宇宙の膨張とハッブル定数

　千葉大学の大栗真宗先生の「宇宙の大きさってどれくらい?」と題する講演を聴講した。宇宙論において重要な物理定数であるハッブル定数の精密な値を得て、それから宇宙の大きさを推定しようとする試みである。

　宇宙は膨張しており、我々からみて遠くにある銀河の後退速度vは、H0を現在時刻におけるハッブル定数、遠くの銀河までの距離をrとすると、v=H0rの式から計算できるとされる。

　しかしながら、遠くの銀河が光を発したのは遠い過去の時点であり、その時点から現在時刻までの間には過去の宇宙膨張分の積み上げがあるはずであり、v=H0rのような線形式にならないのではないかと疑問に思っていた。そこでこの際、H0が何を意味するものか、再検討することにした。

　この式のH0は現在時刻の値であるから、vとrも現在時刻における変数と考え、v0=H0r0と書く方が分かりやすい。しかし、v=H0rの式は、遠くにある多くの銀河に適用可能であることを示すために、現在時刻よりもそれを優先して(v,r)を変数表記としたのであろう。

　距離r(t)は、r(t)=a(t)xの式で表現される。スケール因子a(t)は1Mpcを単位として付された物差しの一目盛り分の膨張と考えればよく、xはこの目盛り単位で計数する銀河間の距離である。

　銀河の後退速度vは
　　　v=dr/dt=(1/a)(da/dt)r=H0r
で得られる。定数のaは目盛り単位であり、1Mpcである。rを現在時刻での宇宙膨張なしの距離(つまりr0)とみなすと、x=r/aとなる。こうしてみると、ハッブル定数H0は、関数v=f(r)の単位目盛り当たりの微分係数であり、現在時刻での膨張速度を意味することが分かる。

　宇宙は、一様等方であるとみなすので、時刻が同じであれば宇宙空間のどの部分に1Mpcの距離をとっても膨張速度は同じと考える。銀河間の距離を1Mpcを単位として計数したとき、その値xは時間にはよらず、スケール因子a(t)が時間依存となる。

　同じ時刻のときの全宇宙の膨張速度da/dtが同じとすれば、異なる時刻のときの全宇宙の膨張速度もその時刻において同じと考えてよいはずである。そうであれば、遠くの銀河までの時刻r(t)が異なっても1Mpc当たりの膨張速度として平均値は同じ、すなわちハッブル定数H0は同じと考えてよいのではなかろうか。なお、近くの銀河と最遠の銀河とでは宇宙膨張分の積み上げ履歴が違うはずだが、そのような違いはH0に付いている+-の誤差範囲内に反映されているということだろうか。

　目盛りの膨張速度(1/a)(da/dt)は、一般相対性理論から導かれる目盛りの大きさの時間変化を司る方程式によって支持されており、v=H0rおよびr(t)の式は、シンプルな線形式にもかかわらず、観測値と整合することが確認されている。

　ちなみに、アンドロメダ銀河は天の川銀河から約230万光年離れているが、秒速120km程度で近づいている。1pc=3.26光年とすると、230万光年は0.706Mpcに相当する。1Mpc当たりの膨張速度を70km/sとすると、宇宙膨張分は49.4km/sとなり、引力により両銀河が近づく速度は、見かけの速度120km/sに減速分を加えて約169km/sとなる。1Mpcという目盛り単位は、できるだけ銀河間の引力の影響を避ける方向で決めたものらしい。

　参考文献
　二間瀬敏史著「なっとくする宇宙論」(講談社)

数学の不定方程式と相転移

　2011年7月17日に投稿したブログ「数学の組合せ論に現れる相転移」が、いまだに自身の人気ブログ・ランキングに入るのを見て、数学問題と物理学の相転移とを関連付けることに興味をもつ人が少なくないことを知った。

　NHKテレビの数学教室で、解が不定の方程式を扱うというテーマの下に、いくつかの問題が紹介されたが、その中の一つ「フロベニウスの式」を知り、相転移と関連付けて語りたくなった。

　4円玉と7円玉の硬貨の組合せのように、x円貨幣とy円貨幣を各々0,1,2…枚組み合わせて任意の金額をつくるとき、組合せできない金額と組合せできる金額とが存在する。フロベニウスの式とは、組合せ不可となる金額の最大数をMとするとき、xy-x-y=Mの式で表現できるというものである。たとえば、x=4,y=7の場合には、M=17となる。

　x=2, y=3の場合には、M=1となるので、2以上の金額数の場合には、すべての金額が組合せ可能となる。多くの整数は2または3で割り切れるし、任意の素数はより小さい素数と偶数の和で表せると予想できるので、ありうることである。

　x=13, y＝17の場合はどうか。M=191となるので、191が組合せ不可となる金額の最大数である。つまり、13円貨幣がm枚、17円貨幣がn枚とするとき、不定方程式13m+17n=191に整数解がないことを表明している。192以上の金額数のいくつかについてこの方程式の整数解が存在することを確認できる。

　x,yがより大きな素数の場合にも、Mは大きくなるが、Mを越える数値について、mx+nyが整数解をもつことが予想できる。すなわち、M未満の数値については、x,yの組合せの可否が不揃いであるが、Mを越える数値については、一転してすべて組合せ可能となる。強磁性を示す物質を加熱していくと、臨界温度を越えた温度でその磁性が失われる相転移の現象に類似している。

周期的なリズムをもつ歯の痛み

　84歳になったとき、全部揃っていた歯の一部のすり減りが目立つようになり、虫歯のような状態になって、歯髄に達するまで歯の浸蝕が進んだのだろうか、あるいは歯周病が進行しているのだろうか、かなり強い痛みを感じるようになった。

　そこで、2023年11月から毎日、痛みが発生した大体の時刻と、痛みの強さの区分(中か大か)とについてデータをとって、痛みが集中する時間帯と痛みの進行状況について観察することにした。

　そのデータによると、痛みの時間帯は殆どPM0:00~PM12:00といった午後の部に限られ、午前の部に痛みが発生することは稀である。また午後の部で発生する強い痛みの回数は、3~7回とバラつき、特に就寝時のPM10:30ごろの痛みが強い。

　参考文献1によると、神経系を構成する神経膜では、振動現象と興奮現象がみられ、そのような神経の動静は、活性化因子と抑制因子とから成る二因子系の振動によってほぼ理解できる旨の説明がある。この説に基づくと、一日24時間のうち、午後の部では活性化因子が優勢となり、午前の部では抑制因子が優勢となるという説明になる。

　そこで、チャット検索を利用し、「歯の痛みはかなり苦痛である。痛みは、午後の12時間中に数回起こり、午前の12時間中はほぼ休止期となっている。人間の神経系は、神経膜の振動と興奮に基づく活性化因子と抑制因子とから成る二因子系の振動で説明できるのか?」と質問してみた。

　その回答は、二因子系の振動による説明を肯定した後、「しかし、歯の痛みについては、このような振動についての研究は限られており、歯の痛みに関する研究はまだ進行中であるため、より詳細な情報を提供することはできません。」とのことであった。

　活性化因子の駆動よる痛みの活動期の振動は、概日リズムと呼ばれ、体内時計に同期した生物学的リズムであるようだ。痛みの休止期が生じる要因として、規則正しい生活習慣を前提とした睡眠の効用があるのではないか、と考える。充分な睡眠をとることによって、痛みの活動期に生じた神経系の有害物質が排除され、神経系が初期状態にリセットされるのではなかろうか。

　参考文献2によると、体内の末梢の組織(臓器や筋肉)で炎症が生じたときに細胞からサイトカインと呼ばれるタンパク質が分泌され、それが脳に働きかけることによって、一種の生理的疲労が生じるとのことである。そうすると、歯茎などの痛みによって繰り返しサイトカインが脳に作用すると、生理的疲労が慢性疲労症候群に移行して病的疲労となり、「思考力・集中力の低下」、「のどの痛み」、「首のリンパ節の腫れ」などの症状を起こすおそれがあるようだ。脳に対して長期間ストレスを与え続けることは避けるべきなのである。

　2024年3月になり、歯の痛みは強烈となり、もはや我慢の限界を感じるようになったので、歯科医の診察を受けることにした。歯はすり減っているが、虫歯ではなく、歯周病が進行しているので痛むとのことである。2回の治療を受けたが強烈な痛みが収まることはなかった。

　2024年4月になり、この先、歯の痛みを抱えたまま生きる覚悟をしようと考えていた。ただ、今かかっている歯科医には治せなくても、治せるような歯科医を紹介してもらえないかとも考えた。

　3回目の治療を受けに行ったとき、歯の痛みを治せるのか治せないのか最後の通告を聞くつもりで歯科医と対面した。医者は、歯周病を治すことはできないと言った。しかし、治療薬としてどんな「奥の手」を使ったのか知る由もないが、その日の治療後、歯の痛みはなくなり、痛みなしの状態が1ヶ月以上続いており、この先の生活に希望がもてるようになった。

　今後、歯のケアのために定期的に通院するつもりでいる。

　参考文献
1. 蔵本由紀著「非線形科学」(集英社新書)
2. 近藤一博著「疲労とはなにか」(ブルーバックス)

米国の13年ゼミと17年ゼミ

　タイム誌の記事を読んでいて、2024年は米国の13年ゼミと17年ゼミが一緒に地上に現れるので、セミの大発生の年になることを知った。

　前回の両セミの大発生の年は1803年であったので、実に221年ぶりの出来事ということになる。

　m,nを0,1,2,…の整数とすると、両セミが共に地上に出る年数は13m=17nの式で求められる。1803年でm=n=0とすると、m=17; n=13のとき、すなわち13×17=221年で同じ現象が生じることになり、ピタリ2024年が大発生の年になる。

　それにしても、セミはなぜ北米大陸だけで13年ゼミと17年ゼミに進化したのだろうか。素数ゼミということなら、7年ゼミと11年ゼミのような組合せもありそうである。環境とセミの生育年数から最適化された年数ということだろうか。日本では、素数ゼミが見られないというのも、セミの進化の不思議である。

相互作用と相関関係との違いについての訂正

　量子力学において、量子の振る舞いを説明する事例として、よく挙げられるのが二重スリット実験である。この実験では、二重スリットを通過した1個の量子が波動の重ね合わせにより干渉を起こすことが知られている。自然科学カフェのスタッフさんと話をしていて、不用意にも波動の間の「相互作用」により干渉を起こす旨の説明をしてしまい、スタッフさんから、それは「相互作用ではない」とのご注意をいただいた。そこで、再び同じ過ちをくりかえさないために、相互作用と、量子波動がもつ「相関関係」との違いを明確に説明することにした。

　「作用」という用語を使う場合には、量子または質点に外力が働くことが前提となっている。たとえば、量子間で電磁気力を伝える粒子は光子なので、量子間に光子が介在せず、他の外力も媒介しなければ、両者には相互作用がないことになる。質点系の場合も同様であり、遠く離れた星の光を地球上の人間が観測できるのは、星から到来する光子群が人間の目や観測機器に作用するからに他ならない。

　一方、二重スリット実験において、二重スリットを通過した波動の間には1個の量子が元々もっていた相関関係が保存されると考えるので、波動の重ね合わせにより干渉を起こすことになる。これは、外力による相互作用ではない。

　二つの量子が相関関係をもつ「量子もつれ」という現象がある。たとえば、量子のスピンの方向がそれぞれ重ね合わさった状態にあるときには、両方の量子は強い相関関係をもつので、その観測結果は理論的に予想できて、一方の量子のスピンの方向が「上向き」であれば、他方の量子のスピンの方向は「下向き」に決まる。しかし、一方の量子のスピンの方向が「上向き」なのか「下向き」なのかは、観測されるまで不確定である。つまり、二個の量子A,Bが「量子もつれ」の関係にあるとき、AとBとが十分遠く離れていても、Aの物理量の測定を行ってその値が確定すれば、Bの物理量の値が瞬時に確定する。Aの情報が光の速度を越える速さでBに伝わることになるので、非局所的長距離相関という。ただし、二つの量子には電磁気力のような外力が働かないものとする。二つの量子間には、理論的には重力が働くが、微弱なので無視できる。こうしてみると、二つの量子の間の相互作用は無視できるが、相関関係があれば情報の伝達には時間がかからないことになる。

　量子もつれの特徴である非局所的長距離相関を知ると、宇宙には「時間は存在しない」という説が現実味を帯びたものに感じられる。物理学者の松浦荘氏は、「私たちが思い込んでいる「時間」という存在は、物体の運動が持つ性質を説明するために導入された仮説だった、というのが事の真相です。」と述べている。

　2022年6月12日付のブログ「量子論についての雑感」中の「相互作用がなくなる」の記述は、「相関関係がなくなる」に訂正します。また、2019年6月16日付のブログ「常温でコヒーレント状態を維持する量子現象」中の「(二重)スリットを通過した電子は二つの球面波に分離し、」の記述は、「二つの球面波となり、」に訂正します。