多数の顔写真が登録してあるとする。ある人の顔の画像を得たとき、この人の顔写真が登録されているか否かをチェックすることによって本人の認証を行うシステムがある。
たとえば多数の顔写真｛ｆi｝，ｉ＝１，．．．，Ｎがあって、顔の大きさがほぼ一定になるように調節してあるとする。画像ｆiはｎ×ｎ画像のｎ＾２個の画素に１からｎ＾２までの通し番号をつけ、その値を縦に並べたｎ＾２次元列ベクトルとする。
｛ｆi｝の平均をとれば、「平均顔」の画像ｇ0が得られる。各画像からｇ0を引いた
ｆi’＝ｆi－ｇ0
は、平均顔からの差異を表す画像である。そのような代表的差画像の第１次近似をｇ1とする。さらに差画像の第２次近似をｇ2とする。これを続けて差画像の第３次以下の近似ｇ3，ｇ4，．．．を作る。
このとき、ｇ1，ｇ2，ｇ3，．．．が正規直交系であれば、画像ｆi’をｇ1，ｇ2，ｇ3，．．．の一次結合で表現することができ、次のように表記できる。
ｆi＝ｇ0＋ｃi1ｇ1＋ｃi2ｇ2＋ｃi3ｇ3＋．．． （１）
これは、個々の顔をまず平均顔で近似し、次に主たる特徴を補正し、さらに二次的な特徴を補正し、以下順に高次の特徴を補正しているとみなせる。
正規直交基底ｇ1，ｇ2，ｇ3，．．．を求めるために、統計学で主成分分析とよばれる技法を用いる。
ｆi’がｎ個の画素から成る列ベクトルとすると、｛ｆi｝についてｎ×ｎの分散・共分散行列を計算する。次にこの行列についてｎ個の固有値を計算し、各固有値に対する固有ベクトルを求める。このｎ個の固有ベクトルが正規直交基底ｇ1，ｇ2，．．．，ｇnとなる。
簡単のために画像は白黒画像とし、画像はｎ＝４，８画素から成るものとし、画像数Ｎ＝３２とし、分散・共分散行列を計算し、固有値を求めた。ただし、ｇ0が０ベクトルとなるように画像標本を作成した。
ｎ＝４の場合の計算結果は、分散・共分散行列が単位行列となるので、ただ一通りの固有値＝１しか得られない。
標本数Ｎを非常に大きな数にすれば、データはランダム化されるので、ｇ0が０ベクトルとなり、各分散が１、すべての共分散が０になる結果、分散・共分散行列が単位行列になることが予想される。
このように、画像一般を対象としたとき、ｎ個の画素は同等のチャネルとなり、同じカテゴリとなるので、特徴による差別化ができず、主成分分析の技法で扱うのは難しいことを知る。
画素数が４，８程度であれば、画像ベクトルの総当たりで内積を計算することにより、各々４個と８個の固有ベクトルを見つけることができる。
ｎ＝４の場合に、見つけた固有ベクトルの組を行ベクトルの形式で表現すると、次のようになる。
（１１１１）；（１１－１－１）；（１－１１－１）；（１－１－１１）
また、次の例も固有ベクトルの組であるので、一組のみとは限らない。
（１１１－１）；（１１－１１）；（１－１１１）；（１－１－１１）
ｎ＝８の場合には、ｎ＝４で見つけた最初の固有ベクトルの組を利用して、次のような固有ベクトルの組を作成できる。
（１１１１１１１１）；（１１－１－１１１－１－１）；（１－１１－１１－１１－１）；（１－１－１１１－１－１１）；（１１１１－１－１－１－１）；（１１－１－１－１－１１１）；（１－１１－１－１１－１１）；（１－１－１１－１１１－１）
ｎ＝４，８のいずれの場合についても、任意の画像ベクトルは、各固有ベクトルに重みを掛けたものの一次結合で表現できる。従って、すべての画像ベクトルは、原理的には（１）式のように表現できるものと予想される。
何のことはない。結果的には１０月２８日付のブログで作成を試みた意味のない基底画像の段階に戻っていたのだ。
冒頭の顔画像の識別問題について言及すれば、顔画像の中で識別のキーとなるような特徴領域のカテゴリを何か所か選び、各特徴領域を構成する画素パターンをまとめて一つの成分として分析するのではなかろうか。いずれにしても特徴領域の抽出には、事前の統計処理などそれなりのスキルとノウハウが必要になるのであろう。
こうなると、単純な「平均顔」の画像をデザインし、いくつかの特徴領域のカテゴリを選択し、各特徴領域のデータをランダム化して、１０００個程度の変形顔の画像をつくってみたくなる。ここでは、主成分分析の手法を逆用し、単純かつ人為的な分散・共分散行列を作成することになるだろう。変形顔の作成に当たり、遺伝的アルゴリズムが使えるのか否かも検討対象となる。
参考文献
金谷健一著「インターネット時代の数学―重ね合わせの原理と応用」（共立出版）
長谷川勝也著「ホントにわかる多変量解析」（共立出版）
たとえば多数の顔写真｛ｆi｝，ｉ＝１，．．．，Ｎがあって、顔の大きさがほぼ一定になるように調節してあるとする。画像ｆiはｎ×ｎ画像のｎ＾２個の画素に１からｎ＾２までの通し番号をつけ、その値を縦に並べたｎ＾２次元列ベクトルとする。
｛ｆi｝の平均をとれば、「平均顔」の画像ｇ0が得られる。各画像からｇ0を引いた
ｆi’＝ｆi－ｇ0
は、平均顔からの差異を表す画像である。そのような代表的差画像の第１次近似をｇ1とする。さらに差画像の第２次近似をｇ2とする。これを続けて差画像の第３次以下の近似ｇ3，ｇ4，．．．を作る。
このとき、ｇ1，ｇ2，ｇ3，．．．が正規直交系であれば、画像ｆi’をｇ1，ｇ2，ｇ3，．．．の一次結合で表現することができ、次のように表記できる。
ｆi＝ｇ0＋ｃi1ｇ1＋ｃi2ｇ2＋ｃi3ｇ3＋．．． （１）
これは、個々の顔をまず平均顔で近似し、次に主たる特徴を補正し、さらに二次的な特徴を補正し、以下順に高次の特徴を補正しているとみなせる。
正規直交基底ｇ1，ｇ2，ｇ3，．．．を求めるために、統計学で主成分分析とよばれる技法を用いる。
ｆi’がｎ個の画素から成る列ベクトルとすると、｛ｆi｝についてｎ×ｎの分散・共分散行列を計算する。次にこの行列についてｎ個の固有値を計算し、各固有値に対する固有ベクトルを求める。このｎ個の固有ベクトルが正規直交基底ｇ1，ｇ2，．．．，ｇnとなる。
簡単のために画像は白黒画像とし、画像はｎ＝４，８画素から成るものとし、画像数Ｎ＝３２とし、分散・共分散行列を計算し、固有値を求めた。ただし、ｇ0が０ベクトルとなるように画像標本を作成した。
ｎ＝４の場合の計算結果は、分散・共分散行列が単位行列となるので、ただ一通りの固有値＝１しか得られない。
標本数Ｎを非常に大きな数にすれば、データはランダム化されるので、ｇ0が０ベクトルとなり、各分散が１、すべての共分散が０になる結果、分散・共分散行列が単位行列になることが予想される。
このように、画像一般を対象としたとき、ｎ個の画素は同等のチャネルとなり、同じカテゴリとなるので、特徴による差別化ができず、主成分分析の技法で扱うのは難しいことを知る。
画素数が４，８程度であれば、画像ベクトルの総当たりで内積を計算することにより、各々４個と８個の固有ベクトルを見つけることができる。
ｎ＝４の場合に、見つけた固有ベクトルの組を行ベクトルの形式で表現すると、次のようになる。
（１１１１）；（１１－１－１）；（１－１１－１）；（１－１－１１）
また、次の例も固有ベクトルの組であるので、一組のみとは限らない。
（１１１－１）；（１１－１１）；（１－１１１）；（１－１－１１）
ｎ＝８の場合には、ｎ＝４で見つけた最初の固有ベクトルの組を利用して、次のような固有ベクトルの組を作成できる。
（１１１１１１１１）；（１１－１－１１１－１－１）；（１－１１－１１－１１－１）；（１－１－１１１－１－１１）；（１１１１－１－１－１－１）；（１１－１－１－１－１１１）；（１－１１－１－１１－１１）；（１－１－１１－１１１－１）
ｎ＝４，８のいずれの場合についても、任意の画像ベクトルは、各固有ベクトルに重みを掛けたものの一次結合で表現できる。従って、すべての画像ベクトルは、原理的には（１）式のように表現できるものと予想される。
何のことはない。結果的には１０月２８日付のブログで作成を試みた意味のない基底画像の段階に戻っていたのだ。
冒頭の顔画像の識別問題について言及すれば、顔画像の中で識別のキーとなるような特徴領域のカテゴリを何か所か選び、各特徴領域を構成する画素パターンをまとめて一つの成分として分析するのではなかろうか。いずれにしても特徴領域の抽出には、事前の統計処理などそれなりのスキルとノウハウが必要になるのであろう。
こうなると、単純な「平均顔」の画像をデザインし、いくつかの特徴領域のカテゴリを選択し、各特徴領域のデータをランダム化して、１０００個程度の変形顔の画像をつくってみたくなる。ここでは、主成分分析の手法を逆用し、単純かつ人為的な分散・共分散行列を作成することになるだろう。変形顔の作成に当たり、遺伝的アルゴリズムが使えるのか否かも検討対象となる。
参考文献
金谷健一著「インターネット時代の数学―重ね合わせの原理と応用」（共立出版）
長谷川勝也著「ホントにわかる多変量解析」（共立出版）