（01）
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
といふ「論理式」は、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
といふ「意味」である。
然るに、
（02）
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
といふ「論理式」は、
③（ＰであってＱでない。）といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（03）
③（ＰであってＱでない。）といふことはない。
といふ「日本語」は、
③「Ｐである。」と「Ｑでない。」の、「両方ともが、本当であることはない。」
といふ「意味」である。
然るに、
（04）
③「Ｐである。」と「Ｑでない。」の、「両方ともが、本当であることはない。」
といふことは、
③「Ｐである。」と「Ｑでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
といふことである。
然るに、
（05）
③「Ｐである。」と「Ｑでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
といふことは、
③「Ｐである。が本当である」ならば「Ｑでない。はウソである」。
③「Ｑでない。が本当である」ならば「Ｐである。はウソである」。
といふことである。
然るに、
（06）
③「Ｑでない。はウソである」。
③「Ｐである。はウソである」。
といふことは、
③「Ｑである。が本当である」。
③「Ｐでない。が本当である」。
といふことである。
従って、
（05）（06）により、
（07）
③「Ｐである。」と「Ｑでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
といふことは、
③「Ｐである。が本当である」ならば「Ｑである。は本当である」。
③「Ｑでない。が本当である」ならば「Ｐでない。は本当である」。
といふことである。
然るに、
（08）
③「Ｐである。が本当である」ならば「Ｑである。は本当である」。
③「Ｑでない。が本当である」ならば「Ｐでない。は本当である」。
といふことは、要するに、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
といふことである。
従って、
（03）～（08）により、
（09）
③（ＰであってＱでない。）といふことはない。
といふ「日本語」は、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
といふ「意味」である。
従って、
（01）（02）（09）により、
（10）
① Ｐ→ Ｑ
① ～Ｑ→～Ｐ
といふ「論理式」は、
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
といふ「論理式」に「等しい」。
（11）
④ ～Ｐ∨Ｑ
といふ「論理式」は、
④ Ｐでないか、Ｑである。
といふ「意味」である。
然るに、
（12）
④ Ｐでないか、Ｑである。
といふ「日本語」は、
④「Ｐでない。」と「Ｑである。」の、「両方ともが、ウソであることはない。」
といふ「意味」である。
然るに、
（13）
④「Ｐでない。」と「Ｑである。」の、「両方ともが、ウソであることはない。」
といふことは、
④「Ｐでない。」と「Ｑである。」の、「どちらかが、ウソならば、もう一方は本当である。」
といふことである。
然るに、
（14）
④「Ｐでない。」と「Ｑである。」の、「どちらかが、ウソならば、もう一方は本当である。」
といふことは、
④「Ｐでない。がウソである」ならば「Ｑである。はウソではなく本当である」。
④「Ｑである。がウソである」ならば「Ｐでない。はウソではなく本当である」。
といふことである。
然るに、
（15）
④「Ｐでない。はウソである」。
④「Ｑである。はウソである」。
といふことは、
④「Ｐである。が本当である」。
④「Ｑでない。が本当である」。
といふことである。
従って、
（14）（15）により、
（16）
④「Ｐでない。」と「Ｑである。」の、「両方ともが、ウソであることはない。」
といふことは、
④「Ｐである。が本当である」ならば「Ｑである。はウソではなく本当である」。
④「Ｑでない。が本当である」ならば「Ｐでない。はウソではなく本当である」。
といふことである。
然るに、
（17）
④「Ｐである。が本当である」ならば「Ｑである。はウソではなく本当である」。
④「Ｑでない。が本当である」ならば「Ｐでない。はウソではなく本当である」。
といふことは、要するに、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
といふことである。
従って、
（12）～（17）により、
（18）
④ Ｐでないか、Ｑである。
といふ「日本語」は、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
といふ「意味」である。
従って、
（01）（02）（18）により、
（19）
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
といふ「論理式」は、
④ ～Ｐ∨Ｑ
といふ「論理式」に「等しい」。
従って、
（01）～（19）により、
（20）
「日本語」に「翻訳」するならば、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
③（ＰであってＱでない。）といふことはない。
④ Ｐでないか、Ｑである。
といふ「意味」であるが故に、
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ ～Ｐ∨ Ｑ
といふ「論理式」に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（21）
（ａ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ １３ＭＰＰ
１２３（５） ～Ｑ＆Ｑ ２４＆Ｉ
１２ （６）～Ｐ ３５ＲＡＡ
１ （７）～Ｑ→～Ｐ ２６ＣＰ
（ｂ）
１ （１）～Ｑ→～Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３）～Ｑ Ａ
１ ３（４） ～Ｐ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｐ＆～Ｐ ２４＆Ｉ
１２ （６）～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ５ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
（ｃ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １２ＭＰＰ
１２（６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
（ｄ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｅ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ４５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
（ｅ）
１ （１）Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２）Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３）Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １４ＭＰＰ
１２（６）～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～～Ｑ ４６ＲＡＡ
１ （８） Ｑ ７ＤＮ
１ （９）～Ｐ∨Ｑ ８＆Ｉ
（ｆ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ ７カＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（21）により、
（22）
「自然演繹の規則」により、
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ ～Ｐ∨ Ｑ
といふ「論理式」に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（20）（22）により、
（23）
「日本語」で考へても、「自然演繹」で考へても、
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ ～Ｐ∨ Ｑ
といふ「論理式」に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（04）（13）により、
（24）
③「Ｐである。」と「Ｑでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
④「Ｐでない。」と「Ｑである。」の、「どちらかが、ウソならば、もう一方は本当である。」
然るに、
（25）
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、「Ｑ＝Ｐ」といふ「代入」を行ふと、
① Ｐ→ Ｐ
② ～Ｐ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｐ）
④ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、すなはち、
① ＰならばＰである（同一律）。
② ＰでないならばＰでない（同一律の対偶）。
③ ＰであってＰでない。といふことはない（矛盾律）。
④ ＰでないかＰである（排中律）。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（24）（25）により、
（26）
③「Ｐである。」と「Ｐでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
④「Ｐでない。」と「Ｐである。」の、「どちらかが、ウソならば、もう一方は本当である。」
然るに、
（27）
ブロムウエルの疑問 ― 排中律は無限集合でも成立するか？ ― 中略、―
ここで、排中律とは。「Ｐであるか、Ｐでないか、そのどちらかが成り立つ」というものです（吉永良正、ゲーデル・不完全性定理、1992年、１５９頁）。
従って、
（26）（27）により、
（28）
③「Ｐである。」と「Ｐでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
④「Ｐでない。」と「Ｐである。」の、「どちらかが、ウソならば、もう一方は本当である。」
⑤「Ｐである。」と「Ｐでない。」の、「そのどちらか一方が、成り立つ。」
然るに、
（29）
③「どちらかが、本当なら（未然形）ば、もう一方はウソである。」
④「どちらかが、ウソなら（未然形）ば、もう一方は本当である。」
⑤「そのどちらか一方が、成り立つ（終止形）。」
に於いて、
③と④は、「同じこと」であるが、
④と⑤は、「同じこと」であるとは、思へない。
従って、
（27）（28）（29）により、
（30）
排中律とは。「Ｐであるか、Ｐでないか、そのどちらかが成り立つ」というものです。
といふ「言ひ方」は、「正しくはない」のでは、といふ風に、思へる。
然るに、
（31）
いづれにせよ、
③「Ｐである。」と「Ｐでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
④「Ｐでない。」と「Ｐである。」の、「どちらかが、ウソならば、もう一方は本当である。」
に於いて、
③と④は、「同じこと」であるに、違いない。
従って、
（25）（27）（31）により、
（32）
「排中律」は「無限集合」では、必ずしも成立しない。
といふのであれば、
「矛盾律」も「無限集合」では、必ずしも成立しない。
といふことになる。
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
といふ「論理式」は、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
といふ「意味」である。
然るに、
（02）
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
といふ「論理式」は、
③（ＰであってＱでない。）といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（03）
③（ＰであってＱでない。）といふことはない。
といふ「日本語」は、
③「Ｐである。」と「Ｑでない。」の、「両方ともが、本当であることはない。」
といふ「意味」である。
然るに、
（04）
③「Ｐである。」と「Ｑでない。」の、「両方ともが、本当であることはない。」
といふことは、
③「Ｐである。」と「Ｑでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
といふことである。
然るに、
（05）
③「Ｐである。」と「Ｑでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
といふことは、
③「Ｐである。が本当である」ならば「Ｑでない。はウソである」。
③「Ｑでない。が本当である」ならば「Ｐである。はウソである」。
といふことである。
然るに、
（06）
③「Ｑでない。はウソである」。
③「Ｐである。はウソである」。
といふことは、
③「Ｑである。が本当である」。
③「Ｐでない。が本当である」。
といふことである。
従って、
（05）（06）により、
（07）
③「Ｐである。」と「Ｑでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
といふことは、
③「Ｐである。が本当である」ならば「Ｑである。は本当である」。
③「Ｑでない。が本当である」ならば「Ｐでない。は本当である」。
といふことである。
然るに、
（08）
③「Ｐである。が本当である」ならば「Ｑである。は本当である」。
③「Ｑでない。が本当である」ならば「Ｐでない。は本当である」。
といふことは、要するに、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
といふことである。
従って、
（03）～（08）により、
（09）
③（ＰであってＱでない。）といふことはない。
といふ「日本語」は、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
といふ「意味」である。
従って、
（01）（02）（09）により、
（10）
① Ｐ→ Ｑ
① ～Ｑ→～Ｐ
といふ「論理式」は、
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
といふ「論理式」に「等しい」。
（11）
④ ～Ｐ∨Ｑ
といふ「論理式」は、
④ Ｐでないか、Ｑである。
といふ「意味」である。
然るに、
（12）
④ Ｐでないか、Ｑである。
といふ「日本語」は、
④「Ｐでない。」と「Ｑである。」の、「両方ともが、ウソであることはない。」
といふ「意味」である。
然るに、
（13）
④「Ｐでない。」と「Ｑである。」の、「両方ともが、ウソであることはない。」
といふことは、
④「Ｐでない。」と「Ｑである。」の、「どちらかが、ウソならば、もう一方は本当である。」
といふことである。
然るに、
（14）
④「Ｐでない。」と「Ｑである。」の、「どちらかが、ウソならば、もう一方は本当である。」
といふことは、
④「Ｐでない。がウソである」ならば「Ｑである。はウソではなく本当である」。
④「Ｑである。がウソである」ならば「Ｐでない。はウソではなく本当である」。
といふことである。
然るに、
（15）
④「Ｐでない。はウソである」。
④「Ｑである。はウソである」。
といふことは、
④「Ｐである。が本当である」。
④「Ｑでない。が本当である」。
といふことである。
従って、
（14）（15）により、
（16）
④「Ｐでない。」と「Ｑである。」の、「両方ともが、ウソであることはない。」
といふことは、
④「Ｐである。が本当である」ならば「Ｑである。はウソではなく本当である」。
④「Ｑでない。が本当である」ならば「Ｐでない。はウソではなく本当である」。
といふことである。
然るに、
（17）
④「Ｐである。が本当である」ならば「Ｑである。はウソではなく本当である」。
④「Ｑでない。が本当である」ならば「Ｐでない。はウソではなく本当である」。
といふことは、要するに、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
といふことである。
従って、
（12）～（17）により、
（18）
④ Ｐでないか、Ｑである。
といふ「日本語」は、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
といふ「意味」である。
従って、
（01）（02）（18）により、
（19）
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
といふ「論理式」は、
④ ～Ｐ∨Ｑ
といふ「論理式」に「等しい」。
従って、
（01）～（19）により、
（20）
「日本語」に「翻訳」するならば、
① ＰであるならばＱである。
② ＱでないならばＰでない。
③（ＰであってＱでない。）といふことはない。
④ Ｐでないか、Ｑである。
といふ「意味」であるが故に、
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ ～Ｐ∨ Ｑ
といふ「論理式」に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（21）
（ａ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ １３ＭＰＰ
１２３（５） ～Ｑ＆Ｑ ２４＆Ｉ
１２ （６）～Ｐ ３５ＲＡＡ
１ （７）～Ｑ→～Ｐ ２６ＣＰ
（ｂ）
１ （１）～Ｑ→～Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３）～Ｑ Ａ
１ ３（４） ～Ｐ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｐ＆～Ｐ ２４＆Ｉ
１２ （６）～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ５ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
（ｃ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １２ＭＰＰ
１２（６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
（ｄ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｅ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ４５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
（ｅ）
１ （１）Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２）Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３）Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １４ＭＰＰ
１２（６）～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～～Ｑ ４６ＲＡＡ
１ （８） Ｑ ７ＤＮ
１ （９）～Ｐ∨Ｑ ８＆Ｉ
（ｆ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ ７カＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（21）により、
（22）
「自然演繹の規則」により、
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ ～Ｐ∨ Ｑ
といふ「論理式」に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（20）（22）により、
（23）
「日本語」で考へても、「自然演繹」で考へても、
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ ～Ｐ∨ Ｑ
といふ「論理式」に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（04）（13）により、
（24）
③「Ｐである。」と「Ｑでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
④「Ｐでない。」と「Ｑである。」の、「どちらかが、ウソならば、もう一方は本当である。」
然るに、
（25）
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、「Ｑ＝Ｐ」といふ「代入」を行ふと、
① Ｐ→ Ｐ
② ～Ｐ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｐ）
④ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、すなはち、
① ＰならばＰである（同一律）。
② ＰでないならばＰでない（同一律の対偶）。
③ ＰであってＰでない。といふことはない（矛盾律）。
④ ＰでないかＰである（排中律）。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（24）（25）により、
（26）
③「Ｐである。」と「Ｐでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
④「Ｐでない。」と「Ｐである。」の、「どちらかが、ウソならば、もう一方は本当である。」
然るに、
（27）
ブロムウエルの疑問 ― 排中律は無限集合でも成立するか？ ― 中略、―
ここで、排中律とは。「Ｐであるか、Ｐでないか、そのどちらかが成り立つ」というものです（吉永良正、ゲーデル・不完全性定理、1992年、１５９頁）。
従って、
（26）（27）により、
（28）
③「Ｐである。」と「Ｐでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
④「Ｐでない。」と「Ｐである。」の、「どちらかが、ウソならば、もう一方は本当である。」
⑤「Ｐである。」と「Ｐでない。」の、「そのどちらか一方が、成り立つ。」
然るに、
（29）
③「どちらかが、本当なら（未然形）ば、もう一方はウソである。」
④「どちらかが、ウソなら（未然形）ば、もう一方は本当である。」
⑤「そのどちらか一方が、成り立つ（終止形）。」
に於いて、
③と④は、「同じこと」であるが、
④と⑤は、「同じこと」であるとは、思へない。
従って、
（27）（28）（29）により、
（30）
排中律とは。「Ｐであるか、Ｐでないか、そのどちらかが成り立つ」というものです。
といふ「言ひ方」は、「正しくはない」のでは、といふ風に、思へる。
然るに、
（31）
いづれにせよ、
③「Ｐである。」と「Ｐでない。」の、「どちらかが、本当ならば、もう一方はウソである。」
④「Ｐでない。」と「Ｐである。」の、「どちらかが、ウソならば、もう一方は本当である。」
に於いて、
③と④は、「同じこと」であるに、違いない。
従って、
（25）（27）（31）により、
（32）
「排中律」は「無限集合」では、必ずしも成立しない。
といふのであれば、
「矛盾律」も「無限集合」では、必ずしも成立しない。
といふことになる。