(2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13)**10 は何桁の数か？

こちらにも投稿しておこう。

受験生は log10(2), log10(3) は知っているとの前提で

import math

もともとの数値

(2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13)**10

    596421543032951827553785377955490490000000000

それは知らない（わからない）ことにしておいて，

10 乗する数は

2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13

    30030

まず，30030 よりほんの少し小さい数を 2, 3, 5 のべき乗の積で作る

2 * 4 * 4 * 5 * 10 * 16, 2**8 * 100

    (25600, 25600)

25600**10 の常用対数を取る

10*(8*math.log10(2) + 2)

    44.0823996531185

次に，30030 よりほんの少し大きい数を 2, 3, 5 のべき乗の積で作る

2 * 4 * 4 * 6 * 10 * 16, 2**10 * 3 * 10

    (30720, 30720)

30720**10 の常用対数を取る

10*(10*math.log10(2) + math.log10(3) + 1)

    44.87421211359475

3 つの数値は，同じ桁数になったようだ...

(2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13)**10 の常用対数は 25600 の常用対数より大きく， 30720 の常用対数より小さい

10*(8*math.log10(2) + 2) < math.log10((2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13)**10) < math.log10((2**10 * 3 * 10)**10)

    True

さらに，桁数は同じ 45 桁である。

10*(8*math.log10(2) + 2), math.log10((2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13)**10), math.log10((2**10 * 3 * 10)**10)

    (44.0823996531185, 44.77555332198981, 44.874212113594744)