（01）
ヒルベルトの演繹システムは、公理が多く、推論規則が少ないものです。そして、公理も、わけのわからない論理式となっています。例えば、
Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（Ｐならば（ＱならばＰ））
という論理式が公理として設定されています。つまり、この論理式を出発点として演繹を行って良い。ということです、多くの人は、この論理式の意味が飲み込めないでしょう（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１３６頁）。
然るに、
（02）
（ａ）
１ （１） Ｐ→（Ｑ→ Ｐ） Ａ
２（２） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ） Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） Ｑ＆～Ｐ ２＆Ｅ
２（５） Ｑ ２＆Ｅ
２（６） ～Ｐ ４＆Ｅ
１２（７） Ｑ→ Ｐ １３ＭＰＰ
１２（８） Ｐ ５７ＭＰＰ
１２（９） ～Ｐ＆Ｐ ６８＆Ｉ
１ （ア）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝ ２９ＲＡＡ
（ｂ）
１ （１）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３ （３） （Ｑ＆～Ｐ） Ａ
２３ （４） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ） ３４＆Ｉ
１２３ （５）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝＆
｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝ １４＆Ｉ
１２ （６） ～（Ｑ＆～Ｐ） ３５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
８（８） ～Ｐ Ａ
７８（９） Ｑ＆～Ｐ ７８＆Ｉ
１２７８（ア） ～（Ｑ＆～Ｐ）＆
（Ｑ＆～Ｐ） ６９＆Ｉ
１２７ （イ） ～～Ｐ ８アＲＡＡ
１２７ （ウ） Ｐ イＤＮ
１２ （エ） Ｑ→ Ｐ ７ウＣＰ
１ （オ） Ｐ→（Ｑ→ Ｐ） ２エＣＰ
従って、
（02）により、
（03）
① Ｐ→（Ｑ→ Ｐ）
② ～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝
に於いて、すなはち、
① Ｐならば、（Ｑならば、Ｐである）。
② ｛Ｐであって（ＱであってＰでない）。｝といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
（ｃ）
１（１） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ） Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） Ｑ＆～Ｐ １＆Ｅ
１（４） Ｑ ３＆Ｅ
１（５） ～Ｐ ３＆Ｅ
１（６） Ｐ＆～Ｐ ２５＆Ｉ
１（７）（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ ４６＆Ｉ
１（〃）（ＰであってＰでなくて）Ｑである。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① Ｐ→（Ｑ→ Ｐ）
② ～｛（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ｝
に於いて、すなはち、
① Ｐならば、（Ｑならば、Ｐである）。
② ｛（ＰであってＰでなくて）Ｑである）。｝といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）
② ｛（ＰであってＰでない）。｝といふことはない。
といふこと（矛盾律）は、「常に、本当」である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
① Ｐならば、（Ｑならば、Ｐである）。
② ｛（ＰであってＰでなくて）Ｑである）。｝といふことはない。
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
② は、「常に、本当」である。
従って、
（07）により、
（08）
① Ｐならば（ＱならばＰである）。
といふことは、「常に、本当」である。
従って、
（01）（08）により、
（09）
ヒルベルトの演繹システムは、公理が多く、推論規則が少ないものです。そして、公理も、わけのわからない論理式となっています。例えば、
Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（Ｐならば（ＱならばＰ））
という論理式が公理として設定されています。つまり、この論理式を出発点として演繹を行って良い。ということです、多くの人は、この論理式の意味が飲み込めないでしょう。
とは、言ふものの、
① Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（Ｐならば（ＱならばＰ））
といふことは、「常に、本当」である。
従って、
（01）～（09）により、
（10）
（ａ）
１ （１） Ｐ→（Ｑ→ Ｐ） Ａ
２（２） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ） Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） Ｑ＆～Ｐ ２＆Ｅ
２（５） Ｑ ２＆Ｅ
２（６） ～Ｐ ４＆Ｅ
１２（７） Ｑ→ Ｐ １３ＭＰＰ
１２（８） Ｐ ５７ＭＰＰ
１２（９） ～Ｐ＆Ｐ ６８＆Ｉ
１ （ア）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝ ２９ＲＡＡ
（〃）｛Ｐであって（ＱであってＰでない）。｝といふことはない。
（ｂ）
１ （１）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３ （３） （Ｑ＆～Ｐ） Ａ
２３ （４） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ） ３４＆Ｉ
１２３ （５）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝＆
｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝ １４＆Ｉ
１２ （６） ～（Ｑ＆～Ｐ） ３５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
８（８） ～Ｐ Ａ
７８（９） Ｑ＆～Ｐ ７８＆Ｉ
１２７８（ア） ～（Ｑ＆～Ｐ）＆
（Ｑ＆～Ｐ） ６９＆Ｉ
１２７ （イ） ～～Ｐ ８アＲＡＡ
１２７ （ウ） Ｐ イＤＮ
１２ （エ） Ｑ→ Ｐ ７ウＣＰ
１ （オ） Ｐ→（Ｑ→ Ｐ） ２エＣＰ
（〃）Ｐならば（ＱならばＰである）。
（ｃ）
１（１） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ） Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） Ｑ＆～Ｐ １＆Ｅ
１（４） Ｑ ３＆Ｅ
１（５） ～Ｐ ３＆Ｅ
１（６） Ｐ＆～Ｐ ２５＆Ｉ
１（７）（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ ４６＆Ｉ
１（〃）（ＰであってＰでなくて）Ｑである。
といふ「自然演繹」が、「理解」出来れば、
Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（Ｐならば（ＱならばＰ））
に関して、多くの人は、この論理式の意味が飲み込めないでしょう。
といふことには、ならない。
然るに、
（11）
ヒルベルトの演繹システムや、ゲンツェンのシークエント計算は、数理論理学者になるためには不可欠ですが、私たちが論理式の演算システムを初めて勉強するには全く不向きです。そこで本書は、ゲンツェンの「自然演繹」を解説することにします。「自然演繹」は、できるだけ私たちの日常の議論や数学の証明で行われる推論として、ゲンツェンが編み出したものです（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１３６・１３７頁改）。命題計算の規則は、本質的にゲンツェン（G.Gentzen）に由来するものである（E.J.ﾚﾓﾝ 著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英、1973年、序文ⅲ）。
従って、
（10）（11）により、
（12）
数理論理学者になるつもりがない人が、仮に、
Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（Ｐならば（ＱならばＰ））
といふ「公理」を、理解したいのであれば、「自然演繹」の「教科書」を、読むことを、勧めたい。
ヒルベルトの演繹システムは、公理が多く、推論規則が少ないものです。そして、公理も、わけのわからない論理式となっています。例えば、
Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（Ｐならば（ＱならばＰ））
という論理式が公理として設定されています。つまり、この論理式を出発点として演繹を行って良い。ということです、多くの人は、この論理式の意味が飲み込めないでしょう（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１３６頁）。
然るに、
（02）
（ａ）
１ （１） Ｐ→（Ｑ→ Ｐ） Ａ
２（２） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ） Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） Ｑ＆～Ｐ ２＆Ｅ
２（５） Ｑ ２＆Ｅ
２（６） ～Ｐ ４＆Ｅ
１２（７） Ｑ→ Ｐ １３ＭＰＰ
１２（８） Ｐ ５７ＭＰＰ
１２（９） ～Ｐ＆Ｐ ６８＆Ｉ
１ （ア）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝ ２９ＲＡＡ
（ｂ）
１ （１）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３ （３） （Ｑ＆～Ｐ） Ａ
２３ （４） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ） ３４＆Ｉ
１２３ （５）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝＆
｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝ １４＆Ｉ
１２ （６） ～（Ｑ＆～Ｐ） ３５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
８（８） ～Ｐ Ａ
７８（９） Ｑ＆～Ｐ ７８＆Ｉ
１２７８（ア） ～（Ｑ＆～Ｐ）＆
（Ｑ＆～Ｐ） ６９＆Ｉ
１２７ （イ） ～～Ｐ ８アＲＡＡ
１２７ （ウ） Ｐ イＤＮ
１２ （エ） Ｑ→ Ｐ ７ウＣＰ
１ （オ） Ｐ→（Ｑ→ Ｐ） ２エＣＰ
従って、
（02）により、
（03）
① Ｐ→（Ｑ→ Ｐ）
② ～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝
に於いて、すなはち、
① Ｐならば、（Ｑならば、Ｐである）。
② ｛Ｐであって（ＱであってＰでない）。｝といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
（ｃ）
１（１） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ） Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） Ｑ＆～Ｐ １＆Ｅ
１（４） Ｑ ３＆Ｅ
１（５） ～Ｐ ３＆Ｅ
１（６） Ｐ＆～Ｐ ２５＆Ｉ
１（７）（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ ４６＆Ｉ
１（〃）（ＰであってＰでなくて）Ｑである。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① Ｐ→（Ｑ→ Ｐ）
② ～｛（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ｝
に於いて、すなはち、
① Ｐならば、（Ｑならば、Ｐである）。
② ｛（ＰであってＰでなくて）Ｑである）。｝といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）
② ｛（ＰであってＰでない）。｝といふことはない。
といふこと（矛盾律）は、「常に、本当」である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
① Ｐならば、（Ｑならば、Ｐである）。
② ｛（ＰであってＰでなくて）Ｑである）。｝といふことはない。
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
② は、「常に、本当」である。
従って、
（07）により、
（08）
① Ｐならば（ＱならばＰである）。
といふことは、「常に、本当」である。
従って、
（01）（08）により、
（09）
ヒルベルトの演繹システムは、公理が多く、推論規則が少ないものです。そして、公理も、わけのわからない論理式となっています。例えば、
Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（Ｐならば（ＱならばＰ））
という論理式が公理として設定されています。つまり、この論理式を出発点として演繹を行って良い。ということです、多くの人は、この論理式の意味が飲み込めないでしょう。
とは、言ふものの、
① Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（Ｐならば（ＱならばＰ））
といふことは、「常に、本当」である。
従って、
（01）～（09）により、
（10）
（ａ）
１ （１） Ｐ→（Ｑ→ Ｐ） Ａ
２（２） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ） Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） Ｑ＆～Ｐ ２＆Ｅ
２（５） Ｑ ２＆Ｅ
２（６） ～Ｐ ４＆Ｅ
１２（７） Ｑ→ Ｐ １３ＭＰＰ
１２（８） Ｐ ５７ＭＰＰ
１２（９） ～Ｐ＆Ｐ ６８＆Ｉ
１ （ア）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝ ２９ＲＡＡ
（〃）｛Ｐであって（ＱであってＰでない）。｝といふことはない。
（ｂ）
１ （１）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３ （３） （Ｑ＆～Ｐ） Ａ
２３ （４） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ） ３４＆Ｉ
１２３ （５）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝＆
｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝ １４＆Ｉ
１２ （６） ～（Ｑ＆～Ｐ） ３５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
８（８） ～Ｐ Ａ
７８（９） Ｑ＆～Ｐ ７８＆Ｉ
１２７８（ア） ～（Ｑ＆～Ｐ）＆
（Ｑ＆～Ｐ） ６９＆Ｉ
１２７ （イ） ～～Ｐ ８アＲＡＡ
１２７ （ウ） Ｐ イＤＮ
１２ （エ） Ｑ→ Ｐ ７ウＣＰ
１ （オ） Ｐ→（Ｑ→ Ｐ） ２エＣＰ
（〃）Ｐならば（ＱならばＰである）。
（ｃ）
１（１） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ） Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） Ｑ＆～Ｐ １＆Ｅ
１（４） Ｑ ３＆Ｅ
１（５） ～Ｐ ３＆Ｅ
１（６） Ｐ＆～Ｐ ２５＆Ｉ
１（７）（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ ４６＆Ｉ
１（〃）（ＰであってＰでなくて）Ｑである。
といふ「自然演繹」が、「理解」出来れば、
Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（Ｐならば（ＱならばＰ））
に関して、多くの人は、この論理式の意味が飲み込めないでしょう。
といふことには、ならない。
然るに、
（11）
ヒルベルトの演繹システムや、ゲンツェンのシークエント計算は、数理論理学者になるためには不可欠ですが、私たちが論理式の演算システムを初めて勉強するには全く不向きです。そこで本書は、ゲンツェンの「自然演繹」を解説することにします。「自然演繹」は、できるだけ私たちの日常の議論や数学の証明で行われる推論として、ゲンツェンが編み出したものです（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１３６・１３７頁改）。命題計算の規則は、本質的にゲンツェン（G.Gentzen）に由来するものである（E.J.ﾚﾓﾝ 著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英、1973年、序文ⅲ）。
従って、
（10）（11）により、
（12）
数理論理学者になるつもりがない人が、仮に、
Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（Ｐならば（ＱならばＰ））
といふ「公理」を、理解したいのであれば、「自然演繹」の「教科書」を、読むことを、勧めたい。