（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨ ～Ｑ∨～Ｒ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨（～Ｑ∨～Ｒ） ２結合法則
４ （４） ～Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １＆Ｅ
１ ４ （６） ～Ｐ＆Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １６ＲＡＡ
８ （８） （～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
９ （９） ～Ｑ Ａ
１ （ア） Ｑ １＆Ｅ
１ ９ （イ） ～Ｑ＆Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（ Ｐ＆ Ｑ ＆Ｒ） １９ＲＡＡ
エ（エ） ～Ｒ Ａ
１ （オ） Ｒ １＆Ｅ
１ エ（カ） ～Ｒ＆Ｒ エオ＆Ｉ
エ（キ）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １カＲＡＡ
８ （ク）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ８９ウエキ∨Ｅ
２ （ケ）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ３４７８ク∨Ｅ
１２ （コ） （ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）＆
～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １ケ＆Ｉ
１ （サ）～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２コＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ３∨Ｉ
１ ２ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １４＆Ｉ
１ （６） ～～Ｐ ２５ＲＡＡ
１ （７） Ｐ ６ＤＮ
８ （８） ～Ｑ Ａ
８ （９） ～Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
８ （ア） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ８∨Ｉ
１ ８ （イ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １ア＆Ｉ
１ （ウ） ～～Ｑ ８ＲＡＡ
１ （エ） Ｑ ウＤＮ
オ（オ） ～Ｒ Ａ
オ（カ） ～Ｑ∨～Ｒ オ∨Ｉ
オ（キ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ カ∨Ｉ
１ オ（ク） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １オ＆Ｉ
１ （ケ） ～～Ｒ オケＲＡＡ
１ （コ） Ｒ ケＤＮ
１ （サ） Ｐ＆ Ｑ ７エ＆Ｉ
１ （シ） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ コサ＆Ｉ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
② ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（02）により、
（03）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
② ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝（象ａ→動ａ）
Ｑ＝（象ｂ→動ｂ）
Ｒ＝（象ｃ→動ｃ）
といふ「代入」を行ふと、
① （象ａ→動ａ）＆ （象ｂ→動ｂ）＆ （象ｃ→動ｃ）
② ～（～（象ａ→動ａ）∨～（象ｂ→動ｂ）∨～（象ｃ→動ｃ））
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１） 象ａ→ 動ａ Ａ
２（２） 象ａ＆～動ａ Ａ
２（３） 象ａ ２＆Ｅ
１２（４） 動ａ １３ＭＰＰ
２（５） ～動ａ ２＆Ｅ
１２（６） 動ａ＆～動ａ ４５＆Ｉ
１ （７）～（象ａ＆～動ａ） ２６ＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～（象ａ＆～動ａ） Ａ
２ （２） 象ａ Ａ
３（３） ～動ａ Ａ
２３（４） 象ａ＆～動ａ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（象ａ＆～動ａ）＆
（象ａ＆～動ａ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～動ａ ３５ＲＡＡ
１２ （７） 動ａ ６ＤＮ
１ （８） 象ａ→ 動ａ ２７ＣＰ
従って、
（04）により、
（05）
① 象ａ→ 動ａ
② ～（象ａ＆～動ａ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）（05）により、
（06）
① （象ａ→ 動ａ） ＆ （象ｂ→ 動ｂ） ＆ （象ｃ→ 動ｃ）
② ～（～（～（象ａ＆～動ａ））∨～（～（象ｂ＆～動ｂ））∨～（～（象ｃ＆～動ｃ）））
に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）により、
（07）
「二重否定律」により、
① （象ａ→ 動ａ）＆（象ｂ→ 動ｂ）＆（象ｃ→ 動ｃ）
② ～（（象ａ＆～動ａ）∨（象ｂ＆～動ｂ）∨（象ｃ＆～動ｃ））
に於いて、すなはち、
① （ａが象ならば、ａは動物であり）、その上（ｂが象ならば、ｂは動物であり）、その上（ｂが象ならば、ｂは動物である）。
②（（ａが象であって動物ではないか）、または（ｂが象であって動物ではないか）、または（ｂが象であって動物ではないか））といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（08）
｛個体の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
① （ａが象ならば、ａは動物であり）、その上（ｂが象ならば、ｂは動物であり）、その上（ｂが象ならば、ｂは動物である）。
②（（ａが象であって動物ではないか）、または（ｂが象であって動物ではないか）、または（ｂが象であって動物ではないか））といふことはない。
といふことは、
① すべての象は動物である。
② 動物でない象はゐない。
といふことである。
然るに、
（09）
① すべての象は動物である。
② 動物でない象はゐない。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ）
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ）
といふ「述語論理式」に「相当」する。
従って、
（01）～（09）により、 （10）
｛個体の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
① ∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ）
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ）
といふ「述語論理式」は、それぞれ、
① （象ａ→ 動ａ）＆（象ｂ→ 動ｂ）＆（象ｃ→ 動ｃ）
② ～（（象ａ＆～動ａ）∨（象ｂ＆～動ｂ）∨（象ｃ＆～動ｃ））
といふ「論理式」に、「等しく」、尚且つ、
①＝② である。
然るに、
（11）
① （象ａ→ 動ａ）＆（象ｂ→ 動ｂ）＆（象ｃ→ 動ｃ）
② ～（（象ａ＆～動ａ）∨（象ｂ＆～動ｂ）∨（象ｃ＆～動ｃ））
に於いて、
Ｐ＝象ａ（ａは 象である）。
Ｑ＝動ａ（ａは動物である）。
Ｒ＝象ｂ（ｂは 象である）。
Ｓ＝動ｂ（ｂは動物である）。
Ｔ＝象ｃ（ｃは 象である）。
Ｕ＝動ｃ（ｃは動物である）。
といふ「代入」を行ふと、
① （Ｐ→ Ｑ）＆（Ｒ→ Ｓ）＆（Ｔ→ Ｕ）
② ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｒ＆～Ｓ）∨（Ｔ＆～Ｕ））
といふ「式」は、「命題論理式」である。
従って、
（01）～（11）により、
（12）
｛個体の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
Ｐ＝象ａ（ａは 象である）。
Ｑ＝動ａ（ａは動物である）。
Ｒ＝象ｂ（ｂは 象である）。
Ｓ＝動ｂ（ｂは動物である）。
Ｔ＝象ｃ（ｃは 象である）。
Ｕ＝動ｃ（ｃは動物である）。
であるとして、
① ∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ）
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ）
といふ「述語論理式」は、
① （Ｐ→ Ｑ）＆（Ｒ→ Ｓ）＆（Ｔ→ Ｕ）
② ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｒ＆～Ｓ）∨（Ｔ＆～Ｕ））
といふ「命題論理式」として、
①＝② である。
然るに、
（13）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ） Ａ
２ （２） ∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ） Ａ
３（３） 象ａ＆～動ａ Ａ
１ （４） 象ａ→ 動ａ Ａ
３（５） 象ａ ３＆Ｅ
１ ３（６） 動ａ ３４ＭＰＰ
３（７） ～動ａ ３＆Ｅ
１ ３（８） 動ａ＆～動ａ ６７＆Ｉ
３（９）～∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ） １８ＲＡＡ
２ （ア）～∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ） ２３９ＥＥ
１２ （イ）～∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ）＆
∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ） １ア＆Ｉ
１ （ウ）～∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ） ２イＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ） Ａ
２ （２） 象ａ Ａ
３（３） ～動ａ Ａ
２３（４） 象ａ＆～動ａ ２３＆Ｉ
２３（５） ∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ） ４ＥＩ
１２３（６）～∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ）＆
∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ） １５＆Ｉ
１２ （７） ～～動ａ ３６ＲＡＡ
１２ （８） 動ａ ７ＤＮ
１ （９） 象ａ→ 動ａ ２８ＣＰ
１ （ア） ∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ） ９ＵＩ
従って、
（13）により、
（14）
① ∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ）
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動ｘ）
といふ「述語論理式」は、「述語論理式」として、
①＝② であるものの、この場合は、
｛個体の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
ではなく、
｛個体の変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ、・・・・・∞｝
であっても、
①＝② である。