*(-R^2 + 2*R*r1 + 11*r1^2)/(R^2 + 2*R*r1 + 9*r1^2), -4*R*r1*(-R + r1)/(3*R^2 - 2*R*r1 + 3*r1^2), -4*R*r1*(-R + r1)/(R^2 + 2*R*r1 + 9*r1^2), -R*(-R + r1)/(R + 3*r1), (3*R*r1 - 3*r1^2)/(R + 3*r1))
plot()
circle(0, 0, R, :black)
circle(0, R - r1, r1)
circle(x2, y2, r2, :green)
circle(-x2, y2, r2, :green)
circle(x3, y3, r3, :magenta)
circle(-x3, y3, r3, :magenta)
circle(0, r4 - R, r4, :brown)
circle(0, r5 + 2r4 - R, r5, :blue)
if more == true
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(0, R, "外円:R,(0,0)", :red, :center, :bottom, delta=delta/2)
point(0, R-r1, "甲円:r1,(0,R-r1)", :red, :center, delta=-delta)
point(x2, y2, "乙円:r2,(x2,y2)", :green, :center, delta=-delta)
point(x3, y3, "丙円:r3,(x3,y3)", :magenta, :center, delta=-delta)
point(0, r4 - R, "丁円:r4,(0,r4-R)", :brown, :center, delta=-delta)
point(0, r5 + 2r4 - R, "戊円:r5,(0,r5+2r4-R)", :blue, :center, delta=-delta)
end
end;