NHKテレビの数学教室で、秋山仁先生が三角形を4分割してこの三角形と同じ面積をもつ正方形を組み立てる方法を披露しておられた。
そこで、この三角形は正三角形であると仮定して、三角形を4分割して同面積の正方形を構成する方法を計算してみた。しかし、正三角形の底辺の長さが2のとき、高さはSQRT(3)になる。そうすると、正三角形の面積はSQRT(3)になるので、正方形の辺の長さは3の4乗根になる。正三角形を4分割して寸法が4乗根の項をもつピースを切り出すことはできそうもないので、正三角形は諦めることにした。
その代わりとして、底辺の長さが2で高さが2の二等辺三角形の場合について計算することにした。こうすると、三角形の面積は2となるので、同面積の正方形の辺の長さはSQRT(2)になるとともに、三角形の辺上の4つの点は左右対称となり、シンプルな計算問題となる。
三角形ABCの頂点の座標をA(1,2), B(0,0), C(2,0)とする。辺ABの中点をK(1/2,1)とし、辺ACの中点をL(3/2,1)とする。辺BC上に点M(m1,0)と点N(n1,0)をとり、線分MLと線分KNの交点をP(p1,p2)とする。
ベクトルMLの中点がP(p1,p2)に一致するとすれば、
((m1,0)+(3/2,1))/2=(m1/2+3/4,1/2)=(p1,p2)
の式を得る。この式からm1/2+3/4=p1, p2=1/2となり、p2の値が決まる。
BM=NCとすると、m1+n1=2であり、m1=1/2, n1=3/2と仮定できる。これによってp1=1となり、p1の値が決まる。
正方形の図からKP=PNでなければならないから、ベクトルKP=ベクトルPNの条件からp1-1/2=n1-p1およびp2-1=-p2が成り立たねばならない。上記のn1, p1およびp2の値はこれらの式を満足する。
正方形の4角は各々直角であるから、ベクトルMPとベクトルPKは直交しなければならない。この条件を式で書くと、
(3/2-m1)(1/2-p1)+(1-p2)=0
である。上記のm1, p1およびp2の値はこの式を満足する。
最後に、両面積が一致することと、チェックしていない線分が整合することをチェックしておこう。三角形ABCの面積は2である。正方形の面積は、2PN×2PL=4SQRT(1/2)×SQRT(1/2)=2であり、一致する。また、三角形PMNについて、PM=SQRT(1/2), PN=SQRT(1/2)であり、MN=1であるから、PM^2+PN^2=MN^2が成り立ち、これらの線分の長さは元の三角形上の線分の長さと一致する。
三角形を4分割して正方形に組み直すとき、分割したピースの線分の長さや頂点角の大きさは、他のピースと相互関係をもつことになる。すなわち、ピース間で情報の相互関係を示す情報ネットワークが新たに創発する。それによって分割した三角形のピースが自然に集まり、正方形に相転移する。RNAや生命体を構成する多くの分子が分子間力や分子間の相補性により集まって結びつき、相が異なる分子ネットワークを構成する状態と似ているような気がする。
そこで、この三角形は正三角形であると仮定して、三角形を4分割して同面積の正方形を構成する方法を計算してみた。しかし、正三角形の底辺の長さが2のとき、高さはSQRT(3)になる。そうすると、正三角形の面積はSQRT(3)になるので、正方形の辺の長さは3の4乗根になる。正三角形を4分割して寸法が4乗根の項をもつピースを切り出すことはできそうもないので、正三角形は諦めることにした。
その代わりとして、底辺の長さが2で高さが2の二等辺三角形の場合について計算することにした。こうすると、三角形の面積は2となるので、同面積の正方形の辺の長さはSQRT(2)になるとともに、三角形の辺上の4つの点は左右対称となり、シンプルな計算問題となる。
三角形ABCの頂点の座標をA(1,2), B(0,0), C(2,0)とする。辺ABの中点をK(1/2,1)とし、辺ACの中点をL(3/2,1)とする。辺BC上に点M(m1,0)と点N(n1,0)をとり、線分MLと線分KNの交点をP(p1,p2)とする。
ベクトルMLの中点がP(p1,p2)に一致するとすれば、
((m1,0)+(3/2,1))/2=(m1/2+3/4,1/2)=(p1,p2)
の式を得る。この式からm1/2+3/4=p1, p2=1/2となり、p2の値が決まる。
BM=NCとすると、m1+n1=2であり、m1=1/2, n1=3/2と仮定できる。これによってp1=1となり、p1の値が決まる。
正方形の図からKP=PNでなければならないから、ベクトルKP=ベクトルPNの条件からp1-1/2=n1-p1およびp2-1=-p2が成り立たねばならない。上記のn1, p1およびp2の値はこれらの式を満足する。
正方形の4角は各々直角であるから、ベクトルMPとベクトルPKは直交しなければならない。この条件を式で書くと、
(3/2-m1)(1/2-p1)+(1-p2)=0
である。上記のm1, p1およびp2の値はこの式を満足する。
最後に、両面積が一致することと、チェックしていない線分が整合することをチェックしておこう。三角形ABCの面積は2である。正方形の面積は、2PN×2PL=4SQRT(1/2)×SQRT(1/2)=2であり、一致する。また、三角形PMNについて、PM=SQRT(1/2), PN=SQRT(1/2)であり、MN=1であるから、PM^2+PN^2=MN^2が成り立ち、これらの線分の長さは元の三角形上の線分の長さと一致する。
三角形を4分割して正方形に組み直すとき、分割したピースの線分の長さや頂点角の大きさは、他のピースと相互関係をもつことになる。すなわち、ピース間で情報の相互関係を示す情報ネットワークが新たに創発する。それによって分割した三角形のピースが自然に集まり、正方形に相転移する。RNAや生命体を構成する多くの分子が分子間力や分子間の相補性により集まって結びつき、相が異なる分子ネットワークを構成する状態と似ているような気がする。