算額（その1301）
百八 群馬県邑楽郡板倉町板倉 雷電神社 慶応3年(1867)
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.
キーワード：円2個，直角三角形，正方形
直角三角形の中に正方形と中鈎（直角の頂点から斜辺への垂線）を入れる。区画された領域に，甲円と乙円を 1 つずつ容れる。甲円と乙円の直径がそれぞれ 8 寸，15 寸のとき，正方形の一辺の長さはいかほどか。
正方形の一辺の長さを a とする。
直角三角形の鈎と股（直角を挟む 2 辺のうちの短い方と長い方）を，「鈎」，「股」とする。
股は問題を解く上では必要ないが，図を描くために求める。
また，図に示すように，正方形と中鈎の延長線を補助線として，交点座標を (股 - a, a + x)
甲円と乙円を含む直角三角形は相似で，相似比が a:(鈎 - a) である。
甲円の半径と中心座標を r1, (股 - r1, a + r1)
乙円の半径と中心座標を r2, (股 - a + r2, r2)
とおき，以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt");
using SymPy
@syms a::positive, x::positive,
鈎::positive, 股::positive,
r1::positive, r2::positive;
eq1 = a/(鈎 - a) - (a + x)/a
eq2 = (鈎 - a) + a - sqrt((鈎 - a)^2 + a^2) - 2r1
eq3 = a + (a + x) - sqrt(a^2 + ( a + x)^2) - 2r2
eq4 = (鈎 - a)/a - 鈎/股;
SymPy の能力的に，一度には解けないので逐次的に解いていく。
まず，eq1, eq2 を連立させて，鈎，股を求める。
res = solve([eq1, eq4], (鈎, 股))[1]
(a*(2*a + x)/(a + x), 2*a + x)
鈎，股を eq2 に代入し，x を求める。
eq12 = eq2(鈎 => res[1], 股 => res[2]) |> simplify |> numerator |> expand
ans_x = solve(eq12, x)[1]
ans_x |> println
a*(a^2 - 4*a*r1 + 2*r1^2)/(2*r1*(a - r1))
鈎，股，x を eq3 に代入し，a を求める。
eq13 = eq3(鈎 => res[1], 股 => res[2], x => ans_x)
ans_a = solve(eq13, a)[3] # 3 of 3
ans_a |> println
r1 + r2 + sqrt(r1^2 + r2^2)
正方形の一辺の長さは，r1 + r2 + sqrt(r1^2 + r2^2) である。
甲円と乙円の直径がそれぞれ 8 寸，15 寸のとき，正方形の一辺の長さは 20 寸である。
ans_a(r1 => 8/2, r2 => 15/2).evalf() |> println
20.0000000000000
a が求まれば x が決まり，更に鈎，股も決まる。
a = r1 + r2 + sqrt(r1^2 + r2^2)
x = a*(a^2 - 4a*r1 + 2r1^2)/(2r1*(a - r1))
鈎 = a*(2a + x)/(a + x)
股 = 2a + x
すべてのパラメータは以下のとおりである。
r1 = 4; r2 = 7.5; a = 20; x = 17.5; 鈎 = 30.6667; 股 = 57.5
function draw(r1, r2, more)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
a = r1 + r2 + sqrt(r1^2 + r2^2)
x = a*(a^2 - 4a*r1 + 2r1^2)/(2r1*(a - r1))
鈎 = a*(2a + x)/(a + x)
股 = 2a + x
@printf("甲円と乙円の直径がそれぞれ %g 寸，%g 寸のとき，正方形の一辺の長さは %g 寸である。\n", 2r1, 2r2,a)
@printf("r1 = %g; r2 = %g; a = %g; x = %g; 鈎 = %g; 股 = %g\n", r1, r2, a, x, 鈎, 股)
plot([0, 股, 股, 0], [0, 0, 鈎, 0], color=:green, lw=0.5)
rect(股 - a, 0, 股, a, :red)
circle(股 - r1, a + r1, r1, :blue)
circle(股 - a + r2, r2, r2, :magenta)
segment(股 - a, a + x, 股, 0)
segment(股 - a, a + x, 股 - a, a)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(股, 鈎, "(股,鈎) ", :green, :right, :bottom, delta=delta/2)
point(股 - a, 0, "股-a ", :red, :right, :bottom, delta=delta)
point(股 - a, a + x, "(股-a,a+x) ", :black, :right, delta=-delta/2)
point(股 - r1, a + r1, "甲円:r1\n(股-r1,a+r1)", :black, :center, :bottom, delta=delta/2, deltax=4delta)
point(股 - a + r2, r2, "乙円:r2\n(股-a+r2,r2)", :magenta, :center, delta=-delta/2)
xlims!(-2delta, 股 + 5delta)
end
end;
draw(8/2, 15/2, true)
