３Ｄプリンターが普及している。一度３Ｄプリンターの出力サービスでも使ってみたらどうだろうかと思って、３Ｄプリンターに関する本をのぞいてみた。
３Ｄプリンターを利用するには、３ＤＣＡＤソフトまたは３ＤＣＧソフトを使って３Ｄデータを作成するか、３Ｄスキャナーで対象物をスキャンしたスキャンデータをパソコンに入力して専用ソフトでプリンター用の３Ｄデータを作成しているようである。
３ＤＣＡＤはその筋の専門家が使うものだから、数学的な予備知識は、専門的な知識のうちに入るだろう。また、３Ｄスキャナーを用いて対象をうまくスキャンする技術は、技能の類だから数学的な知識はほとんど不要であろう。
問題は、アーティストなどが３ＤＣＧソフトを用いて３Ｄアニメなどを作成するか、あるいは３Ｄプリンターに入力するためのデータを作成する際にどの程度の数学的知識が必要になるのかということであろう。そこで、アートのための数学に関する参考文献の３ＤＣＧを説明する章を読んでみた。
その説明によると、３ＤＣＧソフトのユーザは、３次元空間の中に（ｘ，ｙ，ｚ）軸をもつ３次元座標系を意識することと、立体物の平面図、正面図および側面図と座標軸との関係を意識することと、対象物を回転させるときに（ｘ，ｙ，ｚ）軸をどちらの方向に何度回転させるかを意識する程度の空間認識があればソフトを使えそうである。
３ＤＣＧソフトを使えば、大小の球や立体などの部品をいろいろな場所に配置したり、移動したり、拡大縮小したり、回転させたり、変形させたりできるようだ。対象物を変形させるのも、お絵描きのようにフリーハンドで曲線や曲面を変形させればよいようで、アート感覚や技能さえあればよいらしい（３ＤＣＧソフトの内部では、ベジエ曲面、Ｂスプライン曲面、ＮＵＲＢＳ曲面などの数学的技法を駆使して、ユーザの意図する曲面をつくるようにフォローしているようであるが）。
３Ｄプリンターや３ＤＣＧソフトを使う際に、空間認識は重要であるが、数学的な技法を知る必要はほとんどないということであろう。
そこで、この際、３ＤＣＧ入門コースとして、Ｅｘｃｅｌを用いて、地球を想定する球面に経度線を６本×２、緯度線を１１本引いたモデルをつくり、北極と南極を貫く座標軸を２３．５度傾けるような回転を施した後、これを２次元平面に射影したものを計算してグラフ表示することにした。
左手系と呼ばれる（ｘ，ｙ，ｚ）座標系のｙ軸上に球面の北極と南極があるとする。このｙ軸をｘ軸のまわりに２３．５度回転させたとき、座標系は（ｘ，ｙ’，ｚ’）となる。さらに、この（ｘ，ｙ’，ｚ’）で表される球面上の点を元の（ｘ，ｙ）平面上に射影した点の位置を（ｘ’’，ｙ’’）とする。
球の半径を１とすると、経度線上の（ｘ，ｙ，ｚ）は、（ｘ＝ｃｏｓｔｓｉｎｆ，ｙ＝ｃｏｓｆ，ｚ＝ｓｉｎｔｓｉｎｆ）のように表現できる。ｔはｘ軸からの偏角、ｆはｙ軸からの偏角である。
緯度線上の（ｘ，ｙ，ｚ）は、（ｘ＝ｒiｃｏｓｔ，ｙ＝ｃｏｓｆ，ｚ＝ｒiｓｉｎｔ）のように表現できる。ｒiは緯度線の半径である。
ｙ軸をｘ軸のまわりに角度ｆtだけ回転させるとき、球面上の位置ベクトル（ｘ，ｙ，ｚ）は、ｃｏｓｆt，ｓｉｎｆt，０，１を要素とする行列によって位置ベクトル（ｘ’，ｙ’，ｚ’）に変換される。
また、位置ベクトル（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を元の（ｘ，ｙ）平面上に射影するとき、（ｘ’，ｙ’，ｚ’）は、射影変換の行列によって位置ベクトル（ｘ’’，ｙ’’，ｚ’’）に変換されるが、ｚ’’に関する行列要素は考えなくてよい。（ｘ’’，ｙ’’）に関する行列要素は、（ｘ，ｙ，ｚ）が０または１になるような特定の座標値から求められる。
球面上の位置ベクトル（ｘ，ｙ，ｚ）に回転の行列を作用させた後、射影変換の行列を作用させたときの（ｘ’’，ｙ’’）は、次のように与えられる。
経度線：ｘ’’＝ｘ＝ｃｏｓｔｓｉｎｆ； ｔ：６個の定角度，０＝＜ｆ＜２＊ＰＩ（）
ｙ’’＝ｃｏｓｆｃｏｓｆt－ｓｉｎｔｓｉｎｆｓｉｎｆt； ｆt：２３．５度
緯度線：ｘ’’＝ｘ＝ｒiｃｏｓｔ； ｒi：１１個の定数，０＝＜ｔ＜２＊ＰＩ（）
ｙ’’＝ｃｏｓｆｃｏｓｆt－ｒiｓｉｎｔｓｉｎｆt； ｆ：１１個の定角度
経度線と緯度線の各々を点列（ｘ，ｙ’’）で表現するために、角度変数ｆまたはｔを刻む列を設けた。こうすると、この列以外に必要なものは、ｘ列とｙ’’列だけとなる。
（ｘ，ｙ’’）の計算結果をグラフ表示すると、下図のようになる。
参考文献
水野操著「３Ｄプリンター入門」（日刊工業新聞社）
牟田淳著「アートのための数学」（オーム社）
３Ｄプリンターを利用するには、３ＤＣＡＤソフトまたは３ＤＣＧソフトを使って３Ｄデータを作成するか、３Ｄスキャナーで対象物をスキャンしたスキャンデータをパソコンに入力して専用ソフトでプリンター用の３Ｄデータを作成しているようである。
３ＤＣＡＤはその筋の専門家が使うものだから、数学的な予備知識は、専門的な知識のうちに入るだろう。また、３Ｄスキャナーを用いて対象をうまくスキャンする技術は、技能の類だから数学的な知識はほとんど不要であろう。
問題は、アーティストなどが３ＤＣＧソフトを用いて３Ｄアニメなどを作成するか、あるいは３Ｄプリンターに入力するためのデータを作成する際にどの程度の数学的知識が必要になるのかということであろう。そこで、アートのための数学に関する参考文献の３ＤＣＧを説明する章を読んでみた。
その説明によると、３ＤＣＧソフトのユーザは、３次元空間の中に（ｘ，ｙ，ｚ）軸をもつ３次元座標系を意識することと、立体物の平面図、正面図および側面図と座標軸との関係を意識することと、対象物を回転させるときに（ｘ，ｙ，ｚ）軸をどちらの方向に何度回転させるかを意識する程度の空間認識があればソフトを使えそうである。
３ＤＣＧソフトを使えば、大小の球や立体などの部品をいろいろな場所に配置したり、移動したり、拡大縮小したり、回転させたり、変形させたりできるようだ。対象物を変形させるのも、お絵描きのようにフリーハンドで曲線や曲面を変形させればよいようで、アート感覚や技能さえあればよいらしい（３ＤＣＧソフトの内部では、ベジエ曲面、Ｂスプライン曲面、ＮＵＲＢＳ曲面などの数学的技法を駆使して、ユーザの意図する曲面をつくるようにフォローしているようであるが）。
３Ｄプリンターや３ＤＣＧソフトを使う際に、空間認識は重要であるが、数学的な技法を知る必要はほとんどないということであろう。
そこで、この際、３ＤＣＧ入門コースとして、Ｅｘｃｅｌを用いて、地球を想定する球面に経度線を６本×２、緯度線を１１本引いたモデルをつくり、北極と南極を貫く座標軸を２３．５度傾けるような回転を施した後、これを２次元平面に射影したものを計算してグラフ表示することにした。
左手系と呼ばれる（ｘ，ｙ，ｚ）座標系のｙ軸上に球面の北極と南極があるとする。このｙ軸をｘ軸のまわりに２３．５度回転させたとき、座標系は（ｘ，ｙ’，ｚ’）となる。さらに、この（ｘ，ｙ’，ｚ’）で表される球面上の点を元の（ｘ，ｙ）平面上に射影した点の位置を（ｘ’’，ｙ’’）とする。
球の半径を１とすると、経度線上の（ｘ，ｙ，ｚ）は、（ｘ＝ｃｏｓｔｓｉｎｆ，ｙ＝ｃｏｓｆ，ｚ＝ｓｉｎｔｓｉｎｆ）のように表現できる。ｔはｘ軸からの偏角、ｆはｙ軸からの偏角である。
緯度線上の（ｘ，ｙ，ｚ）は、（ｘ＝ｒiｃｏｓｔ，ｙ＝ｃｏｓｆ，ｚ＝ｒiｓｉｎｔ）のように表現できる。ｒiは緯度線の半径である。
ｙ軸をｘ軸のまわりに角度ｆtだけ回転させるとき、球面上の位置ベクトル（ｘ，ｙ，ｚ）は、ｃｏｓｆt，ｓｉｎｆt，０，１を要素とする行列によって位置ベクトル（ｘ’，ｙ’，ｚ’）に変換される。
また、位置ベクトル（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を元の（ｘ，ｙ）平面上に射影するとき、（ｘ’，ｙ’，ｚ’）は、射影変換の行列によって位置ベクトル（ｘ’’，ｙ’’，ｚ’’）に変換されるが、ｚ’’に関する行列要素は考えなくてよい。（ｘ’’，ｙ’’）に関する行列要素は、（ｘ，ｙ，ｚ）が０または１になるような特定の座標値から求められる。
球面上の位置ベクトル（ｘ，ｙ，ｚ）に回転の行列を作用させた後、射影変換の行列を作用させたときの（ｘ’’，ｙ’’）は、次のように与えられる。
経度線：ｘ’’＝ｘ＝ｃｏｓｔｓｉｎｆ； ｔ：６個の定角度，０＝＜ｆ＜２＊ＰＩ（）
ｙ’’＝ｃｏｓｆｃｏｓｆt－ｓｉｎｔｓｉｎｆｓｉｎｆt； ｆt：２３．５度
緯度線：ｘ’’＝ｘ＝ｒiｃｏｓｔ； ｒi：１１個の定数，０＝＜ｔ＜２＊ＰＩ（）
ｙ’’＝ｃｏｓｆｃｏｓｆt－ｒiｓｉｎｔｓｉｎｆt； ｆ：１１個の定角度
経度線と緯度線の各々を点列（ｘ，ｙ’’）で表現するために、角度変数ｆまたはｔを刻む列を設けた。こうすると、この列以外に必要なものは、ｘ列とｙ’’列だけとなる。
（ｘ，ｙ’’）の計算結果をグラフ表示すると、下図のようになる。
参考文献
水野操著「３Ｄプリンター入門」（日刊工業新聞社）
牟田淳著「アートのための数学」（オーム社）